二元一次不等式组表示的平面区域
课程资料：二元一次不等式(组)表示的平面区域
3.点 P（1,-1）在直线y=ax＋b的上方,则a,b满足的 关系式:（ B ） A. a＋b>-1 B. a＋b<-1 C. a＋b>1 D. a－b<-1
7.确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a，
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形，则 a 的取值范围是（ C ）
Ａ． a 5
Ｂ． a≥7
Ｃ． 5≤a 7
Ｄ． a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示 的区域．
[解] 原不等式等价于
①xx－＋y2＋y＋4＞1＞0.0， 或
• §3.3.1二元一次不等式（组） 表示的平面区域
那么：x – y < 6或x – y形？
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分，这与 x y ()6
有什么关联呢？
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x－y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系．
解：设需要 x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如
(3)
二元一次不等式(组)与平面区域 课件
|AB|＝|3×1＋－32×－1＋6|＝ 122.
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.
(2)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【思路分析】
原不等式等价于
y＞2x－3 y≤3.
而求正整数解，则意味着x，y还有限制条件，即求：
xy＞ ＞00 y＞2x－3，
y≤3
的整数解．
例3 画出不等式组2x＋x＋2yy－－51≤＞00 ，所表示的平面区域． y＜x＋2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．
【解析】 先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将 直线画成虚线，∵0＋0－1<0，∴原点在它的相反区域内．
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点．
探究5 充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件 的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格 的形式列出限制条件．
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资
源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则 ①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域． ②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
思考题1 (1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x－2y＝0的斜率为
1 2
，排除C、D.又大于0表示直
线右侧，选B.
【答案】 B
(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的
【解析】 如图，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3)，共五组．
3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域
我的记录空间：
3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域
一、学习目标
1.掌握二元一次不等式组表示的平面区域；
2.掌握化归与数形结合的思想方法。
教学重点、难点：二元一次不等式组表示的平面区域
二、课前自学
二元一次不等式4x+y ≤10表示的区域是直线4x+y=10及直线的下方的平面区域，那么不等式组410
4320x y x
y +≤⎧⎨+≤⎩表示怎样的几何意义？
画出不等式组410
4320x y x
y +≤⎧⎨+≤⎩表示的平面区域。
变题：（1）加上约束条件0,0x y ≥≥，画出所表示的平面区域。
（2）加上约束条件0,0x y ≥≥，求所表示的平面区域的面积。
（3）加上约束条件0,0x y ≥≥，求所表示的平面区域内的整点个数。
归纳：不等式组表示的平面区域化归为各个不等式所表示的区域的交集。
三、问题探究
例1、画出下列不等式组所表示的平面区域：
（1）2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ （2）0
04380
x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩
思考：如何寻找满足例1（2）中不等式组的整数解？
我的记录空间： 20y x -≤⎧。
二元一次不等式组知识点讲解及习题
第三节：二元一次不等式组与简单的线性规划1、二元一次不等式表示的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
注意：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）2、二元一次不等式组表示的区域：二元一次不等式表示平面的部分区域，所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。
（二元一次不等式表示的区域）例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表示的平面区域。
（点的分布）例2、已知点P(x 0,y 0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则( ) A 、3x 0+2y 0>0 B 、3x 0+2y 0<0 C 、3x 0+2y 0>8 D 、3x 0+2y 0<8（跟踪训练）已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24 C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 24（二元一次不等式组表示的平面区域） 例3、画出不等式组表示的区域。
（1） （2）⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x xy ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x(已知区域求不等式)例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。
（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表示为（已知不等式组求围成图形的面积）例5、求不等式组3,0,20xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,x yx yx yy->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点个数（绝对值不等式的画法）例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。
23二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域教学目标 班级______ 姓名____________1.能用平面区域表示二元一次不等式组.2.能从实际情景中抽象出二元一次不等式组.教学过程一、二元一次不等式的性质及应用.1.二元一次不等式的性质.（1）对于直线0=++C By Ax 同一侧的任意两点，把它们的坐标),(y x 代入C By Ax ++，所得值符号相同.举例：若),(11y x 和),(22y x 在直线0=++C By Ax 的同侧，则0))((2211>++++C By Ax C By Ax ，简称：同侧同号.（2）对于直线0=++C By Ax 两侧的任意两点，把它们的坐标),(y x 代入C By Ax ++，所得值符号相反.举例：若),(11y x 和),(22y x 在直线0=++C By Ax 的异侧，则0))((2211<++++C By Ax C By Ax ，简称：异侧异号.2.利用二元一次不等式的性质求参数的值.例1：已知点)1,3(A 和)6,4(-B 在直线023=+-ay x 的异侧，求a 的取值范围.练习1：已知点)2,1(-P 及其关于原点的对称点均在不等式012>++by x 表示的平面区域内，求b 的取值范围.二、二元一次不等式组表示的平面区域.1.画二元一次不等式组所表示平面区域的注意事项.（1）二元一次不等式组要求各二元一次不等式同时成立.所以，作图时取各不等式区域的公共部分（求“交”）.（2）作图要规范，误差难免，但相对位置一定要准确.画图时，最好找一些特殊点，如直线与坐标轴的交点.10≤≤x例2：画出不等式组 10≤≤y ，表示的平面区域.1≤+y x05≥+-y x练习2：画出不等式组 01>++y x ，表示的平面区域.3≤x2.含绝对值的不等式表示的平面区域的作法.（1）分类讨论，去绝对值.把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式.（2）一般采用分象限讨论的方法：第一象限：0,0≥≥yx ； 第二象限：0,0≥≤yx ； 第三象限：0,0≤≤yx ； 第四象限：0,0≤≥yx . （3）利用对称性可避免对绝对值的讨论:在方程0),(=y x f 或不等式0),(>y x f 中，若将x ，y 换成x -，y -，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于y ，x 轴对称. 举例：对于不等式01||≥-+y x ，将y 换成y -，不等式不变.则不等式01||≥-+y x 所表示的图形关于x 轴对称.例3：画出不等式01||≥-+y x 表示的区域.练习3：画出不等式1||||≤+y x 表示的区域.反思 _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________。
