一道清华大学自主招生试题的证明与推广
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
近十年清华北大自主招生试题汇总
1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。
2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证：3a b c x y z ++≥。
4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。
5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。
9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。
10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。
清华大学自主招生面试试题
清华大学自主招生面试试题第一篇：清华大学自主招生面试试题2013清华大学自主招生面试试题据清华大学招办介绍，这是清华首次官方对外发布自主招生面试题目。
这些“备用题目”是提供给面试老师自主选择的题目，面试老师可根据本场面试同学的教育背景和其他材料自行调整。
其中，1-3题为上午场题，由清华大学官方公布；4-6题为下午场题，是学军中学章壬郁同学回想起来的。
1、近期，上海、南京、杭州等地接连出现H7N9型禽流感的感染病例，并且造成数名感染者死亡。
世界卫生组织和中国政府都高度关注这一病情，并且采取了积极的救治措施。
但是，公众依然非常想要知道和这个事件相关的各种信息。
假如你是一位新闻发言人，你认为在这个时候，公众需要什么样的信息？请在90秒内作答，可以开始了。
假如你发布信息之后，社会出现恐慌，那该怎么办？2、人类一思考，上帝就发笑。
请就人类社会发展与大自然的关系发表评论。
请在90秒内作答，可以开始了。
基于你的评论，你打算在当下、在未来做些什么？3、请以《我和诺贝尔奖的距离》为题，发表一个2分钟的即时演讲，你可以准备1分钟，计时开始。
4、现在青少年是接触网络的主要群体，请谈谈其中的利弊。
在90秒内作答。
5、“感动中国十大人物”请评选出三个，其中有一个必须是你身边的人，并说明为什么？在90秒内作答。
6、“枪打出头鸟”这句话，你怎么看？第二篇：清华大学自主招生面试3清华：看重学生的创新思维当年清华大学的笔试只考了英语和物理，题型很新、题目比较开放，都是平时没接触过的，乍一看会觉得很没头绪，但只要把自己的理解和想法都写出来、表达出来，就算是成功了，因为有些题目并没有标准答案。
面试的问题涉及数学、物理、文学、社会等各方面，时间在半小时左右，有些问题比较难，可能一时答不出答案，但至少要系统、清楚地阐述你分析这些问题的角度和思路。
总的来说，清华大学的自主招生更看重学生的综合素质、变通能力和创新思维。
心态要好平时积累很重要“自主招生资格不是进入高校的‘保险箱’，它只说明你具备这个实力，如果抱着‘高枕无忧’的心态，最后很有可能会与名校擦肩而过。
一道2009年清华大学自主招生数学试题的背景
质 数 问题 非 常古 老 ， 中 的猜 想 很 多 也 很 有 之
名， 比如哥 德 巴赫 （ ｌｂ ｃ ，６ ０～ １ ６ ）猜 想 Ｇｏｄ ａｈ １ ９ ７４ 等 ． 裔 数学 家 陶哲 轩 （ ｒｎ ｅＴ ｏ １ ７ ］华 Ｔｅｅ ｃ ａ ，９ ５～）
８１ ，４的素数 等 差数 列分 别 只有 一 个 ， 们 分别 是 它 ３ ５ ７ ３ ７ １ ； ，ｌ １ ； ，７ ３ ， 存 在 公 差 为 ， ， ； ， ， １ ３ １ ， ９ ３ １ ，１ 不
Ｐ∑ｎ ｎ＋３ ｃ ＋ ∑ ａ ｂ
２（ 一 ａ） ～ ６） Ｐ — ｆ 户 （ （ ）
由推论 易得 文 ［ ］的结论 ， ３ 还可 得 ： 差 为 ２ 公 ， ４ ８ １ ，ｏ ２ ，４ ３ ，ｏ ５ ， ，４ ２ 。８ ３ ， ８ ４ ，Ｏ的 素 数 等 差 数 列 分
