第一章第三次课量子力学课件(11光电子)
合集下载
第一章量子力学课件(2011级物理学)
2011级物理学
经典粒子（如子弹）
2011级物理学
只开缝 1 子弹密度分布 1 ( x) 只开缝 2 子弹密度分布 2 ( x)
双缝齐开
12 ( x) 1 ( x) 2 ( x)
结论
子弹经过缝 1 2 的运动轨道, 与缝 2 1 存在与否， 并无关系.
2011级物理学
C60分子的计数 单位时间
人们应如何理解在干涉实验中 C60分子所展现出的这种波粒二象 性呢？
2011级物理学
2011级物理学
1.1.2
波粒二象性的分析
人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一 场激烈的争论，包括波动力学创始人Schrö dinger,
de Broglie等在内的一些人，对于物质粒子波动性
2011级物理学
x xyz 表示在r 点处的体积元 xyz 更确切的说， 中找到粒子的概率.这就是Born提出的波函数的 概率诠释.
2
根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子 （不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和 为 1 ，即要求波函数 r 满足下列条件.
全
但此时波的强度是代表被测到的60分子的计数单位时间人们应如何理解在干涉实验中分子所展现出的这种波粒二象2011级物理学2011级物理学人们对物质粒子波动性的理解曾经经历过一场激烈的争论包括波动力学创始人schrdingerdebroglie等在内的一些人对于物质粒子波动性的见解都曾经深受经典概念的影响他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构即看成三维空间中连续分布的某种物质波包因而呈现出干涉与衍射等现象波包的大小即电子的大小波包的群速度即电子的运动速度
子,也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但
这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念
经典粒子（如子弹）
2011级物理学
只开缝 1 子弹密度分布 1 ( x) 只开缝 2 子弹密度分布 2 ( x)
双缝齐开
12 ( x) 1 ( x) 2 ( x)
结论
子弹经过缝 1 2 的运动轨道, 与缝 2 1 存在与否， 并无关系.
2011级物理学
C60分子的计数 单位时间
人们应如何理解在干涉实验中 C60分子所展现出的这种波粒二象 性呢？
2011级物理学
2011级物理学
1.1.2
波粒二象性的分析
人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一 场激烈的争论，包括波动力学创始人Schrö dinger,
de Broglie等在内的一些人，对于物质粒子波动性
2011级物理学
x xyz 表示在r 点处的体积元 xyz 更确切的说， 中找到粒子的概率.这就是Born提出的波函数的 概率诠释.
2
根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子 （不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和 为 1 ，即要求波函数 r 满足下列条件.
全
但此时波的强度是代表被测到的60分子的计数单位时间人们应如何理解在干涉实验中分子所展现出的这种波粒二象2011级物理学2011级物理学人们对物质粒子波动性的理解曾经经历过一场激烈的争论包括波动力学创始人schrdingerdebroglie等在内的一些人对于物质粒子波动性的见解都曾经深受经典概念的影响他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构即看成三维空间中连续分布的某种物质波包因而呈现出干涉与衍射等现象波包的大小即电子的大小波包的群速度即电子的运动速度
子,也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但
这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念
《量子力学》课件
贝尔不等式实验
总结词
验证量子纠缠的非局域性
详细描述
贝尔不等式实验是用来验证量子纠缠特性的重要实验。通过测量纠缠光子的偏 振状态，实验结果违背了贝尔不等式，证明了量子纠缠的非局域性，即两个纠 缠的粒子之间存在着超光速的相互作用。
原子干涉仪实验
总结词
验证原子波函数的存在
详细描述
原子干涉仪实验通过让原子通过双缝，观察到干涉现象，证明了原子的波函数存在。这个实验进一步 证实了量子力学的预言，也加深了我们对微观世界的理解。
量子力学的意义与价值
推动物理学的发展
量子力学是现代物理学的基础之一，对物理学的发展产生了深远 的影响。
促进科技的创新
量子力学的发展催生了一系列高科技产品，如电子显微镜、晶体 管、激光器等。
拓展人类的认知边界
量子力学揭示了微观世界的奥秘，拓展了人类的认知边界。
量子力学对人类世界观的影响
01 颠覆了经典物理学的观念
量子力学在固体物理中的应用
量子力学解释了固体材料的电子 结构和热学性质，为半导体技术 和超导理论的发现和应用提供了
基础。
量子力学揭示了固体材料的磁性 和光学性质，为磁存储器和光电 子器件的发展提供了理论支持。
量子力学还解释了固体材料的相 变和晶体结构，为材料科学和晶