寻求二元一次不等式(组)所表示的平面区域的方法
寻求二元一次不等式（组）所表示的平面区域的方法东北师范大学 熊明军 大连理工大学 曾玲莉简单线性规划问题是高考必考知识点，而其基础在于研究二元一次不等式（组）所对应的平面区域．下面介绍一些方法来快速准确地确定二元一次不等式（组）所表示的平面区域．方法一：直线定界，特殊点定域找出一个二元一次不等式（组）在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是：①画直线②取特殊点③代值定域④求公共部分①画直线──作出各不等式对应方程表示的直线（原不等式带等号的作实线，否则作虚线）；②取特殊点──平面直角坐标系内的直线要么过原点，要么不过原点；当直线过原点时我们选取特殊点或（坐标轴上的点），当直线不过原点时我们选取原点做特殊点；③代值定域──将选取的特殊点代入所给不等式：如果不等式成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在的区域；如果不等式不成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边．④求公共部分──不等式组所确定的平面区域，是各个二元一次不等式所表示平面区域的公共部分．例1 画出不等式组所表示的平面区域．解析：①画直线：不等式对应的直线方程是；不等式对应的直线方程是；在平面直角坐标系中作出直线与（如图）．②取特殊点：直线过原点，可取特殊点；直线不过原点，可取特殊点．③将代入，即，不等式不成立，直线另一侧区域就是不等式所表示的平面区域；将代入，即，不等式成立，则原点所在区域就是不等式所表示的平面区域．（图一）④求公共部分：如图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域．方法二：法向量判定法由平面解析几何知识知道直线（不同时为0）的一个法向量为．以坐标原点作为法向量的始点，可以利用向量内积证明如下结论：（1）不等式（），不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域；（大于同向）（2）不等式（），不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域；（小于反向）例2画出不等式组所表示的平面区域．解析：①不等式对应的直线方程是，法向量；不等式对应的直线方程是，法向量；在平面直角坐标系中作出直线与及其相应的法向量（如图）．②由于不等式（），平面区域是法向量指向的区域（图一）；不等式（），平面区域是法向量反向的区域（图二）．③然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域．方法三：未知数系数化正法直线（不同时为0）含有两个未知数，于是我们可以将未知数的系数分为两类：项系数与项系数来研究．（1）项系数化正法：顾名思义就是利用不等式性质，不等号两边同时（移项）将项系数化为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置（规定：轴正方向所指的区域为直线的上方；反之为下方）有结论：项系数正值化：上；下．例3画出不等式组所表示的平面区域．解析：①不等式对应的直线方程是；不等式对应的直线方程是；在平面直角坐标系中作出直线与（如图）．②将不等式组中每个不等式项系数正值化，得或（移项）．③关于的不等式（）即（或者），直线上方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图一）；关于的不等式（）即，直线下方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图二）．④然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域．（2）项系数化正法：同（1）一样，不等号两边同时（或移项）将项系数化为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置（规定：轴正方向所指的区域为直线的右方；反之为左方）有结论：项系数正值化：右；左．可结合例3来对项系数化正法进行理解．上述方法中，方法一是寻找二元一次不等式所表示的平面区域的常规方法，思维回路较长，适合对理论的学习，但要快速准确地解决简单的线性规划问题就必须掌握方法二或方法三中之一．2011-05-04 人教网。
数学讲义：第3章 3.5 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 Word版含答案(1)
3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域1．二元一次不等式的概念我们把含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，称为二元一次不等式．2．二元一次不等式组的概念我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组．3．二元一次不等式(组)的解集概念满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．4．二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0.②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.(2)在直角坐标平面内，把直线l ：ax ＋by ＋c ＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．(3)①对于直线ax ＋by ＋c ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y )代入ax ＋by ＋c 所得的符号都相同．②在直线ax ＋by ＋c ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由ax 0＋by 0＋c 的符号可以断定ax ＋by ＋c >0表示的是直线ax ＋by ＋c ＝0哪一侧的平面区域．5．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．1．由不等式3x ＋2y ＋6≤0表示的平面区域(阴影部分)是( )D [把(0,0)点代入3x ＋2y ＋6≤0中可知6≤0不成立，即(0,0)不在3x ＋2y ＋6≤0所表示的平面区域内，结合直线过点(0，－3)和(－2,0)可知D 正确．]2．以下各点在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的是____________． ①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．①②③ [将点的坐标代入，只有①②③满足上述不等式．3．已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m >－12 [因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.](1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.[解](1)画出直线x－2y＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax＋By＋C＝0，取点代入Ax＋By＋C验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．1．(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________． (2)画出不等式2x ＋y －4>0表示的平面区域．[解] (1)由截距式得直线方程为x 2＋y1＝1， 即x ＋2y －2＝0.因为0＋2×0－2<0，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式x ＋2y －2<0表示．(2)先画直线2x ＋y －4＝0(画成虚线)．取原点(0,0)代入，得2x ＋y －4＝2×0＋0－4＝－4<0，所以不等式2x ＋y －4>0表示的区域是直线2x ＋y －4＝0右上方的平面区域，如图中的阴影部分所示．(1)⎩⎨⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0；(2)⎩⎨⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.[解] (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；x≥0表示y轴及其右边区域；y≥0表示x轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域．综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．1．不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：(1)画线；(2)定侧；(3)求“交”；(4)表示．2．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域． [解] 此不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0.分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．