初一几何难题_练习题(含答案)

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初一几何难题-练习题(含答案)之欧阳德创编

证明线段相等或角相等1、2、已知：如图1所示，∆ABC中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF90，，，。

求证：DE＝DF例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。

求证：∠E＝∠F2、证明直线平行或垂直例3. 如图3所示，设BP、CQ是∆ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。

求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，∠，，A AE BF BD DC=︒==90。

求证：FD⊥ED 3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

（截长法）例 5. 已知：如图6所示在∆ABC中，∠=︒B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

求证：AC＝AE＋CD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。

（补短欧阳德创编 2021.03.07法）例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F在DC上，E在BC上，∠=︒EAF45。

求证：EF＝BE＋DF4、中考题：如图8所示，已知∆ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。

求证：EC＝ED证明几何不等式：例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC。

求证：BD DC>【实战模拟】1. 已知：如图11所示，∆ABC中，∠=︒C90，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC AD CE==。

求证：DE CD=122. 已知：如图12所示，在∆ABC中，∠=∠A B2，CD是∠C的平分线。

求证：BC＝AC＋AD3. 已知：如图13所示，过∆ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。

设M为BC的中点。

求证：MP＝MQ4. ∆ABC中，∠=︒⊥BAC AD BC90，于D，求欧阳德创编 2021.03.07欧阳德创编 2021.03.07证：()AD AB AC BC <++14。

七年级数学几何图形初步难题精选(含解析答案)

