北师大版数学必修一综合测试题及答案
高中数学必修一(全部)测试题(北师大版)教学资料
50
x 3000
50 (100
)
50
2
4050) 37050
150
………………… 8 分
当 x 4050 时 , y max 30705
……………………………………… 11 分
y
ax 2
1
bx 的顶点横坐标的取值范围是 ( ,0 ) …………………… 12 分
2
18．（本小题 12 分）每题 6 分
高一第一学期期中试题（数学）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
. 共 120 分，考试时间 100 分钟 .
第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分， 在每小题给出的四个选项中只有一个正确）
1．已知全集 U {1, 2 ,3, 4,5, 6.7}, A { 2,4 ,6}, B { 1,3,5 ,7 }. 则 A ( C U B ）等于 （
x
不需证明）
x 为何值？ （直接回答结果，
-3-
参考答案
一、选择题：每小题 4 分， 10 个小题共 40 分 .
1.A 2.C 3.B 4.A. 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B 10.D
二、填空题：每小题 4 分，共 16 分.
11 ． [ 4, 2) ( 2 , ) 12.2x- 1 或－ 2x+1 13 ．3 14 ． 0, 1
4 函数 f ( x ) x ( x 0 ) 在区间（ 0， 2）上递减；
x
4 函数 f ( x ) x ( x 0 ) 在区间
x
上递增 .
当x
时， y 最小
.
4 证明：函数 f ( x ) x ( x 0 ) 在区间（ 0， 2）递减 .
新北师大版高一数学必修一期末测试卷一(含详细解析)
新北师大版高一必修一期末测试卷（共2套附解析）综合测试题(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)5．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是() A．x>1 B．x<1C．0<x<2 D．1<x<26．已知x＋x－＝5，则的值为()A．5B．23C．25D．277．(2014·山东高考)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1 B．a>1,0<c<1D．f(2)<f(－)<f(－1)12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2，)中，“好点”的个数为（)A．0 B．1C．2 D．3第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若已知A∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A共有________个．14．(2014·浙江高考)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.15．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝a x－1.其中a>0且a≠1.23．(1)求f(2)＋f(－2)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4，结果用集合或区间表示．一．选择题1.[答案] D[解析]A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>}．故A∩B＝{x|<x<3}．故选D.2.[答案] C[解析]由函数y＝f(x)的表达式可知，函数f(x)的定义域应满足条件：，解＝52－2＝23.故选B.7.[答案] D[解析]本题考查对数函数的图像以及图像的平移．由单调性知0<a<1.又图像向左平移，没有超过1个单位长度．故0<c<1，∴选D.8.[答案] B[解析]f(x)＝3x＋3－x且定义域为R，则f(－x)＝3－x＋3x，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．同理得g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．故选B.9.[答案] D[解析]∵y＝()x为减函数，<，∴()>().13.[答案] 4[解析]∵A∩{－1,0,1}＝{0,1}，∴0,1∈A且－1?A.又∵A∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，∴1∈A且至多－2,0,2∈A.故0,1∈A且至多－2,2∈A.∴满足条件的A只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个．14.[答案][解析]此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．令f(a)＝t，则f(t)＝2.∵t>0时，－t2<0≠2，∴t≤0.即t2＋2t＋2＝2，∴t＝0或－2.∴A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．∴A∪B＝{2,3,4}．18.[解析](1)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1＝＋2＋3＝.(2)∵f(x－)＝(x＋)2＝x2＋＋2＝(x2＋－2)＋4＝(x－)2＋4∴f(x)＝x2＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋4＝x2＋2x＋5.19.[解析](1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m)>0，可解得m<；Δ＝0，可解得m＝；Δ<0，可解得m>.故m<时，函数有两个零点；(2)设1≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)[a(x1＋x2)－]，由1≤x1<x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4,1＜x1x2＜4，－1<－<－，又1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)>f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．23.[解析](1)∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0. (2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，∵f(－x)＝a－x－1，∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．∴所求的解析式为f(x)＝.。
新北师大版数学必修一期末测试卷(含详细解析)
综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·四川理，1)设集合A ＝{x|－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知集合A ＝{x|0<log4x<1}，B ＝{x|x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋exB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x24．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x|≤111＋x2，|x|>1，则f[f(12)]＝( )A.12B.413C ．－95D.25415．log43、log34、log 4334的大小顺序是( )A．log34<log43<log433 4B．log34>log43>log433 4C．log34>log4334>log43D．log4334>log34>log436．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为( )A．a＝1，b＝0B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝3D．以上答案均不正确7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A.14B.12C．2 D．48．(2015·安徽高考)函数f(x)＝错误!的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b>0，c<0B ．a<0，b>0，c>0C ．a<0，b>0，c<0D ．a<0，b<0，c<09．(2016·山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x ＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x ≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x ＞12时，f(x ＋12)＝f(x －12)．则f(6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．210．函数f(x)＝(x －1)ln|x|－1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x －2ax －2)，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，loga3)D ．(loga3，＋∞)12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A ．19B ．20C ．21D ．22第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知loga 12>0，若ax2＋2x －4≤1a，则实数x 的取值范围为________．14．直线y ＝1与曲线y ＝x2－|x|＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ .15．若函数y ＝m·3x－1－1m·3x－1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．16．已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1－x －2a ， x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设A ＝{x|x2＋4x ＝0}，B ＝{x|x2＋2(a ＋1)x ＋a2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log 12 [(12)x －1]，(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的增减性．19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax －1x ＋1，其中a ∈R.(1)若a ＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．20.(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x ≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求m 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f(x)的定义域为D ，且f(x)同时满足以下条件： ①f(x)在D 上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b]∈D(其中a<b)，使得当x ∈[a ，b]时，f(x)的取值集合也是[a ，b]．那么，我们称函数y ＝f(x)(x ∈D)是闭函数．(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若f(x)＝k ＋x ＋2是闭函数，求实数k 的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log 12 (x2－mx －m.(1)若m ＝1，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． 一．选择题1.[答案] C[解析] 由题可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中元素的个数为5.故选C. 2.[答案] D[解析] 因为A ＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}， B ＝{x|x ≤2}．所以A ∩B ＝{x|1<x<4}∩{x|x ≤2}＝{x|1<x ≤2}． 3.[答案] A[解析] 令f(x)＝x ＋ex ，则f(1)＝1＋e ，f(－1)＝－1＋e －1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以 y ＝x ＋ex 既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A. 4.[答案] B[解析] 由于|12|<1，所以f(12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f(－32)＝错误!＝1134＝413，所以f[f(12)]＝413，选B. 5.[答案] B[解析] 将各式与0,1比较．∵log34>log33＝1，log43<log44＝1，又0<34<1，43>1，∴log 43 34<0.6.[答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a>0时在[2,3]上递增， 则错误!解得错误!当a<0时，在[2,3]上递减， 则错误!解得错误! 故选B.有log 43 34<log43<log34.所以选B.7.[答案] B[解析] ∵当a>1或0<a<1时，ax 与loga(x ＋1)的单调性一致， ∴f(x)min ＋f(x)max ＝a ，即1＋loga1＋a ＋loga(1＋1)＝a ，∴a ＝12.8.[答案] C[解析] 由f(x)＝错误!及图像可知，x ≠－c ，－c>0，则c<0；当x ＝0时，f(0)＝错误!>0，所以b>0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba >0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C.9.[答案] D[解析] ∵当x>2时，f(x ＋12)＝f(x －12)，∴f(x ＋1)＝f(x)，∴f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)，又当－1≤x ≤1时，f(x)＝－f(－x)．∴f(1)＝－f(－1)，又因为当x<0时，f(x)＝x3－1， ∴f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 10.[答案] D[解析] f(x)＝(x －1)ln|x|－1的零点就是方程(x －1)ln|x|－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x|＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g(x)＝ln|x|的图像与h(x)＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点． 11.[答案] C[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a2x －2ax －2>1得ax>3，∴x<loga3. 12.[答案] C[解析] 操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21. 二.填空题13.[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] 由loga 12>0得0<a<1.由a x2＋2x －4≤1a 得a x2＋2x －4≤a －1，∴x2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1. 14.[答案] 1<a<54[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－x ＋a ，x≥0x2＋x ＋a ，x<0作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a)点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a<54.15.[答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m·3x－1－1m·3x－1＋1的定义域为R ，则对于任意实数x ，都有m·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1.而⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1>0，∴m ≥0. 故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)． 16.[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a<0时，1－a>1,1＋a<1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a ； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝3a ＋2.因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a>0时，1－a<1,1＋a>1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a. f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－3a －1， 因为f(1－a)＝f(1＋a)所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题17.[分析] A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B. [解析] A ＝{－4,0}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A.①若0∈B ，则a2－1＝0，a ＝±1. 当a ＝1时，B ＝A ；当a ＝－1时，B ＝{0}，则B ⊆A.②若－4∈B ，则a2－8a ＋7＝0，解得a ＝7，或a ＝1. 当a ＝7时，B ＝{－12，－4}， A.③若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a2－1)<0，a<－1. 由①②③得a ＝1，或a ≤－1. (2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B.∵A ＝{－4,0}，又∵B 中至多只有两个元素， ∴A ＝B. 由(1)知a ＝1.18.[解析] (1)(12)x －1>0，即x<0，所以函数f(x)定义域为{x|x<0}．(2)∵y ＝(12)x －1是减函数，f(x)＝log 12 x 是减函数，∴f(x)＝log 12 [(12)x －1]在(－∞，0)上是增函数．19.[解析] f(x)＝ax －1x ＋1＝错误!＝a －错误!，设x1，x2∈R ，则f(x1)－f(x2)＝a ＋1x2＋1－a ＋1x1＋1＝错误!.(1)当a ＝1时，f(x)＝1－2x ＋1，设0≤x1<x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝错误!， 又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[0,3]上是增函数， ∴f(x)max ＝f(3)＝1－24＝12，f(x)min ＝f(0)＝1－21＝－1.(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0. 若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0， 而f(x1)－f(x2)＝错误!，∴当a ＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0， ∴f(x1)<f(x2)．∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数． 20.[解析] (1)∵f(1－a)＋f(1－a2)>0， ∴f(1－a)>－f(1－a2)．∵f(x)是奇函数，∴f(1－a)>f(a2－1)．又∵f(x)在(－1,1)上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a<a2－1，－1<1－a<1，－1<1－a2<1，解得1<a< 2.(2)因为函数g(x)在[－2,2]上是偶函数，则由g(1－m)<g(m)可得g(|1－m|)<g(|m|)．又当x ≥0时，g(x)为减函数，得到⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m|≤2，|m|≤2，|1－m|>|m|，即错误!解之得－1≤m<12. 21.[解析] (1)f(x)＝－x3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b]，f(x)的取值集合也是[a ，b]，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a3＝b －b3＝a ，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，所以f(x)＝－x3(x ∈R)是闭函数．(2)f(x)＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f(x)＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b]满足②，即⎩⎨⎧ k ＋a ＋2＝a k ＋b ＋2＝b即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x2－(2k ＋1)x ＋k2－2＝0的两根，且a ≥k ，b>k.令f(x)＝x2－(2k ＋1)x ＋k2－2，得错误!解得－94<k ≤－2， 所以实数k 的取值范围为(－94，－2]． 22.[解析] (1)m ＝1时，f(x)＝log 12(x2－x －1)，由x2－x －1>0可得：x>1＋52或x<1－52， ∴函数f(x)的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)． (2)由于函数f(x)的值域为R ，所以z(x)＝x2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4.(3)由题意可知：错误!⇒2－2错误!≤m<2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。
2021-2022学年北师大版高中数学必修1全册检测含答案