别 只有一 个 （ 首 项 与项 数均 是 ３ ； 存 在 公 差 且 ）不
为 １ ， ２ ２ ，２ ４ ，６的素 数 等差数 列． ６ ２ ， ６ ３ ，４ ４
～
２ ｐ。＋ ｐ（ ｐ２— ８ ２ Ｒｒ一 ２ 。 ｒ ）＋ １ Ｒｒ ２ ｐ
２ ｒＰ
一
１ ６的 素数 等差 数列 ．
笔 者在 文［ ］中证 得 了 ４ 定 理 １ 首项 不 是 ３的素 数等 差数 列 的公 差
一
堡 一１
．
是 ６的倍 数 ．
所 以 有
２ Ｒ
一 一
Ｄ 十
公差 为 ８的等差数 列 ， 并证 明你 的结论 ．
解 设 这个 等差 数 列为 ａ ａ ８ ａ＋ １ ． ，＋ ， ６
若 ０— ３ （ ｎ ｎ∈ Ｎ ， ） 因为 ａ为质 数 ， 以 ａ一 所 ３ 得 这个 等 差数 列为 ３ ｌ ，９ 符 合题 意 ， ，ｌ １ ，
清华大学自主招生面试题
以下是小编为大家做了的2014年清华大学自主招生笔试题目!!!一、中英文综合(200分)(一)、语文部分(95分)1、甲文：白居易的粉丝(9分)(1)、请解释什么是“白居易现象”。
(2)、“文章已满行人耳，一度思卿一怆然。
”一句中的“文章”指的是什么?(3)、陈至呼为“白舍人行诗图”的根据是什么?(4)、作者写到“打开整部中国文学史上，与大众如此呼吸相通，生息相关，声气相连，心神相交的文人，还真是很少见有与他相匹敌者。
”作者似乎另有感慨，作者感慨的是什么哪2、乙文：4年前与奥巴马的邂逅(11分)(略)(1)、请具体说明文中“如同奥巴马所期待的那样”指的是什么?(2)、下文为奥巴马当选总统后的演讲，请说明文中“我”的作用和下文中安·尼克松·库伯的作用分别是什么?3、丙文：历史与记忆(13分)(略)(1)、文中“记忆能否擦拭掉历史的尘垢，恢复其本来面目?”显然有两种回答：能或不能。
请选择一种，并举例论证。
(2)、“在押往集中营的火车上，她设法递出了令人揪心的一封明信片。
她说，她不知道她的孩子在哭泣，在挨饿?他要死了吗?她希望有人去照料一下她的孩子啊!这份明信片现在就在博物馆里展出。
"作者举这个例子的目的是什么?(3)、如果《中国发展年鉴》要增加一个词条“城市记忆”，请你做一个解释。
(30字以内)4、丁文：传统油画过气了吗?(12分)(略)(1)、最后说这种诗意又是“东方式”的，怎么理解?(2).式微一词出自哪?它的意思是什么?(3)、文中与架上油画意思相同的词还有哪些?(请写出两个)(4)、传统油画仍是绘画艺术中魅力犹存的主流样式。
在作者看来，原因是什么5、甲--丁文：作文(1)、下面的词都是与原文相关的词汇，选择其中的5个，做简单的解释。
(5分)IT 粉丝过气涂鸦小众化(2)、上面四篇文章是选自某一期报纸的某一版面，请你为这个版面拟一个称谓，并说明你的构想(800字左右)(45分)(二)、英语部分(80分)1、10个词汇题，给出一句话，将其中一个词划线，从A、B、C、D中选出与划线词意思相近的词。
清华北大自主招生试题
清华北大自主招生试题清华北大是中国两所著名的大学，其中拥有自主招生的选拔方式，试题内容也备受关注。
下面是一份清华北大自主招生试题及其解析。
数学部分：1、已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，当x=1时，f(x)的值最小。
求a、b、c的值。
解析：首先，f(x)在x=1处的值最小，即f'(1)=0，且f''(1)>0；其次，根据函数值的大小可得c<f(1)。
根据题意解方程组f(1)=1+a+b+c，f'(1)=3+2a+b=0，得a=-2，b=-7/2，c=5/2。
2、图中正方形ABCDEF的对角线AC的中点为点M，点P和点Q分别在边EF和边CD上，使得BP和AQ平行。
证明：BP=2AQ。
解析：连接PM和QM，设BP=k，AQ=1，则PM^2=PC^2+CM^2=k^2+1，QM^2=QC^2+CM^2=4+k^2-2k，故PM^2=2QM^2，即k=2。
语文部分：1、读下面一段话，回答后文提出的问题。
