矩形教案

《矩形》教案【教学设计说明】本节课通过演示平行四边形模型，结合实际，在学生原有知识的基础上，自然得出矩形的定义，又在学生动手实践的基础上产生对矩形的性质与判定方法的疑惑，从而激发学生的学习兴趣．在掌握知识的同时，使学生逐步养成其动手、动脑、动口的习惯，自主探究，进行“探究式学习”．【教材分析】矩形作为特殊的平行四边形是几何中的基本图形，也是人们日常生活和生产中应用很广泛的一种几何图形，它与生活实际密切联系．矩形的性质与判定是以四边形和平行四边形以及全等三角形等有关知识为研究基础的，从这个意义上说，矩形的性质与判定又是四边形和平行四边形应用的深化和扩充．矩形是特殊的平行四边形，它的性质和判定又是研究探索其它特殊的的平行四边形的基础，所以在这里起着承上启下的作用．另外，本节的内容还渗透着转化、对比的数学思想，重在培养学生的逻辑思维能力和分析、推理、归纳的能力，因此，这节课无论从知识性还是从思想性来讲，都占有重要的地位．【学情分析】矩形是人们日常生活和生产中常见的和应用很广泛的一种几何图形，与生活实际密切联系，它就是学生小学已经学过的很熟悉的长方形．所以，从四边形和平行四边形出发，在矩形的定义的基础上，从边、角和对角线三方面探究矩形的性质与判定方法，学生应该能够理解接受．但对于性质和判别的推理与证明，学生可能会产生一定的困难，所以教学中要想方设法突破．【教学目标】1．掌握矩形的概念、性质和判定方法，发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解矩形与平行四边形的区别与联系，并会利用这些知识进行简单的推理与计算．2．在经历探索矩形的性质和判定方法的过程，发展学生合情推理能力，掌握几何思维说理的方法．3．通过动手操作、观察比较、合作交流，激发学生的学习兴趣，让学生增强学习信心，体验探索与创造的快乐并培养严谨的推理能力．【教学重点】矩形性质和判定方法的探索．【教学难点】矩形的本质属性，矩形性质和判定方法的的证明和应用．【课时安排】两课时【教具准备】平行四边形活动框架、多媒体课件．【教学策略】本节课主要通过创设问题情境，引导学生动手实践、自主探究、合作交流，采用边启发、边分析、边推理，层层设疑，讲练结合的方法．【教学过程】（一）创设情景，导入课题1．教师演示：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程）(意图：复习旧知识）2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．(意图：产生认知冲突）3．教师展示一些矩形图片，学生举例生活中的矩形．（意图：学生在小学已经对矩形有了了解，回答起来应该不难，要激起学生的学习热情，并培养学生观察生活的能力，知道数学就在我们身边）教室里有没有矩形？（国旗、黑板、门、窗户、书……..）平时生活中有没有矩形？（桌子、砖…….）4．思考：矩形是平行四边形吗？什么样的四边形是矩形?5．小结：有一个角是直角的平行四边形是矩形．注意：矩形是特殊的平行四边形．【设计意图】通过学生观察思考、分析、交流引出矩形的定义，把平行四边形的演变过程迁移到矩形的定义上来，明确矩形是特殊的平行四边形，引入课题．并通过让学生举出生活中的实例，让学生感受数学与生活的联系．（二）课堂探究，分组讨论，归纳新知1．【探究一】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①当∠ɑ是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？②随着∠ɑ的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？它的两条对角线的长度有什么关系？生：猜想结论2．矩形的性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2) 矩形的对角线相等．3．命题的证明：如上图，已知□ABCD是矩形，求证：（1）∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=900；（2）AC=BD．生：先独立思考，后交流讨论．【设计意图】在活动中让学生自己探索发现新知，在交流中归纳新知，把学习的主动权交给学生，让学生充分经历知识形成的全过程．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=90°又∵矩形ABCD是平行四边形∴ ∠BAD =∠BCD ，∠ABC = ∠ADC ，∠BAD +∠ABC = 180°∴∠BAD =∠ABC =∠BCD =∠ADC =900，即矩形的四个角都是直角．（2）∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC =∠DCB =900又 ∵矩形ABCD 是平行四边形∴AB = DC ， BC = CB∴△ABC ≌△DCB(SAS)∴AC = BD ，即矩形的对角线相等．4．提问：你能说说矩形与平行四边形的性质相同和不同之处吗？5．思考：在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO =BO =CO =DO =21AC =21BD ，遮掉Rt △ACD 后的Rt △ABC ，你能得出什么结论？