本册综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( C ) A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0}D ．{－3，－2，－1}解析：由交集的意义可知M ∩N ＝{－2，－1,0}． 2．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( D ) A ．[4，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞) 解析：要使函数有意义需⎩⎪⎨⎪⎧ x －4≥0，lg x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ≠10，解得：4≤x <10或x >10.3．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表，则f (x )的奇偶性是( C )A.奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数，又是偶函数解析：由2＝4α知α＝12，∴f (x )＝x 12 为非奇非偶函数．4．已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有元素之和为( B )A ．2B ．－2C ．0D. 2 解析：A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，①当k 2－2＝2时，k ＝±2，k ＝2时，k －2＝0∈A ，∴k ≠2；k ＝－2时，k －2＝－4∉A ，成立；②当k 2－2＝0时，k ＝±2，k －2＝±2－2∉A ，成立； ③当k 2－2＝1时，k ＝±3，k －2＝±3－2∉A ，成立； ④当k 2－2＝4时，k ＝±6，k －2＝ ±6－2∉A ，成立．从而得到B ＝{±2，±3，±6，－2}，∴集合B 中所有元素之和为－2.故选B. 5．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0”的是( C )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝x 3 解析：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，即x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，即有f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 对于A ，y ＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，故A 不满足；对于B ，函数在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数，故B 不满足； 对于C ，函数在(－1，＋∞)，(－∞，－1)上均为减函数，则在(0，＋∞)上是减函数，故C 满足；对于D ，函数在R 上是增函数，故D 不满足． 故选C.6．已知f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <32，log 3(x 2－1)，x ≥32，则f (f (2))的值是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.7．函数f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4)上是增函数，则实数a 的范围是( D ) A ．a ≤－3 B ．a ≤5 C ．a ≥3D ．a ≥5解析：因为函数f (x )＝－x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4)上是增函数，所以－2(a －1)－2≥4，即a ≥5，故选D.8．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( D )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数解析：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，故选D.9．函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( C )A ．f (x )＝e x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝4x －1D ．f (x )＝ln(x －12)解析：g (12)＝2＋1－2＞0，g (14)＝2＋12－2＜0；且g (x )＝4x ＋2x －2连续，故g (x )＝4x ＋2x －2的零点在(14，12)上；f (x )＝e x －1的零点为0，f (x )＝(x －1)2的零点为1； f (x )＝4x －1的零点为14，f (x )＝ln(x －12)的零点为32；故选C.10．若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足f (－x )＝－f (x )，当a ，b ∈(－∞，0]时总有f (a )－f (b )a －b>0(a ≠b )，若f (m ＋1)>f (2)，则实数m 的取值范围是( B ) A ．－3≤m ≤1 B ．m >1C ．－3<m <1D ．m <－3或m >1解析：∵当a ，b ∈(－∞，0]时总有f (a )－f (b )a －b >0(a ≠b )，∴当a ，b ∈(－∞，0]，a －b 与f (a )－f (b )同号， ∴f (x )在(－∞，0]上单调递增， 又∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (x )在R 上为增函数， ∴由f (m ＋1)>f (2)得，m ＋1>2， ∴m >1.第Ⅱ卷(非选择题，共100分) 二、填空题(每小题5分，共25分)11．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝13.解析：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝lg ⎝⎛⎭⎫12×85×252－2lg33lg2×3lg23lg3＝lg10－23＝1－23＝13. 12．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝1. 解析：f (－2)＝f (2)＝22－3＝1.13．已知函数y ＝log a (14x ＋b )(a ，b 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图像如图所示，则a ＋b的值为34.解析：由图像知，log a b ＝2，log a (34＋b )＝0，解得，b ＝14，a ＝12；故a ＋b ＝34.故答案为：34.14．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是[－4,0]．解析：f (x )＝x 2＋a |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2x 2－ax ＋2a ，x <2，要使f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则⎩⎨⎧－a2≤2a 2≤0，解得－4≤a ≤0；∴实数a 的取值范围是[－4,0]．故答案为[－4,0]． 15．下列叙述：①存在m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数； ②函数y ＝1x ＋1在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；③函数y ＝log 2x ＋x 2－2在(1,2)内只有一个零点；④定义域内任意两个变量x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在定义域内是增函数．其中正确的结论序号是①③④.解析：①使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，则 m －1＝1，得m ＝2，此时f (x )＝x －1，故①正确；②减区间应为(－∞，－1)和(－1，＋∞)不能合并，故②错误；③∵f (1)＝log 21＋1－2＝－1<0，f (2)＝lg 22＋22－2＝3>0，∴f (1)f (2)<0，且f (x )在(1,2)上单调递增．故③正确；④由已知得x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴f (x )在定义域上为增函数．三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x |－6＜x ＜6}． (1)求A ∩B ； (2)求∁R B ；(3)定义A －B ＝{x |x ∈A ，x ∉B }，求A －B ，A －(A －B )． 解：(1)∵A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x |－6＜x ＜6}， ∴A ∩B ＝{x |4＜x ＜6}； (2)∁R B ＝{x |x ≥6，或x ≤－6}； (3)∵A －B ＝{x |x ∈A ，x ∉B }， ∴A －B ＝{x |x ≥6}， A －(A －B )＝{x |4＜x ＜6}．17．(本题满分12分)(1)计算：(8125)－ 13 －(－35)0＋160.75＋(0.25) 12 ；(2)已知：log 32＝a,3b ＝5，试用a ，b 表示log 330 . 解：(1)原式＝(1258) 13 －1＋16 34 ＋(25100)12＝52－1＋23＋510＝10； (2)∵3b ＝5，∴b ＝log 35，∴log 330＝12log 330＝12log 3(2×3×5)＝12(log 32＋log 33＋log 35)＝12(a ＋b ＋1)． 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a ＋b x (b ＞0，b ≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16)． (1)求f (x )的表达式； (2)解不等式f (x )＞(12)3－x 2；(3)当x ∈(－3,4]时，求函数g (x )＝log 2f (x )＋x 2－6的值域．解：(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋b ，16＝a ＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－3.(舍去)∴f (x )＝4x .(2)f (x )＞(12)3－x 2，∴4x ＞(12)3－x 2，∴22x ＞23－x 2，∴2x ＞x 2－3， 解得－1＜x ＜3.∴不等式的解集为(－1,3)．(3)∵g (x )＝log 2f (x )＋x 2－6＝log 24x ＋x 2－6 ＝2x ＋x 2－6＝(x ＋1)2－7， 又∵x ∈(－3,4]，∴g (x )min ＝－7，当x ＝4时，g (x )max ＝18.∴值域为[－7,18]．19．(本题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (a >2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式，指出这个函数的定义域； (2)当AE 为何值时，绿地面积最大？ 解：(1)S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF＝S △DGH ＝12(a －x )(2－x )．∴y ＝S ▭ABCD －2S △AEH －2S △BEF ＝2a －x 2－(a －x )(2－x )＝－2x 2＋(a ＋2)x . 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a －x >0，2－x ≥0，a >2，得0<x ≤2，∴y ＝－2x 2＋(a ＋2)x,0<x ≤2； (2)当a ＋24<2，即2<a <6时， 则x ＝a ＋24时，y 取最大值(a ＋2)28；当a ＋24≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，在(0,2]上是增函数，则x ＝2时，y 取最大值2a －4.综上所述：当2<a <6时，AE ＝a ＋24时，绿地面积取最大值(a ＋2)28；当a ≥6时，AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4.20．(本题满分13分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋a2x ＋1是奇函数．(1)求a 值；(2)判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)由题设，需f (0)＝－1＋a2＝0，∴a ＝1，∴f (x )＝1－2x1＋2x，经验证，f (x )为奇函数，∴a ＝1.(3)由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0， 得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )，∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)， 由(2)知，f (x )是减函数， ∴原问题转化为t 2－2t >k －2t 2， 即3t 2－2t －k >0对任意t ∈R 恒成立， ∴Δ＝4＋12k <0，解得k <－13，所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13. 21．(本题满分14分)已知函数f (x )＝bx －aax (a ＞0，x ＞0)的图像过点(a,0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用函数单调性定义加以证明； (2)若a ＞15，函数f (x )在[15a ，5a ]上的值域是[15a，5a ]，求实数a 的值．解：(1)函数f (x )＝bx －a ax (a ＞0，x ＞0)的图像过点(a,0)，则0＝ab －aa 2，则b ＝1，则f (x )＝x －a ax ＝1a －1x， f (x )在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：设0＜m ＜n ，则f (m )－f (n )＝1a －1m －(1a －1n )＝m －nmn ，由于0＜m ＜n ，则m －n＜0，mn ＞0，则f (m )－f (n )＜0，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数． (2)由于f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数f (x )在[15a ，5a ]上的值域是[f (15a)，f (5a )]，即有⎩⎨⎧1a －5a ＝15a1a －15a ＝5a，解得a ＝25.。
高中数学必修1综合测试题(北师大版)
高中数学必修1综合测试题(一）(北师大版)本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·陕西高考）设集合M ＝{x ｜x ≥0,x ∈R ｝，N ＝{x |x 2<1，x ∈R ｝，则M ∩N ＝（ ) A ．［0，1] B ．[0,1) C ．(0,1］ D ．(0，1）[答案] B[解析] x 2<1，∴－1<x 〈1，∴M ∩N ＝｛x ｜0≤x <1｝．2．（2015·湖北高考)函数f (x ）＝错误!＋lg 错误! 的定义域为( ) A ．（2,3） B ．（2，4］C ．(2，3）∪(3,4]D ．(－1,3）∪（3，6][答案］ C［解析］ 由函数y ＝f （x )的表达式可知，函数f (x )的定义域应满足条件：错误!,解得错误!.即函数f （x ）的定义域为（2,3）∪(3，4]，故应选C.3．下列各组函数，在同一直角坐标中，f （x ）与g （x )有相同图像的一组是( ) A ．f （x )＝(x 2）错误!，g （x ）＝(x 错误!）2B ．f （x )＝x 2－9x ＋3,g (x ）＝x －3C ．f (x )＝（x 错误!）2，g （x ）＝2log 2x D ．f （x )＝x ,g (x ）＝lg10x[答案] D[解析］ 选项A 中，f （x ）的定义域为R ,g (x )的定义域为［0,＋∞）；选项B 中，f （x ）的定义域为（－∞，－3)∪(－3，＋∞），g (x )的定义域为R ；选项C 中，f （x )＝（x 错误!）2＝x ,x ∈［0，＋∞）,g （x )＝2log 2x ,x ∈（0，＋∞）,定义域和对应关系都不同；选项D中，g （x )＝lg10x＝x lg10＝x ,故选D 。
北师大版数学必修一综合测试题及答案
1，已知函数()lg(2),()lg(2),()()().f x x g x x h x f x g x =+=-=+设 （1）求函数()h x 的定义域（2）判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由. 解：（1）()()()lg(2)lg(2)h x f x g x x x =+=++-由 20()20x f x x +>⎧=⎨->⎩ 得22x -<< 所以，()h x 的定义域是（－2，2）()f x Q 的定义域关于原点对称()()()lg(2)lg(2)()()()h x f x g x x x g x f x h x -=-+-=-++=+=()h x ∴为偶函数2.已知函数()f x 对一切实数,x y R ∈都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且(1)0f =. （Ⅰ）求(0)f 的值； （Ⅱ）求()f x 的解析式；（Ⅲ）已知a R ∈，设P ：当102x <<时，不等式()32f x x a +<+ 恒成立； Q ：当[2,2]x ∈-时，()()g x f x ax =-是单调函数。
如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求()R A C B I （R 为全集）． ,解析：（Ⅰ）令1,1x y =-=，则由已知(0)(1)1(121)f f -=--++ ∴(0)2f =-（Ⅱ）令0y =， 则()(0)(1)f x f x x -=+ 又∵(0)2f =- ∴2()2f x x x =+-（Ⅲ）不等式()32f x x a +<+ 即2232x x x a +-+<+即21x x a -+<当102x <<时，23114x x <-+<， 又213()24x a -+<恒成立故{|1}A a a =≥又()g x 在[2,2]-上是单调函数，故有112,222a a --≤-≥或 ∴{|3,5}B a a a =≤-≥或 ∴{|35}R C B a a =-<< ∴()R A C B I ={|15}a a ≤<22()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--3，（本小题满分12分）二次函数f （x ）满足且f （0）=1.(1) 求f （x ）的解析式;(2) 在区间上,y=f(x)的图象恒在y =2x +m 的图象上方,试确定实数m 的范围.解：(Ⅰ) 设12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <,则21212111()()()()f x f x x x x x -=+-+122112(1)()x x x x x x -=- 121x x ≤<Q ∴210x x -> ∴121x x >，∴1210x x ->∴122112(1)()0x x x x x x --> ∴21()()0f x f x ->，即12()()f x f x < ∴()y f x =在[1,)+∞上是增函数4，已知函数f(x)＝2x ＋2ax ＋b，且f(1)＝52，f(2)＝174。
(北师大版)高中数学必修第一册 第一章综合测试试卷02及答案
第一章综合测试一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合{}{}31A x x x Z B x x x Z =Î=Î＜，，＞，，则A B =I （ ）A .ÆB .){3223--，，，C .{}202-，，D .{}22-，2.命题“()01x x e x "Î+¥+，，≥”的否定是（ ）A .()01x x e x $Î+¥+，，≥B .()01x x e x "Î+¥+，，＜C .()01x x e x $Î+¥+，，＜D .()01x x e x "Î-¥+，，≥3.若集合{}0A x x =＜，且B A Í，则集合B 可能是（ ）A .{}1x x -＞B .RC .{}23--，D .{}3101--，，，4.若a b c R Î，，且a b ＞，则下列不等式成立的是（ ）A .22a b ＞B .11a b＜C .a c b c＞D .2211a b c c ++＞5.已知a b R Î，，则“20a b +=”是“2ab=-”成立的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.某市原来居民用电价为0.52元/kW h g ，换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价为0.55元/kW h g ，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/kW h g .对于一个平均每月用电量为200kW h g 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为（ ）A .110kW hg B .114kW hg C .118kW hg D .120kW hg 7.已知210a +＜，则关于x 的不等式22450x ax a --＞的解集是（ ）A .{5x x a ＜或}x a -＞B .{5x x a ＞或}x a -＜C .{}5x a x a -＜＜D .{}5x a x a -＜＜8.若102x ＜＜，则函数y = ）A .1B .12C .14D .18二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知集合[)()25A B a ==+¥，，，.若A B Í，则实数a 的值可能是（ ）A .3-B .1C .2D .510.下列不等式不一定正确的是（ ）A .12x x +≥B .222x y xy +≥C .222x y xy+＞11.已知2323x y ＜＜，＜＜，则（ ）A .2x y +的取值范围为()69，B .2x y -的取值范围为()23，C .x y -的取值范围为()11-，D .xy 的取值范围为()49，12.23520x x +-＞的充分不必要条件是（ ）A .132x -＜＜B .12x -＜＜C .12x ＜＜D .16x -＜＜三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知集合{}2114M m m =++，，，如果5M Î，那么m =________.14.二次函数()2y ax bx c x R =++Î的部分对应值如表:x3-2-1-01234y64-6-6-4-06则a =________；不等式20ax bx c ++＞的解集为________.15.已知{}{}2212210A x x B x x ax a ==-+-＜＜，＜，若A B Í，则a 的取值范围是________.16.若正数a b ，满足1a b +=，则113232a b +++的最小值为________.四、解答题（共70分）17.（10分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；（3）()210x R x "Î+，≥；（4）22x R x $Î，＜.18.（12分）已知集合{3512A x x B x x ìü=-=íýîþ＜≤，＜或}2x U R =＞，.（1）求()U A B A B U I ，ð；（2）若{}2131C x m x m =-+＜≤，且B C U =U ，求m 的取值范围.19.（12分）（1）已知集合{}{2124A a B ==，，，，，且A B B =I ，求实数a 的取值范围；（2）已知:20:40P x q ax --＞，＞，其中a R Î，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.20.（12分）“绿水青山就是金山银山”.随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）.假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x 元、y 元（单位：kg ）；甲、乙两人的购买方式不同:甲每周购买3kg 鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋.（1）若810x y ==，，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格.（2）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由.21.（12分）解关于x 的不等式()22340x ax a a R +-Î＜.22.（12分）为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（km /h ）值的2倍.（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）（1）若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用.（2）为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围.（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？第一章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】选D .因为{}{}321012A x x x Z =Î=--＜，，，，，，{}{11B x x x Z x x =Î=＞，＞或}1x x Z -Î＜，，所以{}22A B =-I ，.2.【答案】C【解析】选C .命题为全称量词命题，则命题“()01x x e x "Î+¥+，，≥”的否定是“()01x x e x $Î+¥+，，＜”.3.【答案】C【解析】选C .因为23A A -Î-Î，，所以{}23A --Í，.4.【答案】D【解析】选D .选项A ：01a b ==-，，符合a b ＞，但不等式22a b ＞不成立，故本选项是错误的；选项B ：当01a b ==-，符合已知条件，但零没有倒数，故11a b＜不成立，故本选项是错误的；选项C ：当0c =时，a c b c ＞不成立，故本选项是错误的；选项D ：因为210c +＞，所以根据不等式的性质，由a b ＞能推出2211a bc c ++＞.5.【答案】B【解析】选B .220aa b b=-Þ+=，反之不成立.所以“20a b +=”是“2ab=-”成立的必要不充分条件.6.【答案】C【解析】选C .设每月峰时段的平均用电量为kW h x g ，则谷时段的用电量为()200kW h x -g ；根据题意，得：()()()0.520.550.520.352002000.5210%x x -+--´´≥，解得118x ≤.所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kW h g .7.【答案】A【解析】选A .方程22450x ax a --=的两根为5a a -，.因为210a +＜，所以12a -＜，所以5a a -＞.结合二次函数2245y x ax a =--的图象，得原不等式的解集为{5x x a ＜或}x a -＞，故选A .8.【答案】C【解析】选C .因为102x ＜＜，所以2140x -＞，所以2211414122224x x +-=´´=，当且仅当2x =x =时等号成立.二、9.【答案】AB【解析】选AB .因为A B Í，所以2a ＜，结合选项可知，实数a 的值可能是3-和1.10.【答案】BCD【解析】选BCD .因为x 与1x同号，所以112x x x x+=+≥，A 正确；当x y ，异号时，B 不正确；当x y =时，222x y xy +=，C 不正确；当11x y ==-，时，D 不正确.11.【答案】ACD【解析】选ACD .因为2323x y ＜＜，＜＜，所以49426xy x ＜＜，＜＜，所以629x y +＜＜，而32y ---＜＜，所以12411x y x y ---＜＜，＜＜.12.【答案】BC【解析】选BC .由不等式23520x x +-＞，可得22530x x --＜，解得132x -＜＜，由此可得：选项A ，132x -＜＜是不等式23520x x +-＞成立的充要条件；选项B ，102x -＜是不等式23520x x +-＞成立的充分不必要条件；选项C ，12x ＜＜是不等式23520x x +-＞成立的充分不必要条件；选项D ，16x -＜＜是不等式23520x x +-＞成立的必要不充分条件.三、13.【答案】4或1或1-【解析】①当15m +=时，4m =，此时集合{}1520M =，，，符合题意，②当245m +=时，1m =或1-，若1m =，集合{}125M =，，，符合题意，若1m =-，集合{}105M =，，，符合题意，综上所求，m 的值为4或1或1-.14.【答案】1{2x x -＜或}3x ＞【解析】由表知2x =-时03y x ==，时，0y =，所以二次函数2y ax bx c =++可化为()()23y a x x =+-.又因为1x =时，6y =-，所以1a =，图象开口向上，结合二次函数的图象可得不等式20ax bx c ++＞的解集为{2x x -＜或}3x ＞.15.【答案】12a ≤≤【解析】方程22210x ax a -+-=的两根为11a a +-，，且11a a +-＞，所以{}11B x a x a =-+＜＜.因为A B Í，所以1112a a -ìí+î≤≥，解得12a ≤≤.16.【答案】47【解析】由1a b +=，知()()113232732323232910b a a b a b ab ++++==+++++，又2124a b ab +öæ=ç÷èø≤（当且仅当12a b ==时等号成立），所以499104ab +≤，所以749107ab +≥.四、17.【答案】（1）命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题.（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.（3）命题中含有全称量词“"”，是全称量词命题.（4）命题中含有存在量词“$”，是存在量词命题.18.【答案】（1）因为集合{3512A x x B x x ìü=-=íýîþ＜≤，＜或}2x ＞，所以32A B x x ìü=íýîþU ≤或}2x ＞，因为{1U R B x x ==，＜或}2x ＞，所以{}U 12B x x =≤≤ð.所以()U 312A B x x ìü=íýîþI ≤≤ð.（2）依题意得：2131211312m m m m -+ìï-íï+î＜，＜，≥，即2113m m m ìï-ïíïïî＞，＜，≥所以113m ＜.19.【答案】（1）由题知B A Í.2=时，4a =，检验当4a =时，{}{}1241612A B ==，，，，，符合题意.4=时，16a =，检验当16a =时，{}{}12425614A B ==，，，，，符合题意.2a =时，0a =或1，检验当0a =时，{}{}124010A B ==，，，，，符合题意.当1a =时，{}1241A =，，，，由于元素的互异性，所以舍去.综上：4a =或16a =或0a =.（2）设{}{}240A x x B x ax ==-＞，＞，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A Þ.①当0a ＞时，42a＞，所以02a ＜＜.②当0a ＜时，不满足题意.③当0a =时，:40q -＞，即B ¹Æ，符合题意.综上：02a ≤＜.20.【答案】（1）因为810x y ==，，所以甲两周购买鸡蛋的平均价格为()3831096´+´=元，乙两周购买鸡蛋的平均价格为()208010109810=+元.（2）甲两周购买鸡蛋的平均价格为3362x y x y++=，乙两周购买鸡蛋的平均价格为2021010xyx y x y=++，由（1）知，当810x y ==，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠.证法一（比较法）：依题意0x y ，＞，且x y ¹，因为()()()()22420222x y xy x y x y xy x y x y x y +--+-==+++＞，所以22x y xyx y++＞，所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠.证法二（分析法）：依题意0x y ，＞，且x y ¹，要证：22x y xyx y++＞，只需证：()24x y xy +＞只需证：222x y xy +＞，只需证：x y ¹（已知）.所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠.21.【答案】由于()22340x ax a a R +-Î＜可化为()()40x a x a -+g ＜，且方程()()40x a x a -+=的两个根分别是a 和4a -.当4a a =-，即0a =时，不等式的解集为Æ；当4a a -＞，即0a ＞时，解不等式得4a x a -＜＜；当4a a -＜，即0a ＜时，解不等式得4a x a -＜＜.综上所述，当0a =时，不等式的解集为Æ；当0a ＞时，不等式的解集为{}4x a x a -＜＜；当0a ＜时，不等式的解集为{}4x a x a -＜＜.22.【答案】（1）当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：()120601000250124450´++´=元.（2）设汽车行驶的速度为km /h x ，由题意可得：12060100021260x x´++≤，化简得213036000x x -+≤，解得4090x ≤≤，故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度不低于40km /h 时，不高于90km /h .（3）设汽车行驶的速度为km /h x ，则运输的总费用为12072006010002100010001240x x x ´++++=≥，当72002x x=，即60x =时取得等号，故若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶.。
