2009年清华大学自主招生数学试卷(理综)〔精品解析版〕
近十年清华北大自主招生试题汇总
1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。
判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。
2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。
求证：3a b c x y z ++≥。
4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。
5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。
求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。
9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。
10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。
2009年清华大学自主招生与保送考试试题(各科齐全)
2009年1月1-2日清华大学自主招生考试试题分两天1月1日上午9：00-12：00 中英文综合200分下午2：00-3：30 数学100分下午4：00-5：30 物理100分1月2日上午9：00-12：00 理科综合300分，数学物理化学各100分中英文综合题型分值第一部分英语基础（40分）单选词汇（1分×10）单元语法与词汇（1分×10）完形填空（1分×20）第二部分英语阅读（2分×20=40分）共8篇左右，每篇后2至3个单选题。
内容基本为美国文化政治第三部分中文（94分）4篇文章，后面分5大题：每篇的阅读理解题，第五大题为新词解释与作文第四部分中英文综合应用（26分）给一段文言文，翻译成中文（6分），用英文概括大意并评论（20分）第一部分英语基础（略）第二部分英语阅读（略）第三部分中文（全）白居易的粉丝李国文中国文学，一直有大众化和小众化的分野。
唐代的白居易，则是最能代表中国文学大众化的典型诗人。
白居易，生于公元772年（唐代宗大历七年），终于公元846年（唐武宗会昌六年），活了74岁。
经历顺宗、宪宗、穆宗、敬宗、文宗、武宗六朝。
无论当时，无论后世，谈及这位诗人，离不开以下三点：一，他在诗坛领袖群伦，推动潮流的地位；二，他在朝野引起轰动，遐迩知名的程度；三，作为诗人，他在当时中国人之大多数心目中的无与伦比的尊崇，非同凡响的声望，他的粉丝，可以说是举国上下，遍地皆是，大江南北，无处不在，这也许是最值得大书而特书的中国文学的‚白居易现象‛。
他的朋友元稹为他的诗集《白氏长庆集》序中，这样写道：‚二十年间，禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、马走之口无不道。
缮写模勒，炫卖于市井中，或持之以交酒茗者，处处皆是。
‛明人胡震享的《唐音癸签》一书中引《丰年录》：‚开成中，物价至贱，村路卖鱼肉者，俗人买以胡绡半尺，士大夫买以乐天诗。
‛白居易的一首诗，竟可以换来一条胖头鱼，一方五花肉，我估计当代诗人的作品，怕难以卖出这样的高价来。
2009年高考全国卷I数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合中的元素共有（A）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个解：，故选A。
也可用摩根律：（2）已知=2+i,则复数z=（B ）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i解：故选B。
(3) 不等式＜1的解集为（D ）（A）｛x (B)（C）(D)解：验x=-1即可。
(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A）（B）2 （C）（D）解：设切点，则切线的斜率为 .由题意有又解得: .(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法(2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D（6）设、、是单位向量，且• ＝0，则的最小值为( D )（A）（B）（C）(D)解: 是单位向量故选D.（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）（A）（B）（C）(D)解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（B）（C）(D)解: 函数的图像关于点中心对称由此易得 .故选A(9) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点，则,又.故答案选B（10）已知二面角为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）(A) (B)2 (C) (D)4解:如图分别作，连，又当且仅当，即重合时取最小值。