1．若点P (1,2)，Q (1,1)在直线x －3y ＋m ＝0的同侧，如何求m 的取值范围？ [提示] 直线x －3y ＋m ＝0将坐标平面内的点分成三类：在直线x －3y ＋m ＝0上的点和在直线x －3y ＋m ＝0两侧的点，而在直线x －3y ＋m ＝0同侧点的坐标，使x －3y ＋m 的值同号，异侧点的坐标使x －3y ＋m 的值异号．故有(1－3×2＋m )(1－3×1＋m )>0，即(m －5)(m －2)>0，所以m >5或m <2.2．不等式组⎩⎨⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的区域是什么图形？你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？[提示] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC ，该三角形的面积为S △ABC＝12×6×3＝9.若该图形不是规则的图形，我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．3．点(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)在不等式组⎩⎨⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？[提示] 若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等式组表示的平面区域内．经代入检验可知，在(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)中只有点(2,1)在不等式组表示的平面区域内．在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x ＝1，则不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧y >1，y <1，1<4，显然该不等式组无解；再令x ＝2，则原不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧y >0，y <2，2<4，则0<y <2，又因为y ∈Z ，故y ＝1，所以x＝2时只有一个整点．同样方法x ＝3时，有(3,0)，(3,1)，(3,2)三个整点在该区域内；x ＝4时在该区域内没有整点．总之在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的平面区域内，共有4个整点．当然，也可在作图时，利用打网格线的方法寻求．【例3】已知不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，4x ＋3y ≤12.(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求不等式组所表示的平面区域的面积； (3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．[思路探究] (1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？[解] (1)不等式4x ＋3y ≤12表示直线4x ＋3y ＝12上及其左下方的点的集合；x >0表示直线x ＝0右方的所有点的集合；y >0表示直线y ＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图①所示．(2)如图①所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S ＝12×4×3＝6.(3)当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤8 3，∴整点为(1,2)，(1,1)．当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤4 3，∴整点为(2,1)．∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)．如图②.1．在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键．2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．[解]设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．1．本节课的重点是二元一次不等式表示的平面区域的判定，难点是二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．2．本节课要掌握的规律方法(1)二元一次不等式(组)表示平面区域的确定方法． (2)求二元一次不等式组所表示的平面区域面积的方法．3．本节课的易错点为：画平面区域时，注意边界线的虚实问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次不等式x ＋y >2的解有无数多个．( )(2)二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合．( ) (3)二元一次不等式组中的每个不等式都必须是二元一次不等式．( ) [解析] (1)√.因为满足x ＋y >2的实数x ，y 有无数多组，故该说法正确． (2)√.因为二元一次不等式(组)的解为有序数对(x ，y )，有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．故该说法正确．(3)×.因为在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为二元一次不等式组． [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．下面给出的四个点中，位于⎩⎨⎧x ＋y －1＜0，x －y ＋1＞0表示的平面区域内的点是 ( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0) C [依次将A ，B ，C ，D 四个选项代入验证即可，只有C 符合条件. ]3．下列说法正确的是________．(填序号)①由于不等式2x －1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域； ②点(1,2)在不等式2x ＋y －1＞0表示的平面区域内；③不等式Ax ＋By ＋C ＞0与Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域是相同的； ④第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示．②④ [①错误．因为不等式2x －1>0虽然不是二元一次不等式，但它表示直线x ＝12右侧的区域．②正确．因为(1,2)是不等式2x ＋y －1>0的解．③错误．因为不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界Ax ＋By ＋C ＝0，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界Ax ＋By ＋C ＝0.④正确．因为第二、四象限区域内的点(x ，y )中x ，y 异号，故xy <0.该说法正确．]4．在平面直角坐标系中，求不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积． [解] 在平面直角坐标系中，作出x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0和x ＝2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分所示，其面积S＝4×2×12＝4.。
线性规划
2．线性规划中的基本概念
名称 约束条件
意义 由变量x，y组成的 不等式(组) . 线性约束 由x，y的 一次 不等式(或方程)组成的不等 式(组) 条件 目标函数 关于x，y的函数 解析式 ，如z＝2x＋3y等
线性目标 函数 可行解
关于x，y的 一次 解析式 满足线性约束条件的解 (x，y) .
意义 所有可行解组成的 集合 . 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的 最优解 可行解 线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题 问题
解析：由题意可得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0， 即(m＋5)(m－10)<0，∴－5<m<10.
答案：C
(2)同号上，异号下 即当 B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的 上方，当 B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的 下方．
1.求目标函数的最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． (3)确定最优解： 在可行域内平行移动目标函数变形后的直 线，从而确定最优解． (4)求最值： 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小 值．
，当我们在坐标系中画不等式 Ax
＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线， 此时边界直线画成 ．
(3) 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点 集的 ， 因而是各个不等式所表示平面区域的 ．
2．线性规划中的基本概念
名称 约束条件 线性约束 条件 目标函数 线性目标 函数 可行解 名称 意义 由变量x，y组成的 .