我小时候家里非常穷，每天晚上我都要在家里自学功课。
有一次，我的教师给我布置了画一幅山水画，我画得非常认真，可是画的并不好。
我为此很沮丧，所以我们来另想一个办法吧。
我最初的计划是成为一个演员，我将前往汉城发展，并已经经过了第一轮入学考试，但是我还是不能放弃我的学习，以此来打破这个恶性循环。
问题：作者的小时候遇到什么样的困境，他最初的梦想是成为什么？他如何应对这种困境？答案：作者小时候家庭贫困，无法接受优越的教育；他最初的梦想是成为一个演员；他通过自学和努力学习打破困境。
2、阅读下面一篇文章，回答问题。
《荔枝赞》是一首家喻户晓的诗歌，它形象地描绘了夏天荔枝的美味与丰盈，这使得荔枝在中国的文化传统中具有独特的地位。
它种植的地区在中国非常广泛，有许多的品种和不同的名称，如广西的“白蒙皮”、“桂味”，海南的“红心”，广东的“春蜜”等。
由于其可口可心的味道和独特的诱人香气，许多人前来尝鲜、品鉴，荔枝从而成为夏季的必选水果之一。
清华自主招生面试题目(3篇)
第1篇一、引言随着全球化的深入发展，世界正经历着前所未有的变革。
在这个充满机遇与挑战的时代，中国作为世界第二大经济体，正面临着前所未有的发展机遇。
清华大学作为中国顶尖的高等学府，始终关注着国家的发展大局，致力于培养具有国际视野和创新精神的人才。
本次自主招生面试题目以“创新与挑战：未来世界中的中国角色”为主题，旨在考察考生对当前国际形势的理解、对国家发展战略的思考以及对个人未来发展的规划。
二、面试题目1. 题目一：请结合当前国际形势，谈谈你对未来世界发展趋势的看法，以及中国在这一趋势中的角色定位。
2. 题目二：在全球化进程中，中国如何应对来自其他国家的竞争和挑战？请举例说明。
3. 题目三：你认为我国在科技创新方面有哪些优势？同时，在哪些领域还存在短板？请结合实际案例进行分析。
4. 题目四：面对气候变化、资源短缺等全球性问题，中国应如何发挥自身优势，为全球治理贡献力量？5. 题目五：请谈谈你对“一带一路”倡议的理解，以及该倡议对中国和世界带来的影响。
6. 题目六：在当前国际环境下，中国如何加强与其他国家的文化交流与合作？7. 题目七：请你结合自身专业背景，谈谈你对未来职业发展的规划，以及如何为实现国家战略目标贡献力量。
8. 题目八：请以“创新与挑战：未来世界中的中国角色”为主题，撰写一篇短文，字数不超过1000字。
三、面试流程1. 考生自我介绍：考生在面试开始前进行自我介绍，包括姓名、年龄、籍贯、兴趣爱好等。
2. 面试官提问：面试官根据题目要求，对考生进行提问。
考生需在规定时间内完成回答。
3. 考官点评：面试官对考生的回答进行点评，包括优点和不足。
4. 考生提问：考生可以向面试官提问，了解清华大学的相关情况。
5. 结束语：面试官对考生表示感谢，面试结束。
四、评分标准1. 知识储备：考生对国际形势、国家发展战略、专业领域的了解程度。
2. 思维能力：考生对问题的分析、判断和推理能力。
3. 语言表达能力：考生在面试过程中的语言表达流畅、准确、有逻辑性。
清华大学自主招生面试题及答案
清华⼤学⾃主招⽣⾯试题及答案清华⼤学⾃主招⽣⾯试题及答案1.如何看待⾼考加分政策：答：我觉得⾼考加分是可⾏的，⾼考加分是⿎励考⽣向多⽅⾯发展的⼀种激励机制，⽐如说⼀些省级奖项、科技创新奖项以及为社会贡献的⼀些先进事迹等，尤其是贫困地区、少数民族的加分，还可以促进教育的公平和少数民族的发展。
但是这种激励机制反倒成为权势加分的武器的话，那这种机制需要相关部门有更规范更系统的加分准则，⽽且在⼀定时间内要具有相对稳定性，严格加分的审核制度。
这样才能使⾼考加分政策更有利于良性竞争！2、《阿凡达》很⽕，如何在这种情况下发展中国⽂化答：《阿凡达》很⽕跟雄厚的科技实⼒分不开。
欧美⼤⽚、⽇本动漫也很受欢迎的深层原因在于他们能够将科技、⽂化结合起来，成功地通过⼀部电影挖掘⽂化内涵，引起观众共鸣。
因此，在这种情况要发展中国⽂化，需要⼤⼒发展科技、培育⼈才，通过科技、⼈⽂和⽂化相结合，使丰厚的中华⽂化在世界⽂化林⾥⼤发异彩。
