高数1-2极限概念
大一高数极限知识点归纳总结
大一高数极限知识点归纳总结大一高数中的极限是一个非常重要且基础的概念，它在数学中发挥着至关重要的作用。
极限的概念在不同领域有不同的含义和应用，如物理学、工程学等。
在学习极限的过程中，我们需要深入理解其原理和应用，下面将对大一学生常见的高数极限知识点进行归纳总结。
一、数列极限数列是由一系列数按一定顺序排列而成的特殊集合。
数列可以是无穷的，因此讨论数列时就需要考虑其极限。
数列极限可以理解为数列中的数随着序号的增大趋于某个确定的值。
数列极限的计算需要了解一些基本的性质和方法。
对于数列 {an} ，当n趋于无穷时，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，当n>N时，有|an - a| < ε，那么我们就称数列 {an} 的极限为a，记作lim(an) = a。
在计算数列极限时，可以运用数列的极限性质和一些基本的极限运算法则。
例如，当我们遇到常见的几何数列或等差数列时，可以根据其规律推导出极限值。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋于某一个值时，函数的取值趋于某个确定的值。
函数极限是数学分析的基础，对于理解和应用各种函数的性质和特点至关重要。
对于函数 f(x)，当x趋于某个值x0时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们就称函数 f(x) 的极限为L，记作lim f(x) = L。
计算函数极限需要运用一些基本的极限性质和方法，如极限的四则运算法则、极限的复合法则等。
此外，还需要结合一些常见函数的特性，如指数函数、对数函数、三角函数等，来求解更加复杂的函数极限。
三、无穷极限无穷极限是指当极限的自变量趋向于无穷大或无穷小的情况下，函数的取值趋于不同的极限。
无穷极限的研究可以帮助我们更深入地理解和运用数学中的极限概念。
1. 当x趋于正无穷大(+∞)时，我们写作x→+∞。
高等数学极限总结
摘要高等数学教学中对于极限部分的要求很高,这主要是因为其特殊的地位决定的.然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘.本文立足教材的基本概念阐述,着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路.希望以此文能对学习者有所帮助.关键词高等数学极限技巧高等数学极限运算技巧高等数学的极限与连续是前几章的内容,对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节.是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段.一,极限的概念从概念上来讲的话,我们首先要掌握逼近的思想,所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势这种变化趋势是具有唯一性,那么函数的应变量同时具有一种趋势,而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性.通俗的来讲,函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值,我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限从数学式子上来讲,逼近是指函数的变化,表示为.这个问题不再赘述,大家可以参考教科书上的介绍.二,极限的运算技巧我在上课时,为了让学生好好参照我的结论,我夸过这样一个海口,我说,只要你认真的记住这些内容,高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决.现在想来这不是什么海口,数学再难也是基本的内容,基本的方法,关键是技巧性.我记得blog中我做过一道极限题,当时有网友惊呼说太讨巧了其实不是讨巧,是有规律可循的今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助我们看到一道数学题的时候,首先是审题,做极限题,首先是看它的基本形式,是属于什么形式采用什么方法.这基本上时可以直接套用的.1,连续函数的极限这个我不细说,两句话,首先看是不是连续函数,是连续函数的直接带入自变量.2,不定型我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性,确实.那么下面详细说明一些注意点以及技巧.第一,所有的含有无穷小的,首先要想到等价无穷小代换,因为这是最能简化运算的.等价代换的公式主要有六个：需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的,即：在含有加减运算的式子中不能直接代换,在部分式子的乘除因子也不能直接代换,那么如果一般方法解决不了问题的话,必须要等价代换的时候,必须拆项运算,不过,需要说明,拆项的时候要小心,必须要保证拆开的每一项极限都存在.此外等价无穷小代换的使用,可以变通一些其他形式,比如：等等.特别强调在运算的之前,检验形式,是无穷小的形式才能等价代换.当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换,即无穷大的倒数是无穷小.这需要变通的看问题.在无穷小的运算中,洛必答法则也是一种很重要的方法,但是洛必答法则适用条件比较单一,就是无穷小比无穷小.比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况.