高考常见椭圆性质及其详细证明

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高考椭圆抛物线知识点归纳总结

高考椭圆抛物线知识点归纳总结椭圆和抛物线是高中数学中的重要知识点，也是高考数学考试中经常出现的题型。

在这篇文章中，我们将对椭圆和抛物线的相关概念和性质进行归纳总结，以帮助考生更好地理解和掌握这些知识点。

一、椭圆1. 定义与性质椭圆是指到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。

在椭圆中，有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴是相互垂直的。

- 椭圆的离心率小于1，离心率越小，椭圆越扁。

- 椭圆的离心率等于焦点之间的距离与长轴长度的比值。

2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为((x-h)^2/a^2) + ((y-k)^2/b^2) = 1，其中(h, k)为椭圆的中心点坐标，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴长度。

3. 相关定理与公式- 椭圆的周长公式为C = 4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第一类椭圆积分，e为椭圆的离心率。

- 椭圆的面积公式为S = πab。

4. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多应用，如天文学中的行星轨道、地理学中的纬度线等。

二、抛物线1. 定义与性质抛物线是指到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

在抛物线中，有以下性质：- 抛物线的准线与对称轴平行。

- 抛物线的焦点位于对称轴上，到焦点的距离等于到准线的距离。

- 抛物线的顶点为对称轴与抛物线的交点。

2. 抛物线的方程抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0，a决定了抛物线的开口方向。

3. 相关定理与公式- 抛物线的焦半径公式为r = 1/(4a)，其中a为抛物线的系数。

- 抛物线的焦点坐标为(F, p)，其中F = 1/(4a)，p = c - b^2/(4a)。

4. 抛物线的应用抛物线在物理学和工程学中有广泛的应用，如抛物线的运动轨迹、天文学中的天体轨迹等。

总结：椭圆和抛物线是数学中的重要概念，它们有着各自的定义、性质、方程和应用。

在高考数学考试中，掌握这些知识点对于解题和得高分非常重要。

椭圆高中知识点总结

椭圆高中知识点总结【原创版】目录一、椭圆的概念及几何性质二、椭圆的标准方程及其参数三、椭圆的性质定理四、椭圆的应用正文一、椭圆的概念及几何性质椭圆是数学中一种重要的曲线，它是在平面内到两个定点（称为焦点）的距离之和等于常数（大于焦点间距离）的点的轨迹。

椭圆有两个焦点 F1、F2 和两个顶点 A、B，其中 AF1 + AF2 = 2a，BF1 + BF2 = 2a，其中 a 为椭圆的长半轴。

椭圆的中心点 O 位于原点，且 OA = OB = a。

椭圆的几何性质包括：1.椭圆是对称的，即关于 x 轴、y 轴和原点对称。

2.椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1，其中 e = c / a，c 为焦距。

3.椭圆的周长为 2πa，面积为πab。

二、椭圆的标准方程及其参数椭圆的标准方程有两种形式，分别为：1.当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1，其中 a > b > 0。

2.当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2) / (b^2) + (y^2) / (a^2) = 1，其中 a > b > 0。

椭圆的参数有：长半轴 a、短半轴 b、焦距 c 和离心率 e。

三、椭圆的性质定理1.椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1，其中 e = c / a。

2.椭圆的周长为 2πa，面积为πab。

3.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数 2a。

4.椭圆的两个顶点到椭圆上任意一点的距离之差相等。

四、椭圆的应用椭圆在实际生活和数学中有广泛的应用，例如：1.椭圆在物理学中，描述行星运动的轨迹。

2.椭圆在工程学中，用于设计望远镜的反射镜和卫星天线的轨道。

3.椭圆在数学中，与其他曲线（如双曲线、抛物线）共同构成了解析几何的基本研究对象。

总结：椭圆是一种重要的数学曲线，它具有丰富的几何性质和应用。

高三椭圆相关知识点总结

高三椭圆相关知识点总结在高三数学学习中，椭圆是一个十分重要且常见的几何图形。

它具有许多独特的性质和特点，对于理解和解决相关题目至关重要。

本文将对高三椭圆的相关知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解椭圆的性质和应用。

1. 椭圆的定义及公式椭圆是平面上到两个定点F₁和F₂距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