体学的发展提供了理论基础。
量子力学在光学中的应用
复数与复变函数基础
01
复数
复数是实数的扩展，包含实部和虚部，是量子力 学中描述波函数的必备工具。
02
复变函数
复变函数是定义在复数域上的函数，其性质与实 数域上的函数类似，但更为丰富。
泛函分析基础
函数空间
泛函分析是研究函数空间的数学分支，函数空间中的元素称为函数或算子。
量子力学第一章
学习方法
● ● ●
加强预习和复习 提高听课效率 独立完成作业， 独立完成作业，多做练习
§1.1 经典物理学的困难
• 黑体辐射→普朗克能量子假设 黑体辐射→ • 光电效应 、康普顿效应→光的波粒二象性 康普顿效应→ • 原子光谱→玻尔理论，量子化 原子光谱→玻尔理论， →德布罗意:微观粒子的波粒二象性 德布罗意: →量子力学
量子力学
主讲人：顾运厅 主讲人：
量子力学参考书
1 量子力学 曾谨言 科学出版社 （2套） 套 2 量子力学导论 曾谨言 北京大学出版社 3 量子力学教程 曾谨言 科学出版社 4 量子力学（第三版） 汪德新 科学出版社 量子力学（第三版） 5 量子力学教程 钱伯初 高等教育出版社 6 量子力学 苏汝铿 高等教育出版社 7 量子力学 张永德 科学出版社 8 量子力学 梁绍荣 北京师范大学出版社 9 量子力学教程习题剖析 孙婷雅 （曾谨言） 曾谨言） 10 量子力学习题精解 吴强（ 吴强（张永德 ） 11 量子力学考研辅导教材 史守华 清华大学出版社 12 量子力学习题精选与剖析 钱伯初 曾谨言
§1.2 光的波粒二象性
一、黑体辐射 （一）热辐射（温度辐射） 热辐射（温度辐射）
（1）处于热平衡的具有一定温度的物 ） 体内带电粒子的热运动， 体内带电粒子的热运动，以电磁波形式向 外发射辐射能量。 外发射辐射能量。 （2）给定物体，单位时间内发射辐射 ）给定物体， 能量的多少取决于它的温度 T 。
激光技术的物理基础
• • • • • • • 1860 Maxwell 建立光的电磁理论； 建立光的电磁理论； 1900 Plank提出能量子假设； 提出能量子假设； 提出能量子假设 1917 Einstein 提出受激辐射理论； 提出受激辐射理论； 1953 Towns 建立第一台微波激射器（maser); 建立第一台微波激射器（ 1958 Towns, Shawlow开始研制激光器； 开始研制激光器； 开始研制激光器 1960 Maiman制成第一台红宝石激光器； 制成第一台红宝石激光器； 制成第一台红宝石激光器 1961~1965 激光光谱，用于大气污染分析；半导体激光 激光光谱，用于大气污染分析； 用于激光通讯； 激光器，用于激光熔炼、 器，用于激光通讯；CO2激光器，用于激光熔炼、激光切 激光钻孔； 割、激光钻孔； • 1968~1969 月球上设置激光反射器；地面与卫星联系； 月球上设置激光反射器；地面与卫星联系； • 1982 激光全息术； 激光全息术； • 80~90年代 激光外科手术，通讯、光盘、激光武器。 年代 激光外科手术，通讯、光盘、激光武器。
量子力学课件完整版(适合初学者)
2
利用
得到
E h , p k , h / 2 , 2 , k 2 / ,
d 2 2 0, 所以，t x(t ) dk m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
37
参考书目
曾谨言《量子力学》，科学出版社 周世勋《量子力学教程》，高等教育出版 社
38
量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程
39
2.1 波函数及其统计解释
40
一、自由粒子的波函数
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E 和动量 p pe 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为
4
1.1 经典物理学的困难
5
19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理， 统称为经典物理学。其中的两个结论 为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的： 带电体做加速运动时，会向外辐射电 磁波。
6
经典物理学的成就
牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在 牢固的基础上； 统计力学的建立。
46
3、概率波
粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 ( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y,z ) 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。 | ( x, y, z) |2 应该表示粒子出现在点 所以， (x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。
利用
得到
E h , p k , h / 2 , 2 , k 2 / ,
d 2 2 0, 所以，t x(t ) dk m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
37
参考书目
曾谨言《量子力学》，科学出版社 周世勋《量子力学教程》，高等教育出版 社
38
量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程
