全国卷连续考查椭圆焦半径公式
圆锥曲线焦半径公式及其应用(解析版)
圆锥曲线焦半径公式及其应用一、坐标形式的焦半径公式1.椭圆的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点，21,F F 是其左右焦点，则=1PF 0ex a +，=2PF 0ex a -，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上任意一点，21,F F 是其下上焦点，则=1PF 0ey a +，=2PF 0ey a -，记忆方式：长加短减2.双曲线的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点，21,F F 是其左、右焦点，则①当点P 在右支上时，=1PF a ex +0，=2PF a ex -0，②当点P 在左支上时，=1PF a ex --0，=2PF a ex +-0，记忆方式：长加短减（2）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上任意一点，21,F F 是其下、上焦点，则①当点P 在上支上时，=1PF a ey +0，=2PF a ey -0，②当点P 在下支上时，=1PF a ey --0，=2PF a ey +-0，记忆方式：长加短减（3）若弦AB 过左焦点，则=AB a x x e 2)(21-+-；若弦AB 过右焦点，则=AB ax x e 2)(21-+3.抛物线的坐标形式的焦半径公式（1）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +（2）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p x +-（3）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +（4）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 20p y +-例1.（2021年新高考Ⅰ卷）已知21,F F 是椭圆C ：14922=+y x 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6解法1：（基本不等式）由题意知621=+MF MF ，所以21MF MF ⋅9)2(221=+≤MF MF 当且仅当321==MF MF 时等号成立，所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C 解法2：（焦半径公式）设点),(00y x M ，则由题意知355,2,3=====a c e c b a ，所以9959)353)(353(200021≤-=-+=⋅x x x MF MF ，当且仅当00=x 时等号成立所以21MF MF ⋅的最大值为9，故选C例2.（2019年全国Ⅲ卷理）设21,F F 为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则点M 的坐标为解析：设点),(00y x M ，则由题意知211F F MF =，所以⇒=+c ex a 203832600=⇒=+x x 所以点M 的坐标为)15,3(例3.点),(00y x P 为双曲线C ：132422=-y x 的右支上一点，若点P 到右焦点的距离等于02x ，则=0x 解析：由题意知3,6,24,2====e c b a ，222300002=⇒=-=-=x x x a ex PF 例4.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解法1：51651645tan 0221=⇒⨯===∆P P F PF y y b S ，即点P 到x 轴的距离为516解法2：设点),(00y x P ，不妨设点P 在右支上，则由21PF PF ⊥得2212221F F PF PF =+25269100)335()335(202020=⇒=-++⇒x x x ，所以25256)14(322020=-=x y 5160=⇒y 即点P 到x 轴的距离为516例5.（2011年辽宁卷）已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A ,是该抛物线上两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.43 B.1C.45 D.47解析：设点),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点),(00y x M ，则25341412121=+⇒=+++=+x x x x BF AF ，从而452210=+=x x x ，故选C 例8.（2013年全国Ⅱ卷）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，5=MF ，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的方程为（）A.x y 42=或x y 82= B.x y 22=或x y 82=C.x y 42=或xy 162= D.x y 22=或xy 162=解法1：设点),(00y x M ，则255200p x p x MF -=⇒=+=，即),25(0y pM -，MF 的中点为)2,25(0y B ，以MF 为直径的圆过点)2,0(，所以MF AB 21=，所以4425)22(425020=⇒=-+y y ，又点M 在抛物线上，所以2)25(216=⇒-=p p p 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C解法2：设点),(00y x M ，因为以焦半径为直径的圆与y 轴相切，所以MF 的中点的纵坐标为2，所以40=y ，所以p p x 82160==，所以2528=⇒=+=p pp MF 或8所以抛物线的方程是x y 42=或x y 162=，故选C 注：以抛物线的焦半径为直径的圆与y 轴相切二、角度形式的焦半径公式1.椭圆的角度形式的焦半径公式（1）设过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222cos 2c a ab -；（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF θsin 2c a b -；=BF θsin 2c a b +；焦点弦长=AB θ2222sin 2c a ab -；2.