等差数列前n项和
等差数列的前n项和
等差数列的前n 项和【基础回顾】1.等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=1(1)2n n n S na d -=+ （注意第一个公式的灵活运用） 等差数列前n 项和公式形式：2n S An Bn =+ 2.等差数列前n 项和公式的函数性质. 3.等差数列前n 项和公式的推导原理. 【典型例题】例1 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .（1）12a =，1d =，则20S = ；（2）12a =，2010S =，则20a = . （3）12a =，2010S =，则n a = ；（4）848S =，12168S =，则1a = ，d = . （5）610a =，55S =，则8a = ，8S = ；（6）31540a a +=，则17S = . 例2 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若107a =，20120S =.试求：（1）数列{}n a 的通项n a ；（2）前n 项和n S 的最大值.变式1：设等差数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，试求使n S 最大的n 的值为 . 变式2：将例2的条件“20120S =”改为“917S S =”，则前n 项和最大时，n = . 例3 等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若(,p q S S p q =∈N +且)p q ≠，则p q S += . 例4 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，已知312a =，且120S >，130S <. （1）求公差d 的范围；（2）该数列前n 项和最大？请说明理由.例5 已知正数数列{}n a 满足1n a =+，求数列{}n a 的前n 项和n S .练习：已知正项数列{}n a 的首项12a =，前前n 项和n S ，若2212n n S S +-=，求数列{}n a 的通项公式.【夯实基础】1.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）A.1B.53C.2D.3 2.已知数列{}n a 是等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 取得最大值时，n 的值为（ ） A.18 B.19 C.20 D.213.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为（ ） A.28 B.42 C.56 D.144.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ） A.10 B.12 C.14 D.155.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S 的值为（ ） A.12 B.18 C.22 D.446.若数列{}n a 满足：119a =，13n n a a +=-（n ∈N +），则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值为（ ）A.6B.7C.8D.97.已知每项均大于零的数列{}n a 中，首项11a =且前n 项和n S 满足1n n S S S =n ∈N +且n ≥2），则81a =（ ） A.641 B.640 C.639 D.6388.在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +=+，则101a = . 9.在等差数列{}n a 中，若1320a =，2013a =，则2013a = .10.已知等差数列{}n a ，公差0d >，前n 项和为n S ，且满足2345a a =，1414a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）设n n S b n c=+，若{}n b 也是等差数列，试确定非零常数c ，并求数列11{}n n b b +⋅的前n 项和n T .11.在等差数列{}n a 中，237a a +=，45618a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求363111nS S S +++ .。
等差数列前n项和
高斯（1777---1855）， 德 国数学家、物理学家和天文学家。 他和牛顿、阿基米德，被誉为有 史以来的三大数学家。有“数学 王子”之称。
求 S=1+2+3+······+100=？ 你知道高斯是
高斯算法：
怎么计算的吗？
首项与末项的和：
1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
（2）当d<0时,Sn有最大值 若a1<0,则S1最大； 若a1>0,则所有正数项的和最大。
另法：前n项和Sn的公式是关于n的二次函数，故 可利用二次函数来求最值（注意：n为正整数）。
例5 已知一个等差数列中满足3a4 7a7,且a1 0 Sn是数列{an}的前n项和，求n为何值时Sn取最大值.
则: b1,b2,b3, ,成等差数列,公差为:kd
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
数列a
n
是公差为d的等差数列，则S n
An2
Bn
Sn n
An B
Sn n
是等差数列，公差为A.
2.已知an是公差为d的等差数列，Sn为数列an的前n项和，则
Sn n
是等差数列，公差为
d 2
解：方法一
3a4
7a7
d
4 33 a1
0
an
a1
(n
1)
•
(
4 33
)a1
0
n
37 4
当n 9时，an 0; 当n 9时，an 0
故当n=9时，Sn取最大值.