2024-2025年北师大版数学必修第一册第一章单元质量评估卷(带答案)
第一章 单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x|x 2－1＝0}，则下列结论错误．．的是( ) A ．1∈A B ．{－1} A C ．∅⊇A D ．{－1，1}＝A2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”(人在阵地在，人不在阵地在不在不知道)，由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3．已知集合M ＝{x|x(x －2)<0}，N ＝{x|x －1<0}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x|1≤x<2}的是( )4．已知命题p ：∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ＝3，则( ) A.p 是假命题，p 否定是∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 B.p 是假命题，p 否定是∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 C.p 是真命题，p 否定是∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 D.p 是真命题，p 否定是∃x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3 5．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A.－a ＜ab ＜0 B ．－a ＞ab ＞0C.a ＞ab ＞ab 2 D ．ab ＞a ＞ab 26．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0 ，则A ∩(∁R B )＝( ) A.(－1，2) B ．(－1，1) C.(－1，2] D ．(－1，1]7．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”的一个必要不充分条件是( )A.0＜a ＜1 B ．0＜a ＜13C.0≤a ≤1 D．a ＜0或a ＞138．若正数a ，b 满足2a ＋1b ＝1，则2a＋b 的最小值为( )A.42 B ．82 C.8 D ．9二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．有下列命题中，真命题有( )A.∃x ∈N *，使x 为29的约数B.∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0C.存在锐角α，sin α＝1.5D.已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3m }，则对于任意的n ，m ∈N *，都有A ∩B ＝∅10．已知1a ＜1b＜0，下列结论中正确的是( )A.a ＜b B ．a ＋b ＜ab C.|a |＞|b | D ．ab ＜b 211．若对任意x ∈A ，1x∈A ，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是( )A.{－1，1} B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2 C.{}x |x 2>1 D ．{x |x >0}12．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是( )A.2a ＋b ＝0B.4a －2b ＋c ＜0C.b 2－4ac ＞0D.当y ＜0时，x ＜－1或x ＞4第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为________．14．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．15．若1a ＋1b ＝12(a ＞0，b ＞0)，则4a ＋b ＋1的最小值为________.16．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6，7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)若集合A 中只有1个元素，则A ＝________；(2)若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对(A ，B )叫作有序集合对，则有序集合对(A ，B )的个数是________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |m －2<x <2m }． (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若________，求实数m 的取值范围．请从①∀x ∈A 且x ∉B ；②“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；这两个条件中选择一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)18．(本小题满分12分)已知p ：x 2－3x －4≤0；q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，a ∈(0，1).(1)若f (1)＝2，求1a ＋4b的最小值；(2)若f (1)＝－1，求关于x 的不等式f (x )＋1>0的解集．20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2－40x ＋1 600，x ∈[30，50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，B ＝{x ||x ＋2|＞3}，C ＝{x |x2－2mx ＋m 2－1＜0，m ∈R }．(1)若A ∩C ＝∅，求实数m 的取值范围． (2)若(A ∩B )⊆C ，求实数m 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，2xy ＝x ＋4y ＋a . (1)当a ＝16时，求xy 的最小值；(2)当a ＝0时，求x ＋y ＋2x ＋12y的最小值．第一章 单元质量评估卷1．答案：C解析：因为A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，所以选项A ，B ，D 均正确，C 不正确． 2．答案：A解析：因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A 正确．3．答案：B解析：x (x －2)<0⇒0<x <2，x －1<0⇒x <1，选项A 中Venn 图中阴影部分表示M ∩N ＝(0，1)，不符合题意；选项B 中Venn 图中阴影部分表示∁M (M ∩N )＝[1，2)，符合题意；选项C 中Venn 图中阴影部分表示∁N (M ∩N )＝(－∞，0]，不符合题意；选项D 中Venn 图中阴影部分表示M ∪N ＝(－∞，2)，不符合题意．故选B.4．答案：A解析：由于x ，y 是整数，2x ＋4y 是偶数，所以p 是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以p 的否定是“∀x ，y ∈Z ，2x ＋4y ≠3”．故选A.5．答案：B解析：∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，a ＜ab 2＜0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B.6．答案：D解析：由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1，∴A ＝[－2，1].由x ＋1x －2≥0，得x ≤－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1]∪(2，＋∞).则∁R B ＝(－1，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－1，1].故选D.7．答案：C解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，所以函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的图象始终落在x 轴的上方，即Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0，1)是对应集合的真子集，故选C.8．答案：D解析：∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋1b ＝1，则2a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2ab＋2ab ≥5＋4＝9，当且仅当2ab ＝2ab 即a ＝13，b ＝3时取等号，故选D.9．答案：AB解析：A 中命题为真命题．当x ＝1时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋74 ＞0恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0＜sin α＜1；D 中命题为假命题．易知6∈A ，6∈B ，故A ∩B ≠∅.10．答案：BD解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故A 错误；因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，故B 正确；因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立，故C 错误；ab －b 2＝b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立，故D正确．故选BD.11．答案：ABD解析：根据“影子关系”集合的定义，可知{－1，1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2 ，{x |x >0}为“影子关系”集合，由{x |x 2>1}，得{x |x <－1或x >1}，当x ＝2时，12 ∉{x |x 2>1}，故不是“影子关系”集合．故选ABD.12．答案：ABC解析：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴为x ＝1，∴－b2a ＝1，得2a ＋b＝0，故A 正确；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故C 正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)，∴点A 的坐标为(3，0)，∴当y ＜0时，x ＜－1或x ＞3，故D 错误．故选ABC.13．答案：(2，4)(或写成{x |2＜x ＜4}) 解析：原不等式等价于x 2－6x ＋8＜0， 即(x －2)(x －4)＜0，得2＜x ＜4. 14．答案：20解析：把一月份至十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解． 七月份：500(1＋x %)，八月份：500(1＋x %)2. 所以一月份至十月份的销售总额为：3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－2.2(舍)或1＋x %≥1.2，所以x min ＝20. 15．答案：19解析：由1a ＋1b ＝12 ，得2a ＋2b＝1，4a ＋b ＋1＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋1＝8＋2＋8a b ＋2b a＋1≥11＋28a b ·2ba＝19.当且仅当8a b ＝2ba，即a ＝3，b ＝6时，4a ＋b ＋1取得最小值19.16．答案：(1){6} (2)32解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1，2，3，4，5，7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B ，2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A中有3个元素时，4∉B ，3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B ，4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B ，5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1，2，3，4，5，7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上，可知有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.17．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |0<x <4}, 所以A ∩B ＝{x |1<x <2}． (2)若选择条件①，由∀x ∈A 且x ∉B 得：A ∩B ＝∅， 当B ＝∅时，m －2≥2m ，即m ≤－2； 当B ≠∅时，m －2<2m ，即m >－2m －2≥2或2m ≤1，即m ≥4或m ≤12 ， 所以m ≥4或－2<m ≤12，综上所述：m 的取值范围为：m ≥4或m ≤12.若选择条件②，由“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件得：A ⊆B,即⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤12m ≥2 ，所以1≤m ≤3. 18．解析：由x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 由x 2－6x ＋9－m 2≤0，可得[x －(3＋m )][x －(3－m )]≤0，① 当m ＝0时，①式的解集为{x |x ＝3}；当m ＜0时，①式的解集为{x |3＋m ≤x ≤3－m }； 当m ＞0时，①式的解集为{x |3－m ≤x ≤3＋m }；若p 是q 的充分条件，则集合{x |－1≤x ≤4}是①式解集的子集．可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3＋m ≤－1，3－m ≥4 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4.故m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞). 19．解析：(1)由f (1)＝2可得：a ＋b ＝2， 因为a ∈(0，1)，所以2－b ∈(0，1)⇒1<b <2，所以1a ＋4b ＝12 ×(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋b a ＋4a b ≥12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当b a ＝4a b 时取等号，即当且仅当a ＝23 ，b ＝43 时取得最小值为92.(2)由f (1)＝－1可得：a ＋b ＝－1， 则f (x )＋1>0化为：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)>0，因为0<a <1，所以1a>1，则解不等式可得x >1a或x <1，则不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1a或x <1 .20．解析：(1)当x ∈[30，50]时，设该工厂获利为S 万元，则S ＝20x －(x 2－40x ＋1 600)＝－(x －30)2－700，所以当x ∈[30，50]时，S 的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P ＝y x＝x ＋1 600x－40，x ∈[30，50]，当x ∈[30，50]时，P ＝x ＋1 600x－40≥2x ·1 600x－40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．21．解析：(1)由已知可得A ＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜－5或x ＞1}，C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋1}．若A ∩C ＝∅，则m －1≥2或m ＋1≤－4， 解得m ≥3或m ≤－5.所以实数m 的取值范围为{m |m ≤－5或m ≥3}． (2)结合(1)可得A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．若(A ∩B )⊆C ，即{x |1＜x ＜2}⊆{x |m －1＜x ＜m ＋1}， 则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值范围为{m |1≤m ≤2}．22．解析：(1)当a ＝16时，2xy ＝x ＋4y ＋16≥2x ·4y ＋16＝4xy ＋16， 即2xy ≥4xy ＋16， 即(xy ＋2)(xy －4)≥0， 所以xy ≥4，即xy ≥16，当且仅当x ＝4y ＝8时等号成立， 所以xy 的最小值为16.(2)当a ＝0时，2xy ＝x ＋4y ，即12y ＋2x＝1，所以x＋y＋2x＋12y＝x＋y＋1＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫2x＋12y＋1＝72＋2yx＋x2y≥72＋22yx·x2y＝112，当且仅当2yx＝x2y，即x＝3，y＝32时等号成立，所以x＋y＋2x＋12y的最小值为112.。
北师大高一数学必修一试题附标准答案
高一年级数学（必修1）第一章质量检测试题参赛试卷学校 ：石油中学 命题人：王燕南（时间 90分钟 总分 150分）班级姓名一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1．已知集合{},,M a b c =中地三个元素可构成某个三角形地三条边长，那么此三角形一定不是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．全集U=N 集合A={x|x=2n,n ∈N}，B={x|x=4n,n ∈N}则（ ）A 、U=A ∪B B 、(C U A)⊆B C 、U= A ∪C U BD 、C U A ⊇C U B3．下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆②{}{}a b b a ,,=③{0}=∅④}0{0∈⑤{0}∅∈⑥{0}∅⊆ ，其中正确地个数为( )A 、 6个B 、 5个C 、4个D 少于4个4．若},4,2,0{},2,1,0{),(==⋂⊆Q P Q P M 则满足条件地集合M 地个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P ，则M P 与地关系是（ ）A ．M P =B ．M P ∈C ．M ∩P =ΦD ．M ⊇P6．集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 地元素个数为（ ）A 、10个 B 、8个 C 、18个 D 、15个7．下列命题中，(1)如果集合A 是集合B 地真子集，则集合B 中至少有一个元素.(2)如果集合A 是集合B 地子集，则集合A 地元素少于集合地B 元素.(3)如果集合A 是集合B 地子集，则集合A 地元素不多于集合B 地元素.(4)如果集合A 是集合B 地子集，则集合A 和B 不可能相等.错误地命题地个数是：（ ）A ． 0B ．1C 、2D ．38．已知集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，由集合A B 与地所有元素组成集合{}1,3,x 这样地实数x 共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．设3x y ==+，集合 A ．,x M y M ∈∈B ．,x M y M ∈∉C ．,x M y M ∉∈D ．,x M y M ∉∉10．如右图所示，I 为全集，M 、P 、S 为I 地子集.则阴影部分所表示地集合为（ ）A ．(M ∩P)∪SB ．(M ∩P)∩SC ．(M ∩P)∩( I S)D ．(M ∩P)∪( I S)二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.11．已知a ,b ∈R ，a ×b ≠0则以b b a a ||||+可能地取值为元素组成地集合用列举法可表示为12．设集合{}12A x x =<<，{}B x x a =<满足A ⊆B ，则实数a 地取值范围是13．定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且，若}6,3,2{},5,4,3,2,1{==N M ， 则N －M=.14．如右图图（1）中以阴影部分（含边界）地点为元素所组成地集合用描述法表示如下： }{2010),(≤≤≤≤y x y x ，请写出以右图（2）中以阴影部分（不含．．外边界但包含．．坐标轴）地点 为元素所组成地集合.三、解答题：（本大题共7题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.15.（本小题共12分）已知集合A={x|532+-x x ≤0}， B={x|x 2－3x+2<0}， U=R ，求（Ⅰ）A ∩B ； （Ⅱ）A ∪B ； （Ⅲ）（uA ）∩B16.（本小题满分12分）已知集合A={}2320,.x ax x a R -+=∈1）若A 是空集，求a 地取值范围；2）若A 中只有一个元素，求a 地值，并把这个元素写出来；3）若A 中至多只有一个元素，求a 地取值范围.17．（本小题满分14分）已知全集U=R ，集合A={},022=++px x x {},052=+-=q x x x B{}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A.18．（本小题满分14分）已知集合{{}2,2A x y B y y a x x ====--，其中a R ∈， 如果A B ⊆，求实数a 地取值范围.19．（本小题满分14分） 已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈，如果A ∩B=B ，求实数a 地取值范围.20．（本小题满分14分）设S 为满足下列两个条件地实数所构成地集合：①S 内不含1； ②若a S ∈，则11S a ∈- 解答下列问题：（Ⅰ）若2S ∈，则S 中必有其他两个元素，求出这两个元素；（Ⅱ）求证：若a S ∈，则11S a -∈； （III ）在集合S 中元素地个数能否只有一个？请说明理由.参考答案一、DCCAD DCCBC1.D.根据集合元素地互异性，可知三边互不相等，故选D.2.C.由于B ⊆A ，由Venn 图可知选C.3.C. ③{0}=∅和⑤{0}∅∈是错地，由于空集是没有任何元素地集合，不是只含零元素地集合，空集是任何集合地子集.4.A.含有n 个元素地集合有n n2个子集，因此含有两个元素地集合地子集有四个.5.D.集合M 中地元素是大于等于-4地实数，因此包含集合P 地所有元素.6.D.由Venn 图可知10+8-3=15,选D.7.C.集合A 是集合B 地子集有两种情况，集合A 和集合B 相等，或者集合A 是集 合B 地真子集,故（2）和（4)是错误地.8.C.由集合元素地互异性可知x x x ==223或，解得x=033或或-.9.B.是无理数π.10.C.二、11．{2，0，-2}； 12．2a ≥； 13．{6}；}01,01),{(}20,30),{(≤<-≤<-<≤<≤y x y x y x y x 三、15．解：A={x|532+-x x ≤0}={x|－5<x ≤23} B={x|x 2－3x+2<0}={x|1<x<2} （Ⅰ）A ∩B={x|1<x ≤23} （Ⅱ）A ∪B={x|－5<x<2}（Ⅲ）（uA ）={x|x ≤－5或x>23} （uA ）∩B={x|23<x<2} 16.解：1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a ≥89. 17．⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3 18．解：化简得{}{}53,1A x x B y y a =-≤≤=≤+，∵A B ⊆， ∴13a +≥， 即2a ≥.19.解：化简得{}0,4A =-， ∵B A ⊆，∴集合B 地元素都是集合A 地元素⑴当B =∅时，224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得1a <-；⑵当φ≠B 时，即{}{}04B =-或时，224(1)4(1)0a a ∆=+--=，解得1a =-，此时{}0B =，满足B A ⊆；⑶当{}0,4B =-时，2224(1)4(1)02(1)410a a a a ⎧∆=+-->⎪-+=-⎨⎪-=⎩，解得1a =. 综上所述，实数a 地取值范围是1a =或者1a ≤-.20．分析：反复利用题设：若a ∈A ，且a ≠1, 则,11A a∈-注意角色转换；单元素集是指集合中只有一个元素.解：⑴∵2S ∈， ∴112S ∈-，即1S -∈， ∴()111S ∈--，即12S ∈； ⑵证明：∵a S ∈， ∴11S a ∈-， ∴111111S a a =-∈--； ⑶集合S 中不能只有一个元素，用反证法证明如下：假设S 中只有一个元素，则有11a a=-，即210a a -+=，该方程没有实数解， ∴集合S 中不能只有一个元素.点评：（3）地证明使用了反证法，体现了“正难则反”地思维方法.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.RTCrp 。
