椭圆常见性质【推荐】
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。
设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。
2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。
3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。
长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。
离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。
6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。
7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。
8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。
三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。
2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。
3. 固定时间下的最短路径问题。
4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。
4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。
5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。
总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。
椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。
椭圆十大性质
椭圆十大性质椭圆十大性质（一）任意相等，（二）中心对称轴是对称中心，（三）面积关系。
这里的“面积”指的是内接正六边形的面积，正六边形是特殊的等腰梯形，所以“正六边形的面积”是中心对称面积。
如果不相等，就违背了性质1：若两个角互补则它们的和大于180°。
（二）中心对称轴是对称中心，即它有一条对称轴。
这就好像“长方体”一样，四条棱的交点叫做中心，所以把中心定为原点。
当然，长方体的中心还有垂直于各条棱的线段与之相连，构成中心对称图形，另外还有中心点。
在同一平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
对称轴既不是直线也不是虚线，它是一条线段。
证明：设，，则得到。
这是任意的，当然可以是别的数。
这样就把椭圆的性质1和性质2证明完了。
但要注意，性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。
在平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
椭圆的中心对称图形是由关于一条直线对称的两个部分组成的，其中对称轴是过椭圆两焦点的直线，另一部分是由关于该直线对称的两个椭圆组成的。
（四）单调有界不可能发生在椭圆上，我们先从长方形和正方形的性质来看：首先必须知道正方形面积的公式： s=a^2，而且s^2≥s，另外正方形的性质：正方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线；边中点连线平行对角线；有三条边平行，则此三角形全等。
根据上面的论述可得：面积≥边长（ a=b），长方形面积=长×宽，长方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线。
我们再从椭圆的性质来看：椭圆面积的公式： s=a^2，已经知道a^2≥s，根据性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。
所以：1、性质1：，且a=b。
性质2：，且s=a^2；2、性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半；3、若s=s^2，那么面积也应该等于a^2，只不过s^2≥s，因为：，所以s=a^2。
椭圆知识点与性质大全
椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。
此定义为椭圆的第一定义。
2、椭圆的简单性质3、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =.4、通径过椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且22b AB a =。
P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆.7、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内。
椭圆的特殊性质
一、椭圆的几何性质（以22a x +22by =1（a ﹥b ﹥0）为例）1、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2tan 2θ•b（2）（S ⊿PF1F2）max = bc（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大2、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ， 连接OM 由已知有1PF FP =，M 为1F F 中点∴212OM FF ==()1212PF PF +=a所以M 的轨迹方程为 222x y a +=。
3、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切4、过焦点F 的弦AB ，)(2112定值baBF AF =+ 5、AB 是椭圆的任意一弦，P 是AB 中点，则22ab K K OP AB -=•（定值） 证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y 则()1202x x x +=()1202y y y+=xx22112222222211x y a b x y a b ⎫+=⎪⎪⎬⎪+=⎪⎭()()()()1212121222..0x x x x y y y y a b +-+-⇒+= ∵ ()()1212AB y y k x x -=-，0OP y k x =， ∴ 22AB OPb k k a⋅=-。
6、椭圆的长轴端点为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，连结A 1P 、A 2P 并延长，交一准线于N 、M 两点，则M 、N 与对应准线的焦点张角为900证明：令()221200,,,,,a a M y N y P x y c c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,0A a -，()2,0A a∴()()100200,,,,A P x a y A P x a y =+=-221122,,,a a A M a y A N a y c c ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵ 由于1A 、P 、M 共线 ，∴ 20001210()a y a x a y c y a y x a a c⋅++=⇒=++ ∵ 由于2,,A P N 共线 ，∴ 20002220()a y a x a y c y a y x a a c⋅--=⇒=-- ∴ 22242200012222000()()a a y a y a y a a c c c y y x a x a x a c ⋅-⋅+-==⋅-+-，∵ 22220002222201x y y b a b x a a+=⇒=-- ∴ 24221222b a ac y y a c -=-⋅42b c =-， ∵ 2122,,a FM c y c a FN c y c ⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎪⎬⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎭4122b FM FN y y c ⇒⋅=+ ∴ 0FM FN ⋅=，∴ M 、N 与对应准线的焦点张角为9007、圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定x点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-8、P 为椭圆一定点，PB PA k k =-，当B 变动时，AB k 为一定值。