方法二
3a4
7a7
d
4 33
a1
0
Sn
na1
等差数列的前n项和
等差数列的前n项和1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)[基础·初探]教材整理等差数列的前n项和1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n＝n a1＋a n2S n＝na1＋n n－12d2.等差数列前n项和公式的函数特点S n＝na1＋n n－12d＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n.d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．()(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式．(2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式．(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]与S n 有关的基本量的计算(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×5－12d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝245， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －1d ＝－512， ①n ＋12n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4， 所以d ＝－171.(4)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋4d＝19，5a 1＋5×42d ＝40，解得a 1＝2，d ＝3，所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[再练一题] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7， 得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝n a 1＋a n2＝128×105＋9942＝70 336. (2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5， ∴S 20＝20a 1＋20×20－12×5＝20×10＋10×19×5＝1 150. (3)将d ＝13，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，得⎩⎨⎧a n ＝a 1＋12，37·a 1＋a n2＝629，解得⎩⎨⎧a 1＝11，a n ＝23.等差数列前n 项和公式在实际中的应用为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．【尝试解答】 根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－12×50＝7 250(万元)， 即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和； (3)列出等式(或方程)求解． [再练一题]2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V 型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔图1-2-2【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列{a n}，其中a1＝1，a120＝120.根据等差数列前n项和公式得S120＝120×1＋1202＝7 260.即V型架上共放着7 260支铅笔．[探究共研型]等差数列前n项和的性质探究1设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项和，那么S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗如果是，它们的公差是多少【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md ＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系请证明之．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.【证明】a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b5的值．【精彩点拨】 (1)利用S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解．(2)利用前n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．【尝试解答】 (1)在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列，∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. (2)a 5b 5＝2a 52b 5＝9a 1＋a 99b 1＋b 9＝S 9T 9＝6512.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质．若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质． S n ＝n a 1＋a n 2＝n a m ＋a n －m ＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质． {a n }为等差数列，公差为d .①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n.②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝nn ＋1.(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． (5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. [再练一题]3．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n ＞1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．【解】 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57.等差数列前n 项和的最值 探究1 将等差数列前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d 变形为S n 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数为什么【提示】 由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0.探究2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值最小值 【提示】 由二次函数的性质可以得出，当d ＞0时，S n 有最小值；当d ＜0时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．【精彩点拨】 (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【尝试解答】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15，得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.等差数列前n 项和的最值问题的三种解法：(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值．(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数的图象的对称性． [再练一题]4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值. 【解】 利用前n 项和公式和二次函数性质，由S 17＝S 9得 25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， ∴由二次函数性质，当n ＝13时，S n 有最大值169.1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2 【解析】 S 8＝8a 1＋a 82＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6. 【答案】 A2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7【解析】 由题意得⎩⎨⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.【答案】 B3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，前三项和为15，则前6项和为( ) A ．57 B ．－40 C ．－57 D ．40 【解析】 由题意知a 1＋a 2＋a 3＝15，∴3a 2＝15，a 2＝5， ∴d ＝a 2－a 1＝3，∴a n ＝3n －1， ∴S 6＝62＋172＝57. 【答案】 A4．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，d ＝2，则S 20＝________. 【解析】 S 20＝20·a 1＋20×192×d ＝20×2＋20×192×2＝420.【答案】 4205．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项公式a n ； (2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50， 得方程组⎩⎨⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由S n ＝na 1＋n n －12d ，S n ＝242，得12n ＋n n －12×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，所以n ＝11.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝() A．5B．7 C．9 D．11【解析】法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝5a1＋a52＝5a3＝5，故选A.法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋5×42d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.【答案】A2．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()C．10 D．12【解析】∵公差为1，∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝1 2，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.故选B.【答案】B3．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为() A．14 B．15 C．16 D．17【解析】S9＝9a1＋a92＝9a5＝18，所以a5＝2，S n＝n a1＋a n2＝n a5＋a n－42＝240，∴n(2＋30)＝480，∴n＝15.【答案】B4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()【解析】由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．∵S3S6＝13.不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，∴S6S12＝310.【答案】A5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取得最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9【解析】设公差为d，由a4＋a6＝2a5＝－6，得a5＝－3＝a1＋4d，解得d＝2，∴S n＝－11n＋n n－12×2＝n2－12n，∴当n＝6时，S n取得最小值．【答案】A二、填空题6．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.【解析】∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋6×6－12d＝6.【答案】67．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.【解析】 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5a 1＋a 52＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 【答案】 208．等差数列{a n }的前9项的和等于前4项的和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1得9×1＋9×82×d ＝4×1＋4×32×d ，所以d ＝－16，又a k ＋a 4＝0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋k －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝0，即k ＝10.