39
2.1 波函数及其统计解释
40
一、自由粒子的波函数
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E 和动量 p pe 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为
4
1.1 经典物理学的困难
5
19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理， 统称为经典物理学。其中的两个结论 为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的： 带电体做加速运动时，会向外辐射电 磁波。
6
经典物理学的成就
牛顿力学-支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验-确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立-把光和电磁现象建立在 牢固的基础上； 统计力学的建立。
46
3、概率波
粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 ( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y,z ) 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。 | ( x, y, z) |2 应该表示粒子出现在点 所以， (x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。
量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子力学(全套) ppt课件
•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
PPT课件
10
（3）原子光谱，原子结构
氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就 发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的 一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
PPT课件
3Байду номын сангаас
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。
1 n2
人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：
RH
C
1 22
1 n2
n 3,4,5,
其中RH 1.09677576 107 m 1是氢的Rydberg常数, C是光速。
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一
系列线系，它们都可以用下面公式表示：
RH
C
量子力学.ppt
2019-8-11
感谢你的观赏
7
第一章 绪论
§1.1 量子力学发展简史
§1.2 经典物理学的困难 §1.3 光的量子性 §1.4 玻尔的量子论
§1.5 微观粒子的波粒二象性
§1.6 波函数的统计解释
2019-8-11
感谢你的观赏
8
§1.1 量子力学发展简史
1896年 1897年
气体放电管，发现阴极射线。
感谢你的观赏
25
普朗克能量子假说 * 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值
* 存在着能量的最小单元（能量子=h)
* 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量
从理论上推出：
M 0 (,T ) 2hc 2 5
1
hc
e kT 1
k和c 分别是玻尔兹曼常数和光速。
2019-8-11
J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。
1900年
M.Plank 提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。
1905年 A.Einstein 将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。
同年创立了狭义相对论。
2019-8-11
感谢你的观赏
9
1911年 E.Rutherfold 确定了原子核式结构
b 2.897 103米开
2019-8-11
感谢你的观赏
23
经典物理遇到的困难
实验
瑞利和琼斯用
M 0 (,T )
能量均分定理
电磁理论得出：
M0
(,T
)
2ckT 4
只适于长波，有所谓的 “紫外灾难”。
T=1646k
第一章-量子力学基础PPT课件
结构化学
王荣顺 等 编著
讲授：陈喜 （副教授）
2021/3/12
1
Байду номын сангаас
结构化学课程内容
· 微观粒子运动所遵循的量子力学规律 ·原子结构（原子中电子的分布和能级） ·分子结构（化学键性质和分子能量状态） ·晶体结构（晶体场理论，晶体初步） ·实验方法（IR、NMR、EPR、PES等）
2021/3/12
2
结构化学的学习方法
❖ 理论联系实际 理论来源于实践，被实践检验，反过来又指导 实践；在实践的基础上建立模型，近似和假定 才可以得出合理的结果。