第1页共16页七年级数学几何图形初步难题精选（含解析答案）1. 美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是A. B. C. D2. 《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础.它是下列哪位数学家的著作( )A. 欧几里得B. 杨辉C. 费马D. 刘徽3.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ，下列结论：①BH ＝DH ；②CH ＝(√2＋1)EH ；③S △ENH S △EBH ＝EHEC.其中正确的是( )A. ①②③B. 只有②③C. 只有②D. 只有③4. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是( )A. B. C. D.5. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图形是( )A. AB. BC. CD. D6. 图1所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图2的几何体,一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.7. 如图1,图2,图3,用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”,我们称之为环形密铺,但图4,图5不是我们所说的环形密铺.请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形:.8. 如图，n＋1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn＋1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn＝________.9. 有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B，D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE，C′F重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE，C′F均落在DG上，点A，C′落在点A′处，点E，F落在点E′处，得折痕MN，QP.第3页共16页这样，就可以折出一个五边形DMNPQ .(1)请写出图①中一组相等的线段__________(写出一组即可)；(2)若这样折出的五边形DMNPQ (如图③)恰好是一个正五边形，当AB ＝a ，AD ＝b ，DM ＝m 时，有下列结论：①a 2－b 2＝2ab tan 18°； ②m ＝√a 2+b 2tan 18°；③b ＝m ＋a tan 18°； ④b ＝32m ＋m tan 18°其中，正确结论的序号是______(把你认为正确结论的序号都．填上). 10. 一个圆柱形的蛋糕，将它截三刀，能截出六块、七块或八块吗？若能，画出示意图；若不能，请说明理由.11. 图①的正方体切去一块，得到图②~⑤的几何体.(1)所得几何体各有多少个面?多少条棱?多少个顶点?(2)举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少? (3)若面数记为f ，棱数记为e ，顶点数记为v ，则f , v , e 应满足什么关系?12. 有一副直角三角板，其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,另一个三角板的内角是30°,60°,90°.(1)将该副三角板按如图①所示方式放置，AB ⊥AD ，则∠CAE =________，BC 与AD 的位置关系是________；(2)在第1问的基础上，再拿一个内角为30°,60°,90°的直角三角板，按如图②所示方式放置，AC'边和AD 边部分重合，则AE 平分∠CAB′吗？请说明理由；(3)根据第1问和第2问的计算，请解决下列问题：如图③，∠BAG =90°，∠BAC =∠FAG =20°，将一个内角为45°,45°,90°的直角三角板的一直角边与AG 部分重合，锐角顶点与∠BAG 的顶点重合，AE 平分∠CAF 吗？请说明理由；(4)如果图③中的∠BAC =∠FAG =∠α(∠α是锐角)，其他条件不变，那么第3问中的结论还成立吗？只需回答成立或者不成立，不需要说明理由.13. 如图给出的正多边形的边长都是20 cm.请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线表示，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明)(1)将图①中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；(2)将图②中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；(3)将图③中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等.14. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题.四面体长方体正八面体正十二面体(1)根据上面的多面体模型，补全表格：顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是________；(2)一个多面体的顶点数比面数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面的三角形的个数为x，八边形的个数为y，求x+y 的值.15. 在图中，对于四个平面图形①②③④，我们规定：如图形③，它的顶点为共5个，区域为△AED,△ABE,△BEC,△CED，共4个，边为AE,EC,DE,EB,AB,BC,CD,DA，共8条.①②③④(1)按此规定将图形①②④的顶点数、边数、区域数填入下列表格：第5页共16页(2)观察上表，请你归纳上述平面图形的顶点数、边数、区域数之间的数量关系；(3)如果有一个平面图形满足第2问中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且从每一个顶点出发都有3条边，那么这个平面图形共有多少条边？16. 在多边形中，三角形是最基本的图形，而研究多边形一般是将多边形分割成三角形，那么一个八边形至少可以分割成多少个三角形？n 边形呢？17. 如图，P 是定长线段AB 上一点，C ,D 两点同时从P ,B 出发分别以1cm s ⁄和2 cm/s 的速度沿线段向左运动(C 在线段AP 处上，D 在线段BP 上).已知C ,D 运动到任一时刻时，总有PD =2AC .(1)线段AP 与线段AB 的数量关系是________；(2)若Q 是线段AB 上一点，且AQ -BQ =PQ ，求证：AP =PQ .(3)若C ,D 运动5秒，恰好有CD =12AB ，此时C 点停止运动，D 点在线段BP 上继续运动， M ,N 分别是CD , PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MNAB的值. 18. 已知在同一平面内,∠AOB =90°,∠AOC =60°. (1)∠COB = ;(2)如果OD 平分∠BOC ,OE 平分∠AOC ,那么∠DOE 的度数为 ;(3)试问在第2问的条件下,如果将题目中∠AOC =60°改成∠AOC =2α(α<45°),其他条件不变,你能求出∠DOE 的度数吗?若能,请写出求解过程;若不能,请说明理由.19. 先阅读下面的材料,然后解答问题:在一条直线上有依次排列的n (n >1)台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P ,使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形:如图所示,如果直线上有2台机床甲、乙,很明显供应站P 设在A 1和A 2之间的任何地方都行,因为甲和乙到P 的距离之和等于A 1到A 2的距离.如图所示,如果直线上有3台机床甲、乙、丙,不难判断,供应站P 设在中间A 2处最合适,因为如果P设在A 2处,甲和丙到P 的距离之和恰好为A 1到A 3的距离,而如果把P 设在别处,例如D 处,那么甲和丙到P 的距离之和仍是A 1到A 3的距离,可是乙到P 的距离是从A 2到D 的这一段的长,这是多出来的,因此P 放在A 2处最合适.不难知道,如果直线上有4台机床,P 应设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台机床,P 应设在第3台处.(1)有n (n >1)台机床时,P 应设在何处?(2)根据第1问的结论,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值.(3)变式:某公司员工分别住在离公路较近的A,B,C三个住宅区,其中A区有75人,B区有45人,C区有30人,A,B,C三区与公路的连接点分别为D,E,F,如图,且DE=100米,EF=200米,该公司的接送车打算在公路上只设一个停靠点,为使所有员工在公路上步行到停靠点的路程之和最小,那么停靠点的位置应设在.20. 