3、⽤⼀个成语形容你眼中的哥本哈⽓候会议答：在各国与⼈类利益中寻求平衡点，各谋其政。
海岛国家极⼒主张减排为的就是⾃⼰能够获得可能的地球变暖灾难来临时，⾃⼰国家能够有⽣存下去的权利。
发达国家（尤其是以欧洲国家）希望通过不公平的强制减排是希望通过⾃⼰的技术优势占据未来经济发展的制⾼点，并挤压其他国家的发展空间，最终主导未来世界的发展。
以中国、印度、南⾮、巴西为⾸的77个发展中国家极⼒反对发达国家的⽅案，并主张新帐旧账⼀起算，是为了维护⾃⼰的发展权利不被发达国家剥夺。
从结果⾓度概括：悬⽽未决。
是从形势上来说，迫在眉睫。
4、⽤关键词概括2009年中国现状答：危机，机遇，改⾰，⾃信，重⼤，盛⼤，成功，团结，克服，稳定，发展。
5、中国是否已步⼊⾼房价时代，你的观点是？答：中国尚未步⼊⾼房价时代。
中国⽬前正处快速城镇化阶段，住房的供需关系达到新的平衡点。
同时，我国经济持续稳定增长，⼈均GDP已超过3000美元。
因此，就全国范围内来看，我国尚未步⼊⾼房价时代。
一道2010年清华大学自主招生题的探究
严格小 于最 短者 长度 的 ２倍． 问 ： 试 长度为 ３ ０的木棒 至多可 以锯成多少段 ？
１
解法 １ 只 需 罗列 出满足条 件 的所 有锯木棒 方法 ， 程如下 ： 过
３ Ｏ叶 １ １ ５． ５
， ，
７， ８ ８，
丙
丙 具
锯 捧
・
４ ・ ２
中学教 研 （ 学 ） 数
２１ ０ １年
一
道 ２ ０年 清 华 大 学 自 主 招 生 题 的 探 究 １ ０
●龚新 平 （ 育才中学 上海 ２１０ ） ０８１
２１ ００年五 校 自主招生联 考清华大学 特色考 试试题 中 出现 了如下 的离散 最值 问题 （ 见文献 ［ ］ ． 文 １ ）本 一 一 的 将对该 问题 提供 ３种解 答 ， 并在此 基础上应 用逆推法 与逐步 调整法深入 地加 以探 究 ， ｌ ｌ ｌ 木 构造 提出一个近似估 ¨ ¨ ｎ —
・ ３・ ４
若最 小长 度 等于 １ 由最 大长度 小于 ２知 ， ， 所有 长度 均 为 ｌ 而 ｆ ２ 故 至少 有 ３个 １ 矛 盾 ！ ， ＞ ， ， 探 究 ３ 非最 小长度 至多 ３段． 若某 长度 至少 ４段 ， 则一 段 和 比其小 的长度 由其 和长 度锯 成 ， 下该长 度 的 ３段 中必 有 ２段 由其 和长 剩 度锯 成 ， 而此 和为 第 ３段 的 ２倍 ， 盾 ！ 矛 探 究 ４ 某 长 度出现 ２段后 ， 长度 不能再 锯． 该
戮
３ １ １ １ ８ ，８ ０ ４ ６ ４ ， ８ ， — ，— ，８ ７ ，８ 【
－ － － －
￣ ８， ９ ５， ８，
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程
为
３ 。
2023年清华大学自主招生推荐信
2023年清华大学自主招生推荐信2023年清华大学自主招生推荐信1尊敬的清华大学各位领导、老师：你们好！我是__省__市第三中学教师——__同学的班主任x。
我郑重地推荐我的学生——__，推荐__同学申请清华大学自主招生资格。
____年我向贵校成功举荐了我的`学生张龙，__x年9月，我怀着成功的喜悦迎来了新一届学生，希望能再次发现人才。
功夫不负有心人，大约在____年十月的一天，我上完课，看到教师里的气氛有些沉闷，我命令学生们到外面休息一下，换换空气，大多数学生走了出去，我走过去想催促她们也出去玩儿，当我走近她们发现一个女生正在那里画素描，我看了一眼，画得很认真，我问了一下她的名字，知道她叫__，来自本市的一个农村，看着她的画，听着她充满灵气的干净利索的回答，我凭近20年班主任经验知道，她就是我要寻找的人才！两年多的接触使我对__有了更多的了解。
从__画素描可以看出这个学生内心是非常平静的，也非常纯净，这使得她做什么事情都很专注。
两年来同学们都用“不食人间烟火”来形容__的心境。
优良的心理素质培养了她优良的思考问题的习惯，使她能够深刻思考课本之外的东西。