问题探究： 可行解与最优解有何关系？最优解是否惟一？
高中数学二元一次不等式(组)所表示的平面区域
实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域 [教学目标]1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
[教学重点]用二元一次不等式〔组〕表示平面区域；[教学过程]Jack 准备在2006年德国世界杯期间，一边看球，一边去卖点纪念品。
现在他有本钱1000美元，准备投入去购买单价50美元球衣和单价20元足球纪念品，希望使足球纪念品，球衣的总数尽可能多，但足球纪念品数量不多于球衣数量1.5倍，那么Jack 买足球纪念品和球衣各多少才行？一般实际问题的求解步骤如下表：你有．．遇到什么难题了吗？．．．．．．．．．设：．．球衣x 件，足球纪念品y 只，总和为S 1.5502010000,0,y x x y x y x y N≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩ S=x+y 学生此时应该到第三步，无法解决数学模型的解！二元一次不等式所表示的平面区域对于像上面这样有两个参量控制的取值X 围问题，我们都可以用下面的几何方法来求解。
第一步：研究出问题的约束条件，确定数对〔x,y 〕的X 围第二步：在第一步所得到的数对〔x,y 〕的X 围中，通过图形的方法，找出所求问题达到最大数对的〔x,y 〕我们不妨来画出其中一个32y x ≤练一练〔113x + 〔3〕260y +< 小结：一般地，直线y=kx+b 把平面分成两个部分： __________________________________________________________想一想请根据上面所画的图象时所得到的规律，完成下表B>0 表示的区域是直线0Ax By C ++= B<0 表示的区域是 直线0Ax By C ++= 0Ax By C ++> 0Ax By C ++>0Ax By C ++< 0Ax By C ++<请体会你在研究上面新的问题的过程中，用到了什么样的思想？〔化归〕大家有没有发现判断二元一次不等式所表示的平面区域问题，我们可以有新的方法了???〔由上面规律的总结，发现特殊点法〕如果有这样一个二元一次不等式组变化 1.550201000y x x y ≤⎧⎨+≤⎩如何表示出它的几何意义？我们在必修2中，学过曲线与方程的思想，它有这样两句话 〔1〕以方程0Ax By C ++=的解x,y 为横、纵坐标的点(x,y)都在直线0Ax By C ++=上 〔2〕直线0Ax By C ++=上的任一点〔x,y 〕的横、纵坐标值都是方程0Ax By C ++=的解 那么请你试描述一个关于不等式与曲线的关系 见必修5的教学参考书再变化1.5502010000,0y xx yx y≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，那么又有什么变化？？再再变化1.5502010000,0,y xx yx yx y N≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩那么又有什么变化？？？如果问题现在倒过来怎么办呢？倒过来：如果给出阴影，如何用不等式表示！小结：我们今天学习了：______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ____作业：书P78页练习4，5 80页1，2，3，4！并阅读P88页上的第7题的阅读题，并写下你的感受！。
二元一次不等式组表示的平面区域
第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域学习目标 1.理解并会画二元一次不等式组表示的平面区域.2.能把一些常见条件转化为二元一次不等式组.3.能把实际问题中的约束条件抽象为二元一次不等式组.知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域1.因为同侧同号，异侧异号，所以可以用特殊点检验，判断Ax ＋By ＋C >0的解集到底对应哪个区域.当C ≠0时，一般取原点(0,0)，当C ＝0时，常取点(0,1)或(1,0).2.二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集. 知识点二 可化为二元一次不等式组的条件思考 我们知道x (x －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －1<0.那么(x ＋y )(x －y ＋1)≥0等价于什么？答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －y ＋1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ＋1≤0.梳理 (1)涉及由两个二元一次不等式相乘构成的不等式：可依据同号或异号分情况转化为两个不等式组，然后把两个不等式组表示的平面区域合并起来，即得到原不等式表示的平面区域. (2)含绝对值的不等式：分情况去掉绝对值，转化为等价的不等式组，再用平面区域表示. 知识点三 约束条件思考 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元.那么x 和y 应满足哪些不等关系？ 答案 分析题意，我们可得到以下式子 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25 000 000，12x ＋10y ≥3 000 000，x ≥0，y ≥0.梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制，这些限制就是所谓的约束条件. 像“思考”中的“用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元”称为决策变量.要表达约束条件，先要找到决策变量，然后用这些决策变量表示约束条件.1.在平面直角坐标系中，⎩⎨⎧x >0，y >0表示的平面区域为第一象限，x >0或y >0表示的平面区域为第一、二、四象限及x ，y 轴的正半轴.(√)2.y >|x |等价于⎩⎨⎧x ≥0，y >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >－x .(√)类型一 二元一次不等式组表示的平面区域例1 用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 的解集.考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解 不等式y <－3x ＋12，即3x ＋y －12<0，表示的平面区域在直线3x ＋y －12＝0的左下方；不等式x <2y ，即x －2y <0，表示的是直线x －2y ＝0左上方的区域.取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.反思与感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示.但要注意是否包含边界.跟踪训练1 画出下列不等式组所表示的平面区域.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解 (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x ＋y ≤3，即x ＋y －3≤0，表示直线x ＋y －3＝0上及左下方的区域；x ≥0表示y 轴及其右边区域； y ≥0表示x 轴及其上方区域.综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示. (2)x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方的区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方的区域.综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示. 类型二 不等式组表示平面区域的应用 例2 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A.1B.－1C.0D.0或1考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 A解析 条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，要使约束条件表示直角三角形区域，直线kx －y ＝0要么垂直于直线x ＝1， 要么垂直于直线x ＋y －4＝0，∴k ＝0或k ＝1. 当k ＝0时，直线kx －y ＝0，即y ＝0，交直线x ＝1， x ＋y －4＝0于点B (1,0)，C (4,0). 此时约束条件表示△ABC 及其内部， 其面积S △ABC ＝12·|BC |·|AB |＝12×3×3＝92≠1.同理可验证当k ＝1时符合题意.反思与感悟 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解，再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解. 跟踪训练2 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________. 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 13解析 由题意可得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3). 则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为△ABC 及其内部.直线y ＝kx ＋1过点A.要把△ABC 分成面积相等的两部分，需过BC 中点M ⎝⎛⎭⎫32，32. 此时k ＝32－132－0＝1232＝13.类型三 可化为二元一次不等式组的问题 命题角度1 乘积类或含绝对值的条件转化 例3 画出不等式x 24－y 2≤0表示的平面区域.考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题 解 x 24－y 2＝⎝⎛⎭⎫x 2－y ⎝⎛⎭⎫x 2＋y ≤0等价于⎩⎨⎧x2－y ≤0，x2＋y ≥0或⎩⎨⎧x2－y ≥0，x2＋y ≤0，其表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)所示.反思与感悟 (1)可以通过等价转化把较新颖的问题化归为老问题.(2)不论(A 1x ＋B 1y ＋C 1)(A 2x ＋B 2y ＋C 2)大于0还是小于0，其表示的区域必为“对顶角”区域，故用特殊点确定区域时只需取一点即可. 跟踪训练3 画出|x |＋|y |≤1表示的平面区域. 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题解不等式|x |＋|y |≤1等价为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，－x －y ≤1，x ≤0，y ≤0，－x ＋y ≤1，x ≤0，y ≥0，∴|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图所示.命题角度2 由实际问题抽象出二元一次不等式组例4 某人准备投资1 200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.考点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40.另外，开设的班数应为自然数，则x ∈N ，y ∈N .把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ∈N ，y ∈N .用图形表示这个限制条件，得到如图阴影部分(含边界)的平面区域.反思与感悟 求解不等式组在生活中的应用问题，首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组.注意隐含的条件，如钢板块数为自然数.跟踪训练4 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式. 考点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，则依题意x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.1.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域 答案 C解析 观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2的上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y >－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)，点(0,3)，故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0,0)在阴影部分内，故可得不等式3x －2y ＋6>0.观察选项可知选C. 2.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( ) A.32＋2 B.－32＋2 C.－5D.1考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 D解析 平面区域如图阴影部分(含边界)所示，易求得A (－2，2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a ).S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1(a ＝－5不满足题意，舍去).3.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________.考点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *4.画出(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域. 