第17讲 解斜三角形(学生)

解斜三角形
班级______姓名______学号______
主要知识：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角比的定义）
sin A ＝cos B ＝
c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b
a。

2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R C
c
B b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：
（1）S ＝
21ah a ＝21bh b ＝21
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2
1
ac sin B ；
（3）S ＝2R 2sin A sin B sin C 。

（R 为外接圆半径）
（4）S ＝R
abc
4；
（5）S 1()2p a b c ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
；
（6）S pr =。

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。

解斜三角形的主要依据是：
设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

（1）角与角关系：A +B +C = π；
（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：
正弦定理
R C
c
B b A a 2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）
； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ；
它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b
a
B A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=。

5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的
特点。

（1）角的变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。

（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠
B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。

练习题： 一、填空题：
1、 在ABC ∆中，已知8,6ABC a b S C ∆===∠且=
2、 已知ABC ∆中，2b a ==，则角A 的取值范围是
3、 已知∠A 为锐角三角形的一个内角，且1
lg(1sin ),lg
1sin A m n A
+==-，则lgcos A
的值是
4、 在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 2
2
2
++=，则=∠A 5、 在△ABC 中，若AB =2, BC =5，面积S △ABC =4，则sin
2
B
＝ 6、 在△ABC 中，若AB =3, AC =1，且∠B =30°，则△ABC 的面积等于 7、 等腰三角形顶角的余弦为
25
7
，则底角的正弦值为 8、 一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另
一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝
9、 半径为1的圆内接三角形的面积为
4
1
，则abc 的值为____ ____ 10、 在△ABC 中， a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b =2a , B =A ＋60°,则A ＝__________ 二、选择题：
11、在△ABC 中，若a =3＋1，b =3－1，c =10，则△ABC 的最大角的度数是（ ） （A ）120° （B ）90° （C ）60° （D ）150°
12、在ABC ∆中，已知060,2,6===A b a 则符合条件的三角形的个数有 （ ）
A ．2个 B.1个 C.0个 D 无数个 13、在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则
C
B A c
b a sin sin sin ++++等于 ( )
A ．33
B ．
3392 C ．
33
8
D ．
2
39
14、在△ABC 中，若
cos cos sin a b c
A B C
==，则这个三角形的形状是 （ ） （A ）等腰直角三角形 （B ）钝角三角形
（C ）锐角三角形 （D ）直角或锐角三角形 三、解答题：
15、锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，又角A 、B 满足2sin(A ＋B )
－3=0，求角C 的大小，边c 的长度，及△ABC 的面积。

16、已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=10，3
4
cos cos ==a b B A ， 求a b 、．
17、已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量)3,1(-=)sin ,(cos A A =，且1m n ⋅=
，
（1）求角A ； （2）若
221sin 23,cos sin B B B
+=--求tanC 。

18、已知k 是整数，钝角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，
(1)若方程组⎩
⎨⎧+=+=+)1k (3y kx 2k
7y x 2
2有实数解，求k 的值。

(2)对于(1)中的k 的值，若sin C =2
k ，且有关系式(c －b )sin 2A ＋b sin 2B ＝c sin 2C ，
试求A 、B 、C 的度数。

19、如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1
）？
北
20
10
A B •。