直线与直线的位置关系

直线与直线的位置关系自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：② 求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________________.自我检测1．若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为( )A ．7B ．－7C ．3D ．－32．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)3．已知直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则am bn＝－1是直线l 1⊥l 2的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或25．已知2x ＋y ＋5＝0，则x 2＋y 2的最小值是________.探究点一 两直线的平行与垂直例1 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求满足以下条件的a 、b 的值：(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且原点到这两条直线的距离相等．变式迁移1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值．探究点二 直线的交点坐标例2 已知直线l 1：4x ＋7y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x ＋3my －4＝0.当m 为何值时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 △ABC 的两条高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．探究点三 距离问题例3 )已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0 (a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0.且l 1与l 2的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．变式迁移3 已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．例4、已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．一、选择题1．直线3x ＋2y ＋4＝0与2x －3y ＋4＝0( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．关于直线y ＝－x 对称2．若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0互相垂直，则a 的值是( )A ．2B ．－3或1C ．2或0D ．1或03．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．24．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)5．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( ) A.24，12 B.2，22 C.2，12 D.22，12二、填空题)6．直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：3x －3y ＋2＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为______．7．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为______________．8．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________．三、解答题9．k 为何值时，直线l 1：y ＝kx ＋3k －2与直线l 2：x ＋4y －4＝0的交点在第一象限．10．已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．11．过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．学案48 直线与直线的位置关系自主梳理1．(1)k 1＝k 2且b 1≠b 2 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(2)－1 0 2．解 交点 唯一解 3.(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2)|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2 (3)②|C 1－C 2|A 2＋B 2 自我检测 1．D 2.B 3.A 4.C5. 5课堂活动区例1 解题导引 运用直线的斜截式y ＝kx ＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0时，要特别注意A 、B 为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．解 (1)由已知可得l 2的斜率必存在，且k 2＝1－a.若k 2＝0，则a ＝1.由l 1⊥l 2，l 1的斜率不存在，∴b ＝0.又l 1过(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0，∴b ＝3a －4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k 2≠0.若k 2≠0，即k 1＝a b，k 2＝1－a. 由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝a b(1－a)＝－1. 由l 1过(－3，－1)，得－3a ＋b ＋4＝0，解之得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2，即a b＝1－a. 又原点到两直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1、l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a 、b 的值为2和－2或23和2. 变式迁移1 解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不平行；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不平行；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3， l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1， 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a(a －1)－1×2＝0.由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0a (a 2－1)－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6. ∴a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不垂直；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3， l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23. 例2 解题导引 ①转化思想的运用 三条直线l 1、l 2、l 3不能构成三角形⇐l 1、l 2、l 3交于一点或至少有两条直线平行⇐ 三条直线交于一点⇐l 2与l 3的交点在l 1上⇐l 2与l 3对应方程组的解适合l 1的方程②分类讨论思想的运用本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．解 当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形．①三条直线共点时，由⎩⎪⎨⎪⎧ mx ＋y ＝0，2x ＋3my ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝42－3m 2y ＝－4m 2－3m 2 (m 2≠23)， 即l 2与l 3的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫42－3m 2，－4m 2－3m 2， 代入l 1的方程得4×42－3m 2＋7×－4m 2－3m 2－4＝0， 解得m ＝13，或m ＝2. ②当l 1∥l 2时，4＝7m ，∴m ＝47； 当l 1∥l 3时，4×3m ＝7×2，∴m ＝76； 当l 2∥l 3时，3m 2＝2，即m ＝±63. ∴m 取集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－63，13，63，47，76，2中的元素时，三条直线不能构成三角形． 变式迁移2 解 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB ，AC 边上的高所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，则可求得AB ，AC 边所在直线的方程分别为y －2＝－32(x －1)，y －2＝x －1， 即3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得B(7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0，得C(－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.例3 解题导引 在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在两条平行线的方程中x 与y 的系数化为分别对应相等的条件下，才能应用该公式．如本例中求两条直线2x －y ＋a ＝0与－4x ＋2y ＋1＝0间的距离时，需将前一条直线化为－4x ＋2y －2a ＝0，或将后一条直线化为2x －y －12＝0后，再应用平行线间的距离公式． 解 (1)∵l 1：4x －2y ＋2a ＝0 (a>0)，l 2：4x －2y －1＝0，∴两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝|2a ＋1|25， 由已知，可得|2a ＋1|25＝7510. 又a>0，可解得a ＝3.(2)设点P 的坐标为(x ，y)，由条件①，可知x>0，y>0.由条件②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －y ＋3|5＝|4x －2y －1|455·|2x －y ＋3|5＝2·|x ＋y －1|2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 4|2x －y ＋3|＝|4x －2y －1||2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|， 于是可得，4|x ＋y －1|＝|4x －2y －1|， 也就是4(x ＋y －1)＝4x －2y －1，或4(x ＋y －1)＝－4x ＋2y ＋1，解得y ＝12，或8x ＋2y －5＝0. 当y ＝12时，代入方程|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|， 解得x ＝－3<0或x ＝－23<0，均舍去． 由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 8x ＋2y －5＝0x －2y ＋4＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝03x ＝－2， 解得⎩⎨⎧ x ＝19y ＝3718或⎩⎨⎧ x ＝－23<0y ＝316(舍去)．即存在满足题设条件的点P ，其坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718.变式迁移3 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.方法二 因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段长为5，设直线l 与两平行线的夹角为θ，则sin θ＝22，所以θ＝45°. 因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为0.又因为直线l 过点P(3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.【答题模板】解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知 ∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413.[4分] (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.[6分]设直线m 与直线l 的交点为N ，则由得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.[8分](3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，[10分]再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分]方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0 (C ≠1)，∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得 |－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，[10分] ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.[12分]方法三 设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，[10分]∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[12分课后练习区1．B 2.C 3.B 4.C 5.D6．－1 7.3x －2y ＋5＝0 8.①⑤9．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3k －2x ＋4y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12－12k 4k ＋1y ＝7k －24k ＋1.(5分)∵两直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－12k 4k ＋1>07k －24k ＋1>0，∴27<k<1.(11分) 即当27<k<1时，两直线的交点在第一象限．(12分) 10．解 设所求直线为l ，由于l 过点A 且与点P 1，P 2距离相等，所以有两种情况， (1)当P 1，P 2在l 同侧时，有l ∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为 y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；(5分) (2)当P 1，P 2在l 异侧时，l 必过P 1P 2的中点(－1,4)，此时l 的方程为x ＝－1.(10分) ∴所求直线的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1 11．解 设点A(x ，y)在l 1上， 由题意知⎩⎨⎧ x ＋x B 2＝3，y ＋y B 2＝0，∴点B(6－x ，－y)，(6分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧ x ＝113，y ＝163， ∴k ＝163－0113－3＝8.(12分) ∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. (14分)。