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高一数学试题-湘教版高中数学(必修1)单元测试-第一章集合与函数最新

数学：第一章《集合与函数》单元测试（湘教版必修1）一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分）在每小题给出的四个结论中，只有一项是符合题目要求的，把正确结论的代号填入本大题后的答题表内. 1．已知全集U R =，集合{|212}M x x =-≤-≤和{|21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个2．函数0)y x =≤的反函数是（）A ．2(0)y x x =≥B ．2(0)y x x =-≥C ．2(0)y x x =≤D ．2(0)y x x =-≤ 3．|x | < 2是|x | < 1的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()(),21,-∞-+∞5．函数)(x f 在区间（－2，3）上是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（）A ．（3，8）B ．（－7，－2）C ．（－2，3）D ．（0，5）6．函数)(x f y =的定义域为[1，4]，则函数)(x f y =的定义域是（）A ．[1，2]B ．[－2，2]C ．]1,2][]2,1[--D ．[1，16]7．已知复合命题“p 且q ”为假命题，则可以肯定的是（）A ．p 为假命题B ．q 为假命题C ．p 、q 中至少有一个为假命D ．p 、q 均为假命题 8．已知y n xm x y x y x a a a log ,11log ,)1(log ,0,0,122则且=-=+>>=+等于（）A ．)(21n m + B ．)(21n m - C ．m + nD ．m －n9．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于（）A ．8B ．2C ．－4D ．－810．已知B A Z x x N x B x N x A 则,},1|{},5|{∈>∈=≤∈=等于（）A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4}C ．{2,3,4,5,}D ．}51|{≤<∈x R x二、填空题（本大题共5个小题；每小题4分，共20分）把答案填在题中横线上.11．命题“若m > 0，则关于x 的方程x 2+ x －m = 0有实数根”的否命题是 . 12．函数29124)(x x x f -+-=的定义域为 .13．若函数=-⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)))9200(((,)0(0)0()0(1)(2f f f x x x x x f 则π . 14．已知函数)1(,12)(2++=x f x x f 则函数的值域为 .15．对于任意定义在R 上的函数)(x f ，若实数x 0满足00)(x x f =，则称x 0是函数f (x )的一个不动点.若二次函数1)(2+-=ax x x f 没有不动点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共50分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（本小题满分8分）试用定义判断函数),1(12)(+∞-=在区间x xx f 上的单调性． 17．（本小题满分10分）比较2122255++xx 与的大小.18．（本小题满分10分）已知边长为1的正方形ABCD （如图），P 是对角线BD 上的点，连结AP 延长AP 交BC 或其延长线于Q ，设DP = x ，y 为△ADP 和△BPQ 的面积之和.写出y 关于x 的函数关系式.19．（本大题满分10分）已知二次函数x x f f bx ax x f ==+=)(,0)2()(2且方程满足有等根.（1）求f (x )的解析式；（2）求f (x )的值域；（3）是否存在实数m 、n(m<n)，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n].若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.20．（本大题满分12分）已知集合{})2(,,,,321≥=k a a a a A k 其中),,2,1(k i Z a i =∈，由A 中的元素构成两个相应的集合(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,，(){}A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,，其中()b a ,是有序实数对，集合T S 和的元素个数分别为n m ,.若对于任意的A a A a ∉-∈，总有，则称集合A 具有性质P .（Ⅰ）检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出相应的集合T S 和；（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：()21-≤k k n ；（Ⅲ）判断n m 和的大小关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题1．B 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．C 10．C 1．B ；由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个．2．B ；【解1】因为0x ≤，所以0y ，由y =2x y =-，所以0)y x =≤的反函数为2(0)y x x =-≥．故选B ．【解2】（排除法）因为0x ≤，所以排除A,C ；又因为0y =≥，所以排除D ．故选B ．4．C ；【解法1】函数()24f x x x =+在0x ≥时是增函数,函数()24f x x x =-在0x <时是增函数,并且当0x =时, 2244x x x x +=-,所以, ()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩在R 上是增函数．于是由()()22f a f a ->得22,a a ->即220a a +-<，解得21a -<<．故选Ｃ．【解法2】画出函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩的图象,可以看出,已知函数是R 上的增函数．于是由()()22f a f a ->得22,a a ->即220a a +-<，解得21a -<<．故选Ｃ．【解法3】用特殊值排除．当0a =时,()()()()222448,00f a f f a f -==+===, 不等式()()22f a f a ->成立,从而排除A,D ；当1a =-时, ()()()()221145,1415f a f f a f -==+==-=--=-, 不等式()()22f a f a ->成立,从而排除B ．故选C ．二、填空题11．若m ≤0，则关于x 的方程x 2+ x －m = 0没有实数根；12．}32{； 13．12+π； 14．[)+∞,3； 15．13<<-a三、解答题16．解：设211x x <<…………2分则)1)(1()(2)()(211221---=-x x x x x f x f…………4分01010,1211221>->->-∴<<x x x x x x…………5分0)1)(1()(22112>---∴x x x x…………6分)()(,0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 …………7分故函数f (x )在区间（1，+∞）上递减. …………8分17．解：∵5＞1时或即当11,1,212222-<>>+>+∴x x x x x ， …………2分 2122255++>xx…………4分当11,1,212222-===+=+x x x x x 或即时…………5分 2122255++=xx…………6分当11,1,212222<<-<+<+x x x x 即时，…………7分 2122255++<x x…………9分212212222255,11;55,11++++=-==>-<>∴xxx xx x x x 时或当时或当；当.55,1121222++<<<-x x x 时…………10分 18．解：（1）x BP x DP -=∴=2,…………2分又△APD ∽△BPQ (]2,0,2∈-=∴x xxQB …………5分BP BQ PD AD y 22212221⋅+⋅=…………8分则：(]2,0,1)1(22∈-+=x xx y …………10分19．解：（1）0)2(,)(2=+=f bx ax x f.21,1,00)1(0)1(,)(02,02422-===--=∆∴=-+==+=+∴a b b x b ax x x f b a b a 即有等根即又即x x x f +-=∴221)( …………3分（2）2121)1(2121)(22≤+--=+-=x x x x f∴函数⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,)(的值域为x f…………6分（3）设有实数m 、n(m<n)使f (x )定义域为[m ，n]，值域为[4m ，4n] 当81214,21)(,1max ≤≤==n n x f x 即时 …………7分⎩⎨⎧==∴n n f mm f n m x f 4)(4)(,],[)(则上是增函数在 …………8分⎩⎨⎧=-==-=∴0606n n m m 或或，由于0,6,=-=∴<n m n m 取…………10分20．（Ⅰ）解：集合{}3,2,1,0不具有性质P ，{}3,2,1-具有性质P ，其相应的集合T S 和是()(){}()(){}3,2,1,2,1.3,3,1-=--=T S ； …………3分（Ⅱ）证明：首先由A 中的元素构成的有序实数对共有2k 个，因为()T a a A i i ∈∈,,0),,2,1(k i =,又因为当A a A a ∉-∈时，，所以当()()T a a T a a i j j i ∉∈,,时，),,2,1(k i =．于是集合T 中的元素的个数最多为()()121212-=-=k k k k n ，即()21-≤k k n ．…………6分（Ⅲ）解：n m =，证明如下：①对于()S b a ∈,，根据定义()T b b a A b a A b A a ∈+∈+∈∈,,，从而，则如果()()d c b a ,,与是S 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是d c b a +=+与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 中的不同元素.可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即n m ≤； …………9分②对于()T b a ∈,，根据定义()S b b a A b a A b A a ∈-∈-∈∈,,，从而，则如果()()d c b a ,,与是T 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是d c b a -=-与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 中的不同元素.可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即m n ≤． …………11分由①、②可知n m =． …………12分。

2023版湘教版(2019) 必修第一册名师精选卷学业水平合格性测试(1)

一、单选题二、多选题1.是定义在上的函数，且，当时，，则有（）A．B．C．D．2. 函数在区间上的零点个数为A ．5B ．4C ．3D ．23. 如图，圆锥的轴为PO ，其底面直径和高均为2，过PO的中点作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为（）A．B．C．D．4. 设双曲线C ：（，）的左焦点为F ，直线过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P，，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的方程为（）A．B．C．D．5. 已知复数，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第一象限或第三象限”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知函数的部分图象如图所示，则的值为（）A ．0B ．1C．D ．27.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（）A．B．C．D．8. 若角的终边经过点，则（）A．B．C．D．9. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（）2023版湘教版(2019) 必修第一册名师精选卷学业水平合格性测试(1)2023版湘教版(2019) 必修第一册名师精选卷学业水平合格性测试(1)三、填空题四、解答题A ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增B ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增C ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元10. 已知正数，满足，则（）A．B．C．D．11. 已知函数，则（）A ．曲线在点处的切线方程为B．有两个极值点C．，都能使方程有三个实数根D．曲线是中心对称图形12.已知抛物线的焦点为F，是抛物线C 上一个动点，点，则下列说法正确的是（）．A ．若，则B ．过点A 且与C 有唯一公共点的直线仅有1条C．的最小值为2D ．点M到直线的最短距离为13. 在的展开式中，常数项为__________.14. 已知向量，且，则实数的值为_________15. 已知t 为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则_____________16. 设函数的反函数为，函数在上是增函数．(1)求实数的最小值；(2)若是的根且，当时，函数的图像与直线在上的交点的横坐标为，（），证明：．17. 茂名市是著名的水果之乡，“三高农业”蓬勃发展，荔枝､三华李､香蕉､龙眼等“岭南佳果”驰名中外，某商铺推出一款以新鲜水果为原料的加工产品，成本为每份10元，然后以每份20元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的作垃圾处理.（1）若商铺一天准备170份这种产品，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量份，的函数解析式.（2）商铺记录了100天这种产品的日需求量(单位：份)，整理得下图：若商铺计划一天准备170份或180份这种产品，用表示准备170份的利润，表示准备180份的利润，你认为应准备哪个数量更合理？请说明理由.(以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率)18. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.19. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．（1）求证：AF⊥DB；（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．20. 已知数列满足， __________，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.①，②③(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项积为，求的最大值．21. 已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点（与点不重合），使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．。