2009年北大清华自主招生试题
09年北大清华自主招生试题语文：一。
举出两个典型的成语曲解；两个病句改错：我们都有一个家，名字叫中国。
素胚勾勒出青花笔锋浓转淡。
二。
对联：博雅塔前人博雅；三。
“三国志”一段无标点文言文加标点并翻译（挺长的）吴人之妇有绮其衣者衣数十袭届时而易之而特居于盗乡盗涎而妇弗觉犹日炫其华绣于丛莽之下盗遂杀而取之盗不足论而吾甚怪此妇知绮其衣而不知所以置其身夫使托身于荐绅之家健者门焉严扃深居盗乌得取唯其濒盗居而复炫其装此其所以死耳天下有才之士不犹吴妇之绮其衣乎托非其人则与盗邻盗贪利而耆杀故炫能于乱邦匪有全者杜袭喻繁钦曰子若见能不已非吾徒也钦卒用其言以免于刘表之祸呜呼袭可谓善藏矣钦亦可谓善听矣不尔吾未见其不为吴妇也四。
鲁迅“求乞者”的阅读：我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。
另外有几个人，各自走路。
微风起来，露在墙头的高树的枝条带着还未干枯的叶子在我头上摇动。
微风起来，四面都是灰土。
一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，近于儿戏；我烦腻他这追着哀呼。
我走路。
另外有几个人各自走路。
微风起来，四面都是灰土。
一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，但是哑的，摊开手，装着手势。
我就憎恶他这手势。
而且，他或者并不哑，这不过是一种求乞的法子。
我不布施，我无布施心，我但居布施者之上，给与烦腻，疑心，憎恶。
我顺着倒败的泥墙走路，断砖叠在墙缺口，墙里面没有什么。
微风起来，送秋寒穿透我的夹衣；四面都是灰土。
我想着我将用什么方法求乞：发声，用怎样声调？装哑，用怎样手势？……另外有几个人各自走路。
我将得不到布施，得不到布施心；我将得到自居于布施之上者的烦腻，疑心，憎恶。
我将用无所为和沉默求乞！……我至少将得到虚无。
微风起来，四面都是灰土。
另外有几个人各自走路。
灰土，灰土，…………灰土……一九二四年九月二十四日1、“高墙”、“灰土”、“另外有几个人，各自走路”分别指什么？体现了鲁迅怎样的生活经历？2、“布施”与“求乞”体现了人与人的什么关系？3、鲁迅为何不愿做个布施者？这体现了他怎样的世界观与思想命题?4、请简要分析本文的艺术特色。
09年全国高考理科数学试题及答案
2009年全国高考理科数学试题及答案2009年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式S?4πR 其中R表示球的半径2P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A，B相互独立，那么球的体积公式V?43πR 3P(AB)?P(A)P(B) 一、选择题：其中R表示球的半径21. 设集合S?x|x?5,T?x|x?4x?21?0,则S????T? Ａ.?x|?7?x??5?Ｂ.?x|3?x?5? Ｃ.?x|?5?x?3?Ｄ.?x|?7?x?5? ?a?log2x(当x?2时)?２.已知函数f(x)??x2?4在点x?2处连续，则常数a的值是(当x?2时）??x?2Ａ.２Ｂ.３Ｃ.４Ｄ.５(1?2i)2３.复数的值是3?4iＡ.－１Ｂ.１Ｃ.－iＤ.i 4.已知函数f(x)?sin(x??2)(x?R)，下面结论错误的是．． A.函数f(x)的最小正周期为2? B.函数f(x)在区间?0,???上是增函数??2?1 C.函数f(x)的图像关于直线x?0对称D.函数f(x)是奇函数 5.如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA?平面ABC,PA?2AB，则下列结论正确的是 A. PB?AD B. 平面PAB?平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. 直线PD与平面ABC所称的角为45 6.已知a,b,c,d为实数，且c?d。