(北师大版2019课标)高中数学必修第一册 第一章综合测试(含答案)
第一章综合测试第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}12323A B ==，，，，，则（ ） A .A B =B .AB =∅C .AB D .B A2.已知全集U =R ，集合{}{}010M x x N x x ==＜≤，≤，则()U M N =（ ）A .{}01x x ≤＜B .{}01x x ＜≤C .{}01x x ≤≤D .{}1x x ＜3.已知集合{}{}211M a P a ==--，，，，若MP 有三个元素，则MP =（ ）A .{}01，B .{}01-，C .{}0D .{}1-4.命题“200x x x ∀+≥，≥”的否定是（ ） A .200x x x ∃+＜，＜B .200x x x ∃+≥，≤C .200x x x ∃+≥，＜D .200x x x ∃+＜，≥ 5.已知010a b -＜，＜＜，则（ ） A .0a ab -＜＜B .0a ab -＞＞C .2a ab ab ＞＞D .2ab a ab ＞＞6.已知集合{}212002x A x x x B xx ⎧⎫+=+-=⎨⎬-⎩⎭≤，≥，则()A B =R （ ）A .()12-，B .()11-，C .(]12-，D .(]11-，7.“关于x 的不等式220x ax a -+＞的解集为R ”的一个必要不充分条件是（ ）A .01a ＜＜B .103a ＜＜ C .01a ≤≤D .103a a ＜或＞8.若正数a b ，满足121a b +=，则2b a+的最小值为（ ）A .B .C .8D .9二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9.有下列命题中，真命题有（ ） A .*x ∃∈N ，使x 为29的约数 B .220x x x ∀∈++R ，＞ C .存在锐角sin 1.5a α=，D .已知{}{}23A a a n B b b m ====，，则对于任意的*n m ∈N ，，都有AB =∅10.已知110a b＜＜，下列结论中正确的是 （ ）A .a b ＜B .a b ab +＜C .a b ＞D .2ab b ＜11.如下图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A B ，两点,与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，则下面结论中正确的是（ ）A .20a b +=B .420a b c -+＜C .240b ac -＞D .当0y ＜时，1x -＜或4x ＞12.设P 是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的a b P ∈，，都有aa b a b ab P b+-∈，，，（除数0b ≠），则称P 是一个数域.则关于数域的理解正确的是（ ） A .有理数集Q 是一个数域 B .整数集是数域C .若有理数集M ⊆Q ,则数集M 必为数域D .数域必为无限集第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13.不等式2680x x -+-＞的解集为________.14.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流()*0100x x x ∈N ＜＜，人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x .若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________． 15.若()11102a b a b +=＞，＞，则41a b ++的最小值为________. 16.已知非空集合A B ，满足下列四个条件： ①{}1234567A B =，，，，，，； ②AB =∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．（1）若集合A 中只有1个元素，则A =________；（2）若两个集合A 和B 按顺序组成的集合对()A B ，叫作有序集合对，则有序集合对()A B ，的个数是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知全集为实数集R ，集合{}{}1721A x x B x m x m ==-+≤≤，＜＜. （1）若5m =，求()A B A B R ，；（2）若A B A =，求m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知不等式()21460a x x --+＞的解集为{}31x x -＜＜.（1）求a 的值；（2）若不等式230ax mx ++≥的解集为R ，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知2340P x x --：≤；2269q x x m -+-：≤0，若p 是q 的充分条件，求m 的取值范围.20.（本小题满分12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为[]24016003050y x x x =-+∈，，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21.（本小题满分12分）若集合{}2280A x x x =+-＜，{}13B x x =+＞，{}22210C x x mx m m =-+-∈R ＜，.（1）若A C =∅，求实数m 的取值范围.（2）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知正实数a b ，满足1a b +=，求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】由真子集的概念，知B A ，故选D .2.【答案】B【解析】{}(){}001U U N x x M N x x ==∵＞，∴＜≤.故选B .3.【答案】C【解析】由题意知2a a =-，解得0a =或1a =-.①当0a =时，{}{}{}1010101M P M P ==-=-，，，，，，，满足条件，此时{}0M P =；②当1a =-时，21a =，与集合M 中元素的互异性矛盾，舍去，故选C .4.【答案】C【解析】“200x x x ∀+≥，≥”的否定是“200x x x ∃+≥，＜”. 5.【答案】B【解析】201000a b ab a ab -∵＜，＜＜，∴＞，＜＜，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B . 6.【答案】D【解析】由220x x +-≤，得[]2121x A -=-≤≤，∴，.由102x x +-≥，得1x -≤或2x ＞，(]()12B =-∞-+∞∴，，.则(]12B =-R，，()(]11A B =-R ∴，.故选D . 7.【答案】C【解析】因为关于x 的不等式220x ax a -+＞的解集为R ，所以函数()22f x x ax a =-+的图象始终落在x轴的上方，即2440a a ∆=-＜，解得01a ＜＜，因为要找其必要不充分条件，从而得到()01，是对应集合的真子集，故选C . 8.【答案】D【解析】00a b ∵＞，＞，且121b b +=，则2212252549b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当22ab ab =即133a b ==，时取等号，故选D . 二、9.【答案】AB【解析】A 中命题为真命题．当1x =时，x 为29的约数成立；B 中命题是真命题．22172024x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭＞恒成立；C 中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0sin 1a ＜＜；D 中命题为假命题．易知66A B ∈∈，，故A B ≠∅.10.【答案】BD【解析】因为110a b＜＜，所以0b a ＜＜，故A 错误；因为0b a ＜＜，所以00a b ab +＜，＞，所以a b ab +＜，故B 正确；因为0b a ＜＜，所以a b ＞不成立，故C 错误；()2ab b b a b -=-，因为0b a ＜＜，所以0a b -＞，即()20ab b b a b -=-＜，所以2ab b ＜成立，故D 正确．故选BD .11.【答案】ABC【解析】∵二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的对称轴为112bx a==，∴-，得20a b +=，故A 正确；当2x =-时，420y a b c =-+＜，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则240b ac -＞，故C 正确；∵二次函数()20y ax bx c c =++≠的图象的对称轴为1x =，点B 的坐标为()10-，，∴点A 的坐标为()30，，∴当0y ＜时，1x -＜或3x ＞，故D 错误，故选ABC.12.【答案】AD【解析】若a b ∈Q ，，则a b +∈Q ，a b -∈Q ，ab ∈Q ，()0ab b∈≠Q ，所以有理数Q 是一个数域，故A正确；因为1122∈∈∉Z Z Z ，，，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集{}2M =Q，则1M M ∈，但1M ，所以C 不正确；根据定义，如果()0a b b ≠，在数域中，那么2a b a b a kb +++，，…，（k k 为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D 正确．故选AD . 三、13.【答案】()24，（或写成{}24x x ＜＜） 【解析】原不等式等价于2680x x -+＜，即()()240x x --＜，得24x ＜＜. 14.【答案】16【解析】由题意，分流前每年创造的产值为100t （万元），分流x 人后，每年创造的产值为()()1001 1.2%x x t -+，由()()01001001 1.2%100x x x t t ⎧⎪⎨-+⎪⎩＜＜≥，解得5003x ＜≤.因为*x ∈N ，所以x 的最大值为16.15.【答案】19 【解析】由1112a b +=，得221a b+=， ()228241418211119a b a b a b a b b a a ⎛⎫++=+++=+++++= ⎪⎝⎭≥.当且仅当82a bb a=，即36a b ==，时，41a b ++取得最小值19. 16.【答案】（1）{}6 （2）32【解析】（1）若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，所以6B ∉，故{}6A =．（2）当集合A 中有1个元素时，{}6A =，{}123457B =，，，，，，此时有序集合对()A B ，有1个；当集合A 中有2个元素时，5B ∉，2A ∉，此时有序集合对()A B ，有5个；当集合A 中有3个元素时，4B ∉，3A ∉，此时有序集合对()A B ，有10个；当集合A 中有4个元素时，3A ∉，4A ∉，此时有序集合对()A B ，有10个；当集合A 中有5个元素时，2B ∉，5A ∉，此时有序集合对()A B ，有5个；当集合A 中有6个元素时，{}123457A =，，，，，，{}6B =，此时有序集合对()A B ，有1个．综上，可知有序集合对()A B ，的个数是1510105132+++++=.四、17.【答案】解：（1）{}595m B x x ==-∵，∴＜＜，又{}17A x x =≤≤，{}97A B x x =-∴＜≤.又{}17A x x x =R＜，或＞，(){}91A B x x =-R ∴＜＜.（2）AB A A B =⊆∵，∴，2117m m -+⎧⎨⎩＜∴＞，即07m m ⎧⎨⎩＞＞，解得7m ＞.m ∴的取值范围是{}7m m ＞.18.【答案】解（1）由已知，10a -＜，且方程()21460a x x --+=的两根为31-，， 有4311631aa⎧=-+⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，解得3a =.（2）不等式2330x mx ++≥的解集为R ， 则24330m ∆=-⨯⨯≤，解得66m -≤≤，实数m 的取值范围为[]66-，. 19.【答案】解：由2340x x --≤，解得14x -≤≤， 由22690x x m -+-≤，可得()()330x m x m ⎡-+⎤⎡--⎤⎣⎦⎣⎦≤，① 当0m =时，①式的解集为{}3x x =；当0m ＜时，①式的解集为{}33x m x m +-≤≤； 当0m ＞时，①式的解集为{}33x m x m -+≤≤；当p 是q 的充分条件，则集合{}14x x -≤≤是①式解集在的子集.可得03134m m m ⎧⎪+-⎨⎪-⎩＜≤≥或03134m m m ⎧⎪--⎨⎪+⎩＞≤≥， 解得4m -≤或4m ≥.故m 的取值范围是(][)44-∞-+∞，，. 20.【答案】解：（1）当[]3050x ∈，时，设该工厂获利为S 万元， 则()()222040160030700S x x x x =--+=---，所以当[]3050x ∈，时，S 的最大值为700-，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损. （2）由题知，二氧化碳的平均处理成本[]1600403050x P x x y x=+-∈，，，当[]3050x ∈，时，1600404040P x x x x=+--=≥， 当且仅当1600x x=，即40x =时等号成立，所以当处理最为40吨时，每吨的平均处理成本最少. 21.【答案】解：（1）由已知可得{}42A x x =-＜＜，{}51B x x x =-＜或＞，{}11C x m x m =-+＜＜.若A C =∅，则12m -≥或14m +-≤， 解得3m ≥或5m -≤.所以实数m 的取值范围为{}53m m m -≤或≥. （2）结合（1）可得{}12A B x x =＜＜.若()AB C ⊆，即{}{}1211x x x m x m ⊆-+＜＜＜＜，则1112m m -⎧⎨+⎩≤≥， 解得12m ≤≤.所以实数m 的取值范围为{}12m m ≤≤.22.【答案】解：()()()22222222222222211114111421411214a b a b a b a b a b a b ab a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫+++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+++=+-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由1a b +=，得2124a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤（当且仅当12a b ==时等号成立）， 所以1112122ab --=≥，且22116a b≥，所以()2211125116422a b a b ⎛⎫⎛⎫+++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，所以2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为252.。
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最新北师大版高一数学必修一测试题全套及答案第一章测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B等于()A．{x|2<x<3}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5}解析：结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．答案：B2．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析：集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．答案：B3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}解析：画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．答案：D4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是() A．M＝P B．M PC．P M D．M与P没有公共元素解析：∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴M P.答案：B5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：∵∁U M＝{1,4,5,6}，∁U N＝{2,3,5,6}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}．答案：D6．如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是() A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁I S)D．(M∩P)∪(∁I S)解析：阴影部分在M中，也在P中但不在S中，故表示的集合为(M∩P)∩(∁I S)．答案：C7．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为() A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A8．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是() A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}解析：∁R B＝{x|x≤1或x≥2}，∵A∪(∁R B)＝R，∴a≤1.答案：A9．若集合A＝{x||x|＝1}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，则实数a的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．1或0或－1解析：∵A＝{－1,1}且A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝{－1}或{1}或∅.当B＝{1}时a＝1；当B＝{－1}时a＝－1；当B＝∅时a＝0.∴a的值为0或1或－1.答案：D10．定义集合M与N的新运算：M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x∉M∩N}，则(M⊕N)⊕N ＝()A．M∩N B．M∪NC．M D．N解析：按定义，M⊕N表示右上图的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x∉(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示右下图右边的阴影部分，因此(M⊕N)⊕N＝M.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．解析：如图中数轴所示，要使A∪B＝R，需满足a≤2.答案：a≤212．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．解析：当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.答案：513．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________________________________________________________________________.解析：∵∁U B＝{x|x≤1}，借助数轴可以求出∁U B与A的交集为图中阴影部分，即{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}14．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．解析：(1)若A中有且只有1个奇数，则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或∅.答案：6三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t ＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合． 解析： ∵M ∪N ＝M ， ∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M ，(1)若t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，当t ＝1时，M 中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去．∴t ＝0. (2)若t 2－t ＋1＝t ，即t 2－2t ＋1＝0，解得t ＝1， 由(1)知不符合题意，舍去． 综上所述，t 的取值集合为{0}．16．(12分)已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解析： (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}(2)∵C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴－a2<2， ∴a >－4.∴a 的取值范围是{a |a >－4}．17．(13分)若集合A ＝{x |－3≤x ≤4}和B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)当m ＝－3时，求集合A ∩B . (2)当B ⊆A 时，求实数m 的取值范围．解析： (1)当m ＝－3时，B ＝{x |－7≤x ≤－2}， A ∩B ＝{x |－3≤x ≤－2}． (2)∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，即m >2. 当B ≠∅时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋12m －1≥－3m ＋1≤4，即－1≤m ≤2.综上所述，所求m 的范围是m ≥－1.18．(13分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a |关于x 的方程ax 2－x＋1＝0有实根}．求A ∪B ，A ∩B ，A ∩(∁U B )．解析： A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}， 对于方程ax 2－x ＋1＝0有实根， 当a ＝0时，x ＝1；当a ≠0时，Δ＝1－4a ≥0，a ≤14. 所以B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤14 .所以A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤14或a ≥2，A ∩B ＝{a |a ≤－2}， A ∩(∁U B )＝{a |a ≥2}．第二章 测试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}解析： 当x ＝0时y ＝0，当x ＝1时y ＝－1， 当x ＝2时y ＝0，当x ＝3时y ＝3，值域为{－1,0,3}． 答案： A2．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析： 从图像上看，由于图像不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图像看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数， 将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．答案： C3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )解析： 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s 随时间t 的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越慢，排除B.答案： A4．函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a (a ∈R )的交点有( ) A ．至多有一个 B ．至少有一个 C ．有且仅有一个D ．有一个或两个以上解析： 由函数的定义对于定义域内的任意一个x 值，都有唯一一个y 值与它对应，所以函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a (a ∈R )至多有一个交点(当a 的值不在定义域时，也可能没有交点)．答案： A5．对于定义域为R 的奇函数f (x )，下列结论成立的是( ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0解析： f (－x )＝－f (x )，则f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0. 答案： C6．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则有( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．