定点F₁和F₂称为椭圆的焦点，两焦点之间的距离为2c，且c²=a²-b²。

椭圆的离心率e=c/a。

椭圆的标准方程为，(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。

2. 椭圆的性质- 长轴和短轴：椭圆的两焦点距离为2c，且c²=a²-b²，所以椭圆的长轴为2a，短轴为2b。

- 离心率：椭圆的离心率e=c/a，离心率越接近0，椭圆的形状越接近于圆；离心率越接近1，椭圆的形状越扁平。

- 对称性：椭圆关于x轴和y轴都具有对称性，中心对称。

3. 椭圆的方程变形椭圆的方程在数学上经常需要进行变形和化简。

以下是几种常见的椭圆方程变形形式：- 标准方程变形：将标准方程进行代数变形和化简，可以得到不同形式的椭圆方程，如正方形椭圆、长轴平行于y轴的椭圆等。

- 参数方程：将椭圆的方程用参数表示，例如x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数。

- 三角方程：利用三角函数的性质，将椭圆的方程变形为三角函数的方程，如x²/a²+ y²/b² = 1可以变形为sin²θ/a² + cos²θ/b² = 1。

4. 椭圆的性质与应用- 焦点定理：椭圆上任意一点P到两焦点F₁和F₂的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF₁ + PF₂ = 2a。

- 弦焦定理：椭圆上任意一条弦的两个焦点到弦的距离之和等于常数2a。

- 切线性质：椭圆上的点P处的切线斜率为y/x=-b²x/a²y。

高职高考椭圆知识点

高职高考椭圆知识点椭圆是数学中的一种曲线，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

在高职高考中，椭圆也是一个重要的知识点。

本文将从椭圆的定义、性质、方程、焦点和离心率等方面进行探讨。

椭圆的定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。

这两个定点被称为椭圆的焦点，常数2a被称为椭圆的长轴。

椭圆的轴与长轴垂直的线段称为椭圆的短轴，通常用2b表示。

椭圆的性质椭圆具有以下性质：1. 椭圆的对称性：椭圆关于其长轴和短轴均对称。

2. 焦准线性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。

3. 切线性质：椭圆上的切线与椭圆的两个焦点之间的夹角相等。

4. 椭圆的离心率：离心率是椭圆的一个重要参数，表示椭圆离开圆的程度。

离心率的取值范围为0到1之间，离心率为0时，椭圆退化成一个圆，离心率为1时，椭圆变成两个焦点连线所构成的线段。

椭圆的方程椭圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。

1. 标准方程:（x^2 / a^2）+（y^2 / b^2）= 1其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。

2. 一般方程:Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F为已知常数。

椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的一个重要特征，它决定了椭圆的形状。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。

离心率则衡量了椭圆的偏离程度，离心率越大，椭圆的形状就越扁。

计算椭圆的焦点和离心率有以下步骤：1. 求椭圆的半长轴和半短轴的长度：a = |F1F2| / 2b = √(a^2 - c^2)其中c为焦距，c = |PF1| = |PF2|，P为椭圆上的任意一点。

2. 焦点的坐标可以通过以下公式计算：F1(-c, 0)F2(c, 0)3. 离心率的计算公式为：e = c / a椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：1. 天文学中的行星轨道通常是椭圆形的，椭圆方程可以帮助研究行星的运动规律。

高中数学椭圆的性质及相关题目解析

高中数学椭圆的性质及相关题目解析椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它有着独特的性质和应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及相关题目解析等方面进行阐述，帮助高中学生更好地理解和应用椭圆。

一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中，F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度为2c，a和c之间的关系为a > c。

椭圆的长轴是通过焦点的直线段，长度为2a；短轴是与长轴垂直的直线段，长度为2b，且满足a > b > c。

椭圆的离心率e定义为e = c / a，离心率决定了椭圆的形状。

当e < 1时，椭圆是一个封闭曲线；当e = 1时，椭圆变成一个抛物线；当e > 1时，椭圆变成一个双曲线。

椭圆的焦点和准线的性质也是我们需要了解的。

焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1 + PF2 = 2a；准线是与长轴平行且过焦点的直线，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即PD =e * PF。

