上海市金山区华东师大三附中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理科)试题

华东师大三附中2014学年第二学期期末考试高二数学（理科）试题时间：120分钟 满分：150 分一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 201532i i i i ++++ =__________________.2. 在5(31)x -的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则ab= ． 3. 直线l 的参数方程是)(221R t t y tx ∈⎩⎨⎧-=+=，则l 的方向向量d 可以是__.4. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为90︒的扇形，则这个圆锥的全面积是 ．5. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P （结果用最简分数表示）.6. 在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为____.7. 给出下列四个命题：(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； (4)b ,a 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个． 其中正确命题的序号是_______________________8. 已知平面α截一球O 得圆M ，圆M 的半径为r ，圆M 上两点A 、B 间的弧长为2rπ，又球心O 到平面α的距离为r ，则A 、B 两点间的球面距离为 ． 9. 边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后， 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接 成该正四棱锥的4个侧面，则ba的取值范围是 ． 10.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α⊂，45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角F A Gαβα--EF 为__________.11. 已知随机变量ξ所有的取值为1,2,3，对应的概率依次为121,,p p p ，若随机变量ξ的方差12ξ=D ，则12+p p 的值是 ． 12. 如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .13.对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．14. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ） A. 84 B. 78 C. 81 D. 9616. 正四面体ABCD 的表面积为S ，其中四个面的中心分别是E 、F 、G 、H .设四面体EFGH 的表面积为T ，则TS等于 ( ) A.49 B. 19 C. 14 D. 1317. 甲乙两人一起去游园，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )A.136 B. 19C. 536D. 16 18. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①存在i i A l ∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②存在i i A l ∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是 （ ） A ．①B ．①③C ．①②D ．②③三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，2BAC π∠=，11AB AC AA ===.已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，求线段DF 的长度的最小值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．如图过圆锥轴的截面为等腰直角三角形SAB ，Q BQ =83π，点Ｏ为底面圆的圆心．（1）求该圆锥的侧面积；（2）设异面直线SA 与BQ 所成角的大小为θ，求tan θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==，4AD =，E F 、依次是PB PC 、的中点．（1）求直线EC 与平面PAD 所成的角(结果用反三角函数值表示)； （2）求三棱锥P AFD -的体积.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点． 已知曲线C 上任意一点(,)P x y （其中0x ≥）到定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 不同的两点，求OA OB ⋅的值；（3）若曲线C 上不同的两点M 、N 满足0OM MN ⋅= ，求ON的取值范围．FE DB C AP23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N ．（1）求证：MN CC ⊥1；（2）在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． （3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去． 勾股定理的类比三角形ABC四面体O -ABC条件 AB ⊥AC OA 、OB 、OC 两两垂直结论AB 2+AC 2=BC 2？请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明．AA 1B 1BC 1CMNPFE DA P G 华东师大三附中2014学年第二学期期末考试高二数学（理科）试题答案一．1. 1-2. 13. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，或()12,- 4. 54π 5.267 6.7. (2)(4) 8. 9. 1(,)2+∞ 10. 4π 11.3412. )6sin(1θπ-13512π14. 二． 15. B 16. B 17.D 18. C 三．1920． （1）SA ==R SA π⋅=（2）tan 3SH AH AH θ====21．（1）解法一：分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别是(0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，，(0 0 2)P ，，， ∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 4 1)EC =-，，， （2分）又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==，（4分）设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则sin ||||EC n EC n α⋅===⋅（6分） ∴直线EC 与平面PAD 所成的角为. （7分）解法二：∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD PA ⊥，又CD A D ⊥，∴CD ⊥平面PAD ，取PA 中点G ，CD 中点H ，联结EG GH GD 、、，则EG AB CD ////且1=12EG AB =，EGHC ∴是平行四边形，∴HGD ∠即为直线EC 与平面PAD 所成的角. （3分）在Rt GAD ∆中，GD =在Rt GHD ∆中，tanHD HGD GD ∠===，（6分）∴直线EC 与平面PAD 所成的角为 （7分）（2）解法一：由（1）解法一的建系得，(1 2 1)AF = ，，， (0 4 0)AD =，，，设平面AFD 的法向量为(,,)n x y z =，点P 到平面AFD 的距离为d ，由0AF n ⋅= ，0AD n ⋅=得20x y z ++=且40y =，取1x =得(1,0,1)n =-， （9分）∴AP n d n⋅=== ， （11分）又AF FD ==2AFD S ==△（13分）∴1433P AFD V -=⨯=. （14分）解法二：易证PE 即为三棱锥P AFD -底面上的高，且PE =（11分）底面AFD △边AD 上的高等于AE ，且AE =AFD S =△（13分）1144323P AFD V -=⨯⨯=. （14分）解法三：依题意，//EF 平面PAD ，∴P AFD F PAD E PAD D PAE V V V V ----=== （11分）11114224322123D PAE V PA AB AD -=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. （14分） 22．（1）依题意知，动点P 到定点F (1,0)的距离等于P 到直线1x =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (1,0)为焦点的抛物线 ∵12p=∴2p = ∴ 曲线C 方程是24y x = （4分） （2）当l 平行于y 轴时，其方程为1x =，由214x y x =⎧⎨=⎩解得(1,2)A 、(1,2)B -此时=14=3OA OB ⋅--（6分）当l 不平行于y 轴时，设其斜率为k ，则由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有121x x =，212224+k x x k+= （8分） ∴12121212==(1)(1)OA OB x x y y x x k x k x ⋅++--2221212(1)()k x x k x x k =+-++2222224=1+143k k k k k+-⋅+=-=- （10分） （3）设221212(,),(,)44y y M y N y ∴222121121(,),(,)44y y y OM y MN y y -==- ∵0OM MN ⋅= ∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y ∵0,121≠≠y y y ，化简得)16(112y y y +-= （12分） ∴6432256232256212122=+≥++=y y y （14分） 当且仅当4,16,2561212121±===y y y y 时等号成立∵22||64ON y ==≥∴当222min 64,8||||y y ON ON ==±= ，的取值范围是),58[+∞（16分）23．（1）证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；（4分）（2）解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+= 其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角. （7分）∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P ∠，在PMN ∆中，2222cos PM PN MN PN MN MNP =+-⋅∠⇒MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. （10分） （3）空间勾股定理的猜想：已知四面体O -ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，则有2222OAB OAC OBC ABC S S S S ∆∆∆∆++= （14分）证法一：作OD ⊥AB ，垂足为D ，连结CD22222222221111()4444ABC S AB CD AB OC OD AB OC AB OD ∆=⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅ 222222222222111()444AOB AOB AOC COB AOB OA OB OC S OA OC OB OC S S S S ∆∆∆∆∆=⋅+⋅+=⋅⋅+⋅⋅+=++ （18分）证法二：作OH ⊥平面ABC ，垂足为H ，易得H 为△ABC 的垂心。