特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式,这根据做题的需要来进行.第二,在含有∞的极限式中,一般可分为下面几种情况：1,“∞/∞ ”形式如果是幂函数形式的包含幂函数四则运算形式,可以找高次项,提出高次项,这样其他一切项就都是无穷小了,只有高次项是常数.比如：,这道题中,可以看到提出最高次x注意不是其他项都是“0”,原来的x都是常数1了.当然如果分式形式中,只有分子中含有高次项,那么该极限式极限不存在是无穷大,如果只有分母中含有高次项,那么该极限式极限为0,如果分子分母都含有高次项,我们可以直接去看高次项的系数,基本原理其实就是上面所说的提高次项.比如上面的例子,可以直接写1/2.如果不是纯幂函数形式,无法用提高次项的方法提高次项是优先使用的方法,使用洛必达也是一种很好的方法.需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法,它的严格限制形式只有这两种,所以比较好观察.但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决,这主要是考虑运算量的问题.2,“∞-∞ ”形式“ ∞-∞”形式不能直接运算,需要转换形式,即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式,基本解法同上.比如：这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式,提高次项解.3“”形式这也是需要转换的一种基本形式.因为无穷大与无穷小之间的倒数关系,所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的.转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式.第三,“”这种形式的解决思路主要有两种.第一种是极限公式,这种形式也是比较直观的.比如：这道题的基本接替思路是,检验形式是“”,然后选用公式,再凑出公式的形式,最后直接套用公式.第二种是取对数消指数.简单来说,“ ”形式指数的存在是我们解题的主要困难.那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了.比如上面那道题用取对数消指数的方法来解,是这样的：可以看出尽管思路切入点不一样,但是这两种方法有异曲同工之妙.三,极限运算思维的培养极限运算考察的是一种基本能力,所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法.掌握一定的技巧可以使学习事半功倍.而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义.如何培养,一方面要立足概念,另一方面则需要在具体的运算中体会,多做题多总结.。
高数1-3无穷小无穷大与极限运算法则
lim f ( x) A , lim g ( x) B,
且 f ( x) g ( x),
则
A B .
( P45 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x)
1.lim(2 x 1)
x 1
x 1 2.lim 2 x 2 x 5 x 3
3
*. 设有分式函数
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 直接得出结论 .
定理 5 :若
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0 ,
当 当
时,有 时,有
取 min 1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2 2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小。
备选题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
高数 1.2.1极限概念
S 2 a 0
a0 q
S3 a0 a0 q a0 q 2
2 Sn a0 q n a a q a q 0 0 0 k 0 n 1
a qk
0
………
现在研究数列｛sn｝的收敛问题. 如果q 1时 n n a aq 2 n1 a aq , sn a aq aq aq 1 q 1 q 1 q
自变量趋向负无穷大时函数的极限
例 1. 2. 8
x
l i mx 2
0 .
2015 年 2 月 14日 1 1 时 3 9 分
自变量 x 趋向无穷大时函数的极限
(4) x→∞: | x | 无限地增大，如下例.
例 1. 2. 9
1 l i m x x
1 0 . 数列的极限 lim 0 为其特例. n n
lim y A.
x
读作 x 趋于□时函数y 的极限是Ａ. x→□ 的六种不同情况： (1) x→a: a 为常数，如例 1. 2. 7 中x→0. (2) x→＋∞: x 的值无限地增大，如例 1. 2. 8. (3) x→－∞: x 的值无限地减小，如下例 1. 2. 9.
下一张
2015 年 2 月 14日 1 1 时 3 9 分
当q 1时, 收敛 aq n 0 当q 1时, 发散
n
sn 不存在 , 此时级数也发散. 如果 q 1, lim n
综上所述
2015 年 2 月 14日 1 1 时 3 9 分
例 2.2.6 把循环小数 2.317 2.3171717 表示成
分数的形式 .