c ≥0D ．c ≤0解析： 作出函数y ＝x 2＋bx ＋c 的简图，对称轴为x ＝－b2.因该函数在[0，＋∞)上是单调函数，故对称轴只要在y 轴及y 轴左侧即可，故－b2≤0，所以b ≥0.答案： A7.幂函数y ＝f (x )图像如图，那么此函数为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 32 C ．y ＝x 12D ．y ＝x 23解析： 可设函数为y ＝x α，将(2，2)代入得α＝12. 答案： C8．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.6 m解析： 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎨⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m.答案： A9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，(x >10)，f (f (x ＋5))，(x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18D ．16解析： f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24. 答案： A10．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x解析： f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故排除A ，B.f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故排除D.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12，x >0，－2，x ＝0，(x ＋3)12，x <0，则f (f (f (0)))＝________.解析： f (0)＝－2，f (f (0))＝f (－2)＝(－2＋3)12＝1，f (f (f (0)))＝f (1)＝1－12＝1. 答案： 112．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________． 解析： 由题意得m －1<2m －1，故m >0. 答案： (0，＋∞)13．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________. 解析： f (－x )＝(1－x )(a －x )－x ，又f (x )为奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 即(x ＋1)(x ＋a )x ＝(1－x )(a －x )x ，所以x 2＋(a ＋1)x ＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ， 从而有a ＋1＝－(a ＋1)，即a ＝－1. 答案： －114．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：当g [f (x )]＝2时，x ＝解析： ∵g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1. 答案： 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式，并求其单调区间．解析： ∵f (3)＝f (－1)＝5， ∴对称轴为x ＝1，又∵最大值为13，∴开口向下，设为f (x )＝a (x －1)2＋13(a ＜0)，代入x ＝－1， ∴4a ＋13＝5，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －1)2＋13.函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 16．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，且f (1)＝2， (1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (3)求函数f (x )在[2,5]上的最大值与最小值．解析： (1)证明：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，因为f (1)＝2所以1＋a ＝2，即a ＝1f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x f (－x )＝－x －1x ＝－f (x ) 所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2 f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2) ＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2∵x 1<x 2，且x 1x 2∈(1，＋∞) ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0 所以f (x )在(1，＋∞)上为增函数．(3)由(2)知，f (x )在[2,5]最小值为f (2)＝52.17．(13分)已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x .(1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)的图像，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，并说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．解析： (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R . 又任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，故f (x )的图像关于y 轴对称，补全图像如图所示．(2)证明：∵g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)， ∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．18．(13分)已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎡⎦⎤－32，2上的最大值为1，求实数a的值．解析： 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎡⎦⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0.∴f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为 x 0＝1－2a 2a .(1)令f ⎝⎛⎭⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎡⎦⎤－32，2， 因为a <0，f (x 0)最大，所以f ⎝⎛⎭⎫－32＝1不合适；(2)令f (2)＝1，解得a ＝34， 此时x 0＝－13∈⎣⎡⎦⎤－32，2，因为a ＝34>0，x 0＝－13∈⎣⎡⎦⎤－32，2，且距右端点2较远， 所以f (2)最大，合适；(3)令f (x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)， 验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适． 综上所述，a ＝34或a ＝－12(3＋22)．第三章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简[3（－5）2]34的结果为( ) A ．5 B ．5 C ．－ 5D ．－5解析： [3（－5）2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5.答案： B2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．125解析： 由换底公式，得lg 1 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，∴－lg xlg 5＝2.∴lg x＝－2lg 5＝lg 125.∴x＝125.答案：D3．已知函数f(x)＝4＋a x＋1的图像恒过定点P，则点P的坐标是()A．(－1，5) B．(－1，4)C．(0，4) D．(4，0)解析：∵y＝a x恒过定点(0，1)，∴y＝4＋a x＋1恒过定点(－1，5)．答案：A4．函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是()A．|a|>1 B．|a|>2C．a> 2 D．1<|a|<2解析：由0<a2－1<1得1<a2<2，∴1<|a|< 2.答案：D5．函数y＝a x－1的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围是()A．a>0 B．a>1C．0<a<1 D．a≠1解析：由a x－1≥0得a x≥1，又知此函数的定义域为(－∞，0]，即当x≤0时，a x≥1恒成立，∴0<a<1.答案：C6．函数y＝f(x)＝a x－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是() A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0解析：由图像得函数是减函数，∴0<a<1.又分析得，图像是由y ＝a x 的图像向左平移所得， ∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案： D7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2，x ≤1，⎝⎛⎭⎫13x －1－2，x >1的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]解析： 当x ≤1时，0<3x －1≤31－1＝1， ∴－2<3x －1－2≤－1. 当x >1时，⎝⎛⎭⎫13x<⎝⎛⎭⎫131， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －1<⎝⎛⎭⎫130＝1， 则－2<⎝⎛⎭⎫13x －1－2<1－2＝－1.答案： D8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像为( )解析： 由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C 的值增大的很快，从而可判定结果．答案： A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析： 当x 0≥2时，∵f (x 0)>1， ∴log 2(x 0－1)>1，即x 0>3；当x 0<2时，由f (x 0)>1得⎝⎛⎭⎫12x 0－1>1，⎝⎛⎭⎫12x 0>⎝⎛⎭⎫12－1，∴x 0<－1. ∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案： C10．函数f (x )＝log a (bx )的图像如图，其中a ，b 为常数．下列结论正确的是( ) A ．0<a <1，b >1 B ．a >1，0<b <1 C ．a >1，b >1D ．0<a <1，0<b <1解析： 由于函数单调递增，∴a >1，又f (1)>0， 即log a b >0＝log a 1，∴b >1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈（0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________． 解析： ∵－1＝log 313<log 312<log 31＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫log 312＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝3－log 312＝3log 32＝2.答案： 212．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m＝________．解析： 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，所以⎝⎛⎭⎫123＝e 5n ×3.故18＝e 15n ，解得t ＝15， 故m ＝15－5＝10. 答案： 1013．若函数y ＝2x ＋1，y ＝b ，y ＝－2x －1三图像无公共点，结合图像则b 的取值范围为________．解析： 如图．当－1≤b ≤1时，此三函数图像无公共点． 答案： [－1，1]14．函数f (x )＝－a 2x －1＋2恒过定点的坐标是________． 解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝⎛⎭⎫12＝－a 0＋2＝1， ∴f (x )过定点⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)计算下列各式的值： (1)(32×3)6＋(2×2)43－(－2 008)0； (2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312)2＋ln e －lg 1. 解析： (1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43－1＝213×6×312×6＋232×12×43－1 ＝22×33＋21－1 ＝4×27＋2－1 ＝109.(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2 ＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋34＝54＋34＝2. 16．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝12.17．(13分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3a －4x 的定义域为[0，1]． (1)求函数g (x )的解析式； (2)判断函数g (x )的单调性．解析： (1)∵f (x )＝3x ，∴f (a ＋2)＝3a ＋2＝18，∴3a ＝2. ∴g (x )＝2－4x (x ∈[0，1])．(2)设x 1，x 2为区间[0，1]上任意两个值，且x 1<x 2， 则g (x 2)－g (x 1)＝2－4x 2－2＋4x 1＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2)， ∵0≤x 1<x 2≤1，∴2x 2>2x 1>1， ∴g (x 2)<g (x 1)．所以，函数g (x )在[0，1]上是减函数．18．(13分)已知f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x ，(1)求f (x )的定义域； (2)求f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012；(3)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(－1，1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．解析： (1)由1－x 1＋x >0得x －1x ＋1<0∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x ＋1>0， ∴－1<x <1，即f (x )的定义域为(－1，1)． (2)对x ∈(－1，1)有f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＝－f ⎝⎛⎭⎫12 012. ∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝0. (3)设－1<x 1<x 2<1， 则1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，(1＋x 1)(1＋x 2)>0， ∴1－x 11＋x 1>1－x 21＋x 2. ∴函数y ＝1－x1＋x在(－1，1)上是减函数．从而得f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1，1)上也是减函数．又a ∈(－1，1)，∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值，且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a.第四章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( ) A ．1，2，3 B ．1，－1，3 C ．1，－1，－3D ．无零点解析： 令y ＝(x －1)(x 2－2x －3)＝0，解得x ＝1，－1，3，故选B. 答案： B2．下列函数中没有零点的是( ) A ．f (x )＝log 2x －3 B ．f (x )＝x －4 C ．f (x )＝1x －1D ．f (x )＝x 2＋2x解析： 由于函数f (x )＝1x －1中，对任意自变量x 的值，均有1x －1≠0，故该函数不存在零点．答案： C3．如图所示的函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析： 对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求． 答案： A4．已知函数f (x )＝e x －x 2＋8x ，则在下列区间中f (x )必有零点的是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析： f (－1)＝1e －9<0，f (0)＝e 0＝1>0，f (x )是连续函数，故f (x )在(－1，0)上有一零点．答案： B5．若函数f (x )的图像是连续不断的，且f (0)>0, f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点解析： 因为f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图像与x 轴相交有多种可能．例如，所以函数f (x )必在区间(0，4)内有零点． 答案： D6．二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m <0，那么p 、q 应满足的条件是( ) A ．p >0且q <0 B ．p >0且q >0 C ．p <0且q >0D ．p <0且q <0解析： 由已知得f (0)<0，－p2>0，解得q <0，p <0.答案： D7．若x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析： 构造函数f (x )＝ln x ＋x －4，则函数f (x )的图像是连续不断的一条曲线，又f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，所以f (2)·f (3)<0，故函数的零点所在区间为(2，3)，即方程ln x ＋x ＝4的解x 0属于区间(2，3)，故选C.答案： C8．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，－12C ．0，12D ．2，12解析： 函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，则2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a (a ≠0)，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，故函数g (x )有两个零点0，－12，故选B.答案： B9．当x ∈(4，＋∞)时，f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x 的大小关系是( ) A ．f (x )>g (x )>h (x ) B ．g (x )>f (x )>h (x ) C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析： 在同一坐标系中，画出三个函数的图像，如右图所示． 当x ＝2时，f (x )＝g (x )＝4，当x ＝4时，f (x )＝g (x )＝16，当x >4时，g (x )图像在最上方，h (x )图像在最下方，故g (x )>f (x )>h (x )． 答案： B10．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x 年植树亩数y (万亩)是时间x (年)的一次函数，这个函数的图像是( )解析： 函数解析式为y ＝x ＋0.5，故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析： 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123－6×⎝⎛⎭⎫122＋4>0， ∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，112．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0，2]上的零点有________个． 解析： x 3－x 2－x ＋1＝(x －1)2(x ＋1)， 由f (x )＝0得x ＝1或x ＝－1. ∴f (x )在[0，2]上有1个零点． 答案： 113．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，（x ≥2）（x －1）3，（x <2）若函数y ＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析： 画出分段函数f (x )的图像如图所示．结合图像可以看出，函数y ＝f (x )－k 有两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1)．答案： (0，1)14．已知函数t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－N100的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t (小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N (字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．解析： 当N ＝90时，t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－90100＝144. 答案： 144三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的取值范围． 解析： (1)若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a ≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax 2－x －1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0和－14时函数只有一个零点．16．(12分)以下是用二分法求方程x 3＋3x －5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f (x )＝x 3＋3x －5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线． 先求值：f (0)＝________，f (1)＝________，f (2)＝________，f (3)＝________． 所以f (x )在区间________内存在零点x 0，填表：结论：________________________________________________________________________. 解析： －5 －1 9 31 (1，2)∵∴原方程的近似解可取为1.187 5.17．(13分)某商品在近100天内，商品的单位f (t )(元)与时间t (天)的函数关系式如下：f (t )＝⎩⎨⎧t4＋22，0≤t ≤40，t ∈Z ，－t2＋52，40<t ≤100，t ∈Z .销售量g (t )与时间t (天)的函数关系式是( ) g (t )＝－t 3＋1123(0≤t ≤100，t ∈Z )．这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？解析： 依题意，该商品在近100天内日销售额F (t )与时间t (天)的函数关系式为F (t )＝f (t )·g (t )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123，0≤t ≤40，t ∈Z ，⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123，40<t ≤100，t ∈Z .(1)若0≤t ≤40，t ∈Z ，则F (t )＝⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123 ＝－112(t －12)2＋2 5003，当t ＝12时，F (t )max ＝2 5003(元)．(2)若40<t ≤100，t ∈Z ，则 F (t )＝⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123 ＝16(t －108)2－83，∵t ＝108>100， ∴F (t )在(40，100]上递减，∴当t ＝41时，F (t )max ＝745.5.∵2 5003>745.5，∴第12天的日销售额最高．18．(13分)据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解析： (1)由图像可知：当0≤t ≤10时，v ＝3t ，则 当t ＝4，v ＝3×4＝12， 故s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时， s ＝12·t ·3t ＝32t 2， 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]30t －150，t ∈（10，20]－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)∵t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35， ∴t ＝30.即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示错误的是( ) A ．{a }∈{a ，b } B ．{a ，b }⊆{b ，a } C ．{－1，1}⊆{－1，0，1}D ．∅⊆{－1，1}解析： A 中两个集合之间不能用“∈”表示，B ，C ，D 都正确． 