我曾经问过她为什么不参加各种竞赛，她说：在初中的时候参加过各种竞赛，也拿过很多奖励，现在反思一下，觉得竞赛可以使人变得聪明，但那是小聪明，走捷径，与真正的科学之道不一致。
她就是这样一个人，认准了就专注去干，不回头！学品即人品，__来自农村，她追求上进，学习有大局意识，肯下功夫，初中学校基础教育比较差，靠天赋和专注考入我校，从年级60多名，逐步积累从众多高手中脱颖而出，目前已经稳定在年级前十名，她还有很大的发展空间，很大的潜力！好钢还需要大熔炉的锻造。
__是一块可锻造之材，到贵校之后一定能更好的发展，为祖国的繁荣昌盛作出她应有的贡献！2023年清华大学自主招生推荐信2清华大学招生办老师：您好!我是××省××中学高三(×)班班主任×××，在这里我向您郑重推荐我们班的优秀学生×××。
应用Jensen不等式简证和推广几个自主招生试题
推 广 设 ，２… ， 为实数 ， ｌ … ＋ １ ， 且 ＋ ２＋
＝
ｍ
下 面 几个 不 等 式 在参 考 答 案 中所 提 供 的证 明
方法都较为繁琐 ， 者对 利用 Ｊｎｅ 笔 ｅｓｎ不等式进行 一ｎ
●
１求证 ： 于 任 意正 整 数 ， 有 ， 对 ｎ都
ｍ
＋
即 １ ２ ２ ＋ ２ ＋… ＋ — ２ ｎ≥ ，
证 明 令 ｇ ｚ ＝—— 百ｌ ＜ ＜ １ ， （ ） —— ０ ） 则
一
ｇ（
当且仅 当 ＝ ：＝ … ：
＞ ０，
＝
时， 等号 成 立．
因此
ｇ（ ＝ ” ）
ｆ 一戈 １ 。
１ 一 １ ２ 一 Ｘ２ ｎ 一 ｎ
＋ ．．＋ —— — … ＋ ． — —芎 ＞ ４． ４・
成 Leabharlann ｇ（ ” ）＝ （ ｎ （ ｎ一１ 一 ０ ２ ）２ ）・ ≥ ，
（００年浙江大学 自主招生考试试题 ） ２１
推 广 存在 小 于 １ 的正数 １ ２ … ，ｎ ， ， 且 １ ＋
ｇ （ ： １＋４ ≥ ０ ” ）
，
即 （ Ｉ ＋ … ）（ ） ｘ （ ≥ “ ，
当且仅 当 ＝ ：＝ … ＝ ＝ 时， 等号成 立．
特别地 ， 当 ＝３ ， 时
于 是 ｇ ） 区间 （ ＋∞ ） 的严格 下 凸函数． （ 是 ０， 上 根
据 Ｊｎｅ ｅ ｓｎ不等 式 可得
凡 ｇ
（ ・ ＋ ・ ＋）１０ 口 ）６ （ ÷≥０． ＋ （ ）ｃ ０
（０ ８年 南京 大学 自主招 生考 试试题 ） ２０
推 广 设 ，２ … ， ∈Ｒ 且 １ ２ １ ， ， ＋ ＋… ＋
历年清华大学自主招生面试试题及答案分析
历年清华大学自主招生面试试题及答案分析摘要：清华大学自主招生是每年自主招生关注度最高的重点院校，文都高考网今天就以清华大学自主招生面试试题为例，为大家分享自主招生面试试题的答题技巧。
以下是文都高考网老师为大家带来的历年清华大学自主招生面试试题及答案分析，仅供参考。
1. 谈古论今──请任选中国古代和当代人物各一位进行对比阐释。
【参考答案】孔子是我国古代伟大的思想家，教育家，政治家，儒家学派创始人，世界十大历史名人之一。
孔子不但是我国两千多年的“至圣先师”，今天也同样受到世人尊敬和推崇。
1988年，75位诺贝尔奖的获得者在巴黎发表联合宣言，呼吁全世界“21世纪人类要生存，就必须汲取两千年前孔子的智慧。
”由此足可见孔子思想之伟大。
他正直、乐观向上、积极进取，一生都在追求真、善、美，一生都在追求理想的社会。
他的成功与失败，无不与他的品格相关。
陶行知是伟大的人民教育家，他说“生活即教育”就是指是什么样的生活就是什么样的教育。
人接受教育有两种途径——一种是书本知识（间接的，包括听讲），一种是直接的，即从实践获得的。
生活教育包括这两部分，并没有把读书排斥在生活之外。
陶行知说“生活即教育”是一个大概念，所谓“生活”，陶行知说生活就是有生命的东西在一个环境里生生不已的活动。
因此可以说一切活动都是生活，教育也是生活。
孔子和陶行知都是教育家，但陶行知有最高的理想，他批判的吸收了西方先进的教育理论，并根据中国的国情，创造了一整套教育理论，并且以最大的魄力付诸实践，取得了很大的成就。
他的品德、修养和理论都值得学习和继承。
