2019年春八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形19.1.2第1课时矩形的判定练习新版华东师大版

课时作业(三十一)
[19.12. 第1课时矩形的判定]
一、选择题
1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是链接听课例3归纳总结()
图K－31－1
A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BD
C．AB＝BC D．AC⊥BD
2．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有()
A．2个B．3个
C．4个D．5个
3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是()
A．AD⊥CD B．AD＝CD
C．AC⊥BD D．AC＝BD
K－31－2
K－31－3
4．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN ∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是()
①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
A．①②B．①④
C．①③④ D．②③④
二、填空题
5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.请你添加一个条件：__________，使四边形DBCE是矩形．
K－31－4
图K－31－5
6．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD＝6 cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，▱ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________.链接听课例1归纳总结
图K－31－6
7．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.
三、解答题
8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
图K－31－7
9.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF ∥BC.
求证：四边形BCEF是矩形.链接听课例2归纳总结
图K－31－8
10．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，四边形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．
图K－31－9
11．2017·徐州如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO 并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.链接听课例1归纳总结
图K－31－10
12．2018·青岛如图K－31－11，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
图K－31－11
动点探究如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P和Q 分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当t为何值时，四边形APQD为矩形？
图K －31－12 详解详析
【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] B
3．[答案] C 4.[答案] B 5．[答案] EB ＝DC(答案不唯一) 6．[答案] 90° 矩形 48 cm 2
7．[答案] 6
8．证明：∵E 是OA 的中点，G 为OC 的中点， ∴OE ＝12OA ，OG ＝12
OC.
∵在矩形ABCD 中，OA ＝OC ，∴OE ＝OG. 同理OF ＝OH ，
∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵OE ＝12OA ，OG ＝1
2OC ，
∴EG ＝OE ＋OG ＝12AC.
同理FH ＝1
2
BD.
又在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，∴EG ＝FH ， ∴四边形EFGH 是矩形．
9．证明：∵EF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°，
∴∠CEF＝90°.
∵∠A＝∠ABF，∴BF∥AC，
∴∠CBF＝180°－∠C＝90°，
∴四边形BCEF是矩形．
10．解：∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠BCD＝90°.
∵∠B和∠BCD互补，∴∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.
∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
而∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.
又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝CE，
∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.
∵四边形ABCD的周长为32 cm，AD＝AE＋DE，
∴2(AE＋AE＋4)＝32，解得AE＝6(cm)．
11．[解析] (1)先根据A.A.S.证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；
(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，
∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.
∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，
∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.
又∵BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)100
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.
∵G为AD的中点，∴AG＝DG.
又∵∠AGF＝∠DGC，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF＝CD.
又∵AB＝CD，∴AB＝AF.
(2)四边形ACDF为矩形．
证明：∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.
又∵AG＝AB，AB＝AF，
∴AG＝AF，
∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.
∵AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ACDF为平行四边形，
∴AD＝2AG，CF＝2FG，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF为矩形．
[素养提升]
[解析] 若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只需AP＝DQ.
解：根据题意，当AP＝DQ时，
由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．
又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．
∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.
又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，
∴当t为4 s时，四边形APQD为矩形．。