安徽省合肥六中2020届高考数学最后一卷2 (含答案解析)
安徽省合肥市第六中学2024届高三最后一卷数学试题
安徽省合肥市第六中学2024届高三最后一卷数学试题一、单选题1．设全集U =R ．集合{}2M x x =<，{}23N x x =-<<，则{}3x x ≥=（ ） A ．()U M N U ðB ．()U N M U ðC ．()U M N ⋂ðD ．()U M N ⋃ð2．已知复数z 满足2i z z -=+，则z =（ ）A ．3i 4+B ．3i 4-+C ．3i 4-D ．3i 4--3．已知向量(2,)a t =r ，(1,2)b =r ，若当1=t t 时，a b a b ⋅=⋅r r r r ，当2=t t 时，a b ⊥r r ，则（ ） A ．14t =-，21t =- B ．14t =-，21t = C ．14t =，21t =-D ．14t =，21t =4．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，记a f =⎝⎭，b f =⎝⎭，c f =⎝⎭，则（ ） A ．b a c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>5．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，cos cos cos B A C b a c+=+，2AM MC =u u u ur u u u u r ，则BM u u u u r可能是（ ）A ．12B ．23C ．1D ．26．已知椭圆1C ：2221(1)x y m m +=>与双曲线2C ：2221(0)x y n n +=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则（ ） A ．122e e >B ．122>+e eC ．1202e e <<D ．1202e e <+<7．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，12da ≥，数列{}nb 满足2n n S b n=，则下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2428b b b = B ．4262b b b =+C ．4262a a a =+D ．2428a a a =8．已知两个不同的圆1C ，2C 均过定点(,)A a b ，且圆1C ，2C 均与x 轴、y 轴相切，则圆1C 与圆2C 的半径之积为（ ） A ．abB ．2abC ．22a b +D ．222a b +二、多选题9．近年来，合肥汽车产业处在高速发展阶段，新能源赛道尤为突出，被工业和信息化部批准为全国唯一新能源汽车产业链供应链生态体系建设试点市．某专业机构评定新能源汽车品质优秀的一个指标为“某地区连续14天每天发生故障的车辆不超过7台”．根据该地区过去14天甲、乙、丙、丁四种品牌新能源车辆故障数据，可知一定符合该品质优秀指标的是（ ） A ．甲品牌：平均数为4，极差为4 B ．乙品牌：平均数为1，标准差大于0 C ．丙品牌：平均数为2，方差为2D ．丁品牌：中位数为2，众数为310．已知指数函数()f x ，()g x ，()h x 的底数分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）A ．当1ab =时，函数()()()x f x g x ϕ=+无极值点B ．在指数衰减模型()y kf x =中，设原有量为(0)k k >，经过x 次衰减，该量衰减到y ，则每次衰减率为1a -C ．若a ，b ，c 是三角形的三边长，则R x ∃∈，使得()f x ，()g x ，()h x 不能构成一个三角形的三边长D ．若a ，b ，c 是三角形的三边长，且c 所对的内角是该三角形的最大内角，则(,1)x ∀∈-∞，()()()0f x g x h x +->11．记正四棱柱1111ABCD A B C D -为Ω，截面τ将正四棱柱Ω分成两部分，点E ，F ，G ，H分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，且EF τ⊂，GH τ⊂，记AE a =u u u r ，BF b =u u u r ，CG c =u u u r，DH d =u u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．四边形EFGH 为矩形B ．a d b c -=-C ．若截面τ是有一个角为60︒的菱形1AFC H ，则截面τ与ΩD ．若Ω的侧棱长为3，设a ，b ，c ∈N ，则在确定的空间直角坐标系中，不同的点(,,)M a b c 共42个三、填空题12．从5男2女共7名志愿者中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）13．已知四面体ABCD 的体积是V ，棱AB 的长是c ，ABC V 和ABD △的面积分别是1S 和2S ．设平面ABC 和平面ABD 的夹角为α，若sin cV α=，则12S S =．14．在平面直角坐标系中，已知动点A 和C ，定点(3,0)B 和(2,2)M ，若6BC =，且ABC V 的周长恒为16，则AB AM +的最小值为．四、解答题15．某商场零食区改造．如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD ，已知π2OCB COA ∠=∠=，OC =10BC =米，区域OBC 为三角形，区域OAB 是以OA 为半径的扇形，且π6AOD ∠=．(1)若需在区域OABC 外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；(2)在区域OAD 中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，求促销展示区的面积S 的最大值． 16．春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：(1)完成22⨯列联表，并依据0.001α=的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．(2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为40%，且20%的因发烧请假的男生需要输液治疗，30%的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率．附：22()n ad bc χ-=．17．图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径AB =2MO =，信号处理中心F 位于抛物线的焦点处，以顶点O 为坐标原点，以直线OF 为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ．(1)求该抛物线的方程；(2)设Q 是该抛物线的准线与x 轴的交点，直线l 过点Q ，且与抛物线交于R ，S 两点，若线段RS 上有一点P ，满足RP RQ PSQS=，求点P 的轨迹方程．18．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AA AB ==，M 为棱1DD 的中点．(1)若Р是线段BM 上的动点，试探究：11A M A P ⋅u u u u r u u u r是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．(2)过1A M 作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围． 19．已知函数6()(12ln )4(R)f x a x x a =-+∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若1x ，()212x x x ≠为函数221()ln g x kx x x=+-的两个零点，求证：()441212e x x >．。
安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考数学考前最后一卷预测卷含解析
安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考数学考前最后一卷预测卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元2．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．3403．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π4．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-35．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．196．函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2|sin |2()61x x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%9．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512B ．13C ．14D ．1212．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020全国2卷高考数学试题(试卷版+解析版)
2020全国2卷高考数学试题(试卷版+解析版)1.已知集合 $A=\{-1.1\}$，$B=\{1.2\}$，$C=\{-2.-1.1.2.3\}$，则 $(A\cup B)\cup C$ 等于哪个集合。
A。
$\{-2.3\}$B。
$\{-2.2.3\}$C。
$\{-2.-1.3\}$D。
$\{-2.-1.1.2.3\}$2.若 $\alpha$ 为第四象限角，则 $\cos2\alpha$ 的大小关系是。
A。
$\cos2\alpha>0$B。
$\cos2\alpha<0$C。
$\sin2\alpha>0$D。
$\sin2\alpha<0$3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货。
由于订单量大幅增加，导致订单积压。
为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货。
为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要多少名志愿者。
A。
10 名B。
18 名C。
24 名D。
32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。
上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块。
下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块。
已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）多少块。
A。
3699 块B。
3474 块C。
3402 块D。
3339 块5.若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线$2x-y-3=0$ 的距离为多少。
A。
$\frac{5}{\sqrt{5}}$B。
$\frac{25}{\sqrt{5}}$C。
$\frac{35}{\sqrt{5}}$D。
2020届安徽省合肥市第六中学高三下学期最后一卷数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省合肥市第六中学高三下学期最后一卷数学（理）试题一、单选题1．设集合{ln A x x =≤∣，{|6}B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}|03x x <≤B ．{}|6x x ≤C ．{}|06x x <≤D ．{|36}x x ≤≤【答案】B【解析】解对数不等式求出集合A ，由此能求出A ∪B ． 【详解】{ln {ln ln 3}{|03}A x x x x x x =≤=≤=<≤∣∣，{|6}B x x =≤，{|}6A B x x =≤，故选：B ． 【点睛】本题考查并集的求法及简单的对数不等式，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z 满足1iz i =-，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +【答案】C【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i ?i 1i z =--=--，1i z ∴=-+，故选C.3．已知e 为自然对数的底数，又lg0.5a =，0.5b e =，0.5e c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用lg y x =，xy e =，0.5xy =的单调性和中间值0、1可得解. 【详解】lg0.5lg10a =<=，0.501b e e =>>，000.50.51e c <=<=所以a c b << 故选：B.【点睛】本题考查了指数、对数值的大小比较，指数、对数函数的单调性，考查了学生综合分析能力、数学运算能力.4．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且11a =，416S =，则4a =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】本题先建立方程441()42a a S +⨯=，再求4a 即可解题【详解】解：∵ 等差数列{}n a 的11a =，416S =， ∴441()42a a S +⨯=，即4(1)4162a +⨯=解得47a =， 故选：D ．本题考查等差数列前n 项和公式，是基础题.5．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马，鳖膈，堑堵三种基本立体图形，其中四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，PA BC ==PC =积为（ ）A ．3B C ．3D ．【答案】A【解析】先求出PB AB =. 【详解】解：由题意作图：在直角三角形PBC 中，PB =在直角三角形PAB 中，AB ==∴11323V =⨯=，故选：A ． 【点睛】本题考查几何体的体积，是基础题. 6．要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2xy =的图象（ ）A ．同右平移2π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向左平移2π个单位 【答案】A【解析】利用平移变换即可得到平移的过程． 【详解】函数y ＝sin （24x π-）＝sin 12（x 2π-），只需将y ＝sin 12x 的图象向右平移2π个单位，即可得到函数y ＝sin （24x π-）的图象，故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x 的系数，属于基础题．7．函数()sin ()x x e e xf x x--=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，由此确定正确选项. 【详解】函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()()sin ()sin x x xx e e x e e x f x xf x x---⋅--==-=---，所以()f x 为奇函数，由此排除CD 选项.而()0f π=，所以B 选项错误.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.8．已知P 为抛物线24y x =上一点，Q 为圆2(6)1x y -+=上一点，则PQ 的最小值为（ ） A ．211- B ．52-C ．251D ．2145-【答案】C【解析】设圆心为M ，(),P x y ，利用两点间距离公式求出PM ，根据二次函数的性质求得PM 的最小值，定点距圆上点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径. 【详解】设圆心为M ，(),P x y ，则()6,0M ，22222(6)(6)4836(4)20PM x y x x x x x =-+=-+=-+-+当4x =时，min25PM =，min 251PQ =.故选：C 【点睛】本题考查定点距圆上点的距离的最值、二次函数的最小值，属于基础题. 9．已知α，β是两个相交平面，其中l ⊂α，则（ ）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直【答案】B【解析】当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线；由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线；β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内；β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直.【详解】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系概念辨析，考查了学生概念理解，逻辑推理，空间想象的能力，属于中档题.10．现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．716【答案】B【解析】四名学生随意选择共256种选法，恰有一个地方未被选中共144种，所以其概率为9 16.【详解】四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A⨯=⨯⨯⨯=种，所以恰有一个地方未被选中的概率为144925616=. 故选：B 【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其本质是利用排列组合知识解决计数问题. 11．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞【答案】D【解析】原问题等价于函数()x h x xe =与函数1()()2g x m x =-有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m 的取值范围即可. 【详解】解：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，等价于()x h x xe =与1()()2g x m x =-有两个不同的交点，()g x 恒过点1(,0)2，设()g x 与()h x 相切时切点为(,)a a ae ，因为'()(1)xh x e x =+，所以切线斜率为(1)ae a +，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-，当切线经过点1(,0)2时，解得1a =或12a =-（舍），此时切线斜率为2e ，由函数图像特征可知：函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D . 【点睛】本题考查导数的综合应用，由函数零点求参数的取值范围，难度中等.12．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…、即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+-，*()3,n n N ≥∈．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，又记数列{}n c 满足11c b =，22c b =，1n n n c b b -=-*()3,n n N ≥∈，则1232020c c c c +++⋯+的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】首先得出数列{}n b 是以6为周期的周期数列，结合{}n c 的定义即可得结果. 【详解】新数列{}n b 为周期数列：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，332c b b =-，443202*********,..c b b c b b =-⋯=-， 122020122020220201c c c b b b b b b ++⋯+=++-=+ 20203366443b b b ⨯+===，所以1220201220202202014c c c b b b b b b ++⋯+=++-=+=， 故选：A. 