湘教版高中数学必修一第1章集合与函数单元检测 .doc

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作数学湘教必修1第1章集合与函数单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)1．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，a ＝5，则有( )．A ．a ∈AB ．－a ∉AC ．{a }∈AD ．{a }⊇A2．设全集U ＝{a ，b ，c ，d }，A ＝{a ，c }，B ＝{b }，则A ∩(ðU B )＝( )．A ．∅B ．{a }C ．{c }D ．{a ，c }3．设集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )．A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤2}4．若对于任意实数x ，都有f (－x )＝f (x )，且f (x )在(－∞，0]上是递增函数，则( )．A ．f (－2)＜f (2)B ．f (－1)＜32f ⎛⎫⎪⎝⎭C ．32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f (2)D ．f (2)＜32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知函数()1f x x＝在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝( )． A ．12 B ．12- C ．1 D ．－1 6．设函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－7)＝－17，则f (7)＝( )．A ．31B ．17C ．－31D ．247．已知()2,0;(1),0,x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩则f (2)＋f (－2)的值为( )．A ．8B ．5C ．4D ．28．函数f (x )＝x 2－4ax ＋1在区间[－2,4]上是单调函数的条件是( )．A ．a ∈(－∞，－1]B ．a ∈[2，＋∞)C ．a ∈[－1,2]D ．a ∈(－∞，－1]∪[2，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．函数()4 1 xf xx +=-的定义域为__________．10．若集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则a的值是__________．11．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，则当x≥0时，函数f(x)的解析式为__________．三、解答题(本大题共3小题，第12、13小题每小题10分，第14小题14分)12．已知函数13yx=-的定义域为集合A，y＝－x2＋a2＋2a的值域为集合B．(1)若a＝2，求A∩B；(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．13．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，且同时满足下列条件：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)在定义域上单调递减；(3)f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求a的取值范围．14．某人定制了一批地砖，每块地砖(如图所示)是边长为1米的正方形ABCD，点E，F 分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE，△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE，△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元．问点E在什么位置时，每块地砖所需的材料费用最省？参考答案1.答案：A解析：a＝5＝2×2＋1,2∈Z，所以a∈A，故选A．2.答案：D解析：因为全集U＝{a，b，c，d}，B＝{b}，所以ðU B＝{a，c，d}，于是A∩(ðU B)＝{a，c}，故选D．3.答案：A解析：根据已知条件画出数轴可知选A．4.答案：D解析：由题意知f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是递减函数，所以有f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)＞32f⎛⎫⎪⎝⎭，32f⎛⎫- ⎪⎝⎭＝32f⎛⎫⎪⎝⎭＞f(2)，故选D．5.答案：A解析：因为f(x)＝1x在区间[1,2]上单调递减，所以f(1)＝A，f(2)＝B．所以A－B＝f(1)－f(2)＝1－12＝12，故选A．6.答案：A解析：因为f(－7)＝a(－7)5＋b(－7)3＋c(－7)＋7＝－17，所以a(－7)5＋b(－7)3＋c(－7)＝－24.所以a·75＋b·73＋c·7＝24.所以有f(7)＝a·75＋b·73＋c·7＋7＝31，故选A．7.答案：B解析：依题意f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝1，所以f(2)＋f(－2)＝5，选B．8.答案：D解析：由于f(x)＝x2－4ax＋1＝(x－2a)2＋1－4a2，所以函数图象的对称轴是直线x＝2a，要使函数在区间[－2,4]上是单调函数，必须满足2a≤－2或2a≥4，解得a≤－1或a≥2，故选D．9.答案：{x|x≥－4且x≠1}解析：要使函数有意义，应满足40,10,xx+≥⎧⎨-≠⎩解得x≥－4且x≠1，故函数定义域为{x|x≥－4且x≠1}．10.答案：0,1，1 2解析：由A∪B＝B得A⊆B，而B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．当a＝0时A＝∅，符合要求；当a≠0时，应有11a=或12a=，所以a＝1或12a=，因此实数a的值等于0,1，12.11.答案：f(x)＝x(1＋x)解析：设x＞0，则－x＜0，所以f(－x)＝－f(x)＝－x(1＋x)，所以f(x)＝x(1＋x)．又因为f(0)＝0，所以当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．12. 解：依题意，整理得A ＝{x |x ＞3}，B ＝{y |y ≤a 2＋2a }，(1)当a ＝2时，B ＝{y |y ≤8}，所以A ∩B ＝(3,8]；(2)分析易知，要使A ∪B ＝R ，需要a 2＋2a ＞3，解得a ≤－3或a ≥1.13.解：由题意，得f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，则22111,111,11,a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩解得0＜a ＜1.所以a 的取值范围是(0,1)．14. 解：设CE ＝x ，则BE ＝1－x ，每块地砖的费用为W ，且制成△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元．则W ＝12x 2·30＋12×1×(1－x )×20＋21111(1)22x x ⎡⎤--⨯⨯-⎢⎥⎣⎦×10 ＝10x 2－5x ＋15 ＝211151048x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 当x ＝14＝0.25(米)时，W 有最小值，即费用最省．答：当点E 在距点C 为0.25米时，每块地砖所需费用最省．。

数学湘教版必修1模块检测 Word版含解析

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一、选择题
．已知集合＝{－}，＝{－≤＜}，则∩等于() ．{}．{－}．{}．{－}
答案
解析∵＝{－}，
＝{－≤＜}且∉，
∴∩＝{－}．
．若集合＝{}，＝{}，则∩的子集个数为()
．．．．
答案
解析∩＝{}，其子集有∅，{}，{}，{}，共个．
．下列函数中，既是偶函数，又在区间(，＋∞)上单调递减的函数是()
．＝－．＝－．＝－．＝
1
2 log
答案
解析∵＝－是奇函数，＝
1
2
log
不具有奇偶性，故排除，，又函数＝－在区间(，＋∞)上是单调
递增函数，故排除，只有选项符合题意．．函数()＝＋的零点所在的一个区间是() ．(－，－) ．(－) ．() ．()
答案
解析∵(－)＝－＜，()＝＞，
∴(－)·()＜.
又函数()在(－)上是连续的，故()的零点所在的一个区间为(－)．
．定义集合运算：⊙＝{＝(＋)，∈，∈}，设集合＝{}，＝{}，则集合⊙的所有元素之和为( )
．．．．
答案
解析⊙＝{}．
．设()＝则(())等于()
．．
答案
解析∵()＝(－)＝.
∴(())＝()＝－＝.
．直线＝与曲线＝－＋有四个交点，则的取值范围是()
．(，) ．[，] ．[，) ．(，]
答案
解析＝－＋是偶函数，图象如图所示，由图象可知直线＝与曲线＝－＋有四个交点，
需满足－＜＜，
∴＜＜.
．若函数()＝的定义域为，()＝的定义域为，则∁(∪)等于()
．[，＋∞) ．(，＋∞)
．(]∪[，＋∞) ．()∪(，＋∞)
答案。

高一数学试题-湘教版高中数学(必修1)单元测试-第一章集合与函数(一) 最新

数学：第一章《集合与函数》练习题（湘教版必修1）一：填空题1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是。

2.下列五个写法：①}3,2,1{}0{∈；②}0{⊆φ；③{0，1，2}}0,2,1{⊆；④φ∈0；⑤φφ=⋂0，其中错误．．写法的个数为。

3. 已知M ＝｛x|y=x 2-1｝, N={y|y=x 2-1},N M ⋂等于。

4. 方程x 2-px +6=0的解集为M ,方程x 2+6x -q =0的解集为N ,且M ∩N ={2},那么p +q 等于。

5.若函数y=x 2+(2a －1)x+1在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是。

6. 若)21(),0(1)]([,21)(22g x x x x f g x x f 则≠-=-=的值为。

7.已知函数21|1|)(x ax x f ---=是奇函数。

则实数a 的值为。

8. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是9. 已知函数f (n )= ⎩⎨⎧<+≥-)10)](5([)10(3n n f f n n ，其中n ∈N ，则f (8)等于。

10. 已知函数()533f x ax bx cx =-+-，()37f -=，则()3f 的值为。

11.函数y =的定义域为。

12.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是。

13.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2x -x x f 2=, 则()x f 在0<x 时的解析式是 _______________ 。

14. 某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如下图，则：①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是。

湘教版高中数学必修第一册课后习题第1章集合与逻辑第1章末测评卷

第1章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|N=( )A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}2.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}3.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )A.M∪NB.∁U(M∪N)C.(∁U M)∩ND.∁U(M∩N),1}={a2,a+b,0},则a2 023+b2 023的值为( ) 5.已知a,b∈R,若集合{a,baA.-1B.0C.1D.-1或06.集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0}.若B ⊆A,则实数a 的取值范围是( ) A.[-13,1)B.[-13,1]C.(-∞,-1)∪[0,+∞)D.[-13,0)∪(0,1)7.设集合A={x|x 2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,求实数a 组成的集合的子集个数是( ) A.6 B.3C.4D.88.设集合A={x|a-1<x<a+1},B={x|1<x<5}.若A∩B=⌀,则实数a 的取值范围是( ) A.[0,6]B.(-∞,2]∪[4,+∞)C.(-∞,0]∪[6,+∞)D.[2,4]二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则( )A.A∩B={0,1}B.∁U B={4}C.A∪B={0,1,3,4}D.集合A的真子集个数为810.已知集合A={2,3},B={x|m可以是( )A.3或2B.1C.0D.-111.下列说法正确的是( )A.“a≠0”是“a2+a≠0”的必要而不充分条件C.“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”D.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x 轴于正半轴”的充要条件三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.13.已知全集U={0,1,2,3},A={= .四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U为R,集合A={x|0<x≤2},B={x|-2<x+1<2},求:(1)A∩B;(2)(∁U A)∩(∁U B).16.(15分)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.17.(15分)已知p:实数x满足a<x<4a(其中a>0),q:实数x满足2<x≤5.(2)若p是q的必要而不充分条件,求实数a的取值范围.18.(17分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.19.(17分)已知集合A n={(x1,x2,…,x n)|x i∈{0,1}(i=1,2,…,n)},若x,y ∈A n,记x=(x1,x2,…,x n),y=(y1,y2,…,y n),定义x⊗y=(x1+y1)(x2+y2)…(x n+y n).(1)若x=(1,1,1,1)且x⊗y=4,求y;(2)令B={+n为偶数(card(B)表示集合B中元素的个数);(3)若集合A ⊆A n ,且A 中的每一个元素均含有4个0和4个1,对任意N={-1,0,1},故选B.2.C 由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},则A∩B={1,2}.3.A 由x 3>8,得x>2⇒|x|>2;当|x|>2时,则x>2或x<-2,不能得到x 3>8,比如x=-3.所以“x 3>8”是“|∪N 的补集.5.A ∵{a,ba ,1}={a 2,a+b,0},∴b=0,∴{a,0,1}={a 2,a,0},则1=a 2,解得a=-1或a=1(舍去).则a+b=-1.故选A. 6.A ∵B ⊆A,∴①当B=⌀时,即ax+1≤0无解,此时a=0,满足题意.②当B≠⌀时,即ax+1≤0有解,当a>0时,可得x≤-1a ,要使B ⊆A,则需要{a >0,-1a<-1,解得0<a<1.当a<0时,可得x≥-1a ,要使B ⊆A,则需要{a <0,-1a≥3,解得-13≤a<0.综上,实数a 的取值范围是[-13,1).故选A.7.D A={3,5},B={x|ax=1},∵A∩B=B,∴B ⊆A. ∴①当a=0时,B=⌀,符合题意; ②当B≠⌀时,1a=3或1a=5,∴a=13或a=15,∴实数a 组成的集合的元素有3个,∴实数a组成的集合的子集个数为23=8.故选D.8.C ∵A={x|a-1<x<a+1},∴A≠⌀.又A∩B=⌀,如图可知a+1≤1或a-1≥5.故a≤0或a≥6,即a的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).9.AC 因为A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},选项A,C都正确;又全集U={0,1,2,3,4},所以∁U B={2,4},选项B错误;集合A={0,1,4}的真子集有7个,所以选项D错误.10.AC 当m=0时,方程m≠0时,B={6m },因为B⊆A,所以6m=2或6m=3,解得m=3或m=2.对于C,“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”;对于D,当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示,显然交y轴于负半轴,交x轴于正半轴.当一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴时,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=5-bk-4>0,因为b<5,所以k>4.所以选项D中的说法是正确的.12.∃x∈[0,+∞),x2+x<013.-3 ∵∁U A={1,2},∴A={0,3},∴0,3是关于=-3.15.解B={x|-3<x<1},(1)因为A={x|0<x≤2},所以A∩B={x|0<x<1}.(2)∁U A={x|x≤0或x>2},∁U B={x|x≤-3或x≥1},所以(∁U A)∩(∁U B)={x|x≤-3或x>2}.16.解(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2,所以a的取值范围是(2,+∞).17.解(1)若a=1,p为真,p:1<x<4,q为真,q:2<x≤5.(2)设A={x|a<x<4a,a>0},B={x|2<x≤5}.∵p是q的必要而不充分条件,∴B⫋A,∴{a≤2,4a>5,∴解得54<a≤2.综上所述,a的范围为(54,2].18.解集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合.(1)A 是空集,即方程ax 2-3x+2=0无解,得{a ≠0,Δ=(-3)2-8a <0,∴a>98,即实数a 的取值范围是(98,+∞).(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=23;当a≠0,且Δ=0,即a=98时,方程有两个相等的实数根,A 中只有一个元素43,∴当a=0或a=98时,A 中只有一个元素,分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素,包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的结果,得a=0或a≥98,即a 的取值范围是{a |a =0,或a ≥98}.19.(1)解由4=1×1×1×4=1×1×2×2(不考虑顺序),而x i +y i 只可能为0或1或2,则x ⊗y=4只可能为2个y i 为0,2个y i 为1,∴y=(1,1,0,0)或(1,0,1,0)或(1,0,0,1)或(0,0,1,1)或(0,1,1,0)或(0,1,0,1).(2)证明由(1)可得+n=2n+2=2(n+1)为偶数.(3)解4=1×1×1×1×1×1×2×2,也就是取y 时,与x 中为1的位置恰好只有2个重合也为1,x 中0的位置y 中为1,则此时y 中1的个数为4+2=6,与4个0和4个1不符,无法找出这样的元素.。