如图,两个形状、大小完全相同的含有30°,60°角的三角尺如图①放置,PA,PB与直线MN重合,且三角尺PAC,三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转.(1)试说明:∠DPC=90°;(2)如图②,若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度,PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF;(3)如图③,若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3°/秒,同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为2°/秒,在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时,两三角尺都停止转动),以下两个结论:①∠CPD∠BPN为定值;②∠BPN+∠CPD为定值,请选出正确的结论,并说明理由.21. 已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB上运动(如图,A在B的左侧,C在D的左侧,且运动中D在B的右侧).(1)M,N分别是线段AC,BD的中点,若BC=4,求MN的长;(2)当线段CD运动到D点与B点重合时,P是线段AB的延长线上一点,下列两个结论:①PA+PBPC 是定值,②PA-PBPC是定值.其中有一个正确,请你选出正确的结论,并求出这个定值.22. 墙角处有由若干大小相同的小正方体堆成的如图所示的立体图形,如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制),但希望搬完后从正面、上面、右面用平行光线照射时,在墙面及地面上的影子不变,那么你最多可以搬走多少个小正方体?23. 已知C为直线AB上任意一点，M,N分别为AC,BC的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由.24. 已知直线AB上有点O，OD,OC是从点O出发的两条射线，∠AOD=42°，∠BOC=34°，求∠AOD 与∠BOC的角平分线的夹角的度数.25. 如图，射线OM,ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°.(1)求∠MON的度数；(2)当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由.26. 比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)：①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大.对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小.27. 如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1)求∠MON的度数；(2)若将题干中的∠AOB=90°改为∠AOB=α，其余条件不变，求∠MON的度数；(3)若将题干中的∠BOC=30°改为∠BOC=β(β为锐角)，其余条件不变，求∠MON的度数；(4)从前面的结果中，你能得出什么结论？28. 根据所给图形解答问题.第7页共16页(1)如图1，已知∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，OD,OE分别平分∠COB，∠AOC，求∠DOE的度数；(2)如图2，在第1问中把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求∠DOE的度数；(3)如图3，在第1问中把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB外任意一条射线”，其他任何条件都不变，你能求出∠DOE的度数吗？说明理由.29. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来，这样的最短路线有几条？参考答案1. 【答案】B【解析】由图的特征可知B选项符合题意2. 【答案】A【解析】由常识可知选A.3. 【答案】B【解析】过点H作HM⊥BC于M.∵CE平分∠BCD.∴DH＝HM.在Rt△BMH中BH＞HM∴BH＞DH.故①不正确②③正确故选B.4. 【答案】B【解析】实际动手做一下，就可知几何体表面展开图是B.5. 【答案】D【解析】相反操作顺序展开，再利用对称性作图，可得D正确.6. 【答案】3√2+3√6【解析】本题考查平面展开图及最短路径问题,难度较大.将图②的几何体表面展开,根据“两点之间线段最短”得出结果.如图所示,蚂蚁爬行的最短距离即线段AB的长度,∵BC=BD,AC=AD,∴AB垂直平分线段CD,设垂足为点E,∵△BCD是等腰直角三角形,∴CD=√BC2+BD2=第9页共16页√62+62=6√2(cm),∴BE =12CD =3√2(cm),∵AD ,AC ,CD 均为正方形的对角线,∴AD =AC =CD =6√2,即△ACD 是等边三角形,∴AE =AD sin 60°=6√2×√32=3√6, ∴AB =BE +AE =3√2+3√6(cm),∴蚂蚁爬行的最短距离为(3√2+3√6)cm.7. 【答案】正十二边形(答案不唯一)【解析】本题考查平面图形的镶嵌问题,属于较难题.由题意知,符合环形密铺的条件是各正多边形的重心到所围成的图形的重心距离要相等,即正多边形的重心在一个圆上,图中的④,⑤明显的不符合,正六边形符合,则正十二边形也符合.8. 【答案】3√34－12n+1√34【解析】当上底为1，腰为1，下底为2时，高为√1−14＝√32，上底与下底的比为1∶2，∴S △1＝14S △AN 1M 1＝2×√32×23×14×12＝√312， S 1＝12(1＋2)√32－√312＝3√34－√312＝2√33，S 1＝3√34－12×1+1√34，同理，由相似，S 2＝3√34－12×2+1√34，…，以此类推，S n ＝3√34－12n+1√34. 9.(1) 【答案】AD ＝C ′D (答案不唯一，也可以是AE ＝C ′F 等)【解析】图①中，AD ＝C ′D ，AE ＝C ′F ，DE ＝BE ，C ′F ＝CF 等 (2) 【答案】①②③【解析】延长MN ，则M 、N 、B 在一条直线上，∴∠MBA ＝18°， ∴AM AB ＝AMa＝tan 18°，∴AM ＝a tan 18°，又AD ＝AM ＋MD ，∴b ＝m ＋a tan 18°，延长线BM 至M ′，使DM ＝DM ′，∠DM ′M ＝∠DMM ′＝72°， ∴∠M ′DB ＝90° ∴DM ＝DM ′＝BD tan18°＝√a 2+b 2tan18°＝m .∴AE ＝b tan 18°，DE ＝BE ＝a －b tan 18°，AD ＝b .∴b 2＋b 2tan 2 18°＝a 2－2ab tan 18°＋b 2tan 18°，∴2ab tan 18°＝a2－b2.故①②③正确10. 【答案】垂直、平行于底面各截一刀，第三刀刚好过前两个截面的交线，如图1，可以截出六块(方法不唯一)；垂直、平行于底面各截一刀，第三刀不过前两个截面的交线，如图2，可以截出七块；垂直于底面交叉截两刀，再平行于底面横截一刀，如图3，可以截出八块.11.(1) 【答案】题图②有7个面、15条棱、10个顶点，题图③有7个面、14条棱、9个顶点，题图④有7个面、13条棱、8个顶点，题图⑤有7个面、12条棱、7个顶点.(2) 【答案】例如：三棱锥被切去一块，如图所示，所得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点.(3) 【答案】由前两问可得到规律，f+v-e=2，所以f,v,e应满足的关系是f+v-e=2.12.(1) 【答案】15°；BC∥AD.(2) 【答案】AE平分∠CAB′，理由：易知∠EAB′=15°，由第1问知，∠CAE=15°，所以∠CAE=∠EAB′，所以AE平分∠CAB′.(3) 【答案】AE平分∠CAF，理由：因为∠GAE=45°，∠BAG=90°，所以∠BAE=45°，因为∠BAC=∠FAG=20°，所以∠CAE=25°，∠EAF=25°，即∠CAE=∠EAF，则AE平分∠CAF. (4) 【答案】成立.13.(1) 【答案】将图①中四个角上的4个小正方形剪下，拼成一个正方形，作为直四棱柱的一个底面.(2) 【答案】将图②中三个角上的3个四边形剪下，拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面.第11页共16页(3) 【答案】将图③中五个角上的5个四边形剪下，拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面.14.(1) 【答案】6；6；V +F −E =2.(2) 【答案】12.(3) 【答案】这个多面体的面数为x +y ，棱数为24×32=36，根据V +F −E =2可得24+(x +y)−36=2，所以x +y =14. 15.(1) 【答案】①栏依次填入：4；6；3；②栏依次填入：6；9；4；④栏依次填入：10；15；6.(2) 【答案】顶点数+区域数-边数=1.(3) 【答案】设这个平面图形有n 个顶点.