则“a?b”是“a?c?b?d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件?x2y2?2?1(b?0)的左右焦点分别为F1,F2，其一条渐近线方程为y?x，7. 已知双曲线2b点P(3,y0)在该双曲线上，则PF1?PF2= A. -12 B. -2C. 0D. 4 8. 如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，?ABC?90,BA?BC，?球心O到平面ABC的距离是32，则B、C两点的球面距离是2A.?4? B.?C.? 3329. 已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y?4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 C. 1137D. 51610. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。
一道2009年清华大学自主招生数学试题的背景
质 数 问题 非 常古 老 ， 中 的猜 想 很 多 也 很 有 之
名， 比如哥 德 巴赫 （ ｌｂ ｃ ，６ ０～ １ ６ ）猜 想 Ｇｏｄ ａｈ １ ９ ７４ 等 ． 裔 数学 家 陶哲 轩 （ ｒｎ ｅＴ ｏ １ ７ ］华 Ｔｅｅ ｃ ａ ，９ ５～）
８１ ，４的素数 等 差数 列分 别 只有 一 个 ， 们 分别 是 它 ３ ５ ７ ３ ７ １ ； ，ｌ １ ； ，７ ３ ， 存 在 公 差 为 ， ， ； ， ， １ ３ １ ， ９ ３ １ ，１ 不
Ｐ∑ｎ ｎ＋３ ｃ ＋ ∑ ａ ｂ
２（ 一 ａ） ～ ６） Ｐ — ｆ 户 （ （ ）
由推论 易得 文 ［ ］的结论 ， ３ 还可 得 ： 差 为 ２ 公 ， ４ ８ １ ，ｏ ２ ，４ ３ ，ｏ ５ ， ，４ ２ 。８ ３ ， ８ ４ ，Ｏ的 素 数 等 差 数 列 分
别 只有一 个 （ 首 项 与项 数均 是 ３ ； 存 在 公 差 且 ）不
为 １ ， ２ ２ ，２ ４ ，６的素 数 等差数 列． ６ ２ ， ６ ３ ，４ ４
～
２ ｐ。＋ ｐ（ ｐ２— ８ ２ Ｒｒ一 ２ 。 ｒ ）＋ １ Ｒｒ ２ ｐ
２ ｒＰ
一
１ ６的 素数 等差 数列 ．
笔 者在 文［ ］中证 得 了 ４ 定 理 １ 首项 不 是 ３的素 数等 差数 列 的公 差
一
堡 一１
．
是 ６的倍 数 ．
所 以 有
２ Ｒ
一 一
Ｄ 十
公差 为 ８的等差数 列 ， 并证 明你 的结论 ．
解 设 这个 等差 数 列为 ａ ａ ８ ａ＋ １ ． ，＋ ， ６
若 ０— ３ （ ｎ ｎ∈ Ｎ ， ） 因为 ａ为质 数 ， 以 ａ一 所 ３ 得 这个 等 差数 列为 ３ ｌ ，９ 符 合题 意 ， ，ｌ １ ，
2009清华大学自主招生试题化学
清华大学2009年自主招生试题化学部分：1、写出H3PO2和五氧化铬的分子结构式2、为何氟气解离成氟原子需要的能量比氯气解离低？3、为何卤素能形成＋1、＋5、＋7价化合物？4、臭氧和双氧水是极性分子吗？解释之5、从分子结构分析为什么氧气能和大多数金属和除氟外的卤素直接化合6、一氧化碳的中毒原理是什么？7、氯气与消石灰制取漂白粉的离子方程式8、1992年美国化学杂志评选的含氮明星分子是什么？（NO）其生理作用？9、当分子间作用力不可忽略时，怎样修正理想气体状态方程？何条件下气体可认为是理想气体？10、重水反应使氨基H信号消失，从蛋白质结构角度分析为什么蛋白质中的氨基H信号消失有块有慢？（鄙人认为是肽键的原因）11、为何Na与水的反应比Li剧烈？12、为何二氧化碳导致温室效应？（鄙人认为是碳氧双键吸收地面反射红外线使大气升温）13、为何浓NaCl能防腐？14、分析某药物抑制HIV(艾滋病病毒)增殖的原理，其结构是胸腺嘧啶上一个羟基被－N3代替（鄙人认为是使HIV逆转录时胸腺嘧啶被替代，无法与腺嘌呤形成氢键形成ＤＮＡ）15、毒鼠强化学式为Ｃ4Ｓ2Ｎ4Ｏ4Ｈ8，不含不饱和键，试写出其结构式纵观近年来北京大学、清华大学、复旦大学、上海交通大学等名校的化学招考试题，笔者认为有以下特点：考查化学基础知识化学主干知识的考查仍然是需要重视的。
如物质的组成、结构和性质、物质的量、元素周期律、化学平衡及其移动、化学反应和离子反应(包括配平)、离子共存、pH简单计算、盐的水解、电化学、重要的元素化合物、有机化合物结构、性质及其推断、化学实验等。