与孔子不同的是，他还是坚强的民主战士，他关注祖国的命运和人民的要求，抗日战争结束后，广大人民都要求和平，反对内战，陶行知任民盟中央委员，他为争取民主和平，和国民党反动派行了坚决的斗争，周游26个国家，参加各种国际会议，宣传各种抗日主张，做出了重大的贡献，结果因疲劳忧愤而死。
【专家点评】本题分为三个部分进行阐述，首先是选择中国古代和当代人物各一位分别进行特征描述和成就说明，最后将两位人物进行对比阐释，注意选择正面人物，同时在对比部分要有升华和客观评价。
清华大学自主招生考试数学试题研究
B.有 2析：设直线 l1 , l2 , l3 分别与直线 y kx m 平行且与 函数 y f ( x) 相切，则三条直线 y kx m ， l1 , l2 , l3 和函数 y f ( x) 的切点设为
A( x A , f ( x A )), B ( xB , f ( xB )), C ( xC , f ( xC )), D( xD , f ( xD )), E ( xE , f ( xE ))
2
3.2 试题考点分布统计 2006 年－2016 年自主招生数学试题主要考点分布统计表 2006 三角函数 复数 函数与方程 概率与统计 数列、不等式 向量 平面几何 立体几何 解析几何 排列与组合 数论与推理 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 2007 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 2008 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 2 2009 0 2 1 2 1 0 0 1 2 7 2 2010 2 1 1 1 1 1 1 3 2 1 0 2011 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 0 2012 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2013 1 0 1 1 1 0 0 0 1 2 1 2014 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 2015 3 2 5 1 6 2 1 1 4 2 3 合计 13 8 14 11 15 5 5 10 17 14 11
1 1 ， cos x cos y ，求 sin( x y ), cos( x y ) 的值. 2 5
分析： 解决数学问题就是要建立已知与未知之间的联系， 本题的已知条件与问题之间很容易 发现下面的这个关系：
x y x y x , 2 2 y x y x y . 2 2
一道清华自主招生试题的拓广(宋书华)
故ｋＯＡ －ｋＯＢ ＝ 槡（－４ｃｏｔθ）２＋１６＝ｓｉ４ｎθ．
所
以ｔａｎ∠ＡＯＢ＝１ｋ＋ＯＡｋ－ＯＡｋｋＯＯＢＢ
＝
－
４ ３
·１， ｓｉｎθ
即ｔａｎ（∠ＡＯＢ）·ｓｉｎθ＝ － ４３ ．
定理５ 已知 Ｃ、Ｆ 是椭圆Γ：ｘａ２２＋ｙｂ２２＝１（ａ＞
ｂ＞０）的左顶点和左焦点，倾 斜 角 为θ 的 直 线ｌ 过
定理１ 设点 Ｆ 是抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０） 的 焦点，直线ｌ０ 是准线，且ｌ０ 与ｘ 轴交于点Ｍ ．若 过焦点 Ｆ 且 倾 斜 角 为θ 的 直 线ｌ 与 抛 物 线 交 于 Ａ ，Ｂ，则ｔａｎ∠ＡＭＢ＝１２－ｓｓｉｉｎｎθ２θ．
所以
ｔａｎ
∠ＡＭＢ ２
＝ｔａｎ∠ＭＡＡ１
＝
Ａ１Ｍ ＡＡ１
＝
ＡＦＡｓＦｉｎθ＝ｓｉｎθ．
焦 点 Γ，与 椭 圆 Γ 交 于 Ａ、Ｂ，ｔａｎ（∠ＡＣＢ）ｓｉｎθ ＝１２－（１（１＋＋ｅｅ））２ ．
证明 设直线 ＡＢ：ｘ＝ｃｏｔθｙ－ｃ，
联立烅烄ａｘ２２＋ｂｙ２２＝１ ， 烆ｘ＝ｃｏｔθｙ－ｃ
烄［（ｘ＋ａａ２）－ａ］２ ＋ｙｂ２２ ＝１
变 形 可 得烅烆（ｘ＋ａａ）－－ｃｃｏｔθｙ＝１
，