2015 年 2 月 14日 1 1 时 3 9 分
高数1-2-3无穷小量与无穷大量
( f ( x) M ) , 若在定义中将 ①式改为 ( lim f ( x) ) 则记作
x x0 ( x )
高 等 数 学
x x0
Higher mathematics
lim f ( x)
x
M 0, 0,当0 | x x0 | 时, X 0 | x | X 有 | f ( x) | M
3.无穷大量的运算性质
(1)有限个正无穷大量之和为正无穷大量； 有限穷大量之和或差不一定为无穷大量。
x x
如 x 0时， f ( x) 1 , g ( x) 1 均为无穷大量，但f ( x) g ( x) 0不是无穷大量。 (2)有限个无穷大量之积为无穷大量。 (3)非0常量C与无穷大量之积为无穷大量。
0
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当 0 x x0 2时, 恒有
M
.
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
而 lim
x 1
4( x 1) 2 0, x 1
所以 lim
x 1
4x2 4 8。 x 1
高 等 数 学
Higher mathematics
3. 无穷小的运算性质: 定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x 时的两个无穷小 ,
0, X 1 0, X 2 0, 使得 当 x X 1时恒有 ; 当 x X 2时恒有 ; 2 2 取X max{X 1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有 , 0 ( x ) 2 2 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
大一高数两个重要极限知识点
大一高数两个重要极限知识点大一的学生在学习高数时，会接触到很多重要的知识点，其中有两个极限知识点尤为重要。
极限是数学中一个非常基础且重要的概念，它在高数的学习中发挥着重要的作用。
本文将重点介绍大一学生在高数学习中应重点掌握的两个极限知识点。
一、函数的极限和极限存在条件在学习函数极限时，我们首先需要明确什么是极限。
简单来说，函数f(x)在点x=a处的极限是指当x趋于a时，函数f(x)的取值趋于一个确定的有限值L。
数学中常用的表示方法是：lim(x→a) f(x) = L但是，在讨论函数极限时需要注意函数的定义域，并非所有函数都存在极限。
一个函数在某一点的极限存在的条件是，无论从函数的左边还是右边逼近这一点，函数的值都趋近于同一个值。
例如，对于函数f(x) = x/(x-1)，当x趋近于1时，从左边和右边逼近，函数的值分别是1和-1/2，因此函数在这一点不具备极限。
在求解极限时，我们可以利用一些基本的极限公式，如常数定理、分式定理、指数幂函数定理等。
同时，我们还可以利用夹逼定理、唯一性定理等重要定理来判断函数极限的存在与计算具体的值。
二、无穷大与无穷小在学习极限时，我们还需要了解无穷大和无穷小的概念。
无穷大是指当自变量趋于某个值时，函数的取值无限增加或无限减小。
无穷小则相反，是指当自变量趋于某个值时，函数的取值无限接近于0。
在高数中，我们用符号±∞来表示无穷大。
例如，当x趋于∞时，函数f(x) = x²的取值趋于无穷大，我们可以表示为：lim(x→∞) f(x) = +∞同样，我们用符号±0来表示无穷小。
当x趋于0时，函数f(x)= sinx / x的取值趋于0，可以表示为：lim(x→0) f(x) = 0无穷大和无穷小往往与极限的求解密切相关。
在求解一些复杂的极限问题时，我们需要用到无穷大和无穷小的性质，以及与之相关的一些重要极限公式，如洛必达法则等。
需要特别注意的是，无穷大和无穷小并不是绝对存在的，它们的存在与具体问题密切相关。
大学高数第一章函数和极限ppt课件
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
高数极限知识点总结大一学生
高数极限知识点总结大一学生高数极限知识点总结在大一学生学习高等数学的过程中，极限是一个重要的概念和知识点。
理解和掌握极限的概念对于后续学习微积分等相关内容非常重要。
本文将对大一学生需要掌握的高数极限知识点进行总结和概述。
一、极限的定义极限是数学中的重要概念，指的是当一个变量趋近于某个值时，函数在这个值附近的表现。
对于一般函数，极限的定义如下：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的ε（ε>0），都存在一个对应的δ（δ>0），使得当0 < |x-x0| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，那么就称函数f(x)在x0处的极限为L。
二、极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)在点x0处存在极限，则该极限唯一。
2. 局部有界性：若函数f(x)在点x0处存在极限，则必然存在着它的一个去心邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界。
