理论与实务(中级)公式大全-以此为标准修改

质量专业理论与实务（中级）主要公式汇总第一章第二章第三章第四章第五章第六章第一章概率统计基础知识（返回首页）第一节概率基础知识0、统计基础0.1 量计量/计量、离散/计数（计件、计点））总体0.2 四大统计：描述统计、预测统计、推断统计、控制统计0.3描述统计--指标法：均值中位数/极差方差标准差--图形法：直方图--分布；离散分布和连续分布0.4 Ω随机事件(事件：最大子集Ω、最小子集φ)事件关系：包含⊃、不相容、相等=事件运算：对立、交、并、差（用维恩图）运算性质：交换律、结合律、分配律、对偶律1 概率1.1古典概率：有限个样本点n；每个样本出现可能性相同；事件A含有K个样本点，则P（A）=K/n=A中所含样本数/Ω样本点总数1.2 用排列组合计算1.3排列：rP= n（n-1）…（n-r+1）n1.4组合：r n C 或（ n r ）= rn P / r! = n! / r!（n-r ）!1.5 产品共N 个，含不合格品M 个，抽n 个，恰有m 个不合格品的概率。

（1）不放回抽样P （A m ）：P （A m ）= nNmn MN m M C C C -- ，m=0，1，…，r （2）放回抽样P （B m ）：P （B m ）=m nC nmn m NM N M --)(，m=0，1，…，n 1.6 概率性质：（1）非负性：0≤P （A ）≤1 （2）P （A ）+ P （A ）=1（3）若A ⊃B ：P （A-B ）= P （A ）-P （B ），A-B=B A （4）P （A ∪B ）= P （A ）+P （B ）-P （AB ）；若A 与B 互不相容，P （AB ）=0（5）对于多个互不相容事件：P （A 1∪A 2∪A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）1.7 条件概率：P （A|B ）P （A|B ）=()()B P AB P ，（P （B ）>0）1.8 事件交的概率(1)事件A 、B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B) ， P （A|B ）= P(A) (2)事件A 、B 不相容，则P(AB)=0 ， P （A|B ）= P(A) (3)事件A 、B 包含:A ⊃B ：则P(AB)= P(B)第二节 随机变量及其分布(总体)2.1 随机变量分布的均值E （X ）、方差Var （X ）与标准差σ（X ）∑i x i p i ，X 是离散分布（1）均值 E （X ）=()⎰b adx x xp ，X 是连续分布∑i[x i -E （X ）]2p i ，X 是离散分布（2）方差Var （X ）=()()⎰-badx x p X E x 2][，X 是连续分布（3）标准差σ=σ（X ）=()X Var 2.2、随机变量分布的运算（1）E(aX+b)=aE(X)+b ，Var(aX+b)=a 2Var(X)（2）E(X 1+X 2)= E(X 1) +E(X 2) （3）条件：X 1与X 2相互独立Var(X 1±X 2)= Var(X 1)+ Var(X 2)σ(X 1+X 2)= X2)Var(X1+=Var(X2) Var(X1)+2.3、二项分布 b(n,p)：（n=1,两点分布）P （X=x ）=x n C P x （1-P ）n-x ，x=0，1，…，n E （X ）=np ； Var （X ）=np （1-p ）2.4、泊松分布 P(λ)：P （X=x ）=!x x λe λ-，x=0，1，2，…E （X ）=λ； Var （X ）=λ2.5、超几何分布 h(n,N,M)：P （X=x ）= nNx n MN x M C C C -- ，m=0，1，…，r E （X ）=NnM ；Var （X ）=()1--N n N n N M （1-N M）2.6、正态分布 N(μ,σ2)：P(x)=σ∏21e()222_σμ-x ，-∞<x<∞2.7、标准正态分布N(0,1)：P(x)=∏21e2_2x ， -∞<x<∞针对标准正态分布：x →u ，p(x)→φ(u)，F(x)→Φ(u) （1） P(u ≤a)=Φ(a)； P(u>a)=1-Φ(a)；Φ(-a)=1-Φ(a)； P(a ≤u ≤b)=Φ(b)-Φ(a) P(|U|≤a)= 2Φ(a)-1 （2）X ～N(μ，σ2)，则U=σμ-X ～N(0，1)P(X ≤b)= Φ(σμ-b ) P(X>a)=1-Φ(σμ-a )P(a<X<b)= Φ(σμ-b )-Φ(σμ-a )2.8、均匀分布 U(a,b)：ab -1，a<x<b p （x ）=0 ，其他E （X ）=（a+b ）/ 2；Var （X ）= ()122a b -；F(X)=ab a x --2.9、对数正态分布： 记正态分布的均值为μy ，方差为σ2y ；对应的对数正态分布的均值为μx ，方差为σ2x 。

Y=lnX P(X<a)= Φ(yya σμ-ln )μx =E （X ）=exp{μy +σ2y /2}σ2x =Var （X ）=μ2x {exp （σ2y ）-1}2.10、指数分布 EXP(λ)：λe x λ-， x ≥0 p （x ）=0，x<0E （X ）=1/λ；Var （X ）=1/λ2；F(X)=1- e x λ- 2.11 中心极限定理：若X ～N(μ，σ2)， 则x ～N(μ，σ2 / n(σx ))若X 不服从N(μ，σ2)，则当n ≥30时， 则x ～N(μ，σ2 / n)第三节 统计基础知识(样本)3.1、样本集中位置的统计量（1）样本均值x ：x n1=∑=ni ix1（2）样本中位数Me ：x （21+n ），当n 为奇数Me=21[x （2n ）+x （2n +1）]，当n 为偶数（3）样本众数Mod ：样本中出现频率最高的值。