【答案】 10 三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．【解】 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10， ②①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100，所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值 【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－2n . (2)a 1＝9，d ＝－2， S n ＝9n ＋n n －12·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 ∵等差数列有2n ＋1项， ∴S 奇＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝n a 2＋a 2n2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝165150， ∴n ＝10. 【答案】 B2．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7n ＋1＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n＝1,2,3,5,11.【答案】 D3．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________． 【解析】 因为S n ＝na 1＋n n －12d ，所以35＝na 1＋n n －12×2＝na 1＋n (n －1)①，又a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝a 1＋2(n －1)，∴a 1＋2(n －1)＝11②，由①②可得a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3或－1. 【答案】 3或－14．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天【解】 (1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n }，(n ∈{1,2，…，30}) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列， ∴a n ＝15n －5(1≤n ≤12)．a 13，a 14，a 15，…，a 30是首项为a 13＝a 12－10＝165，公差为－10的等差数列， ∴a n ＝165＋(n －13)(－10)＝－10n ＋295(13≤n ≤30)，∴a n ＝⎩⎨⎧15n －5 1≤n ≤12，n ∈N ＋，－10n ＋295 13≤n ≤30，n ∈N ＋.(2)4月份的总销售量为 1210＋1752＋18×165＋18×17×－102＝2 550(件)， (3)4月1日至4月12日销售总数为 12a 1＋a 122＝1210＋1752＝1 110＜1 200， ∴4月12日前还没有流行．由－10n ＋295＜100得n ＞392， ∴第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．等差数列的前n 项和1．理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系．(重点)2．熟练掌握等差数列的五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)[基础·初探]教材整理 等差数列的前n 项和 1．等差数列的前n 项和公式已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式S n ＝n a 1＋a n 2S n ＝na 1＋n n －12d2.等差数列前n 项和公式的函数特点 S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且无常数项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n 项和公式．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和S n .( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，则{a n }是等差数列．( ) 【解析】 (1)任何等差数列都能应用等差数列的前n 项和公式． (2)数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式．(3)当公差不为0时，等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数(常数项为0)．[小组合作型]与S n 有关的基本量的计算(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×5－12d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝245， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.(3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ，又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋n －1d ＝－512， ①n ＋12n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4， 所以d ＝－171.(4)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋4d＝19，5a 1＋5×42d ＝40，解得a 1＝2，d ＝3，所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用．[再练一题] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .等差数列前n 项和公式在实际中的应用为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．【尝试解答】 根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－12×50＝7 250(万元)， 即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和；(3)列出等式(或方程)求解．[再练一题]2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔图1-2-2[探究共研型]等差数列前n项和的性质探究1n n S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗如果是，它们的公差是多少【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md ＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a nb n与S2n－1T2n－1有怎样的关系请证明之．【提示】a nb n＝S2n－1T2n－1.【证明】a nb n＝2a n2b n＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1.(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝7n＋2n＋3，求a5b5的值．【精彩点拨】(1)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．【尝试解答】(1)在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列，∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)a5b5＝2a52b5＝9a1＋a99b1＋b9＝S9T9＝6512.巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质．若{a n}为等差数列，前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列．(2)项数(下标)的“等和”性质．S n＝n a1＋a n2＝n a m＋a n－m＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质．{a n}为等差数列，公差为d.①若共有2n项，则S2n＝n(a n＋a n＋1)；S偶－S奇＝nd；S偶S奇＝a n＋1a n.②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)a n＋1；S偶－S奇＝－a n＋1；S偶S奇＝nn＋1.(4)等差数列{a n}中，若S n＝m，S m＝n(m≠n)，则S m＋n＝－(m＋n)．(5)等差数列{a n}中，若S n＝S m(m≠n)，则S m＋n＝0.[再练一题]3．已知两个等差数列{a n}与{b n}的前n(n＞1)项和分别是S n和T n，且S n∶T n＝(2n＋1)∶(3n－2)，求a9b9的值．等差数列前n项和的最值探究1将等差数列前n项和S n＝na1＋n n－12d变形为S n关于n的函数后，该函数是怎样的函数为什么【提示】由于S n＝na1＋n n－12d＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n，所以当d≠0时，S n为关于n的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的S n何时有最大值最小值【提示】由二次函数的性质可以得出，当d＞0时，S n有最小值；当d＜0时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，S n取得最值．在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式．(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程，求得a1和d，进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【尝试解答】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15， 得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.等差数列前n 项和的最值问题的三种解法：(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值．(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值．(3)利用二次函数的图象的对称性． [再练一题]4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值.1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．22．记等差数列前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于() A．2 B．3 C．6 D．73．在等差数列{a n}中，a1＝2，前三项和为15，则前6项和为()A．57 B．－40 C．－57 D．404．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝________.5．等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求通项公式a n；(2)若S n＝242，求n.学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7 C．9 D．112．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()C．10 D．123．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为()A．14 B．15 C．16 D．174．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取得最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题6．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.7．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1＝1，a k＋a4＝0，则k ＝________.三、解答题9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．10．已知等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值[能力提升]1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．122．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________． 4．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求4月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天。
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
等差数列前n项和的性质
则
S偶-
S奇=
nd 2
.