1.椭圆的几何性质(简单性质)
e =
c a
a2=b2+c2
已知椭圆方程为16x =400， 例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则 它的长轴长是： 10 ；短轴长是 短轴长是： 8 ； 它的长轴长是 短轴长是
焦距是： 焦距是
6
；离心率等于 离心率等于： 离心率等于
焦点坐标是： 焦点坐标是
(±3, 0) ；顶点坐标是 (±5, 0) (0, ±4) ； 顶点坐标是： 顶点坐标是
x2 y2 + = 1 的两个焦点为 1 、F2 ，过左焦点作 的两个焦点为F 椭圆 45 20
直线与椭圆交于A， 两点， 的面积为20， 直线与椭圆交于 ，B 两点，若△ AB F2 的面积为 ， 求直线的方程。 求直线的方程。
y
（x1 , y1） A
o
（x2 , y2） B F1 F2
x
作业
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 已知椭圆的中心在原点 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（ ， ）， ），求 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点 （3，0），求 椭圆的方程. 椭圆的方程 2 2 x + 2 y = 4 的左焦点作倾斜角为 30 0 2.过椭圆 过椭圆 的直线AB， 求线段AB的长度 的长度. 的直线 ， 求线段 的长度
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 、
x a
2 2
y2 + = 1( a > b > 0 ) 2 b
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴：线段 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短 轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 y
椭圆常见性质
椭圆常见性质１.11||1PF e d =< 2、P Ｔ平分12PF F ∆在点Ｐ处的外角,则焦点在直线ＰT 上的射影H 点的轨迹就是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离、４、以焦点半径1PF 为直径的圆必与长轴为直径的圆内切.５、设12,A A 为椭圆的左,右顶点,则12PF F ∆在边2PF (或1PF )上的旁切圆,必与12A A 所在的直线切与2A (或1A ).6.椭圆焦点三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点、７.椭圆两焦点到椭圆焦点三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a －ｃ.8.椭圆焦点三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c 、９、椭圆焦点三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比c 、1０、椭圆焦点三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.1１、椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长、12、椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角引垂线,垂足就就是垂足同侧焦半径为直径的圆的与椭圆长轴为直径的圆的切点.13、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦半径公式: 1020||,||.PF a ex PF a ex =+=-(0x 就是Ｐ点横坐标).１4、设P 点就是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点.记12F PF θ∠=,则1222122(1)||||;(2)tan .1cos 2PF F b PF PF S b θθ∆==+ 15、若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任一点, 12,F F 为其焦点,1221,PF F PF F αβ∠=∠=,则tan tan .22a c a c αβ-=+ 16.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ,Ｐ(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在12PF F ∆中,记121212,,,F PF PF F F F P αβλ∠=∠=∠=则有sin sin sin e αβλ=+、 17.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点12(,0),(,0)A a A a -,与ｙ轴平行的直线交椭圆于12,P P 时,11A P 与22A P 交点的轨迹方程就是22221x y a b-=、 18、若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过P 点的椭圆的切线方程就是00221xx yy a b+=、 19、AB 就是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M 为A Ｂ的中点,则22OM AB b k k a⋅=-、 ２0、若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被P 所平分的中点弦的方程就是2200002222xx yy x y a b a b+=+、 2１.若00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过P 的弦中点的轨迹方程就是22002222xx yy x y a b a b+=+、 ２2、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,O 为坐标原点,P,Ｑ为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥, (1)22221111||||OP OQ a b +=+;(2)22||||OP OQ +的最大值为22224a b a b+; (3)OPQ S ∆的最小值就是2222a b a b+、 ２3、若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,左准线为ｌ,则当11e ≤<时,可在椭圆上求一点P,使得1PF 就是P 到对应准线距离的d 与2PF 的比例中项。
椭圆的经典知识总结
椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。
一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。
2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。
(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。
长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。
(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。
(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。
(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。
3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。
(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。
(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。
4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。
二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。
(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。