因为从每一个顶点出发都有3条边，所以它3n2有条边.根据上述数量关系，有n +9−3n 2=1，可得n =16.所以3n2=24，所以这个平面图形共有24条边.16. 【答案】(1)将八边形内一点与各个顶点相连，可把八边形分割成8个三角形(如图(1))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成n 个三角形；(2)从八边形边上一点出发，连接各个顶点，能分成7个三角形(如图(2))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成(n −1)个三角形；(3)将八边形的一个顶点与同它不相邻的各顶点相连可以分割成6个三角形(如图(3))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成(n −2)个三角形.综上所述，八边形至少可以分割成6个三角形，n 边形至少可以分割成(n −2)个三角形.17.(1) 【答案】 AB =3AP .(提示：因为PD =2AC,DB =2PC ，所以PB =PD +DB =2(AC +PC )=2AP ，AB = AP +PB ，所以AB =3AP )(2) 【答案】证明：如图，由题意得AQ>BQ，∴AQ=AP+PQ，又∵AQ−BQ=PQ，∴AQ=BQ+PQ，∴AP=BQ.由第1问得，AP=13AB，∴PQ=AB−AP−BQ=13AB.∴AP=PQ.(3) 【答案】MNAB的值不变.当C点恰好停止运动时，有CD=12AB，∴AC+BD=12AB，∴AP−PC+BD=12AB，又∵AP=13AB，当C点恰好停止运动时，PC=1×5=5cm，BD=2×5=10cm，∴13AB−5+10=12AB，∴AB=30cm.∵M是CD的中点，N是PD的中点，∴MN=CD−MC−ND=CD−12CD−12PD=12(CD−PD)=12CP=52(cm)，∴MNAB =112.18.(1) 【答案】150°或30°(2) 【答案】45°(3) 【答案】能求出∠DOE的度数.当OC在∠AOB内部时,如图①,因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°-2α,因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=12∠BOC=45°-α,∠COE=12∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC+∠COE=(45°-α)+α=45°;当OC在∠AOB外部时,如图②,因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°+2α,因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=12∠BOC=45°+α,∠COE=12∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=(45°+α)-α=45°.综上所述,∠DOE=45°.第13页共16页19.(1) 【答案】当n 为奇数时,P 应设在第n+12台处;当n 为偶数时,P 应设在第n 2台和第(n 2+1)台之间的任何地方.(2) 【答案】根据绝对值的几何意义,求|x -1|+|x -2|+|x -3|+…+|x -617|的最小值就是在数轴上找出表示x 的点,使它到表示1,2,…,617各点的距离之和最小,根据问题(1)的结论知,当x =309时,原式的值最小.最小值是:|309-1|+|309-2|+|309-3|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-617|=308+307+306+…+1+1+2+…+308=308×309=95172. (3) 【答案】D 与E 两点之间(包括点D ,E )20.(1) 【答案】因为∠DPB =30°, ∠CPA =60°,所以∠DPC =180°-30°-60°=90°.(2) 【答案】设∠CPE =∠DPE =x ,∠CPF =y ,则∠APF =∠DPF =2x +y ,因为∠CPA =60°,所以y +2x +y =60°,所以x +y =30°,所以∠EPF =x +y =30°.(3) 【答案】①正确，②不正确.理由:设旋转时间为t 秒,则∠BPM =(2t )°,∠APN =(3t )°.所以∠BPN =180°-∠BPM =(180-2t )°,∠DPM =30°-∠BPM =(30-2t )°.所以∠CPD =180°-∠DPM -∠CPA -∠APN =(90-t )°,所以∠CPD ∠BPN =90-t 180-2t =12.21.(1) 【答案】如图①,因为M ,N 分别为线段AC ,BD 的中点,所以AM=12AC =12(AB +BC)=8,DN =12BD =12(CD +BC )=5,所以MN =AD -AM -DN =9;如图②,困为M ,N 分别为线段AC ,BD 的中点,所以AM =12AC =12(AB -BC )=4,DN =12BD =12(CD -BC )=1,所以MN =AD -AM -DN =9. (2) 【答案】①正确.因为PA+PB PC =(PC+AC)+(PC -CB)PC =2PC PC =2,所以PA+PBPC是定值2.22. 【答案】第1列最多可以搬走9个小正方体; 第2列最多可以搬走8个小正方体;第3列最多可以搬走3个小正方体;第4列最多可以搬走5个小正方体;第5列最多可以搬走2个小正方体,因为9+8+3+5+2=27(个),所以最多可以搬走27个小正方体.23. 【答案】因为M是线段AC的中点，所以CM=12AC.因为点N是线段BC的中点，所以CN=12BC.分以下三种情况：①当点C在线段AB上时，如图1，则有MN=CM+CN=12AC+12BC=12(AC+BC)=12AB；②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，则有MN=CM−CN=12AC−12BC=12(AC−BC)=12AB；③当点C在线段BA的延长线上时，如图3，则有MN=CN−CM=12BC−12AC=12(BC−AC)=12AB.综上所述，MN=12AB.24. 【答案】设∠AOD,∠BOC的角平分线分别为OE,OF.分两种情况讨论.①当射线OD和射线OC在直线AB的同侧时，由题意，得∠BOF=12∠BOC=17°，∠AOE=12∠AOD=21°，故∠EOF=180°−∠BOF−∠AOE=180°−17°−21°=142°；②当射线OD和射线OC在直线AB的异侧时，∠EOF=180°−∠AOE+∠BOF=180°−21°+17°=176°.综上所述，∠AOD与∠BOC的角平分线的夹角为142°或176°.25.(1) 【答案】因为∠NOC=12∠BOC，∠MOC=12∠AOC，所以∠MON=∠NOC+∠MOC=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12∠AOB=45°.(2) 【答案】由第1问知，∠NOC+∠MOC是个定值，所以当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生改变，恒为45°.26. 【答案】①测量∠ABC=45°，∠DEF=65°，所以∠ABC<∠DEF.②如图，使∠ABC的一边BC与∠DEF的一边EF、顶点B与E分别重合，BA落在∠DEF的内部，所以∠ABC<∠DEF.27.(1) 【答案】因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，又因为∠AOB=90°，∠BOC=30°所以∠MON=∠MOC−∠NOC=12∠AOC−12∠BOC=12(∠AOC−∠BOC)=12∠AOB=12×90°=45°.(2) 【答案】当∠AOB=α，其他条件不变时，∠MON=12∠AOB=12α.(3) 【答案】当∠BOC=β，其他条件不变时，∠MON=12∠AOB=12×90°=45°.(4) 【答案】∠MON总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关.28.(1) 【答案】因为∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB=40°. 因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，所以∠COD=12∠BOC=20°，∠COE=12∠AOC=20°，所以∠DOE=∠COD+∠COE=40°.第15页共16页(2) 【答案】因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，所以∠COD=12∠BOC，∠COE=12∠AOC，所以∠DOE=∠COD+∠COE=12(∠BOC+∠AOC)=12∠AOB=12×80°=40°.(3) 【答案】能.∠DOE=∠DOC−∠COE=12∠BOC−12∠AOC=12(∠BOC−∠AOC)=12∠AOB=12×80°=40°.29. 【答案】欲求从A点到B点的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形.如图所示.在两点之间，走线段最短，因而沿着从A到B的虚线(如上图)走路程最短.在正方体中，像这样的最短路线一共有六条，如图所示.。

