1.2.1数列的极限
高中数学中的数列极限求解知识点总结
高中数学中的数列极限求解知识点总结数列极限是高中数学中的重要内容，它是数学分析的基础，也是数学发展的重要方向之一。
掌握数列极限的求解方法和相关知识点，对于高中生提高数学学习水平具有重要的意义。
下面将对高中数学中的数列极限求解知识点进行总结与归纳。
一、数列极限的概念及性质数列极限指的是当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
数列极限的概念基于数列的收敛性，即当数列趋于某个确定的值时，其极限存在。
1.1 数列极限的定义数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞) an = a，当且仅当对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，对应的数列项an 与极限a之间的差值小于ε，即|an - a| < ε。
1.2 数列极限的性质（1）唯一性：如果数列的极限存在，则极限值唯一。
（2）有界性：如果数列的极限存在，则数列必定有界。
（3）保序性：如果数列{an}的极限为a，且数列{bn}的极限为b，则当n足够大时，对于数列中的任意项an与bn，都有an ≤ bn。
二、常见数列极限求解方法2.1 基本数列的极限（1）常数数列的极限：对于常数数列{an} = a，其中a为常数，则该常数数列的极限为a，即lim(n→∞)a = a。
（2）等差数列的极限：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，则当公差d≠0时，该等差数列的极限为±∞（取决于公差d的正负性），若公差d=0，则该等差数列的极限为a1。
2.2 数列极限的四则运算法则（1）加减法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an ± bn}的极限为a ± b。
（2）乘法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an × bn}的极限为a × b。
（3）除法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b且b≠0，则数列{an ÷ bn}的极限为a ÷ b。
极限基础知识点总结
极限基础知识点总结一、极限的概念1.1 极限的概念极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在数学中，极限通常表示某一数列或函数在自变量取某一值时，与另一给定值（通常是无穷大或无穷小）的距离在很小的范围内。
1.2 极限的符号表示当趋近的过程是无穷远时，称为无穷极限。
常用符号表示：1.3 极限的定义数列极限的定义：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时， a_n与特定数a的距离小于ε，即 |a_n - a|<ε。
函数在x=a处的极限定义：若对于任意ε>0，存在δ>0，当0< |x-a|<δ时， |f(x)-L|<ε。
1.4 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：若函数在某点处有极限，则函数在该点的去心邻域内有界。
（3）局部保号性：若函数在某一点有极限，则该点的去心邻域内函数与该点的极限保持同号。
二、极限的求解2.1 函数在无穷远处的极限当x趋于无穷大时，通常分析函数的渐近行为，例如当x趋近无穷大时，若函数趋近某一有限值，则说明函数有水平渐近线；若函数趋近无穷大，则说明函数有垂直渐近线。
2.2 无穷小的性质与判定无穷小在极限的计算中占有重要地位，一些基本的无穷小性质与无穷小的判定方法：2.3 函数的极限存在性判定对于一些特殊类型的函数，判断其在某一点是否存在极限，例如当x趋近某一值时，函数的变化趋势是否稳定，是否可以利用夹逼定理进行求解等。
2.4 极限存在性的定理弦截定理、单调有界定理、闭区间上连续函数的性质等有助于判断函数在某一点的极限是否存在。
三、极限的计算方法3.1 函数极限的基本运算法则函数极限的基本运算法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数乘积与函数商的极限等。
3.2 极限的计算方法极限的计算方法包括利用函数的性质、夹逼定理、洛必达法则、泰勒展开等方法。
3.3 极限的分析对于一些复杂函数极限的计算问题，需要先进行极限的分析，例如观察函数的泰勒级数展开式，取其前几项进行计算等。
极限
1.2 极限的概念 1.2.1 数列的极限 一、数列的极限 1、数列的定义定义:按自然数 ,3,2,1编号依次排列的一列数 ,,,,21n x x x ，称为无穷数列，简称数列。
其中的每个数称为数列的项，n x 称为通项(一般项)，记为}{n x 。
例如： ;,21,,81,41,21 n }21{n ;,2,,8,4,2 n }2{n;,)1(,,1,1,11+--n })1{(1--n ;,)1(,,34,21,21 n n n --+ })1({1nn n --+,333,,33,3++++2、数列的极限问题: 当 n 无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的数值？如果是，如何确定？【注意】三、例题选讲例1 ,131211n，，，，→ 0例2 ,)1(1 , 54 45 32 ,23 0nn-+，，，，→1例3 1，－1，1，－1，…，(－1)n +1，…分析：正负交错，n 无限增大，数列不趋于任何定数，无极限.四、课堂练习（1） ,21,212121032n，，，， 分析：021lim =∞→n n （2） 1，3，5，…，2n －1，…分析：随n 增大数 列的项也无限增大，也不趋于任何定数,无极限.1.2.2函数的极限一、当x →∞时，函数f(x)的极限例1 .21)(时的变化趋势当观察函数∞→⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x.0)(,,21)(→∞→⎪⎭⎫⎝⎛=x f x x f x 时当函数例2 已知函数xx f 1)(=(x < 0)，试由函数的图象，判断x 趋向负无穷大时函数y 的变化趋势。
因为，x →+∞和x →-∞可以写为x →∞ 01lim=∞→x 所以 定理1思考：已知函数y=arctanx,试讨论当x →∞时，y=arctanx 否有极限，为什么？ 分析：不存在所以因为arctanx lim .arctanx lim arctanx lim ∞→-∞→+∞→≠x x x例4已知函数y=sin x,判断当x →∞时，y=sin x 是否有极限，为什么？分析：由图可见，x →+∞时，y →某一固定常数 A ，x →-∞时，y →某一固定常数 A不存在因此均不存在和所以sinx lim ,sinx lim sinx lim +∞→+∞→+∞→x x x课堂练习:观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：二、当x →x 0时，函数f(x)的极限 1、当x →x 0时，函数f(x)的极限注意：（１）定义中“x →x 0”表示x 从小于x 0和大于x 0的两个方向趋近于x 0； （2）定义考虑的是x →x 0时函数f(x)的变化趋势,并不考虑在x 0处f(x)的情况 .（3 ） 由极限的定义1．9容易得到以下两个结论：例1考察下列函数，写出当2→x 时函数的极限，并作图验证。
1.2数列和函数的极限
n2 1
n2 n
n2 1
又 lim n 1, lim n 1
n n2 n
n n2 1
根据夹挤定理，原式极限为1
(5)
lim (1
n
1 22
)(1
1 32
) (1
1 n2
)
解：1
1 k2
(k 1)(k 1) k2
k 1 k 1 kk
1 2n
0.
证 0,
由1 2n
0
1 2n
2n 1 ,可得
n
log
2
(
1
)(限定0
1).
N
1
[log 2( )]
1.
n N ,
有
1 2n
0
.
lim n
1 2n
0.
三、收敛数列的性质
性质1（唯一性） 若数列 {xn} 收敛，则其极限必唯一 . 性质2（有界性） 若数列 {xn} 收敛，则 {xn} 必有界 .
x : 0 x x0 , A f (x) A .