3. 局部保号性：若函数f(x)在点x0处存在极限且极限为L>0（或L<0），那么存在一个去心邻域，使得函数f(x)在该邻域内保持符号不变。
三、求解极限的方法1. 函数极限性质：函数的基本运算，包括四则运算、乘方运算、复合运算等。
2. 两个重要极限：〖lim〗_(x→∞) ((1+1/x)^x)=e 〖lim〗_(x→0) ((sinx)/x)=13. 无穷小量和无穷大量的关系：对于函数f(x)，当x趋近于某个值x0时，若f(x)的极限为0，则称f(x)是x→x0时的无穷小量。
四、常见的极限1. 基本初等函数极限：常数函数极限、幂函数极限、指数函数极限、对数函数极限、三角函数极限等。
2. 不定式极限：0/0型极限、∞/∞型极限、0*∞型极限、1^∞型极限等。
3. 复合函数极限：由若干个函数的运算和复合而成的函数的极限。
4. 变量替换法：常用的变量替换有有理函数的分子分母分别用t替换，指数函数与对数函数互为反函数等。
高数函数的极限知识点
高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。
2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。
2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。
3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。
三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。
高数1-2极限概念
函数与极限
13
例3 用定义证明 lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
取X 1,
因此
即 就有
函数与极限
y
y
1
x
ox
14
2.自变量趋于有限值时函数的极限
若函数 自变量
在点 的某个去心邻域内有定义, 当
时, 若对应的函数值
无限接近于
某个确定的常数 则称 为函数 在 时的极限.
,任 给 正 数ε，要 使
yn
0
1 n
则
对
于
ε
数 列{
1 n
},随
着n的
无
限
增
大
，xn无
限
接
近
于0.
称0是数列{ 1 }当n趋于无穷时的极限.
n
函数与极限
4
定义1 设数列 { yn }, A是一常数，如果对于任意给定
的正数 ε (不论它多么小), 总存在正整数 N , 使得对于
n N 时的一切 yn , yn A 都成立, 那么就称常 数 A是数列 { yn } 的极限, 或者称数列 { yn } 收敛于 A,
" " 定义
使当
时, 有
lim f (x) A 的几何意义:
x x0
y
A
A
A
y f (x)
x0 x0 x
函数与极限
16
利用定义证明函数当x x0时的极限
用定义证函数极限存在时,关键是对于任意给定的
0,寻找满足条件的正数 δ ,如果找到了这样的 δ ,
那么就证明了δ的存在性,也就证明了极限的存在.
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
高数第一章函数与极限知识点总结
1.2.1 数列极限的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2
数列的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7.2
...................................... 5
1.7.3
定 ......................................... 5
1.8 函数的
与
...................................... 5
1.8.1 函数的
映射的定义
映射 g
映射的
g 的值域 Rg
f f 的定
1
义域
Rg ∈ D f
则
映射 g f 的
义
g◦ f
义
义
映射 f ◦ g 与 g ◦ f
映射 的 f ◦g f ◦g 与 g◦ f
1.1.2 函数
函数的概念
定义 1.4. 设数集 D ∈ R，则称映射 f : D → R 为定 义在 D 上的函数，通常简记为 y = f (x)，x ∈ D， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义 域，记作 D f , 即 D f = D。
). 如果
lim f (x) = a
x→x0
且 a > 0(或 a < 0), 所以 ∃(正整数 N), 当 n > N, 都有 xn > 0(或 xn < 0).
高数1-2-3极限
x
x x0
lim f x 0
则称当
x 时， f x 为无穷小。
同样可以定义:
当x x0 0, x x0 0, x , x ，n 时的无穷小 .
( x 3 7 x 6) x 2 2 x 3 ( x 2)
16
3x 6 3x 6 0
(4）两个都是无穷大的有理分式函数之差的极限
例7
2 x 求 lim 2 x 1 x 1 x 1
2 ( x 1)( x 2) 3 x 解： lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1)( x 1) 2
) 大，则称当 → x0 ( x → ∞时，f ( x )为无穷大 x .