初一几何难题练习题含答案

证明线段相等或角相等1、已知：如图1所示，∆ABC中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF90，，，。

求证：DE＝DF例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。

求证：∠E＝∠F2、证明直线平行或垂直例3. 如图3所示，设BP、CQ是∆ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。

求证：KH∥BC例 4. 已知：如图4所示，AB＝AC，∠，，A AE BF BD DC=︒==90。

求证：FD⊥ED3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

（截长法）例 5. 已知：如图6所示在∆ABC中，∠=︒B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

求证：AC＝AE＋CD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。

（补短法）例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，∠=︒EAF45。

求证：EF＝BE＋DF 4、中考题：如图8所示，已知∆ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。

求证：EC＝ED证明几何不等式：例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC。

求证：BD DC>【实战模拟】1. 已知：如图11所示，∆ABC中，∠=︒C90，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC AD CE==。

求证：DE CD=122. 已知：如图12所示，在∆ABC中，∠=∠A B2，CD是∠C的平分线。

求证：BC＝AC＋AD3. 已知：如图13所示，过∆ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP 和CQ。

设M为BC的中点。

求证：MP＝MQ4. ∆ABC中，∠=︒⊥BAC AD BC90，于D，求证：()AD AB AC BC<++14。

初一数学难题精选几何

初一数学难题精选几何1.某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A. 两点之间线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行2.有下列画图语句：①画出线段A,B的中点；②画出A,B两点的距离；③延长射线OP；④连接A,B两点，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.如图所示的几何体是由以下四个图形中的哪一个图形绕着虚线旋转一周得到的（）4.下列图形不能围成正方体的是（）5.用一副三角尺画角，不能画出的角的度数是（）A. 15°B.75°C. 145°D.165°6.棱柱的棱数与面数之和等于( ) .A. 3nB. 4n+2C. 3n+2D. 2n+27.下图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，从左面看到的几何体的形状图是（）.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）9.如图是一个正方形纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（）10.线段AB上选取3种点，第1种是将AB10等分的点；第2种是将AB12等分的点；第3种是将AB15等分的点，这些点连同线段的端点可组成线段的条数是（）A.35B.595C.406D.66611.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是______________.12.如图，B 、C、D依次是AE上的三点，已知AE=8.9cm，BD=3cm ，则图中以A、B、C、D、E这个点为端点的所有线段长度的和为_______ ．13.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定条直线．若平面上不同的n个点最多确定21条直线，则n的值为_______．14.已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段的长度为6cm，E 、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为_________．15.如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是______________．16.3.75°＝________°________′________″；16°48′36″＝________°.17.如图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面、从正面看到的形状图．则搭建这样的几何体最少需要_________个小正方体。