高中数学第4章计数原理单元测评湘教版选择性必修第一册

第4章测评一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有() A.240种 B.180种C.120种D.90种2.根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是()A.2B.4C.6D.83.下列计算结果是21的是()A. B.C. D.4.在(a+b)n的二项展开式中，与第r项二项式系数相同的项是()A.第n-r项B.第n-r-1项C.第n-r+1项D.第n-r+2项5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则该重卦的种数是()A.6B.15C.20D.16.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课.如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则所有符合条件的排法总数为()A.24B.144C.48D.967.1+4的展开式中，常数项为()A.1B.3C.4D.138.在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)+f(0，3)=()A.80B.8C.40D.24二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.(2022广东清远高二期末)若n的展开式中含x2项，则n的值可能是()A.6B.9C.12D.1410.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则()A.a0=1B.a0=0C.a0+a1+a2+…+a10=310D.a0+a1+a2+…+a10=311.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是()A.恰好取到一件次品有种不同取法B.至少取到一件次品有种不同取法C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法D.把取出的产品送到检验机构检查，能检验出有次品的不同方式有种12.小赵、小李、小罗、小王、小张五人报名志愿者服务，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有()A.若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有54种B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D.已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排两人，后排三人，后排三人中要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n的值为.14.学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则不同的邀请方法为种.15.若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160，则实数a的值为，展开式中各项系数之和为.16.(2022山东无棣高二期中)若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6，则a3= .四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022福建宁德高二期中)(1)计算:+…+(用数字作答).(2)解不等式:3≤2+6.18.(12分)(2022山东菏泽十二校高二期中)在①前三项系数成等差数列，②二项式系数之和为64这两个条件中，任选一个，补充在问题中，并进行解答.问题:在x+n的展开式中，，求n的值及展开式中的常数项.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.(12分)(2022山东潍坊高二期末)已知3x-n的展开式中各项系数之和为32.(1)求n的值;(2)求x+3x-n展开式中的常数项.20.(12分)(2022江苏南京鼓楼高二期末)我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式.(1)某医院有内科医生8名，外科医生x(x≥3)名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求x的值;(2)化简:+…+.21.(12分)现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.(1)若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法?(2)若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法?(3)现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.(4)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法?(注:请列出解题过程，结果保留数字)22.(12分)(1)如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(2)如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(3)如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条(注意有一段DE不通)，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(4)如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，且有一段路DE无法通行，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?参考答案第4章测评1.D根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90.故选D.2.C从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以a=3+3=6.故选C.3.D由题意可知=12+15=27，=35，=42，=21.4.D第r项的二项式系数是，由于，所以与第r项二项式系数相同的项是第n-r+2项.故选D.5.C根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则满足题意的重卦有=20种.故选C.6.D根据题意，先排数学有2种方法，物理和化学相邻有种排法，再与剩下的3节随意安排，有种安排方法，故所有符合条件的排法总数为2=96.故选D.7.D由于1+4表示4个因式+1的乘积，故展开式中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有两个因式取，一个因式取1，一个因式取.故展开式中的常数项为1+=13，故选D.8.D在(1+x)6(1+y)4的展开式中，x3y0项的系数为=20，即f(3，0)=20;x0y3项的系数为=4，即f(0，3)=4，所以f(3，0)+f(0，3)=24.故选D.9.BD因为n的展开式的通项为T r+1=)n-r r=·x-2r=，令=2，得n=4+5r，因为r∈N，若r=1，则n=9，故B正确;若r=2，则n=14，故D正确.故选BD.10.AC因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，所以令x=0可得a0=1，令x=1可得a0+a1+a2+…+a10=310.故选AC.11.AC在含有3件次品的50件产品中，任取2件，恰好取到1件次品包含的基本事件个数为，A正确;至少取到1件次品包括两种情况:只抽到一件次品，抽到两件次品，所以至少取到一件次品有种不同取法，B错误;两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法，C正确;由题意可知有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有种不同方式，D错误.故选AC.12.BCD对于A，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有4×4×4×4×4=45种选法，A错误;对于B，先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有=240种分配方法，B正确; 对于C，分2步分析:在5人中任选2人，安排礼仪工作，有=10种选法，再将剩下3人安排剩下的三项工作，有=6种情况，则有10×6=60种不同的方案，C正确;对于D，分2步分析:在5人中任选2人，安排在第一排，有=20排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20×2=40种不同的方案，D正确.故选BCD.13.5因为n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以，解得n=5.14.49若甲、乙两位家长都不参加，则有=7种不同的方法;若甲、乙两位家长只有1人参加，则有=42种不同的方法.综上所述，共有7+42=49种不同的方法.15.21若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160，则有(ax)3(-1)3=-20a3x3，即-20a3=-160，解得a=2.由a=2，则(ax-1)6=(2x-1)6，令x=1，得(2x-1)6=16=1，即展开式中各项系数之和为1.16.-20x6=[-1+(1+x)]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6，∴a3=(-1)3=-20.17.解(1)根据题意，+…++…++…+=495.(2)根据题意，x∈N+，且x≥3，3≤2+6，即3x(x-1)(x-2)≤2(x+1)·x+6x(x-1)，变形可得3(x-1)(x-2)≤8x-4，解得≤x≤5.又x≥3，则x=3或4或5.所以原不等式的解集为{3，4，5}.18.解因为二项展开式的通项为T r+1=x n-r r=·r x n-2r.选择①:前三项的系数成等差数列，前三项的系数分别为·0=1，·2=，则2×=1+，解得n=8或1(舍去).当n=8时，T r+1=·2-r x8-2r，令8-2r=0，解得r=4，所以展开式的常数项为·2-4=.选择②:二项式系数和为64，则2n=64，所以n=6.当n=6时，T r+1=·2-r x6-2r，令6-2r=0，解得r=3，所以展开式的常数项为·2-3=.19.解(1)由题意，令x=1得(3-1)n=2n=32，解得n=5.(2)因为二项式3x-5的通项为T r+1=(3x)5-r·-r=(-1)r·35-r·x5-2r.令5-2r=-1，解得r=3，故展开式中含有项的系数为(-1)3·32，再令5-2r=1，解得r=2，展开式中含有x项的系数为(-1)2·33，所以x+3x-5展开式中的常数项为x··(-1)3·32·x-1+·(-1)2·33·x=-9+27=18=180.20.解(1)内科医生8名，外科医生x(x≥3)名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，某内科医生必须参加，该事件等同于从剩下7名内科医生，外科医生x(x≥3)名，派2名医生参加赈灾医疗队，即=66，=66，即x2+13x-90=0，解得x=5或x=-18(舍去).(2)∵(1+x)n(1+x)n=(x+x2+…+x n)(x+x2+…+x n)，∴x n+1的系数+…+，∴原式可以看作(1+x)n(1+x)n展开式中x n+1的系数减，∴原式=-n.21.解(1)依题意将D，E两个球看作一个整体与其他3个球全排列，由分步乘法计数原理可知不同的排列方法有=48种.(2)将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排，方法有=16种.(3)将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为=9种.(4)将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.若按3，1，1分配，方法有·=60种，若按2，2，1分配，方法有·=90种.综上可得，不同的放法共有60+90=150种.22.解(1)由题意可知，由A到B的最短距离需要9步完成，其中向南走5次，向西走4次，故不同的走法共有=126种.(2)若先经过C再到B，需向南走3次，向西走2次，共种走法，由C到B需向南走2次，向西走2次，共种走法，故先经过C再到B共有种走法，故不经过C共有=66种.(3)经过ED，由A到D，需要3步，由E到B，需要5步，由A到D共有种走法，由E到B共有种走法，所以经过ED的走法共有种，故不经过ED的走法共有=96种.(4)由A经过DE到C的走法共有种，再由C到B需要向南、向西各走2次，共有种走法，故经过DE到C再到B的走法共有种走法，故不经过DE也不经过C的走法共有=54种.。