记为
x → x0 x →∞
lim f ( x ) = ∞
注意：
（1）在某个极限过程中，变量f（x）为无穷大时，f( x ) 的极 限不存在，但是允许使用极限的符号来记。即:
x 时f ( x )为 无 穷 大 ， 记 作 lim f ( x )
注：① 无穷小是以 0 为极限的函数. ②绝对值很小的数不是无穷小，无穷小是变量. ０是作为
无穷小的唯一常数．
③说一个函数是无穷小，必须与自变量的变化过程相联系。 1 如：函数 当x 时为无穷小但当 x 1 时， . x 1 的极限为1.不是无穷小。 x
2
（二）无穷大 定义6
) 如果当x → x0 (或x → ∞时,函数f ( x )的绝对值无限增
关于高数数学极限总结归纳
【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式
【解】
例5.求极限
【解】
【注】本题除使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
(5)应用两个重要极限求极限
【说明】两个重要极限是 和
例6.求极限
【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：先凑出1，在凑 ，最后凑指数部分。
例8.求极限
【解】
(7)用洛必达法则求极限
例9.求极限
【说明】 和 型的极限，可通过洛必达法则来求。
【解】
【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。
例10.设函数 连续，且 ，求极限
【解】由于 ，于是
(8)用对数恒等式求 极限
例1ห้องสมุดไป่ตู้.求极限
【解】
【注】对于 形势的未定式 ，也可用公式
因为
例12.求极限
【解1】原式=
【解2】原式= [4]
四．参考文献
[1]极限理论 函数极限函数极限/727083fr=aladdin[3]同济大数学系 《高等数学 第七版 上册》北京 高等教育出版社 1987年
[4]来自QQ空间 由大学生笔记墙整理
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]
3.存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列 ， 及 满足以下条件：
（1）从某项起，即 ，当 时，有 ；
（2） ； ，
那么数列 的极限存在，且
准则Ⅰ＇如果（1）当 （或 ）时，
例1.
【解】
（2）约零因子求极限
例2.求极限
【说明】x→1表明x与1无限接近，但 。所以x-1这一零因子可以约去。
高数上册目录
高数上册目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的性质1.1.3 反函数与复合函数1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.3.1 无穷小的性质1.3.2 无穷大的性质1.4 极限的运算法则1.4.1 极限的四则运算法则1.4.2 极限的复合运算法则1.5 极限存在准则及两个重要极限1.5.1 极限存在准则1.5.2 两个重要极限公式第二章导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的几何意义2.2 函数的求导法则2.2.1 基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则2.2.3 复合函数的导数2.3 高阶导数2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 高阶导数的计算2.4 微分2.4.1 微分的定义2.4.2 微分的计算第三章微分中值定理3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 洛必达法则3.2.1 洛必达法则的形式3.2.2 洛必达法则的应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 不定积分的计算4.2.1 基本积分公式4.2.2 换元积分法4.2.3 分部积分法第五章定积分5.1 定积分的概念与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 定积分的计算方法5.2.2 定积分的几何意义5.3 定积分的应用5.3.1 定积分在几何学中的应用5.3.2 定积分在物理学中的应用第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.1.1 微分方程的定义6.1.2 微分方程的阶6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程6.2.2 一阶线性微分方程6.3 高阶微分方程6.3.1 高阶微分方程的解法6.3.2 线性微分方程第七章空间解析几何7.1 向量及其运算7.1.1 向量的概念7.1.2 向量的运算7.2 平面与直线7.2.1 平面的方程7.2.2 直线的方程7.3 曲面与空间曲线7.3.1 曲面的方程7.3.2 空间曲线的方程第八章多元函数微分8.1 多元函数的概念8.1.1 多元函数的定义8.1.2 多元函数的性质8.2 偏导数8.2.1 偏导数的定义8.2.2 偏导数的计算8.3 全微分8.3.1 全微分的定义8.3.2 全微分的计算8.4 多元函数的极值8.4.1 极值的定义8.4.2 极值的求法。
高数上册：极限概念解析