是任意小
当 x 在 U O (x0 , ) 时, y
y f (x)的图形完全 落在以直线 y A 为
A
A
A
y f (x)
中心线, 宽为 2 的带
形区域内.
o
x0 x0 x0
16 8
4
2
1
一、数 列
自变量为正整数的函数xn f (n) , n Z , 函数值按自变量n从小到大排成一列，表示为：
数列极限的精确定义
例1 证明 lim C C, (C为常数) x x0
证 0, d 0, 当 0 x x0 d 时,
f ( x) A C C 0 成立,
lim C C. x x0
例2
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 0, 取d ,
ba 2
,
因此同时有
xn
b 2
a
及
xn
ba 2
,
这是不可能的. 所以只能有a=b. 11
例4. 证明数列
是发散的.
证明: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
, 则存在 N ,
使当 n
>N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
x0 x0 d x 20
注
1） d 语言表述
当 时, 有 2） 0 x x0 表示 x x0 , x x0时 f ( x) 有 无极限 与 f ( x0 )有无定义没有关系.
3) 任意给定后，才能找到d ， d 依赖于 ，一般的 越小，d 越小.
4) d 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
n1
| xn a | ,
或 n 1 1,
只要
9
例3 设|q|<1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1,
的极限是0.
§1-2极限的概念数列的极限
f (0 0) lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
由定理1.2.3
f (0 0) f (0 0)
，所以
1 A e
.
4． x→∞时，函数 f (x) 的极限
定义1.2.6 设函数f(x)在 |x|>a 时有定义（a为某个正
实数)，如果当自变量的绝对值 |x| 无限增大时，相应
( 0) ,称为
x0
的去心邻域.
定义1.2.3
设函数y =f (x)在x0的某一去心邻域
ˆ 0 , ) N(x
内有定义，当自变量x(x≠x0)无限接近于 x0 时，相应的 函数值无限接近于常数A，则称x→x0时, A为函数f(x)的
的极限. 记作
x x0
lim f ( x ) A
或
un un1
则称数列{un}为单调递增数列； 类似地， 如果从第二项起，每一项比前一项小，即
un un1
则称数列{un}为单调递减数列；
单调增加的数列和单调减少的数列，统称为单调数列。
有界数列
如果存在一个正常数
M，使数列
{un }
的每一项 un ，都有
un M
则称数列{un}为有界数列．否则称为无界数列。 如果数列含有无穷多项，则成为无穷数列。 如果数列含有有限项则称为有穷数列。 下面将讨论无穷数列的极限
2． 数列的极限
例12 当 n→∞时,观察下列数列的变化趋势： 1）对于数列
un n 3 n , , ,..., ,... 2 3 4 n 1
un
当n →∞时，显然数列的一般项无限接近常数1。 1 1 1 1 1 u （2）对于数列 n , 2 , 3 ,..., n ,... ，即 2n 2 2 2 2 当n →∞时，显然数列的一般项un。无限接近常数0。
极限的概念
因为x 2时, x 2,约分得f(x) x 2
当 x2 时，函数
值越来越接近4
f
(x)
x2 4
x 2 x 2
所以有 lim x2 4 lim (x 2) 4 x2 x 2 x2
f(x) x2 4 x2
4 (2,4)
2
1.2 极限的概念
1.2.２ 函数的极限
２.当 x x0 时，函数 f (x)的极限 定义1·4 x x0的极限定义
0.01 0.0001
111 1 1
654 3 2
0
1
1.2 极限的概念
1.2.1 数列的极限 2.定义
例2 0，3 , 2 ，5 ，4 ，, 1 (1)n , 1
2345
n
n1 xn 0
23 4 .
1.5 0.66 1.25
5 10 0.8 1.1
11 ..
0.9090
100 101
. ... 1.01 0.9900
当边数不断增加时,正多边形的周长、面积的变 化趋势如何?
1.2 极限的概念
1.2.1 数列的极限 1.引例
例
观察下列数列的变化趋势．
yn
1 2n
:
yn
n n 1
:
yn (1)n :
1 , 1 , 1 , , 1 ,
248
2n
1 , 2 , 3 , 4 , , n ,
2345
n 1
1, 1, 1, 1, , (1)n ,
经济数学
一、 数列的极限 二、函数的极限 三、 无穷小量和无穷大量
主要内容
一、 数列的极限 1.引例
截丈问题 庄子（前369年—前286年，战国）曾写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
高数第一章函数与极限知识点总结
1.2.1 数列极限的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2
数列的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7.2
...................................... 5
1.7.3
定 ......................................... 5
1.8 函数的
与
...................................... 5
1.8.1 函数的
映射的定义
映射 g
映射的
g 的值域 Rg
f f 的定
1
义域
Rg ∈ D f
则
映射 g f 的
义
g◦ f
义
义
映射 f ◦ g 与 g ◦ f
映射 的 f ◦g f ◦g 与 g◦ f
1.1.2 函数
函数的概念
定义 1.4. 设数集 D ∈ R，则称映射 f : D → R 为定 义在 D 上的函数，通常简记为 y = f (x)，x ∈ D， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义 域，记作 D f , 即 D f = D。
). 如果
lim f (x) = a
x→x0
且 a > 0(或 a < 0), 所以 ∃(正整数 N), 当 n > N, 都有 xn > 0(或 xn < 0).
高等数学1.2_1数列的极限1
第一节 （一）数列的极限
一、数列极限的定义
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
一 、数列极限的定义
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束
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2. 单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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内容小结
1. 数列极限的 定义及应用 2. 收敛数列的性质:
唯一性 ; 有界性 ; 3. 极限存在准则:
夹逼准则 ; 单调有界准则
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思考与练习
1.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,),
求
lim
n
xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a 1
不对!