双曲线的角度形式的焦半径公式设过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右焦点)0,(c F 的弦AB 的倾斜角为α，渐近线xa b y ±=的倾斜角为θ，则（1）当θπαθ-<<时，焦点弦AB 在右支上，=AF θcos 2c a b -；=BF θcos 2c a b +；=AB α2222cos 2c a ab -，弦AB 在双曲线一支上时，焦点弦最短为通径（2）当θα<≤0或παθπ<<-焦点弦AB 在两支上，=AF a c b -θcos 2；=BF ac b +θcos 2；=AB 2222cos 2a c ab -α，弦AB 交双曲线两支上时，焦点弦最短为实轴长a23.抛物线的角度形式的焦半径公式（1）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p px y 于B A ,两点，则=AF θcos 1-p ；=BF θcos 1+p；=AB θ2sin 2p （2）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p py x 于B A ,两点，则=AF θsin 1-p ；=BF θsin 1+p ；=AB θ2cos 2p例1.如图，设过椭圆13422=+y x 的右焦点F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则=ABMF 解法1：（设线韦达定理）略解法2：（点差法）略解法3：（角度形式的焦半径公式）设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以θθθ2cos 412cos 23cos 23-=++-=+=BF AF AB θθθθ2cos 43cos 2cos 2cos -=-=+-==BF AF BFAF AF NF MF ，所以=AB MF 41例2.如图，过椭圆13422=+y x 的左焦点F 任作一直线交椭圆于B A ,两点，若=+BF AF BF AF λ，则=λ解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθcos 23cos 2-=-=c a b AF ，θθcos 23cos 2+=+=c a b BF 所以=λ3411=+BF AF例2.已知椭圆12322=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于D B ,两点，过2F 的直线交椭圆于C A ,两点，且BD AC ⊥，则四边形ABCD 的面积的最小值为解析：设直线AC 的倾斜角为θ，则θθθ222222cos 334cos 3232cos 2-=-⨯⨯=-=c a ab AC θθ202sin 334)90(cos 334-=+-=BD 所以)sin 3)(cos 3(242122θθ--=⋅=BD AC S ABCD 2596)2sin 3cos 3(24222=-+-≥θθ，所以四边形ABCD 的面积的最小值为2596例3.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于B A ,两点，若a AB 2=，双曲线的离心率为e ，则[]=e 解析：设θ=∠AFO ，则a b a c a c b a c b AF 2cos 222=+⋅=+=θ所以222sin b a AF a ==θ，又c b=θsin ，所以c b b a =22⇒=-⇒=⇒232234)1(2e e c a b 例4.已知双曲线191622=-y x 的左焦点弦交双曲线左支于B A ,两点，且772=AB ，求直线AB 的方程解析：设AB 的倾斜角为θ，则77216cos 25942cos 222222=-⨯⨯=-=θθa c ab AB 53cos ±=⇒θ所以34tan ±=θ，所以直线AB ：)5(34+±=x y 即02034=+-y x 或02034=++y x例5.已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为解析：设AB 的倾斜角为θ，则θθ22sin 4sin 2==p AB ，所以θθ202cos 4)90(sin 2=+=p DE 所以16)11(4)cos )(sin cos 1sin 1(4)cos 1sin 1(42222222=+⨯≥++=+=+θθθθθθDE AB 当且仅当4πθ=时等号成立，所以16)(min =+DE AB 三、焦半径定比模型（1）设AB 为焦点在x 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则=θcos e 11+-λλ；=e 21k+11+-λλ（2）设AB 为焦点在y 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则11sin +-=λλθe ；=e 211k +11+-λλ例1.（2010年辽宁理科）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为060，FB AF 2=，则椭圆的离心率为解析：32121260cos 0=⇒+-=e e 例2.（2010年全国Ⅰ卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ，FD BF 2=，则C 的离心率为解析：设BD 的倾斜角为θ，则311212cos =+-=θe ，又e a c ==θcos ，所以33312=⇒=e e 例3.（2010年全国Ⅱ卷）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于B A ,两点，若FB AF 3=，则=k （）A.1B.2C.3D.2解析：33cos 211313cos 2311cos =⇒=+-=⇒+-=θθλλθe ，所以2tan ==θk例4.（2014年全国Ⅱ卷理）设21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，若直线MN 在y 轴上的截距为2，且N F MN 15=，则椭圆C 的方程为解析：由题意知a b ab MF 44222=⇒==--------------------------------------①由N F MF N F MN 11145=⇒=，所以531414cos =+-=θe ，又2422cos 121-=-==a c a c MF F F θ，所以532=-⋅a c a c -------------------------------------------------------------------------②联立①②得72,7==b a ，所以椭圆的方程为1284922=+y x。