2022_2023学年高中数学模块综合测评湘教版选择性必修第一册

模块综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022湖南长沙开福高二期中)过点(1,-1)且方向向量为(-2,3)的直线的方程为()A.3x-2y-5=0B.2x-3y-5=0C.3x+2y-1=0D.2x+3y+1=02.(2022天津静海一中高二期中)若直线l1:ax-y+1=0与l2:x-ay-1=0平行,则l1与l2之间的距离为()A. B. C. D.23.已知数列{a n}的通项公式a n=,则它的前n项和S n是()A. B. C. D.4.(2022湖北宜昌等四市高二期末)某县现招录了5名大学生,其中3名男生,2名女生,计划全部派遣到A,B,C三个乡镇参加乡村振兴工作,每个乡镇至少派遣1名大学生,乡镇A只派2名男生.则不同的派遣方法总数为()A.9B.18C.36D.545.(2022黑龙江八校高二期中)过点(1,3)作圆x2+y2=10的切线,则切线方程为()A.x+3y-10=0B.x=1或3x-y-10=0C.3x-y-10=0D.y=3或x+3y-10=06.(2022江苏徐州高二期中)已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20 m,上底面直径CD=20 m,AB与CD间的距离为80 m,与上下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分的直径为()A.20 mB.10 mC.10 mD.10 m7.(2022河北邯郸八校高二期中)如图,把椭圆C:=1的长轴AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=()A.20B.15C.36D.308.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,过点F的直线交抛物线C于M,N两点,交直线l于点P,且,则|MN|=()A.2B.C.5D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设等差数列{a n}的前n项和为S n.若S3=0,a4=8,则()A.S n=2n2-6nB.S n=n2-3nC.a n=4n-8D.a n=2n10.(2022浙江宁波效实中学高二期中)以下说法正确的是()A.若A(1,2),B(3,4),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)(x-2)+(y-3)(y-4)=0B.已知A(1,2),B(3,4),则线段AB的垂直平分线方程为x+y-5=0C.抛物线y2=2x上任意一点到M,0的最小值为D.双曲线C:=1的焦点到渐近线的距离为11.(2022浙江A9协作体高二期中)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+9=0上,则()A.两圆有且仅有两条公切线B.|PQ|的最大值为10C.两个圆心所在直线的斜率为-D.两个圆相交弦所在直线方程为3x-4y-5=012.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直,则椭圆C1的离心率可以是()A. B. C. D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在x-n的展开式中,所有项的系数和为64,则n= .14.(2022江苏常州三中等六校高二期中)若方程x2+y2+λxy+kx+3y+k+λ=0表示圆,则k的取值范围是.15.(2022江苏海安高二期中)已知等比数列{a n}的首项为-2,公比为q.试写出一个实数q= ,使得a n<.16.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线左支于点M,若∠F1MF2=45°,则双曲线的渐近线方程为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022福建三明三地三校高二期中)在2x2-n的展开式中,第3项的二项式系数为28.(1)求第5项的系数(要算出具体数值).(2)展开式中是否含有常数项?若有,请求出来;若没有,说明理由.18.(12分)在①已知数列{a n}满足:a n+1-2a n=0,a3=8,②等比数列{a n}的公比q=2,数列{a n}的前5项和S n为62这两个条件中任选一个,并解答下列问题.(注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,若2T n>m-2 022对n∈N*恒成立,求正整数m的最大值.19.(12分)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线l:x-y-2=0的距离为.(1)求抛物线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.20.(12分)已知曲线C:x2-y2=1和直线l:y=kx-1.(1)若直线l与曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.21.(12分)(2022重庆名校联盟高二联考)已知双曲线C与椭圆=1有相同的焦点,P(-3,)是双曲线C上一点.(1)求双曲线C的方程;(2)记双曲线C的右顶点为M,与x轴平行的直线l与C交于A,B两点,求证:以AB为直径的圆过点M.22.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,=3S n+2,n∈N+.(1)证明:数列{S n+1}为等比数列;(2)已知曲线C n:x2+(19-a n)y2=1,若C n为椭圆,求n的值;(3)若b n=×log3,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案模块综合测评1.C过点(1,-1)且方向向量为(-2,3)的直线方程为y+1=-(x-1),整理得3x+2y-1=0.故选C.2.C当a=0时,直线l1:y=1,直线l2:x=1,显然不平行.当a≠0时,由直线l1:ax-y+1=0与l2:x-ay-1=0平行,可得≠-1,解得a=1,所以直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0,所以l1与l2之间的距离d=,故选C.3.B因为数列{a n}的通项公式a n=,所以S n=1-+…+=1-.故选B.4.B依题意分两步,第一步,乡镇A派2名男生有=3种;第二步,剩下3人派给乡镇B,C有=6种,由分步乘法计数原理可知共有3×6=18种派遣方法,故选B.5.A因为12+32=10,所以点(1,3)在圆x2+y2=10上.由切线与圆心(0,0)和点(1,3)的连线垂直,可得切线的斜率为-,则切线的方程为y-3=-(x-1),即x+3y-10=0.故选A.6.A建立如图的坐标系,由题意可知C(10,20),B(10,-60),设双曲线方程为=1,a>0,b>0,∴解得a2=100,b2=400,∴|EF|=2a=20.故选A.7.D由题意可知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称,设椭圆的左焦点为F1,则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理|P2F|+|P4F|=2a,而|P3F|=a,所以|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=30.故选D.8.D如图所示,过点M作MD垂直于准线l,由抛物线定义得|MF|=|MD|,因为,所以|PM|=2|MD|,所以∠DPM=30°,则直线MN方程为x=(y-1),联立消去x得3y2-10y+3=0,Δ=(-10)2-4×3×3=64>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以y1+y2=,所以|MN|=y1+y2+2=+2=,故选D.9.AC设公差为d,依题意解得所以a n=4n-8,S n=·n=2n2-6n.故选AC.10.BCD对于A,以线段AB为直径的圆的圆心为(2,3),半径r=|AB|=,故圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=2,故A错误.对于B,直线AB的斜率为=1,所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1.又线段AB中点为(2,3),所以线段AB的垂直平分线方程为y-3=-(x-2),整理得x+y-5=0,故B正确.对于C,设抛物线y2=2x上任意一点P,y,所以|PM|=,当y2=时,()min=2,所以|PM|min=,故C正确.对于D,由双曲线方程可得a=2,b=,根据双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴的长可知D正确.故选BCD.11.BC根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心C1(0,0),半径R=1,圆C2:x2+y2-6x+8y+9=0,即(x-3)2+(y+4)2=16,其圆心C2(3,-4),半径r=4,圆心距|C1C2|==5=4+1,两个圆相外切,两圆有且仅有3条公切线,所以A错误;|PQ|的最大值为1+5+4=10,所以B正确;对于C,圆心C1(0,0),圆心C2(3,-4),则两个圆心所在的直线斜率k==-,所以C正确;对于D,因为两圆外切,所以不存在公共弦,所以D错误.故选BC.12.AD设两切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆.∵∠APB=90°,∴四边形OAPB为正方形,∴|OP|=b,∴b<|OP|≤a,即b<b≤a,∴2b2≤a2,即2(a2-c2)≤a2,∴a2≤2c2,即e=.又0<e<1,∴≤e<1,∴椭圆C1的离心率的取值范围是,1.故选AD.13.6令x=1,可得所有项系数之和为(-2)n=64,解得n=6.14.(-∞,1)∪(9,+∞)由方程x2+y2+λxy+kx+3y+k+λ=0表示圆可知λ=0,因此x2+y2+λxy+kx+3y+k+λ=0化为x+2+y+2=k2-k+,所以k2-k+>0,解得k<1或k>9,即k的取值范围为(-∞,1)∪(9,+∞).15.(答案不唯一,满足0<q<1即可)依题意等比数列{a n}的首项为-2,公比为q.∵a n<,∴数列{a n}为递增数列,∴a2<a3,∴-2q<-2q2,解得0<q<1,则q可以取.答案不唯一,满足0<q<1即可. 16.y=±x 如图所示,设切点为A,连接OA,作F1B⊥MF2,垂足为B.由|OA|=a,且OA为△F1F2B的中位线,可得|F1B|=2a,|F2A|==b,即|F2B|=2b,在直角三角形BMF1中,因为∠F1MB=45°,所以|MF1|=2a,|MF2|=2b+2a,由双曲线的定义可得|MF2|-|MF1|=2b+2a-2a=2a,可得b=a,即双曲线的渐近线方程为y=±x.17.解(1)因为2x2-n的展开式第3项的二项式系数为28.可得=28,即=28,解得n=8或n=-7(舍去),故n的值为8.第5项的系数为·24·(-1)4=1120.(2)没有.理由如下,因为2x2-n的展开式中,二项展开式的通项T r+1=·(2x2)8-r·-r=(-1)r··28-r·,当16-=0时,解得r=∉N,所以展开式中没有常数项.18.解(1)选择条件①:由a n+1-2a n=0得=2,{a n}为等比数列,公比q=2,所以a n=a3q n-3=2n.选择条件②,数列{a n}的前5项和S5==62,解得a1=2,所以a n=a1q n-1=2n.(2)b n=,则T n=+2×2+…+n·n,T n=2+2×3+…+(n-1)·n+n·n+1,两式相减得T n=+2+…+n-n·n+1=-n·n+1,即T n=2-(2+n)n.因为T n+1-T n=(n+1)n+1>0,所以数列{T n}为递增数列,最小值为T1=.2T n>m-2022对n∈N*恒成立,即m<2T n+2022对n∈N*恒成立,所以m<2023,m的最大值是2022.19.(1)解因为x2=2py的焦点坐标为,由点到直线的距离公式可得,解得p=2或p=-10(舍去),所以抛物线的标准方程是x2=4y.(2)证明设圆心C的坐标为,半径为r,又圆C在x轴上截得的弦长为4,所以r2=4+,所以圆C的标准方程为(x-x0)2+=4+,化简得-2xx0+(x2+y2-4)=0,对于任意的x0∈R,上述方程均成立,故有解得x=0,y=2,所以圆C恒过定点(0,2).20.解(1)联立消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.∵直线l与双曲线C有两个不同的交点,∴解得-<k<,且k≠±1,∴实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)可知x1+x2=-,x1x2=,∴|AB|=|x1-x2|=.∵点O到直线l的距离d=,∴S△AOB=·|AB|·d=,即2k4-3k2=0,∴k=0或k=±.∴实数k的值为0,,-.21.(1)解设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),由已知得a2+b2=12-6=6,且=1,解得a2=b2=3,∴双曲线C的方程为=1.(2)证明设直线l的方程为y=m(m≠0),与x2-y2=3联立解得x=或x=-,不妨设A(-,m),B(,m),由(1)知点M(,0),∴AM,BM的斜率存在且分别为k AM=-,k BM=,∴k AM·k BM=-=-1,∴AM⊥BM,故以AB为直径的圆过点M.22.(1)证明∵=3S n+2,∴+1=3S n+3=3(S n+1).又S1+1=a1+1=3,∴{S n+1}是以3为首项,以3为公比的等比数列.(2)解由(1)可知S n+1=3n,即S n=3n-1,当n≥2时,a n=S n-=3n-=2·.显然当n=1时,上式也成立,故a n=2·(n∈N+).∵曲线C n:x2+(19-a n)y2=1表示椭圆,∴19-a n>0且19-a n≠1.∴又n∈N+,故n=1或n=2.(3)解b n=·log33n=n·.∴T n=1·30+2·3+3·32+4·33+…+n·, ①两边同乘3,可得3T n=1·3+2·32+3·33+4·34+…+n·3n, ②①-②可得:-2T n=1+3+32+33+…+-n·3n=-n·3n=-n·3n-,∴T n=·3n+.。