二、椭圆的相关题目解析1. 题目：已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，求椭圆的离心率。

解析：根据椭圆的定义，我们知道a = 5，b = 4。

将a和c的值代入离心率公式e = c / a，可得e = 4 / 5。

2. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，且焦点到准线的距离为2，求椭圆的方程。

解析：根据椭圆的性质，焦点到准线的距离等于椭圆的离心率乘以焦点到椭圆上任意一点的距离，即2 = e * a。

由于焦点到准线的距离为2，而椭圆的长轴长度为2a，所以a = 1。

再根据焦点的坐标，可得椭圆的中心为O(0, 0)。

因此，椭圆的方程为x^2 + y^2 / 1^2 = 1，即x^2 + y^2 = 1。

3. 题目：已知椭圆的焦点坐标分别为F1(-2, 0)和F2(2, 0)，准线方程为x = 3，求椭圆的方程。

椭圆的结论十三个及证明

椭圆的结论十三个及证明椭圆是平面解析几何中的一类特殊曲线，由两个焦点F1和F2及到它们的距离之和等于常数2a的点动轨迹构成。

本文将介绍椭圆的定义、性质以及它们的证明。

##一、椭圆的定义椭圆的定义如下：设平面上给定两个不重合的点F1和F2，对于平面上的任意一点P，到F1的距离加上到F2的距离等于常数2a，那么点P的轨迹就是一个椭圆。

我们可以通过以下步骤来证明这一定义。

##二、椭圆的证明### 1.步骤1：点P在椭圆上对于任意一点P在椭圆上，我们有以下等式成立：PF1 + PF2 = 2a由于F1和F2是椭圆的两个焦点，所以对于任意时刻，PF1 + PF2的距离是恒定的，等于椭圆的主轴长2a。

所以点P在椭圆上。

### 2.步骤2：椭圆的离心率椭圆的离心率是一个衡量椭圆扁平程度的指标。

我们可以用离心率e来表示，它的计算公式如下：e = PF1 / a其中，a是椭圆的主轴长。

### 3.步骤3：椭圆的焦点与准线根据椭圆的定义，我们可以得到以下结论：-椭圆的焦点F1和F2在椭圆的主轴上，且在椭圆的中垂线上；-椭圆的准线是与椭圆的对称轴相交于焦点的直线。

### 4.步骤4：椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以根据椭圆的定义推导而得。

设椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆的顶点为A(a,0)和B(-a,0)，那么椭圆的标准方程为：(x - c)² / a² + y² / b² = 1其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距，b是通过离心率计算得到的次长轴。

### 5.步骤5：椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过椭圆的标准方程得到。

设角度θ是椭圆的主轴与x轴的夹角，那么椭圆的参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，0 ≤ θ ≤ 2π。

### 6.步骤6：椭圆的半焦距和焦长度椭圆的半焦距c是焦点到中心点的距离的一半，可以用以下公式表示：c = √(a² - b²)椭圆的焦长度是焦点到准线的距离，可以用以下公式表示：d = 2 * c### 7.步骤7：椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得到：S = π * a * b其中，a是椭圆的半长轴，b是通过离心率计算得到的次长轴。

高考数学椭圆性质（92条,含证明）

高考数学椭圆性质（92条,含证明）椭圆1.2.标准方程3.4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.9．椭圆（a＞b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.12．AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则.16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1);(2).17．给定椭圆：（a＞b＞0）,：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18．设为椭圆（或圆）C:(a＞0,.b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点的充要条件是.19．过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC有定向且（常数）.20．椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为，.21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点，，则.22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,，).23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.25．椭圆（a＞b ＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为,其中,当时,.31．设S 为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有,.32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.33．椭圆与直线有公共点的充要条件是.34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记，，则有.35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则.36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则.39．设椭圆（a＞b＞0）,M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线：(或)上.40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42．设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是().45．设△ABC 内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.47．设A （x1,y1）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线L的距离,分别是A到椭圆两焦点的距离，则.48．已知椭圆（a＞b ＞0）和（），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.50．设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q 两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：于M，N两点,则.52．L是经过椭圆（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55．已知椭圆（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.56．设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，，，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2).(3).57．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则.58．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q 两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.61．到椭圆（a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62．到椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆.63．到椭圆（a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q 点的轨迹方程是.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆（a＞b ＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积的最小值是.67．已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.68．OA、OB是椭圆（a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2)以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.69．是椭圆（a＞b ＞0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(且).70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F2在同侧直线L和椭圆相切.（2），且F1、F2在L同侧直线和椭圆相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72．设点为椭圆（a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时,.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线及的平行线，与轴于，与轴交于.,为原点，则：（1）；（2）.90.过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.91.点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，则：.92.点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记与的面积为，已知，则的轨迹方程是.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