巧用焦半径公式解题
巧用焦半径公式解题焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。
下面以椭圆为例说明焦半径公式的运用。
椭圆的焦点为是椭圆上任一点，则，这就是椭圆的焦半径公式。
一. 计算焦半径例1. （1998年全国高考题）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的（）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍解：的坐标为点横坐标为3故选A二. 求点坐标例2. 在椭圆上求一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。
解：设，则根据已知有，代入解得，代入椭圆方程得，故P点坐标是。
三. 求变量范围例3. （2000年全国高考题）椭圆的焦点为，点P为其上动点，当为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________。
解：设，则为钝角代入解得四. 求最值例4. （1996年希望杯试题）是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。
解：设，则在椭圆上的最大值为4，最小值为1五. 求弦长例5. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。
解：由已知可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而六. 用于证明例6. 设Q是椭圆上任意一点，求证：以为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。
证明：设，圆C的半径为r即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。
故两圆相内切同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。
以上只是简单介绍了椭圆的一种形式的焦半径公式的应用，希望同学们能触类旁通，灵活运用焦半径公式解决其他有关问题，提高解题效率。
椭圆的焦半径公式及应用
显得太繁与无奈． 那 么还有没有别 的思路 与方法来
Ｉ Ａ ＦＩ ＋Ｉ ＦＦ ｌ 一２ ｌ Ａ Ｆ Ｉ
推导椭圆的焦半径、 焦点弦长公式呢？ 本文拟作一探
讨．
一
・
Ｉ Ｆ Ｆ Ｉ ｃ ｏ ｓ ０ ， 即（ ２ ａ — Ｉ Ａ ＦＩ ）
图 １
Ｆ ｌ ＝
为定值 ， 并求此定值・
解： 记 椭 圆 的右 顶 点 为 Ａ， 并 设 Ａ 即 ＝ （ ｉ
问题的深层次的联 系， 从而使 我们 的解题能力和思
』 ｔ 或 ｛ ． 一 或 ｛ ＿ ‰ ， 或 ｆ 。 一 经 ｙ ｏ＝ｂ ， 【 ） ， ０＝ｂ ， 【 ｙ ０ ＝一ｂ 【 ｙ ０ ＝一ｂ ，
检验知均满足 ＋ ＝口 ＋ ｂ ． 因此 ， 动点Ｐ的轨迹
结论 ３ 若动点 Ｐ （ ｘ ｏ ， Ｙ ｏ ）为抛物 线 Ｃ ： ｘ ＝ ２ ｐ ｙ （ ｐ ＞０ ）外一点， 且到抛物线 Ｃ的两条切线相互 垂直 ， 则点 Ｐ的轨迹方程为Ｙ＝一 ． （ 证略） 例
２
｛ 『 ｙ ｘ ２ ＋ 七 吾 ？ 一 ） ＋ ’ 巨 。 Ｅ ｋ （ 一 ） ＋ ） ， ｏ ］ 得 ＋ — 二 专
： Ｉ ＡＦ ｌ ＋４ ｃ 一 ２ Ｉ ＡＦ Ｉ ．
、
公 式推 导
２ ｃ ｏ ｏ ｓ ， 解得 Ｉ Ａ ，ｌ ＝ ａ－ Ｃ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ
＝
口
ＣＣＯＳ 一
．
类似
・
２ ６・
中学数 学研 究
２ ０ １ ４年 第 ９期
可得 Ｉ Ｂ Ｆ Ｉ ＝ 口一 Ｃ Ｃ Ｏ Ｓ （ 仃 一０ ） 一 ． ・
：
（ ２ ０ １ ０ 年广东高考数学理科第２ ０ 题第 ２ 问
椭圆焦半径定理
焦半径公式
连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式
设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。
推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e
可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。
所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em
双曲线的焦半径公式
双曲线的焦半径及其应用：
1：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1
总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）
具体：
点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)
抛物线的焦半径公式
抛物线r=x+p/2</CA>
通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦
双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c
a²－b²=c²
抛物线的通径是2p
抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.。
(完整版)椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径公式及应用.椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
一、公式的推导设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：。
因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。