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题解 由(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.其表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)所示.1.平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于A >0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，Ax ＋By ＋C >0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面.2.由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及带状域等.3.找约束条件的关键是先找到决策变量，然后准确地用决策变量表示约束条件，并注意实际含义对变量取值的影响.一、选择题1.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域答案 A解析 取原点O (0,0)检验，满足x ＋y －1≤0，故异侧点满足x ＋y －1≥0，排除B ，D.O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C. 2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于( )A.28B.16C.394D.121考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知该区域为等腰直角三角形，其三个顶点的坐标分别为(3，－3)，(3,5)，(－1,1)，所以其面积S ＝12×8×4＝16.3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0，0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题 答案 C解析 在同一坐标系中画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)，代入(x －y ＋5)(x ＋y )中，得(－1＋5)×1＝4>0，可知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形.4.若满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －3)≥0，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为( )A.－1B.3C.－2D.4答案 B解析 不等式组化为⎩⎨⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a ，画出平面区域如图所示，平面区域为△ABC ，△ADE ，A (1,2)，B (a ，a ＋1)，C (a,3－a )，面积为S ＝12(2a －2)(a －1)＋12×2×1＝5， 解得a ＝3或a ＝－1(舍去).5.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，y ≤kx －2表示的平面区域是一个梯形，则实数k 的取值范围是( ) A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2，＋∞) 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 D解析 如图，⎩⎨⎧ 0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域是一个正方形，当直线y ＝kx －2与线段BC (不含端点)相交时，所给区域表示梯形，由图可得k ＞2－(－2)2－0＝2.6.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A.2B.1C.－13D.－12考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得M (3，－1). 此时直线OM 的斜率最小且为－13. 7.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B.(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43D.(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 D解析 不等式组⎩⎨⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43. 8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为( )A.(0,3]B.[－1,1]C.(－∞，3]D.[3，＋∞) 考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 D解析 直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞).故选D.二、填空题9.如图所示的正方形及其内部的平面区域用不等式组表示为________.考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，－1≤y ≤1 10.若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________.考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 平面区域的面积答案 74解析 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.又D (0,1)，B (0,2)，E ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (－2,0). S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝12×2×2－12×12×1＝2－14＝74. 11.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________.考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 ⎣⎡⎦⎤12，4解析 不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43. 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)，且斜率为a .由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4. 若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，由数形结合可得12≤a ≤4. 三、解答题12.已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组的平面区域；(2)求满足不等式组的平面区域的面积.考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解 (1)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎫67，107， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45， 所以满足不等式组的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AFE －S △BFC －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970. 13.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于直线x ＋y＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是多少？考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 平面区域的面积解 P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故直线PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为⎝⎛⎭⎫－k 2，－m 2， ∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎨⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0.它表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，是一个三角形，直线x－y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫－12，12， ∴S ＝12×1×12＝14. 故平面区域的面积为14. 四、探究与拓展14.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[3，＋∞)考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示(包含边界).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9).对于y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上. 当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需a 2≤9，解得1<a ≤3.15.若M (x 0，y 0)是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥8，x ＋y ≤a ，x ≥6(a ≠8)内的一个动点，且x 0＋2y 0≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(8,10]B.(8,9]C.[6,9]D.[6,10] 考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 A解析 不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≥8，x ≥6所表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界).由题意易知a >8，且点(6，a －6)为可行域内边界上一点.由图可知当点(6，a －6)位于直线x ＋2y ＝14上或其左下方时，x 0＋2y 0≤14恒成立，从而有6＋2(a －6)≤14，即a ≤10，所以8<a ≤10.。
二元一次不等式(组)所表示的平面区域
二元一次不等式（组）表示平面区域主备人：审核：使用人：班级：【课题】：二元一次不等式（组）表示平面区域【学习目标】1、了解二元一次不等式（组）的概念，理解其解集的几何意义；2、会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域。
【学习重难点】会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域。
【课前预习案】1、二元一次不等式表示平面区域：一般的，二元一次不等式Ax By C++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=某一侧所有点组成的________________.我们把直线画成_________以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画出不等式0Ax By C++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成___________.2、如何确定二元一次不等式0Ax By C++>（或<0）表示的平面区域？【预习检测】画出不等式组10230x yx y--<⎧⎨--≥⎩表示的平面区域.【课内探究案】一、二元一次不等式表示平面区域例1、画出下列不等式表示的平面区域（1）230x y-->；（2）3260x y+-≤【变式训练】画出二元一次不等式320ax y++≥表示的平面区域，已知点（-1，0）在区域边界上.二、二元一次不等式组表示平面区域例2、画出不等式组表示的平面区域(1)21010x yx y-+≥⎧⎨+-≥⎩(2)232021030x yyx-+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩【变式训练】已知直线ax=2与x-by+1=0的交点为（1，2），试分别画出2a x<与10x by-+≥所表示的平面区域.三、用二元一次不等式组表示实际问题例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨。
如果在此基础上进行生产，设x，y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
二元一次不等式(组)所表示的平面区域知识讲解
（2） 2 y 1 ≥ 0
x 3 ≤ 0
y
3
则它们的交集
2
就是已知不等式
1
组所表示的区域。
-1 O 1
2y+1=0 -1
-2
2x-3y+2=0
23 x-3=0
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料 是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙 种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝 酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐 66吨。如果在此基础上进行生产，设x，y 分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数，请列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。
例1．画出下面二元一次不等式表示的平 面区域：
（1）2x－y－3>0； （2）3x+2y－6≤0.