【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量()2,1a =，()1,2b =-，则向量b 在向量c a b 上的投影为___________．【答案】 【解析】本题先求c ，再求向量b 在向量c 上的投影即可解题. 【详解】解：∵()2,1a =，()1,2b =-， ∴ (3,1)c =-b 在c 上的投影为：||10b c c ⋅==故答案为：.本题考查向量的坐标运算、向量的投影，是基础题. 14．在二项式()521()0x a ax+＞的展开式中x ﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是_____． 【答案】2【解析】写出二项式()521()0x a ax+＞的展开式的通项公式，求出x ﹣5的系数与常数项，令其相等，即得解. 【详解】∵二项式()521()0x a ax +＞的展开式的通项公式为 T r +15r C =•1ra ⎛⎫ ⎪⎝⎭•552r x -，令552r -=-5，求得r ＝3，故展开式中x ﹣5的系数为35C •31a ⎛⎫⎪⎝⎭； 令552r -=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 15C •15a a=， 由为35C •31a ⎛⎫= ⎪⎝⎭5•1a ，可得a 2=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15．如图，为测得河对岸铁塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在铁塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60︒，再由点C 沿北偏东30方向走10米到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则铁塔AB 的高为___________米【答案】303+【解析】在△BCD 中，利用三角形内角和定理可得∠B ＝15°，利用正弦定理可得10sin45sin15BC =︒︒，解得BC ．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°，即可得出．在BCD 中，45BDC ∠=︒，120BCD ∠=︒，可得∠B ＝15°，且sin15°＝sin （45°﹣30°）1222==由正弦定理得：10sin 45sin15BC ︒︒==，在ABC 中，tan6030AB BC ︒===+故答案为： 【点睛】本题考查了解三角形、和差公式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22:1927x yC -=的左右焦点，点A 为双曲线C 上一点，12F AF ∠的平分线AM 交x 轴于点()2,0M ，则AM =___________．【答案】【解析】本题先求出1F M ，2F M ，再求出1AF ，2AF ，最后建立方程2222228124602824m mm m +-+-+=⨯⨯⨯⨯，求解即可.【详解】在12AF F 中，18F M =，24F M =，由角平分线性质得11222AF F MAF F M==， 设12AF x =，2AF x =，由双曲线定义得：6x =，112AF =，26AF =， 在1AMF 和1AMF 中，AM m =，由余弦定理得：2222228124602824m mm m +-+-+=⨯⨯⨯⨯，解得：m =故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理、双曲线的定义与几何性质，是基础题.三、解答题17．在ABC 中，1cos 3A =，sinBC =． （1）求tan B ；（2）若ABC 的面积S =ABC 的周长．【答案】（1）tan B =；（2）2+. 【解析】（1）首先可求sin A 的值，进而利用两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简化简求值得解tan B 的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，cos B 的值，可得sin B C =，解得sin C 的值，令2a x =，由正弦定理可求b c ==，利用三角形的面积公式可求x 的值，即可得解ABC 的周长. 【详解】解：（1）∵0A π<<，sin A ∴==，1))33sin cos B A B C B B ==+=-∴sin B B =，∴tan B =．（2）tan B =，0B π<<∴sin B =cos B =∵sin B C =，co3s C ∴==∴sin 3C =． 不妨设A ．B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sin sin s ::::in 2A C a b c B ==令2a x =，则b c ==，又∵sin 12ABCSbc A ==1x ∴=∴ABC的周长为2+． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题. 18．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸奖，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元．（1）记X 为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X 的数学期望； （2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，说明理由． 【答案】（1）0.8；（2）选择方案一进行摸奖．理由见解析.【解析】（1）由题意知X 符合超几何分布，于是有()22235kkC C P X k C -⋅==，即可求出随机变量X 的数学期望；（2）分别求出两种方案获得的奖金数额的期望值，比较大小即可进行判断． 【详解】（1）由题可知X 符合超几何分布，即()2,2,5XH ，所以()22235k kC C P X k C -⋅==，{}0,1,2k ∈，即22251(2)10C P X C ===，11232563(1)105C P X C C =⋅===，0223253(0)10C P C C X ⋅===， ∴133()2100.810510E X =⨯+⨯+⨯=． （2）方案一：记ξ为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额， 则ξ可取50，20，15．22521(50)10C P X C ===，11232563(20)105C C P X C =⋅===，0223253(15)10C P X C C ⋅===，∴133()50201521.510510E X =⨯+⨯+⨯=． 方案二：记η为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额， 则η可取50，30，20，10．22221(50)10A P A η===，112232351(30)5C C P A A η⋅⋅===， 123233453(20)10C P C A A η⋅⋅===，1424542(10)5C P A A η⋅===． ∴1132()5030201021105105E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 21.521>，因此，我会选择方案一进行摸奖．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算，涉及超几何分布的应用，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ．平面PCD ⊥平面ABCD ．（1）证明，PD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PC 的中点，DE PC ⊥，四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=︒，求二面角D-BE-C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）17-. 【解析】（1）过B 作BF ⊥CD 于F ，过B 作BG ⊥AD 于G ．证明BF ⊥CD ，BF ⊥PD ．BG ⊥PD ，然后证明PD ⊥平面ABCD ．（2）以DC 所在方向为y 轴，DP 所在方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面BDE 的法向量，平面BEC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】解：（1）过B 作BF CD ⊥于F ，过B 作BG AD ⊥于G ． ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =，BF ⊂平面ABCD ，BF CD⊥∴BF ⊥平面PCD ，∴BF PD ⊥．同理可得BG PD ⊥，又∵BG BF B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．（2）以DC 所在方向为y 轴，DP 所在方向为z 轴，做DC 垂线为x 轴建立如图所示空间直角坐标系，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD CD ⊥，又DE PC ⊥，E 为PC 的中点，∴PD DC =．不妨假设2PD =，则()0,0,0D ，(3,1,0)B ，()0,1,1E ，()0,2,0C ． 可知(3,0,1)BE =-，()3,1,0DB =，(3,1,0)BC =-．设(,,)m x y z =为平面BDE 的法向量，则00m BE m DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3030x z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩．令1x =，得3y =-，3z =．可知平面BDE 的一个法向量(1,3,3)m =- 同理可得平面BEC 的一个法向量(1,3,3)n =． ∴1cos ,||||7m n m n m n ⋅〈〉==，又二面角D-BE-C 为钝角， ∴二面角D-BE-C 的余弦值为17-．【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过焦点且垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅为定值？若存在，求出点p 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在点11(,0)8P ，使得PA PB ⋅为定值13564-． 【解析】（1）先根据离心率得到2234b a =，再根据已知得到223b a=，最后求椭圆C 的方程．（2）先分类讨论①当直线l 与x 轴不重合时，先联立得到()2234690m y my ++-= 再用m 表示出12y y +、12y y 、12x x +、12x x 、PA PB ⋅，发现当118t =时，PA PB ⋅为定值；②当直线l 与x 轴重合且118t =时，PA PB ⋅为定值，最后给出定论即可. 【详解】解（1）∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =，∴2234b a = ∵过焦点且垂直于长轴的弦长为3，∴223b a =，解得2243a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）假设存在．设(,0)P t ，()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=易知>0∆，且122634m y y m +=-+，122934y y m =-+； ()121212112x x my my m y y +=+++=++()()()212121212111x x my my m y y m y y =++=+++∴()()1122,,PA PB x t y x t y ⋅=-⋅-()2121212x x t x x t y y =-+++()()2212121()21m y y m mt y y t t =++-++-+222(615)92134t m t t m --=+-++ 当615934t --=，即118t =时，PA PA ⋅的值与m 无关，此时13564PA PB ⋅=-． 当直线l 与x 轴重合且118t =时， 1111135(2,0)(2,0)8864PA PB ⋅=-⋅+=-． ∴存在点11(,0)8P ，使得PA PB ⋅为定值13564-． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及定值问题，是偏难题. 21．已知函数2()ln(1)f x a x x（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()21xe xf x --≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(,1]-∞.【解析】（1）先求函数()f x 的定义域、求导函数()'f x ，接着构建新函数2()22g x x x a =--+，再分类讨论0∆≤和>0∆时的单调性，当>0∆时，又分0a ≥与102a -<<两种情况讨论即可得到答案； （2）先构建新函数()1ln(1)xh x e a x =--+，分0a ≤、01a <≤、1a >三种情况讨论，最后判断求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，222()211a x x af x x x x --+'=-=++， 令2()22g x x x a =--+，则48a ∆=+且()f x '与()g x 的符号相同．①当0∆≤即12a ≤-时，()0g x ≤，此时()0f x '≤； ②当>0∆即12a >-时，令()0g x =得1x =，211122x -+=≥->-，（①）当11x ≤-即0a ≥时，当()21,x x ∈-时，()0>g x ，此时()0f x '>； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x '<； （②）当11x >-即102a -<<时， 当()()121,,x x x ∈-+∞时，()0g x <，此时()0f x '<；当()12,x x x ∈时，()0>g x ，此时()0f x '>；综上，当12a ≤-时，()f x 的单调递减区间为(1,)+∞，无单增区间；当0a ≥时，()f x 的单调递减区间为1()2-++∞，单调递增区间为1(1,2-+-；当102a -<<时，()f x 的单调递减区间为(-和)+∞，单调递增区间为．（2）221()e x f x ≥--即1ln(1)0xe a x --+≥；令()1ln(1)xh x e a x =--+， 则()00h =，()1xah x e x '=-+； 当0a ≤时，()0h x '>，此时()h x 在[0,)+∞上单增，()()00h x h ≥=，符合题意； 当01a <≤时，由xy e =和1ay x =-+都是增函数可知()h x '也为增函数， 故()()010h x h a ''≥=-≥，此时()h x 在[)0,+∞上单增，()()00h x h ≥=，符合题意； 当1a >时，同理()h x '也为增函数， ∵()010h a '=-<，当x →+∞时，()0h x '>，∴()h x '在[0,)+∞上有唯一零点，不妨假设为0x 当[)00,x x ∈时，()0h x '<，此时()h x 单减， ∴当0(0,)x x ∈时，()()00h x h <=，不合题意． 综上所述，a 的取值范围为(,1]-∞． 【点睛】本题考查含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题，是偏难题.22．在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于,A B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程.【答案】（1）()()2121y x +=+；（2）221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）采用代入消元法消去t 即可整理得到所求普通方程；（2）将l 极坐标方程化为普通方程，利用直线与曲线有且仅有唯一的公共点可联立令0∆=，从而求得m ，进而求得,A B 坐标，根据,A B 坐标确定圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程. 【详解】（1）由21y t =-得：12y t +=，则22121212y x t +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，整理得：()()2121y x +=+，故曲线C 的普通方程为()()2121y x +=+. （2）由()2sin cos m ρθθ-=得：2y x m -=，联立()()21212y x y x m⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩得：22210y y m -+-=，l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，()44210m ∴∆=--=，解得：1m =，l ∴的方程为21y x -=，l ∴与坐标轴交点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭与()1,0-，不妨假设10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,0B -，线段AB 的中点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，2AB ∴==，∴以AB为直径的圆的半径r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为：221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的知识的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、圆的方程的求解等知识，属于常考题型. 23．已知()12f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.【答案】（1）{1x x <-∣或1}x >；（2）8a =-或4.【解析】（1）代入1a =，分段讨论打开绝对值解不等式即可.(2)利用基本不等式性质1122a ax x -++≥+进行求解即可. 【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =-++， 当12x ≤-时，()3f x x =-，此时解()3f x >得1x <-； 当112x -<≤时，()2f x x =+，此时解()3f x >得无解； 当1x >时，()3f x x =，此时解()3f x >得1x >. 综上，不等式()3f x >的解集为{|1x x <-或}1x > （2）()12f x x x a =-++122a x x =-++122a a x x x =-++++ 122a a x ≥+++(当且仅当()102a x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭时等号成立) 12a ≥+(当且仅当2ax =-时等号成立) 可以知道当2ax =-时，()f x 有最小值12a +，由132a+=得8a =-或4 . 【点睛】此题考查解绝对值不等式，不含参数时一般分段讨论，注意基本不等式的使用，属于较易题目.。
2020年安徽省合肥一中高考数学最后一卷(文科) (解析版)