∴，。
二、公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。
解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。
例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。
已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。
解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。
由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。
由焦半径公式，得，。
（1）若∠为直角，则，即，解得，故。
（2）若∠为直角，则，即=，解得，故。
评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。
例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C 上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即＋48=0，解得，或。
因此，点M不存在。
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简。
(完整版)椭圆焦半径公式及应用面面观
椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。
一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。
P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。
（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF 1|=22)(y c x ++ (1) 从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -= (2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x ac a +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a c a - (-a ≤x ≤a)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=a c ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】 依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac 2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x a c a r x a c a r 21 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=ca 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4． 设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。
焦半径推导公式
焦半径推导公式1. 椭圆焦半径公式推导（以焦点在x轴上的椭圆为例）- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，F_1,F_2为椭圆的左右焦点，坐标分别为(-c,0)，(c,0)（其中c^2=a^2-b^2）。
- 设P(x,y)为椭圆上一点。
- 根据两点间距离公式，| PF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}。
- 因为P(x,y)在椭圆上，所以y^2=b^2(1-frac{x^2}{a^2})。
- 将y^2=b^2(1-frac{x^2}{a^2})代入| PF_1|=√((x + c)^2)+y^{2}中，得到：- | PF_1|=√((x + c)^2)+b^{2(1-frac{x^2}{a^2})}- 展开并化简：- | PF_1|=√(x^2)+2cx + c^{2+b^2-frac{b^2x^2}{a^2}}- 又因为b^2=a^2-c^2，将其代入上式得：- | PF_1|=√(x^2)+2cx + c^{2+a^2-c^2-frac{(a^2-c^2)x^2}{a^2}}- | PF_1|=√(x^2)(1-frac{a^{2-c^2}{a^2})+2cx + a^2}- 进一步化简1-frac{a^2-c^2}{a^2}=frac{c^2}{a^2}，则|PF_1|=√((c^2))/(a^{2)x^2+2cx + a^2}- 配方可得| PF_1|=√((frac{c){a}x + a)^2}- 因为- a≤slant x≤slant a，所以| PF_1|=a + ex（其中e=(c)/(a)为椭圆的离心率）。
- 同理，| PF_2|=√((x - c)^2)+y^{2}，按照上述步骤可推导出| PF_2|=a - ex。
2. 双曲线焦半径公式推导（以焦点在x轴上的双曲线为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，F_1,F_2为双曲线的左右焦点，坐标分别为(-c,0)，(c,0)（其中c^2=a^2+b^2）。
椭圆焦半径公式倾斜角推导
椭圆焦半径公式倾斜角推导椭圆是一个平面上的闭合曲线，它由两个焦点和一条连接焦点的线段定义。
在椭圆的焦点和焦半径的概念中，焦半径是从椭圆上一点到两个焦点的距离之和的一半。
在本文中，我们将推导出椭圆焦半径的公式，并介绍倾斜角的概念。
首先，我们假设有一个椭圆，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，焦距为c。
我们要计算椭圆上一点P到两个焦点F1和F2的焦半径r的值。
我们知道焦点到椭圆上一点的距离等于焦半径的一半，所以我们可以得到以下的等式：PF1+PF2=2r然后我们可以利用勾股定理求出PF1和PF2的值。
假设点P的坐标为(x,y)，焦点F1的坐标为(c,0)，焦点F2的坐标为(-c,0)。