答案： A2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析： A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ⊆B . 答案： A3．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析： 易知log 23>1，log 32，log 52∈(0，1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式即得log 32>log 52. 答案： D4．函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则( ) A ．b >0且a <0 B ．b ＝2a <0 C ．b ＝2a >0D ．a ，b 的符号不定解析： 由题知a <0，－b2a ＝－1，∴b ＝2a <0.答案： B5．要得到y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图像( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度解析： 由y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x＝⎝⎛⎭⎫13－1×⎝⎛⎭⎫13xx －1正确．答案： D6．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a <0)和y ＝ax ＋1a的图像可能是如图中的( )解析： ∵a <0，∴y ＝ax ＋1a 的图像不过第一象限．还可知函数y ＝x a (a <0)和y ＝ax ＋1a 在各自定义域内均为减函数．答案： B7．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．b <a <c解析： ∵0<log 53<log 54<1，log 45>1，∴b <a <c . 答案： D8．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1至多有一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．以上都不对解析： 当f (x )有一个零点时，若a ＝0，符合题意， 若a ≠0，则Δ＝4－4a ＝0得a ＝1， 当f (x )无零点时，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 综上所述，a ≥1或a ＝0. 答案： D9．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析： 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)．又函数为f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)<f (－2)<f (3)．答案： B10．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( ) A ．{x |x <－3，或0<x <3} B ．{x |－3<x <0，或x >3} C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析： ∵f (x )是奇函数， ∴f (3)＝－f (－3)＝0. ∵f (x )在(0，＋∞)是增加的， ∴f (x )在(－∞，0)上是增加的．结合函数图像x ·f (x )<0的解为0<x <3或－3<x <0. 答案： D11．一个商人有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将收益都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元货物保管费．这个商人若要获得最大收益，则这批货( )A ．月初售出好B ．月末售出好C ．月初或月末一样D ．由成本费的大小确定出售时机解析： 设这批货成本为a 元，月初售出可收益y 1＝(a ＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，月末售出可收益y 2＝a ＋1 200－50＝a ＋1 150(元)．则y 1－y 2＝(a ＋1 000)×1.024－a －1 150 ＝0.024a －126.当a >1260.024>5 250时，月初售出好；当a <5 250时，月末售出好；当a ＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出． 答案： D12．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析： 计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利用零点的存在条件说明零点的位置．∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )， ∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a <b <c ，∴f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内． 答案： A二、填空题(本大题共4分．请把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛g ．解析： ∵g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝eln 12＝12. 答案： 1214．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________．解析： A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )．若A ⊆B ，则a >4，即a 的取值范围为(4，＋∞)，∴c ＝4. 答案： 415．函数y ＝22－2x －3x 2的递减区间是________． 解析： 令u ＝2－2x －3x 2，y ＝2u ，由u ＝－3x 2－2x ＋2知，u 在⎝⎛⎭⎫－13，＋∞上为减函数，而y ＝2u 为增函数，所以函数的递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，＋∞. 答案： ⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ 16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像有________个交点．解析： 作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像如图，由图可知，两个函数的图像有3个交点．答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解析： (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， 所以A ∪B ＝{x |2<x <10}．(2)因为A ＝{x |3≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}． 因为B ＝{x |2<x <10}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．(3)因为A ＝{x |3≤x <7}，C ＝{x |x <a }，A ⊆C ， 所以a 需满足a ≥7.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图像； (2)写出f (x )的单调递增区间．解析： (1)函数f (x )的图像如下图所示：(2)函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]和[2，5]． 19．(本小题满分12分)计算下列各式的值： (1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫82723＋⎝⎛⎭⎫32－2. (2)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72. 解析： (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫233×23＋⎝⎛⎭⎫32－2 ＝⎝⎛⎭⎫322×12－1－⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.20．(本小题满分12分)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析： (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1， 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．21．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[0，1]时的解析式为f (x )＝－22x ＋a 2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[－1，0]上的解析式． (2)求f (x )在[0，1]上的最大值h (a )． 解析： (1)设x ∈[－1，0]， 则－x ∈[0，1]，f (－x )＝－2－2x＋a 2－x ，又∵函数f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )， ∴f (x )＝－2－2x＋a 2－x ，x ∈[－1，0]．(2)∵f (x )＝－22x ＋a 2x ，x ∈[0，1]， 令t ＝2x ，t ∈[1，2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a 24. 当a2≤1，即a ≤2时，h (a )＝g (1)＝a －1； 当1<a2<2，即2<a <4时，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，h (a )＝g (2)＝2a －4. 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1， a ≤2，a24， 2<a <4，2a －4， a ≥4.22．(本小题满分13分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )的值越大，表示接受能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43， （0<x ≤10）59， （10<x ≤16）－3x ＋107， （16<x ≤30）(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？ (2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解析： (1)当0<x ≤10时， f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43 ＝－0.1(x －13)2＋59.9，故f (x )在0<x ≤10时递增，最大值为f (10)＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59. 当10<x ≤16时，f (x )＝59.当x >16时，f (x )为减函数，且f (x )<59.因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55， 解得x ＝6或x ＝20(舍)， 当x >16时，令f (x )＝55， 解得x ＝1713.因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．。
最新北师大版高一数学必修一测试题全套及答案
最新北师大版高一数学必修一测试题全套及答案第一章测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B等于()A．{x|2<x<3}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5}解析：结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．答案：B2．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析：集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．答案：B3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}解析：画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．答案：D4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是() A．M＝P B．M PC．P M D．M与P没有公共元素解析：∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴M P.答案：B5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：∵∁U M＝{1,4,5,6}，∁U N＝{2,3,5,6}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}．答案：D6．如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是() A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁I S)D．(M∩P)∪(∁I S)解析：阴影部分在M中，也在P中但不在S中，故表示的集合为(M∩P)∩(∁I S)．答案：C7．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为() A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A8．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是() A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}解析：∁R B＝{x|x≤1或x≥2}，∵A∪(∁R B)＝R，∴a≤1.答案：A9．若集合A＝{x||x|＝1}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，则实数a的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．1或0或－1解析：∵A＝{－1,1}且A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝{－1}或{1}或∅.当B＝{1}时a＝1；当B＝{－1}时a＝－1；当B＝∅时a＝0.∴a的值为0或1或－1.答案：D10．定义集合M与N的新运算：M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x∉M∩N}，则(M⊕N)⊕N ＝()A．M∩N B．M∪NC．M D．N解析：按定义，M⊕N表示右上图的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x∉(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示右下图右边的阴影部分，因此(M⊕N)⊕N＝M.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．解析：如图中数轴所示，要使A∪B＝R，需满足a≤2.答案：a≤212．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．解析：当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.答案：513．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________________________________________________________________________.解析： ∵∁U B ＝{x |x ≤1}，借助数轴可以求出∁U B 与A 的交集为图中阴影部分，即{x |0<x ≤1}．答案： {x |0<x ≤1} 14．已知集合A{2,3,7}，且A 中至多有1个奇数， 则这样的集合共有________个．解析： (1)若A 中有且只有1个奇数，则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 答案： 6三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t ＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合． 解析： ∵M ∪N ＝M ， ∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M ，(1)若t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，当t ＝1时，M 中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去．∴t ＝0. (2)若t 2－t ＋1＝t ，即t 2－2t ＋1＝0，解得t ＝1， 由(1)知不符合题意，舍去． 综上所述，t 的取值集合为{0}．16．(12分)已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解析： (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}(2)∵C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴－a2<2， ∴a >－4.∴a 的取值范围是{a |a >－4}．17．(13分)若集合A ＝{x |－3≤x ≤4}和B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)当m ＝－3时，求集合A ∩B . (2)当B ⊆A 时，求实数m 的取值范围．解析： (1)当m ＝－3时，B ＝{x |－7≤x ≤－2}， A ∩B ＝{x |－3≤x ≤－2}． (2)∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，即m >2. 当B ≠∅时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋12m －1≥－3m ＋1≤4，即－1≤m ≤2.综上所述，所求m 的范围是m ≥－1.18．(13分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a |关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0有实根}．求A ∪B ，A ∩B ，A ∩(∁U B )．解析： A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}， 对于方程ax 2－x ＋1＝0有实根， 当a ＝0时，x ＝1；当a ≠0时，Δ＝1－4a ≥0，a ≤14. 所以B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤14 .所以A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤14或a ≥2，A ∩B ＝{a |a ≤－2}，A ∩(∁UB )＝{a |a ≥2}．第二章 测试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：当x＝0时y＝0，当x＝1时y＝－1，当x＝2时y＝0，当x＝3时y＝3，值域为{－1,0,3}．答案：A2．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为()A．－1<m<3B．0C．1D．2解析：从图像上看，由于图像不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图像看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．答案：C3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s 随时间t的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.答案：A4．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a(a∈R)的交点有()A．至多有一个B．至少有一个C．有且仅有一个D．有一个或两个以上解析：由函数的定义对于定义域内的任意一个x值，都有唯一一个y值与它对应，所以函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a (a ∈R )至多有一个交点(当a 的值不在定义域时，也可能没有交点)．答案： A5．对于定义域为R 的奇函数f (x )，下列结论成立的是( ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0解析： f (－x )＝－f (x )，则f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0. 答案： C6．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则有( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．c ≥0D ．c ≤0解析： 作出函数y ＝x 2＋bx ＋c 的简图，对称轴为x ＝－b2.因该函数在[0，＋∞)上是单调函数，故对称轴只要在y 轴及y 轴左侧即可，故－b2≤0，所以b ≥0.答案： A7.幂函数y ＝f (x )图像如图，那么此函数为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 32 C ．y ＝x 12D ．y ＝x 23解析： 可设函数为y ＝x α，将(2，2)代入得α＝12. 答案： C8．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.6 m解析： 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎨⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m.答案： A9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，(x >10)，f (f (x ＋5))，(x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18D ．16解析： f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24. 答案： A10．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝－3x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x解析：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故排除A ，B.f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故排除D.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12，x >0，－2，x ＝0，(x ＋3)12，x <0，则f (f (f (0)))＝________.解析： f (0)＝－2，f (f (0))＝f (－2)＝(－2＋3)12＝1， f (f (f (0)))＝f (1)＝1－12＝1. 答案： 112．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________． 解析： 由题意得m －1<2m －1，故m >0. 答案： (0，＋∞)13．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________. 解析： f (－x )＝(1－x )(a －x )－x ，又f (x )为奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 即(x ＋1)(x ＋a )x ＝(1－x )(a －x )x ，所以x 2＋(a ＋1)x ＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ， 从而有a ＋1＝－(a ＋1)，即a ＝－1. 答案： －114．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：当g [f (x )]＝2时，x ＝解析： ∵g [f (x )]＝2， ∴f (x )＝2，∴x ＝1. 答案： 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式，并求其单调区间．解析： ∵f (3)＝f (－1)＝5， ∴对称轴为x ＝1，又∵最大值为13，∴开口向下，设为f (x )＝a (x －1)2＋13(a ＜0)，代入x ＝－1， ∴4a ＋13＝5，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －1)2＋13.函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 16．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，且f (1)＝2， (1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (3)求函数f (x )在[2,5]上的最大值与最小值．解析： (1)证明：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，因为f (1)＝2所以1＋a ＝2，即a ＝1f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x f (－x )＝－x －1x ＝－f (x ) 所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2 f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2) ＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2∵x 1<x 2，且x 1x 2∈(1，＋∞) ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0 所以f (x )在(1，＋∞)上为增函数．(3)由(2)知，f (x )在[2,5]上的最大值为f (5)＝265， 最小值为f (2)＝52.17．(13分)已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x .