解：（1）所求的平面区 域不包括直线，用虚线 画直线l：2x－y－3=0，
将原点坐标(0，0)代入 2x－y－3，得
y 2x-y-3=0 2
1
-1 O -1
x 12
-2
2×0－0－3=－3<0，
2x-y-3>0
二元一次不等式的一般形式为 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0，
现在我们来探求二元一次不等式解集 的几何意义。
已知直线l：Ax+By+C=0，它把平面分 为两部分，每个部分叫做开半平面，开半 平面与l的并集叫做闭半平面。
根据直线方程的意义，凡在l上的点的 坐标都满足方程①，而不在直线l上的点 的坐标都不满足方程①。
-1 O -1 -2
x+y-1=0 x 12
这使我们猜想：l同侧的点的坐标是否 使式子x+y－1的值具有相同的符号？要么 都大于零，要么都小于零。
§4 4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表： 例 4 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：
品种 甲 乙 电力/kW·h 电力/kW·h 2 8 煤/t 3 5 工人/ 工人/人 5 2
的用电额度， 该厂有工人 200 人，每天只能保证 160kW ⋅ h 的用电额度，每天用煤 150t,请在直角坐标系中画出每天甲、 不得超过 150t,请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的 产量范围。 产量范围。
每月用餐费最低标准240元 每月用餐费最低标准240元； 240 其他费用最少支出180元 其他费用最少支出180元． 180 可用来支配的资金为500元 可用来支配的资金为500元， 500 如何使用这些钱呢？ 如何使用这些钱呢？
设用餐费为 x 元，其他费用为 y 元， 由题意 x 不小于 240， y 不小于 180， x 与 y 之和不超过 500， ， ，
因为对在直线 Ax+By+ 同一侧的所有点( 因为对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x, y )，把它的坐标 Ax+By+ 所得到实数的符号都相同。 （ x, y ) 代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同。
所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ Ax+By+ (<0)表示直线哪一侧的平面区域 表示直线哪一侧的平面区域. 的正负即可判断 Ax+By+C＞0(<0)表示直线哪一侧的平面区域.
l : x + 2y −3 = 0
， 在 l 上方的平面区域内的任一点的坐标（ x y ）满足不等式
二元一次不等式表示 平面区域
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
二元一次不等式表示平面区域
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
xHale Waihona Puke 二元一次不等式表示平面区域
例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
y
5
x-y+5=0
O
3
x
表示的平面区域。
x=3
二元一次不等式表示平面区域
例3 画出不等式组
x y 6 0 x y 0 y 3 x 5
y 6
x+y-6=0 y=3
3 0 A B 5
C
6
x
表示的平面区域。 x-y=0
x=5
二元一次不等式表示平面区域小结
作业： 习题3-4，108页 3，4，5题。
探索结论
判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
第一讲 二元一次
不等式表示平面区域
人教新课标版数学高二B必修5课件 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学 在前面我们学习了等差数列，其特点是从第2项起，每一 项与它前一项的差等于同一常数，在生活中也常见从第2 项起，每一项与它前一项的比等于同一常数的数列，本节 我们就来研究这类数列.
探究点一 二元一次不等式(组)的有关概念 思考1 不等式x＋y>700,10x＋12y≤8 000有什么特点？ 答 都含有两个未知数，且未知数的最高次数为1.
2x＋y≥15，
x＋2y≥18，
x＋3y≥27，
x≥0， y≥0.
用图形表示以上限制条件，
得到如下图的平面区域(阴影部分).
当堂测·查疑缺
1234
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( D )
A.(0,0)
B.(1,1) C.(0,2)
D.(2,0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中， 其中点(2,0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
(2)y≥－2x＋3. 解 先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线).取原点(0,0)， 代入2x＋y－3，∵2×0＋0－3<0， ∴原点不在2x＋y－3≥0表示的平面区域内， 不等式y≥－2x＋3所表示的平面区域如图所示.
例2 画出下列不等式组所表示的平面区域：
2x－y＋1>0
(1)
，
x＋y－1≥0
(3)不等式表示的区域(也称不等式的 图象 ) 以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的 集合 叫做不等式 表示的区域(或不等式的图象). (4)二元一次不等式组所表示的平面区域是每一个不等式所 表示的平面区域的交集，就是二元一次不等式组所表示的 平面区域.