根据勾股定理，我们有：PF1²=(x-c)²+y²PF2²=(x+c)²+y²将上述的等式带入到PF1+PF2=2r中，我们可以得到：(x-c)²+y²+(x+c)²+y²=4r²化简上述等式，我们得到：2x² + 2y² + 2c² - 4cx = 4r²我们知道椭圆的方程是x²/a²+y²/b²=1，由此我们可以得到c²=a²-b²。
将这个等式带入到上面的公式中，我们有：2x² + 2y² + 2(a² - b²) - 4cx = 4r²化简上述等式，我们得到：x²/a²+y²/b²-1+(a²-b²)/c²-2x(2c)/c²=2r²/c²我们知道因为椭圆上的点P满足椭圆的方程，所以x²/a²+y²/b²=1、将这个等式带入到上面的公式中，我们有：1-1+(a²-b²)/c²-2x(2c)/c²=2r²/c²化简上述等式，我们得到：r²=(a²-b²)/4-x²/c²对比上面的等式，我们可以得到椭圆焦半径的公式：r=√((a²-b²)/4-x²/c²)这就是椭圆焦半径的公式。
椭圆焦半径公式的证明及巧用
椭圆焦半径公式的证明及巧用
一、椭圆焦半径公式的证明
设椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，中心点为
O(0,0)，则椭圆的参数方程为：
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，θ为椭圆上任意一点P的极角，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
将P的坐标代入椭圆焦半径的定义式，得到：c=(F1P+F2P)/2
c=[(-c-x)²+y²+(c-x)²+y²]½/2
c=[2a²-2x²]½/2
将x=a*cosθ代入上式，得到：
c=[2a²-2a²cos²θ]½/2
c=a(1-cos²θ)½
c=a*sinθ
因此，椭圆焦半径的公式为c=a*sinθ。
二、椭圆焦半径公式的巧用
1.焦距的计算
在光学中，焦距是指光线从远处垂直射入透镜后汇聚到的点与透镜的距离。
对于一个椭圆形的反射器或折射器，其焦距可以通过椭圆焦半径公式计算得到。
2.卫星轨道的计算
卫星轨道是指卫星绕地球或其他天体运行的路径。
对于一个地球同步轨道，其轨道形状为椭圆，可以通过椭圆焦半径公式计算出卫星与地球的距离。
3.椭圆的绘制
在计算机图形学中，椭圆的绘制是一个常见的问题。
通过椭圆焦半径公式，可以计算出椭圆上每个点的坐标，并将其绘制出来。
(完整版)椭圆焦半径公式及应用面面观
椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。
一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。
P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。
（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF 1|=22)(y c x ++ (1) 从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -= (2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x ac a +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a c a - (-a ≤x ≤a)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=a c ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】 依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac 2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x a c a r x a c a r 21 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=ca 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4． 设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。
椭圆双曲线焦半径
椭圆双曲线焦半径概述椭圆和双曲线是数学中的两个重要曲线类型，它们在几何学、物理学、工程学等领域中经常被应用。
本文将详细讨论椭圆和双曲线的焦半径，介绍焦半径的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
什么是焦半径焦半径是指椭圆或双曲线中心到焦点的距离。
椭圆和双曲线具有两个焦点，焦半径是从中心到其中一个焦点的距离。
对于椭圆和双曲线而言，焦半径是一个固定值，与曲线本身的形状和大小有关。
椭圆焦半径的计算椭圆的焦半径可以通过下列公式进行计算：c =√a 2−b 2其中，a 表示椭圆的长半轴的长度，b 表示椭圆的短半轴的长度，c 表示焦半径的长度。
在椭圆的轴向标准方程中，焦半径也可以通过半轴长度计算：c =√a 2e 2−a 2 其中，e 表示椭圆的离心率，e =c a 。
双曲线焦半径的计算双曲线的焦半径可以通过下列公式进行计算：c =√a 2+b 2其中，a 表示双曲线的长半轴的长度，b 表示双曲线的短半轴的长度，c 表示焦半径的长度。
在双曲线的轴向标准方程中，焦半径也可以通过半轴长度计算：c=√a2+a2e2。
其中，e表示双曲线的离心率，e=ca椭圆焦半径的应用椭圆焦半径在许多实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些具体的应用场景：1. 卫星轨道设计在卫星轨道设计中，椭圆焦半径是确定轨道形状和卫星运动轨迹的重要参数。
通过合理选择焦半径的大小，可以实现卫星的稳定运行和准确定位。
2. 天体运动模拟椭圆焦半径用于模拟天体的运动轨迹。
例如，行星绕太阳的轨道可以近似为椭圆，通过计算焦半径，可以准确预测行星的位置和运动状态。
3. 椭圆积分计算在数学和物理学中，椭圆积分是一类重要的特殊函数。
椭圆焦半径在椭圆积分的计算中起到关键作用，通过焦半径的值可以确定积分的收敛性和计算精度。
双曲线焦半径的应用双曲线焦半径在实际问题中也有着广泛的应用。