❖ 学会抽象思维和运用数学工具 抓住问题的关键，采用简化的数学模型。
❖ 恰当的运用类比，模拟以及其他科学方法
2021/3/12
3
参考书目
1.《物质结构》， 潘道皑、赵成大、郑载兴，高等教育出版社，1989年。 2.《量子化学》，徐光宪，科学出版社，2008年。 3.《结构化学基础》，周公度，北京大学出版社，2009年。 4. 《结构化学多媒体版》，李炳瑞，高等教育出版社，2004年
此时增加光的强度可增加光束中单位体
积内的光子数，因而增加发射电子的速率， 使光电流增大。
2021/3/12
17
3．氢原子光谱与波尔的原子模型
当原子被电火花、电弧或其它方法激 发时，能够发出一系列具有一定频率（或波 长）的光谱线，这些光谱线构成原子光谱。
氢原子光谱实验装置图
2021/3/12
18
连续光谱 氢原子吸收光谱(Balmer系)
(4) 频率大于0的入射光照射到金属表面，
立即有电子逸出，二者几乎无时间差
2021/3/12
11
光电管的伏 安特性
王荣顺 等 编著
讲授：陈喜 （副教授）
2021/3/12
1
Байду номын сангаас
结构化学课程内容
· 微观粒子运动所遵循的量子力学规律 ·原子结构（原子中电子的分布和能级） ·分子结构（化学键性质和分子能量状态） ·晶体结构（晶体场理论，晶体初步） ·实验方法（IR、NMR、EPR、PES等）
2021/3/12
2
结构化学的学习方法
❖ 理论联系实际 理论来源于实践，被实践检验，反过来又指导 实践；在实践的基础上建立模型，近似和假定 才可以得出合理的结果。
❖ 学会抽象思维和运用数学工具 抓住问题的关键，采用简化的数学模型。
❖ 恰当的运用类比，模拟以及其他科学方法
2021/3/12
3
参考书目
1.《物质结构》， 潘道皑、赵成大、郑载兴，高等教育出版社，1989年。 2.《量子化学》，徐光宪，科学出版社，2008年。 3.《结构化学基础》，周公度，北京大学出版社，2009年。 4. 《结构化学多媒体版》，李炳瑞，高等教育出版社，2004年
此时增加光的强度可增加光束中单位体
积内的光子数，因而增加发射电子的速率， 使光电流增大。
2021/3/12
17
3．氢原子光谱与波尔的原子模型
当原子被电火花、电弧或其它方法激 发时，能够发出一系列具有一定频率（或波 长）的光谱线，这些光谱线构成原子光谱。
氢原子光谱实验装置图
2021/3/12
18
连续光谱 氢原子吸收光谱(Balmer系)
(4) 频率大于0的入射光照射到金属表面，
立即有电子逸出，二者几乎无时间差
2021/3/12
11
光电管的伏 安特性
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
CE d 3 r * E r r , 0
(36)
不难证明
r , t E r,0 eiEt /
r , t CE E r eiEt /
E
(37)
满足含时Schrödinger 方程
i r , t H r , t t
E为多粒子体系的能量.
(38)
1.3.1 量子态及其表象
量子态：把微观粒子的运动状态称为量子态。
由前面所学知识得到 2 | (r ) | 给出粒子出现在 r 的处几率密度。
2 | ( p ) | 给出粒子出现在
p 的处几率密度。
( p)
是 (r ) 的Fourier变换：
在式(37)所示状态下,粒子的能量平均值为 ˆ H d3r * r , t H r , t
ˆ C*ECE d3r *E r , t H E r , t
E , E
C *ECE E EE
CE E
2 E
E , E
(全空间),得
(16)
d 全 r , t d 0 dt
即:归一化不随时间而改变.在物理上这表示粒子既未 产生也未湮没.
上面提到的概率守恒具有定域的性质.
2. 初值问题,传播子 由于Schrö dinger 方程只含波函数 r ,t 对时间的 一次微商,只要在初始时刻 ( t 0 )体系的状态 r , 0 给定,则以后任何时刻 t 的状态 r ,t 原则上就完全确 定了. 在一般情况下,这个初值问题的求解是不容易的, 往往要采用近似方法.但对于自由粒子,容易严格求解.
量子力学中这种态的叠加,导致叠加态下观测结果 的不确定性.
又例如, 一个粒子如处于定态下
r, t E r e
2 2 2 i 2 2 2 2 xi yi zi
而不含时Schrödinger方程表示为
2 2 i U i ri V (r1 , , rN ) (r1 , , rN ) i 2mi
E (r1 ,, rN )
满足自由粒子的 Schrö dinger 方程的解具有如下的形式:
r, t
1
2
3/ 2
p ei pr Et / d 3 p
式中 E p 2 / 2m .
r ,t 的初态波函数为
r, 0
1
2
3/ 2
则Schrödinger方程表示为 i (r1 ,, rN , t ) t
N 2 2 i U i ri V (r1 , , rN ) (r1 , , rN , t ) i 1 2mi
(37)
在式(37)中
第1章
波函数与Schrödinger方程
1.2.2
Schrödinger 方程的讨论
1.定域的概率守恒
Schrö dinger 方程是非相对论量子力学的基本方程. 在非相对论(低能)情况下,实物粒子( m 0 )没有产 生和湮没现象,所以在随时间演化的过程中,粒子数目 保持不变.对于一个粒子来说,在全空间中找到它的概 率之总和应不随时间变化,即
令
r , t * r , t r , t
i j r, t * * 2m
1 ˆ ˆ * p p * 2m
(12)
(13)
表示概率密度, j 表示概率流密度.