高三第一轮复习椭圆的定义方程几何性质

椭圆的定义、方程及几何性质【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1) 若c a >，则集合P 为椭圆； (2) 若c a =，则集合P 为线段； (3) 若c a <，则集合P 为空集．3. 椭圆中常见的结论（1）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为1P 、2P ，则切点弦1P 2P 的直线方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.（4）A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴的端点，M ),(00y x 为椭圆上任意一点，则22MA MB b k k a ⋅=-，方法规律总结1．求椭圆标准方程的方法(1) 定义法：根据椭圆定义，确定2a 、2b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2) 待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出2a 、2b ，从而写出椭圆的标准方程．2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3.椭圆性质的运用一般策略（1）与椭圆双焦点焦点有关的问题，充分考虑椭圆的定义，单焦点的问题可连接另一个焦点。

高考数学椭圆的知识点

高考数学椭圆的知识点高考数学中，椭圆是一个重要的几何形状，涉及到的知识点相对较多。

在这篇文章中，我们将探讨椭圆的性质、方程、焦点等相关概念，并且通过一些实例帮助读者更好地理解椭圆的应用。

一、椭圆的性质椭圆是一个闭合的曲线，可以通过一个固定点（称为焦点）和离焦点的距离之和的大小来定义。

具体来说，对于一个给定的椭圆，离焦点的距离之和等于定值2a，其中a是椭圆的半长轴（长轴长度的一半）。

除了焦点和半长轴，椭圆还有一些其他重要的性质。

例如，椭圆的中点称为中心，位于中心的直线称为主轴。

椭圆的半短轴（短轴长度的一半）用b表示，它与椭圆的半长轴有一定的关系，即b^2 = a^2 -c^2，其中c是焦点到中心的距离。

二、椭圆的方程椭圆的方程可以通过两种形式来表示，一种是标准方程，另一种是一般方程。

标准方程是这样的：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标。

一般方程则可以表达为Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E是常数。

根据椭圆的方程，我们可以了解到椭圆的形状、大小以及位置等信息。

三、焦点与直角关系除了上述基本概念和性质，椭圆还与焦点和直角有一定的关系。

我们知道，对于一个椭圆来说，焦点和圆心确定的直角称为椭圆的焦点直角。

椭圆上的任意一点与焦点和圆心连成的三条线段构成一个直角。

这个直角关系在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们确定和利用椭圆的性质，从而解决一些复杂的数学题目。

四、椭圆的应用举例椭圆的应用在生活和科学中是广泛存在的。

下面，我们通过一些例子来说明椭圆的实际应用。

1.卫星轨道：卫星绕地球运行的轨道往往是一个椭圆。

利用椭圆的性质，科学家可以计算出卫星的运行速度和轨道大小，从而更好地控制和管理卫星。

2.天体运动：行星、彗星等天体的运动轨迹也是椭圆。

通过研究椭圆轨道，天文学家可以了解天体的运动规律，从而预测天体的位置和行为。

椭圆的性质及知识点总结

椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。

1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。

长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。

（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。

（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。

二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。

离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。

2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。

2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。

根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。

2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。

焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。

2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲

高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离），则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

高考数学椭圆考点

高考数学椭圆考点高考数学中，椭圆是一个重要的考点。

椭圆是平面解析几何中的一个重要曲线，也是常见的二次曲线之一。

在椭圆的相关知识点中，包括椭圆的定义、性质、方程、参数方程以及椭圆的相关定理等。

首先，椭圆的定义是指平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个给定点叫做椭圆的焦点，以及一个常数叫做椭圆的长轴长度。