特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .
2.等差中项
b=
a+c 2
3.若数列 {an}是等差数列，则 d k 2d
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , 也是等差数列
4.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 {bn} 的
前 2n-1 项和为 T2n-1,
则
S2n-1 T2n-1
=
an bn
.
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
{an}为等差数列 an kn b
Sn An2 Bn
注: 三个数成等差数列, பைடு நூலகம்设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
一、概念与公式
1.定义 若数列 {an} 满足: an+1-an=d(常数), 则称 {an} 为等差数列.
2.通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
3.前n项和公式
Sn=na1+
n(n-1)d 2
=
n(a1+an) 2
.
二、等差数列的性质
1.若 m+n=p+q(m、n、p、qN*), 则 am+an=ap+aq .
四、Sn的最值问题
1.若 a1>0, d<0 时,
满足
an≥0, an+1≤0.
等差数列的前n项和之间的关系
等差数列的前n项和之间的关系
等比数列前n项和公式：当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-
q)=(a1-anq)/(1-q);当q=1时，Sn=na1(其中，a1为首项，an为第n项，d为公差，q为等比)。
除此之外，Sn为前n项和。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
注：q=1时，an为常数列(n为下标)。
等比数列通式若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x 上的一群孤立的点。
如果等比通项公式为an=a1*qn-1，当q=1时，求和公式为
Sn=n*a1;当q≠1时，求和公式为Sn=a1(1-qn)/(1-q)。
由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)×qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等差数列的各种公式：
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)。
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)。
以上n均属于正整数。
等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar，所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。
等差数列及其前n项和全面总结
等差数列及其前n项和全面总结
一、等差数列
等差数列（Arithmetic Sequence）是一种数学连续结构，表示一列数按固定间隔呈减量或递增量。
它是连续减量或是连续递增量，也就是说，等差数列中每一项减去它前面一项所得的结果都是一样的。
此外，等差数列中每一项可以由连续的的符号
a,a+d,a+2d,...,an,an+1,... 对应，其中a是等差数列的起点，d是等差数列的公差，我们也用an来表示等差数列的终点。
假设等差数列a，a+d，a+2d，...，an是有n个项的等差数列，那么它前n项的和可以表示为：Sn = (2a + (n- 1)d)n/2
Sn 表示等差数列的前n项的和，其中，a是等差数列的起点，d是等差数列的公差，n是终点前一项的系数。
三、等差数列的相关求解方法
1、求等差数列的终结点和公差。
以上方法可以求出等差数列某一项的值。
总之，等差数列是一种特殊的数列连续结构，其关键性性质是可以由起点和公差来确定的。
我们可以用上述方法来求出等差数列的终结点和公差，其前n项和以及它的某一项的值等。
等差数列的前n项和的性质
A.22 B.26 C.30 D.34
C 由等差数列的前n项和性质知S673,S1346-S673,S2019-S1346 成等差数列,所以由等差中项的性质知 2(S1346-S673)=S673+S2019-S1346,又S673=2,S1346=12, 所以S2019=3(S1346-S673)=30,故选C.
Sn在转折项有最大值
an 0 an1 0
a1 0, d 0 , , ,(0),+, , , Sn在转折项有最小值
an 0
an1
0
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得 1.根据Sn二次模型,寻找对称轴
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : 整体做差
3. an 是等差数列, Sn是前n项的和,求证: S6, S12 S6, S18 S12也成等差 推广: 若 an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差
等差数列an, Sn 100, S2n 500,求S3n
练习题
1.等差数列 an ,a10 30,a20 50,求a40
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
结论 : 若an是等差数列, 则 a10n还是等差 2.等差数列 an ,a1 a2 a3 35,a2 a3 a4 63,求a3 a4 a5
Sn 2n 3 ,求 a9 .