此处
lim
n
xn
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(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即 xn ( a, )
(n N)
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1
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
高等数学教材的目录部分
高等数学教材的目录部分高等数学教材目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.3 极限的运算法则1.4 连续和间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的定义与性质2.6 导数的应用第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的概念与基本术语4.2 一阶常微分方程4.3 二阶常微分方程4.4 高阶线性微分方程4.5 变量可分离的微分方程4.6 微分方程的应用第五章：无穷级数5.1 数列极限与无穷级数的概念5.2 级数的敛散性5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的收敛域与常见函数展开第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数的定义与计算6.3 高阶偏导数与混合偏导数6.4 隐函数的偏导数6.5 多元函数的极值与条件极值第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的计算方法7.4 曲线积分的概念与计算方法7.5 曲面积分的概念与计算方法7.6 广义积分的概念与收敛性第八章：多元函数的积分学8.1 多元函数的概念与性质回顾8.2 参数方程下的曲线积分8.3 曲面积分的参数化与计算8.4 向量场与格林公式8.5 散度与无源场8.6 旋度与无旋场8.7 斯托克斯公式与高斯公式第九章：常微分方程的数值解法9.1 常微分方程初值问题的数值解法概述9.2 欧拉方法与改进欧拉方法9.3 二阶龙格-库塔法9.4 多步法与预测校正法9.5 常微分方程边值问题的数值解法以上是高等数学教材的目录部分，这些章节覆盖了高等数学的核心内容，从函数与极限到常微分方程的数值解法等方面进行了全面而深入的讲述。
微积分基础(国家开放大学)---第1章---第2节---极限的概念和计算解析
x时函数f(x)的极限
描述性定义：若当自变量的绝对值|x|无限增大 时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A. 则称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限,或f(x) 收敛到A,记为 lim f ( x) A 或 f ( x ) A ( x )
1 例如： lim 0 x x
0 1
8
1
4
1
2
0 1
1 n , n 0 2 (3) lg1, lg 2,, lg n,
n , n 1 1 n (4) 1,1,1,1, 1n 1 ,
n 1
2
1
4
3
2
0 lg 2 lg 3
n , lg n
lg n
1 0
1
n , 不趋于一确定值
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
25
例题与讲解
n
n
n
n个
n
18
sin x 例：求极限 lim ? x x 1 解： lim 0, |sinx|≤1(有界量). x x sin x 1 lim lim sin x 0 (无穷小量与有界量之积) x x x x
例题与讲解
思考：
1 lim x sin ? x 0 x
5
判断下列数列是否收敛：
1 2 3 4 (1) , , , , 2 3 4 5
(2) 1, 8 , 27 , 64 ,
n , , n 1
, n3 ,
1 , , n 1
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高等数学c1教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的特性及分类1.2 极限的概念与性质1.2.1 数列极限的定义与性质1.2.2 函数极限的定义与性质1.3 极限的计算方法1.3.1 无穷小与无穷大1.3.2 极限运算法则1.3.3 夹逼定理与两个重要极限第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义与几何意义2.1.2 导数的运算法则2.2 微分的概念与性质2.2.1 微分的定义与几何意义2.2.2 微分的运算法则2.3 函数的求导法则2.3.1 基本初等函数的导数2.3.2 复合函数求导法则2.3.3 隐函数求导法则第三章：微分中值定理与应用3.1 罗尔中值定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 3.5 曲线的凹凸性与极值问题3.6 泰勒公式与函数的近似计算第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本初等函数的不定积分4.3 换元积分法4.4 分部积分法4.5 有理函数的积分4.6 特殊函数的积分第五章：定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质与运算法则5.2 牛顿—莱布尼茨公式5.3 定积分的计算5.3.1 计算定积分的基本方法5.3.2 反常积分的概念与性质5.4 定积分在几何学与物理学中的应用 5.4.1 面积计算5.4.2 体积计算5.4.3 物理学中的应用第六章：微分方程基础6.1 微分方程的概念与基本形式6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程6.2.2 齐次线性微分方程6.3 高阶线性微分方程6.3.1 齐次线性微分方程的解法6.3.2 非齐次线性微分方程的特解 6.4 常系数线性微分方程6.5 变量可分离的非线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 二元函数的偏导数7.1.1 偏导数的定义与计算7.1.2 偏导数的几何意义与物理意义 7.2 高阶偏导数与混合偏导数7.3 全微分与微分形式7.4 多元函数的极值与条件极值7.5 隐函数与参数方程的微分第八章：多元函数积分学8.1 二重积分的定义与性质8.2 二重积分的计算8.2.1 极坐标下的二重积分8.3 三重积分的定义与性质8.4 三重积分的计算8.4.1 柱坐标与球坐标下的三重积分 8.5 曲线积分的概念与性质8.6 曲线积分的计算8.6.1 第一类曲线积分8.6.2 第二类曲线积分第九章：向量及其应用9.1 向量的基本概念与运算9.2 空间直线与平面9.2.1 直线与平面的定义与性质9.2.2 直线与平面的交角与距离9.3 向量函数及其导数9.4 曲线的切线与法平面9.5 空间曲线与曲面9.5.1 参数方程与曲线方程9.5.2 曲面的切平面与法线9.6 向量场的梯度、散度与旋度第十章：无穷级数10.1 数项级数的收敛与发散10.1.1 数项级数的定义10.1.2 数项级数的审敛法10.2 幂级数的收敛域与收敛半径 10.3 幂级数的运算性质10.4 函数展开为幂级数第十一章：常微分方程11.1 常微分方程的基本概念与分类 11.2 一阶线性常微分方程11.3 二阶线性常微分方程11.4 常系数齐次线性常微分方程 11.5 常系数非齐次线性常微分方程总结以上是《高等数学C1教材目录》的内容安排，其中包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程基础、多元函数微分学、多元函数积分学、向量及其应用、无穷级数、常微分方程等各个章节的内容。
大学数学系列教材 高等数学