初一几何难题_练习题(含答案)之欧阳道创编

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例 1. 已知：如图1所示，∆ABC中，90，，，。

C AC BC AD DB AE CF∠=︒===求证：DE＝DF分析：由∆ABC是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CD AD=，∠=︒DCF45。

从而不难发现∆∆≅DCF DAE证明：连结CD说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证∆EFG是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。

求证：∠E＝∠F证明：连结AC在∆ABC和∆CDA中，在∆BCE和∆DAF中，说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示，设BP、CQ是∆ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。

求证：KH∥BC分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH 交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。

七年级数学几何图形初步难题精选(含解析答案)

七年级数学几何图形初步难题精选（含解析答案）1.美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分困成一个立体模型，然后放在桌而上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是D2.《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠左了现代数学的基础•它是下列哪位数学家的著作（）A.欧几里得B.杨辉C.费马D.刘徽 3•如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC, ZABC=90。

，丄DC, BD=DC, CE 平分/BCD,交 AB 于点E,交BD于点H, EN//DC交BD于点、N,下列结论：①BH=DH；②CH=（A/2+1）EH：③护廻=学.其中正确的是（）S QH ECA __________ DA.①②③B.只有②（③C.只有②D.只有③4•如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个而涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表而展开图的是（）6•图1所示的正方体木块棱长为6 cm 船其相邻三个而的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2的几何体，一只蚂蚁沿着图2的几何体表而从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 _________ c m.&如图，n+1个上底、两腰长皆为1, P 阿“凡而积为» 四边形PN 斟汕的而积为亠，…，四边形屮的面积记为» 通过逐一计9•有一张矩形纸片ABCD.按下而步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B, D 重合，点C 落在点C ，处，得折痕EF ：第二步：如图②，将五边形AEFCD 折叠，使CF 重合，得折痕DG,再打开：第三步：如图③，进一步折叠，使AE, CF 均落在DG 上，点A, U 落在点/V 处，点E, F 落在点E 处, 得折痕MN, QP.n> 下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形A. B. D.A. AB. BC.CD. D图1图3图2 7•如图1罔2,图3,用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环二我们称之为环形密铺，但图4,图5不是我(1) 请写出图①中一组相等的线段 _________ (写出一组即可)；(2) 若这样折岀的五边形DMNPQ(如图③)恰好是一个正五边形，当AB=a, AD=b, DM=m 时，有下列结论： (X)a 2—b 2=2cih tan 18°； (2)w=-/a 2 + b 2 tan 18°；③b=m+a tan 18°： ④b=^n+m tan 18°其中，正确结论的序号是 _____ (把你认为正确结论的序号都填上).■10.—个圆柱形的蛋糕，将它截三刀，能截出六块、七块或八块吗？若能，画出示意图：若不能，请说明理由.11•图①的正方体切去一块，得到图②迴的几何体.① ② ③ ④ ⑤(1)所得几何体各有多少个而?多少条棱?多少个顶点? (2)举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的而数、棱数和顶点数各是多少? (3) 若而数记为「棱数记为e,顶点数记为-则f f v f e 应满足什么关系?12.有一副直角三角板，其中一个三角板的内角是45。