2020年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则（∁U A）∩B＝（）A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）2．若复数z的共轭复数满足（1﹣i），则|z|＝（）A．B．C．D．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．24．从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…x n，y1，…，y n构成n个数对（x1，y1），…，（x n，y n），其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．5．已知x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．D．66．已知log2x＝log3y＝log5z＜0，则、、的大小排序为（）A．B．C．D．7．点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，则PA1的长度范围为（）A．B．C．D．8．已知双曲线C的离心率，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则＝（）A．2B．C．D．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，）的部分图象如图所示，则使f（2a+x）+f（﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a n，a m，使得a n•a m＝64，则的最小值为（）A．B．1C．3+2D．E．【无选项】111．已知函数f（x）＝e x﹣1，，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln212．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线2y﹣1＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ＝．14．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上存在两点A、B，使得∠APB＝60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．16．设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|S n|＜A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是．①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；③若；④若a1＝1，．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c﹣a＝9b cos A．（1）求cos B；（2）若角B的平分线与AC交于点D，且BD＝1，求的值．18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当大甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°．（1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；（2）若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．21．已知函数．（1）f（x）的导函数记作f'（x），且f'（x）在（﹣1，+∞）上有两不等根，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）a＝2，b＝0，解不等式f（x）＞|4﹣x|；（2）m，n是f（x）的两个零点，若|a|+|b|＜1，求证：|m|＜1，|n|＜1．参考答案一、选择题（共12小题）.1．记全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则（∁U A）∩B＝（）A．[4，+∞）B．（1，4]C．[1，4）D．（1，4）【分析】求出集合A，集合B，从而求出∁U A，由此能求出（∁U A）∩B．解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≥4或x≤﹣4}，集合B＝{x|6x≥2}＝{x|x≥1}，∴（∁U A）∩B＝{x|1≤x＜4}＝[7，4）．故选：C．2．若复数z的共轭复数满足（1﹣i），则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形求得，再由，结合商的模等于模的商求解．解：由（1﹣i），得，则|z|＝||＝||＝．故选：B．3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故选：B．4．从区间[0，1]内随机抽取2n个数x1，x2，…x n，y1，…，y n构成n个数对（x1，y1），…，（x n，y n），其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•12，从区间[7，1】随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y6，y2，…，y n，∴＝故选：D．5．已知x，y满足不等式组，则的最大值为（）A．0B．C．D．6【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则则的几何意义为动点Q到原点连线的斜率，由图象可知当P位于A（，3）时，直线AP的斜率最大，故选：D．6．已知log2x＝log3y＝log5z＜0，则、、的大小排序为（）A．B．C．D．【分析】设k＝log2x＝log3y＝log5z＜0，0＜x，y，z＜1．x＝2k，y＝3k，z＝5k．可得＝21﹣k，＝31﹣k，＝51﹣k．由函数f（x）＝x1﹣k在（0，1）上单调递增，即可得出．解：设k＝log2x＝log3y＝log5z＜8，∴0＜x，y，z＜1．则＝27﹣k，＝31﹣k，＝58﹣k．∴21﹣k＜31﹣k＜51﹣k．故选：A．7．点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，则PA1的长度范围为（）A．B．C．D．【分析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，推导出平面AMN∥平面A1EF，从而点P的轨迹是线段EF，由此能求出PA1的长度范围．解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A6O，∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，∵动点P在正方形BCC1B7（包括边界）内运动，且PA1∥面AMN，∵A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值：A1O＝＝，∴PA1的长度范围为[，]．故选：B．8．已知双曲线C的离心率，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF交另一条渐近线于N，则＝（）A．2B．C．D．【分析】画出图形，利用已知条件转化求解即可．解：由题意双曲线的离心率为：，可得，可得，所以＝，渐近线方程为：y＝，如图：所以MN＝，故选：B．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，）的部分图象如图所示，则使f（2a+x）+f（﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件求出函数的解析式，由f（2a+x）+f（﹣x）＝0得f（2a+x）＝﹣f（﹣x），得函数关于（a，0）对称，利用三角函数的对称性进行求解即可．解：由f（2a+x）+f（﹣x）＝0得f（2a+x）＝﹣f（﹣x），得函数关于（a，0）对称，则f（x）＝2sin（ωx+），得ω＝7，由2x+＝kπ，得x＝﹣，即函数的对称中心为（﹣，0），即此时a＝，故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a n，a m，使得a n•a m＝64，则的最小值为（）A．B．1C．3+2D．E．【无选项】1【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用基本不等式的应用求出结果．解：由S n＝2a n﹣2，当n≥2时，可得S n﹣5＝2a n﹣1﹣8，故（常数），所以，，但是mn都为整数解得当m＝n＝3时，最小值为1．故选：B．11．已知函数f（x）＝e x﹣1，，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln2【分析】求出b﹣a＝2﹣lny﹣1，根据函数的单调性求出b﹣a的最小值即可．解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，则b＝2，则（b﹣a）′＝2﹣，∴y＝时，（b﹣a）′＝6，∴y＝时，b﹣a取最小值，故选：C．12．已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝1，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线2y﹣1＝0相切，若存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值，则点P的坐标为（）A．B．C．D．【分析】设M的坐标为（x，y），然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2＝﹣y，把|MA|﹣|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标．解：∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，∴|y﹣|2＝|OM|7+|OA|2＝x2+y2+，∴M的轨迹是以F（7，﹣）为焦点，y＝为准线的抛物线，＝|y﹣|﹣|MP|+＝|MF|﹣|MP|+，∴存在定点P（0，﹣）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行即共线的条件，列出关系式，利用向量相等解答．解：因为向量，不平行，向量与平行，所以＝μ（），所以，解得λ＝μ＝；故答案为：．14．若圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上存在两点A、B，使得∠APB＝60°，P为圆外一动点，则P点到原点距离的最小值为5﹣2．【分析】根据题意，点P在以（3，4）为圆心，半径为（，2）的圆环内运动，求出P到原点的最小距离即可．解：对于点P，若圆上存在两点A，B使得∠APB＝60°，只需由点P引圆的两条切线所夹的角不小于60°即可，故动点P在以（3，4）为圆心，半径为（，2）的圆环内运动，故答案为：5﹣3．15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为．．【分析】将折线转化为直线外一点与直线上一点的连线段，求出侧棱的长度解：如图，在PC上取点M'，使得|PM'|＝|PM|∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，∴PA＝PB＝PC＝PD，∴AN+MN＝AN+NM'∵M为PD的中点，∴PA＝AC＝4又∵顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，设外接球的半径为r，则．解得．故答案为：．16．设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数A，使得对于任意的n∈N*，都有|S n|＜A，则称数列{a n}为“T数列”．则以下{a n}为“T数列”的是②③．①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0；②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1；③若；④若a1＝1，．【分析】写出等差数列的前n项和结合“T数列”的定义判断①；写出等比数列的前n 项和结合“T数列”的定义判断②；利用裂项相消法求和判断③；由数列递推式分n为奇数与偶数判断数列的特性，再求前n项和判断④．解：①若{a n}是等差数列，且a1＞0，公差d＜0，则，当n→+∞时，|S n|→+∞，②若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，∴数列{a n}是“T数列”；③若＝，∴|S n|＝|+…+|＝||＜，④若a1＝2，，当n为偶数时，有a n+2+a n＝3，即数列{a n}中任意两个连续偶数项的和为0．∴数列{a n}不是“T数列”．故答案为：②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且9c﹣a＝9b cos A．（1）求cos B；（2）若角B的平分线与AC交于点D，且BD＝1，求的值．【分析】（1）方法一：由已知利用余弦定理可求cos B的值；方法二：由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理化简可求cos B的值．（2）由已知利用二倍角公式可求，，设△ABC，△ABD，△CBD的面积分别为S，S1，S2，利用三角形的面积公式，根据S1+S2＝S，化简可求．解：（1）方法一：由9c﹣a＝9b cos A，及余弦定理得：，整理得：，方法二：由9c﹣a＝9b cos A，及正弦定理得：9sin C﹣sin A＝9sin B cos A，所以：．所以：，设△ABC，△ABD，△CBD的面积分别为S，S1，S7，由S1+S2＝S，得：，所以：．18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励，图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当大甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．【分析】（1）根据统计图统计出甲乙两人合格的天数，再计算全部获奖概率；（2）根据频率分布直方图求出人数及平均步数；（3）根据频率分布直方图计算出甲乙的步数从而判断出星期几．解：（1）由统计图可知甲乙两人步数超过10000的有星期一、星期二、星期五、星期天设事件A为甲乙两人两天全部获奖，则P（A）＝∴（0.05+0.03）×5×200＝80（人），2.5×0.1+8.5×0.2+12.5×0.3+17.5×3.25+22.5×0.15＝13.25（千步）由频率分布直方图可得0.2﹣0.15＝（20﹣y）×3.05，∴y＝19．（1﹣0.65）﹣0.3＝（x﹣10）×3.06，∴x＝．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°．（1）求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C；（2）若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【分析】（1）推导出BC⊥平面ACC1A1，BC⊥A1C，A1C⊥B1C1．从而ACC1A1是菱形，A1C⊥AC1．进而A1C⊥平面AB1C1．由此能证明平面AB1C1⊥平面A1B1C．（2）由，能求出四棱锥A﹣BCC1B1的体积．【解答】证明：（1）因为平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∠ACB＝90°，因为A1C⊂平面ACC8A1，所以BC⊥A1C．因为ACC1A1是平行四边形，且AA5＝AC，所以ACC1A1是菱形，A1C⊥AC1．又A5C⊂平面A1B1C，所以平面AB1C1⊥平面A1B6C．所以，所以，即四棱锥A﹣BCC3B1的体积为．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x＝﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k TF＝﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S＝．解：（Ⅰ）由题意可得，解得c＝2，a＝，b＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣3，0），∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣7＝0，∴x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝．∴，∴（x1，y1）＝（﹣3﹣x8，m﹣y2），此时四边形OPTQ的面积S＝═＝．21．已知函数．（1）f（x）的导函数记作f'（x），且f'（x）在（﹣1，+∞）上有两不等根，求a的取值范围；（2）若f（x）存在两个极值点，记作x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞4．【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；（2）求出f（x1）+f（x2）的解析式，问题转化为证明ln（a﹣1）2+﹣2＞0，令a ﹣1＝t，由a∈（1，2）可得t∈（0，1），当t∈（0，1）时，g（t）＝2lnt+﹣2，根据函数的单调性证明即可．解：（1），x＞﹣1，，令h（x）＝x2+a（a﹣2）．由题意，，解得：7＜a＜2，（2）证明：由（1）知，a的取值范围是（1，2），即x2+a（a﹣2）＝6，得，＝＝，令a﹣1＝t，由a∈（1，2）可得t∈（0，2），所以g（t）在（0，1）上是减函数，综上，f（x1）+f（x2）＞4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．【分析】（Ⅰ）求出直线l的直角坐标方程为y＝+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r＝2，曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C的极坐标方程．（Ⅱ）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由＝2sin（2）+，由此能求出△MON面积的最大值．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝+2，可得r＝＝2，∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）7＝4，即．＝sin2θ+＝2sin（8）+，所以△MON面积的最大值为2+．一、选择题23．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）a＝2，b＝0，解不等式f（x）＞|4﹣x|；（2）m，n是f（x）的两个零点，若|a|+|b|＜1，求证：|m|＜1，|n|＜1．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，可得不等式的解集；（2）由函数的零点与方程实数根的关系，以及根与系数的关系得出m+n＝﹣a，mn＝b；再利用绝对值与不等式证明出结论即可．解：（1）a＝2，b＝0，则f（x）＝x2+2x＞|4﹣x|，﹣x6﹣2x＜4﹣x＜x2+2x，解得不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞1}．∴|m+n|＝|a|，|mn|＝|b|．∴|m+n|+|mn|＜1．∴|m|﹣|n|+|mn|﹣1＜4，（|m|﹣1）（|n|+1）＜0．同理可证，|n|＜1．。
安徽省合肥六中高考数学模拟最后一卷试题 文 新人教A版