以下是一些具体的应用场景：1. 双曲线天线设计在通信领域中，双曲线抛物天线是一种常用的天线类型。
50常考常新 — 焦半径
常考常新—焦半径焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。
对于它的代数形式a±ex是大家熟知的，本文介绍它的几处三角形式及其应用。
定理：P是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)上的一点，F1(－c，0)、F2(c，0)是左、右焦点。
1．若椭圆的离心角为θ，则(1)|PF1|＝a＋ccosθ；(2)|PF2|＝a－ccosθ．2．若PF1或PF2的倾斜角为α，则(1)|PF1|＝；(2)|pF2|＝．3．若∠F1PF2＝β，且设|PF1|≥|PF2|，则(1)|PF1|＝a＋(2)|pF2|＝a-证明：1．∵椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形式知：|PF1|＝a＋ex p＝a＋ea²cosθ＝a＋c²cosθ,|PF2|＝a－ex p＝a－c²cosθ．2．以F1为极点，F1x为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程ρ(θ)＝，这时， |PF1|＝ρp＝ρ(α)＝将ep＝b2/a，e＝代入上式得|PF1|＝．又以F2为极点，F2x为极轴建立极坐标系，则椭圆方程ρ(θ)＝，此时|PF2|＝ρp＝ρ(α)＝＝．3．设椭圆的离心角为θ，则点P的纵坐标可表示为y p＝bsinθ，∴S△PF1F2＝²2c²|y p|＝bc|sinθ|．另一方面，由题设及焦点三角形的面积公式知：S△PF1F2＝b2²tg．∴bc|sinθ|＝b2²tg，∴|sinθ|＝²tg，∴cosθ＝±＝±．由定理1及假设|PF1|≥|PF2|知 |PF1|＝a＋c²cosθ＝a＋|PF2|＝a－c²cosθ＝a－灵活地运用焦半径的这几种三角形式，可速解一类问题，请看下面几例。
例1 F1、F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1|c²|PF2|的最大值是______，最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为θ，又知a＝2，c2＝3，由定理1得|PF1|c²|PF2|＝a2－c2cos2θ＝4－3cos2θ∵0≤cos2θ≤1故知|PF1|c²|PF2|max＝4－3²0＝4|PF1|c²|PF2|min＝4－3²1＝1例2椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的右焦点为F，右准线为l，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于P、Q两点，若|PQ|等于点F到l的距离，则椭圆的离心率e＝_________． (1999年全国高考题)。
关于椭圆的公式大全
关于椭圆的公式大全
以下是关于椭圆的公式：
1. 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL。
2. 椭圆的准线方程 x=±a^2/C。
3. 椭圆的离心率公式 e=c/a。
4. 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C）的距离，数值=b^2/c。
5. 椭圆焦半径公式 |PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。
6. 椭圆过右焦点的半径r=a-ex，过左焦点的半径r=a+ex。
7. 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A，B之间的距离，数值=2b^2/a。
8. 点与椭圆位置关系：点M(x0,y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1。
9. 椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)。
10. 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
11. 椭圆面积公式：s=πab。
12. 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅数学书籍。
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(5)
4
结合图像可得t
1，则yt4在1,2单减，在2,3单增，易求得范围为
3,3
t3
法二：令xNF，则1
1
4
4，求导即可求得最值。
x
变式6：（1997全国联赛填空题第2题）过双曲线x2y
2
1的右焦点作直线l交双曲线
于A、B两点，若实数使得|AB|的直线l恰有3条，则＝.
【解析】通径为4，双曲线两个顶点之间的距离为2，当AB2时，0条；当AB2时，
（）
A．9B．6C．4D．3
解 析 ： 设
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
， 由FAFBFC0知F为 重 心 ， 则
xxx
0，
123
FAFBFC
x12x22x326
变式2：已知A,B是椭圆C：x2y21上的两点，线段AB的中点在直线x
3
（1） 当线段AB的中点纵坐标为2时，求直线AB的倾斜角；
3
（2）设F是椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，使得FAFBPF，求
FAFB的值。
yb223
xa2
（2）设P(x0,y0)，AB中点M(1,m)，
AB32
x11
x21
x1x2
同例1，可得到FA
,FB
，则FAFB，
由FAFBPF可得x
1,y
2m，由P(1,2m)在椭圆上，可得m3，
当m
00
3时，AB的直线方程为y
OF2，最短的焦点弦为通径2p；F1是左焦点，椭圆焦半径PF1ex1a，随着x1的
2b2
增大而增大，最短为ac，最短的焦点弦为通径
a
；P在双曲线左支上，F1是左焦点，
2
焦半径PF1ex1a，随着x1的增大而减小，最短为ca，通径为a；
变式4：如图,P是直线x4上一动点,以P为圆心的圆经定点B1,0,直线l是圆在点
4
故xx2,x x1，代入②解得|d|3 21.
12122828
所以该数列的公差为3 21或3 21.
