CH4+平面一般力系

x
dx
h l
1 F = ∫ q′dx = ql 2 0
l
42
例题
设合力F 的作用线距A端的
F A x h l
dx
距离为h，根据合力矩定理，有
q
B
x
F = ∫ q′xdx h
0
l
将q' 和 F 的值代入上式，得
2 h= l 3
43
分布荷载
集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与 整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。 例如，道路给轮子的力等。
16
§4-3 平面一般力系向一点简化
1.平面汇交力系的合成 (力系主矢)
y
O
Fˊ R x
′ FR = ∑ F ′ = ∑ F
合力大小
′ FRx = ∑ Fx ′ FRy = ∑ Fy
MO
′ ′ ′ FR = ( FRx )2 + ( FRy )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy )2 合力方向
2
力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面), 而不改变对刚体的作用效应。 性质三 保持力偶矩的方向和大小不变（F，d 可变），则 力偶对刚体的作用效应就不变。
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3
工程力学Engineering Mechanics
CH3 平面力偶系
要求掌握的重点： 力矩与力偶的性质； 力偶系的合成与平衡问题；
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1
力矩性质
F O h F′
MO
( )
r F = ±F ⋅ h
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力对矩心之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩 心的位置有关； 力对任一点的矩，不会因该力沿其作用线移动而 改变； 力的作用线通过矩心时，力矩为零； 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
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例题
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。载 荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
q
A B x
解：
在梁上距A端为x的微段dx
上，作用力的大小为q'dx ， 其 中q'为该处的载荷集度 ，由相 似三角形关系可知
l
q′
F
q B
x
A
x q′ = q l
因此分布载荷的合力大小
因为 则得
FBA M2
B
FAB = FBA M2 = 2 M1
D FD
例题
C M2
例 如图所示机构的自重不计。 圆轮上的销子A放在摇杆BC上 的光滑导槽内。圆轮上作用一 力偶，其力偶矩为M1=2kNm 。 图 示 位 置 时 OA 与OB垂直，角α=30o , 且系统 平衡。求作用于摇杆BC上的力 偶的矩 M2 及铰链O，B处的约 束力。
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§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
1、当 F′ ≠ 0, MO = 0 R 结果为主矢
？
2、当 F′ ≠ 0, MO ≠ 0 R
结果为主矢
其中
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M d= O F′ R
Mo = F′d R
F = F′ R R
主矢大小相同 主矢作用点不同
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分布荷载
几种分布荷载：
① 体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部 各点上。例如，构件的自重等。 ② 面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风 压力、雪压力等。 ③ 线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构 件的轴线分布。
1. 荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位(N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
3、当
F′ = 0, MO ≠ 0 R
如何? 若为O1点，如何?
4、当 F′ = 0, MO = 0 R
结果为主矩
结果为平衡
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§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
合力矩定理 通过对简化结果的分析，当主矢和主矩都不为零时，
由第一个图：各力对O点的力矩等于MO， 由第四个图：FR力对O点的力矩也等于MO， 合力矩定理： 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中 各力对同一点的矩的代数和。
CH4 平面一般力系
CH4 平面一般力系
§4-1 工程中的平面一般力系问题 §4-2 力线平移定理 §4-3 平面一般力系向一点简化 §4-4 简化结果的分析 合力矩定理 §4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 §4-6 平面平行力系的平衡方程 §4-7 静定与静不定问题 §4-8 物体系的平衡
Fˊ R x
⇔
F2
⇔ Fˊ
2
平面汇交力系 平面力偶系
F1′ = F1，F2′ = F2，⋅ ⋅，Fn′ = Fn ⋅ M 1 = M O ( F1 )，M 2 = M O ( F2 )，⋅ ⋅ M n = M O ( Fn ) ⋅
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平面一般力系向一点简化的实质是一个平面一般力系变 换为平面汇交力系和平面力偶系
∑F cos( F ′，i ) =
R
x
′ FR
∑F cos( F ′，j ) =
R
y
′ FR
§4-3 平面一般力系向一点简化
2.平面力偶系的合成 (力系对简化中心的主矩)
MO = ∑ M = ∑ MO ( F )
y
O
Fˊ R x
MO
平面力系向作用面内任一点简化为原力系的主矢 和主矩。 主矢的作用线通过简化中心，其大小与方向决定 于原力系各力的矢量和； 主矩作用于原平面，大小等于原力系各力对简化 中心之矩的代数和。
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§4-3 平面一般力系向一点简化
约束给约束物体的约束力实际上是一个分布力，在 平面问题中，它是一个平面任意力系，如图（a）所示。 无论它们是如何分布，根据 力系简化理论，可将它们向A 点简化得一力FA及一力MA， 如图（b）所示，也可表示成 两个分力FAx，FAy的形式，如 图（c），共有三个未知数。
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工程计算中的很多实际问题都可以简 化为平面一般力系来处理。
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10
平面一般力系向一点简化 ?
F1
O
F3
F2
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§4-2 力线平移定理
一、力的移动 1、力沿作用线移动 A
F F
B
F’ F” A F B F”
F’ F F
F= F′
A A
B
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F2
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力线平移定理： 作用在刚体上的力F可以平行移动到刚体内任一点，但必 须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力 F 对平移点之矩.
MB F
A B
F’
B
⇔
dBA
A
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M= Fd = MO ( F )
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平面一般力系向一点简化 变换为平面汇交力系和平面力偶系
Fˊ 1 F1
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Mo= FR ·d
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§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
合力矩定理
平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中 各力对同一点的矩的代数和。 表达式： 证明： 因为 所以
MO(FR)=∑MO(Fi)
MO=∑MO(Fi) , MO =FR·d=MO(FR) MO(FR)=∑MO(Fi) 作用
O
F3 F2
M1 O M2
Fˊ 3
M3
y
O MO
Fˊ R x
⇔
Fˊ 2
⇔
平面汇交力系
′ FR = ∑ F ′ = ∑ F
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平面力偶系
MO = ∑ M = ∑ MO ( F )
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§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
平面一般力系的简化结果分析： （1）FRˊ= 0，MO≠ 0； （2）FRˊ≠ 0， MO= 0； （3）FRˊ≠ 0， MO≠ 0； （4）FRˊ=0，MO=0。 MO
用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分 别平移到轮心，由此说明图中的力对轮子的 外效应有何不同
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§4-3 平面一般力系向一点简化
3．固定端约束及其约束力 在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端） 支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物 体既不能移动也不能转动。其力学模型如下图所示。
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§4-2 力线平移定理
2、力线平移
F F
A B
⇔ ?
A
B
⇔
F’
F= F′ B
F
A
⇔
MB rBA
A
F’
B
F”
力线平移定理 力线平移定理
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{F}A ⇔{F', MB}B, F' = F, MB = rBA ×F
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§4-2 力线平移原理
力线平移定理： 作用在刚体上的力F可以平行移动到刚体内任一点， 但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对平移 点之矩.
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分布荷载
(2) 非均布荷载：荷载集度不是常数。 如坝体所受的水压力等。
该分布荷载是三角形分布的，其合力 大小为三角形的面积，作用线在距底边2/3处。
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§4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件