文科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分钟，考试时间120分钟． 考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草．稿纸上答题无效．．．．．．．。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：S 表示底面积，h 表示底面上的高 如果事件A 与B 互斥，那么 棱柱体积V=Sh 棱锥体积V=13ShP(A+B)=P(A)+P(B ） 球的表面积24S r π=表（r 为球的半径）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数()(1)z a i i R =+-∈，则实数a 的值是 A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 2．若集合{}21,A m=，集合{}2,4B =，则“2m=”是“{}4AB =的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3．sin 255=A.4B. 4C. 4. D 4-4．阅读如图的程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是1111俯视图侧（左）视图正视图A.i>5 Bi> 6 C.i> 7 D.i> 85．在等差数列{n a }中，若,7,24111073=-=-+a a a a a 则S 13的值是（ ） A ．54B ．168C ．117D ．2186．设,x y 满足约束条件43,3525,1,x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则13log (2)x y +的最大值是A ．－１B ．3log 7-C ．4-D ．312log 2--7．如图是一个几何体的三视图，其中，正视图是等腰直角三角形，侧视图和俯视图都是正方形，则该几何体的外接球的表面积是A.12πB.3πC. 43π3 8．有两个命题1:,sin cos 1p x R x x ∃∈=；2:p (0,1),x ∀∈1123log log x x >，则（ ）A.1p 真，2p 真B. 1p 假，2p 假C. 1p 真，2p 假D. 1p 假，2p 真9．由半椭圆22221x y a b +=（x ≥0）与半椭圆22221y x b c +=（x ≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中222a b c =+，a >0b c >>．由右椭圆22221x y a b+=（0x ≥）的焦点0F 和左椭圆22221y x b c+=（0x ≤）的焦点1F 、2F 确定的012F F F ∆叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为直角三角形，则右椭圆22221x y a b+=（0x ≥）的离心率为（ ） A ．23 B 3 C ．23 D ．1310．若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是（ ） A ．()ln x f x x x =+B ．()ln xf x x x=-A BCD PC ．()2ln x f x x x =-D ． ()2ln x f x x x=+第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．11、函数l()3f x x =+-的定义域是 12、已知直线x y a +=与圆2220x y y +-=相切，则a 的值是13、设双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为 ．14、如图，平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=，P 为线段DC 的中点，则AP AC ⋅的值是15.已知奇函数222(0)()(0)x x x f x ax bx x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，给出下列结论：①((1))f f =1；②函数y =()f x 有三个零点； ③()f x 的递增区间是[1,)+∞；④直线1x =是函数y =()f x 图像的一条对称轴； ⑤函数y =(1)2f x ++图像的对称中心是点(1,2)； ⑥对对任意x R ∈，都有'()'()f x f x -=-。
2020年高考考前最后一卷-理科数学全解析版(新课标II卷) (2)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22224c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且4PF QF =uuu r uuu r ，则椭圆C 的离心率等于()A ．13B ．12C 5D 32．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．164813．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是() A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩4．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是() A ．35CB ．35AC ．35D ．535．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =()A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -6．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（）A ．23 B ．35C ．2547D ．27467．若a ，b 均为正实数，则22ab ba b 1+++的最大值为( ) A ．23B 2C 2D ．28．在ABC V 中，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =⋅，则b 的值等于（） A ．8B ．6C ．4D ．19．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设nn b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．1210．设()()32lg 1f x x x x =+++，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要11．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点C 为圆心，CE 长为半径为圆，点P 是该圆上的任一点，在AP DE ⋅u u u r u u u r的取值范围是（）． A ．[0,26]+B ．[26,26]-+C ．[0,25]+D ．[25,25]-+12．若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（） A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
【6月合肥六中高三最后一卷理数】2020年6月安徽省合肥市第六中学2020届高三最后一卷理科数学试卷含答案
合肥六中2020届高三最后一卷数学（理）参考答案（附解析和评分细则）第Ⅰ卷（选择题 每题5分 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只1. },6|{},30|{≤=≤<=x x B x x A }6|{≤=x x B A ，选B2. i z i z +−=−−=1,1，选C3. 10,1,0<<><c b a ，选B4. 1624)(41=⨯+a a ，得74=a ，选D 5. 332322131,3,5=⨯⨯⨯⨯===V AB PB ,选A 6. )42sin()2(21sin 2sin ππ−=−=→=x x y x y ，选A 7. )(x f y =为奇函数，)1,0(∈x 时，0)(>x f ,选A8. 设圆心为M ，20)4(3684)6()6(22222+−=+−=+−=+−=x x x x x y x PM当4=x 时，52m in =PM ，152m in −=PQ ，选C9. 根据空间点线面的位置关系，选B10. 16944332414=A C C ,选B 11. )21(−=x m xe x ，结合图像设切点为),(00y x ，则000x e x y =，)21(00−=x m y ，)1()(,)('+==x e x f xe x f x x ，m x e x =+)1(00，联立方程解得：10=x ，e m 2=，选D12. 新数列}{n b 为周期数列：1,1,2,3,1,0,1,1，2,3,1,0，…，201920202020344233,.....,b b c b b c b b c −=−=−=，120202202021202021...b b b b b b c c c +=−++=+++34463362020===+⨯b b b ，4...120202202021202021=+=−++=+++b b b b b b c c c ，选A第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024 届高三届合肥一中最后一卷数学
合肥一中2024届高三最后一卷数学试题(考试时间:150分钟 满分:120分)注意事项:1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。
2．答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卷．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(2,3)a = ，(1,3)b −，则2a b −= （ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数z 满足(1)2z i i ⋅+=−，则=z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321− C ．i 2321−−D ．i 2321+−3．已知焦点在x，焦距为 ） A ．2213x y += B ．2219x y += C ．22197x y +=D ．2213628x y += 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，32a =，则4a =（ ）A ．1B ．23或-1C ．23− D ．23−或15．已知α为三角形的内角，且cos α=， 则sin 2α=（ ）A C D6．甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ） A ．36种 B ．48种 C ．54种 D ．64种 7．已知四棱锥P ABCD −的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB ∆为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（ ） A ．133π B ．16πC ．523π D ．20π8．过(0,)M p 且倾斜角为((,))2πααπ∈的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，直线MN 的倾斜角为β，则tan()αβ−的最小值为（ ） ABC．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。
【精准解析】安徽省合肥六中2020届高三下学期最后一卷数学(文)试题
合肥六中2020届高三冲刺最后一卷文科数学一､选择题1. 已知复数134z i =+，21z i =+，则12z z ⋅=（ ）A. 7i +B. 7i -C. 7i -+D. 7--i【答案】A 【解析】 【分析】写出共轭复数2z ，然后由复数的乘法法则计算．【详解】()()21234133447z z i i i i i i ⋅=+-=-+-=+．故选：A ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题． 2. 已知全集U =R ，集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则()UA B =（ ）A. ()2,4B. ()2,4-C. ()2,2-D. (]2,2-【答案】C 【解析】 【分析】根据集合运算的定义计算． 【详解】{}2UB x x =<，∴()()2,2UAB =-．故选：C ．【点睛】本题考查集合的综合运算，属于基础题．3. 已知直线(:3l y k x =和圆()22:11C x y +-=相切，则实数k =（ ） A. 0 330 30【答案】D 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离等于半径求解． 【详解】由23111k k -=+，得230k k -=，所以3k =或0；故选：D ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断直线与圆的位置关系．4. 已知α为第三象限角，4tan 3α=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.210B. 210-C.7210D. 72-【答案】A 【解析】 【分析】先由同角的三角函数的关系式求出cos α，sin α，再利用两角和的余弦公式可求cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由已知得3cos 5α=-，4sin 5α=-，所以()22cos cos sin 4210πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式以及两角和的余弦，前者注意角的范围对函数值符号的影响，本题属于基础题.5. 已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A. ()ln x xf x e=B. ()ln xf x x e =C. ()ln xf x x=D.()()1ln f x x x =-【答案】D 【解析】 【分析】用排除法，当01x <<时，函数值为正可排除A ，B ，C ．【详解】()0,1x ∈时，()0f x >，但,,A B C 中函数值均为负，故排除，只有D 选项满足． 故选：D ．【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，可根据图象反应的函数性质判断，方法是排除法．如利用函数的单调性、奇偶性、对称性，特殊的函数值、函数值的正负、函数值的变化趋势等排除错误选项．6. 已知0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.3b =，b c a =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c a b << C. b a c <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的性质可得112a <<，由对数函数的性质可得0b <，化简120.3bc a -==，由指数函数的性质可得1020.30.31->=，从而可得结果.【详解】∵0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 0.3b =，b c a =， ∴10.5111112222a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22log 0.3log 10b =<=， 1212212120.5log 0.3log 0.31021log 0.321110.30.31220.3121c ⨯--=⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝==⎭，∴b a c <<. 故选：C .【点睛】本题主要考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.7. 如图，为测得河对岸铁塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在铁塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60︒，再由点C 沿北偏东30方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则铁塔AB 的高为（ ）A. 303+B. 30103-C. 10310+D.10310-【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得BC ，再在直角三角形中求得高AB ． 【详解】BCD 中，45BDC ∠=︒，15DBC ∠=︒，10CD =，由正弦定理得sin sin BC CDBDC DBC=∠∠，所以)1031BC =，又Rt ABC 中，60ACB ∠=︒，tan 6030103AB BC =⋅︒=+故选：A ．【点睛】本题考查解三角形的应用，认识方位角是解题基础，掌握正弦定理是解题关键． 8. 执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是6n >，则输出的结果为（ ）A. 72B. 30C. 42D. 56【答案】D 【解析】 【分析】直接按照程序框图运行程序，当7n =时输出结果. 【详解】执行如图所示的程序框图，当1n =时，022,224,16s a =+==+=<，2,246,426,26n s a ==+==+=<， 3,6+6=12,628,36n s a ===+=<， 4,12820,8210,46n s a ==+==+=<， 5,201030,10212,56n s a ==+==+=<， 6,301242,12214,66n s a ==+==+=≤， 7,421456,14216,76n s a ==+==+=>，故输出的结果为56. 故选：D.【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D. 营销行业比贸易行业紧张【答案】B 【解析】试题分析：就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B ．考点：本题主要考查不等式的概念、不等式的性质．点评：解答此类题目，首先要审清题意，明确就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值．10. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作倾斜角为60︒直线与y 轴和双曲线的右支交于A 、B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是( )B. 2+C. 21【答案】B 【解析】双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >> 的左焦点F 为(),0c -,直线l 的方程为)y x c =+，令0x =，则y =，即()A ，因为A 平分线段1FB ，根据中点坐标公式可得 ()B c ，代入双曲线方程，可得2222121c c a b -=，由于()1c e e a =>，则2221211e e e -=-，化简可得421410e e -+=，解得27e =±1e >，解得2e = B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.11. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+-，(3n ≥，*n N ∈).此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，又记数列{}n c 满11c b =，22c b =，()*13,n n n c b b n n N -=-≥∈，则2020c =（ ） A. 1 B. 2-C. 1-D. 0【答案】A 【解析】 【分析】利用“兔子数列”的前几项除以4的余数得数列{}n b 的前几项（稍微多求几项），归纳出{}n b 的周期性，再根据{}n c 的定义得出{}n c 的前几项，归纳出{}n c 的性质，然后由这个规律可得2020c ．【详解】解：记“兔子数列”为{}n a ，则数列{}n a 每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b 为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,，可得数列{}n b 构成一周期为6的数列，由题意得数列{}n c 为1,1,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,1,0,1,1,2,1,------，观察数列{}n c 可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，202041c c ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的周期性，解题时在数列通项公式不易求出时可利用归纳推理的方法得出结论．12. 不等式()22ln 40ax a x x a ->-->解集中有且仅含有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()ln3,2B. [)2ln3,2-C. (]0,2ln3-D.()0,2ln3-【答案】C 【解析】 【分析】设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-，通过导数判断()g x 的单调性，结合直线()2h x ax a =-恒过定点()2,0，得到两函数的图象，结合题意得不等式组()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解出即可.