(1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)的图像，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，并说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．解析： (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R . 又任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，故f (x )的图像关于y 轴对称，补全图像如图所示．(2)证明：∵g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)， ∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．18．(13分)已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎡⎦⎤－32，2上的最大值为1，求实数a的值．解析： 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎡⎦⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0.∴f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a 2a .(1)令f ⎝⎛⎭⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎡⎦⎤－32，2， 因为a <0，f (x 0)最大，所以f ⎝⎛⎭⎫－32＝1不合适；(2)令f (2)＝1，解得a ＝34， 此时x 0＝－13∈⎣⎡⎦⎤－32，2，因为a ＝34>0，x 0＝－13∈⎣⎡⎦⎤－32，2，且距右端点2较远， 所以f (2)最大，合适；(3)令f (x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)， 验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适． 综上所述，a ＝34或a ＝－12(3＋22)．第三章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简[3（－5）2]34的结果为()A ．5B ．5C ．－ 5D ．－5解析： [3（－5）2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5.答案： B2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．125解析： 由换底公式，得 lg13lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2，∴－lg x lg 5＝2. ∴lg x ＝－2lg 5＝lg 125.∴x ＝125. 答案： D3．已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(－1，5)B ．(－1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)解析： ∵y ＝a x 恒过定点(0，1)， ∴y ＝4＋a x ＋1恒过定点(－1，5)． 答案： A4．函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |>2 C ．a > 2D ．1<|a |<2解析： 由0<a 2－1<1得1<a 2<2，∴1<|a |< 2. 答案： D5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．0<a <1D ．a ≠1解析： 由a x －1≥0得a x ≥1，又知此函数的定义域为(－∞，0]，即当x ≤0时，a x ≥1恒成立，∴0<a <1.答案： C6．函数y ＝f (x )＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析： 由图像得函数是减函数， ∴0<a <1.又分析得，图像是由y ＝a x 的图像向左平移所得， ∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案： D7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2，x ≤1，⎝⎛⎭⎫13x －1－2，x >1的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]解析： 当x ≤1时，0<3x －1≤31－1＝1， ∴－2<3x －1－2≤－1. 当x >1时，⎝⎛⎭⎫13x<⎝⎛⎭⎫131， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －1<⎝⎛⎭⎫130＝1，则－2<⎝⎛⎭⎫13x －1－2<1－2＝－1.答案： D8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像为( )解析： 由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C 的值增大的很快，从而可判定结果．答案： A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析： 当x 0≥2时，∵f (x 0)>1， ∴log 2(x 0－1)>1，即x 0>3； 当x 0<2时，由f (x 0)>1得⎝⎛⎭⎫12x 0－1>1，⎝⎛⎭⎫12x 0>⎝⎛⎭⎫12－1，∴x 0<－1.∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案： C10．函数f (x )＝log a (bx )的图像如图，其中a ，b 为常数．下列结论正确的是( ) A ．0<a <1，b >1 B ．a >1，0<b <1 C ．a >1，b >1D ．0<a <1，0<b <1解析： 由于函数单调递增，∴a >1，又f (1)>0， 即log a b >0＝log a 1，∴b >1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈（0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________． 解析： ∵－1＝log 313<log 312<log 31＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫log 312＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝3－log 312＝3log 32＝2.答案： 212．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m＝________．解析： 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，所以⎝⎛⎭⎫123＝e 5n ×3.故18＝e 15n ，解得t ＝15， 故m ＝15－5＝10. 答案： 1013．若函数y ＝2x ＋1，y ＝b ，y ＝－2x －1三图像无公共点，结合图像则b 的取值范围为________．解析： 如图．当－1≤b ≤1时，此三函数图像无公共点． 答案： [－1，1]14．函数f (x )＝－a 2x －1＋2恒过定点的坐标是________． 解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝⎛⎭⎫12＝－a 0＋2＝1， ∴f (x )过定点⎝⎛⎭⎫12，1.答案： ⎝⎛⎭⎫12，1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)计算下列各式的值： (1)(32×3)6＋(2×2)43－(－2 008)0；(2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312)2＋ln e －lg 1. 解析： (1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43－1＝213×6×312×6＋232×12×43－1 ＝22×33＋21－1 ＝4×27＋2－1 ＝109.(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2 ＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2 ＝(lg 5＋lg 2)2＝1.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋34＝54＋34＝2. 16．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝12.17．(13分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3a －4x 的定义域为[0，1]． (1)求函数g (x )的解析式； (2)判断函数g (x )的单调性．解析： (1)∵f (x )＝3x ，∴f (a ＋2)＝3a ＋2＝18，∴3a ＝2. ∴g (x )＝2－4x (x ∈[0，1])．(2)设x 1，x 2为区间[0，1]上任意两个值，且x 1<x 2， 则g (x 2)－g (x 1)＝2－4x 2－2＋4x 1＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2)， ∵0≤x 1<x 2≤1，∴2x 2>2x 1>1， ∴g (x 2)<g (x 1)．所以，函数g (x )在[0，1]上是减函数． 18．(13分)已知f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x ，(1)求f (x )的定义域；(2)求f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012；(3)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(－1，1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．解析： (1)由1－x 1＋x >0得x －1x ＋1<0∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x ＋1>0， ∴－1<x <1，即f (x )的定义域为(－1，1)． (2)对x ∈(－1，1)有f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )∴f (x )为奇函数∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＝－f ⎝⎛⎭⎫12 012. ∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝0. (3)设－1<x 1<x 2<1，则1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，(1＋x 1)(1＋x 2)>0， ∴1－x 11＋x 1>1－x 21＋x 2. ∴函数y ＝1－x1＋x在(－1，1)上是减函数．从而得f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1，1)上也是减函数．又a ∈(－1，1)，∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值，且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a .第四章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( ) A ．1，2，3 B ．1，－1，3 C ．1，－1，－3D ．无零点解析： 令y ＝(x －1)(x 2－2x －3)＝0，解得x ＝1，－1，3，故选B. 答案： B2．下列函数中没有零点的是( ) A ．f (x )＝log 2x －3 B ．f (x )＝x －4 C ．f (x )＝1x －1D ．f (x )＝x 2＋2x解析： 由于函数f (x )＝1x －1中，对任意自变量x 的值，均有1x －1≠0，故该函数不存在零点．答案： C3．如图所示的函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析： 对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求． 答案： A4．已知函数f (x )＝e x －x 2＋8x ，则在下列区间中f (x )必有零点的是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析： f (－1)＝1e －9<0，f (0)＝e 0＝1>0，f (x )是连续函数，故f (x )在(－1，0)上有一零点．答案： B5．若函数f (x )的图像是连续不断的，且f (0)>0, f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点解析： 因为f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图像与x 轴相交有多种可能．例如，所以函数f (x )必在区间(0，4)内有零点． 答案： D6．二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m <0，那么p 、q 应满足的条件是( ) A ．p >0且q <0 B ．p >0且q >0 C ．p <0且q >0D ．p <0且q <0解析： 由已知得f (0)<0，－p2>0，解得q <0，p <0.答案： D7．若x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析： 构造函数f (x )＝ln x ＋x －4，则函数f (x )的图像是连续不断的一条曲线，又f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，所以f (2)·f (3)<0，故函数的零点所在区间为(2，3)，即方程ln x ＋x ＝4的解x 0属于区间(2，3)，故选C.答案： C8．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，－12C ．0，12D ．2，12解析： 函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，则2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a (a ≠0)，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，故函数g (x )有两个零点0，－12，故选B.答案： B9．当x ∈(4，＋∞)时，f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x 的大小关系是( ) A ．f (x )>g (x )>h (x ) B ．g (x )>f (x )>h (x ) C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析： 在同一坐标系中，画出三个函数的图像，如右图所示． 当x ＝2时，f (x )＝g (x )＝4，当x ＝4时，f (x )＝g (x )＝16，当x >4时，g (x )图像在最上方，h (x )图像在最下方，故g (x )>f (x )>h (x )． 答案： B10．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x 年植树亩数y (万亩)是时间x (年)的一次函数，这个函数的图像是( )解析： 函数解析式为y ＝x ＋0.5，故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析： 设f (x )＝x 3－6x 2＋4，显然f (0)>0，f (1)<0， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123－6×⎝⎛⎭⎫122＋4>0， ∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，112．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0，2]上的零点有________个． 解析： x 3－x 2－x ＋1＝(x －1)2(x ＋1)， 由f (x )＝0得x ＝1或x ＝－1. ∴f (x )在[0，2]上有1个零点． 答案： 113．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，（x ≥2）（x －1）3，（x <2）若函数y ＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析： 画出分段函数f (x )的图像如图所示．结合图像可以看出，函数y ＝f (x )－k 有两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1)．答案： (0，1)14．已知函数t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－N100的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t (小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N (字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．解析： 当N ＝90时，t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－90100＝144. 答案： 144三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的取值范围．解析： (1)若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a ≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax 2－x －1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0和－14时函数只有一个零点．16．(12分)以下是用二分法求方程x 3＋3x －5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f (x )＝x 3＋3x －5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线． 先求值：f (0)＝________，f (1)＝________，f (2)＝________，f (3)＝________． 所以f (x )在区间________内存在零点x 0，填表：结论：________________________________________________________________________. 解析： －5 －1 9 31 (1，2)∵|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1， ∴原方程的近似解可取为1.187 5.17．(13分)某商品在近100天内，商品的单位f (t )(元)与时间t (天)的函数关系式如下：f (t )＝⎩⎨⎧t4＋22，0≤t ≤40，t ∈Z ，－t2＋52，40<t ≤100，t ∈Z .销售量g (t )与时间t (天)的函数关系式是( ) g (t )＝－t 3＋1123(0≤t ≤100，t ∈Z )．这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？解析： 依题意，该商品在近100天内日销售额F (t )与时间t (天)的函数关系式为F (t )＝f (t )·g (t )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123，0≤t ≤40，t ∈Z ，⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123，40<t ≤100，t ∈Z .(1)若0≤t ≤40，t ∈Z ，则F (t )＝⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123 ＝－112(t －12)2＋2 5003，当t ＝12时，F (t )max ＝2 5003(元)．(2)若40<t ≤100，t ∈Z ，则 F (t )＝⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123 ＝16(t －108)2－83，∵t ＝108>100， ∴F (t )在(40，100]上递减，∴当t ＝41时，F (t )max ＝745.5. ∵2 5003>745.5，∴第12天的日销售额最高．18．(13分)据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解析： (1)由图像可知：当0≤t ≤10时，v ＝3t ，则 当t ＝4，v ＝3×4＝12， 故s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时， s ＝12·t ·3t ＝32t 2， 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]30t －150，t ∈（10，20]－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)∵t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35， ∴t ＝30.即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示错误的是( ) A ．{a }∈{a ，b } B ．{a ，b }⊆{b ，a } C ．{－1，1}⊆{－1，0，1}D ．∅⊆{－1，1}解析： A 中两个集合之间不能用“∈”表示，B ，C ，D 都正确． 答案： A2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A ⊆BB ．A ⊇BC．A＝B D．A∩B＝∅解析：A＝{y|y>0}，B＝{y|y≥0}，∴A⊆B.答案：A3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b解析：易知log23>1，log32，log52∈(0，1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log3x 与y＝log5x的图像，观察可知log32>log52.所以c>a>b.比较a，b的其他解法：log32>log33＝1 2，log52<log55＝12，得a>b；0<log23<log25，所以1log23>1log25，结合换底公式即得log32>log52.答案：D4．函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则() A．b>0且a<0 B．b＝2a<0C．b＝2a>0 D．a，b的符号不定解析：由题知a<0，－b2a＝－1，∴b＝2a<0.答案：B5．要得到y＝3×⎝⎛⎭⎫13x的图像，只需将函数y＝⎝⎛⎭⎫13x的图像()A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度解析：由y＝3×⎝⎛⎭⎫13x＝⎝⎛⎭⎫13－1×⎝⎛⎭⎫13x＝⎝⎛⎭⎫13x－1知，D正确．答案：D6．在同一坐标系内，函数y＝x a(a<0)和y＝ax＋1a的图像可能是如图中的()解析：∵a<0，∴y＝ax＋1a的图像不过第一象限．还可知函数y＝x a(a<0)和y＝ax＋1a在各自定义域内均为减函数．答案：B7．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c解析：∵0<log53<log54<1，log45>1，∴b<a<c.答案：D8．若函数f(x)＝ax2＋2x＋1至多有一个零点，则a的取值范围是()A．1 B．[1，＋∞)C．(－∞，－1] D．以上都不对解析：当f(x)有一个零点时，若a＝0，符合题意，若a≠0，则Δ＝4－4a＝0得a＝1，当f(x)无零点时，Δ＝4－4a<0，∴a>1.综上所述，a≥1或a＝0.答案：D9．已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：因为f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数为f(x)＝log a|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．答案：B10．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是() A．{x|x<－3，或0<x<3}B．{x|－3<x<0，或x>3}C．{x|x<－3，或x>3}D．{x|－3<x<0，或0<x<3}解析：∵f(x)是奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝0.∵f(x)在(0，＋∞)是增加的，∴f(x)在(－∞，0)上是增加的．结合函数图像x·f(x)<0的解为0<x<3或－3<x<0.答案：D11．一个商人有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将收益都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元货物保管费．这个商人若要获得最大收益，则这批货( )A ．月初售出好B ．月末售出好C ．月初或月末一样D ．由成本费的大小确定出售时机解析： 设这批货成本为a 元，月初售出可收益y 1＝(a ＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，月末售出可收益y 2＝a ＋1 200－50＝a ＋1 150(元)．则y 1－y 2＝(a ＋1 000)×1.024－a －1 150 ＝0.024a －126.当a >1260.024>5 250时，月初售出好；当a <5 250时，月末售出好；当a ＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出． 答案： D12．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析： 计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利用零点的存在条件说明零点的位置．∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )， ∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a <b <c ，∴f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________． 解析： ∵g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝eln 12＝12.答案： 1214．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________．解析： A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )．若A ⊆B ，则a >4，即a 的取值范围为(4，＋∞)，∴c ＝4. 答案： 415．函数y ＝22－2x －3x 2的递减区间是________． 解析： 令u ＝2－2x －3x 2，y ＝2u ，由u ＝－3x 2－2x ＋2知，u 在⎝⎛⎭⎫－13，＋∞上为减函数，而y ＝2u 为增函数，所以函数的递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，＋∞. 答案： ⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ 16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像有________个交点．解析： 作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像如图，由图可知，两个函数的图像有3个交点．答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解析： (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， 所以A ∪B ＝{x |2<x <10}．(2)因为A ＝{x |3≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．。