椭圆的轨迹是一个闭合曲线，曲线的形状与其焦点和长轴的长度有关。

在解析几何中，我们通常使用坐标来描述椭圆。

椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

这个方程表示了椭圆上的点到椭圆中心的距离与长轴和短轴长度的关系。

椭圆的一些基本性质也是我们需要了解的。

首先，椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴。

长轴是连接两个焦点的直线段，而短轴是相互垂直于长轴的直线段。

椭圆的参数方程也是我们需要掌握的知识点。

通常我们可以使用参数方程x = a*cosθ，y = b*sinθ来描述椭圆上的点。

其中，θ是参数，a和b是椭圆的参数。

在高考数学中，椭圆的相关定理也是需要掌握的。

其中包括椭圆的切线定理和法线定理。

椭圆的切线定理是指，椭圆上任意一点的切线与该点的切线相关联，切线的斜率的倒数等于椭圆的斜率，而椭圆的法线是与切线相互垂直的直线。

除了切线和法线定理，另一个重要的定理是椭圆的离心率定理。

椭圆的离心率定义为焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长度的比值。

椭圆的离心率决定了曲线的形状，当离心率小于1时，椭圆是闭合曲线；当离心率等于1时，椭圆是抛物线；当离心率大于1时，椭圆是双曲线。

在解题过程中，我们可以利用椭圆的性质和定理来解决各种与椭圆相关的问题。

例如，我们可以利用椭圆的切线定理来求椭圆上某一点的切线方程，或者利用椭圆的离心率定理来判断椭圆的形状。

椭圆还与其他数学内容有一定的联系。

例如，椭圆和三角函数之间存在一种关系，称为三角型。

通过椭圆的参数方程和三角函数的相关知识，我们可以深入研究椭圆与三角函数之间的关系。

椭圆常用结论证明

椭圆常用结论证明椭圆是数学中的一个重要概念，被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。

在椭圆的研究过程中，人们积累了许多常用的结论。

本文将就其中几个常见的结论进行证明。

1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。

证明如下：设P(x,y)是椭圆上的任意一点。

由定义可知，PF1+PF2=2a。

根据点到坐标轴的距离公式可得PF1=√((x-c)^2+y^2)，PF2 =√((x+c)^2+y^2)。

代入得√((x-c)^2+y^2)+√((x+ c)^2+y^2)=2a。

平方两边并移项得(x-c)^2+(x+c)^2+ 2√((x-c)^2+y^2)√((x+c)^2+y^2)=4a^2。

化简得x^2 +y^2=a^2-c^2。

由此可见，椭圆的定义得证。

2.椭圆的离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，用来衡量椭圆的扁平程度。

离心率的计算公式为e=c/a，其中c是两个焦点之间的距离，a是椭圆的长半轴长。

证明如下：根据椭圆的定义可知，PF1+PF2=2a，PF1=e∙a，PF2=(1-e)∙a。

代入得e∙a+(1-e)∙a=2a，化简得e=c/a。

因此，椭圆的离心率的计算公式得证。

3.椭圆的焦点坐标：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个关键点，其坐标可以通过长半轴和离心率计算得出。

证明如下：设椭圆的焦点分别为F1(c,0)和F2(-c,0)，长半轴为a，离心率为e。

根据离心率的定义可知e=c/a。

将其代入焦点坐标的表示式，得到F1(c,0)和F2(-c,0)。

因此，椭圆的焦点坐标的计算得证。

以上就是椭圆常用结论的证明过程。

这些结论在解决椭圆相关问题时非常有用，可以帮助我们深入理解椭圆的性质和特点。

在实际应用中，我们可以利用这些结论进行问题求解和分析。

椭圆作为一种重要的几何形状，其研究和应用将继续对数学和其他学科的发展产生积极的影响。

高三知识点总结椭圆

高三知识点总结椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上一个动点到两个不同的固定点的距离之和等于常数的轨迹。

这两个固定点分别称为焦点，这个常数称为椭圆的半长轴的长度。

椭圆的定义可以用数学表达式表示为：椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)$其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。

二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆定义的两个焦点到椭圆曲线上的任意一点的距离之和等于常数2a。

2. 直径性质：椭圆的任意一条直径上任意一点到焦点的距离与到准位线的距离之和等于直径的长。

3. 对称性质：椭圆具有关于x轴、y轴和原点对称的性质。

4. 离心率：椭圆的离心率为$e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，它描述了椭圆的扁平程度，离心率越接近于0，椭圆越圆。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：$x=a \cos t$$y=b \sin t$其中，t为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。