初一数学难题及答案

初一数学难题及答案【篇一：初中数学经典几何难题及答案】、已知：如图，o是半圆的圆心，c、e是圆上的两点，cd⊥ab，ef⊥ab，eg⊥co．求证：cd＝gf．（初二）dofbea2、已知：如图，p是正方形abcd内点，∠pad＝∠pda＝150．求证：△pbc是正三角形．（初二）bcad3、如图，已知四边形abcd、a1b1c1d1都是正方形，a2、b2、c2、d2分别是aa1、bb1、cc1、dd1的中点．求证：四边形a2b2c2d2是正方形．（初二）a2a11cb22c d4、已知：如图，在四边形abcd中，ad＝bc，m、n分别是ab、cd的中点，ad、bc的延长线交mn于e、f．求证：∠den＝∠f．第 1 页共 15 页b1、已知：△abc中，h为垂心（各边高线的交点），o（1）求证：ah＝2om；（2）若∠bac＝60，求证：ah＝ao．（初二）2、设mn是圆o外一直线，过o作oa⊥mn于a，自a引圆的两条直线，交圆于b、c及d、e，直线eb及cd分别交mn于p、q．求证：ap＝aq．（初二）3、如果上题把直线mn由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设mn是圆o的弦，过mn的中点a任作两弦bc、de，设cd、eb分别交mn于p、q．求证：ap＝aq．（初二）4、如图，分别以△abc的ac和bc为一边，在△abc的外侧作正方形acde和正方形cbfg，点p是ef的中点．求证：点p到边ab的距离等于ab的一半．第 2 页共 15 页f1、如图，四边形abcd为正方形，de∥ac，ae＝ac，ae与cd相交于f．求证：ce＝cf．（初二）2、如图，四边形abcd为正方形，de∥ac，且ce＝ca，直线ec交da延长线于f．求证：ae＝af．（初二）3、设p是正方形abcd一边bc上的任一点，pf⊥ap，cf平分∠dce．求证：pa＝pf．（初二）4、如图，pc切圆o于c，ac为圆的直径，pef为圆的割线，ae、af与直线po相交于b、d．求证：ab＝dc，bc＝ad．（初三）第 3 页共 15 页1、已知：△abc是正三角形，p是三角形内一点，pa＝3，pb＝4，pc＝5．求：∠apb的度数．（初二）2、设p是平行四边形abcd内部的一点，且∠pba＝∠pda．求证：∠pab＝∠pcb．（初二）4、平行四边形abcd中，设e、f分别是bc、ab上的一点，ae与cf相交于p，且ae＝cf．求证：∠dpa＝∠dpc．（初二）第 4 页共 15 页经典难题（五）1、设p是边长为1的正△abc内任一点，l＝pa＋pb＋pc，求证：≤l＜2．2、已知：p是边长为1的正方形abcd内的一点，求pa＋pb＋pc的最小值．3、p为正方形abcd内的一点，并且pa＝a，pb＝2a，pc＝3a，求正方形的边长．4、如图，△abc中，∠abc＝∠acb＝800，d、e分别是ab、ac0，∠eba＝20，求∠bed的度数．第 5 页共 15 页【篇二：初中数学经典难题参考答案(第二版)】t>一、选择题1、若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，为（c） 66632、若112m?3mn?2n?=3，的值是（b） mnm?2mn?n(第4题图)则k37a、1.5b、c、-2 d、553、判断下列真命题有（c）4、如图，矩形abcd中,已知ab=5,ad=12,p是ad上的动点,pe⊥ac，e,pf⊥bd于f,则pe+pf=（b）602455a、5b、c、d、135125、在直角坐标系中，已知两点a（-8，3）、b（-4，5）以及动点c （0，n）、d(m,0)，则当四m边形abcd的周长最小时，比值为 =（b）n2333a、- b、- c、- d、3244二、填空题1|x|3?x26、当x= 负数时，与互为倒数。

初一几何难题例题_练习题(含答案)(优选.)

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很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

例 1. 已知：如图1所示，∆ABC中，90，，，。

∠=︒===C AC BC AD DB AE CFAC BCA BACB AD DBCD BD AD DCB B AAE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆ADE CDF DE DF例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

在∆ABC 和∆CDA 中，AB CD BC AD AC CAABC CDA SSS B D AB CD AE CFBE DF===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()在∆BCE 和∆DAF 中，BE DF B DBC DA BCE DAF SAS E F=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∆∆()例3. 如图3所示，设BP 、CQ 是∆ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。

交BC 于M∵BH 平分∠ABC∴=∠∠ABH NBH又BH ⊥AH∴==︒∠∠AHB NHB 90BH ＝BH∴≅∴==∆∆ABH NBH ASA BA BN AH HN ()，同理，CA ＝CM ，AK ＝KM∴KH 是∆AMN 的中位线∴KH MN //即KH//BC例 4. 已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =︒==90。

求证：FDAB AC BD DCDAE DABBAC BD DC BD ADB DAB DAE==∴+=︒==︒=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090在∆ADE 和∆BDF 中，AE BF B DAE AD BDADE BDFFD ED===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒∴⊥，∠∠，∆∆313290证明二：如图5所示，延长ED 到M ，使DM ＝ED ，连结FE ，BDM CDE DM DEBDM CDECE BM C CBMBM ACA ABM AAB AC BF AEAF CE BM ∠=∠=∴≅∴=∠=∠∴∠=︒∴∠=︒=∠==∴==，，，∆∆//9090∴≅∴==∴⊥∆∆AEF BFMFE FMDM DEFD ED3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

初中数学：20道经典几何难题（附答案），练熟后中考成绩不下130

初中数学：20道经典几何难题（附答案），练熟后中考成绩不
下130
老师们都喜欢说语文者得天下，得作文者得语文！可是对于初中数学来说，几何在数学学习和考试中的地位和作文在语文考试中的地位比起来，恐怕只有过之而无不及！所以我们也可以说初中数学是：得几何者得数学！、一来是几何几乎承包初中数学半壁江山，68%的核心考点都出自几何！而且，“几何”问题不仅是初中数学的重点，到了高中数学学习中也占很大比重！如果初中几何知识没学好，那么等到高中继续学习几何知识时，一定会遇到更大的难度！但是不管怎么说，初中的几何其实难度还是不大的。

初中三年也是塑造孩子的抽象思维的最佳时期。

如果在此时，不能够通过数学几何，来对孩子的抽象思维能力进行一点训练，那到了高中，恐怕更加地更不上了。

为此，小课堂整理了这份初中几何必考的20道经典题汇总资料，我希望各位家长朋友可以为自己的孩子收藏一份，哪怕孩子对于初中几何知识掌握并不是十分熟练和牢固，可是多做一些题目，对于孩子们理解和掌握几何知识还是有非常大的帮助，何况这些题目都是初中数学考试中经常出现的题目！。