2.平面区域内的点 直线l：Ax＋By＋C＝0把在坐标平面内不在直线l上的点分 为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的 值具有 相同 的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的 值的符号 相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
是
（C）
A.（0，0）
B.（-1，1）
C.（-1，3）
D.（2，-3）
2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m
的取值范围是 A.m<-5或m>10
（C ）
B.m=-5或m=10
C.-5<m<10
D.-5≤m≤10
PPT学习交流
6
3.设A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}， 则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是
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10
y x=3 x-y+5=0
5
( 5 , 5 ) 22
(3,8)
x y5 0
x
y
0
x 3
-5
O
3
x
(3,-3)
(1)x[5,3],y[3,8]. 2
(2)平面区域内的整点共有
x+y=0 2+4+6+8+10+12=42个.
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11
知能迁移1 如图△ABC中,A(0,1), B(-2,2),C(2,6),写出△ABC区域 所表示的二元一次不等式组.
17
[06广东高考]
x 0,
在约束条件
y y
0, x
s
下，当 3≤s≤5 时，
y 2 x 4
目标函数 z = 3x + 2y 的最大值的变化范围是 D
(A) [6,15]
(B) [7,15] y
(C) [6,8]
(D) [7,8]
4
C(0,s) B(4-s,2s-4)
y+ x= s
巧解二元一次不等式(组)表示的平面区域
４
１
图 ５
ｖ一
、
两个 点 的 上 下 左右 的概 念
４
ｘ ＋ ｌ （ 虚线 ） ， 原不 等式表示 的平面 区域在直线
１ 阴影 部 分 。
在平面直角坐标系 中，两个点在横坐标相同的 条件下 ，纵坐标大 的点在上方 ，纵 坐标小 的点在下
ｙ
图 １
● ．．
。 ） ８ （ ｘ ２ ， Ｙ 】 ） 如 图２ ： 设 点 Ａ（ Ｙ 。 ） ， 点 Ｂ（ ｘ ， Ａ（ Ｙ
Ｙ １ ） ， ｘ ｌ ＜ ｘ ，则说 点Ａ在点 的左边 ， 点 在点Ａ的右边 。
二、 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的平 面 区 域
不等式组的解表示 的平面 区域为它们 的公 共部分 ， 如图８ 阴影部分 。 这样 ，二元一次不等式表示的平面 区域就不难 画出了，它位于相应 的二元一次方程表示的直线的 侧， 至于在哪一侧 ， 一般要把不等式画成相应的斜
一
不等式ｙ ＞ ２ ｘ ＋ ｌ 表 示的平 面 区域 位 于这条直线的上方 ， 如图 中阴影部
方。
例３ 画出下列不等式表示的平面 区域。
（ １ ） ｙ ＋ ３ ＜ ０ （ ２ ） ｘ ＋ ３ ≤０
（ １ ） 解： 原 不等 式化 为 ： ｙ ＜ 一 ３ ， 画 出 直线 ｙ ＝ － ３ ，
・ ４ （ ｌ ， ｙ
；
如 图１ ： 设 点 （ Ｙ ） ， 点 Ｂ（ ｙ ２ ） ， Ｙ ｌ ＞ ｙ ２ ， 则 说 点Ａ 在点Ｂ 的 上方 。
２ ． 两个 点 左 右 的概 念
Ｄ
在平 面直 角坐标系 中， 两 个点 在纵 坐标 相同 的条件下 ， 横坐标大 的点在 右边 ，横 坐标小 的点 在左
高中数学 必修5 25.二元一次不等式组表示的平面区域
25.二元一次不等式组表示的平面区域教学目标 班级______ 姓名__________1.能熟练应用二元一次不等式的性质解决问题.2.能熟练的画出二元一次不等式组表示的平面区域.3.掌握二元一次不等式组表示的平面区域相关的面积计算.教学过程一、二元一次不等式的性质.1.两点同侧：直线同侧的点坐标满足同一不等式.对于直线0=++C By Ax 同侧的任意两点，把它们的坐标代入多项式C By Ax ++，所得的值符号相同；即在直线0=++C By Ax 同侧任取两点),(11y x 、),(22y x ，则有0))((2211>++++C By Ax C By Ax .2.两点异侧：异侧的点满足不同的不等式.对于直线0=++C By Ax 异侧的任意两点，把它们的坐标代入多项式C By Ax ++，所得的值符号相反.即在直线0=++C By Ax 两侧各任取一点),(11y x 、),(22y x ，则有0))((2211<++++C By Ax C By Ax .二、二元一次不等式组表示的平面区域.1.画二元一次不等式所表示的平面区域：（1）特殊点法；（2）标准式法.2.注意事项：（1）画二元一次不等式所表示的平面区域要注意：①是否取等；②取左取右.（2）二元一次不等式组要求各不等式同时成立，作图时取各不等式区域的公共部分.（3）作图要精确，画直线时，尽可能找特殊点（如直线与坐标轴的交点）.三、与二元一次不等式组表示的平面区域相关的面积计算.1.要求面积的区域一般是封闭的区域，面积可求.2.规则图形可直接用面积公式求解：高底三角形⨯⨯=21S ，高下底）（上底梯形⨯+=21S . 3.若平面区域为不规则图形，可将区域分解成几个规则的图形，然后求解.四、例题分析.1.利用二元一次不等式的性质求参数的值.例1：已知点)1,3(A 和)6,4(-B 在直线023=+-a y x 的异侧，求a 的取值范围.练1：已知点)2,1(-P 以及它关于原点对称的点Q 均在不等式012>++by x 表示的平面区域内，求b 的取值范围.2.画二元一次不等式组表示的平面区域.例2：画出不等式组 10≤≤x ，表示的平面区域.10≤≤y ，1≤+y x ，3.面积计算问题.例3：画出不等式组 012≥-+y x ，表示的平面区域，并计算该区域的面积. 052≤-+y x ，2+≤x y ，作业：画出不等式组 05≥+-y x ，表示的平面区域.01>++y x ，3≤x ，。
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
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y x, 3.不等式组 x y 1,，表示的平面区域为D, y 3 点P1 (0, 2), 点P2 (0, 0), 则（ C ）.