2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。
(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。
3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。
(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。
4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。
5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。
(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。
椭圆的基本概念与性质
椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些独特的性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本概念以及一些相关的性质。
一、椭圆的定义与特点椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离的总和等于常数2a （长轴）的点P的轨迹组成。
根据定义，椭圆上的任意点到焦点F和焦点到点到点P的距离之和等于常数2a。
椭圆还有一个参数b，称为短轴。
这两个参数构成了椭圆的两个辅助直径。
椭圆的中心是离焦点F和点P等距离的点O。
长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中2a>2b。
两个焦点F与F'关于中心O对称。
椭圆有一些特殊的性质：1. 椭圆上的任意点P到焦点的距离之和等于2a。
2. 椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的数，定义为焦点到椭圆的中心的距离与长轴的一半的比值。
离心率决定了椭圆形状的“瘦胖程度”。
当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一个线段。
3. 椭圆的面积等于πab，其中π是圆周率。
二、椭圆的方程与坐标表示椭圆的方程可以通过焦点和离心率进行表示。
一般形式的椭圆方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
椭圆的中心位于原点(0,0)处。
椭圆还可以通过参数方程进行表示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。
三、椭圆的性质1. 焦点定理：椭圆上的任意点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a。
2. 切线性质：椭圆上的任意点P处的切线斜率等于y/x的导数值，即m = (dy/dx) = -b^2 / a^2 * (x / y)。
3. 点到椭圆的距离：点(x1, y1)到椭圆(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1的距离为d = sqrt[(x1^2/a^2) + (y1^2/b^2) - 1]。
4. 对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。
5. 垂直角性质：椭圆上的任意点P处，直线PF1和PF2的夹角相等于直线PL1和PL2的夹角。
数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b 就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。
【高中数学】椭圆的100条经典性质及证明
921.122PF PF a+= 2.标准方程22221x y a b+= 3.111PF e d =<4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b +=+;(2)22222a A b B L a A b B =+.17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）,2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222002222(,)a b a b x y a b a b ---++.(ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+=(a ＞0,.b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1,k 2,则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-.19．过椭圆22221x y a b +=(a ＞0,b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e -≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+.29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221(cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ayα=-,当0y =时,90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a ba b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q,A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+.44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1,F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±).45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线L的距离,12,r r 分别是A ab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<<），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++.52．L 是经过椭圆221a b+=（a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a-≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b aγ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠= ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.60．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+.61．到椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222(()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222(()a bx y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆221a b +=（a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2)以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()a b a b x y a b a b-+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c.76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90.过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.91.点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记OMQ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。
椭圆的性质
