4.5相似三角形的性质及其应用(1)同步导学练(含答案)

4.5 相似三角形的性质及其应用（1）相似三角形的对应线段（对应边，对应边上的中线、高线、对应角的平分线）之比等于相似比．1.如图所示， ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE ∶BC=2∶3，那么下列各式错误的是(C ).（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）2.如图所示，在△ABC 中，D 论中，正确的是(C ).，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE∥BC，点F 为BC 边上一点，连结AF 交DE 于点G ，则下列结3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，过点O 作AB 的垂线与弦AC 交于点D ，连结BC ，若OD=3，⊙O 的半径为4，则CD 等于(A ).A.1.4B.1.8C.2.4D.2.64.如图所示，边长为12的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上.若BF=3，则小正方形的边长为(A ). A.415B.23C.4D.5 （第5题）（第6题）（第7题）（第8题）5.如图所示，Rt△OAB 的顶点与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=3BO ，当点A 在反比例函数y=x9（x ＞0）的图象上移动时，点B 坐标满足的函数表达式为(A ). A.y=-x 1（x ＜0）B.y=-x3（x ＜0） C.y=-x 31（x ＜0）D.y=-x 91（x ＜0） 6.如图所示，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB 的长为 10 ．7.如图所示，在 ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果FD BF =32，那么BC BE = 32． 8.如图所示，已知在△ABC 中，AB=3，AC=2，D 是边AB 上的一点，∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AQ 分别与CD ，BC 交于点P ，Q ，那么AQAP 的值为32． 9.如图所示，MN 经过△ABC 的顶点A ，MN∥BC，AM=AN ，MC 交AB 于点D ，NB 交AC 于点E ，连结DE ．（第9题）（1）求证：DE∥BC．（2）若DE=1，BC=3，求MN 的长．【答案】(1)∵MN∥BC，∴.∵AM=AN，∴BD AD =EC AE .∴DE∥BC. (2)∵DE∥BC，∴.∴MN=2AM=3. 10.如图所示，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.（1）求证：BE 2=EG·EA.（2）连结CG ，若BE=CE ，求证：∠ECG=∠EAC.（第10题）【答案】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°.∵AE⊥BD，∴∠BGE=90°=∠ABC.∵∠BEG=∠AEB，∴△ABE∽△BGE.∴BE EA =EGBE .∴BE 2=EG·EA. (2)由(1)证得BE 2=EG·EA，∵BE=CE，∴CE 2=EG·EA.∴EG CE =CE AE .∵∠CEG=∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG=∠EAC.11.如图所示，等腰直角三角形ABC 的直角边长为3，P 为斜边BC 上一点，且BP=1，D 为AC 上一点.若∠APD=45°，则CD 的长为(C ).（第11题）（第12题）（第13题）（第14题）12.如图所示，D 是等边三角形ABC 边AB 上的一点，且AD ∶DB=1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ∶CF 等于(B ).13.如图所示，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ），在△ABC 内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，则DE 等于(C ).14.如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA⊥CA 交DB 的延长线于点E ，若AB=3，BC=4，则AE AO 的值为247 . 15.如图所示，在 ABCD 中，过点A 作AE⊥BC，垂足为点E ，连结DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B.若AB=5，AD=8，AE=4，则AF 的长为 25．（第15题）（第16题）（第16题答图）16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD 交AC 边于点E ，且AE=4，则BE·DE= 20 .【解析】如答图所示，延长CA 到点F ，使得AF=AB ，连结BF ，则∠F=∠ABF=21∠BAC.∵∠BAC=2∠BDC，∴∠F=∠BDC.又∵∠FEB=∠DEC，∴△FEB∽△DEC.∴CE BE =DE FE .∵AE=4，AB=AC=6，∴EF=10，CE=2.∴2BE =DE10.∴BE·DE=20. 17.