37
Tn 3n 1 b9
50
an S2n1 bn T2n1
an S2n1
bn
T2n1
二、等差数列的前n项的最值问题 Sn最值问题
等差数列的概念及前n项和
等差数列的概念及前n 项和考点解析及例题讲解1. 等差数列的前n 项和公式等差数列各项的和等于首末两项的和乘项数除以2． 一般地，数列{a n }的前n 项和记作S n ，即S n = a 1+a 2+a 3+…+a n ．可以得到等差数列的前n 项和公式S n = n (a 1+ a n ) 2． 因为a n = a 1+(n －1)d ，所以上面公式又可写成S n = n a 1 + n ( n － 1 ) 2d ． 在这两个公式中，都包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个．例1 在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和．解 在小于100的正整数集合中，以下各数是7的倍数7，7×2，7×3，…，7×14．即7，14，28， (98)显然，这是一个等差数列．其中a 1=7，d =7，项数为不大于1007的最大整数值，即n =14，a 14= 98．因此S 14 = 14× ( 7 + 98 )2= 735． 即在小于100的正整数的集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等于735．例2 在等差数列-5，-1，3，7，…中．前多少项的和是345？ 解 这里a 1=－5，d =－1－(－5)=4，S n =345． 根据等差数列的前n 项和公式得345 = －5n + n ( n － 1 ) 2×4， 整理得2n 2 －7n －345 = 0，解得n 1=15，n 2= - 232 (不合题意，舍去)．所以n = 15 ．即这个数列的前15项的和是345基础知识训练6.设等差数列{}n a 的前n 项和为958224S a a a S n ，则，若-=+等于（ ）（A ）72 （B ）60 （C ）48 （D ）361. 在等差数列中：（1）已知n a d a ，则，421===_________;（2）已知n d a a n ，则，，22111====_________.2. 已知等差数列{}n a 满足==+=+653426104S a a a a 项和，则它的前，________.3. 已知等差数列{}n a 有7212201918321=++-=++a a a a a a ，，则其前20项的和等于____.4. 在数列{}n a 中，==+∈+=++1074110)(2a a a N n a a n n ，则，且______.5. 在等差数列{}n a 中，若.512115481a a a a a ，，求，==+6. 在等差数列{}n a 中，.2191的最大值项和，试求其前，n S n d a -== 综合知识训练1. 若等差数列{}n a 的前三项和等于，则且21316a a S ==（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42. 等差数列{}n a 的前n 项何为的值为，则，，若43253S a a S n ==（ ）（A ）12 （B ）14 （C ）16 （D ）183. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若此数列前3项的和为9，前3项的积为24，则2013a =（ ）（A ）2011 （B ）2012 （C ）2013 （D ）2014 4. n S 是等差数列的前n 项和，1821a a a ++为一个确定的常数，则以下也为确定常数的是（ ）（A ）11S （B ）13S （C ）15S （D ）以上都不正确5. 若数列为等差数列，=++++==2064212121a a a a d a ，则，（ ） （A ）50 （B ）55 （C ）25 （D ）21506. 若数列为等差数列，且==+57320a a a ，则（ ）（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）207. 设数列的首项=∈+==++1211)(32a N n a a a n n ，则，且满足_____.8. 已知数列的通项=-+-=111212a a n a n ，则_______.9. 一个四边形的内角度数成等差数列，且最小角是 30，则最大角是{}n a {}n a {}n a {}n a。
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
(完整版)等差数列的前n项和与项数之间的关系总结
(完整版)等差数列的前n项和与项数之间的关系总结1. 什么是等差数列?等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列，这个相等的差值称为公差，用d表示。
等差数列的通项公式表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中aₙ表示数列中的第n项，a₁表示数列的第一项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式可以通过求和的方法推导而来。
设等差数列的前n项和为Sₙ，根据等差数列定义的通项公式，可以得到：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ，由于每一项与前一项之差相等，即aₙ - aₙ₋₁ = d，我们可以将公式中的每一项分解：Sₙ = (a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + ... + (a₁ + (n-1)d),根据算术求和公式，可以将上式化简为：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
这就是等差数列的前n项和公式。
3. 相关性质和应用等差数列的前n项和与项数之间存在以下关系：- 当项数n增加时，前n项和Sₙ也会增加，且增加的速度逐渐减缓。
- 当项数n相同，公差d增加时，前n项和Sₙ也会增加。
- 当项数n相同，公差d相同，首项a₁增加时，前n项和Sₙ也会增加。
等差数列的前n项和公式在数学和工程等领域具有广泛的应用。
例如，在金融领域中，可以用来计算投资收益；在物理学中，可以用来计算位移、速度等连续变化的量。
4. 总结等差数列的前n项和与项数之间存在简单的线性关系，可以通过等差数列的前n项和公式进行计算。
了解等差数列的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和应用等差数列的概念。
证明等差数列前n项和的方法
证明等差数列前n项和的方法
我们要证明等差数列的前n项和的公式。
首先，我们需要理解等差数列的定义和性质。
等差数列是一个序列，其中任何两个连续的项之间的差都是常数。
假设等差数列的首项是 a_1，公差是 d，项数是 n。
等差数列的通项公式是：a_n = a_1 + (n-1) × d
等差数列的前n项和公式是：S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1) × d)
我们将使用数学归纳法来证明这个公式。
证明步骤如下：
1. 基础步骤：当 n = 1 时，S_1 = a_1，与公式一致。
2. 归纳假设：假设当 n = k 时，公式成立，即S_k = k/2 × (2a_1 + (k-1) × d)。
3. 归纳步骤：我们需要证明当 n = k + 1 时，公式也成立。
S_{k+1} = S_k + a_{k+1}
= k/2 × (2a_1 + (k-1) × d) + a_1 + k × d
= (k+1)/2 × (2a_1 + k × d)
所以，当 n = k + 1 时，公式也成立。
由1和3，我们可以得出结论：等差数列的前n项和公式对任何正整数n都成立。