椭圆的性质1、定义：（1） 性质一：椭圆上任意一点P 到两焦点1F 、2F 的距离之和为定值a 2，即a PF PF 221=+.（2） 性质二：椭圆12222=+b y a x 上任意一点P 到右焦点)0,(c F 的距离与它到右准线ca x l 2:=的距离之比为定值ac e =；椭圆12222=+b y a x 上任意一点P 到左焦点)0,(c F -的距离与它到左准线c a x l 2:-=的距离之比为定值ac e =. （3） 性质三：已知A 、B 为椭圆12222=+by a x 的左右顶点，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，则1222-=-=⋅e ab k k PB PA . 2、焦点三角形：（1） 定义：以椭圆上一点P 和焦点21,F F 为顶点的三角形叫做椭圆的焦点三角形.（2） 周长：椭圆的焦点三角形的周长为c a 22+.（3） 面积：2tan sin 2122121θθb PF PF S F PF ==∆（21PF F ∠=θ）. 3、弦长公式： 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线b kx y +=相交于),(),,(2211y x B y x A 两点，则弦长212212)()(y y x x AB -+-=2122124)(1x x x x k -+⋅+=2122124)(11y y y y k-+⋅+=. 4、焦半径、焦点弦长公式：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点),(00y x P 到左焦点1F 的距离01ex a PF +=，到右焦点2F 的距离02ex a PF -=（左加右减）.过左焦点1F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB ++=，过右焦点2F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB +-=.椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上任意一点),(00y x P 到下焦点1F 的距离01ex a PF +=，到上焦点2F 的距离02ex a PF -=（下加上减）.过下焦点1F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB ++=，过上焦点2F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB +-=.（2） 已知过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点1F ，且倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），则① θcos 21c a b AF -=，θcos 21c a b BF +=， ② 焦点弦长θ2222cos 2c a ab AB -=， ③ 211211ba BF AF =+. （3）设P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上任意一点，F 为一个焦点，θ=∠PFO ，则.cos 2θc a b PF -= 5、通径长公式：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做通经.椭圆的通经长为ab 22. 6、斜率积问题：① 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，B A ,为左右顶点，P 是椭圆上异于B A ,的任意一点，则1222-=-=⋅e ab k k PB PA . ② 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于B A ,的任意一点，若PA k 和PB k 都存在，则1222-=-=⋅e ab k k PB PA .③ 中点弦性质：已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，AB 为椭圆的一条不经过原点且不与坐标轴平行的弦，P 是弦AB 的中点，则1222-=-=⋅e ab k k OP AB . ④ 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，l 为椭圆的一条切线，P 为切点，若l k 和OP k 都存在，则1222-=-=⋅e ab k k OP l . 7、切线方程：（1）过椭圆12222=+b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+by y a x x . （2）过椭圆12222=+b y a x 外一点),(00y x P 做椭圆的两条切线，则切点弦所在直线方程为12020=+b y y a x x .。
椭圆几何性质
椭圆是平面上的一个几何图形，具有一些特殊的性质。
以下是一些椭圆的几何性质：
1.定义性质：椭圆是一个点到两个焦点距离之和等于常数的点
集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆
的中心。
2.对称性质：椭圆具有两个对称轴，即横轴和纵轴。
横轴和纵
轴互相垂直，并交于椭圆的中心。
3.焦点性质：椭圆的焦点是椭圆的两个特殊点，对于椭圆上的
每一个点，它到两个焦点的距离之和是恒定的，等于椭圆的
长轴长度。
4.直径性质：椭圆的任意一条直径的长度等于椭圆的长轴长度。
5.切线性质：椭圆上的每一条切线与椭圆的两个焦点之间的线
段的长度是相等的。
6.圆锥截面性质：椭圆是一个旋转椭圆曲线，可以通过将一个
圆沿一个不在圆心处的直线截成椭圆来得到。
这些性质为椭圆的研究和应用提供了基础，例如在数学、物理、工程等领域中，椭圆的性质被广泛应用于解决实际问题。
椭圆知识点性质大全
椭圆知识点性质大全1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =<4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b +=+;(2) L =. 17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M2222002222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=，2(tan )2b Pc γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+.29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bxay α=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max()2a lx c e=-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =. 32．椭圆22221x y a b +=与直线0A x B yC ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||PA P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx=的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PBb a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到椭圆两焦点的距离，ab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. 50．设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin eα≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =时取等号）. 55．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a-≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.60．过椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+.61．到椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a bx y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a c b -（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a b x y e e ±+=（e 为离心率）. 64．