因此,式(11)可化为
d d S j dS dt
1.2.4
定态与非定态
定态：能量取确定值的状态。 若在初始时刻( t 0 )体系处于某一个能量本 征态 r , 0 E r ,则
r, t E r e
iEt /
(31)
形式如 (31) 的波函数所描述的态,称为定态 (stationary state).
有关表象的具体详细问题我们将在第七章作详细介绍。
1.3.2 量子态叠加原理, 测量与波函数坍缩
下面重点讨论量子力学的基本原理------量子态叠加原理
量子力学中波的叠加性和经典力学有本质的区别. 在量子力学中,把波的叠加性叫做态的叠加性.
量子态叠加原理
--------是“波的叠加性”与“波函数完全描述一个 体系的量子态”两个概念的概括.
在束缚态边条件下,只有某些离散的 E 值所 对应的解才是物理上可以接受的.
所以得到
E
E r
能量本征值 (energy eigenvalue) 能量本征函数 (energy eigenfunction)
2 2 2m V r E r E E r
( p)
ipr / 3 1 ( r )e d r 3/ 2 (2)
(r )
ipr / 3 1 ( p )e d p 3/ 2 (2)
当 (r )给定后,粒子所有力学量的测值分布概率就
确定了.
从这个意义上来讲, (r ) 完全描述了一个三维空间中
2 d r , t d3r 0 dt 全
(8)
以上结论可以从 Schrö dinger 方程加以论证: 对式(7)取复共轭,(注意 V * V ),得
* * 2 2 i V t 2m
(9)
* (7)式- (9)式 ,得 由
p e i p r / d 3 p
(17)
p 正是 r , 0 的Fourier展开的波幅,它并不依赖于
t
上式之逆变换即
p
1
2
3/ 2
r , 0 e i pr / d 3 r
(18)
p 由初态 r , 0 完全确定. 把式(18)代入式(5),得
(23)
(24)
在上式中, E 是既不依赖于 这样
t ,也不依赖于 r 的常数.
(25)
d iE ln f t dt
所以
f t ~ e
iEt /
(26)
因此,特解(23)可表示为
r , t E r eiEt /
(27)
其中, E r 满足下列方程
粒子的量子态.所以波函数也称为态函数.
同理, ( p) 也完全描述了粒子的量子态.
即 么二者有何区别？
( p) 和
(r ) 是等价的，彼此有确定的关系，那
二者的表象不同. 表象：量子力学中把态和力学量的具体表示方 式称为表象。 这犹如一个矢量可以采用不同的坐标系来表述一 样,我们称 r 是粒子态在坐标表象中的表示,而 p 则是同一个状态在 动量表象中的表示.
处于定态下的粒子具有如下特征:
(a) 粒子在空间的概率密度 r E r 以及概率 流密度显然不随时间改变. (b) 任何(不显含 t 的)力学量的平均值不随时间改变.
2
(c) 任何(不显含 t 的)力学量的测值概率分布也不随 时间改变(以后证明).
若体系的初态不是能量本征态,而是若干个能量 本征态的叠加
2 2 2m V r E r E E r
(28)
论述: 从数学上讲，对于任何 E 值,方程(28)都有解. 从物理上讲，只有特殊的 E 值才能满足物理上的要求. 这意味着：只能取分立的值---量子化。只有特殊 的E 值才能使薛定谔方程满足波函数的条件。 即 单值、有限、连续。
r ,0 CE E r
E
(32)
r ,0 Cn n r
n
可以证明不同能量本征值相应的本征态正交 E , E EE (33)
r ,0 CE E r
E
(35)
在式(32)中, CE 由初态 r , 0 唯一确定
下面讨论势能 V 不显含时间 t ,从初态 r , 0 去求解末态 r , t 的情况. 此时,Schrö dinger 方程的特解表示为
r, t r f t
代入式(7),得
i df 1 2 2 2 m V r r E f t dt r
能量本征方程(不含时Schrö dinger方程)
Schrö dinger 方程的更普遍的表示是
ˆ i H t
(29)
ˆ ˆ H 是体系的Hamilton算符.当 H 不显含 t 时,体系的 能量是守恒量.