四、椭圆的焦点与准位线椭圆的焦点和准位线是椭圆的重要性质之一，它们在椭圆的图形、方程和计算中起着重要作用。

1. 焦点的坐标：椭圆的焦点坐标为$(\pm \sqrt{a^2 - b^2},0)$2. 准位线方程：椭圆的准位线方程为$x=\pm a \epsilon$，其中ε为椭圆的离心率。

五、椭圆的相关定理1. 椭圆的直径定理：椭圆的所有直径的长度之和为常数2a。

2. 椭圆的离心率定理：椭圆的离心率e的平方等于1减去b平方除以a平方。

六、椭圆的应用椭圆在生活和工程领域中有着广泛的应用，例如：1. 太阳系中行星的轨迹一般为椭圆，椭圆的性质可以帮助我们更好地理解天体运动规律。

2. 椭圆在工程中的应用：例如建筑、机械、航天等领域都会涉及到椭圆的应用，例如在建筑设计中椭圆形的圆顶结构、在机械制造中椭圆齿轮的设计等等。

高考椭圆基本知识点总结

高考椭圆基本知识点总结椭圆是数学中一种重要的图形，对于高中数学的学生来说，掌握椭圆的基本知识点是非常重要的。

本文将对椭圆的一些基本知识进行总结，并通过实例加深理解。

一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和恒定于常数2a的动点P 的轨迹。

其中，F1和F2称为椭圆的焦点，a称为长半轴。

椭圆的性质包括：1. 椭圆的离心率e小于1，且离心率越小，椭圆越扁平。

2. 椭圆的对称轴是y轴和x轴。

3. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2a。

4. 椭圆的面积为πab，其中a为长半轴长度，b为短半轴长度。

二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h,k)为椭圆中心的坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。

以椭圆（x-3）²/4 + (y-2)²/9 = 1为例，该椭圆的中心坐标为(3,2)，长半轴长度为4，短半轴长度为9。

三、椭圆的图形特点1. 对于标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1：- 当a>b时，椭圆的长半轴在x轴上，短半轴在y轴上；- 当a<b时，椭圆的长半轴在y轴上，短半轴在x轴上；- 当a=b时，椭圆即为圆。

2. 椭圆的扁率表达：椭圆的扁率可以通过离心率e来衡量，e的计算公式为：e = sqrt(1 - b²/a²)通过e的大小可以判断椭圆的形状：- 当e=0时，椭圆变成一个点，即焦点和中心重合；- 当e的值在0和1之间时，椭圆越扁平；- 当e=1时，椭圆退化为一个线段，即焦点与中心的连线；- 当e>1时，曲线为双曲线。

四、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的轨迹可以用来描述天体的运动，比如地球绕太阳的运动轨迹。

2. 电子轨道原子的电子在原子核周围的运动轨迹可以近似看作椭圆轨道。

高中数学椭圆常结论及其结论（完全版）

⾼中数学椭圆常结论及其结论（完全版）2椭圆常⽤结论⼀、椭圆的第⼆定义:⼀动点到定点的距离和它到⼀条定直线的距离的⽐是⼀个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离⼼率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线⽅程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平⾏，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）⼆、焦半径圆锥曲线上任意⼀点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离⼼率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，⽽与点在左在右⽆关可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上⼀点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第⼆定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=+= += ???--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例，弦AB 坐标：-a b c A 2,，a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的⾯积为. 推导：如图θsin 212121??=PF PF S F PF 根据余弦定理，得θcos =21221222PF PF F F PF PF ?-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ?-?-+=2122122424PF PF c PF PF a ?-?-=21212224PF PF PF PF b ??-得θcos 12221+=?b PF PFθsin 212121??=?PF PF S F PF =θθsin cos 12212?+?b =θθcos 1sin 2+?b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ?2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是⽤了交点坐标设⽽不求的技巧⽽已(因为1212()y y x x -=-k ，运⽤韦达定理来进⾏计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平⾏y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ?+=+=?? 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a=-(2)遇到中点弦问题常⽤“韦达定理”或“点差法”求解。