(北师大版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷02及答案
第二章综合测试一、单选题（每小题5分，共40分），1.函数()f x = ）A .[]12-，B .(]12-，C .[)2+¥，D .[)1+¥，2.设函数()221121x x f x x x x ì-ï=í+-ïî，≤，，＞，则()12f f öæ÷çç÷èø的值为（ ）A .1-B .34C .1516D .43.已知()32f x x x =+，则()()f a f a +-=（ ）A .0B .1-C .1D .24.幂函数223a a y x --=是偶函数，且在()0+¥，上单调递减，则整数a 的值是（ ）A .0或1B .1或2C .1D .25.函数()34f x ax bx =++（a b ，不为零），且()510f =，则()5f -等于（ ）A .10-B .2-C .6-D .146.已知函数22113f x x x x öæ+=++ç÷èø，则()3f =（ ）A .8B .9C .10D .117.如果函数()2f x x bx c =++对于任意实数t 都有()()22f t f t +=-，那么（ ）A .()()()214f f f ＜＜B .()()()124f f f ＜＜C .()()()421f f f ＜＜D .()()()241f f f ＜＜8.定义在R 上的偶函数()f x 满足对任意的[)()12120x x x x Î+¥¹，，，有()()21210f x f x x x --，且()20f =，则不等式()0xf x ＜的解集是（ ）A .()22-，B .()()202-+¥U ，，C .()()8202--U ，，D .()()22-¥-+¥U ，，二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.定义运算()()a ab a b b a b ìï=íïî≥□＜，设函数()12x f x -=□，则下列命题正确的有（ ）A .()f x 的值域为[)1+¥，B .()f x 的值域为(]01，C .不等式()()12f x f x +＜成立的范围是()0-¥，D .不等式()()12f x f x +＜成立的范围是()0+¥，10.关于函数()f x =的结论正确的是（ ）A .定义域、值域分别是[]13-，，[)0+¥，B .单调增区间是(]1-¥，C .定义域、值域分别是[]13-，，[]02，D .单调增区间是[]11-，11.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列命题中是正确命题的是（ ）A .()00f =B .若()f x 在[)0+¥，上有最小值1-，则()f x 在(]0-¥，上有最大值1C .若()f x 在[)1+¥，上为增函数，则()f x 在(]1-¥-，上为减函数D .若0x ＞时，()22f x x x =-，则0x ＜时，()22f x x x =--12.关于函数()f x ）A .函数是偶函数B .函数在()1-¥-，）上递减C .函数在()01，上递增D .函数在()33-，上的最大值为1三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知函数()()f x g x ，分别由表给出，则()()2g f =________.x 123()f x 131()g x 32114.已知()f x 为R 上的减函数，则满足()11f f x öæç÷èø＞的实数x 的取值范围为________.15.已知函数()f x 是奇函数，当()0x Î-¥，时，()2f x x mx =+，若()23f =-，则m 的值为________.16.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]3.143 1.62=-=-，，定义函数：()[]f x x x =-，则下列说法正确的是________.①()0.80.2f -=；②当12x ≤＜时，()1f x x -；③函数()f x 的定义域为R ，值域为[)01，；④函数()f x 是增函数，奇函数.四、解答题（共70分）17.（10分）已知一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x x m =+，且()()165f f x x =+.（1）求()f x 的解析式.（2）若()g x 在()1+¥，上单调递增，求实数m 的取值范围.18.（12分）已知()()212021021 2.f x x f x x x x x +-ìï=+íï-î，＜＜，，≤＜，，≥（1）若()4f a =，且0a ＞，求实数a 的值.（2）求32f öæ-ç÷èø的值.19.（12分）已知奇函数()q f x px r x =++（p q r ，，为常数），且满足()()5171224f f ==，.（1）求函数()f x 的解析式.（2）试判断函数()f x 在区间102æùçúèû，上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明.（3）当102x æùÎçúèû，时，()2f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围.20.（12分）大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果，上升到12km 为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km 以上温度一定，保持在55-℃.（1）当地球表面大气的温度是a ℃时，在km x 的上空为y ℃，求a x y 、、间的函数关系式.（2）问当地表的温度是29℃时，3km 上空的温度是多少?21.（12分）已知函数()f x 是定义在[]11-，上的奇函数，且()11f =，对任意[]110a b a b Î-+¹，，，时有()()0f a f b a b++成立.（1）解不等式()1122f x f x öæ+-ç÷èø＜.（2）若()221f x m am -+≤对任意[]11a Î-，恒成立，求实数m 的取值范围.22.（12分）已知函数()[](]2312324.x x f x x x ì-Î-ï=í-Îïî，，，，，（1）画出()f x 的图象.（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）.（3）若函数()y a f x =-有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】选B .由10420x x +ìí-î＞，≥，得12x -＜≤.2.【答案】C【解析】选C .因为()222224f =+-=，所以()211115124416f f f öæööææ==-=÷çç÷ç÷ç÷èèøøèø.3.【答案】A【解析】选A .()32f x x x =+是R 上的奇函数，故()()f a f a -=-，所以()()0f a f a +-=.4.【答案】C【解析】选C .因为幂函数223aa y x --=是偶函数，且在()0+¥，上单调递减，所以2223023a a a z a a ì--ïÎíï--î＜，，是偶数.解得1a =.5.【答案】B【解析】选B .因为()51255410f a b =++=，所以12556a b +=，所以()()51255412554642f a b a b -=--+=-++=-+=-.6.【答案】C【解析】选C .因为22211131f x x x x x x ööææ+=++=++ç÷ç÷èèøø，所以()21f x x =+（2x -≤或2x ≥），所以()233110f =+=.7.【答案】A【解析】选A .由()()22f t f t +=-，可知抛物线的对称轴是直线2x =，再由二次函数的单调性，可得()()()214f f f ＜＜.8.【答案】B【解析】选B .因为()()21210f x f x x x --＜对任意的[)()12120x x x x Î+¥¹，，恒成立，所以()f x 在[)0+¥，上单调递减，又()20f =，所以当2x ＞时，()0f x ＜；当02x ≤＜时，()0f x ＞，又()f x 是偶函数，所以当2x -＜时，()0f x ＜；当20x -＜＜时，()0f x ＞，所以()0xf x ＜的解集为()()202-+¥U ，，.二、9.【答案】AC【解析】选AC .根据题意知()10210xx f x x ìöæïç÷=íèøïî，≤，，＞，()f x 的图象为所以()f x 的值域为[)1+¥，，A 对；因为()()12f x f x +＜，所以1210x x x +ìí+î＞≤，或2010x x ìí+î＜＞，所以11x x ìí-î＜≤，或01x x ìí-î＜＞，所以1x -≤或10x -＜＜，所以0x ＜，C 对.10.【答案】CD【解析】选CD .由2230x x -++≥可得，2230x x --≤，解可得，13x -≤≤，即函数的定义域为[]13-，，由二次函数的性质可知，()[]22231404y x x x =-++=--+Î，，所以函数的值域为[]02，，结合二次函数的性质可知，函数在[]11-，上单调递增，在[]13，上单调递减.11.【答案】ABD【解析】选ABD .()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，A 正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以B 正确，C 不正确；对于D ，0x ＜时，()()()22022x f x x x x x --=---=+＞，，又()()f x f x -=-，所以()22f x x x =--，即D 正确.12.【答案】ABD【解析】选ABD .函数满足()()f x f x -=，是偶函数；作出函数图象，可知在()1-¥-，，()01，上递减，()10-，，()1+¥，上递增，当()33x Î-，时，()()max 01f x f ==.三、13.【答案】1【解析】由题表可得()()2331f g ==，，故()()21g f =.14.【答案】()()01-¥+¥U ，，【解析】因为()f x 在R 上是减函数，所以11x，解得1x ＞或0x ＜.15.【答案】12【解析】因为()f x 是奇函数，所以()()223f f -=-=，所以()2223m --=，解得12m =.16.【答案】①②③【解析】()[]f x x x =-，则()()0.80.810.2f -=---=，①正确，当12x ≤＜时，()[]1f x x x x =-=-，②正确，函数()f x 的定义域为R ，值域为[)01，，③正确，当01x ≤＜时，()[]f x x x x =-=；当12x ≤＜时，()1f x x =-，当0.5x =时，()0.50.5f =；当 1.5x =时，()1.50.5f =，则()()0.5 1.5f f =，即有()f x 不为增函数，由()()1.50.5 1.50.5f f -==，，可得()()1.5 1.5f f -=，即有()f x 不为奇函数，④错误.四、17.【答案】（1）由题意设()()0f x ax b a =+＞.从而()()()2165f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+，所以21655a ab ì=í+=î，，解得41a b =ìí=î，或453a b =-ìïí=-ïî，（不合题意，舍去）.所以()f x 的解析式为()41f x x =+.（2）()()()()()()()414241g x f x x m x x m x m x m g x =+=++=+++，图象的对称轴为直线418m x +=-.若()g x 在()1+¥，上单调递增，则4118m +-≤，解得94m -≥，所以实数m 的取值范围为94öé-+¥÷êëø.18.【答案】（1）若02a ＜＜，则()214f a a =+=，解得32a =，满足02a ＜＜；若2a ≥，则()214f a a =-=，解得a =或a =，所以32a =或a =.（2）由题意，3311222f f f öööæææ-=-+=-ç÷ç÷ç÷èèèøøø1111212222f f ööææ=-+==´+=ç÷ç÷èèøø.19.【答案】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以0r =.又()()5121724f f ì=ïïíï=ïî，即52172.24p q q p ì+=ïïíï+=ïî解得212p q =ìïí=ïî，，所以()122f x x x =+.（2）()122f x x x =+在区间102æùçúèû，上单调递减.证明如下：设任意的两个实数12x x ，，且满足12102x x ＜＜≤，则()()()12121211222f x f x x x x x -=-+-()()()()21211212121214222x x x x x x x x x x x x ---=-+=.因为12102x x ＜＜≤，所以2112121001404x x x x x x --＞，＜＜，＞，所以()()120f x f x -＞，所以()122f x x x =+在区间102æùçúèû，上单调递减.（3）由（2）知()122f x x x =+在区间102æùçúèû，上的最小值是122f öæ=ç÷èø.要使当102x æùÎçúèû，时，()2f x m -≥恒成立，只需当102x æùÎçúèû，时，()min 2f x m -≥，即22m -≥，解得0m ≥即实数m 的取值范围为[)0+¥，.20.【答案】（1）由题意知，可设()0120y a kx x k -=≤≤，＜，即y a kx =+.依题意，当12x =时，55y =-，所以5512a k -=+，解得5512a k +=-.所以当012x ≤≤时，()()5501212x y a a x =-+≤≤.又当12x ＞时，55y =-.所以所求的函数关系式为()55012125512.x a a x y x ì-+ï=íï-î，≤≤，，＞（2）当293a x ==，时，()3295529812y =-+=，即3km 上空的温度为8℃.21.【答案】（1）任取[]121211x x x x Î-，，，＜，()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-g 由已知得()()()12120f x f x x x +-+-＞，所以()()120f x f x -＜，所以()f x 在[]11-，上单调递增，原不等式等价于112211121121x x x x ì+-ïïï-+íï--ïïî＜，≤≤≤，所以106x ≤＜，原不等式的解集为106öé÷êëø，.（2）由（1）知()()11f x f =≤，即2211m am -+≥，即220m am -≥，对[]11a Î-，恒成立.设()22g a ma m =-+，若0m =，显然成立；若0m ¹，则()()1010g g -ìïíïî≥≥，即2m -≤或2m ≥，故2m -≤或2m ≥或0m =.22.【答案】（1）由分段函数的画法可得()f x 的图象.（2）单调区间：[]10-，，[]02，，[]24，，()f x 在[]10-，，[]24，上递增，在[]02，上递减.（3）函数()y a f x =-有两个不同的零点，即为()f x a =有两个实根，由图象可得，当11a -＜≤或23a ≤＜时，()y f x =与y a =有两个交点，则a 的范围是(][)1123-U ，，.。
北师大版高中数学必修一综合试卷(附答案)
北师大版高中数学必修一综合试卷（附答案）一、单选题1．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为()A．2B．C．D．2．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“和谐点”．如果函数g(x)＝x2(x∈(0，＋∞))，h(x)＝sin x＋2cosx，φ(x)＝e x＋x的“和谐点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是( )A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b3．设集合P={x|0≤x≤2}，Q={y|0≤x≤2}，则图中能表示P到Q的函数的是A．（1）（2）（3）（4）B．（3）（4）C．（4）D．（3）4．已知集合，，则（）A．B．C．D．5．设函数，则的值为A． B． C． D．6．已知函数,若,则（）A． B．第1页共6页C． D．7．函数的值域为（）A．B．C．D．8．函数的大致图象是A．B．C．D．9．已知函数，则（）A．82B．C．4D．110．函数恰有两个不同的零点，则可以是（）A．3B．4C．6D．7二、填空题11．函数，则函数的零点个数是________．12．设有两个命题：(1)不等式|x|＋|x－1|>m的解集为R；(2)函数f(x)=(7－3m)x在R上是增函数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则m的取值范围是_______.13．已知函数在上的最大值为，则的最小值为__________．14．定义在上的函数满足，当时，，则________.15．已知，，若，，则的最大值为______.16．已知集合，，则的元素个数是.17．已知函数，若存在实数，，，，满足，且第2页共6页。
(新课标)北师大版高中数学必修一综合测试题及解析
22. 解：（1）因 f (x) 2 x a 是奇函数，所以 f (x) f (x) 0 ， 2x a
2x a 2x a
即
0 ，化简得 a2 1 ， a 1.
2x a 2x a
当 a 1时， f (x) 2x 1 ， f (1) 1 1 ，不符合题意；当 a 1 时， f (x) 2x 1 ，
A．a≥－3
B．a≤－3
C．a≤5
D．a≥5
7.
在下列四图中，二次函数
y＝ax2＋bx
与指数函数
b y＝( )x
的图象只可为(
)
a
8．设
a＞1，函数
f(x)＝log x a
在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则
a
等于(
)
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
9．要得到
1 y＝3×( )x
的图象，只需将函数
20.解：（1）当 a 1 时， f (x) log x 在[2，3]上是单调增函数，
a
所以 log 3 log 2 1，解得 a 3 ；
a
a
2
当 0 a 1 时，函数 f (x) log x 在[2，3]上是单调减函数， a
所以 log 2 log 3 1，解得 a 2 .
B．[1,4]
C．[1,2)
D．(1,2]
4. 函数 f(x)＝2x－1＋x－5 的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
5．已知奇函数 y f (x) ，当 x 0 时， f (x) x3 x2 ，则当 x 0 时， f (x) （ ）
A． x3 x 2 B． x 3 x 2 C． x3 x 2 D． x 3 x 2 6．若 f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2 在(－∞，4]上单调递增，则实数 a 的取值范围是( )
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必修一综合测试
注意事项：
⒈本试卷分为选择题、填空题和简答题三部分，共计150分，时间90分钟。
⒉答题时，请将答案填在答题卡中。
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集I ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()I M N I ð等于
( )
A.｛0，4｝
B.｛3，4｝
C.｛1，2｝
D. ∅ 2、设集合2{650}M x x x =-+=，2{50}N x x x =-=，则M N U 等于 （ ） A.｛0｝ B.｛0，5｝ C.｛0，1，5｝ D.｛0，－1，－5｝
3、计算：9823log log ⋅＝ （ ）
A 12
B 10
C 8
D 6
4、函数2(01)x
y a a a =+>≠且图象一定过点 ( )
A （0,1）
B （0,3）
C （1,0）
D （3,0）
5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合是 （ ）
6、函数12
log y x =的定义域是（ ）
A {x ｜x ＞0}
B {x ｜x ≥1}
C {x ｜x ≤1}
D {x ｜0＜x ≤1}
7、把函数x
1y -=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为 （ ） A 1x 3x 2y --=
B 1x 1x 2y ---=
C 1x 1x 2y ++=
D 1
x 3x 2y ++-= 8、设x x e 1e )x (g 1x 1x lg )x (f +=-+=，，则 ( ) A f(x)与g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
C f(x)与g(x)都是偶函数
D f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
9、使得函数2x 2
1x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( ) A (0，1) B (1，2) C (2，3) D (3，4)
10、若0.52a =，πlog 3b =，2log 0.5c =，则（ ）
A a b c >>
B b a c >>
C c a b >>
D b c a >>
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
11、函数5()2log (3)f x x =++在区间[-2，2]上的值域是______
12、计算：2391－ ⎪⎭⎫ ⎝⎛＋3
2
64＝______ 13、函数212
log (45)y x x =--的递减区间为______
14、函数1
22x )x (f x -+=的定义域是______
三、解答题 ：本大题共5小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (15分) 计算 5log 333
3322log 2log log 859
-+-
16、（16分）已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(2)21()1(2)(2x x x x x x x f
。
（1）求)4(-f 、)3(f 、[(2)]f f -的值；
（2）若10)(=a f ，求a 的值.
17、（16分）已知函数()lg(2),()lg(2),()()().f x x g x x h x f x g x =+=-=+设
（1）求函数()h x 的定义域
（2）判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由.
18、（16分）已知函数()f x ＝1
515+-x x 。
（1）写出()f x 的定义域；
（2）判断()f x 的奇偶性；
19、（17分）某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为1.2元/件，年销售量为10000件，因2008年调整黄金周的影响，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计销售量增加的比例为0.8x ．已知得利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量．
（1）2007年该企业的利润是多少？
（2）写出2008年预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
（3）为使2008年的年利润达到最大值，则每件投入成本增加的比例x 应是多少？此时最大利润是多少？
试题答案
一． 选择题
1－5：ACDBB 6-10:DCBCA
二． 填空题
11： [2,3] 12：43 13：(5,)+∞ 14：(,2]-∞
三． 简答题
15：5log 3333332log 2log 329)log 25-+-解：原试＝（－log
＝33332log 2log 23)3log 23-
+-（5－2log ＝333log 23log 23-+-+2=-1
16、解：（1）(4)f -＝－2，)3(f ＝6，[(2)]f f -＝(0)0f =
（2）当a ≤－1时，a ＋2＝10，得：a ＝8，不符合；
当－1＜a ＜2时，a 2＝10，得：a ＝10±，不符合；
a ≥2时，2a ＝10，得a ＝5， 所以，a ＝5
17、解：（1）()()()lg(2)lg(2)h x f x g x x x =+=++-
由 20()20x f x x +>⎧=⎨->⎩
得22x -<< 所以，()h x 的定义域是（－2，2） ()f x Q 的定义域关于原点对称
()()()lg(2)lg(2)()()()h x f x g x x x g x f x h x -=-+-=-++=+=()h x ∴为偶函数
18、解：（1）R
（2）()f x -＝1515+---x x ＝x x 5151+-＝－1
515+-x x ＝()f x -， 所以()f x 为奇函数。
（3）()f x ＝15215+-+x x ＝1－152+x ， 因为x 5＞0，所以，x 5＋1＞1，即0＜1
52+x ＜2，
即－2＜－152+x ＜0，即－1＜1－1
52+x ＜1 所以，()f x 的值域为（－1,1）。
19、解：（1）2000元
（2）依题意，得 [1.2(10.75)1(1)]10000(10.8)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+
28006002000x x =-++（01x <<）；
（3）当x ＝－1600600-＝0.375时，达到最大利润为：3200
36000020008004+⨯⨯ ＝2112.5元。