28
【点评】第（1）问利用点差法推导了中点弦结论，第（2）问解答过程推导了焦半径公式。
变 式1： 设F为 抛 物 线
y24x
的 焦 点 ，A，B，C
为 该 抛 物 线 上 三 点 ， 若
FAFBFC0，则FAFBFC
由①②得
， 即EBFQ
BFEQ
变式 5：已知F是椭圆C:x
y2
的右焦点，过原点的直线l交椭圆于M,N两点，则
43
的取值范围是
【解析】设椭圆的左焦点为F'，由对称性知MF'NF，
由椭圆定义得MFNFMFMF'2a4，
因为NF
aex21x,x
2,2，所以NF1,3，
0200
141
法一：所以
(MF
4
NF)(
4
点，线段AB的中点为M(1,m)(m0).
（1）证明：k1；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0.证明：FA，FP，FB
成等差数列，并求该数列的公差.
x2y2x2y2
【解析】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则111,221.
4
两式相减，并由y1y2k得x1x2y1y2k0.
|FP|.
x
x
于是|FA|
21.同理|FB|22.
2
1
所以|FA||FB|42(x1x2)3.
故2 |FP||FA||FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.
2 |d|
设该数列的公差为d，则
将m3代入①得k1.
4
||FB||FA||2|x1x2|.②
所以l的方程为yx7，代入C的方程，并整理得7x214x10.
3
3
32 3(x1)，联立椭圆方程，得2x24x10，
3
所 以FAFB
，由对称性知当m时，也成立。
3
则FAFB
变式2：（1999全国高中数学联赛第10题）已知点P在双曲线xy
16
1上，并且P到
右准线的距离恰是P到双曲线的两个焦点的距离的等差中项，则点P的横坐标是.
PF2
【解析】设P到右准线的距离为d，由第二定义知
【点评】焦半径公式作为曲线的基本量，优生都应该掌握其公式，2018年全国3卷理科第20题也这样考查过。
2.（2019浙江第15题）已知椭圆x
2
1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，
95
若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．
x2y22
【解答】解：椭圆1的a3，b，c2，e，
953
设椭圆的右焦点为F，连接PF，
线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF|2 |AO|4，
设P的坐标为(m,n)，由焦半径公式得32m4，即m3，n
15，
322
15
由F(2,0)，可得直线PF的斜率为2
32
2
15．故答案为：．
2
3（.2018全国3卷理科第20题）已知斜率为k的直线l与椭圆C:xy1交于A，B两
d
e，即PF2
ed，
若P在双曲线的右支，由定义知PF1PF22aed2a，
由题知PF1PF2
2ed2a2d，无解。
所以P在双曲线的左支，PF2PF1
2a,PF2PF1
2d
则PF2ad，又因为PF2
a264
ed，所以d
a e1
16，因此P点横坐标为
d。
c5
变式3：（2012年十三校自主招生第3题）已知F1、F2
1条；当2AB4时，2条；当AB4时，3条；当AB4时，4条。
B处的切线,过A1,0作圆的两条切线分别与l交于E,F两点. (1)求证:EAEB为定值；
(2)设直线l交直线x4于点Q,证明:EBFQBFEQ
所 以EAEBAM
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4为定值，
2
（2）同理FAFB4，所以E,F都在椭圆C:xy上。
43
过E,F作直线x4垂线，垂足分别为E',F'，
由椭圆第二定义知
又因为EE'Q与FF'Q相似，所以②，
全国卷连续考查椭圆焦半径公式
x2
1.（2019全国3卷文理第15题）设F1，F2为椭圆C：
y2
1的两个焦点，M为C上
36
一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为.
【解析】由题知MFF F8， 由焦半径公式得MF
exa2x
68， 即
112
xM3,所以M的坐标为(3, 15).
1M3M
分别为双曲线x2
a2
y2
b21
的左、右焦
|PF|2
点,P为双曲线左支上的任意一点,若2的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围
|PF1|
PF2
4a2
【解析】由双曲线定义知PFPF2a，则2PF
4a8a，等号成立
PF1
当且仅当PF12a，双曲线的焦半径PF12aca，即c3a，选D.
p
【点评】结合曲线的图像，抛物线中焦半径PFx12，随着x1的增大而增大，最短为
x1x243
由题设知x1x21,y1y2m，于是k3.①
2
由题设得0m3，故k1.
2
（2）由题意得F(1, 0)，设P(x3,y3)，则(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0, 0).
由（1）及题设得x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0.
又点P在C上，所以m3，从而P(1,3)，