此时,能量本征方程为
ˆ H E
(30)
对于更复杂的体系的Schrö dinger方程的具体表达 式,关键在于如何写出其Hamilton量算符.
(14)
上式左边代表在闭区域 中找到粒子的总概率 (或粒子数)在单位时间内的增量,而右边(注意负号!) 则应表示单位时间内通过 的封闭表面 S 而流入 内的概率(粒子数). 所以 j 具有概率流(粒子流)密度的意义,是一 个矢量.
式(11)或(14)是概率(粒子数)守恒的积分表达式, 而式(10)可改写为 j 0 (15) t 上式即为概率守恒的微分表达式. 在式(11)中,让
* 2 i * 2 2 * t 2m
2 * * 2m
(10)
将上式在空间区域
中积分,由 Gauss 定理,可得
(11)
2 i * d * * dS S t 2m
(36)
不难证明
r , t E r,0 eiEt /
r , t CE E r eiEt /
E
(37)
满足含时Schrödinger 方程
i r , t H r , t t
E为多粒子体系的能量.
(38)
1.3.1 量子态及其表象
量子态：把微观粒子的运动状态称为量子态。
由前面所学知识得到 2 | (r ) | 给出粒子出现在 r 的处几率密度。
2 | ( p ) | 给出粒子出现在
p 的处几率密度。
( p)
是 (r ) 的Fourier变换：
在式(37)所示状态下,粒子的能量平均值为 ˆ H d3r * r , t H r , t
ˆ C*ECE d3r *E r , t H E r , t
E , E
C *ECE E EE
CE E
2 E
E , E
(全空间),得
(16)
d 全 r , t d 0 dt
即:归一化不随时间而改变.在物理上这表示粒子既未 产生也未湮没.
上面提到的概率守恒具有定域的性质.
2. 初值问题,传播子 由于Schrö dinger 方程只含波函数 r ,t 对时间的 一次微商,只要在初始时刻 ( t 0 )体系的状态 r , 0 给定,则以后任何时刻 t 的状态 r ,t 原则上就完全确 定了. 在一般情况下,这个初值问题的求解是不容易的, 往往要采用近似方法.但对于自由粒子,容易严格求解.
量子力学中这种态的叠加,导致叠加态下观测结果 的不确定性.
又例如, 一个粒子如处于定态下
r, t E r e
2 2 2 i 2 2 2 2 xi yi zi
而不含时Schrödinger方程表示为
2 2 i U i ri V (r1 , , rN ) (r1 , , rN ) i 2mi
E (r1 ,, rN )
满足自由粒子的 Schrö dinger 方程的解具有如下的形式:
r, t
1
2
3/ 2
p ei pr Et / d 3 p
式中 E p 2 / 2m .
r ,t 的初态波函数为
r, 0
1
2
3/ 2
则Schrödinger方程表示为 i (r1 ,, rN , t ) t
N 2 2 i U i ri V (r1 , , rN ) (r1 , , rN , t ) i 1 2mi
(37)
在式(37)中
第1章
波函数与Schrödinger方程
1.2.2
Schrödinger 方程的讨论
1.定域的概率守恒
Schrö dinger 方程是非相对论量子力学的基本方程. 在非相对论(低能)情况下,实物粒子( m 0 )没有产 生和湮没现象,所以在随时间演化的过程中,粒子数目 保持不变.对于一个粒子来说,在全空间中找到它的概 率之总和应不随时间变化,即
令
r , t * r , t r , t
i j r, t * * 2m
1 ˆ ˆ * p p * 2m
(12)
(13)
表示概率密度, j 表示概率流密度.
因此,式(11)可化为
d d S j dS dt
1.2.4
定态与非定态
定态：能量取确定值的状态。 若在初始时刻( t 0 )体系处于某一个能量本 征态 r , 0 E r ,则
r, t E r e
iEt /
(31)
形式如 (31) 的波函数所描述的态,称为定态 (stationary state).
有关表象的具体详细问题我们将在第七章作详细介绍。
1.3.2 量子态叠加原理, 测量与波函数坍缩
下面重点讨论量子力学的基本原理------量子态叠加原理
量子力学中波的叠加性和经典力学有本质的区别. 在量子力学中,把波的叠加性叫做态的叠加性.