湘教版高中数学必修第一册本册过关检测(含答案解析)

本册过关检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线2x ＋y －1＝0的一个方向向量是()A ．(1，－2)B ．(2，－1)C ．(－1，－2)D ．(－2，－1)2．抛物线x 2＝y 的焦点坐标是()A B.C. D.3．若点P (3，1)到直线l ：3x ＋4y ＋a ＝0(a >0)的距离为3，则a ＝()A ．3B ．2C ．32D ．14．在正数等比数列{a n }中，若a 2＝12，a 4＝18，则该数列的前10项和为()A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－12115．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值是()A ．－1B ．－2C ．2D ．16．无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则()A ．S n 单调递减 B.S n 单调递增C ．S n 有最大值 D.S n 有最小值7．2022年冬奥会，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有()A ．90种B ．125种C ．150种D ．243种8．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、半径为2的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为()A ．3 B.2 C.5 D.3二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)96的展开式中，下列说法正确的是()A ．常数项是20B ．第4项的二项式系数最大C ．第3项是15x 2D ．所有项的系数的和为010．已知双曲线W ：x 22＋m －y 2m ＋1＝1，()A ．m ∈(－2，－1)B ．若W 的顶点坐标为(0，±2)，则m ＝－3C ．W 的焦点坐标为(±1，0)D ．若m ＝0，则W 的渐近线方程为x ±2y ＝011．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12．等比数列{a n}中，a1<0，公比0<q<1，则下列结论正确的是()A．数列{a n}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列B．设数列{a n}的前n项和为S n，对∀n>2，n∈N＋，S n<a n＋a1恒成立C．数列{a n}是递增数列D．数列{lg(－a n)}是首项和公差都小于0的等差数列三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若数列{a n}的前n项和为S n＝3n2－2n，则数列{a n}的通项公式a n＝________．14．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有________种不同的选法．(用数字作答)15．一动圆截直线3x－y＝0和3x＋y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为________．16．若A，B分别是椭圆E：x2＋y2m＝1，(m>1)短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，若直线AP与BP的斜率之积为－4m，则m＝________，椭圆的离心率为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在①对任意n>1满足S n＋1＋S n－1＝2(S n＋1)；②S n＋1－2＝S n＋a n；③S n＝na n＋1－n(n＋1).这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{a n}的前n项和为S n，a2＝4，________，若数列{a n}是等差数列，求出数列{a n}的通项公式；若数列{a n}不是等差数列，说明理由．18．(本小题满分12分)已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程．19．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2－3＝0.(1)求过点(3，2)且与圆C 相切的直线方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 相交于A 、B ，求弦长|AB |的值．20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，点N (t ，1)在抛物线C 上，且|NF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M (0，1)的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，设O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．21．(本小题满分12分)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是公比大于0的等比数列，已知a 1＝1，b 1＝3，b 2＝3a 3，b 3＝12a 2＋3.(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ，n ≤5n －5，n ≥6，求数列{a n c n }的前n 项和T n .22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点(1，32)，其左、右顶点分别是A，B，下、上顶点分别是C，D，P是椭圆上第一象限内的一点，直线PA，PB的斜率k1，k2满足k1·k2＝－1 4 .(1)求椭圆C的方程；(2)过P点的直线PO交椭圆于另一点Q，求四边形APCQ面积的取值范围．参考答案与解析1．解析：直线2x ＋y －1＝0的斜率k ＝－2，所以直线2x ＋y －1＝0的一个方向向量是(1，－2).答案：A2．解析：因为x 2＝y ，所以x 2＝2·12·y ，所以p ＝12.答案：D3．解析：由题设可得d ＝|13＋a |9＋16＝3，结合a >0可得a ＝2，故选B.答案：B4．解析：设等比数列的公比为q ，∵a 4＝a 2q 2，∴18＝12×q 2，∵q >0，∴q ＝12.∵a 2＝a 1q ，∴a 1＝1，∴S 10＝a 1（1－q 10）1－q 1－12＝2－129.答案：B5．解析：令x ＝0，a 0＝1，令x ＝1，(1＋1)(1－2)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2，令x ＝－1得(1－1)(1＋2)7＝a 0－a 1＋a 2－a 3…＋a 8＝01＋a 2＋…＋a 8＝－3a 1＋a 2－a 3…＋a 8＝－1，两式作差得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－2，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1.答案：A6．解析：∵无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，∴{a n }是递减数列，且先正值，后负值；∴{a n }的前n 项和为S n 先增加，后减小；∴S n 有最大值．答案：C7．解析：把5名同学分为3组，各组人数可为3，1，1或2，2，1.各组人数为3，1，1时，有C 35·A 33＝60种；各组人数为2，2，1时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90种；故不同的安排方法共有60＋90＝150种．答案：C8．解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以A (a ，b )或A (a ，－b )，因此|AF |＝c ＝2，则可得（2－a ）2＋b 2＝2，整理可得：a 2＋b 2－4a ＝0，因为a 2＋b 2＝c 2＝4，解得a ＝1，所以双曲线的离心率为：e ＝ca＝2.答案：B9．解析：(1x －x )6的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(1x)6－r ·(－x )r ＝C r 6·x 2r －6·(－1)r ，对于A ，当2r －6＝0，即r ＝3时，常数项为T 4＝C 36·(－1)3＝－20，故选项A 错误；对于B ，第4项的二项式系数为C 36是最大的，故选项B 正确；对于C ，第3项是T 3＝C 26·x －2·(－1)2＝15x －2，故选项C 错误；对于D ，令x ＝1，则(1x－x )6＝(1－1)6＝0，故所有项的系数的和为0，故选项D 正确．答案：BD10．解析：因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(1＋m )>0，解得m >－1或m <－2，A 错误；因为W 的顶点坐标为(0，±2)，所以－m －1＝(2)2，解得m ＝－3，B 正确；当m >－1时，c 2＝(2＋m )＋(m ＋1)＝2m ＋3，当m <－2时，c 2＝－(2＋m )－(m ＋1)＝－2m －3，C 错误；当m ＝0时，双曲线W 的标准方程为x 22－y 2＝1，则渐近线方程为x ±2y ＝0，D 正确．答案：BD11．解析：圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2，若点A (a ，b )在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2＝|r |，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点A (a ，b )在圆C 内，则a 2＋b 2<r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2>|r |，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点A (a ，b )在圆C 外，则a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2<|r |，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点A (a ，b )在直线l 上，则a 2＋b 2－r 2＝0即a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b 2＝|r |，直线l 与圆C 相切，故D 正确．答案：ABD 12．解析：由a 2（m ＋1）a 2m＝q 2可知A 对；由a 1<0，公比0<q <1，可知a n <0，∴当n >2，n ∈N ＋时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <a n ＋a 1恒成立，故B 对；由a 1<0，公比0<q <1，可知数列{a n }是递增数列，故C 对；∵－a n 与1无法比较大小，∴数列{lg (－a n )}的首项无法和0比较，故D 错．答案：ABC13．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，S n －1＝3(n －1)2－2(n －1)，∴a n ＝S n －S n －1＝6n －5，a 1＝1也满足上式，∴a n ＝6n －5.答案：6n －514．解析：根据题意，分2种情况讨论：①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表演，有C 46＝15种选法，②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演，有C 23C 45＝15种选法，则共有15＋15＝30种选法．答案：3015．解析：如图所示：设点M (x ，y )，由条件可得，AB ＝4，EC ＝2，由点到直线的距离公式可得，|MA |2＝（3x －y ）210，|MC |2＝（3x ＋y ）210，由垂径定理可得：|MA |2＋|AB |2＝|MC |2＋|EC |2，∴（3x －y ）210＋16＝（3x ＋y ）210＋4，化简可得，xy ＝10，∴点M 的轨迹方程为xy ＝10.答案：xy ＝1016．解析：设直线AP 、BP 的方程为y ＝k AP (x －1)，y ＝k BP (x ＋1)，点P (x 0，y 0)，k AP ＝y 0x 0－1，k BP ＝y 0x 0＋1，则k AP ·k BP ＝y 20x 20－1＝－4m ①，又点P 在椭圆E ：x 2＋y 2m ＝1上，x 20－1＝－y 20m②，由①②得，m 2＝4，∵m ＞1，∴m ＝2.即离心率e ＝c a ＝12＝22.答案：22217．解析：若选择条件①：因为对任意n >1，n ∈N ＋，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，即a n ＋1－a n ＝2，因为无法确定a 1的值，所以a 2－a 1不一定等于2，所以数列{a n }不一定是等差数列．若选择条件②：由S n ＋1－2＝S n ＋a n ，则S n ＋1－S n －a n ＝2，即a n ＋1－a n ＝2，n ∈N ＋，又因为a 2＝4，所以a 1＝2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .若选择条件③：因为S n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，所以S n －1＝(n －1)a n －(n －1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，两式相减得，a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －2n ，(n ≥2)，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，又S 1＝a 2－2，即a 2－a 1＝2，所以a n ＋1－a n ＝2，n ∈N ＋，又a 2＝4，a 2－a 1＝2，所以a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n .18．解析：(1)证明：将直线l 1的方程化为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋4＝0，－2y －3＝0x ＋y ＋4＝0＝－1＝－2，故直线l 1恒过定点M (－1，－2)；(2)由题意可知，直线l 2的斜率存在且不为零，设直线l 2的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，令x ＝0，可得y ＝k －2，令y ＝0，可得x ＝2k－1，2<01<0，解得k <0，所以，三角形面积为S ＝12(2－k ＝12－k ≥124＋2＝4，当且仅当k ＝－2时，等号成立，此时直线l 2的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋4＝0.19．解析：(1)由x2－2x＋y2－3＝0可得(x－1)2＋y2＝4，所以圆心为C(1，0)，半径r＝2，①当直线斜率不存在时，由过点(3，2)得直线方程为x＝3，与C(1，0)的距离为2，此时与圆相切，符合题意；②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0，圆心C(1，0)到直线的距离|k－0＋2－3k|k2＋1＝r＝2，即|2－2k|＝21＋k2，解得k＝0.所以直线方程为y＝2.综上所述：所求直线方程为y＝2或x＝3.(2)圆心C(1，0)到直线y＝x＋1的距离d＝|1－0＋1|12＋12＝2，又因为半径r＝2，所以|AB|＝2r2－d2＝24－2＝22. 20．解析：(1)∵点N(t，1)在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝32，∴|NF|＝y N＋p2＝1＋p2＝32，解得p＝1，∴抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：依题意，设直线l：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2＝2y，＝kx＋1，消去y可得x2－2kx－2＝0，由韦达定理得x1x2＝－2，∴k1k2＝y1x1·y2x2＝x12·x22＝－12，即k1k2为定值－12.21．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q>0)，q＝3（1＋2d）q2＝12（1＋d）＋3，解得d＝1，q＝3，故a n＝1＋(n－1)＝n，b n＝3·3n－1＝3n.(2)数列{c n}满足c n，n≤5n－5，n≥6；当n≤5时，T n＝a1＋a2＋…＋a n＝n（n＋1）2；当n≥5时，T n＝T5＋a6b1＋a7b2＋…＋a n b n－5＝15＋6·31＋7·32＋…＋n·3n－5令M＝6·31＋7·32＋…＋n·3n－5则3M＝6·32＋…＋(n－1)·3n－5＋n·3n－4，两式相减得，－2M＝6·31＋(32＋…＋3n－5)－n·3n－4－2M＝18＋32（1－3n－6）1－3－n·3n－4，整理得M＝－274＋2n－14·3n－4，所以T n ＝334＋2n －14·3n －4，综上，T nn ≤5n －4，n ≥6.22．解析：(1)设P (x 0，y 0)，则k 1k 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2.又x 20a 2＋y 20b2＝1⇒y 20＝b 2(a 2－x 20)a 2，所以k 1k 2＝－b 2a 2＝－14.①又由椭圆C 得1a 2＋34b2＝1，②由①②得a ＝2，b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)A (－2，0)，C (0，－1)，设直线PQ 的方程为y ＝kx (k >0)，则点A ，C 到直线P ，Q 的距离分别为d 1＝2k k 2＋1，d 2＝1k 2＋1.kx ，y 2＝1得，所以|PQ |＝2|OP |＝41＋k 21＋4k2.四边形APQC 的面积S ＝12|PQ |(d 1＋d 2)＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k ＋4k 21＋4k 2＝21＋41k＋4k .由1k ＋4k ∈[4，＋∞)得S ∈(2，22].故四边形APCQ 面积的取值范围是(2，22].。