【详解】由题意可知，22ln 4ax a x x ->--， 设()2ln 4g x x x =--，()2h x ax a =-. 由()1212x g x x x='-=-.可知()2ln 4g x x x =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数， ()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()g x ，()h x 的图象如下，若有且只有两个整数1x，2x，使得()10f x>，且()20f x>，则()()()()1133ah gh g⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即22ln3aaa>⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a<≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．二､填空题13. 已知曲线23ln4xy x=-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为______．【答案】3【解析】【分析】首先求函数的导数，令12y，求切点的横坐标.【详解】因为23ln4xy x=-，()0x>，所以32xyx'=-，由题意知，3122xx-=，解得3x=（负值舍去），所以切点的横坐标为3．故答案：3【点睛】本题考查函数的导数的求法，导数的几何意义，属于基础题型.14. 已知向量()2,1a=，()3,4b=，(),2c k=，若()3a b c-//，则实数k=_________ 【答案】6-【解析】 【分析】由平面向量坐标运算法则得()33,1a b -=-，再由()3a b c -//，列出方程求出k 的值. 【详解】解：向量()2,1a =，()3,4b =，(),2c k =，∴()33,1a b -=-，()3a b c -//，∴312k =-. 解得：6k =-.故答案为：6-.【点睛】本题考查平面向量坐标运算法则，向量平行的性质，考查运算求解能力，属于基础题.15. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()sin 2b A a B =，4b =，点D 为边AB 上的一点，2CD =，锐角ACD △c =________.【答案】72+ 【解析】 【分析】用正弦定理化边为角后可求得B ，在ACD △内，由面积求得sin ACD ∠，从而可得cos ACD ∠，用余弦定理求得AD ，再用正弦定理得出sin A ，最后在ABC 中正弦定理求得BC ，用余弦定理求得AB ．【详解】()sin 2b A a B =及正弦定理得，()sin sin sin 2B A A B =， ∵ACD △是锐角三角形，∴sin 0A ≠，2si sin n 23B B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，()0,B π∈，6B π∴=，ACD △内，1sin 2ACDSAC CD ACD =⋅⋅⋅∠，所以sin ACD ∠=又ACD ∠是锐角，∴1cos 4ACD ∠=， 由余弦定理可得，222142242164AD =+-⨯⨯⨯=，4AC AD ==，由正弦定理得2sin A =，sin 8A =，在ABC 内，sin sin AC BCB A=，BC ∴= 由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅216152AB AB =+-∴⨯，解得AB c ==．． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，由正弦定理进行边角转化求出B 是解题基础．16. 已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30,BAC AC ∠=,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为__________．【答案】818【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥P ABC -的体积的表达式，最后求函数的最大值. 详解：设球的半径为R,所以29814,.2R R ππ=∴=设AB=x,则AC =，由余弦定理得22223,.BC x x x x BC x =+-⨯=∴= 设底面△ABC 的外接圆的半径为r,则02,.sin 30xr x r =∴=所以PA=所以三棱锥P ABC -的体积2221118138132322464V x x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅-=- =2223813813814()4(4=6422638x x x =-⋅⋅⋅≤⨯）. 当且仅当x=362时取等. 故答案为818点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：3()3a b c abc ++≤，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值. 三､解答题17. 某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A ､B ､C ､D ､E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率)：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A ､B ､C ､D ､E 分别对应100分､90分､80分､70分､60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D ､E 两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D 级别”的概率.【答案】（1）896；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）910. 【解析】 【分析】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，由此可计算频率即概率，作为总体概率可计算整个年级得B 人数； （2）利用频率计算均分后可得．（3）求出D ､E 两种级别中所抽取的人数，编号后写出所有基本事件，并得出事件“至少1位学生来自D 级别”所含有的基本事件，计数后可得概率．【详解】（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为，1121420025= 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有14160089625⨯= （2）这200名学生成绩的平均分为64112146410090807060200200200200200⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=91.3，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D 级3个，E 级2个，D 组3人编号为,,A B C ，E 组2人编号为,a b ，则任取2人的基本事件为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共10个，其中事件“至少1位学生来自D 级别”为F 含有的基本事件有,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb 共9个，()910P F ∴=. 【点睛】本题考查条形图，考查用样本估计总体．考查分层抽样与古典概型，用列举法写出所有基本事件是计算古典概型概率的常用方法．18. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若11a =，2416a a =. （1）设2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S .【答案】(1)1n b n =- (2) ()222nn S n =-+【解析】【详解】试题分析：（1）先根据等比数列的基本量求出等比数列{}n a 通项公式,代入2log n n b a =得数列{}n b 的通项公式（2）根据错位相减法求和: 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q - 试题解析：（Ⅰ）由数列{}n a 是各项均为正数的等比数列112412216n n a q a a a -=⎧∴==⎨⋅=⎩且即： 2log ,1n n n b a b n =∴=-又（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()112n n n a b n -⋅=-⋅则 ()012102122212n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅① ()123202122212nn S n =⨯+⨯+⨯++-⋅②①-②()()()231222212221212222n nn n nn S n n n --=++++--⋅-=--⋅-=--()222n n S n ∴=-+点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,底面ABCD 是矩形, EF BC <.(1)证明: EF 平面ABCD ;(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体ABCDEF 为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍ABCDEF 的体积求法表述为:术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍ABCDEF 的“下袤” BC 的长为a ,“上袤” EF 的长为b ,“广” AB 的长为c ,“高”即“点F 到平面ABCD 的距离”为h ,则刍甍ABCDEF 的体积V 的计算公式为: ()126V a b ch =+,证明该体积公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】分析：（1）先证明BC EF ，再证明EF平面ABCD .(2)利用割补法证明F ABGH CDE GHF V V V --=+=()126a b ch +. 详解：（1）证明：ABCD 是矩形，BC AD ∴，又AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEFBC ∴平面ADEF ，又BC ⊂平面BCEF ，平面ADEF ⋂平面BCEF EF =BC EF ∴又BC ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，EF ∴平面ABCD .（2）解：设,G H 分别是棱,BC AD 上的点，且满足GC HD EF ==， 链接,,FG FH GH .由第（1）问的证明知，GC HD EF ， 所以四边形GCEF 和GCDH 为平行四边形.,GF CE GH CD ∴，又CD CE C ⋂=，∴平面GHF CDE ，∴多面体CDE GHF -为三棱柱.因此，刍甍ABCDEF 可别分割成四棱锥F ABGH -和三棱柱CDE GHF -. 由题意知，矩形ABGH 中，BG BC CG BC =-= ,EF a b AB c -=-=∴矩形ABGH 的面积()ABGH S a b c =-，又四棱锥F ABGH -的高，即“点F 到平面ABCD 的距离”为h ，∴四棱锥F ABGH -的体积()1133F ABGH ABGH V S h a b ch -==-； 三棱柱CDE GHF -的体积可以看成是以矩形GCDH 为底,以点F 到平面ABCD 的距离h 为高的四棱柱体积的一半. 又矩形GCDH 的面积ABGH S bc =∴三棱柱CDE GHF-的体积1122CDE GHF GCDH V S h bch -== 刍甍ABCDEF 的体积：F ABGH CDE GHF V V V --=+=()1132a b ch bch ch -+= ()12326a b b a b ch -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. ∴刍甍ABCDEF 体积公式得证.点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和空间体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2) 求几何体的面积和体积的方法,方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法.注意理解掌握并灵活运用.本题利用的就是割补法求几何体的体积.20. 如图，已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B .（1）若椭圆Γ的离心率为12，线段AF 中点22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求BM 的值； （2）若ABF 外接圆的圆心在直线y x =-上，ABF 外接圆的半径为3，求椭圆Γ的方程.【答案】（1）262；（2）221126x y +=.【解析】 【分析】（1）先根据离心率得2a c =，再根据线段AF 中点2M ⎫⎪⎪⎝⎭得22a c -=，解方程得2c =28a =，26b =，故得(6B ，在用两点间距离求解即可；（2）由与三角形外接圆圆心是各边中垂线的交点，故写出AF 的中垂线方程为：2a cx -=，再根据圆心在直线y x =-上得圆心坐标,22a c a c C --⎛⎫-⎪⎝⎭，其在AB 的中垂线方程为：22b a a y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，代入化简得b c =，再根据外接圆半径列式求解即可. 【详解】（1）因为椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，所以12c a =，则2a c =.因为线段AF 中点M 的横坐标为22，所以222a c -=. 所以2c =28a =，2226b a c =-=.上顶点为B 的坐标为：(6B所以262BM =（2）因为(),0A a ，(),0F c -， 所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx -=. 又因为ABF 外接圆的圆心C 在直线y x =-上，所以,22a c a c C --⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(),0A a ，()0,B b ，所以线段AB 的中垂线方程为：22b a a y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 由C 在线段AB 的中垂线上，得2222a c b a a c a b --⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 整理得，()2b ac b ac -+=，即()()0b c a b -+=. 因为0a b +>，所以b c =.ABF 外接圆的半径2222229222a c a c a c R CA a --+⎛⎫⎛⎫==-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212a ∴=，26b =，所求椭圆方程：221126x y += 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查数学运算能力，是中档题. 21. 已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）如果关于x 的不等式()0f x ≥在0x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1≥x 时，证明：()()21sin 11ln xx x e x x e≤≤----. 【答案】（1）[)1,-+∞；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分离参数可得1ln a x x -≤+，只需min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，令()1ln F x x x =+，利用导数求出()F x 的最小值即可.（2）由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x -≥.要证()1ln xe x x e -≤，可证，1≥x ，即证1x e e x ≤，1≥x .()11xe x x e x--≤，构造函数()()1x G x e ex x =-≥，利用导数可证出()()10G x G ≥=，从而证出左边；构造函数()()()2ln 1sin 11H x x x x x =-++-≥，利用导数证明函数的单调性，进而可得()()10H x H <=，从而证出右边. 【详解】（1）由()0f x ≥，得()ln 100x x ax x ++≥>. 整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭.令()1ln F x x x =+.则()22111x F x x x x='-=-. ∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. ∴函数()1ln F x x x=+最小值为()11F =. 1a ∴-≤，即1a ≥-.a ∴的取值范围是[)1,-+∞（2）由（1），当1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1ln x x x-≥. 要证()1ln xe x x e -≤，即证1≥x 时()11xe x x e x--≤即1x e e x ≤，. 构造函数()()1xG x e ex x =-≥. 则()xG x e e '=-.当1≥x 时，()0G x '≥.()G x ∴在[)1,+∞上单调递增.()()10G x G ∴≥=在[)1,+∞上成立，即x e ex >，证得1x e e x<. ∴当[)1,x ∈+∞时，()1ln xe x x e-≤成立.构造函数()()()2ln 1sin 11H x x x x x =-++-≥.则()()()()()22112112cos 1x x x x H x x x x x x-+--+-=-+-≥=' 当1x >时，()0H x '<，()H x ∴在[)1,+∞上单调递减.()()10H x H ∴<=，即()()2ln 1sin 101x x x x -++-≤≥∴当[)1,x ∈+∞时，()2ln 1sin 1x x x ≤---成立.综上，当[)1,x ∈+∞时，有()()21ln 1sin 1xe x x x x e-≤≤---.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式，属于难题.22. 在直角坐标坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22121x t y t ⎧=-⎨=-⎩(t 为参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()2sin cos m ρθθ-=.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，且l 与坐标轴交于,A B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程.【答案】（1）()()2121y x +=+；（2）221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）采用代入消元法消去t 即可整理得到所求普通方程；（2）将l 极坐标方程化为普通方程，利用直线与曲线有且仅有唯一的公共点可联立令0∆=，从而求得m ，进而求得,A B 坐标，根据,A B 坐标确定圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程.【详解】（1）由21y t =-得：12y t +=，则22121212y x t +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，整理得：()()2121y x +=+，故曲线C 的普通方程为()()2121y x +=+.（2）由()2sin cos m ρθθ-=得：2y x m -=，联立()()21212y x y x m⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩得：22210y y m -+-=， l 与曲线C 有且仅有唯一的公共点，()44210m ∴∆=--=，解得：1m =，l ∴的方程为21y x -=，l ∴与坐标轴交点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与()1,0-， 不妨假设10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,0B -，线段AB 的中点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，2AB ∴==，∴以AB为直径的圆的半径r =， ∴以AB 为直径的圆的直角坐标方程为：221152416x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的知识的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、圆的方程的求解等知识，属于常考题型.23. 已知()12f x x x a =-++，a R ∈.（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.【答案】（1）{1x x <-∣或1}x >；（2）8a =-或4.【解析】【分析】（1）代入1a =，分段讨论打开绝对值解不等式即可.(2)利用基本不等式性质1122a a x x -++≥+进行求解即可.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =-++， 当12x ≤-时，()3f x x =-，此时解()3f x >得1x <-； 当112x -<≤时，()2f x x =+，此时解()3f x >得无解； 当1x >时，()3f x x =，此时解()3f x >得1x >.综上，不等式()3f x >的解集为{|1x x <-或}1x >（2）()12f x x x a =-++122a x x =-++ 122a a x x x =-++++ 122a a x ≥+++(当且仅当()102a x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭时等号成立) 12a ≥+(当且仅当2a x =-时等号成立) 可以知道当2a x =-时，()f x 有最小值12a +， 由132a +=得8a =-或4 . 【点睛】此题考查解绝对值不等式，不含参数时一般分段讨论，注意基本不等式的使用，属于较易题目.。