大学数学系列教材高等数学大学数学系列教材：高等数学第一章：数列与极限1.1 数列的定义与性质1.1.1 数列的基本概念1.1.2 数列的有界性与无界性1.2 数列极限的定义与性质1.2.1 数列极限的定义1.2.2 数列极限的性质1.3 数列极限的计算方法1.3.1 收敛数列的四则运算1.3.2 单调有界数列的极限1.4 数列极限的应用1.4.1 利用定理求极限1.4.2 利用极限判断数列性质第二章：函数与极限2.1 函数的定义与性质2.1.1 函数的基本概念2.1.2 函数的性质与分类2.2 函数的极限2.2.1 函数极限的定义2.2.2 函数极限的性质2.3 函数的连续性与间断点2.3.1 函数的连续性定义2.3.2 连续函数的性质与判定2.4 函数的一致连续性2.4.1 一致连续性的定义与性质2.4.2 一致连续性的应用第三章：导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与基本性质3.1.2 高阶导数3.2 函数的微分3.2.1 微分的定义与性质3.2.2 微分中值定理3.3 函数的求导法则3.3.1 基本导数公式3.3.2 链式法则与隐函数求导3.4 函数的应用3.4.1 函数的极值与最值3.4.2 曲线的凹凸性与拐点第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.1.1 定积分的定义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本公式4.2.2 积分换元法与分部积分法4.3 曲线下面积与定积分4.3.1 几何意义与计算方法4.3.2 定积分的应用4.4 不定积分与定积分的关系4.4.1 不定积分的定义与性质4.4.2 牛顿-莱布尼茨公式第五章：微分方程5.1 微分方程的基本概念与分类5.1.1 微分方程的定义与基本形式5.1.2 微分方程的分类与阶数5.2 一阶与二阶微分方程5.2.1 一阶线性微分方程5.2.2 二阶线性常系数齐次微分方程5.3 高阶微分方程与线性微分方程组5.3.1 n阶线性齐次微分方程5.3.2 一阶线性非齐次微分方程5.4 微分方程的应用5.4.1 生物学模型与人口增长模型5.4.2 物理学模型与振动系统第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的定义与性质6.1.1 多元函数的基本概念6.1.2 多元函数的性质与分类6.2 偏导数的定义与性质6.2.1 偏导数的基本概念6.2.2 偏导数的性质与计算方法6.3 高阶偏导数与全微分6.3.1 高阶偏导数的定义与性质6.3.2 全微分的定义与性质6.4 隐函数与显函数的求导6.4.1 隐函数关系的偏导数计算6.4.2 参数方程与极坐标系的求导第七章：多元函数的极值与条件极值7.1 多元函数的极值与最值7.1.1 多元函数的极值与最值的定义7.1.2 多元函数的极值与最值的判定7.2 多元函数的条件极值7.2.1 拉格朗日乘子法的基本思想7.2.2 欧拉条件与拓展形式7.3 函数的泰勒展开与极值判定7.3.1 函数的泰勒展开7.3.2 极值点判定的应用7.4 二重积分的应用与经济学模型7.4.1 面积与质量的二重积分7.4.2 经济学模型与区域产量第八章：重积分与曲线积分8.1 三重积分的计算方法8.1.1 三重积分的直角坐标计算8.1.2 三重积分的柱坐标计算8.2 三重积分的几何意义与物理应用8.2.1 体积与质心的三重积分8.2.2 物理应用与质点系的力矩8.3 曲面积分的计算与应用8.3.1 第一类曲面积分的计算8.3.2 第二类曲面积分的计算8.4 曲线积分的计算与应用8.4.1 标量场的线积分计算8.4.2 向量场的线积分计算结语：通过对大学「高等数学」科目的全面学习，我们可以系统地理解和掌握数列与极限、函数与极限、导数与微分、定积分、微分方程、多元函数与偏导数、多元函数的极值与条件极值、重积分与曲线积分等内容。
数列极限的求法及应用
数列极限的求法及应用内容提要数列极限可用语言和语言进行准确定义,本文主要讲,,NAN,述数列极限的不同求法,例如,极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用,如几何中推算圆面积,求方程的数值解,研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词定义,夹逼准则,Stoltz公式,函数极限 ,,NOn the Solutions and the Applications as to the Sequence LimitAbstractThe limit of a sequence can be accurately defined by language ,,N and language. This paper mainly describes different solutions to AN, finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit.Finally, we also briefly introduce the applications of sequencelimit in real life. Such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.Key Wordsdefinition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits ,,N目录第一章数列极限的概念 (1)数列极限的定义及分类……………………………………… 1 1.11.2 数列极限求法的常用定理 (2)1.2.1 数列极限的四则运算 (2)1.2.2 单调有界原理 (2)1.2.3 Stoltz公式 (2)3 1.2.4 几何算术平均收敛公式…………………………………1.2.5 夹逼准则,迫敛性, (3)1.2.6 归结原则………………………………………………… 3 第二章数列极限的求法 (3)2.1 极限定义求法 (3)2.2 极限运算法则法 (5)2.3 夹逼准则求法 (6)2.4 单调有界定理求法 (8)2.5 函数极限法 (9)2.6 定积分定义法 (9)2.7 Stoltz公式法 (11)2.8 几何算术平均收敛公式法 (11)2.9 级数法、收缩法 (13)2.10 其它方法 (14)第三章数列极限在现实生活中的应用 (16)3.1.几何应用-计算面积 (16)3.2 求方程的数值解 (17)3.3 市场经营中的稳定性问题 (18)3.3.1 零增长模型 (18)3.3.2 不变增长模型 (19)3.4 购房按揭贷款分期偿还问题 (20)第四章结论 ..................................................................... .......... 21 致谢 ..................................................................... .................... 22 参考文献 ..................................................................... . (22)数列极限的求法及其应用学号:071106132 作者:杨少鲜指导老师:董建伟职称:讲师第一章数列极限的概念在研究数列极限解法之前～首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1 数列极限的定义及分类数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如～我国古代数学家刘徽,公元3世纪,利用圆内接正多边形来推算圆面An积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积在无限增大nA,,时～内接正多边形无限接近于圆～同时也无限接近于某n,,n一确定的数～此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同～下面主要介绍两种定义:定义～定义. ,,NAN,，aa定义1,语言,:设是个数列～是一个常数～若～正,,N,,,0,,naan整数N～使得当时～都有aa,,,～则称是数列当无限nN,,,nn1增大时的极限～或称收敛于～记作～或.aalimaa,aan,,，,,,，，nnn,，,n 这时～也称的极限存在. a,,n，定义2,语言,:若,正整数～使得当时～都有,aA,NAN,A,0nN,n，,则称是数列当无限增大时的非正常极限～或称发散于ana,,,,nn，,～记作或～这时～称a有非正常极限. lima,，,an,，,,，,,,，，nnn,，,n 对于的定义类似～就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺,,,,垫～我们先介绍一些常用定理.1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1,数列极限的四则运算法则, 若a和b为收敛数列～,,,,nn则也都是收敛数列～且有 ababab，,,,,,,,,,,nnnnnnlimlimlim,abab,,,，，nnnn,,,,,,nnn limlimlim.abab,,,，，nnnn,,,,,,nnn,,an若再假设b,0及～则也是收敛数列～且有 lim0b,,,nn,,nbn,,,,an. limlim/limab,,,nn,,,,,,nnnbn,,定理1.2.2,单调有界定理, 在实数系中～有界的单调数列必有极限.xxy定理1.2.3,Stoltz公式, 设有数列～～其中严格增～,,,,,,nnn, 且,注意:不必,.