3.2、样本分散程度的统计量 （1）样本极差R ：R=X （max ）-X （min ） （2）样本方差S 2：S 2=11-n ∑=ni 1（x i -x ）2=11-n [∑=ni 1x 2i -n x 2 ]= 11-n [∑=ni 1x 2i -nXi n i 21⎪⎭⎫⎝⎛∑=]（3）样本变异系数c v ：c v =xs3.3、三大抽样分布（1）方差未知时，正态均值的x 的分布—t 分布：当σ已知时，nx /σμ-～N （0，1） 当σ未知时，ns x /μ-=()()∑---211X X n x n i μ～t （n-1）（2）正态样本方差的s 2的分布—2χ的分布()221σs n -=()∑--ni iXX122σ～2χ（n-1）（3）两个独立的正态样本方差之比的分布—F 分布x 1，x 2，…，x n 来自N(μ1，σ2)，样本方差S 12 y 1，y 2，…，y m 来自N(μ2，σ2)，样本方差S 222221s s =()()∑∑------m i i ni i Y Y m XX n 12121111～F （n-1，m-1）第四节 参数估计4.1、点估计（1）对任何总体，样本均值x 是总体均值μ的无偏估计，样本方差S 2是总体方差σ2的无偏估计。

（2）正态总体参数的估计正态均值μ的无偏估计为样本均值x 和样本中位数x ~正态方差σ2的无偏估计为样本方差S 2正态标准差σ的无偏估计为R/d 2或S/C 4 4.2、区间估计正态总体均值、方差、标准差的1-α置信区间 （表示此区间覆盖住参数真值的面积或概率为1-α）4.3、比例p 的1-α置信区间（由二点分布及u 变量而得）x ±u 1-α/2()n x x /1-第五节 假设检验5.1 假设检验的基本步骤（1） 建立原假设及备择假设 （2） 构造检验统计量 （3） 确定拒绝域W （4） 判断5.2、单个正态总体均值μ，方差σ2的检验5.3 有关比例p 的假设检验（由二点分布及u 变量而得）u=()np p p x /1--近似服从N （0，1）例：一批产品有100000支烟，每支烟要求的圆周直径是5±0.1，现要解决以下问题：（1）这批烟的平均直径是多少？（2）这批烟的平均直径范围是多少？假设置信水平α=0.05 (3) 这批烟不合格率是多少?(4) 这批烟不合格率范围是多少? 假设置信水平α=0.05(5) 生产车间声称这批烟的平均直径为5，假设设置信水平α=0.05，是真的吗第二章 常用统计技术 （返回首页）第一节 方差分析1、单因子方差分析（重复试验次数相等） 单因子A ，水平数r ，每个水平重复m 次试验（1）总离差平方和：S T =()211∑∑==-r i mj ij y y =∑∑==r i mj ij y 112)(rmy r i mj ij 211)(∑∑==-，自由度：f T =n-1=rm-1因子离差平方和：S A =()∑=-r i i y y m 12=∑∑∑∑====-r i r i mj ij mj ij rmy y m121121)()(1 ，自由度：f A =r-1误差离差平方和：S e =()211∑∑==-r i mj i ij y y =S T -S A ， 自由度：f e =f T -f A =r(m-1)MS A =S A / f A ，MS e =S e / f e ，F= MS A / MS e若F>F 1-α(f A ，f e )，则认为因子A 在α水平上是显著的。

（2）每个水平下均值估计值：i μˆ=i y ， 方差估计：2ˆσ= MS e = S e / f e （3）未告诉原始数据ij y ，给出r 个水平下的重复试验次数m ，数据均值i y 与标准差i S ，则S A =m )(21i ri y ∑=-21)(i r i y r m ∑=，S e =(m-1)∑=ri i S 12)(2、单因子方差分析（重复试验次数不相等）单因子A ，水平数r ，第i 个水平下重复i m 次试验，记∑==ri i m n 1，公式同理可得：（从原始公式推导即可得）总离差平方和：S T =∑∑==r i m j ij iy 112)(ny r i m j ij i211)(∑∑==-，自由度：f T =n-1因子离差平方和：S A =∑∑∑∑====-r i ri m j ij m j ij iny y m ii121121)()(1 ，自由度：f A =r-1误差离差平方和：S e =S T -S A ， 自由度：f e =n-r第二节 回归分析3、相关系数：()()()()yyxx xy iii iL L L y y x x y y x x r =----=∑∑∑22()()∑∑∑∑-=--=n y x y x y y x x L i i i i i i xy /))(()(()∑∑∑-=-=n x x x x L iiixx /)()(222()∑∑∑-=-=n y y y y L iiiyy/)()(222拒绝域为：{()}22/1-〉=-n r r W α （当r 满足此条件时，表明x 与y 具有线性相关关系，也即一元回归方程有意义） 4、一元线性回归方程：bx a y+=ˆ xx xy L L b /=，x b y a -=5、回归方程的显著性检验（方差分析）：总离差平方和S T 、回归平方和S R 、残差平方和S E 及其自由度 S T =L yy ，S R =bL xy ，S E =S T -S R f T =n-1，f R =1，f E =f T -f R =n-2，F=EE RR f S f S // 若F>F 1-α(f R ，f E )，认为一元线性回归方程有意义。