2020年安徽省合肥七中高考数学最后一卷2 (含答案解析)
2020年安徽省合肥七中高考数学最后一卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2≤2x}，B ={x|1<x ≤4}，则A ∪B =( )A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞) 2. 已知复数z 满足zi =52−i +2，则z 在复平面内对应的点为( )A. (1,2)B. (3,2)C. (−1,4)D. (4,−1)3. 已知等差数列{a n }中，a 4+a 7=42，则前10项和S 10=( ) A. 420 B. 380 C. 210 D. 1404. 设a =0.512,b =0.914,c =log 50.3，则a,b,c 的大小关系是( )． A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c5. 已知函数f (x )=x 2−1x，则不等式f(e 1−x )>f(e 2x−1)的解集是A. (−∞,−23)B. (−∞,23)C. (−∞,0)D. (23,+∞)6. 已知△ABC 中，AB =2，B =π4，C =π6，点P 是边BC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 98. 我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A. 计算1+2+3+4+⋯+n−1的值B. 计算1+2+3+4+⋯+n的值C. 计算1+2+3+4+⋯+(n+l)的值D. 计算1+2+3+4+⋯+n+sinπ+sin2π+⋯+sin(n+2)π的值9.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象，则f(3π4)=()A. −2B. −√2C. 2D. √210.F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. √711.边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将△ADE沿DE折起至A′DE位置，使A′M=√62，设MC的中点为Q，A′B的中点为P，则①A′N⊥平面BCED②NQ//平面A′EC ③DE ⊥平面A′MN④平面PMN//平面A′EC 以上结论正确的是( )A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④12. 若函数f(x)=e x−1+2x −log √2a x (a >0)在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (√2,2e2)B. (0,2]C. (√2,2e+22)D. (232,2e+44)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）13. 在x(1−x)5的展开式中，含x 3的项的系数为______．14. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=2，则S 9=______．15. 在平面四边形ABCD 中，AB =BC =2，AD =CD =√6，∠ABC =90∘，现将ΔACD 沿AC 折起，将点D 折到D′处，当四面体ABCD′的体积最大时，其外接球的表面积为_______．16. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的准线为l ，过点M(1,0)且斜率为√3的直线与直线l 相交于点A ，与C 的一个交点为B.若AM =MB ，则实数p =_____．17. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：{x =2cosαy =2+2sinα(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=2π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2：ρ=8sinθ的异于极点的交点为B ，则AB =______． 三、解答题（本大题共6小题，共65.0分）18. △ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c.若a 2−c 2=2b ，且sinB =4cosAsinC ，求b ．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =120°，△PAD 为等边三角形，E 为棱PC 的中点．(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角A−DE−B的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为(0,−1)，离心率e=√22．(1)求椭圆C的方程；(2)过M(0,m)(−1<m<0)的直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．21.某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名，其评估成绩Z近似的服从正态分布N(μ,σ2).现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：(1)求样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试．(i)用样本平均数x作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；(ii)若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4.李华准备依次从A、B、C三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会．李华在某公司选岗时，若以该岗位工资与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A、B、C公司的哪些岗位？并说明理由．附：√161≈12.7，若随机变量Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544．22.求函数f(x)=x−ln(1+x)的极小值．23.已知函数f(x)=|x|+a|x−2|．(Ⅰ)当a=2时，求f(x+1)⩾f(1)的解集；(Ⅱ)当x∈(−1,0)时，不等式f(x)<x恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={x|1<x≤4}，∴A∪B={x|0≤x<4}=[0,4]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题．利用复数的四则运算求出z，然后利用几何意义求解即可．【解答】解：由题意得：zi =52−i+2，z=5i(2+i)(2−i)(2+i)+2i，则z=i(2+i)+2i=−1+4i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,4)．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的性质与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7=42，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7=42，∴S10=10(a1+a10)2=5×42=210．故选：C．4.答案：D解析：【分析】本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．【解答】解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b >a >c ． 故选D ． 5.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了函数的性质.考查化归与转化的数学思想以及运算求解能力． 【解答】 解：因为f (x )=x 2−1x，是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，所以e 1−x>e 2x −1， 即1−x >2x −1， 解得x <23． 故选B ． 6.答案：B解析： 【分析】本题考查三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力．利用三角形的边表示向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用向量的数量积求解即可． 【解答】解：△ABC 中，AB =2，B =π4，C =π6，点P 是边BC 的中点，ACsinB =ABsinC ，可得AC =2√2，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×(2√2)2−12×22=2．故选：B ． 7.答案：D解析： 【分析】本题考查扇形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题． 求出扇形的半径，然后求解扇形的面积． 【解答】解：因为扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，所以扇形半径等于62=3， 则扇形的面积：12×6×3=9． 故选D ． 8.答案：B解析：解：由题意，n 为正整数，则sinnπ=0， 模拟程序的运行，由已知中的程序语句可知：。
2020年安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学高考数学最后一卷(文科) (2)
2020年安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学高考数学最后一卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4, 5}，集合M＝{1, 3, 5}，集合N＝{3, 4}，则图中阴影部分所示的集合是（）A.{1}B.{3, 4}C.{2, 3, 4}D.{4}2. 已知i为虚数单位，复数z=21+i+3i，则复数z的虚部是（）A.iB.1C.2iD.23. 如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升．其中错误的结论的个数为（）A.0B.1C.2D.34. 对于实数m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A.34000mm3B.33000mm3C.32000mm3D.30000mm36. 已知α为锐角，且cos(α+π4)=35，则cos2α＝（）A.2425B.725C.−2425D.±24257. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n为（）A.50B.53C.59D.628. 设函数f(x)=5x+2sin x3x−3−x,x∈[−π,0)∪(0,π]，则函数f(x)的图象大致为（）A. B.C. D.9. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2+x)+f(x)＝0，当x∈[−2, 0]时，f(x)＝−x2−2x，则当x∈[4, 6]时，y＝f(x)的最小值为（）A.−8B.−1C.0D.110. 已知F1，F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=14，则双曲线E的离心率为（）A.√153B.53C.2D.311. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：(l)取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC =1 2AB＝1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（参考数据：√5≈2.236）（）A.0.236B.0.382C.0.472D.0.61812. 一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为( )A.500√281B.500√227C.5√3D.15√2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上）不等式组{x+y−2≥0x−y+1≤0y−3≤0，则表示区域的面积为________．已知向量AB→=(12,√32)，BC→=(√32,12)，则∠ABC＝________．若直线y＝kx+b是曲线y＝e x−2的切线，也是曲线y＝e x−1的切线，则b＝________12ln2−12．如图，在平面四边形ABCD中，CD＝2，sin∠DAC=√2114，D=2π3,B=π3，则四边形ABCD的面积的最大值为________9√3．三、解答题（本大题满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，E为A1C1的中点，CE⊥AC1．(Ⅰ)证明：CE⊥平面AB1C1．(Ⅱ)若C1E=√3,AA1=√6，AB＝2BC，求三棱锥E−AB1C的体积．设{a n}是等比数列，其前n项的和为S n，且a2＝2，S2−3a1＝0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若S n+a n>48，求n的最小值．某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0, 10),[10, 20),[20, 30),[30, 40),[40, 50),[50, 60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：[50, 60]35(Ⅱ)从对B餐厅评分在[0, 20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率；(Ⅲ)如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．已知圆F：(x−2)2+y2＝4，动点Q(x, y)(x≥0)，线段QF与圆F相交于点P，线段PQ的长度与点Q到y轴的距离相等．(Ⅰ)求动点Q的轨迹W的方程；(Ⅱ)过点A(2, 4)作两条互相垂直的直线与W的交点分别是M和N（M在N的上方，A，M，N为不同的三点），求向量NM→在y轴正方向上的投影的取值范围．已知函数f(x)=12x2−2x+a ln x，a>1e．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)存在极值，求所有极值之和的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{x=2−√2ty=−1+√2t（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．（1）判断曲线C1与曲线C2的位置关系；（2）设点M(x, y)为曲线C2上任意一点，求2x+y的最大值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x−a|．（1）当a＝2，求不等式f(x)+|x|≤6的解集；（2）设f(x)+|x−1|+3x≤0对x∈[−2, −1]恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学高考数学最后一卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1.【答案】D【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】先求出∁U M＝{2, 4}，由此能求出图中阴影部分所示的集合．【解答】全集U＝{1, 2, 3, 4, 5}，集合M＝{1, 3, 5}，集合N＝{3, 4}，∁U M＝{2, 4}，图中阴影部分所示的集合是(∁U M)∩N＝{4}．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】z=21+i +3i=2(1−i)(1+i)(1−i)+3i=2(1−i)2+3i=1+2i，其虚部为2．3.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据折线统计图逐一分析即可．【解答】由图可见，一班的成绩折线图始终在年级的折线图上方，故①正确；二班的成绩折线图波动大，说明其成绩不够稳定，故②正确；三班的成绩折线图大部分在年级的折线图下方，但整体呈向上的趋势，故③正确；故无错误，4.【答案】B【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论．【解答】解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn>0；由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B.5.【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．【解答】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20−40×20×10＝32000(mm3)．6.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知可求范围π4<α+π4<π2，利用同角三角函数基本关系式可求sin(α+π4)，利用两角差的正弦函数公式可求sinα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】∵0<α<π2，cos(α+π4)=35，∴可得：π4<α+π4<π2，∴ sin (α+π4)=45，∴ sin α＝sin [(α+π4)−π4]＝sin (α+π4)cos π4−cos (α+π4)sin π4=45×√22−35×√22=√210，∴ cos 2α＝1−2sin 2α＝1−2×(√210)2=2425．