如果 limx,，,limy,，,nn,，,,，,nn2yy,nn,1lim,a (实数，)，，,,,,n,，,xx,nn,1yyy,nnn,1则 limlim.,,ann,，,,，,xxx,nnn,10定理1.2.3',Stoltz公式, 设x严格减～且～.lim0x,lim0y,,,nnn,，,,，,nn0若yy,nn,1lim,a (实数，)，，,,,,n,，,xx,nn,1则yyy,nnn,1. limlim,,ann,，,,，,xxx,nnn,1定理1.2.4,几何算术平均收敛公式, 设～则 limaa,n,,naaa，，，...12n,1,～ lim,a,,nnn,2,若～则. an,,01,2,...lim...aaaa,，，n12n,,n定理1.2.5,夹逼准则,设收敛数列ac都以为极限～数列满ab,,,,,,,nnn N足:存在正数～当nN,时～有 00～ acb,,nnnc则数列收敛～且. limca,,,nn,,n,定理1.2.6,归结原则,设f在内有定义.存在的充要Ux;,limfx，，，，0xx,0,条件是:对任何含于且以x为极限的数列～极限xUx;,limfx，，,,，，0n0n,,n都存在且相等.第二章数列极限的求法 2.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时～关键是找到正数.我们前面一节的N3定理1.2.4,几何算术平均收敛公式,的证明就可用数列极限来证明～我们来看几个例子.n例2.1.1 求,其中. limaa,0,,nn解,. lim1a,,,n1n事实上～当时～结论显然成立.现设.记,则. a,1a,1,,0,,,a11,,nn由 , anna1111,,,，,，,，,，，,,,,1a,1n得 . ,5, a,,1n11a,1nn任给,由,5,式可见～当时～就有.即.,,0a,,1,nN,,a,,1,,n所以. lim1a,,,n11n对于的情况～因,由上述结论知,故 ,1,01,,alim1,,naa11n . a,,,limlim1n,,,,nn1a1/n综合得时,. a,0lim1a,,,n例2.1.2 定理1.2.4,1,式证明. 证明,由～则～存在N,0～使当nN,时～有limaa,,,,011n,,n, aa,,,/2n则aaa，，，...112n . ,,,，，,，,，，,aaaaaaaaa......，，，11NNn11nn caaaa,,，，,...令～那么 1N1aaa，，，...nN,,c12n1 . ,,，,annn24c,c由～知存在～使当时～有. N,0nN,,lim0,22n,,n2n再令,故当时～由上述不等式知 NNN,max,nN,,,12aaa，，，...,,,,nN,12n1 . ,,，,,，,a,nn2222aaa，，，...12n所以 . lim,a,,nnn7例 2.1.3 求. limn,,!nn7解:. ,lim0,,nn!n7777777777771 事实上～,,,,,,,,. ......nnnnn,!127817!6!n7771即. ,,,0nn!6!7，，71对～存在～则当时～便有 ,,,0nN,N,,,,,6!，，nn77771所以. ,lim0,,,,,，0,,nn!nn!6!ncc注:上述例题中的7可用替换～即. lim00,,c，，,,n!n2.2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话～计算量会太大.若已知某些极限的大小～用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.mm,1ananana，，，，...mm,110例2.2.1 求,其中. mkab,,,，，00limmkkk,1n,,bnbnbnb，，，，...kk,110,k解:分子分母同乘～所求极限式化为 nmkmkkk,,,,,11anananan，，，，...mm,110.lim,,,11kkn,,bbnbnbn，，，，...kk,1105,,由知～ lim00n,,，,，，n,,amk,m当时～所求极限等于,当时～由于～故此nn,,00mk,mk,，，bm时所求极限等于0.综上所述～得到a,mmm,1,km,...ananana，，，，,mm,110blim., ,mkk,1n,,bnbnbnb，，，，. ..kk,110,0,km,,na例2.2.2 求～其中. a,,1limn,,n，1ana1解: 若～则显然有, a,1,limn,,n，a12n若～则由得 a,1lim0a,,,nnann , limlim/lim10,，,aa，，n,,,,,,nnn，1a若a,1～则na11,,,limlim1n,,,,nn1，，a110 . ，1na2.3 夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性～它不仅给出了判定数列收敛的一种方法～而且也提供了一个求极限的工具.1321,,,,,n，，例2.3.1 求极限. limn,,242,,,,n，，解:因为22 24412121212121nnnnnnnn,,,,，,,,,,,，～，，，，，，，，所以61321,,,,,n，，13321211,,,,nn . 0,,,,,,,242,,,,n，，1335212121,,,,，，nnn1因～再由迫敛性知 ,lim0n,,n，211321,,,,,n，， . lim0,n,,242,,,,n，，n例2.3.2 求数列的极限. n,,n解: 记～这里～则 hn,,01anh,,，1，，nnnnn,1，，n2 , nhh,，,1，，nn22由上式得～从而有 ,,,hn01，，nn,12 , ,2, ,,，,，ah111nnn,1,,22,,数列是收敛于1的～因对任给的～取～则当,，,,0N11，,,2,n,1,,,, 2时有.于是～不等式,2,的左右两边的极限皆为nN,，,,,11,n11,故由迫敛性得n . lim1n,,,nkn*例2.3.3 设及～求lim. a,1kN,nn,,akn解:. lim0,n,,naa事实上～先令～把写作1，,～其中.我们有 ,,0k,1nnn2. ,,,,0nn2,nn1,，，,an1，，,，1，，2,,，，，1...n27k,,kn2nn,,,,由于～可见是无穷小.据等式～ ,,nlim02,，，,,nn2nn,,1/k,,a,n,a1，，,,a，，,,,,n,,1/k注意到～由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明～a,1,,n1/ka,,，，,,k,,n可表为有限个,个,无穷小的乘积～所以也是无穷小～即 k,,na,,kn . lim0,n,,na2.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛～再求其极限～此时该方法将会对我们有很大帮助～我们来看几个例子.nc例2.4.1 求例2.1.3注解中的. lim00,,c，，,,n!nnc解:. lim0,0,,c，，,,n!nnc*事实上～令.当时～ nc,xnN,,，n!nc . ,,xxxnnn，11，n，，x因此从某一项开始是递减的数列～并且显然有下界0.因此～由单,,nc调有界原理知极限存在～在等式的等号两边令xx,lim,xxnnn，1,,n1，n，，x～得到,所以为无穷小.从而 n,,xx,,,00,,nnc . lim00,,c，，,,n!nn例2.4.2 求极限,个根号,. lim333,,,n,,8解:设～～ a,,,,,3331aaa,,3nnn，1n故单调递增.又～设～ a,3aa,,33,,nn1则. aa,,，,3333nn，1又因有上界～故收敛.令由～ aaaa,3lim13aaa,,,，，,,,,nnnn，1n,,n对两边求极限得～故. aa,3a,32.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便～再利用归结原则即可求出数列极限.n例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求. lima,,nlnlnaalim1/0xxxx,,xx解,先求,因, limalimlimlim1aaeee,,,,,,,x,,,,,,xxx n再由归结原则知. lim1a,,,nn例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求. limn,,nlnlnxxlim0xxx,,xx解:先求.因～ limxlimlim1xeee,,,,,,x,,,,xxn再由归结原则知. lim1n,,,nk*na,1kN,例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设及～求. limnn,,akk,1xkxk!kx,,,,limlim.....lim0kxx解:先求.因,由洛比达法limxxxx,,,,,,xaaalnaaln，，x,,akn则,～再由归结原则知. lim0,n,,na2.6 定积分定义法通项中含有的数列极限～由于的特殊性～直接求非常困难～n!n!若转化成定积分来求就相对容易多了.9nn!例2.6.1 求. lim,,nnnnn11in!1i解:令～则.