数据结构树与二叉树6

2
2> 基本概念
结点的度: 叶结点 : 分枝结点: 树的度 : 孩子 : 双亲 : 兄弟 : 祖先 : 结点拥有子树的数目 结点的度为零的结点 结点的度非零的结点 i 树中各结点度的最大值 j,k,l 称为 i 的孩子 j k l i 称为 j,k,l 的双亲 j,k,l 互为兄弟 树的根结点到某结点 j 路径上的所有结点,为结点 j的祖先 子孙 : 结点 i 下的所有结点,称为结点 i 的子孙 结点层次: 从根结点到某结点 j 路径上结点的数目
clear(T)
清除
5
第二节 二叉树
1> 定义：
二叉树是n(n>=0)个结点组成的有序树,每个结点至多有 二棵子树,称为左子树和右子树， n=0 称为空树。 Btree=Null Btree A Btree A Btree A
Btree
A
6
2> 二叉树的基本操作
initial(BT) 初始化 root(BT) 返回根结点 parent(BT,x) 返回结点 x 的双亲 lchild(BT,x) 返回结点 x 的左孩子 rchild(BT,x) 返回结点 x 的右孩子 crt_bt(x,LBT,RBT) 生成一棵以 x 为根,LBT,RBT 为子树的树 ins_lchild(BT,y,x) 把 x作为y的左子树插入 ins_rchild(BT,y,x) 把 x作为y的右子树插入 del_lchild(BT,y) 删除结点y的左子树 del_rchild(BT,y) 删除结点y的右子树 traverse(BT) 遍历 clear(BT) 清除
例如:
a b d
a
a ^
c
^ b ^ c ^
^ c ^
^ b ^ d ^
^ c
^
12
第三节 二叉树的遍历
非空二叉树可看成三部分组成: 根 左子树 右子树 左子树和右子树仍然是二叉树. Btree A 根
左子树
右子树
遍历的访问顺序有三种: 1 >先序访问: 根 左子树 右子树 2 >中序访问: 左子树 根 右子树 3 >后序访问: 左子树 右子树 根
8
定义: 深度为 k 且有2k -1 个结点的二叉树称为满二叉树 1 1 3 6 7 4
2
2
3
4
5
5
结点左上角的数字为满二叉树的位置编号 定义： 深度为 k 且有 n 个结点的二叉树，当且仅当 n 个结 点都满足满二叉树的位置编号的升序排列结构时， 称为完全二叉树
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性质4：具有 n 个结点的完全二叉树深度为
1 2 3 4
5
6
21
3 孩子兄弟表示法 用二叉树的左指针指向该结点的第一个孩子,右指针指向该结 点的下一个兄弟. 结点: child 1 2 3 4 ^ 5 6 5 ^ 4 ^ data brother ^ 2 3 1 ^
^
6 ^
孩子兄弟表示法
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二 树的遍历 1 先根访问 先访问根,然后依次访问子树. 2 后根访问 先依次访问子树,然后访问根. 例如:
3
树的深度: 树中结点的最大层次 有序树 : 若树中结点的各子树从左到右是有次序的,称 该树为有序树,否则为无序树 森林 : 由 m 棵互不相交的树构成 F=(T1,T2,.......Tm)
森林可以通过虚设一根结点连成一棵树 T=(root,F)
root F E
B
F
C
D J
G H I
4
3> 树的基本操作
15
非递归中序算法 Void inorder(bt) { initstack(s);push(s,bt); while (!empty(s)) { while (gettop(s,p)&&p) push (s,p->lchild); pop(s,p); if (!empty(s)) { pop(s,p); visit(p->data); push(s,p->rchild) } } }
初始化栈
寻找最左 下端的结点 去掉栈顶空子针 访问结点 右指针进栈
例如:
1 2 3
4
初始化栈
1
16
非递归前序算法 Void preorder(bt) { initstack(s);push(s,bt); if !bt visit(bt); 初始化栈 例如: 1 while (!empty(s)) { while (gettop(s,p)&&p) 2 { push (s,p->lchild); if !p->lchild visit(p->lchild );} pop(s,p); 去掉栈顶空子针 4 if (!empty(s)) { pop(s,p); push(s,p->rchild) ; 右指针进栈 初始化栈 if !p->rchild visit(p->rchild );} } }
10
4>二叉树的存储结构