真正的真诚必然伴随着平等，平等是友爱的惟
一可靠的基础，而友爱又给平等增添更美丽的
光彩。 —— 葛德文
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种 肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t．现库存磷酸 盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列 出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域． 分析：列表 甲种肥料 乙种肥料 总吨数 磷酸盐t 硝酸盐t 车皮数 4 1
例2
写出由三直线 x y =0， x 2 y 4=0 及 y 2=0
所围成的平面区域(包括边界)所表示的不等式组. y x 2y 4 0 x y 0 解：此平面区域在 x y 0 2 的右下方， x y 0; O 4 y 2 0; 在 y 2=0 的上方， x -2 y+2=0 在 x 2 y 4 0 的左下方，
4x y
18
x
y
15 18x 15 y
解：设x ，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料 的车皮数，于是满足以下条件：
4 x y 10， y 18 x 15 y 66， 10 x 0， 8 y 0. 6
用图形表示以上限 制条件,得到的平面区 域如阴影部分.
组可表示为: x 2 y 4 0, y 2 0.
三 例3
二元一次不等式组表示平面区域的简单应用
要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张 钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:
(3) 对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x, y), 使得 Ax+By+C的符号都相同.
比如,不等式 x-y-2 <0表示直线x-y-2 =0左上方的平面区域:
思考：那么二元一次不等式组
y
4
x y 2 0, x y 4 0.
具有怎样的几何意义呢？
x y20
O
B
x
x3
x y 5 0 5 5 得 A( ， ), 由 2 2 x y 0
x y50
y
x y 0 x y 0 3), 得 B(3 ， A x 3 x y 5 0 O 得 C (3 ， 8). B x 3 x3 | BC | | 8 (3) | 11 ，
O
-2
2
4
x
x y4 0
画二元一次不等式组表示的平面区域时， (1)首先画出各条直线，注意虚实； (2)然后取点确定各不等式表示的区域； (3)最后再确定各不等式表示平面区域的公共部分. 简单地说：“一画线，二定侧，三求交”.
例1
y 3 x 12, 用平面区域表示不等式组 的解集. x 2y
2 x y 15, x 2 y 18, x 3 y 27 , x 0, y 0.
用图形表示以上限 制条件,得到的平面 区域如阴影部分.
y
20 16
12
8 4
M
O
4
8 12 16 20 24 28 30 x
2 x y 15
x 2 y 18
4 2
4 x y =10
18x 15 y =66
O
1
2
3
4
5
x
(x y 5)(x y) 0 1.不等式 表示的平面域是一 组 个（ C ）. 0x3 A.三角形 B.直角梯形 C.梯形 D.矩形
x y 5 ≥ ， 2. 若不等式组 y ≥ a， 表示的平面区域是一个三角 0 ≤ x ≤ 2
钢板类型
规格类型
A规格
B规格 1 2
C规格
第一种钢板
第二种钢板
2
1
1
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块，
用数学关系式和图形表示上述要求．
分析：列表
钢板类型 规格类型
A规格 2
B规格
C规格 1
张数
第一种钢板 第二种钢板
1
2
x 2y
x
y
1
3
成品块数
2x y
x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
(1) 不等式 y kx b表示直线 y kx b上方的平面区域 ； (2) 不等式 y kx b表示直线 y kx b下方的平面区域 ;
直线 x ky b 把平面分成两个区域：
(3) 不等式 x ky b表示直线 x ky b右边的平面区域 ； (4) 不等式 x ky b表示直线 x ky b左边的平面区域 .
5 11 . 点A到直线BC的距离 d | 3 ( ) | 2 2 1 11 121 SABC 11 . 2 2 4
C
x
1.二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元一次
不等式表示区域的公共部分； 2.画不等式组表示平面区域的步骤： 一定线，二定侧，三求交. 3.用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范围.
A. P1 D, P2 D C . P1 D, P2 D
B. P1 D, P2 D D. P1 D, P2 D
解析：把点 P1 (0, 2),点P2 (0,0) 代入验证.
x y 5 0, 4.画出不等式组 x y 0, 表示的平面区域，并求其面积. x 3. 解析：不等式组表示的平面区域如图所示: x y50 y 构成的平面区域为三角形， C x y 0 记作 ABC . A
二元一次不等式组表示 的平面区域
2012. 04. 11
y 通过上一次课的学习，我们知道 O
l : Ax By C 0
x
(1) 二元一次方程Ax+By+C=0将直角坐标平面分成三部分;
(2) 二元一次不等式Ax+By+C>0在直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域;
解:不等式 y 3 x 12 表示直线 y 3 x 12 下方的区域； 1 不等式 x 2 y 表示直线 y x 上方的区域； y 2
取两区域重叠的部分，图中阴影 12 8 4 0
y 3 x 12 1 y x 2
部分就表示原不等式组的解集.
4
8
x
直线 y kx b 把平面分成两个区域：
x
x 3 y 27
用平面区域表示实际问题的相关量的取值范围的基本方法：
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的量用字母表示;
(2)进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来; (3)再由实际问题中有关的限制条件写出所有不等式; (4)再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可.
例4