2023版湘教版(2020) 必修第一册名师精选卷学业水平合格性测试

一、单选题二、多选题1. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．2.已知向量，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．3. （）A．B．C．D．4. 已知函数，，且，则（）A ．3B ．3或7C ．5D ．5或85.已知，则（）A．B．C．D．6. 已知是等差数列的前n 项和，若对任意的，均有．成立，则的最小值为（）A ．2B．C ．3D．7. 已知，则“”是“直线和直线垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A．B．C．D．9. 已知三棱锥D －ABC 的外接球的表面积为24π，直角三角形ABC的斜边，CD ⊥BC ，则（）A ．BC ⊥平面ACDB ．点D 的轨迹的长度为2πC ．线段CD 长的取值范围为（0，2]D ．三棱锥D －ABC体积的最大值为10.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（）A ．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点B．若为上的动点，则的最小值为5C ．直线与抛物线相交所得弦长为8D ．抛物线与圆交于两点，则11.如图，在长方体中，，，为的中点，平面与平面的交线，则下列结论中正确的是（）2023版湘教版(2020) 必修第一册名师精选卷学业水平合格性测试2023版湘教版(2020) 必修第一册名师精选卷学业水平合格性测试三、填空题四、解答题A．直线B．平面平面C．三棱锥的外接球的表面积为D ．直线l与平面所成角的正弦值为12. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的经验回归方程，则下列说法正确的是（）x （单位：次数/分钟）2030405060y （单位：℃）2527.52932.536A ．k 的值是20B ．变量x ，y 呈正相关关系C ．若x 的值增加1，则y 的值约增加0.25D ．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5℃13. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设点，分别为，的内心，则的取值范围是________．14.已知抛物线，F 为焦点，直线与C 交于A 点，B 为直线l 上另一点（在A 点上方），则的角平分线所在直线方程为_____________.15. 已知随机变量的所有可能取值为、，其中，则________；当取最小值时，________．16. 已知函数.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值.17. 已知直线与抛物线交于两点.（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.18.设函数．（1）当时，求函数的最大值；（2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．19. 已知动圆过定点且与直线相切.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线、，与曲线交于、两点，与曲线交于、四点，求四边形面积的最小值. 20. 小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．21. 求极限：．。

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模块检测一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B 等于( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}答案 B解析 ∵A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}且1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．2．若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．16答案 C解析 A ∩B ＝{1,3}，其子集有∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝12log x 答案 A解析 ∵y ＝x －1是奇函数，y ＝12log x 不具有奇偶性，故排除B ，D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．4．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案 B解析 ∵f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (－1)·f (0)＜0.又函数f (x )在(－1,0)上是连续的，故f (x )的零点所在的一个区间为(－1,0)．5．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18答案 D解析 A ⊙B ＝{0,6,12}．6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x －1)，x ≥2，则f (f (2))等于( ) A ．1 B ．2 C.12 D.14答案 B解析 ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1.∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 7．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是( )A ．(1，54)B ．[1，54]C ．[1，32)D ．(1，32] 答案 A解析 y ＝x 2－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示，由图象可知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，需满足a －14＜1＜a ， ∴1＜a ＜54.8．若函数f (x )＝log 2(x －1)2－x的定义域为A ，g (x )＝ln (1－x )的定义域为B ，则∁R (A ∪B )等于( ) A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(0,1]∪[2，＋∞)D ．(0,1)∪(2，＋∞) 答案 C解析由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，2－x ＞0⇒1＜x ＜2. ∴A ＝(1,2)．⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，ln (1－x )≥0⇒x ≤0.∴B ＝(－∞，0]，A ∪B ＝(－∞，0]∪(1,2)，∴∁R (A ∪B )＝(0,1]∪[2，＋∞)．9．已知a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c答案 D解析 ∵a ＝0.32∈(0,1)，b ＝log 20.3＜0，c ＝20.3＞1.∴c ＞a ＞b .10．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 D解析 f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12 ＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝2.二、填空题11．函数f (x )＝4－x 2＋1lg (x －1)的定义域是________．答案 (1,2)解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x －1＞0且x －1≠1. 则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，x ＞1且x ≠2， ∴f (x )的定义域是(1,2)．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 12x －1， x ≥0，1x ， x ＜0，设f (a )＞a ，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－1) 解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，12a －1≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1a ＜a ，解得a ≤－2(舍去)，或a ＜－1.∴a ＜－1.13．若y ＝f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫log 213＝________. 答案－4解析 ∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f (－log 23)＝－f (log 23)．又log 23＞0，且x ＞0时，f (x )＝2x ＋1，故f (log 23)＝2log 23＋1＝3＋1＝4，∴f ⎝⎛⎭⎫log 213＝－4. 14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x 得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．三、解答题15．计算(1)⎝⎛⎭⎫33823-－⎝⎛⎭⎫5 490.5＋(0.008)23-÷(0.02)12-×(0.32)12； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫82723－⎝⎛⎭⎫49912＋⎝⎛⎭⎫1 000823÷50×4210＝49－73＋25×152×4210＝－179＋2＝19. (2)原式＝12(lg 2)2＋12lg 2(1－lg 2)＋ ⎝⎛⎭⎫12lg 2－12 ＝12(lg 2)2＋12lg 2－12(lg 2)2＋1－12lg 2＝1. 16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}，A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ；②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．17．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出函数f (x )的单调区间．解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x . 所以函数的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ＜0，0，x ＝0，⎝⎛⎭⎫12x ，x ＞0.(2)函数图象如图所示：通过函数的图象可以知道，f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．18．设函数y ＝f (x )是定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫13＝1，且当x ＞0时，f (x )＞0.(1)求f (0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )＜2，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.(2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是R 上的奇函数．(3)任取x ∈R ，且h ＞0，∴f (x ＋h )－f (x )＝f (x )＋f (h )－f (x )＝f (h )＞0，∴f (x ＋h )－f (x )＞0，故f (x )是R 上的增函数．∵f ⎝⎛⎭⎫13＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫13＋13＝f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫13＝2.∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)＜f ⎝⎛⎭⎫23，又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2＜23，解之得x ＜－23.故x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23.。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}．下列A到B的对应法则中：①f：x→y＝12x；②f：x→y＝x－2；③f：x→y＝x；④f：x→y＝－|x|.其中能构成映射的有()．A．①②B．①③C．③④D．②④解析因为0≤x≤4，所以0≤12x≤2，则①应能构成映射；②中，当x＝0时，y＝－2，所以不能构成映射；③中，0≤x≤4，所以0≤x≤2，③能构成映射；④中，当x＝4时，y＝－4，所以不能构成映射．答案 B2．已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩(∁N B)＝()．A．{1，5，7} B．{3，5，7}C．{1，3，9} D．{1，2，3}解析∵B＝{0，3，6，9，12}，∴(∁N B)中没有3和9，有1，5，7.∵A＝{1，3，5，7，9}，∴A∩(∁N B)＝{1，5，7}．答案 A3．函数y＝ln （x＋1）－x2－3x＋4的定义域为()．A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1] 解析由题意，得⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0⇒－1<x <1.答案 C4．下列各组函数中，表示同一函数的是 ( )． A ．y ＝x ＋2和y ＝x 2－4x －2B ．y ＝x 0和y ＝1C ．y ＝x 3和y ＝(x ＋1)3D ．y ＝（x ）2x 和y ＝x（x ）2解析 A 中y ＝x ＋2的定义域为R ，y ＝x 2－4x －2的定义域为{x |x ≠－2}，所以A不是．B 中y ＝x 0的定义域{x |x ≠0}，y ＝1的定义域为R ，所以B 不是．C 中两函数解析式不同，所以只有D 对．答案 D5．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则 ( )． A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a 解析 a ＝log 3π>1，0<b ＝log 76<1， c ＝log 20.8<0，因此a >b >c . 答案 A6．f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有f (x ＋2 012)＝－f (x )，则f (－2 012)的值为 ( )． A ．0 B ．1 006 C ．2 012 D ．－2 012 解析依题意得f (0)＝0，故f (－2 012)＝－f (2 012)＝－f (0＋2 012)＝f (0)＝0.选A. 答案 A7．若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是 ( )．A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg x D ．lg x >x 12>2x解析如图，由图象可知x ∈(0，1)时，2x >x 12>lg x .答案 A 8．式子1log 1213＋1log 1513的值所属的区间是 ( )．A ．(－2，－1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(－∞，－2)解析因为32<10<33，所以原式＝log 1312＋log 1315＝log 310∈(2，3)．答案 C9．若log 2a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b>1，则 ( )． A ．a >1，b >0 B ．a >1，b <0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0 解析由log 2a <0⇒0<a <1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12b>1⇒b <0.答案 D10．方程log 12x ＝2x －1的实数根的个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．不确定解析在同一坐标系中分别画出函数y 1＝log 12x ，y 2＝2x －1的图象，如图所示，可知两图象只有一个交点，即方程有一个实数根．答案 B二、填空题(每小题5分，共25分)11．计算log 222＋log23·log312＝________．解析原式＝2log2232－lg 3lg 2·lg 2lg 3＝2×32－1＝2.答案 212．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568 超过50至200的部分0.598 超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．答案148.413．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝________．解析 x >0时，－x <0，f (x )＝f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4. 答案－x －x 414．已知奇函数f (x )在[3，6]上为增函数，在[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________．解析 f (3)＝－1，f (6)＝8，由奇函数知2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×8－(－1)＝－15. 答案－1515．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2（x >0），2（x ＝0），0（x <0），则f (f (f (－2)))的值为________．解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝0，∴f (f (－2))＝f (0)＝2>0，f (f (f (－2)))＝f (2)＝4. 答案 4三、解答题(共75分)16．(13分)设集合M ＝{x |ax 2－2x ＋2＝0，x ∈R }至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解 (1)若a ＝0，则方程ax 2－2x ＋2＝0变为－2x ＋2＝0，解得x ＝1，即M ＝{1}，符合条件． (2)若a ≠0，由题意知Δ＝(－2)2－4×2a ＝4－8a ≤0， ∴a ≥12.综上所述，a ≥12或a ＝0.17．(13分)已知奇函数f (x )在区间[－b ，－a ] (b >a >0)上是一个恒大于0的递减函数，试问函数|f (x )|在区间[a ，b ]上是递增函数还是递减函数？证明你的结论．解 |f (x )|在区间[a ，b ]上是递增函数．证明如下：设x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则－a ≥－x 1>－x 2≥－b ，由f (x )在[－b ，－a ]上是递减函数，且恒大于0，∴0<f (－x 1)<f (－x 2)，又∵f (x )是奇函数，则－f (x 2)>－f (x 1)>0， ∴f (x 2)<f (x 1)<0，∴|f (x 1)|－|f (x 2)|＝－f (x 1)＋f (x 2) ＝f (x 2)－f (x 1)，又f (x 2)<f (x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0， ∴|f (x 1)|－|f (x 2)|<0，即|f (x 1)|<|f (x 2)|，∴函数|f (x )|在区间[a ，b ]上是递增函数．18．(13分)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围．解 ∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． (1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩⎨⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎨⎧3a ≤2a ≥4⇒a ∈∅，∴当43≤a ≤2时，A B .(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }， a ≥4或3a ≤2， ∴0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或a ≥43，∴a <0时成立．验证知当a ＝0时也成立．综上所述，当a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a >0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3<x <9}，而A ∩B ＝{x |3<x <4}，故所求a 的值为3. 19．(12分)已知函数f (x )＝log a1－mxx －1(a >0，且a ≠1)是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并给出证明；(3)当x ∈(r ，a －2)时，函数f (x )的值域是(1，＋∞)，求实数a 与r 的值．解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即log a1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1⇒1＋mx －x －1＝x －11－mx ⇒m 2x 2＝x 2. 上式对定义域内的所有x 都成立， ∴m 2＝1，m ＝±1. 当m ＝1时，f (x )无意义， ∴m ＝－1. (2)f (x )＝log a1＋x x －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1.设1<x 1<x 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）>0⇒1＋2x 1－1>1＋2x 2－1，∴当0<a <1时，log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 2－1，函数f (x )在(1，＋∞)上是递增函数；当a >1时，log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 2－1，函数f (x )在(1，＋∞)上是递减函数． (3)f (x )＝log a1＋xx －1的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当(r ，a －2)⊆(－∞，－1)时，r <a －2≤－1，又a ≠1，则0<a <1.因此f (x )在(r ，a －2)上是递增函数，值域不可能是(1，＋∞)．当(r ，a －2)⊆(1，＋∞)时，1≤r <a －2，得a >3，因此f (x )在(r ，a －2)上是递减函数， f (x )>f (a －2)＝log aa －1a －3. 由题意，得log a a －1a －3＝1⇒a ＝2＋ 3.由于f (x )的值域是(1，＋∞)，所以r ＝1.20．(12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，且a ≠1)，令F (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数y ＝F (x )的定义域； (2)判断函数y ＝F (x )的奇偶性； (3)证明：F (x )＋F (y )＝F ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy . (1)解由⎩⎨⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，故函数F (x )的定义域是(－1，1)．(2)解因为函数F (x )的定义域关于原点对称，且 F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝log a 1－x1＋x＝－log a 1＋x1－x ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，所以F (x )是奇函数．(3)证明因为F (x )＋F (y )＝log a 1＋x 1－x ＋log a 1＋y 1－y ＝log a 1＋x ＋y ＋xy1＋xy －x －y ，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝log a 1＋x ＋y1＋xy 1－x ＋y 1＋xy ＝log a 1＋x ＋y ＋xy 1＋xy －x －y ，故F (x )＋F (y )＝F ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy . 21．(12分)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，其中2a ＋3b ＋6c ＝0. (1)当a ＝0时，求方程的根；(2)当a >0时，求证方程有一根在0和1之间．(1)解当a ＝0时，3b ＋6c ＝0， ∴b ＝－2c .原方程可化为bx ＋c ＝0，则x ＝－c b ，从而可得x ＝12. (2)证明当a >0时，Δ＝b 2－4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋2c 2－4ac ＝49a 2－43ac ＋4c 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32c 2＋3c 2>0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个根．令f (x )＝ax 2＋bx ＋c .当c <0时，f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ，由2a ＋3b ＋6c ＝0，得b ＝－23a －2c ， ∴f (1)＝a －23a －2c ＋c ＝13a －c >0， ∴f (0)·f (1)<0，∴f (x )＝0有一根在(0，1)内．当c >0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ＋12b ＋c ，∵b ＝－23a －2c ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －2c ＋c ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a －13a －c ＋c ＝－112a .由a >0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，由c >0，得f (0)＝c >0，∴f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根在内．综上所述，当a >0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根在0和1之间．。