(完整版)初一几何难题_练习题(含答案)

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

例1. 已知：如图1求证：DE ＝分析：由∆ABC 连结CD ，易得CD = 证明：连结CDAC BC A BACB AD DBCD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆ADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠FAB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CFBE DF===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()在∆BCE 和∆DAF 中，BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∆∆()说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

七年级数学几何难题练习题（含答案），快让孩子做做看！（附打印版）

七年级数学几何难题练习题（含答案），快让孩子做做看！
（附打印版）
获取打印版见文末1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。

“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。

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初一几何难题练习题含答案

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠FAB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B DAB CD AE CF BE DF===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()在∆BCE 和∆DAF 中，BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∆∆()说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

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1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

例1. 已知：如图1
求证：DE ＝分析：由∆ABC 连结CD ，易得CD = 证明：连结CD
AC BC A B
ACB AD DB
CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD
=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，
∴≅∴=∆∆ADE CDF
DE DF
说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。

本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。

有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠F
AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF
BE DF
===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()
在∆BCE 和∆DAF 中，
BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F
=∠=∠=⎧⎨⎪
⎩
⎪∴≅∴∠=∠∆∆()
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示，设BP 、CQ 是∆ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。

求证：KH ∥BC
AH 知KH ∥BC 。

证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M ∵BH 平分∠ABC ∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH
∴==︒∠∠AHB NHB 90 BH ＝BH
∴≅∴==∆∆ABH NBH ASA BA BN AH HN
()，
同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆AMN 的中位线 ∴KH MN // 即KH//BC
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4. 已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =︒==90。

求证：FD ⊥ED
证明一：连结AD
AB AC BD BAC BD DC
BD AD
B DAB DAE
=∴+==︒=∴=∴==，∠∠∠，∠∠∠129090
在∆ADE 和∆BDF 中，
AE BF B DAE AD BD ADE BDF FD ED
===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒∴⊥，∠∠，∆∆31
3290
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5
BD DC
BDM CDE DM DE BDM CDE CE BM C CBM BM AC
A ABM A
AB AC BF AE AF CE BM
=∠=∠=∴≅∴=∠=∠∴∠=︒
∴∠=︒=∠==∴==，，，∆∆//9090
∴≅∴==∴⊥∆∆AEF BFM
FE FM DM DE FD ED
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

（截长法）
例5. 已知：如图6所示在∆ABC 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。

︒60，
知∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，。

∴∠=∠=∠=∠=︒123460，得：
∆∆FOC DOC FC DC ≅∴=，
证明：在AC 上截取AF ＝AE
()
∠=∠=∴≅∴∠=∠BAD CAD AO AO
AEO AFO SAS ，∆∆42
又∠=︒B 60
∴∠+∠=︒∴∠=︒
∴∠+∠=︒∴∠=∠=∠=∠=︒
∴≅∴=566016023120123460∆∆FOC DOC AAS FC DC
()
即AC AE CD =+
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。

（补短法）
例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒EAF 45。

求证：EF ＝BE ＋
分析：使BG ＝DF 。

证明：延长CB 至在正方形ABCD 中，∠=∠=︒=ABG D AB AD 90，
∴≅∴=∠=∠∆∆ABG ADF SAS AG AF ()，13
又∠=︒EAF 45
∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒23452145
即∠GAE ＝∠FAE ∴=∴=+GE EF
EF BE DF
4、中考题：
如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝
又AE ＝BD
∴==∴==AE FD BF BA AF EF
即EF ＝AC
AC FD
EAC EFD EAC DFE SAS EC ED
//()∴∠=∠∴≅∴=∆∆
题型展示：
证明几何不等式：
例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。

求证：BD DC >
BD DE E B DCE B DCE E
∴=∠=∠∠>∠∴∠>∠，
∴>∴>BD DF BD DC
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。

【实战模拟】
1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=︒C 90，D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有AC AD CE ==。

求证：DE CD =
1
2
2. 已知：如图求证：BC ＝
3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。

设M 为BC 的中点。

求证：MP ＝MQ
4. ∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，求证：()AD AB AC BC <++1
4
【试题答案】
1. 证明：取
AC AD
AF CD AFC =∴⊥∴∠= 又∠+∠=︒∠+∠=︒14901390，
∴∠=∠=∴≅∴=∴=43
12
AC CE
ACF CED ASA CF ED
DE CD ∆∆()
2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。

“截长”即将长的线段截
CB CE BCD ECD
CD CD CBD CED
B E BA
C B
BAC E
=∠=∠=⎧⎨⎪⎩
⎪∴≅∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∆∆22
又∠=∠+∠BAC ADE E
∴∠=∠∴=∴==
ADE E AD AE BC CE ， 3. 证明：延长PM CQ AP BP BP CQ PBM ⊥∴∴∠=∠，// 又BM CM =， ∴≅∴=∆∆BPM CRM PM RM
∴QM 是Rt QPR ∆斜边上的中线 ∴=MP MQ。

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