7. 【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】根据程序框图求出n 的初值，代入循环结构中求得输出n 的值． 【解答】模拟程序运行知，m 1＝112，m 2＝120，m 3＝105； n ＝2×112+4×120+5×105＝1229， 代入循环结构，计算得， n ＝1229−168＝1061， n ＝1061−168＝893， n ＝893−168＝725， n ＝725−168＝557， n ＝557−168＝389， n ＝389−168＝221， n ＝221−168＝53， 所以输出n 的值为（53） 8.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】先根据函数奇偶性的概念可知f(x)为偶函数，排除选项B 和C ，对比选项A 和D ，只需计算f(π)的值，即可作出选择． 【解答】 ∵ f(−x)=−5x+2sin (−x)3−x −3x=−5x−2sin x −3x +3−x=5x+2sin x 3x −3−x=f(x)，∴ 函数f(x)为偶函数，排除选项B 和C ；又f(π)=5π+2sin π3π−3−π=5π3π−3−π，∵ 3π>1，∴ 3π−3−π>0，∴ f(π)>0，排除选项D ， 9.【答案】 B【考点】函数的最值及其几何意义函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，分析可得f(x +2)＝−f(x)，则有f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，结合函数的解析式与奇偶性分析可得f(x)在区间[4, 6]上的解析式，据此分析可得答案． 【解答】根据题意，函数y ＝f(x)满足f(2+x)+f(x)＝0，即f(x +2)＝−f(x)， 则有f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，又当x ∈[−2, 0]时，f(x)＝−x 2−2x ，且f(x)是定义在R 上的奇函数，则x ∈[0, 2]时，f(x)＝x 2−2x ，又由f(x)是周期为4的周期函数，则当x ∈[4, 6]时，f(x)＝f(x −4)＝(x −4)2−2(x −4)＝x 2−10x +24， 此时f(x)的最小值为f(5)＝−1； 10.【答案】 A【考点】双曲线的离心率 【解析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可． 【解答】∵ MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=14， ∴ 设MF 1＝m ，则MF 2＝4m ，由双曲线的定义得4m −m ＝2a ，即3m ＝2a ，得m =23a ，在直角三角形MF 2F 1中，16m 2−m 2＝4c 2，即15m 2＝4c 2， 即15(23a)2＝4c 2， 即5a 2＝3c 2， 则√5a =√3c ， 则e =ca =√5√3=√153， 11.【答案】 A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】由勾股定理可得：AC =√22+12=√5，CD ＝1，则AD =√5−1≈1.236，则AE ＝1.236，BE ＝2−AE ＝0.764，即0.764≤AF ≤1.236， 由几何概型中的线段型可知：1.236−0.7642=0.236，得解【解答】由勾股定理可得：AC =√22+12=√5，CD ＝1，则AD =√5−1≈1.236， 则AE ＝1.236，BE ＝2−AE ＝0.764， 所以0.764≤AF ≤1.236，由几何概型中的线段型可知：使得BE≤AF≤AE的概率约为1.236−0.7642=0.236，12.【答案】A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由题意画出图形，设底面正方形边长的一半为x，求出棱锥的高，代入棱锥体积公式，利用导数求最值得答案．【解答】解：设四棱锥顶点为A，过点A做底面垂线交底面于点O，连接AO.设底面正方形边长的一半为x，则有AO=√(5−x)2−(x2+x2)=√−x2−10x+25，V=43⋅x2⋅√−x2−10x+25=43√−x6−10x5+25x4．设y=−x6−10x5+25x4，则y′=−6x5−50x4+100x3=2x3(−3x2−25x+50)=2x3(x+10)(−3x+5)，由y′=0，可得x=−10（舍）或x=53．∴V max=500√281．故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上）【答案】94【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【解析】画出满足条件的平面区域，求出三角形顶点的坐标，从而求出三角形的面积．【解答】画出满足条件的平面区域，如图示：分别求出A(−1, 3)，B(2, 3)，C(12, 32)，∴S△ABC=12×32×3=94，【答案】5π【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据平面向量的数量积和夹角公式，计算即可．【解答】向量AB→=(12,√32)，BC→=(√32,12)，则BA→=−AB→=(−12, −√32)，BA→⋅BC→=(−12)×√32+(−√32)×12=−√32，|BA→|=12)√32)=1，|BC→|=(√32)+(12)=1，cos<BA→，BC→>=−√321×1=−√32，且BA→、BC→的夹角范围是[0, π]，所以∠ABC=5π6．【答案】12ln2−12【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设直线y＝kx+b与曲线y＝e x−2，曲线y＝e x−1的切点，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．【解答】设直线y ＝kx +b 与y ＝e x−2和y ＝e x −1的切点分别为(x 1,e x 1−2)和(x 2,e x 2−1)， 则切线分别为y −e x 1−2=e x 1−2(x −x 1)，y −e x 2+1=e x 2(x −x 2)， 化简得：y =e x 1−2x +e x 1−2−x 1e x 1−2，y =e x 2x +e x 2−1−x 2e x 2， 依题意有：{e x 1−2=e x 2e x 1−2−x 1e x 1−2=e x 2−1−x 2e x 2 ，∴ x 1−2＝x 2，x 2＝−ln 2， 则b =ex 2−1−x 2ex 2=12ln 2−12．【答案】9√3．【考点】三角形的面积公式 解三角形【解析】先在△ACD 中利用正弦定理求出AC 的长，然后再求出sin ∠ACD ，则三角形ACD 的面积可求；然后再在△ACB 中，利用余弦定理，结合基本不等式，求出AB ⋅BC 的最大值，则△ABC 面积的最大值可求，问题获解． 【解答】如图：在△ACD 中，因为CD ＝2，sin ∠DAC =√2114，D =2π3,B =π3，由正弦定理得CD sin ∠DAC =AC sin ∠D ，即√2114=AC sin2π3，解得AC =2√7．容易求得sin ∠D =√32,cos ∠D =−12，cos ∠DAC =5√714． ∴ sin ∠ACD ＝sin (π−∠D −∠DAC)＝sin (∠D +∠DAC)＝sin ∠D cos ∠DAC +cos ∠D cos ∠DAC =√32×5√714+(−12)×√2114=√217． ∴ S △ACD =12×CD ×AC ×sin ∠ACD =12×2×2√7×√217=2√3．在△ABC 中，由余弦定理得：AC 2＝AB 2+CB 2−2AB ⋅CB cos ∠B ，即28=AB 2+CB 2−2AB ⋅CB ×12≥2AB ⋅CB −AB ⋅CB ＝AB ⋅CB ，当且仅当AB ＝CB 时取等号， 故(AB ⋅CB)max ＝28，∴ (S △ABC )max =12×28×sin ∠B =7√3．故四边形ABCD 面积的最大值为2√3+7√3=9√3．三、解答题（本大题满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】（I ）证明：∵ CC 1⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴ CC 1⊥B 1C 1．又B 1C 1⊥A 1C 1，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ． ∴ B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，又CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ B 1C 1⊥CE ，又CE ⊥AC 1．AC 1⊂平面AB 1C 1，B 1C 1⊂平面AB 1C 1，B 1C 1∩AC 1＝C 1． ∴ CE ⊥平面AB 1C 1．（2）∵ C 1E =√3，E 为A 1C 1的中点，∴ A 1C 1=2√3， 又AA 1=√6．∴ S △ACE =12×2√3×√6=3√2．∵ AA 1=√6，AB ＝2BC ，∠ACB ＝90∘，AC =2√3．∴ AB ＝4，B 1C 1＝BC ＝2． ∴ 三棱锥E −AB 1C 的体积为：V E−AB 1C =V B 1−AEC =13×2×2√3×√6=2√2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 直线与平面垂直【解析】（I ）推导出CC 1⊥B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，从而B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，进而B 1C 1⊥CE ，再由CE ⊥AC 1．能证明CE ⊥平面AB 1C 1．(Ⅱ)三棱锥E −AB 1C 的体积为V E−AB 1C =V B 1−AEC ，由此能求出结果． 【解答】（I ）证明：∵ CC 1⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴ CC 1⊥B 1C 1．又B 1C 1⊥A 1C 1，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ． ∴ B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，又CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴ B 1C 1⊥CE ，又CE ⊥AC 1．AC 1⊂平面AB 1C 1，B 1C 1⊂平面AB 1C 1，B 1C 1∩AC 1＝C 1． ∴ CE ⊥平面AB 1C 1．（2）∵ C 1E =√3，E 为A 1C 1的中点，∴ A 1C 1=2√3， 又AA 1=√6．∴ S △ACE =12×2√3×√6=3√2．∵ AA 1=√6，AB ＝2BC ，∠ACB ＝90∘，AC =2√3．∴ AB ＝4，B 1C 1＝BC ＝2． ∴ 三棱锥E −AB 1C 的体积为：V E−AB 1C =V B 1−AEC =13×2×2√3×√6=2√2．【答案】（1）根据题意，设{a n}的公比为q，因为S2−3a1＝0，即(a1+a2)−3a1＝0，变形可得a2−2a1＝0，则有q=a2a1=2，又a2＝2，则a1＝1，则有a n＝a1q n−1＝2n−1（2）根据题意，由（1）的结论：a1＝1，q＝2；则S n=a1(1−q n)1−q=2n−1；则有S n+a n＝2n−1+2n−1＝3×2n−1−1，若S n+a n>48，则有3×2n−1−1>48，变形可得2n−1>493，又由n∈N+，解可得：n≥6，所以n的最小值为6．【考点】等比数列的前n项和【解析】(Ⅰ)根据题意，设{a n}的公比为q，由S2−3a1＝0变形可得a2−2a1＝0，则有q=a2a1=2，进而求出a1的值，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，求出S n，由此可得S n+a n＝2n−1+2n−1＝3×2n−1−1，进而可得3×2n−1−1>48，解可得n的取值范围，即可得答案．【解答】（1）根据题意，设{a n}的公比为q，因为S2−3a1＝0，即(a1+a2)−3a1＝0，变形可得a2−2a1＝0，则有q=a2a1=2，又a2＝2，则a1＝1，则有a n＝a1q n−1＝2n−1（2）根据题意，由（1）的结论：a1＝1，q＝2；则S n=a1(1−q n)1−q=2n−1；则有S n+a n＝2n−1+2n−1＝3×2n−1−1，若S n+a n>48，则有3×2n−1−1>48，变形可得2n−1>493，又由n∈N+，解可得：n≥6，所以n的最小值为6．【答案】（1）由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为(0.003+0.005+0.012)×10＝0.2，所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20；（2）对B餐厅评分在[0, 10)范围内的有2人，设为M1、M2；对B餐厅评分在[10, 20)范围内的有3人，设为N1、N2、N3；从这5人中随机选出2人的选法为：(M1, M2)，(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)，(N1, N2)，(N1, N3)，(N2, N3)共10种．其中，恰有1人评分在[0, 10)范围内的选法为：(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)共6种；故2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率为P=610=35；(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由(Ⅰ)得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%；B餐厅评分低于30的人数为2+3+5＝10，所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%；所以会选择B餐厅用餐．【考点】频率分布直方图古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)由A餐厅分数的频率分布直方图求得频率与频数；(Ⅱ)用列举法求基本事件数，计算对应的概率值；(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例分析，即可得出结论．【解答】（1）由A餐厅分数的频率分布直方图，得：对A餐厅评分低于30分的频率为(0.003+0.005+0.012)×10＝0.2，所以，对A餐厅评分低于30的人数为100×0.2＝20；（2）对B餐厅评分在[0, 10)范围内的有2人，设为M1、M2；对B餐厅评分在[10, 20)范围内的有3人，设为N1、N2、N3；从这5人中随机选出2人的选法为：(M1, M2)，(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)，(N1, N2)，(N1, N3)，(N2, N3)共10种．其中，恰有1人评分在[0, 10)范围内的选法为：(M1, N1)，(M1, N2)，(M1, N3)，(M2, N1)，(M2, N2)，(M2, N3)共6种；故2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率为P=610=35；(Ⅲ)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由(Ⅰ)得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20，所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%；B餐厅评分低于30的人数为2+3+5＝10，所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%；所以会选择B餐厅用餐．【答案】（1）圆F ：(x −2)2+y 2＝4的圆心F(2, 0)，半径r ＝2， 由题意可得Q 到F 的距离|QF|等于Q 到y 轴的距离加2， 所以|QF|等于Q 到直线x ＝−2的距离，由抛物线的定义可得点Q 的轨迹W 是以F 为焦点，以x ＝−2为准线的抛物线， 所以动点Q 的轨迹W 的方程为y 2＝8x ；（2）设直线AM 的方程为x ＝m(y −4)+2(m >0)，与y 2＝8x 联立， 可得y 2−8my +32m −16＝0，则△＝64m 2−4×(32m −16)>0， 由m >0，可得0<m <1或m >1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则4+y 1＝8m ，即y 1＝8m −4， 以−1m代m ，可得y 2=−8m−4，则向量NM →在y 轴正方向上的投影为y 1−y 2＝8(m +1m )，设函数f(m)＝8(m +1m )，则f(m)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)递增， 从而f(m)>f(1)＝16，故向量NM →在y 轴正方向上的投影的取值范围是(16, +∞)． 【考点】直线与抛物线的位置关系 轨迹方程【解析】(Ⅰ)求得圆F 的圆心F 和半径r ，结合圆的半径的定义和抛物线的定义，可得所求轨迹方程；(Ⅱ)设直线AM 的方程为x ＝m(y −4)+2(m >0)，与y 2＝8x 联立，运用判别式大于0，以及韦达定理，向量的投影，结合构造函数，判断单调性，可得所求范围． 【解答】（1）圆F ：(x −2)2+y 2＝4的圆心F(2, 0)，半径r ＝2， 由题意可得Q 到F 的距离|QF|等于Q 到y 轴的距离加2， 所以|QF|等于Q 到直线x ＝−2的距离，由抛物线的定义可得点Q 的轨迹W 是以F 为焦点，以x ＝−2为准线的抛物线， 所以动点Q 的轨迹W 的方程为y 2＝8x ；（2）设直线AM 的方程为x ＝m(y −4)+2(m >0)，与y 2＝8x 联立， 可得y 2−8my +32m −16＝0，则△＝64m 2−4×(32m −16)>0， 由m >0，可得0<m <1或m >1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则4+y 1＝8m ，即y 1＝8m −4， 以−1m代m ，可得y 2=−8m−4，则向量NM →在y 轴正方向上的投影为y 1−y 2＝8(m +1m )，设函数f(m)＝8(m +1m )，则f(m)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)递增， 从而f(m)>f(1)＝16，故向量NM →在y 轴正方向上的投影的取值范围是(16, +∞)．【答案】（I ）函数f(x)=12x 2−2x +a ln x ，a >1e．f′(x)＝x −2+ax=x 2−2x+ax 2．对a 分类讨论：△＝4−4a ．a ≥1时，△≤0，f′(x)≥0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增．1e<a <1，△>0，令f′(x)＝0，解得：x 1＝1−√1−a ，x 2＝1+√1−a ，∴ 函数f(x)在(0, x 1)，(x 2, +∞)上单调递增；在(x 1, x 2)上单调递减．(II)由(I)可知：1e <a <1，函数f(x)存在极值点，x 1＝1−√1−a ，x 2＝1+√1−a ，x 1+x 2＝2，x 1x 2＝a ．则f(x 1)+f(x 2)=12x 12−2x 1+a ln x 1+12x 22−2x 2+a ln x 2=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−2(x 1+x 2)+a ln (x 1x 2) =12(22−2a)−4+a ln a ＝−2−a +a ln a ．令g(a)=−2−a +a ln a ．a ∈(1e , 1)．∴ g′(a)＝−1+ln a +1＝ln a <0， ∴ 函数g(a)在a ∈(1e , 1)单调递减， g(1e )＝−2−2e ，g(1)＝−3． ∴ g(a)∈(−3, −2−2e )．即所有极值之和的取值范围是(−3, −2−2e )． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】（I ）函数f(x)=12x 2−2x +a ln x ，a >1e ．f′(x)＝x −2+ax =x 2−2x+ax 2．对a 分类讨论：△＝4−4a ．即可得出单调性．(II)由(I)可知：1e <a <1，函数f(x)存在极值点，x 1+x 2＝2，x 1x 2＝a ．代入f(x 1)+f(x 2)=12x 12−2x 1+a ln x 1+12x 22−2x 2+a ln x 2＝−2−a +a ln a ．令g(a)=−2−a +a ln a ．a ∈(1e , 1)．利用导数研究其单调性极值即可得出范围． 【解答】（I ）函数f(x)=12x 2−2x +a ln x ，a >1e ．f′(x)＝x −2+ax =x 2−2x+ax 2．对a 分类讨论：△＝4−4a ．a ≥1时，△≤0，f′(x)≥0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增．1e<a <1，△>0，令f′(x)＝0，解得：x 1＝1−√1−a ，x 2＝1+√1−a ，∴ 函数f(x)在(0, x 1)，(x 2, +∞)上单调递增；在(x 1, x 2)上单调递减．(II)由(I)可知：1e <a <1，函数f(x)存在极值点，x 1＝1−√1−a ，x 2＝1+√1−a ，x 1+x 2＝2，x 1x 2＝a ． 则f(x 1)+f(x 2)=12x 12−2x 1+a ln x 1+12x 22−2x 2+a ln x 2=12[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−2(x 1+x 2)+a ln (x 1x 2) =1(22−2a)−4+a ln a ＝−2−a +a ln a ．令g(a)=−2−a +a ln a ．a ∈(1e , 1)．∴ g′(a)＝−1+ln a +1＝ln a <0， ∴ 函数g(a)在a ∈(1e , 1)单调递减，g(1e)＝−2−2e，g(1)＝−3．∴ g(a)∈(−3, −2−2e )．即所有极值之和的取值范围是(−3, −2−2e )．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】将C 1消去参数t ，即√2×√2−1＝y ，化简得到C 1的方程为x +y −1＝0．由ρ＝2cos (θ+π4)，得ρ=√2cos θ−√2sin θ，∴ ρ2=√2ρcos θ−√2ρsin θ，即x 2−√2x +y 2+√2y ＝0，化为标准方程为(x −√22)2+(y +√22)2＝1． 圆心到直线的距离d ：∵ d =|√22−√22−1|√2=√22<1．故曲线C 1与曲线C 2相交．由题意：M(x, y)为曲线C 2上任意一点，可设{x =√22+cos θy =−√22+sin θ则：2x+y =√22+2cos θ+sin θ=√22+√5sin (θ+φ)，∵ sin (θ+φ)的最大值为1．∴ 2x +y 的最大值是√22+√5．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）将参数方程曲线C 1与曲线C 2化为普通方程，利用两点间的距离公式即可判断． （2）利用参数方程转化成三角函数的有界限求其最大值． 【解答】将C 1消去参数t ，即√2√2−1＝y ，化简得到C 1的方程为x +y −1＝0．由ρ＝2cos (θ+π4)，得ρ=√2cos θ−√2sin θ，∴ ρ2=√2ρcos θ−√2ρsin θ，即x 2−√2x +y 2+√2y ＝0，化为标准方程为(x −√22)2+(y +√22)2＝1． 圆心到直线的距离d ：∵ d =|√22−√22−1|√2=√22<1．故曲线C 1与曲线C 2相交．由题意：M(x, y)为曲线C 2上任意一点，可设{x =√22+cos θy =−√22+sin θ则：2x +y =√22+2cos θ+sin θ=√22+√5sin (θ+φ)，∵ sin (θ+φ)的最大值为1． ∴ 2x +y 的最大值是√22+√5．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当a ＝2时，f(x)+|x|≤6，即|2x −2|+|x|≤6，当x ≤0时，原不等式化为2−2x −x ≤6，得x ≥−43，即−43≤x ≤0； 当0<x ≤1时，原不等式化为2−2x +x ≤6，即x ≥−4，即0<x ≤1； 当x >1时，原不等式化为2x −2+x ≤6，得x ≤83，即1<x ≤83．综上，原不等式的解集为[−43,83]．因为x ∈[−2, −1]，所以f(x)+|x −1|+3x ≤0，可化为|2x −a|≤−2x −1， 所以2x +1≤2x −a ≤−2x −1，即4x +1≤a ≤−1对x ∈[−2, −1]恒成立， 则−3≤a ≤−1，所以a 的取值范围是[−3, −1]．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）将a ＝2代入，利用零点分段讨论即可得解；（2）原题转化为4x +1≤a ≤−1对x ∈[−2, −1]恒成立，进而得解． 【解答】第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 当a ＝2时，f(x)+|x|≤6，即|2x −2|+|x|≤6，当x ≤0时，原不等式化为2−2x −x ≤6，得x ≥−43，即−43≤x ≤0；当0<x ≤1时，原不等式化为2−2x +x ≤6，即x ≥−4，即0<x ≤1； 当x >1时，原不等式化为2x −2+x ≤6，得x ≤83，即1<x ≤83．综上，原不等式的解集为[−43,83]．因为x ∈[−2, −1]，所以f(x)+|x −1|+3x ≤0，可化为|2x −a|≤−2x −1， 所以2x +1≤2x −a ≤−2x −1，即4x +1≤a ≤−1对x ∈[−2, −1]恒成立， 则−3≤a ≤−1，所以a 的取值范围是[−3, −1]．。
安徽省合肥市第六中学2020年高二数学文联考试卷含解析
安徽省合肥市第六中学2020年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A 不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．2. 研究表明某地的山高y(km)与该山的年平均气温x(℃)具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是( )A. 年平均气温为0℃时该山高估计为60kmB. 该山高为72km处的年平均气温估计为60℃C. 该地的山高y与该山的年平均气温x的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关D. 该地的山高y与该山的年平均气温x成负相关关系参考答案：B【分析】由已知线性回归直线方程，可估计平均气温为时该地的山高，即可得到答案。
【详解】线性回归直线方程为，当时即年平均气温为时该山高估计为，故正确；当时解得即山高为处的年平均气温估计为，故错误；该地的山高y与该山的年平均气温x的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关，故正确；由，该地的山高y与该山的年平均气温x成负相关关系，故正确．故选：B【点睛】本题考查线性回归直线方程的应用，考查相关的意义，判断能力，属于基础题．3. 函数的最小正周期（）A. B. C. D.参考答案：C4. 曲线上的点到直线的最短距离是( )A． B．C．D． 0参考答案：B略5. 设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2005（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx参考答案：C【考点】归纳推理．【分析】通过计算前几项，进行归纳分析，当计算到f4（x）时发现f4（x）=f0（x）出现了循环，所以可看成以4为一个循环周期，那么f2005（x）=f1（x）=cosx．【解答】解：f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，循环了则f2005（x）=f1（x）=cosx，故选C．6. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为，则判断框中应填入的条件为（）A． B． C． D．参考答案：A7. 已知，则下列函数的图象错误的是（）参考答案：D略8. 在中，角A、B、C的对应边分别为、、，若满足，的恰有两解，则的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：C略9. 在中，，，则一定是( )A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形参考答案：D略10. 已知f（x）=x2+2x?f′（1），则f′（0）等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣4参考答案：D【考点】导数的运算．【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数有零点，则a的取值范围是________参考答案：12. 设函数f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则= .参考答案：13. 若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（-1，0）∪（0，1）（-∞，-1）∪（1,+∞）（-1，0）∪（1,+∞）（-∞，-1）∪（0,1）参考答案：C14. 若函数（）有两个极小值点，则实数的取值范围是 .参考答案：15. 在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，则a4的值为．参考答案：8【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：a4=1×23=8．故答案为：8．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 过椭圆左焦点F1作弦AB，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是．参考答案：16【考点】椭圆的简单性质．【分析】依椭圆的定义得：△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a【解答】解：△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2又∵AF1+AF2+=2a，BF1+BF2=2a，∴AF1+BF1+AF2+BF2=4a=16故答案为：1617. 定义在R上的连续函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）在R上的导函数f′（x）＜1，则不等式f（x）＜x+1的解集为．参考答案：{x|x＞1}【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】令F（x）=f（x）﹣x，求出函数的导数，不等式转化为F（x）＜F（1），求出不等式的解集即可．【解答】解：令F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣1＜0，故F（x）在R递减，而F（1）=f（1）﹣1=1，故f（x）＜x+1即F（x）＜1=F（1），解得：x＞1，故不等式的解集是{x|x＞1}，故答案为：{x|x＞1}．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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安徽省合肥六中2020届高考数学最后一卷2 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知A ={x|x(1−x)>0}，B ={x|log 2x <0}，则A ∪B 等于( )A. (0,1)B. (0,2)C. (−∞,0)D. (−∞,0)∪(0,+∞) 2. 已知复数z =1−2i ，那么1z 的共轭复数为( )A. 15+25iB. −15−25iC. −15+25iD. 15−25i 3. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a 4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2017=S 2017=2017，则首项a 1=( )．A. −2014B. − 2015C. − 2016D. −2017 5. 如图，在四棱锥P −ABCD 中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 为CD 中点，F 为PA 中点，且PA =AB =2.则三棱锥P −BEF 的体积为( )A. 13B. 23C. 43D. 26. 函数y =2sin(12x −π6)的周期是( )A. πB. 2πC. 4πD. 3π7. 函数y =(e x +e −x )sinx 的部分图象大致为( )A. B. C. D.8. 若点P 在抛物线y =x 2上，点Q(0,3)，则|PQ|的最小值是( )A. √132 B. √112 C. 3 D. √59. 若平面α与β的公共点多于两个，则( )A. α，β可能只有三个公共点B. α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C. α，β一定有无数个公共点D. 以上均不正确10.若从2个滨海城市和2个内陆城市中随机选取1个去旅游，那么恰好选1个滨海城市的概率是()A. 13B. 23C. 14D. 1211.已知函数f(x)=e2x−ax2+bx−1，其中a，b∈R，e为自然对数底数，若f(1)=0，f′(x)是f(x)的导函数，函数f′(x)在(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是()A. (e2−3,e2+1)B. (e2,+∞)C. (−∞,2e2+2)D. (2e2−6,2e2+2)12.数列{a n}中，已知a61=2000，且a n+1=a n+n，则a1等于()A. 168B. 169C. 170D. 171二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为______．14.二项式(x2−2x)6的展开式中的常数项是_______．15.如图，从高为200√3米的气球(A)上测量铁桥(BC)的长，如果测得桥头B的俯角是60°，桥头C的俯角是30°，则桥BC长为______ 米．16.已知双曲线C的离心率为2，左右焦点分别为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，A=π4，cosB=√1010．(1)求cos C；(2)设BC=√5，求△ABC的面积．18.现有A，B两个盒子，A盒中装有4个白球，2个黑球，B盒中装3个白球，3个黑球．(1)从A盒中有放回地抽取3个球，球恰有1个黑球的概率；(2)从A，B两个盒子中各随机抽取2个球，记“黑球的个数为X”，求X的分布列和数学期望E(X)．19.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：DC⊥平面PDE；(2)若PD=√3AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21.设函数f(x)=(x−2)e x+12ax2−ax．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a=1，当x≥0时，f(x)≥kx−2，求k的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=t2 2y=2t(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=1+√2cosαy=1+√2sinα(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和C2的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程为θ=π3，直线l与曲线C1和C2分别交于不同于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.已知f(x)=|x+3|+|x+a|(a∈R)．(1)当a=1时，解不等式f(x)>4；(2)若f(x)的最小值为6，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A ={x|x(1−x)>0}={x|0<x <1}，B ={x|log 2x <0}={x|0<x <1}，∴A ∪B ={x|0<x <1}=(0,1)．故选：A ．先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.答案：D解析：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，属于基础题．直接把复数z =1−2i 代入1z ，然后由复数代数形式的除法运算化简求值，则1z 的共轭复数可求． 解：由复数z =1−2i ，得1z =11−2i =1+2i (1−2i)(1+2i)=1+2i 5=15+25i ， 则1z 的共轭复数为15−25i ．故选D ．3.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ．故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式即可求出．解：由等差数列前n 项和公式可得：S 2017=2017(a 1+a 2017)2=2017，所以a1=−2015．故选B．5.答案：B解析：求出S△PBF=12×PF×AB=1，E到平面PBF的距离AD=2，三棱锥P−BEF的体积V P−BEF=V E−PBF，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵在四棱锥P−ABCD中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD中点，F为PA中点，且PA=AB=2．∴S△PBF=12×PF×AB=12×1×2=1，E到平面PBF的距离AD=2，∴三棱锥P−BEF的体积：V P−BEF=V E−PBF=13×S△PBF×AD=13×1×2=23．故选：B．6.答案：C解析：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．根据已知直接利用三角函数的周期公式即可求值．解：∵y=2sin(12x−π6)，∴由三角函数的周期性及其求法可得：T=2π12=4π，故选C．7.答案：C解析：解：函数f(−x)=−(e x+e−x)sinx=−f(x)，图象是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x>0且x→0，f(x)>0，排除A，故选：C．先函数的奇偶性和对称性，然后利用极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及极限思想是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：设P(x,y)，∵Q(0,3)，∴|PQ|=√x2+(y−3)2=√y2−5y+9=√(y−52)2+114≥√112，∴|PQ|的最小值是√112．故选：B．由已知条件，设P(x,y)，利用两点间距离公式，求出|PQ|，由此利用配方法能求出|PQ|的最小值．本题考查两点间距离公式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础．9.答案：C解析：【分析】本题考查面面之间的位置关系，属于基础题．【解答】解：若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C项正确．10.答案：D解析：本题考查概率的求法，注意等可能事件概率计算公式的合理运用，是基础题．先求出基本事件总数n=4，再求出恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2，由此能求出恰好选1个海滨城市的概率．【解答】解：从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选1个去旅游，基本事件总数n=4恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2，恰好选1个海滨城市的概率是12.故选D.11.答案：A解析：。