以这些主干知识为载体，测试考生的理解能力、思维能力、推理能力和分析综合能力。
比如清华2007年就考查了“二甲基氯苯的苯的三取代物的同分异构体有几种”这种比较基础的试题，在常规教学中这些试题应该是非常基础的。
要求理论联系实际化学的触角已经延伸到人类生产生活的各个领域，与人类的生产生活息息相关。
2009高考数学全国卷及答案理
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[()u A B I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴=故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈解：验x=-1即可。
2009年清华大学自主招生物理试题(无答案)
2009年清华大学自主招生物理试题1、理想气体满足PV^0.5=常量，当V变为2V时，求T的变化2、以人=491um光照射金属，其遏止电压为0.71v，当以人=364um的光照射时求其遏止电压。
普朗克常数h=6.6×10^(-34)，元电荷e=1.6×10^(-19)(其实原理很简单，求出逸出功即可，就是数不好算)3、小球质量m小车质量M，悬线长l，将小球拉至悬线水平自由释放，至悬线与竖直方向最大夹角(异侧)为b，地面光滑水平(1)求细线拉力对小车做的功(2)小车位移4、光滑水平面上有一金属杆，两只同质量青蛙同时以相同对地倾角相同大小的速度相反的方向跳起，均恰好落在杆的另一端，求青蛙与杆的质量比5、对黑体辐射的物体，辐射最大波长l满足lT=b(T为热力学温度，b是常量)——辐射功率P=cT^4(c为常量)。
已知人体的l=9.6um，太阳的l=500nm(1)四块金属板依次排开，第一块温度T1，第四块温度T4，求第二块温度T2;(2)火星距太阳400R(R是太阳半径)，认为火星受热面积为pie r^2(pie为圆周率，r为火星半径)估算火星表面温度(我的思路：计算400R半径的球的表面积S，火星受热面积与S之比就是火星受热占太阳辐射总功率的比例。
根据人体37摄氏度和l可计算出常量b。
当火星辐射功率与受热功率相等时，就是其温度平衡时，可列出方程消去常量c。
太阳体积时地球的130万倍，火星与地球大约在同一数量级，我估算的R=100r，算得火星表面平均温度在0摄氏度上下，应该差不多)6、在失重条件下设计实验测宇航员质量，并进行误差分析实验题：黑箱上有ABCD四个接头，AB间电压为5V，BC为0，AD为3V，CD为2V，其中有一个电源，若干电阻，画出含电阻最少的电路图。
计算题：1.三根重G的木杆对称地摆成正四面体，长a，直径忽略，摩擦力足够大，(1)求杆顶端受力大小及方向;(2)若有重G的人坐在某杆中点，杆不动，求此时杆顶端受力(要用力矩)2.长H的铁链悬空，下端恰与台秤接触，现自由释放，求台秤的最大示数是铁链重的多少倍。
2009年清华大学自主招生数学试题(理综)
2009年清华大学自主招生数学试题（理综）
1．求值：265522i i e
e ππ++
2．请写出一个整系数多项式()f x
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。
4．现有100个集装箱，每个集装箱装两件货物。
在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中。
集装箱体积都是1，且每个集装箱最多放两件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到下个集装箱中。
问在最坏情况下需要多少个集装箱。
5．A ，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若12,,n a a a 出现在黑板上，则形如 i i i a x ∑的数都不能写，不得不写1的人算输。
初始状态黑板上写着5，6
问先写的人还是后写的人有必胜策略？
6．64匹马能否通过50场比赛比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多8匹马参赛）
7．A，B两人玩一个游戏，A提供若干硬币，B可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点u。
规则是：A可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点v，并选择一个与它相邻的顶点w，将v上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在w上。