推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【设计意图】让学生感受矩形与直角三角形有密切的关系，引导学生归纳总结直角三角形的性质,有助于生形成系统化的知识，培养良好的学习习惯．例1 .已知：矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB =60°，AB =4cm ，求矩形对角线的长．解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠ ABC = 90° ,AC=BD=2AO=2BO=2CO=2DO ．又∵ ∠AOB ＝60°，∴ △AOB 为等边三角形，即AB=AO=4cm ．∴AC ＝2AB =8cm ，即对角线的长为8cm【设计意图】学生学了矩形性质，关键利用性质来进行线段、角度的计算．6．【探究二】由定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．如何判断一个四边形是矩形呢？(1)教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定．学生活动：观察教具，回忆学过的矩形定义，深刻理解定义可作为矩形判定的方法之一，并归纳出通俗易记的构架：先证□再证一个直角→矩形．(2)教师活动：出示教具继续操作，探究，提问：当矩形一个角变成90°后，其余三个角同时都变成90°，两条对角线也成为相等的线段，那么这个变形中你们想到了什么呢？能从中得到怎样的启发？学生活动：观察、联想后，提出各自的见解：矩形的判定方法二：对角线相等的平行四边形是矩形．【设计意图】经历知识探究的过程，培养自主探究的能力．7．命题的证明：生：分析题意，画出图形，符号表示已知：在平行四边形ABCD中，AC＝BD，求证：平行四边形ABCD是矩形．生：先独立思考，后交流讨论．证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AB∥CD且AB=CD，BC=BC又∵AC=BD∴△ABC≌△DCB(SSS) ∴∠ABC＝∠DCB又∵AB∥CD∴∠ABC＋∠DCB=180°∴∠ABC＝∠DCB＝900∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）8．【探究三】按照画“边――直角、边――直角、边――直角、边”这样四步（如下图）画出一个四边形．你能判断它是一个矩形吗？说明理由．(1)命题：有三个角是直角的四边形是矩形．证明：因为四边形内角和为360°，所以第四个角也是直角．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．所以这个四边形是平行四边形．又因为它有一个直角，根据定义可以判断它是矩形．(2)矩形的判定方法三：有三个角是直角的四边形是矩形．【设计意图】经历画图、猜想、验证、归纳的过程，培养自主探究的能力．9．例2．已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．生：先独立思考，后交流讨论．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴ AC =2AO ，BD =2BO又∵ △AOB 是等边三角形 即AO =BO∴ AC =BD∴ 四边形ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．则∠ABC =900又∵ 在Rt △ABC 中，AB =4cm ，AC =2AO =8cm ，由勾股定理知BC 2＝AC 2 －AB 2∴ BC =∴这个平行四边形的面积为A B ·BC=4×2【设计意图】巩固所学知识，培养应用意识（三）应用巩固，深化提高1．如下图，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上的点，且CE =BF ．求证：BE =CF答案：证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AO =BO =CO =DO 即△OBC 是等腰三角形∴∠EBC =∠FCB又∵CE =BF ，BC=CB ∴△EBC ≌△FCB （SAS ） ∴BE =CF2．变式练习1：若已知AB ＝4，∠AOB ＝600，E 、F 分别是OB 、OC 的中点，求EF 的长．答案：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AO =BO =CO =DO ，∠ABC ＝900又∵∠AOB ＝600∴△AOB 是等边三角形，则AC =2AO =2AB =8又∵ 在Rt △ABC 中，AB =4cm ，AC =2AO =8cm ，由勾股定理知BC 2＝AC 2 －AB 2∴BC =又∵ E 、F 分别是OB 、OC 的中点∴E 、F 是△OBC 的中位线∴EF =12BC =3．如下图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ．（1）求∠CAE 的度数；（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．