等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋a n）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.(4)若S n为等差数列{a n}的前n项和，则数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若S n为等差数列{a n}的前n.1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.2.(2022·福州质检)在等差数列{a n}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝()A.10B.20C.25D.30答案C解析等差数列{a n}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.3.(2022·青岛一模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝92则数列{a n}的通项公式a n＝()A.nB.n＋12C.2n－1D.3n－12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3＋3d＝92，解得d＝12，∴a n＝1＋(n－1)×12＝n＋12.4.(2021·杭州二模)已知{a n}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为()A.36B.24C.16D.12答案D解析由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝12.5.(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0，则a9＜0，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值.从而ABD均正确.6.一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过________秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.考点一等差数列的基本运算1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－3 2 a1.又a1＝2得∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.2.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.1 4B.12C.1D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝a8－a48－4＝2.3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案25解析设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为__________.答案3n2－2n解析法一(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.法二(引入参变量法)令b n＝2n－1，c m＝3m－2，b n＝c m，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).a t＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即a n＝6n－5.以下同法一.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n a1，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)，所以数列{S n}是等差数列.①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{S n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n（n－1）2d＝12n2d＋a1－d2.因为数列{S n}是等差数列，所以数列{S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1(2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n＝b nb n－1，代入2S n＋1b n＝2可得，2b n－1b n＋1b n＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2).又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n＝32＋12(n－1)＝n＋22，则2S n＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3 2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n 32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质例2(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于() A.72 B.36 C.18 D.9答案B解析∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝36.(2)在等差数列{a n}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A.10B.20C.40D.2＋log25答案B解析由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.角度2等差数列前n项和的性质例3(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于() A.35 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差数列{a n}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块答案C解析设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3402(块).角度3等差数列前n 项和的最值例4等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解法一设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称.由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n n ≥0，n ＋1≤0，1＋（n －1－213a 0，1＋－213a 0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.2.和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n.(3)依次k项和成等差数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2(1)(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是() A.a7 B.a8 C.S13 D.S15答案AC解析由题知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝13（a1＋a13）2＝13a7是定值，故选AC.(2)(2022·重庆诊断)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2020，S20202020－S20142014＝6，则S2023等于()A.2023B.－2023C.4046D.－4046答案C解析d′，则S20202020－S20142014＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为S11＝－2020，∴S20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.(3)设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0(n∈N*)，其前n项和为S n，若数列{S n}也为等差数列，则S n＋10a2n的最大值是________.答案121解析设数列{a n}的公差为d，依题意得2S2＝S1＋S3，∴22a1＋d＝a1＋3a1＋3d，把a1＝1代入求得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n＋n（n－1）2×2＝n2，∴S n＋10a2n＝（n＋10）2（2n－1）2＝＝12（2n－1）＋2122n－12≤121.∴S n＋10a2n的最大值是121.。
等差数列的前n项和
(3)2 4 6 2n； n(n 1) (4)1 2 3 4 5 6 (2n 1) 2n.
(4)解：原式 [1 3 5 (2n 1)] (2 4 6 2n).
又解：原式 (1 2) (3 4) (5 6) [(2n 1) 2n].