已知P 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM AM b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b -+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b +=≠. 72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min2()(||||)a b a y b x PA PB a-+⋅=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两11 交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及b y x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b l y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a+=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>. 91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122ab S S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.。
椭圆几何性质的总结方法
椭圆几何性质的总结方法摘要本文总结了椭圆的几何性质，并提供了一种简单的方法来理解和应用这些性质。
通过掌握这些方法，读者将能够更好地理解椭圆的特点和应用。
引言椭圆是数学中重要且广泛应用的几何形状之一。
它具有许多独特的性质，因此在各个领域都被广泛应用，包括工程学、天文学和物理学等。
椭圆的基本定义椭圆是一个平面上的封闭曲线，其到两个焦点的距离之和是常数。
通过这个定义，我们可以得出以下几个重要的性质。
1. 焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。
这个性质在很多应用中起到重要的作用。
焦点性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，并且和椭圆的中心点对称。
这个性质在很多应用中起到重要的作用。
2. 几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。
这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。
几何性质：椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并且长轴是短轴的两倍长。
这个性质使得椭圆在计算和建模中易于处理。
3. 离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。
接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。
离心率性质：椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围在0到1之间。
接近0的离心率表示椭圆形状接近于圆形，而接近1的离心率表示椭圆形状拉长。
总结方法为了更好地理解和应用椭圆的性质，可以采取以下几个简单的方法。
1. 绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。
绘图方法是理解椭圆性质的基础。
绘图法：通过绘制椭圆的图形，可以直观地观察到其性质，包括焦点位置、长短轴的关系和离心率等。
绘图方法是理解椭圆性质的基础。
2. 数学公式：掌握椭圆的数学公式，包括焦点坐标、长轴和短轴长度、离心率等，可以更深入地理解椭圆的性质，并能够进行更复杂的计算和推导。
数学公式：掌握椭圆的数学公式，包括焦点坐标、长轴和短轴长度、离心率等，可以更深入地理解椭圆的性质，并能够进行更复杂的计算和推导。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有特定的定义和性质。
本文将对椭圆的定义以及与其相关的性质进行探讨。
一、椭圆的定义椭圆可以用两个焦点和到两个焦点距离之和等于定值的点的集合来定义。
更准确地说，椭圆是平面上满足到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合，其中a是椭圆的半长轴。
椭圆还具有两个确定其形状和大小的参数：离心率e和焦点间的距离2c。
二、椭圆的特点椭圆具有以下几个重要的性质：1. 对称性：椭圆具有两条互相垂直的对称轴，即长轴和短轴。
这两条对称轴的交点称为椭圆的中心。
2. 焦点性质：对于椭圆上的任意一点P，到焦点F1和F2的距离之和等于2a。
即PF1 + PF2 = 2a。
3. 定义性质：椭圆上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这是椭圆的定义。
4. 离心率性质：椭圆的离心率e满足0 < e < 1，离心率越小，椭圆越扁平。
5. 半焦参数性质：椭圆的半焦参数c满足c = a * e，其中c表示焦点到中心的距离。
6. 弦性质：椭圆上任意一条弦的长度等于半长轴的长度。
三、椭圆与其他几何图形的关系椭圆与圆、抛物线和双曲线都是常见的二次曲线。
与圆相比，椭圆的两个焦点在中心的两侧，而圆的焦点和中心重合；与抛物线相比，椭圆是有界曲线，而抛物线则是无界曲线；与双曲线相比，椭圆是闭合曲线，而双曲线则是非闭合曲线。
四、椭圆的应用椭圆由于其独特的几何性质，在现实生活中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 太阳系的行星轨道：行星围绕太阳运动的轨道是个近似椭圆形，其中太阳位于椭圆的一个焦点处。
2. 圆形的近似：在一些工程设计中，可以使用椭圆作为近似圆形来进行计算和设计，便于操作和运算。
3. 电子轨道运动：根据玻尔模型，电子在原子中的运动轨迹近似为椭圆形。
总结：椭圆是一种具有独特几何性质的几何图形，其定义和性质经过了仔细的研究与推导。
我们了解到，椭圆具有对称性、焦点性质和离心率性质等重要特征，并且与其他几何图形有所区别。
椭圆的性质与方程
椭圆的性质与方程椭圆是数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质和特点。
本文将详细探讨椭圆的性质以及与之相关的方程。
在文章中，我们将从以下几个方面进行论述：椭圆的定义、椭圆的基本性质、椭圆的标准方程、椭圆的离心率以及椭圆的焦点与直径等。
一、椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常量的点的集合。
这两个固定点称为椭圆的焦点，而常量称为椭圆的长轴长度。
椭圆的形状是闭合曲线，它在长轴上取得最大值，在短轴上取得最小值。
二、椭圆的基本性质1. 椭圆是一个凸曲线，具有中心对称性。
其对称中心位于椭圆的中心点，即长轴和短轴的交点。
2. 椭圆的长轴和短轴之比称为离心率，记为e。
离心率确定了椭圆的扁平程度，范围在0和1之间。
当离心率等于0时，椭圆退化为一个点；当离心率等于1时，椭圆退化为一个线段。
3. 椭圆上的任意一点到焦点的距离之和与椭圆的长轴长度相等。
这一性质称为椭圆的焦距性质，是椭圆独特的特点之一。
三、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
根据标准方程，我们可以确定椭圆的位置、形状以及大小。
四、椭圆的离心率椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = c/a，其中c为椭圆的焦距，a为长轴长度的一半。
离心率可以反映椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于一个圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于一条线段。
五、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是椭圆上所有点到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的一半。
焦点在椭圆的中心线上，且与中心线的距离等于椭圆的离心率。
椭圆的直径是通过椭圆中心的两个焦点的直线。
综上所述，椭圆具有独特的性质与方程。
通过椭圆的定义、基本性质、标准方程、离心率以及焦点与直径的理解，我们可以更好地理解椭圆的几何特性和运用。
椭圆在数学、物理学等领域中有广泛的应用，深入研究椭圆的性质对于进一步探索这些领域的数学模型和问题具有重要意义。
椭圆的10条几何性质(word)