高数上册：极限概念解析关键信息项：1、极限的定义及表述方式：＿___________________________2、极限的性质与运算法则：＿___________________________3、常见极限类型及求解方法：＿___________________________4、极限与函数连续性的关系：＿___________________________5、极限在实际问题中的应用举例：＿___________________________1、极限的定义及表述方式11 数列极限的定义对于数列｛an}，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记为lim(n→∞） an ＝A 。
12 函数极限的定义设函数 f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当 0＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是函数 f(x) 当 x 趋于 x0 时的极限，记为lim(x→x0) f(x) ＝ A 。
13 极限的表述方式极限可以用数学语言精确地表述为“ε δ”语言，这种语言的严谨性使得极限的概念更加清晰和准确。
2、极限的性质与运算法则21 极限的唯一性如果数列或函数的极限存在，那么这个极限是唯一的。
22 极限的局部有界性如果函数 f(x) 在 x0 处有极限，那么在 x0 的某一去心邻域内，函数f(x) 是有界的。
23 极限的四则运算法则若lim(x→x0) f(x) 和lim(x→x0) g(x) 都存在，则有：lim(x→x0) f(x) ＋ g(x) ＝lim(x→x0) f(x) ＋lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) g(x) ＝lim(x→x0) f(x) lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) × g(x) ＝lim(x→x0) f(x) × lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) ／ g(x) ＝lim(x→x0) f(x) ／lim(x→x0) g(x)（lim(x→x0) g(x) ≠ 0）3、常见极限类型及求解方法31 无穷小量与无穷大量无穷小量是以0 为极限的变量，无穷大量是绝对值无限增大的变量。
高数一 第一章(函数与极限)1-2
17
再介绍几种函数： (1) 绝对值函数 x, x 0 y x , x , x 0 (2) 符号函数
1 , x 0 y sgn x = 0 , x 0 , 1 , x 0
y
0 y 1 。 0.
x
。 -1
18
x
显然，x x sgn x ;
f ( x ) f ( x ) sgn f ( x ).
y [ x ], 表示不大于 x 的最大整数。 如：[ 3.14 ] = 3, [ ] = - 4, [ 0.15 ] = 0.
( 图象见书 P. 9 图1—5 ) 符号函数与取整函数都是微机中的标准 函数。 把 3.14159 四舍五入取四位小数， 可作 [ 3.14159×10 4 + 0.5 ] ÷10 4 = 3.1416
19
(3) 取整函数
(4) 狄里克利函数 1 , x为有理数 y D( x ) ， 0，x为无理数
由此，还可构造出许多奇特的函数， sin x , x为有理数 如： y ， sin x，x为无理数 它们符合函数的定义，但它们的图象却 不是曲线段所能表示的。
10
二、函数
1. 函数概念 函数是数学分析这门学科研究的基 本对象，是用来表达变量之间完全确定 的依赖关系的一个数学概念。 函数的定义1： 两变量 x, y, 当一个变量 x 在实数域的 某个范围 （定义域 D）取一确定值时， 另一个变量 y 依照一定的法则（f ）， 总有确定的数值与它对应 （y 的取值 范围称为值域 W ）, 则称 y 是 x 的函数。 x —自变量， y —因变量.
o
a x
观察动点的运动
30
星形线
高数极限总结
高数极限总结高等数学中的极限是一个重要的概念，深入理解和掌握极限的性质和计算方法对于学习数学和应用数学都是非常关键的。
本文将对高数中的极限进行总结，从极限的定义、性质到计算方法进行系统地探讨。
1. 极限的定义极限是数学分析中最重要的概念之一，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。
对于函数$f(x)$当$x$无限接近某一点$a$时，如果$f(x)$的函数值趋近于某个常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x=a$处的极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。
这个定义可以形象地理解为“当$x$无限接近$a$时，$f(x)$趋近于$L$”。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，其中最基本的有唯一性、有界性和保号性。
- 唯一性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在，那么极限值$L$是唯一确定的，即唯一确定一个函数在某点的极限。
- 有界性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在，那么函数在某个邻域内是有界的，即存在一个上界$M$和下界$m$，使得对于所有的$x$都有$m\leq f(x)\leq M$。