A若在有限步内根据规则在u上放上一个硬币则获胜。
已知B不想让A赢且他很聪明，试问在这两种情况下A各需要至少几个硬币才能保证自己能赢。
2009年清华大学自主招生保送生测试理科综合试卷
2009年清华大学自主招生保送生测试理科综合试卷1、 求值26πi πi 5522e e ++．2、 请找出一个多项式()f x3、 有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论．4、 有100个集装箱里面有200个货物，在取出来的过程中货物的顺序被打乱了．现在将他们按一定的规则重新装入集装箱中．将货物依次取出，依次放入集装箱中，集装箱的体积都是1，且每个集装箱最多放两个货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把第二个货物放到下个集装箱中．比如原来有2个集装箱中的货物体积是()0.5,0.5，()0.7,0.3，被打算顺序后为0.5,0.7,0.5,0.3，那么就需要3个集装箱去装它们．问在最坏的情况下需要多少个集装箱才能将所有的货物装完？5、 现有一个数字游戏：从1到100这100个数，两个人轮流写，设已经写下的数为12,a a ，3,a …，n a ，若一个数112233n n x x a x a x a x a =++++ （n x 为非负整数）．则这个数不能被写（如若3,5已被写，则835=+不能被写，13352=+，以及93350=⨯+⨯也不能被写）．规定，最后不得不写1的人算输．现在甲和乙玩这个游戏，已知5,6已经被写，现在轮到甲写，问：怎样才能使甲获胜？6、 一场跑马比赛至多只能有8匹马参赛，假设同一匹马参加每一场比赛速度都是一样的．问：64匹马能否通过不超过50场的比赛分出任意两匹马之间的优劣．7、 甲、乙两人玩一个游戏，甲提供若干硬币，乙可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并确定一个目标顶点μ．先定义规则：从一个至少有2个硬币的点取走2个硬币，在它相邻的点上放回一个硬币．在指定的图中，甲至少要提供多少个硬币，可以保证经过若干次操作，一个能使目标顶点至少有1个硬币．。
[高考]2009、2010清华北大自主招生试题
![[高考]2009、2010清华北大自主招生试题](https://img.taocdn.com/s3/m/bb933beeba4cf7ec4afe04a1b0717fd5360cb29a.png)
2009北京大学自主招生语数外物化试题(理科)时间：2009-11-06 作者：来源：网络资源一数学1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆半径。
2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？二英语1 单选20道，四级难度，20分。
2 阅读两篇，四级难度，10道，40分。
第一篇是关于“ideal body”的，第二篇是关于“materialism”的。
3 英译汉3句，比较简单，20分4 汉译英4句，仍然简单，20分三. 语文1 基础（1）写两个成语，然后曲解，6分。
（2）改病句：1我们都有一个家，名字叫中国。
2素胚勾勒出青花笔锋浓转淡。
6分（3）对联：博雅塔前人博雅（博雅塔为北大一风景），8分2 翻译古文一篇300字左右的文不加点的文言文,要求翻译全文(20分)书杜袭喻繁钦语后[1]·（清）林纾吴人之归，有绮其衣者[2]，衣数十袭[3]，届时而易之。
而特居于盗乡，盗涎而妇弗觉[4]，犹日炫其华绣于丛莽之下[5]，盗遂杀而取之。
盗不足论，而吾甚怪此妇知绮其衣，而不知所以置其身。
夫使托身于荐绅之家[6]，健者门焉，严扃深居，盗乌得取？唯其濒盗居而复炫其装[7]，此其所以死耳。
天下有才之士，不犹吴妇之绮其衣乎？托非其人，则与盗邻，盗贪利而耆杀[8]，故炫能于乱邦，匪有全者。
杜袭喻繁钦曰：“子若见能不已[9]，非吾徒也。
”钦卒用其言，以免于刘表之祸[10]。
呜呼！袭可谓善藏矣，钦亦可谓善听矣。
不尔，吾未见其不为吴妇也。
3 大阅读，20分阅读理解是一篇选自鲁迅《野草》的文章,要求指出很多意像的象征意义求乞者我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。
2009年清华大学自主招生考试-理科综合试题(数理化)