所以ａ２ ｙ２＋２ｃｏｔθａ（ａ＋ｃ）（ｘ＋ａ）ｙ－ （ａ＋ｃ）２
（２０１１年清华大 学 等 七 校 联 考 ）抛 物 线 ｙ２ ＝ ４ｘ 的焦点为Ｆ，原 点 为 Ｏ，直 线 ＡＢ 经 过 点Ｆ，抛 物线的准线与ｘ 轴交于点Ｃ，若∠ＯＦＡ＝１３０°，则 ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ ． ２ 试 题 拓 广
命题组当初给 出 的 参 考 解 答 是 代 数 方 法，笔 者 感 觉 过 于 繁 琐 ，下 面 给 出 几 何 方 法 及 其 拓 广 ．
清华自主招生数学创新试题汇编
1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nnn k ka a a a a a a a kk++++++++≥创建(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你结构一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故 ()(0,0,)22n n n a b a b a b n N *++≥>>∈． (5)分（Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++只要证：112311231(1)()()n n n n nn k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++…………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++= (8)分 当0x ≤≤12ka a a k+++时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]ka a a g x k+++在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞在递增所以12()ka a a x g x k+++=当时，的最小值为12()ka a a g k+++………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++ =1121212(1)[()()(1)()]n n n nnn n k k k nk k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++=11212(1)[()()]n n n n n n k k nk k a a a k a a a k -++++-+++=1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n nnn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0ka a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n nn k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++.…………………………..14分答案：5354321b b b b b b =••••3、10．界说一种运算“*”：对付自然数n 满足以下运算性质：（i ）1*1=1，（ii ）（n +1）*1=n *1+1，则n *1便是A ．nB ．n +1C ．n -1D ．2n 答案：D4、若)(n f 为*)(12N n n ∈+的列位数字之和，如：1971142=+，17791=++，则17)14(=f ;记=∈===+)8(*,)),(()(,)),(()(),()(20081121f N k n f f n f n f f n f n f n f k k 则 ____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。