- 保号性：如果函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在且为正数（负数），那么函数在某个邻域内保持正号（负号），即对于任意$x$，都有$f(x)>0$（$f(x)<0$）。
3. 极限的计算方法计算极限是数学分析中的基本技能，要熟练掌握各种计算方法。
- 代入法：对于简单的函数，可以直接将$x$的值代入函数中计算极限，如$\lim_{x\to3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$。
- 基本极限法则：根据极限的性质，可以利用基本的极限法则来计算复杂函数的极限，如$\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$。
- 多项式函数的极限：对于多项式函数，可以通过化简或利用洛必达法则来计算极限，如$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$。
极限的定义
两个重要极限例题
例1．lim sin 3x x0 sin 5x
例2．lim x0
1
cos x2
x
*例3．. lliimm((11 2x)3xtg
x x 1
x
π 2
x
高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
数 f ( x)当x x0(或x )时为无穷大,记作
lim f ( x)
(x或xx0 )
[例]
1．lim x3
x3 x2 9
2． lim x( x2 1 x) x
注意:代换的运用! ln(1+x)~x; ex 1 ~ x
本节小结
极限的定义 极限的运算法则 两个重要极限 无穷小量与无穷大量
1 极限的四则运算定理
若 lim f ( x) A , lim g( x) B则
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B 和差
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B 积
(3) 当B 0时 , lim f ( x) A 商
2 推论
g(x) B
推论 1．若 lim f ( x)存在 , 则
an
1 2 n1
数列——定义在自然数集合的函数
an f (n) 整标函数
y x2 ( x [0,1])
Sn
0
1 n
( 1 )2 n
1 n
( 2 )2 n
1 n
...(
n 1)2 n
1 n
12 22 32 ... (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
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lim f (x) A
xx0
或
f ( x) A (当 x x0 )
" " 定义
使当
时, 有
lim f (x) A 的几何意义:
xx0
y
A
A
A
y f (x)
x0 x0 x
利用定义证明函数当x x0时的极限
用定义证函数极限存在时,关键是对于任意给定的
0,寻找满足条件的正数 δ ,如果找到了这样的 δ ,
xx0
xx0
xx0
例6 验证 lim x 不存在. x0 x
x
x
证
lim lim
x x x0
x0
lim(1) 1 x0
lim x lim x lim1 1
x x x0
x0
x0
y
1
o
x
1
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
作业
P36 1.(2) 2.(2) 3.(1)(4) 5.
第二节
极限的概念
一、数列的极限 二、函数的极限
第一章
一、数列的极限
1. 数列极限的定义 定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大， 将其对应的函数值排成一列，
这样的一列数 称为一个数列，数列中的每一个数称为数列的项，
yn称为数列的一般项（通项）. 数列可简记为{ yn }.
一些数列的例子
例如
取N 2K,则当n N时有yn A ε.
lim
k
yn
A.
证毕．
二、函数的极限
1.自变量趋于无穷大时函数的极限 如果 x趋于无穷大 ( x 无限增大)时, 对应的函数值 f ( x) 无限接近于某个确定的数 A, 就称 A是函数 f ( x)当 x 趋于无穷大时的极限.
自变量趋向无穷大的三种情况 : x 、x 、x
证： f (x) A C C 0 ε 0,有 f (x) A 0 ε,
δ取任意正数, 当0 x x0 δ时
都有 f (x) C
lim C C. x x0
例6 用定义证明 lim x2 1 2.
x1 x 1
单侧极限:
左极限 lim f (x) A 或 xx0 0
f (x0 0) A
yn
0
1 n
则
对
于
ε
数 列{
1 n
},随
着n的
无
限
增
大
，xn无
限
接
近
于0.
称0是数列{ 1 }当n趋于无穷时的极限.
n
定义1 设数列 { yn }, A是一常数，如果对于任意给定
的正数 ε (不论它多么小), 总存在正整数 N , 使得对于
n N 时的一切 yn , yn A 都成立, 那么就称常 数 A是数列 { yn } 的极限, 或者称数列 { yn } 收敛于 A,
任取 0,只有有限个(至多只有N个)落在(a ,a )外.
利用定义证明数列极限
用定义证明数列极限时, 关键是对于任意给定的 0,
去证满足条件的正整数 N 的存在性.
例1
利用定义证明lim 1 0. n n
证 任给 0(取 1),
要使 yn
0
1 n
0
,
只要 1 , n
即n 1 ,
那么就证明了δ的存在性,也就证明了极限的存在.
例4
用定义证明lim xx0
x
x0
.