如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A(34，35)，点D 的坐标为（0，1）. （1）求直线AD 的函数表达式.（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标.(第17题) 图1图2（第17题答图） 【答案】(1)设直线AD 的函数表达式为y=kx+b.将A （34，35），D （0，1）代入，得.∴直线AD 的函数表达式为y=21x+1.(2)∵直线AD 与x 轴的交点为（-2，0），∴OB=2.∵点D 的坐标为（0，1），∴OD=1.∴BD=22OD OB +=5.∵y=-x+3与x 轴交于点C （3，0），∴OC=3.∴BC=5. ①如答图1所示，当∵△BOD ∽△BCE 时，则BC BO =CE OD ,∠BCE=∠BOD=90°,∴52=CE 1，解得CE=25.∴点E 的坐标为（3,25）. ②如答图2所示，当△BOD ∽△BEC 时，则,解得BE=25，CE=5.过点E 作EF⊥x 轴于点F ，易知△BEF∽△BCE,∴，解得EF=2. ∴CF=22EF CE -=1.∴OF=2.∴点E 的坐标为(2，2).综上可得点E 的坐标为(3，25)或(2，2）.18.如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC ，BD 交于点E ，且AC⊥BD．（1）求证：CD 2=BC·AD． （2）F 是BC 边上一点，连结AF 与BD 交于点G ，如果∠BAF=∠DBF，求证：22ADAG =BGBD ． （第18题）【答案】(1)∵AD∥BC ，∠BCD=90°，∴∠ADC=∠BCD=90°.∵AC⊥BD ，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°.∴∠ACD=∠CBD.∴△ACD ∽△DBC.∴CD AD =BCCD ，即CD 2=BC·AD. (2)∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF.∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF.∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG ∽△DBA.∴.∵△ABG ∽△DBA ，∴AB BG =BD AB .∴AB 2=BG·BD.∴.（第19题）19.【深圳】如图所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN 的直角顶点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE=2PF 时，AP= 3 .20.【杭州】如图所示，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG⊥BC 于点G ，AF⊥DE 于点F ，∠EAF=∠GAC.（1）求证：△ADE ∽△ABC.（2）若AD=3，AB=5，求AGAF 的值. （第20题）【答案】(1)∵AG⊥BC ，AF⊥DE ，∴∠AFE=∠AGC=90°.∵∠EAF=∠GAC ，∴∠AED=∠ACB.又∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC.(2)由(1)知△ADE∽△ABC ，∴AB AD =AC AE =53.∵AFE=∠AGC,∠EAF=∠CAG,∴△EAF∽△CAG.∴AG AF =AC AE .∴AG AF =53.21.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF ，BE 是△ABC 的中线，且AF⊥BE，垂足为点P ，设BC=a ，AC=b ，AB=c.求证：a 2+b 2=5c 2.该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连结EF ，利用EF 为△ABC 的中位线得到△EPF ∽△BPA ，故，设PF=m ，PE=n ，用m ，n 把PA ，PB 分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF 中利用勾股定理计算，消去m ，n 即可得证.（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，E ，F 分别为线段AO ，DO 的中点，连结BE ，CF 并延长交于点M ，BM ，CM 分别交AD 于点G ，H ，如图2所示，求MG 2+MH 2的值.图1图2（第21题）【答案】(1)设PF=m ，PE=n ，连结EF.∵AF，BE 是△ABC 的中线，∴EF 为△ABC 的中位线，AE=21b ，BF=21 a.∴EF∥AB ，EF=21 c.∴△EPF ∽△BPA.∴∴PB=2n，PA=2m.在Rt△AEP 中，∵PE 2+PA 2=AE 2，∴n 2+4m 2=41b 2①.在Rt△BFP 中，∵PF 2+PB 2=BF 2，∴m 2+4n 2=41a 2②.①+②得5（n 2+m 2）=41（a 2+b 2），在Rt△EFP 中，∵PE 2+PF 2=EF 2，∴n 2+m 2=41c 2.∴5·41c 2=41（a 2+b 2）.∴a 2+b 2=5c 2. (2)∵四边形ABCD 为菱形，∴BD⊥AC.∵E，F 分别为线段AO ，DO 的中点，由(1)的结论得MB 2+MC 2=5BC 2=5×32=45.∵AG∥BC，∴△AEG∽△CEB.∴.∴AG=1.同理可得DH=1，∴GH=1.∵GH ∥BC ，∴.∴MB=3MG ，MC=3MH.∴9MG 2+9MH 2=45.∴MG 2+MH 2=5.。