高考常见椭圆性质及其详细证明

40．设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF. 41．过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1 、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1 P 和 A 2 Q 交于点 M，A 2 P 和 A 1 Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
2 2 2 2 2 2
38 ． MN 是经过椭圆 b x + a y = a b （ a ＞ b ＞ 0 ）焦点的任一弦，若过椭圆中心 O 的半弦 OP ⊥ MN ，则
2 1 1 1 . + =+ 2 a | MN | | OP | a 2 b2
39．设椭圆
x2 y 2 + = 1（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与椭圆相交 a 2 b2 a2 b2 (或 y = )上. 于 P、Q 两点，则直线 A 1 P、A 2 Q(A 1 , A 2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l ： x = m m
9．椭圆 16．若椭圆
1 1 x2 y 2 （a＞b＞0）上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 Ax + By = 1 ( AB ≠ 0) ,则(1) 2 + 2 = A2 + B 2 ;(2) + 2 = 1 2 a b a b
2 a 4 A2 + b 4 B 2 . L= a 2 A2 + b 2 B 2 a b （a＞b＞0）, C2 ：b x + a y = 17．给定椭圆 C1 ：b x + a y = ( 2

【高中数学】椭圆的100条经典性质及证明

921.122PF PF a+= 2.标准方程22221x y a b+= 3.111PF e d =<4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)222211A B a b +=+;(2)22222a A b B L a A b B =+.17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）,2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222002222(,)a b a b x y a b a b ---++.(ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+=(a ＞0,.b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1,k 2,则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-.19．过椭圆22221x y a b +=(a ＞0,b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+.22．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e -≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k -≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+.29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221(cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ayα=-,当0y =时,90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a ba b +.37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+.39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q,A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+.44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1,F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±).45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线L的距离,12,r r 分别是A ab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<<），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=++.52．L 是经过椭圆221a b+=（a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a-≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b aγ∆=-.57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠= ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.60．过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a+≤+≤+.61．到椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222(()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222(()a bx y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆221a b +=（a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2)以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()a b a b x y a b a b-+=++(0)x ≠.69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b-+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min 2()(||||)a b a y b x PA PB a -+⋅=.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c.76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90.过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.91.点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记OMQ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。

椭圆归纳总结

椭圆归纳总结在数学中，椭圆是一种常见的几何形状，具有许多独特的性质和特点。

通过归纳总结，我们可以更深入地理解椭圆，并在各个方面应用它们。

本文将对椭圆的定义、性质、公式以及实际应用进行详细讨论。

一、椭圆的定义与性质椭圆可由一个平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹定义。

定点称为焦点，常数称为离心率。

椭圆有以下基本性质：1. 椭圆是平面上的一个封闭曲线，且具有对称性；2. 椭圆的长轴和短轴是互相垂直的，并通过椭圆的中心点；3. 椭圆的离心率小于1，且离心率越接近于0，椭圆越趋近于圆形；4. 椭圆的离心率决定了其扁平程度。

二、椭圆的参数方程与标准方程椭圆的参数方程由以下两个方程给出：x = a*cosθ,y = b*sinθ,其中a和b分别代表长轴与短轴的一半，θ为参数。

标准方程是描述椭圆的另一种形式，可由以下方程表示：((x-h)²/a²) + ((y-k)²/b²) = 1,其中(h,k)为椭圆的中心点坐标。

通过参数方程和标准方程，我们可以方便地描述和画出椭圆。

三、椭圆的周长与面积椭圆的周长和面积是我们在实际问题中常常需要计算的指标。

1. 椭圆的周长公式为：C = 4*a*E(e),其中E(e)为椭圆的第一类椭圆积分，e为离心率。

2. 椭圆的面积公式为：S = π*a*b，其中a和b分别代表长轴和短轴的一半。

四、椭圆的应用椭圆具有广泛的应用领域，下面我们将以几个具体的实例来说明椭圆在实际中的应用。

1. 天体运动：开普勒定律描述了行星围绕太阳运动的规律，其中椭圆轨道是行星运动的基础。

2. 抛物物体轨迹：若有一个物体在一个平面上沿抛物线轨迹运动，那么当物体的初始速度和投掷角度给定时，该轨迹是一个椭圆。

3. 天文测量：椭圆是描述天体轨道的最常见形状之一，对于行星、卫星、彗星等天体的轨道参数测量和计算，椭圆方程是非常重要的工具。

4. 圆椎曲线应用：椭圆是一种圆锥曲线，因此在光学领域应用广泛，如椭圆镜、椭圆透镜等。