求 S=1+2+3+· · · · · · +100=？
100 101 5050. 2
问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:Sn= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 Sn = n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
2Sn n(n 1)
n(n 1) Sn 2
n（n 1) Sn na1 d 2 an a 1 ( n 1)d
结论：知 三 求 二
例1:根据下列条件，求相应的等差数列
an
的
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
(2)a1 100 , d 2, n 50;
S50
10 (5 95) 500 . 2
n=9
98 S9 (10) 9 4 54 2
公式应用
知三求二
例３ 在等差数列an 中，已知d 20, n 37, sn 629,
求a1及an .
本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知 元。 事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、 项数、末项、前n项和五个元素，如果已知其中三个， 联列方程组，就可求其余二个。
等差数列的前n项和的性质
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. „„12分
方法二：先求出公差 d=-2（同方法一），„„„6分 ∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由
1 n 13 2 n 1） 0 25 （ 2 解得 , 25 2n 0 n 12 1 2 1 1 即12 n 13 . 又n∈N*
或利用二次函数Sn=an2+bn(a,b为常数)
求Sn的最值。
举例应用:
【例1】(12分)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和
a5 S 7n 2 n 分别为Sn和Tn，若 . ，求 b5 Tn n 3
【解答】方法一：
a 5 2a 5 b5 2b5
S9 T9 93
65 . 12
d<-3 a 3 +4d<0 a7 <0 24 24 - <d<-3 7 a6 +a7 >0 2a 3 +7d>0 d> 7
例3.
a6 a7 0 S12 0 2)分析： 注意： S13 0 a7 0
解：
练习：在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9， 求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn 的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公 式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等 于零的项.
已知n, a1 , d , an中的三个.
引入:
d 2 d Sn =na1 + d= n + a1 - n 2 2 2 可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次 函数，其二次项系数是公差的一半。
等差数列的前n项和-概念解析
数学教育
等差数列的前n项和公式是数学 教育中的重要内容，是中学数学
课程中的必修知识点。
在物理领域的应用
物理学中的周期性现象
等差数列的前n项和公式可以用于描述物理学中的周期性现象，例如声音的振 动、波动等。
物理学中的序列问题
等差数列的前n项和公式可以用于解决物理学中的序列问题，例如在研究粒子运 动、流体动力学等领域中，可以通过等差数列的前n项和公式来描述一系列物理 量的变化规律。
解答
由于该等差数列是偶数项，所以它的前10项和等于中间两 项之和（第5项和第6项）乘以10除以2，即$(3 - 3) times 10 / 2 = 0$。
习题三：等差数列前n项和的实际应用问题
01 总结词
02 详细描述
03 应用1
04 应用2
05 应用3
掌握等差数列前n项和在实 际问题中的应用
等差数列前n项和在实际问 题中有着广泛的应用，如 计算存款、贷款、工资等 问题。
总结词
详细描述
公式
示例
解答
理解等差数列前n项和的 概念
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和，可以通过公式 或递推关系式来求解。
$S_n = frac{n}{2} times (2a_1 + (n-1)d)$，其中 $a_1$是首项，$d$是公 差，$n$是项数。
求等差数列$1, 3, 5, 7, ldots$的前5项和。
等差数列前n项和的公式推导
等差数列前n项和的公式可以通过数学归 纳法进行推导。
化简得：$S_{k+1} = frac{(k+1)}{2}(2a_1 + kd)$，所以当n=k+1时，公式也成立。
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n 26
小结
1. 2. 等差前n项和Sn公式的推导； 等差前n项和Sn公式的记忆与应用；
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) Sn na1 d 2
3.
等差前n项和Sn公式的理解.
说明：两个求和公式的使用-------知三求二.
作业布置
• 课本P46，习题2、3 A组 2
S199
设Sn是等差数列{an}的前n项的和, 即 Sn a1 a2 an1 an
(1 199) 199 =19900 2
猜想
n(a1 an ) sn 2
问题：设等差数列an 首项为a1 ,公差为d sn a1 a2 a3 an
2、3 等差数列 的前n项和(一)
一、复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
an an1 d (d为常数，n 2，n N )
(2) 等差数列的通项公式是什么?
an=a1+(n-1)d（an am (n m)d或an pn q( p、q是常数)）
高斯的算法： 首项与末项的和：1+100=101, 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, 第3项与倒数第3项的和：3+98=101, …… 第50项与倒数第50项的和：50+51=101. 上述求解过程带给我们什么启示？
100 于是所求的和为：(1 100 ) 2 5050
(1)任意的第k项与倒数第k项的和相等且都等于 首项与末项的和; (2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示.
n 1
a1 11 an 23
an a1 (n 1)d
例4 已知一个直角三角形的三条边的长成等 差数列，求证它们的比是3：4：5.