答案：（1）解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形∴∠BAC=∠DAE=600又∵点D是BC边的中点∴AD平分∠BAC（三线合一）∴∠DAC=300∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC=600－300＝300（2）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形∴AB＝AC＝BC，AD＝AE又∵∠BAD＝∠CAE＝300∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE又∵F是AB边的中点∴AF＝BF＝BD＝CE，CF⊥AB又∵在△ABD和△CBF中，BD=BF，∠B=∠B，AB=CB∴△AB D≌△CBF（SAS）∴AD=CF又∵AD=AE∴CF=AE∴四边形AFCE是平行四边形（有两组对边相等的四边形是平行四边形）又∵CF⊥AB即∠AFC＝900∴四边形AFCE是矩形．4．变式练习2：连接EF，试判断四边形BCEF的形状．四边形BCEF 是平行四边形证明：∵四边形AFCE是矩形∴AF∥CE且AF=CE又∵F是AB边的中点即AF=BF∴BF∥CE且BF=CE∴四边形BCEF 是平行四边形【设计意图】当堂训练，加深对矩形性质和判定的理解．通过变式训练，全面认识矩形的性质和判定方法，进一步培养学生的推理和应用能力．5．数学生活：若要检查我们的教室的门框是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？【设计意图】数学源于生活又用于生活，培养学生爱数学、学数学的热情．答案：可以先用绳子量一量两组对边是否相等，再量一量两条对角线是否相等即可．(四)课堂小结，自主评价请你谈谈这节课学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你对本节课的表现满意吗？有什么感受？【设计意图】把课堂还给学生，让学生自我反馈，自主评价，培养学生的自主学习、归纳、语言表达能力．(五) 课后作业必做题：1.如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1＝∠2，OB＝6cm．(1)求∠BOC的度数；(2)求△DOC的周长．2.已知：如图2，□ABCD中，M为AD中点，且BM=CM，试判别四边形ABCD是否为矩形，为什么？3.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．（2）如果AB AC选做题：如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．【设计意图】针对学生的差异性，实施分层布置作业，以便更好的巩固所学知识．答案：解：1．（1）∵四边形ABCD是矩形∴AO=BO=CO=DO=6cm又∵AE⊥BD∴∠1＋∠ABO＝∠2＋∠AOB＝900又∵∠1＝∠2∴∠ABO＝∠AOB∴AO=AB∴△ABO是等边三角形即∠AOB＝900又∵∠AOB＋∠BOC＝1800∴∠BOC＝1200（2）∵△ABO是等边三角形，而AB＝CD∴△DOC也是等边三角形∴CO=DO=CD=6cm即△DOC的周长是18cm．2．四边形ABCD是矩形理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD且AB∥CD又∵M是AD中点∴AM=DM又∵BM=CM∴△ABM≌△DCM（SSS）∴∠A＝∠D又∵AB∥CD则∠A＋∠D＝900∴∠A＝∠D＝900∴四边形ABCD是矩形．3．（1）证明：在△AEF和△DE B中，∵AF∥BC∴∠AFE=∠DBE又∵E是AD的中点∴AE=DE又∵∠AEF=∠DEB∴△ADF≌△CDE（AAS）∴AF=DB又∵AF=DC∴DB=DC即D是BC的中点（2）解：若AB=AC则四边形ADCF是矩形证明：由（1）知：AF=DC，AF∥DC∴四边形ADCF是平行四边形又∵AB=AC，D是BC的中点∴AD⊥BC即∠ADC＝900（三线合一）∴四边形ADCF是矩形．4．（1）证明：连接AC∵∠ABC＝90°∴AB2＋BC2＝AC2∵CD⊥AD∴AD2＋CD2＝AC2又∵AD2＋CD2＝2AB2∴AB2＋BC2＝2AB2∴AB＝BC（2）证明：过C作CF⊥BE于F∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形∴CD＝EF∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°∴∠BAE＝∠CBF又∵AB＝BC∴△BAE≌△CBF（AAS）∴AE＝BF∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD【板书设计】【课后反思】本节课的主要内容是矩形的定义、性质和判定．矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角，通过演示平行四边变成矩形的过程，学生对平行四边形和矩形之间的联系和区别有了比较深的印象．由于矩形比平行四边形多了有一个是直角的条件，它就增加了一些特殊的性质和判定方法，当平行四边形变成矩形后，可以观察它的四个角变成了直角，两条对角线相等．通过演示教具得到矩形的定义、性质和判定方法是本节课的一个亮点．总之，这堂课按创设情景、合作交流、探索问题、应用新知，体验成功、小结与反思这种安排进行，井然有序，环环相扣，讲练结合，教学效果不错．合作交流、探索问题这一环节的教学提问时间安排有点仓促，合情推理的能力有待于慢慢的熟练，这需要我不断加强和引导学生的课后辅导，以巩固新知，提升学生能力．。