证： f (x) A x x0
ε 0,要使 f (x) A ε, 即 x x0 ε
取δ ε, 当0 x x0 δ时
有 f (x) A x x0 ε
lim
x x0
x
x0.
例5 用定义证明 lim C C xx0
思考题解答
~ n n 1
1 ln n ln(1 )（等价）
n
证明中所采用的 1 ln(1 ) ln(1 )
n ln n
ln 2
实际上就是不等式 ln 2 ln n ln(1 )
nn 即证明中没有采用“适当放大” ln n 的值
n
反而缩小为 ln 2 n
从而 n N ln(1 ) 时，
记为
lim
n
yn
A,
或
yn A
(n ).
如果不存在这样的常数A, 就说数列没有极限,称数列
是发散的.
ε N定义
lim
n
yn
A
0,正整数N ,使n N时,恒有 yn A .
其中 : 每一个或任给的; : 存在.
lim xn a的几何解释是
n
a 2
a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
y2k1 A(k ), y2k A(k ),
证 明： yn A(n ).
证
lim
k
y2k 1
A,
lim
k
y2k
A
0,K1 N ,使 Βιβλιοθήκη k K1 时,有 y2k1 A ,
K2 N ,使当k K2时,有 y2k A ε.
取 K max{ K1, K2 },
则当k K 时,有 y2k1 A ε, y2k A ε
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 1 0 即lim 1 0.
n
n n
习题 利用定义证明
lim
n
0.9999
1.
n
例2 证
设yn
C(C为常数),
证明lim n
yn
C.
任给 0 , 对于一切自然数n ,
yn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
yn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
x
x
x
lim f (x) A 的几何意义
x
y
A
A
A
X o
X
y f (x) x
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
例3 用定义证明 lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
取X 1,
因此
即 就有
y
2. 数列极限与子列极限的关系
定义：在数列 yn 中任意抽取无限多项并保持
这些项在原数列 yn 中的先后次序，这样得到
的一个数列称为原数列yn的子数列（或子列）．
y1, y2 ,yn1 ,yn , { yn }
yn1 , yn2 , yn3 , , ynk , { ynk } (显然nk k)
定理1(收敛数列与其子数列间的关系）收敛数列的 任一子数列也收敛．且极限相同．
1, 1 , 1 , 1 , , 1 , 234 n
2,4,8,,2n ,;
{1} n
{2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
1 {2n }
1,1, 1,,(1)n1,; {(1)n1}
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
问：对于数列 {
1 n
} ,随着n的增大,
ln 2
仅有 ln 2 ln(1 ) 成立，
n
但不是 ln n ln(1 ) 的充分条件．
n
练习题
一、利用数列极限的定义证明:
1、lim 3n 1 3 ； n 2n 1 2
2、lim0.999....9 1 n
二、设数列
xn
有界，又lim n
yn
0，
证明：lim n
xn
yn
0.
y
1
x
ox
2.自变量趋于有限值时函数的极限
若函数 自变量
在点 的某个去心邻域内有定义, 当
时, 若对应的函数值
无限接近于
某个确定的常数 则称 为函数 在 时的极限.
定义5.设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义 ,
若 0, 0,使得当 0 x x0 时, 有 f (x) A 则称常数 A 为函数 f (x) 当 x x0
yn有什么样的变化
趋势? 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,, 1 , 2345 n
随着 n 的增大， yn 0 越来越小，
且当 n 无限增大时，yn 0 可以任意小!
即任给正数ε，当n充分大时，有 yn 0 成立.
检验：对于数列{1 } 只要n 1 即可. n
,任 给 正 数ε，要 使
自变量趋向无穷大的其余两种情况 :
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理2 : lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A.
证 设数列 ynk 是数列 yn的任一子数列．
lim
n
yn
A,
0,N 0,使 n N 时,恒有 yn A .
取 K N,
则当 k K 时, nk nK nN N .
ynk A .
lim
k
ynk
A.
证毕．
定理 (收敛子数列与数列间的关系）对于数列 { yn }, 若
定义2.设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定义,若
0, X 0,当 x X 时, 有 f (x) A , 则称
常数A 为函数 f (x)当x 时的极限,记作