量子态叠加原理
--------是“波的叠加性”与“波函数完全描述一个 体系的量子态”两个概念的概括.
在束缚态边条件下,只有某些离散的 E 值所 对应的解才是物理上可以接受的.
所以得到
E
E r
能量本征值 (energy eigenvalue) 能量本征函数 (energy eigenfunction)
2 2 2m V r E r E E r
( p)
ipr / 3 1 ( r )e d r 3/ 2 (2)
(r )
ipr / 3 1 ( p )e d p 3/ 2 (2)
当 (r )给定后,粒子所有力学量的测值分布概率就
确定了.
从这个意义上来讲, (r ) 完全描述了一个三维空间中
2 d r , t d3r 0 dt 全
(8)
以上结论可以从 Schrö dinger 方程加以论证: 对式(7)取复共轭,(注意 V * V ),得
* * 2 2 i V t 2m
(9)
* (7)式- (9)式 ,得 由
p e i p r / d 3 p
(17)
p 正是 r , 0 的Fourier展开的波幅,它并不依赖于
t
上式之逆变换即
p
1
2
3/ 2
r , 0 e i pr / d 3 r
(18)
p 由初态 r , 0 完全确定. 把式(18)代入式(5),得
(23)
(24)
在上式中, E 是既不依赖于 这样
t ,也不依赖于 r 的常数.
(25)
d iE ln f t dt
所以
f t ~ e
iEt /
(26)
因此,特解(23)可表示为
r , t E r eiEt /
(27)
其中, E r 满足下列方程
粒子的量子态.所以波函数也称为态函数.
同理, ( p) 也完全描述了粒子的量子态.
即 么二者有何区别？
( p) 和
(r ) 是等价的，彼此有确定的关系，那
二者的表象不同. 表象：量子力学中把态和力学量的具体表示方 式称为表象。 这犹如一个矢量可以采用不同的坐标系来表述一 样,我们称 r 是粒子态在坐标表象中的表示,而 p 则是同一个状态在 动量表象中的表示.
处于定态下的粒子具有如下特征:
(a) 粒子在空间的概率密度 r E r 以及概率 流密度显然不随时间改变. (b) 任何(不显含 t 的)力学量的平均值不随时间改变.
2
(c) 任何(不显含 t 的)力学量的测值概率分布也不随 时间改变(以后证明).
若体系的初态不是能量本征态,而是若干个能量 本征态的叠加
2 2 2m V r E r E E r
(28)
论述: 从数学上讲，对于任何 E 值,方程(28)都有解. 从物理上讲，只有特殊的 E 值才能满足物理上的要求. 这意味着：只能取分立的值---量子化。只有特殊 的E 值才能使薛定谔方程满足波函数的条件。 即 单值、有限、连续。
r ,0 CE E r
E
(32)
r ,0 Cn n r
n
可以证明不同能量本征值相应的本征态正交 E , E EE (33)
r ,0 CE E r
E
(35)
在式(32)中, CE 由初态 r , 0 唯一确定
下面讨论势能 V 不显含时间 t ,从初态 r , 0 去求解末态 r , t 的情况. 此时,Schrö dinger 方程的特解表示为
r, t r f t
代入式(7),得
i df 1 2 2 2 m V r r E f t dt r
能量本征方程(不含时Schrö dinger方程)
Schrö dinger 方程的更普遍的表示是
ˆ i H t
(29)
ˆ ˆ H 是体系的Hamilton算符.当 H 不显含 t 时,体系的 能量是守恒量.
此时,能量本征方程为
ˆ H E
(30)
对于更复杂的体系的Schrö dinger方程的具体表达 式,关键在于如何写出其Hamilton量算符.
(14)
上式左边代表在闭区域 中找到粒子的总概率 (或粒子数)在单位时间内的增量,而右边(注意负号!) 则应表示单位时间内通过 的封闭表面 S 而流入 内的概率(粒子数). 所以 j 具有概率流(粒子流)密度的意义,是一 个矢量.
式(11)或(14)是概率(粒子数)守恒的积分表达式, 而式(10)可改写为 j 0 (15) t 上式即为概率守恒的微分表达式. 在式(11)中,让
* 2 i * 2 2 * t 2m
2 * * 2m
(10)
将上式在空间区域
中积分,由 Gauss 定理,可得
(11)
2 i * d * * dS S t 2m