新湘教版必修1高中数学模块综合检测(二)

模块综合检测(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )A ．A ⊆BB ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}解析：选D A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.2．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x －1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1.∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x 解析：选A ∵y ＝x －1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B 、D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )解析：选D 函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12B ．－12C ．2D ．－2 解析：选A 设f (x )＝x α，则22＝⎝⎛⎭⎫12α， ∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12. 7．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(10,100)D ．(100，＋∞)解析：选B ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－110＝910＞0，f (100)＝2－1100＞0， ∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间为(1,10)．8．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a 解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.9.如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( ) A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )解析：选C ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C. 11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 解析：选C 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6. 于是lg a ＋lg b ＝0.故ab ＝1.因而abc ＝c .由图知10<c <12，故abc ∈(10,12)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |x ＞1}，∴∁U A ＝{x |x ≤1}．由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A )∪B ＝R 可知a ≤1.答案：(－∞，1]14．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________．解析：∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ，∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：216．如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数①y ＝e x ＋x ；②y ＝x 2；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________．解析：∵对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，等价于(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件．②函数y ＝x 2在定义域上不单调．不满足条件．③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为①.答案：①三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2＜2x ＜8}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2＜2x ＜8}＝(1,3)，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}＝[2,5]，故A ∩B ＝[2,3)．(2)∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．故由B ⊆∁R A 知，a ＋3≤1或a ≥3，故实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)，则2＝log a 4，即a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，定义域为(－1，1)．(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0,1)．19．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2.解：(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2＝f (6)＋f (6)．∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9，即不等式的解集为(－3,9)．20．(本小题满分12分)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x (元)(60≤x ≤300，x ∈N ＋)，用y (元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解：(1)当60≤x ≤90，x ∈N ＋时，y ＝750x －1 725；当90＜x ≤300，x ∈N ＋时，y ＝[750－3(x －90)]x －1 725，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧750x －1 725，60≤x ≤90，x ∈N ＋，－3x 2＋1 020x －1 725，90＜x ≤300，x ∈N ＋. (2)对于y ＝750x －1 725,60≤x ≤90，x ∈N ＋，∵y 在[60,90](x ∈N ＋)上单调递增，∴当x ＝90时，y max ＝65 775.对于y ＝－3x 2＋1 020x －1 725＝－3(x －170)2＋84 975，90＜x ≤300，x ∈N ＋，当x ＝170时，y max ＝84 975.∵84 975＞65 775，∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．21．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1.(1)求f (3)＋f (－1)；(2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7,3]，求区间A .解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6.(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝2－x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2－x ＋1，x ＜0. (3)作出函数f (x )的图象，如图所示．根据函数图象可得f (x )在R 上单调递增，当x ＜0时，－7≤－2－x ＋1＜0，解得－3≤x ＜0；当x ≥0时，0≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2；∴区间A 为[－3,2]．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足f (x )－f (x ＋1)＝－2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的范围；(3)设G (t )＝f (2t ＋a )，t ∈[－1,1]，求G (t )的最大值．解：(1)令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，代入已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，c ＝1.故f (x )＝x 2－x ＋1，(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )>2x ＋m 恒成立，即x 2－3x ＋1>m 恒成立；令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54，x ∈[－1,1]．则对称轴：x ＝32∉[－1,1]，g (x )min ＝g (1)＝－1， ∴m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．(3)G (t )＝f (2t ＋a )＝4t 2＋(4a －2)t ＋a 2－a ＋1，t ∈[－1,1]，对称轴为：t ＝1－2a 4. 当1－2a 4≥0，即a ≤12时，如图①：G (t )max ＝G (－1)＝4－(4a －2)＋a 2－a ＋1＝a 2－5a ＋7.当1－2a4<0，即a >12时，如图②：G (t )max ＝G (1)＝4＋(4a －2)＋a 2－a ＋1＝a 2＋3a ＋3，综上所述： G (t )max ＝⎩⎨⎧ a 2－5a ＋7，a ≤12，a 2＋3a ＋3，a >12.。

新湘教版必修1高中数学模块综合检测(一)