(1)顺序存储结构
分配2k -1个空间 结点按满二叉树编号存储 物理位置确定了结点间的关系 例如: 2 1
a
3 6
a b c 1 2 3
4
d e 5 6
7
b
5
c
7
4
d
e
11
(2)链式存储结构
二叉结构
三叉结构 lchild data rchild lchild data parent rchild
25
示例: W= { 1,2,3,4,5} 15 1> F= { 1,2,3,4,5} 6 2> F= { 3,3,4,5} 3> F= { 6,4,5}
3
9
4> F= { 6,9} 2 w2 3 w3 4 w4 5 w5 5> F= { 15}
1 w1
26
27
3
1
17
内循环
pop
pop-v
push
第1次外循环
Null 2 1 Null 4 1
2 1
1
4 1
第2次外循环
4 1
1
Null 1
第3次外循环
Null 1 Null 3
1
3
第4次外循环
3
Null
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第四节 树
一 树的存储结构 1 双亲表示法 用一组连续的空间存放结点,每个结点用一个域表示该结点的 双亲. 1 2 3 4
7
3>二叉树的性质
性质1: 在二叉树的 i 层上至多有 2i -1个结点。(归纳法证明) 性质2: 深度为 k 的二叉树,至多有 2k -1 个结点。(等比求和) 性质3: 对任意二叉树 BT ,若叶结点数为 n0 ,度为 2 的结点数 为 n2,则 n0 = n2 +1 证明: ∵ n= n0+ n1 + n2 (n为结点总数) b= n1 +2 n2 (b 为分支总数) b=n-1 (除根结点外,任一结点都有一分支连入) ∴ n= n1 +2 n2 +1 代入第一等式,得: n0 = n2 +1 证毕
1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 3 3
5
6 双亲表示法
19
2 孩子表示法 (1)多叉链表表示法 结点: data L1 L2 ............. Ln
1
1 2^ ^ ^ 2 3 4 5 ^ ^ ^ 6 ^ ^ ^ 3 ^ 4 ^ ^ ^
5
6
多叉链表表示法
20
(2)多重线性链表表示法 把每个结点的孩子组成一个线性链表. 结点: data 1 2 3 4 5 6 L 2 ^ 5 ^ ^ ^ 多重线性链表表示法 6 ^ 3 4 ^
initial(T) root(T) parent(T,x) 初始化 返回根结点 返回结点 x 的双亲
child(T,x,i)
crt_tree(x,F) del_child(T,y,i) traverse(T)
返回结点 x 的第i 个孩子
生成一棵以 x 为根,F 为子树的树
ins_child(T,y,i,x) 把 x 插入到 y的第i棵子树处 删除结点y的第i棵子树 遍历
第六章 树与二叉树
第一节 树的基本概念
1> 定义： 树是n(n>=0)个结点组成的有限集。 n=0 称为空树;n>=1则树是由一个根结点 和互不相交的子树构成 。
1
tree=Null
tree A
tree A
B
E n=0 （1） n=1 （2） F
C
D
J
G H I n=10 （3）
（3）中有10个结点，可以看成一个根结点和三棵子树 构成。子树仍然满足树的定义。
∑
k=1
n
wk Lk
n 为叶结点数; wk为叶结点权值; Lk 为叶结点的路径长度
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定义: 设有n 个权值 {w1,w2,......wn},任意构造有 n 个叶结
点的二叉树,每个叶结点权值为 wi 。则其中带权路径长 度最小的二叉树称为哈夫曼树(最优二叉树)。
二 哈夫曼树的构造方法
(1) 根据给定的 {w1,w2,......wn}, 生成 n 棵树的森林, F= {T1,T2,.......Tm};根结点值为权值; (2) 在 F 中选择两棵根结点值最小的树 Ti ,Tj 作为左右子树, 构成一棵新二叉树Tk , Tk根结点值为Ti ,Tj根结点权值之 和; (3) 在 F 中删除Ti ,Tj ,并把 Tk 加到 F中; (4) 重复 (2) (3),直到 F中只含一棵树。
log 2 n
+1
性质5：对结点数为 n 的完全二叉树，第 i 个结点有如下特征： (1) 若 i =1 则 i 为根结点，无双亲 若 i >1 则双亲为 parent(i) = i / 2 ； (2) 若 2i>n 则 i 无孩子,为叶结点 否则 lchild(i)=2 i ； (3) 若 2i+1>n 则 i 无右孩子 否则 rchild(i)=2 i+1。