椭圆的10条几何性质吉大附中 郭为利（一）范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；课前小试椭圆22231x y +=任意一点()P x y ，，求y 的取值范围.解析：[. （二）对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心；课前小试椭圆220(0)ax by ab a b ++=<<的焦点坐标是（D ）（A ）(0) （B ）(0)（C ）(0，（D ）(0， （三）顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；课前小试与椭圆22194x y +=有相同长轴，且过(21)M -，的椭圆方程为225199x y +=．（四）离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比ce a=叫做椭圆的离心率（01e <<），当1e →时，0c a b →→，，椭圆图形越扁；当0e →时，0c b a →→，，椭圆图形越接近于圆.课前小试（1）已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值． 解析：依题意，05m m >≠，，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ==，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c253m ==． （2）短轴长为8，离心率为35的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A B、两点，则2ABF △的周长为20. （五）椭圆的第二定义课前小试设()M x y ，与定点(40)F ，的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M的轨迹方程．解析：设点()M x y ，，则||MF =l ：254x =的距离25||4d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．方程为221.259x y +=当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)ce e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆22221x y a b +=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-．对于椭圆22221y x a b +=的准线方程是2a y c =±．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．课前小试（1）椭圆22981x y +=的长轴长为18，短轴长为6，半焦距为，焦点坐标为(0±，，顶点坐标为(09)±，(30)±，，准线方程为y =（2）已知椭圆 22221(0)x y a b a b +=>，长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线，则椭圆的标准方程为：221.43x y +=（3）方程|2|x y ++表示什么曲线是（A ）（A ）椭圆 （B ）圆 （C ）直线 （D ）焦点不在坐标轴椭圆=1<，即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1），方程表示椭圆.（六）焦半径公式你能否将椭圆22221x y a b+=上任一点()M x y ，到焦点(0)(0)F c c >，的距离表示成点M横坐标x 的函数吗？解析：2222||1MF x y ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2y得||MF =22||||||c c a a x a x e x a a c c=-=-=-. 由椭圆的第二定义||MF e d =可得：右焦半径公式为2||||a MF ed e x a ex c==-=-右；左焦半径公式为2|||()|a MF ed e x a ex c==--=+左.课前小试椭圆的方程为2212516x y +=，12M M ，为椭圆上的点（1）求点1(4 2.4)M ，到焦点(30)F ，的距离. 解析：2.6.（2）若点20(4)M y ，，不求出点2M 的纵坐标，你能求出这点到焦点(30)F ，的距离吗？解析：||MF =220412516y +=代入消去20y得13||5MF =，或者利用焦半径公式.（七）焦点三角形定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形. 有如下性质：（1）已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，两焦点分别为12F F ，，设焦点三角形12PF F 中12F PF θ∠=，则122tan2F PF S b θ=△.证明：2222121212(2)||||||2||||cos c F F PF PF PF PF θ==+- 21212(||||)2||||(1cos )PF PF PF PF θ=+-+.则：222221212(||||)4442||||2(1cos )2(1cos )1cos PF PF c a c b PF PF θθθ+--===+++，则1222121||||sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ===+△. （2）已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，左右两焦点分别为12F F ，，设焦点三角形12PF F ，若12F PF ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点.证明：设00()P x y ，，由焦半径公式可知：10||PF a ex =+，20||PF a ex =-， 在12F PF △中，222121212||||||cos 2||||PF PF F F PF PF θ+-=22121212(||||)2||||42||||PF PF PF PF c PF PF +--=2221200444112||||2()()a c b PF PF a ex a ex -=-=-+-=222221b a e x --. 0a x a -≤≤ ，则220x a ≤.（3）已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，两焦点分别为12F F ，，设焦点三角形12PF F 中12F PF θ∠=，则2cos 12.e θ-≥证明：设1122PF r PF r ==，，则在12F PF △中，由余弦定理得： 222222212121212121212||()2422cos 1222r r F F r r r r c a c r r r r r r θ+-+---===-，22222221222221112.22()2a c a c e r r a ---=-=-+≥ 命题得证.课前小试已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点分别为12F F ，若椭圆上存在一点P ，使得012120F PF ∠=，求椭圆的离心率e 的取值范围.解析：由椭圆焦点三角形性质可知2cos12012.e ︒-≥ 即21122e --≥，于是得到e 的取值范围是1). （4）已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，两焦点分别为12F F ，，设焦点三角形12PF F ，1221PF F PF F αβ∠=∠=，，则椭圆的离心率sin()sin sin e αβαβ+=+.证明：设1221PF F PF F αβ∠=∠=，， 由正弦定理得：1221||||||sin(180)sin sin o F F PF PF αβαβ==--，由等比定理得：1212||||||sin()sin sin F F PF PF αβαβ+=++，而12||2sin()sin()F F c αβαβ=++，12||||2sin sin sin sin PF PF a αβαβ+=++. 则sin()sin sin c e a αβαβ+==+.课前小试已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，、，，P 为椭圆上一点，且12||F F 是1||PF 和2||PF 的等差中项．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点P 在第三象限，且12120PF F ∠=︒，求12tan F PF ．