而, ,y,,,,,lnlnylimlnlimlnln1yxdx,,,,,,,0nnnnnnn,1,i1inn!,1也即～所以. lnlim1y,,,,limlimyen,,,,,,nnn,,2,,sinsin,,sin,nn求极限lim...，，，. 例2.6.2 ,,n,,11n，1,,nn，，n2,,解:因为,,,,22，，，sinsin...sinsinsin,sin,nnnn ,，，， ...11，，nn11，，nn2n,,2sinsin...sin，，，,nn, ～ 1n，n,,2sinsin...sin，，，,n，，12,,,,,nn,,,，，，limlimsinsin...sin,,,,,nn,,,,nnnnn，，11,,,，，，，12,,,,, ,，，，limsinsin...sin,,,,,n,,nnn,,，，,,12 ～ ,,sinxdx,0,,类似地,,2sinsin...sin，，，,nnlim n,,1n，n2n122，，,,,,, ～ ,,,，，，,limsinsin...sin,,,,,2n,,nnnn，1,,,,，，由夹逼准则知10,,2,,sinsin,,sin2,nn lim...，，，, . ,,n,,11n，1,,,nn，，n2,,注:在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz公式法yyy,nnn,1在求某些极限时非常方便～尤其Stoltz公式～limlim.,,ann,，,,，,xxx,nnn,1n是当时特别有效. ya,,nkk,1例2.7.1 同例2.1.2～定理1.2.4,1,式证明. 证明:前面用定义法证明～现用Stoltz公式证明. ,,N令～则由Stoltz公式得到 yaaaxn,，，，,...,nnn12aaa，，，...12nlim,,nnaaaaaa，，，,，，，......，，，，,12121nn,limn,,nn,,1，，an . ,,,limlimaan,,,,nn1kkk12...，，，nlim例2.7.2 求. ，1k,，,nnkkkk12...，，，nn解: ,Stoltz公式, limlim,，1，1kk，1k,，,,，,nnnnn,,1，，kn , ,二项式定理, lim，1k121,kk,，,n,，，,...1CnCn，，，，11kk11 ,. ,1Ck，1k，12.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会11*n发现很多类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. *，nn例2.8.1 同例2.1.1一样求,其中. limaa,0,,n解:令,由定理1.2.4,2,知 aaaaa,,,,,,...1123nn . limlim1aa,,n,,,,nnn例2.8.2 同例2.3.2一样求. limn,,nn解:令,由定理1.2.4,2,知 12,3,...aan,,,，，，1n1n,nn . limlimlim1,,,nan,,,,,,nnn,1nn例2.8.3 同例2.6.1相似求. limnn,,!nnnn，1，，1,,解:令,则 a,，,1n,,nnn,,n123n，1，，234aaa,,,,,,,,,,,,12n23n 123nnnnnn，，11，，，，n ,. ,,nnnn!!所以nn，1n ～ aaa,,,,,,,12nnnn!nnn也即～而由定理1.2.4,2,知 ,,,,,,,aaa12nn1n，!nn1,,n . aaaae,,,,,,,，,limlimlim112,,nn,,,,,,nnnn,,故nnnn . limlimlim,,,,,,,,,,aaaee12nn,,,,,,nnn，，11nn!n3n123...，，，，n例2.8.3 求. lim,,nn12n解:令～则由定理1.2.4,1,知 ann,,,1,2,3...，，n3n123...，，，，nn . limlimlim1,,,ann,,,,,,nnnn2.9 级数法若一个级数收敛～其通项趋于0,,,我们可以应用级数的n,0一些性质来求数列极限～我们来看两个实例来领会其数学思想.nc例2.9.1 用级数法求例2.1.3注. lim0,c，，,,n!nnc解:考虑级数～由正项级数的比式判别法～因 ,!nnn，1ccc ～ lim/lim01,,,nn,,,,，，1!!1nnn，，nncc故级数收敛～从而. lim00,,c，，,,,n!n!nkn*例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设及～求. lima,1kN,nn,,akn解:考虑正项级数～由正项级数的比式判别法～因 ,nakkkn，1，，nn111，,, ～ lim/lim1,,,,,,，1nn,,,,nnaaana,,kknn故正项级数收敛～所以. lim0,,nn,,naa，，111例2.9.3 求极限. lim...，，，,,222n,,nnn12，，，，，,,，，,1解: 因级数收敛～由级数收敛的柯西准则知～对～存在, ,,,0N,0,2nn1, 使得当时～ nN,1321nn,11 ～ ,,,,,22kkkk,,11111此即～，，，,,...222n，nn12，，，，所以，，111 . lim...0，，，,,,222n,,nnn12，，，，，,,，，12n,,例2.9.4 求极限. ，，，,lim...1a，，,,2n,,naaa,,,1n解:令～所以x,1.考虑级数～ nxx,,an,1n，1nx，1，，an，1因为～所以此级数收敛. limlim1,,,xnnn,,,,anxn ,,,nn1n1,,令～则.再令～ sxnx,sxxnx,,fxnx,，，，，，，,,,n1n1n1,,, ,,xxx1nn,. ,,,ftdtntdtx，，,,,,001,x11nn,,所以,x1,, . fx,,，，,,21,x,,1,x，，,1xa而 , sxxfx,,,,，，，，22,11x,，，1a,，，所以,112na,, . lim...，，，,,sx，，,,n22n,,,1aaa,,,1a，，2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外～针对不同的题型可能还有不同的方法～我们可以再看几个例子.1422例2.10.1 求. limsin,nn，，，n,,解:对于这个数列极限可用三角函数的周期性.2222 limsinlimsin,,,nnnnn，,，,，，，，nn,,,,n,,22 , limsinlimsin,2nn,,,,1，，nnn11，，n,2 ,. sin1,22accn例2.10.2 设, 01,,,,，，，caa，n11222a收敛～并求其极限. 证明:,,n解:对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛.首先用数学归纳法可以证明. 0,1,2...,,,acn，，nc事实上,.假设～ 0,,,ac01,,,acn1222acccccn则. 0,,，,，,，,ac，n12222222cx,fx,，令～则. fxx,，，，，22, aafafafaa,,,,,,,，，，，，，nnnnnn，,,111,～ ,1, ,,,,,aacaannnn,,11,aaa其中介于和之间.由于,再由,1,式知为压缩数列～01,,c,,nn,1n c故收敛.设,则. limal,,,lcn,,n2由于2acn ～ ,，a，n12215所以2cl2 . lllc,，,，,,2022解得,舍去,～. lc,，,11lc,,,11综上知. lim11ac,,,n,,n注:对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.第三章数列极限在现实生活中的应用 3.1 几何应用-计算面积在论文开始时～我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积～现在2我们再来介绍如何求抛物线与两直线和所围的面积. yx,y,0x,11121n,，，，，，，先将区间0,1等分为n个小区间～以这些小0,,...,1，，，,,,,,,,,nnnn，，，，，，222121n,,,,,,,n区间为底边～分别以为高～作个小矩形. 0...，，，，,,,,,,nnn,,,,,,n这个小矩形的面积之和是22nni,111,, Ai,,,,,1，，,,n,,3nnn,,,,ii11n,1nnn,,121，，，，112 , ,,i,33nn6i,1111,, ,. ,,1,,323nn,,AA这样我们就定义一个数列～对每个而言～它都小于欲求的,,nn1“面积”～但是这两者之间的差别不会大于长为1,宽为的矩形面积～n1An即～所以～当越来越大时～将越来越接近于欲求的“面积”～因nn此～我们可以定义此面积为161 . A,limn,,n3这种定义面积并求面积的方法简单又朴素～它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分:积分学.3.2 求方程的数值解我们都知道～是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近22～以达到事先指定的精确度,是二次方程的正根～所22x,,20以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.