模块综合检测(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．log 22的值为( ) A ．－2 B. 2 C ．－12D.12解析：选D 由log 22＝log 2212＝12log 22＝12.2．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞)解析：选D 由题意知x －4≥0且lg x ≠1，解得x ≥4且x ≠10.故选D.3．设集合M ＝{(x ，y )|y ＝2x ，x ∈R}，N ＝{(x ，y )|x ＝1，y ∈R}，则M ∩N 的元素有( ) A ．0个B ．1个C ．0个或1个D ．无数个解析：选B 当x ＝1时，2x ＝2.∴M ∩N ＝{(1,2)}．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x <0，x (x －4)，x ≥0，则该函数的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x <0时，令x (x ＋4)＝0，解得x ＝－4；当x ≥0时，令x (x －4)＝0，解得x ＝0或4. 综上，该函数的零点有3个．5．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的反函数的图象为( )解析：选D 法一：可根据函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称作出判断．法二：函数y ＝(12)x 的反函数为y ＝log 12x .6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则 f (f (2))的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ∵f (2)＝log 3(4－1)＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2e 0＝2.7．a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选A a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8，c ＝2log 52＝log 54，因为21.2>20.8>1，所以a >b >1，c ＝log 54<1，所以a >b >c ，选A.8．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，而四个函数中只有f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减．9．设a ＞1，则log 0.2a,0.2a ，a 0.2的大小关系是( ) A ．0.2a ＜log 0.2a ＜a 0.2 B ．log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2 C ．log 0.2a ＜a 0.2＜0.2aD ．0.2a ＜a 0.2＜log 0.2a解析：选B ∵a ＞1.∴log 0.2a ＜log 0.21＝0,0＜0.2a ＜0.21＜1，a 0.2＞1.∴log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2. 10．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f (|log 81x |)>0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选B 由题意知f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，所以f (|log 81x |)>f ⎝⎛⎭⎫13，因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以|log 81x |>13，解得0<x <12或x >2.11．若f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)解析：选D 用－x 代x ，则有f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ，结合f (x )－g (x )＝e x，可得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e －x ＋e x2.所以f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0，g (0)＝－1，所以f (3)>f (2)>f (0)>g (0)，故选D.12．设函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (a ＋1)＝f (2)B ．f (a ＋1)>f (2)C ．f (a ＋1)<f (2)D ．不确定解析：选B 易知f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以0<a <1，所以1<a ＋1<2，所以f (a ＋1)>f (2)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ∈R ，则集合{3，x ，x 2－2x }中元素x 所应满足的条件为________．解析：由集合元素的互异性可知⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3x 2－2x ≠3x ≠x 2－2x .解得：x ≠0，－1,3. 答案：x ≠0，－1,3.14．函数f (x )＝log 0.5(x 2－1)的单调增区间是________．解析：由x 2－1>0，得x >1或x <－1.令g (x )＝x 2－1，∴g (x )的单调递减区间为(－∞，－1)．又∵f (x )＝log 0.5x 是减函数，由复合函数的单调性知，f (x )＝log 0.5(x 2－1)的单调递增区间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)15.如图是偶函数y ＝f (x )的局部图象，根据图象所给信息，有以下结论： ①函数一定有最小值； ②f (－1)－f (2)>0； ③f (－1)－f (2)＝0； ④f (－1)－f (2)<0； ⑤f (－1)＋f (2)>0.其中正确的结论有________．(填序号)解析：由于所给图象为函数的局部图象，所以不能确定函数一定有最小值；由图象知函数y ＝f (x )在区间[1,3]上是增函数，则f (1)－f (2)<0，又函数y ＝f (x )是偶函数，则f (－1)＝f (1)，则f (－1)－f (2)<0.∵f (－1)＝f (1)>0，f (2)>0，∴f (－1)＋f (2)>0. 答案：④⑤16．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：∵要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)计算：⎝⎛⎭⎫27912＋(lg5)0＋⎝⎛⎭⎫2764－13； (2)解方程：log 3(6x －9)＝3.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋(lg5)0＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫343－13 ＝53＋1＋43＝4. (2)由方程log 3(6x －9)＝3得：6x －9＝33＝27， ∴6x ＝36＝62，∴x ＝2. 经检验，x ＝2是原方程的根．18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }，全集为实数集R.(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)求A ∩C .解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x <10}，(∁R A )∩B ＝{x |x <1，或x ≥7}∩{x |2<x <10}＝{x |7≤x <10}． (2)当a ≤1时，A ∩C ＝∅. 当1<a <7时，A ∩C ＝{x |1≤x <a }，当a ≥7时，A ∩C ＝{x |1≤x <7}．19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x －1x ，求证： (1)f (x )在定义域上为增函数；(2)满足等式f (x )＝1的实数x 的值至多只有一个．证明：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝x 2－x 1＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 2＋x 1＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋x 1＋1x 1x 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)假定满足f (x )＝1的实数x 的值至少有2个，设为x 1、x 2且x 1＜x 2，则应有f (x 1)＝1＝f (x 2)．这与f (x )在它的定义域上为增函数的结论f (x 1)＜f (x 2)矛盾，故满足f (x )＝1的实数x 的值至多只有一个．20．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式和定义域； (2)求f (x )的值域．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，即lg y ＝3x (3－x )，y ＝103x (3－x )．又⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞03－x ＞0. ∴0＜x ＜3，∴f (x )＝103x (3－x )(0＜x ＜3)．(2)y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋94＋274 ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274. 当x ＝32∈(0,3)时，u 取最大值274，∴u ∈⎝⎛⎦⎤0，274，y ∈(1,10274 ]．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧mx －98(0＜x ＜m )log 2x2m (m ≤x ＜1)满足f (m 2)＝－1，(1)求常数m 值；(2)解关于x 的方程f (x )＋2m ＝0，并写出x 的解集．解：(1)∵0＜m ＜1∴0＜m 2＜m ，由f (m 2)＝－1得m ·m 2－98＝－1，∴m ＝12.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎨⎧12x －98，0＜x ＜12，log 2(2x 2)，12≤x ＜1，方程f (x )＋2m ＝0就是f (x )＋1＝0，所以⎩⎨⎧0＜x ＜1212x －98＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜1log 2(2x 2)＋1＝0，解得x ＝14或x ＝12，所以方程f (x )＋1＝0解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，12 .22．(本小题满分12分)经过调查发现，某种新产品在投放市场的100天中，前40天，其价格呈直线上升趋势，(价格是一次函数)，而后60天，其价格则呈直线下降趋势，现抽取其中4天的价格如下表所示：(1)(2)若销售量g (x )与时间x 的函数关系是g (x )＝－13x ＋1093(1≤x ≤100，x ∈N)，求日销售额的最大值，并求第几天销售额最高？解：(1)用待定系数法不难得到f (x )＝⎩⎨⎧14x ＋22 (1≤x ≤40，x ∈N )，－12x ＋52 (40<x ≤100，x ∈N ).(2)设日销售额为S 千元，当1≤x ≤40时，S ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋22⎝⎛⎭⎫－13x ＋1093 ＝－112⎝⎛⎭⎫x －2122＋38 80948，当x ＝10或11时，S max ＝9 70212＝808.5(千元)．当40<x ≤100时， S ＝⎝⎛⎭⎫－12x ＋52⎝⎛⎭⎫－13x ＋1093 ＝16(x 2－213x ＋11336)， ∴x ＝40时，S max ＝736(千元)．综上分析，日销售额最高是在第10天或第11天，最高值为808.5千元．。

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解(1)若a＝0，则方程ax2－2x＋2＝0变为－2x＋2＝0，
解得x＝1，即M＝{1}，符合条件．
(2)若a≠0，由题意知
Δ＝(－2)2－4×2a＝4－8a≤0，
∴a≥ .综上所述，a≥ 或a＝0.
17．(13分)已知奇函数f(x)在区间[－b，－a] (b>a>0)上是一个恒大于0的递减函数，试问函数|f(x)|在区间[a，b]上是递增函数还是递减函数？证明你的结论．
模块检测
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}．下列A到B的对应法则中：①f：x→y＝ x；②f：x→y＝x－2；③f：x→y＝；④f：x→y＝－|x|.其中能构成映射的有()．
A．①②B．①③
C．③④D．②④
解析如图，由图象可知x∈(0，1)时，2x>x >lgx.
答案A8．式子＋的值所属 Nhomakorabea区间是()．
A．(－2，－1)B．(1，2)
C．(2，3)D．(－∞，－2)
解析因为32<10<33，所以原式＝log ＋log ＝log310∈(2，3)．
答案C
9．若log2a<0， >1，则()．
A．a>1，b>0B．a>1，b<0
答案－15
15．已知f(x)＝则f(f(f(－2)))的值为________．
解析∵－2<0，∴f(－2)＝0，
∴f(f(－2))＝f(0)＝2>0，f(f(f(－2)))＝f(2)＝4.
答案4
三、解答题(共75分)
16．(13分)设集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，x∈R}至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解析x>0时，－x<0，f(x)＝f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.
答案－x－x4
14．已知奇函数f(x)在[3，6]上为增函数，在[3，6]上的最大值为8，最小值为
－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________．
解析f(3)＝－1，f(6)＝8，由奇函数知
2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8－(－1)＝－15.
答案B
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．计算log 2 ＋log23·log3 ＝________．
解析原式＝2log22 － · ＝2× －1＝2.
答案2
12．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位：千瓦时)
答案C
4．下列各组函数中，表示同一函数的是()．
A．y＝x＋2和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．y＝x3和y＝(x＋1)3
D．y＝和y＝
解析A中y＝x＋2的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－2}，所以A
不是．B中y＝x0的定义域{x|x≠0}，y＝1的定义域为R，所以B不是．C中
两函数解析式不同，所以只有D对．
解|f(x)|在区间[a，b]上是递增函数．
证明如下：
设x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，
则－a≥－x1>－x2≥－b，
由f(x)在[－b，－a]上是递减函数，且恒大于0，
∴0<f(－x1)<f(－x2)，
又∵f(x)是奇函数，则－f(x2)>－f(x1)>0，
∴f(x2)<f(x1)<0，
∴|f(x1)|－|f(x2)|＝－f(x1)＋f(x2)
解析因为0≤x≤4，所以0≤ x≤2，则①应能构成映射；②中，当x＝0时，
y＝－2，所以不能构成映射；③中，0≤x≤4，所以0≤ ≤2，③能构成映
射；④中，当x＝4时，y＝－4，所以不能构成映射．
答案B
2．已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩(∁NB)＝()．
A．{1，5，7}B．{3，5，7}
答案D
5．若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则()．
A．a>b>cB．b>a>c
C．c>a>bD．b>c>a
解析a＝log3π>1，0<b＝log76<1，
c＝log20.8<0，因此a>b>c.
答案A
6．f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R总有f(x＋2 012)＝－f(x)，则f(－2 012)的值为()．
高峰电价(单
位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价(单
位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0
解析由log2a<0⇒0<a<1，由 >1⇒b<0.
答案D
10．方程log x＝2x－1的实数根的个数为()．
A．0B．1C．2D．不确定
解析在同一坐标系中分别画出函数y1＝log x，y2＝2x－1
的图象，如图所示，可知两图象只有一个交点，即方程有
一个实数根．
解析高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应
付的电费为a＋b＝148.4(元)．
答案148.4
13．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________．
A．0B．1 006C．2 012D．－2 012
解析依题意得f(0)＝0，故f(－2 012)＝－f(2 012)＝
－f(0＋2 012)＝f(0)＝0.选A.
答案A
7．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是()．
A．2x>x >lgxB．2x>lgx>x
C．x >2x>lgxD．lgx>x >2x
C．{1，3，9}D．{1，2，3}
解析∵B＝{0，3，6，9，12}，∴(∁NB)中没有3和9，有1，5，7.∵A＝{1，
3，5，7，9}，∴A∩(∁NB)＝{1，5，7}．
答案A
3．函数y＝的定义域为()．
A．(－4，－1)B．(－4，1)
C．(－1，1)D．(－1，1]
解析由题意，得 ⇒－1<x<1.