解析：（Ⅰ）由题设12122||||||F F PF PF =+，2422a c ==，，则b椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设12F PF θ∠=，则2160PF F θ∠=︒-， 椭圆的离心率12e =，则1sin(180)2sin120sin(60)θθ︒-==︒+︒-，整理得：5sin cos )θθ+.sin 1cos θθ=+，故tan 2θ=，1225tan tan 3125F PF θ∠===-． （5）内切圆圆心为I ，延长PI 交x 轴于A ，则||||PI IA 解析：利用和比定理得.（6）已知00()P x y ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，12F F ，是焦点，以12PF PF 、为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.解析：利用中位线和椭圆第一定义.（八）焦点弦（1）通径长22b a ，22b a≤焦点弦长2.a ≤（2）以焦点弦为直径的圆和相应准线相离. 解析：利用第二定义得到.解析：设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是||AB ；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ；过点A B M 、、分别作出准线l 的垂线，分别记为12d d d ，，由梯形的中位线可知 122d d d +=. 又由椭圆的第二定义可知1||AF e d =2||BF e d =，即12||||()AF BF e d d +=+， 又：12||||||222d d AB AF BF e ++==⋅，且01e <<，||2AB d >. 故直线与圆相离.（九）弦长公式弦长公式12l x -12l y y =-=（十）点差法椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，弦中点00()M x y ，，直线AB 的斜率为k ，则2020b x k a y =-.解析：设1122()()A x y B x y ，，，，代入22221(0)x y a b a b+=>>，平方差整理得出.x。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆常见性质
1．
11
||
1PF e d =< 2．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2
所在的直线切于A 2（或A 1）.
6．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 7．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 8．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 9．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
10．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连
线必与另一焦半径所在直线平行.
11．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的
距离为椭圆长半轴的长.
12．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦
半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
13．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
14.设P 点是椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2
PF F S b θ
∆=.
15．若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan tan 22
a c a c αβ
-=+. 16．设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上
任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+
17．椭圆221a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线
交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
18．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b +=.
19．AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.
20．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+. 21．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y
x y a b a b
+=+. 22．已知椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为2222
4a b a b +;
（3）OPQ S ∆的最小值是22
22
a b a b
+. 23．若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当
11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的
比例中项.
24．P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
26．椭圆221a b
+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条
件是222
2
0222
()a b x a b k
-<+. 27．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22
221x y a b
+=相
交于,P Q ,则AP BQ =.
28．椭圆22
221x y a b
+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C +≥.
29．MN 是经过椭圆2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭
圆中心O 且平行于MN 的弦，则2
||2||AB a MN =.
30．MN 是经过椭圆2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则
222
2111
||||a MN OP a b +=+.
31．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21
21
b x a y -
的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A
到椭圆两焦点的距离，则
ab =.
32．已知椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平
分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<< 33．过椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则
2222282()||||ab a b AB CD a b a
+≤+≤+
34. 已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线
b y x a =
及b
y x a
=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q 则：. （1）2
2
2
||||2OM ON a +=；（2）2
2
2
||||2OQ OR b +=. 35. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =
及2:b
l y x a
=-的平行线，
分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若2
2
2||||
2O M O N a +
=，则P 的轨迹方程是
2222
1(0,0)x y a b a b +=>>.(2)若222
||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22
22
1(0,0)x y a b a b +=>>.。