把问题提得更一般一些.设是任意给定的～我们来求的近aa,0a似值.给定的一个近似值～在两个正数中～一定有一个x,0ax,00x0大于xa另一个小于a～除非正好就是a.有理由指望这两个数的0,,1a算术平均值可能更加靠近～这便得到了更好的近似.axx,，,,102x0,, 事实上2,,111a2 . xaxaxaxaxa,,，,,，,,,,20，，，，,,10000222xxx000,,xx这表明:不论初值如何～得出的第一次近似值是过剩近似值.不01x妨设初值本身就是过剩近似值～因此.由此得出 xxa,,,0000xa,110 . 0,,,,,,xaxaxa，，，，10022x0xxa这个不等式告诉我们:第一次近似值到的距离至多是初值到10a的距离的一半.重复施行上述的步骤～便产生数列～其中 xxx，，，...,...01n17,,1a* ～ xxnN,，,，,,nn,12xn,1,,由111 ～ ,,,,,,,,,xaxaxaxa0...，，，，，，nnn,,1202n222可见.对于充分大的～数x与的距离要多小有多nalimxa,nn,,n小.让我们看看实际应用起来有多方便～设想我们需求的近似值.2取初值,这是相当粗糙的近似值,～反复迭代的结果是 x,20xxx,,,,,,2.0,1.5,1.4166，012x,,,,1.4142566，3 x,,,,1.41421356，4x,,,,1.41421356，5这已是相当精确的近似值.3.3 市场经营中的稳定性问题投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素～以股票为例～为尽量避免出现羊群行为～减少非理性投资～我们需要对股票的内在价值,即未来收入现金流的现值,有较清晰的认识～从而决定是该购买还是该售出～作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值.3.3.1 零增长模型假定股利增长率为0,因其内在价值如下,DDDDtt11 ,1, ,，，，，,......V,2tt1+i1+1+1+iii，，，，，，t1,12tt D,,V-内在价值～股息(红利)～贴现率,～ i,18现由假定知～ DDDDiiii,,,,,,,,......，1212tn所以此时股票内在价值为,DDDD ,，，，，,......V,2tt1+i1+1+1+iiit1，，，，，，,t,,D1,,1,,,,,,,11，，ii,,D,, ,lim,. ,2, ,,t1i1,1，i知道股票的内在价值后～可求出其净现值～即内在价值减去市NPV，，场价格～也即:. NVPVP,,当～该股票被低估～可买入,当～被高估～不益购买. NVP,0NVP,0例:某公司在未来无限期支付每股股利为8元～现价65元～必要收益率10%～评价该股票.解:利用,2,式结论可求得该股票的内在价值为:D8 . VNVPVP,,,,,,,,,808065150，i10%故该股票被低估～可以购买.3.3.2 不变增长模型假定股利永远按不变增长率g增长～即，，t ～ DDgDg,，,,，1...1，，，，,10tt代入,1,式得此时内在价值为19t,,Dg1，，，1，g,,01,,,,,t,,,,11ii，，,,DgDg11，，，，，，DD00,,t1.,3, V,,,,,lim,,tt,,t1，gigig,,1+1+ii,,11tt，，，，t1,1，i 例:去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每年5%增长～假设必要收益率为11%～当每股股票价格为40元～评价该股票.解:利用,3,式的结论～由于～可知 D,，，,1.8015%1.89，，11.8015%，，，，股票内在价值～故 V,,31.5011%5%,～ NVPVP,,,,,31.50400该股票被高估～建议出售.3.4 购房按揭贷款分期偿还消费贷款的还款,即按揭,大多为年金方式～故存在一些年金计算问题.下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析.P设表示总的房款金额～表示首次付款比例～表示年利率～kinR表示分期付款,贷款,的总年数～表示每月底的还款金额～则有如下的价值方程12，，～ 112,,kPRa，，n12，，11,,kPkiP，，，，进一步有 . ,4, R,,12，，12ia12annn1,v2n其中 . aavvv,,，，，,...nini上述是针对有限期限付清的情况～如果考虑永久期末年金:在每个付201m，，款期末付款上货币单位～直至永远.若将该年金的现值记为～a,m则有计算公式12,,11mm，，，，mm . avva...lim,，，,,,,,m，，n,,nmi,,代入,4,式即可.通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额.第四章结论通过上述章节我们探讨了数列极限的求法并简要介绍了它在现实生活中的应用.我们知道极限是数学分析的基石～是微积分学的基础～可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限和微积分的前提和基础～灵活巧妙的应用它～也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样～给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以～国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断～同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决～去突破.21。
高职专科高等数学教材
高职专科高等数学教材封面编写者：XXX版权所有，未经许可禁止复制或转载目录导言1第一章数列和极限21.1 数列的概念21.2 数列的极限31.2.1 数列极限的定义31.2.2 数列极限的性质41.3 极限的运算性质 5第二章函数与解析几何72.1 函数的概念72.1.1 函数的定义72.1.2 函数的性质92.2 解析几何基础102.2.1 点、直线、平面102.2.2 坐标系与坐标112.2.3 曲线的方程12第三章导数与微分133.1 导数的引入133.2 导数的计算143.2.1 基本求导公式143.2.2 复合函数的导数公式153.3 微分的概念163.3.1 微分的定义163.3.2 微分的应用17第四章不定积分194.1 不定积分的定义 194.2 基本积分公式204.3 分部积分法224.4 定积分与不定积分的关系23第五章二元函数与偏导数255.1 二元函数的概念 255.2 偏导数的定义265.2.1 偏导数的计算265.2.2 高阶偏导数275.3 多元函数的极值与条件极值285.3.1 多元函数的极值285.3.2 条件极值与拉格朗日乘数法29第六章无穷级数与幂级数316.1 无穷级数的收敛性316.1.1 无穷级数的概念316.1.2 收敛级数与发散级数326.2 幂级数的性质336.2.1 幂级数的收敛半径和收敛域33 6.2.2 幂级数的求和34附录36A.1 常用数学符号表36A.2 比例关系与近似计算37A.3 常用函数表39导言本教材是为高职专科数学专业学生编写的高等数学教材，以帮助学生建立扎实的数学基础，为其日后的学习和实践打下坚实的基础。
本教材内容涵盖了数列和极限、函数与解析几何、导数与微分、不定积分、二元函数与偏导数、无穷级数与幂级数等重要内容。
在编写过程中，我们注重理论与实践的结合，力求将抽象的数学概念与实际问题联系起来，提供具有实用性和应用性的教材。
数列与数列的极限与等差数列的求和问题解答
数列与数列的极限与等差数列的求和问题解答数列是数学中一个重要的概念，它在各个领域的应用都非常广泛。
而数列的极限和等差数列的求和问题则是数列中的两个重要的研究方向。
本文将详细探讨数列的极限以及等差数列的求和问题，并提供相应的解答。
一、数列的极限数列的极限是指数列随着项数无限增加时的某种趋势或特性。
数列的极限有多种形式和概念，其中最常见的包括数列的极限存在、极限值、极限趋向性等。
1.1 数列的极限存在对于一个数列$\{a_n\}$而言，若存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon>0$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$都成立，则称数列的极限存在，并称该实数$a$为数列的极限。
1.2 极限值若数列存在极限，则极限的值可以通过求解数列的通项公式来确定。