证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列， 它们可以表示为
a-d, a, a+d (这里ad>0,d>0) 由勾股定理，得到
(a d ) a (a d )
练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列
(1)a1 5, an 95, n 10; 求S10与d
S10 500 d 10
an 的有关未知数
n（a1 an ) Sn 2
an a1 (n 1)d
(2)a1 100 ,d
S50 2550
n（n 1) na d 2, n 50, 求S50S 与 a n 501; 2 an a1 (n 1)d a 2
n(a1 an ) Sn 于是有： .这就是倒序相加法求和. 2
等差数列的前n项和公式
n（a1 an ) Sn 2
(( n 1) d
na1 a1 ( n 1) d n 2 n( n 1) d na1 2
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54
例3在等差数列{an }中，已知n 16, an 63, sn 528，求a1及d
16(a1 63) 解：s16 528 a1 2
n（a1 an ) Sn 2
n（n 1) S n na1 d 2
3
16 15 则s16 16 3 d =48+120d =528 2
(已知a1 , d，n求和sn )
例1. 求等差数列5，7，9 … ， 2n+7的各项之和. n( a1 an ) 已知a1 , an，d , 求sn S n 2 n( n 1) d na1 2
解： 此题中的等差数列共有n+2项 所以各项之和为：
(5 2n 7) (n 2) Sn 2 (n 6)(n 2)
d 4
所以a1 3, d 4
方法二：a16 a1 15d 3 15d 63 d 4
总结：由an a1 (n 1)d
n（a1 an ) n( n 1) d Sn 或S n na1 2 2
可知在 a1 , d , n, an , sn 五个量中，只要知道其中三个量， 就可以求出余下的两个量,常称之为“知三求二”.
n 8n 12
2
例2. 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
n( n 1) d 已知a1, d，sn ,求n sn na1 2
解：设题中的等差数列为{an } ，前n项和为 Sn 则
a1 10, d (6) (10) 4, Sn 54 n(n 1) 由公式可得 sn 10 n 4 54 2 解之得： n1 9, n2 3 （舍去）
定义： Sn
a1 a2 a3 an1 an 叫做数列 an 的前n项和。
计算: 1+2+3+ … +199=?
解：设
=19900
s199= 1+2+3+......+197+198+199
s199=199+198+197+......+3+2 +1 2s199=(1+199)+(2+198)+(3+197)+ … +(197+3)+(198+2)+(199+1)
（3）等差中项 如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项. a b A 2 (4)等差数列的性质
若m n p q, 则am an ap aq (m、n、p、q N ) 推广：a1 an a2 an1 ai 1 ani
有题意可知： (a 3d ) (a d ) (a d ) (a 3d ) 52
4a 52 即 2 2 a d 144
a 13 a 13 解之得 或 d 5 d 5
故所求四个数为-2,8,18,28或28,18,8，-2
50
(3)a1 38, an 10, Sn 360 , 求n与d ;
1 n（n 1) ( 4) d , n 37, S n 629 , 求a1与an . S na d n 1 3 2
n 15 d 2
n（a1 an ) Sn 2 1)d a a (n
为回避数列项数奇偶的问题，做一个改写
Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
Sn an an1 an2 a3 a2 a1
，
，
两式左右分别相加，得
2S n (a1 an ) (a 2 an1 ) (a3 an2 ) (an2 a3 ) (a n1 a 2 ) (an a1 ) 2S n n(a1 an )
2 2
2
解得
a 4d
3d, 4d, 5d,
从而这三边的长是
因此，这三条边的长的比是3：4：5
例5 成等差数列的四个数之和为52，第二个数 与第三个数之积为144，求这四个数.
证明： 设成等差数列的四个数分别为:
a 3d , a d , a d , a 3d ,
(a d )(a d ) 144
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，
高斯十岁时，有一次老师出了一道题
目，老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在： 1+2=3 ； 3+3=6 ； 4+6=10 … 算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100= 5050 老师问：“你是如何算出答案的？
例6、已知等差数列an 的前四项和为25，最后 四项和为63，前n项和为286，求项数n。
解： a1 a2 a3 a4 25 (1)
2 1得
an an1 an2 an3 63 (2)
4(a1 an ) 88 n(a1 an ) a1 an 22 sn 286 2