例如，对于等差数列$\{a_n\}$，其通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。
通过代入$n\to\infty$，我们可以得到等差数列的极限值。
1.3 极限趋向性对于一个数列$\{a_n\}$而言，若当$n\to\infty$时，数列的项$a_n$无限接近于一个特定的实数$a$，则称数列以实数$a$为极限。
具体而言，如果数列随着项数的增加，总是逐渐趋向于实数$a$，则称数列是收敛的；反之，如果数列的项没有任何趋向于特定实数的倾向，即无论项数如何增加，数列都不会趋向于某个实数，则称数列是发散的。
二、等差数列的求和问题解答等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与它的前一项之差都相等。
等差数列的求和问题是指求解等差数列中一定范围内所有项的和值。
以下将介绍两种常见的求解等差数列求和问题的方法。
2.1 求和公式对于一个等差数列$\{a_n\}$，其通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$。
如果我们希望计算该等差数列在$m$和$n$之间的所有项的和，可以使用等差数列求和公式来解决。
1.2.1 数列极限
lim n2 a2 1
n
n
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 若q=0则上式显然成立 下证q≠0的情形
任给 0, （不妨设ε＜1）
xn 0 qn , n ln q ln ,
n ln , ln q
取N [ln ] 1,
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于 常数a, 则称数列{xn}的极限为a. 观察数列
注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1
已知
xn
(1)n (n 1)2
证明
lim
n
xn
0
证明
|
xn
0
|
(n
1 1)2
1.2.1数列的极限定义分解
若数列｛yn｝没有极限，则称数列｛yn｝是发散的。
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例题：
(1)
1 1 1 :1, , , n 2 3 1 , , n
1 lim 0 n n
1 (1)n lim 0 n n
1 (1) n1 2 2 1 (1) n1 (2) , : 2,0, ,0, ,0,, n 3 5 n
收 敛
n (1) n1 xn 1 ( n ) n 2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
xn (1) n1 趋势不定
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散
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例1. 已知
求数列
的极限.
例2. 已知
求
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第二节 目录
(3) (1)n : 11, ，1,1, ,(1) n , (4)
lim(1)n
n
不存在 不存在
n :1,4,9,16,
2
,n ,
2
lim n
n
2
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1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
1.2.1 数列的极限定义
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一、案例 割圆术
1[圆面积的计算]
如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A1表示圆内接正6边形面积,
A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积,
,
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（ 令 xn
1 n 1
2
n 2 1
2
......
n n
2
） ； yn
1 n n
2
......
1 n n
2
）
n n n
2
zn
1 n2 1
n2 1
...... 1
1 n2 1
）
n n2 1 n
则有 y n x n z n ，
lim y n
m 1、Cn
(2)求出 xm xn 时 n 的取值范围（可适当扩大范围）
（3）利用数学语言表述。
n! m!(n m)!
n r 0
n r r ( nr ) 2、二项式定理：（ a b） Cn ab
共计n 1项，r从0开始。 3、否定叙2 n
1 1 n
1 ， lim z n
n
n2 1
1 1 1 2 n
1 ， lim y n lim z n 0, 则 lim x n 1
n n n
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 准则Ⅲ（柯西收敛准则）数列 xn 有极限 0, N N , m, n N , 有 xm xn ，则数列存在极限。 ①翻译：对于一个数列，当项数大于某个数的时候， xm 和xn 无限接近，趋近于某一个数（极限） 。 ②例、设 xn
2
xE xE
定理 6（确界存在定理）有上（下）界的非空数集，必有上（下）确界。 定理 7、若数列 xn 的的极限是 ，则 xn 的任何子数列的极限也为 。 定理 8（区间套定理）设封闭区间数列 a n , bn 是一区间套，则存在唯一点 ，使 lim a n lim b n 。
1 lg a lg a lg(1 ) n n lg(1 )
lg a （限定 0 0 a 1)，N N , n N有 n a 1 lg(1 )
4、思路总结：已知极限反证 N 的存在。 ①根据
n
1、数学语言描述： 0, N N , n N有 xn a , 这是数列极限的 - N定义。 2、翻译：当 n 趋近无穷大的时候， xn 无限趋近于 a,即 xn a 小于任意小的正数 。 3、例、证明 lim n a 1
n n n a 1 （0 a 1)； a 1
n n
定理 9（致密定理）任意有界数列必有收敛的子数列。 三、数列收敛判别法 准 则 Ⅰ （ 夹 挤 定 理 ） 设 xn ， y n ， z n 是 三 个 数 列 ， 若 N N , n N，有y n x n z n ，
1
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n
a 1的最大值确定 的最大值 。
② 根据 n a 1 求解 n 的取值范围后 N 取整。 ③利用数学语言表述。 二、数列的性质 定理 1（唯一性）若数列 xn 存在极限，则极限值唯一。
定理 2（有界性）若数列 xn 有极限则 xn 有界。但有界数列不一定有极限。例 1， 0， 1， 0， 1， 0。。。
sin 1 sin 2 sin 3 sin n 2 3 ...... n ，证明数列是收敛的。设 m>n 2 2 2 2 1 m-n 1 - ） 1（ 2n 2
1 1 m-n 1（ - ） sin( n 1) sin( n 2) sin m 1 1 1 1 1 2 2 1 xm xn ...... m n ( 2 ...... （m n）) = n n 1 n2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2n 12
定理 3（保序性）若数列 xn 的极限大于 y n 的极限，则当 n 大于某一数 N 时， xn yn 定理 4（数列极限的四则运算）数列加减乘除后的极限等于数列的极限加减乘除。 定理 5 若数集有上（下）确界，则上（下）确界是唯一的。
sup E或 sup x称 是数集 E 的上确界； inf E或a inf x 称 是数集 E 的下确界。
1 1 1 1 1 0 0 ）N log 2 , m n N , 有 xm xn ,根据柯西收敛准 ,2 n , n log 2 , （限定 n 2 2
则 xn 收敛。 ③思路总结： （1）设 m>n 四、公式补充
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1.2.1 数列的极限
一、定义 1： 设数列 xn ， a 是常数， 若对任意给定的 >0， 总存在一个正整数 N， 使当一切 n>N 时都有， 不等式 xn a 则 a 称为数列 xn 的极限，记为 lim xn a或xn a , ( n ) ，这时我们说 xn 是收敛的（有极限） ，反之称为发散。
lim y n lim z n a, 则 lim x n a
n n n
①翻译：若三个数列中间夹了一个，两侧两个数列极限一样，则中间数列极限必与两侧相同
（ ②证明 lim
n
1 n2 1
1
1 n2 2
...... 1
1 n2 n
）存在并求其极值。 1 n n