2009 年清华大学自主招生保送生测试理科综合试卷考试时间：2009年1月2日上午9：00姓名： 准考证号：说明：考试时间90 分钟，考生根据自己情况选题作答，满分300 分（数学物理化学各100分），综合优秀或单科突出给予A 的认定。
Part A 物 理一．单项选择题1.设理想气体经历一热力学过程，该过程满足=21pV常量。
则当气体体积从V1变化到V2=2V1时，气体的温度从T1变化到____ 。
A 12TB 12TC 1T /2D 2/1T 【解】21222111V p V p = (1)222111T V p T V p = (2) 由（1）（2）两边相比，消去p ，得答案B2. 两个热力学过程的PV 图如图所示，则两过程中_____。
A.均放热B.均吸热C.甲过程放热，乙过程吸热D.甲过程吸热，乙过程放热【解】由热力学第一定律判断, Q=△E+W由甲图，设ACBA 构成一循环过程，该过程循环一周△E=0.，外界做功W<0，故Q<0; 由于AB 为绝热线， Q BA =0, 故Q ACB <0，即甲过程净放热（放热大于吸热）由乙图，由于AE 为等温线，故△E ADE =0，又W ADE >0，故由第一定律，Q ADE >0， 即乙过程吸热。
故答案为C二．填空题1一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统守恒量有___________【解】对转轴的角动量守恒这个题目中，轴不提供转动的动力，只是起到一个支撑作用，圆盘和人组成的系统对轴没有力矩，人和圆盘的摩擦力是内力，不影响总角动量。
因此只有角动量守恒。
3.如图，已知AB 间等效电阻与n 无关，则______x R R =。
4. 如图，一个理想单摆，摆长为L ，悬点下距离为a 处有一小钉子。
则小球在左右两段振动时的振幅之比_______A A =左右。
2009年清华大学自主招生数学试卷及参考答案(理科)
2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）一、解答题（共9小题，满分0分）1．设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求．2．已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．4．已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．5．已知sin t+cos t＝1，设s＝cos t+i sin t，求f（s）＝1+s+s2+…s n．6．随机挑选一个三位数I，（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率．7．证明：若是第四象限角，则﹣＝2tanα．8．记．若函数，用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．9．设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共9小题，满分0分）1．设的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求；（3）求．【解答】解：（1）因为2＜＜3，而设m＝＝则得到2＜2m﹣3＜3，求出2.5＜m＜3则a＝2，b＝m﹣2＝；（2）把a＝2，b＝m﹣2＝代入得：＝4++＝5；（3）数列b，b2，b3，…，b n为首项为b，公比为b的等比数列，因为b为小数部分，所以0＜b＜1则前n项和为，则＝＝02．已知不等式对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．【解答】解：因为，要使原不等式恒成立，则只需≥9，即所以正数a的最小值是4．3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．【解答】解：根据题意，已知公差为8，有8＝3×2+2，设第一个数为m，则这三个数依次为m、m+3×2+2、m+3×5+1，则这三个数中就有其中一个能被3整除，而被3整除的质数只有3，故其中一个数为3，且其是第一个数，又有公差为8，则这三个数为3，11，19；所以是3，11，19．4．已知椭圆，过椭圆左顶点A（﹣a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，，AR成等比数列．【解答】解：设过左顶点A的直线L解析式为：y﹣0＝k（x+a）即y＝kx+ka，与y轴交点R坐标为（0，ka）；AR＝；联立得到AQ＝2；则过原点的直线为y＝kx，与椭圆的交点为P，联立得：所以P（，k），OP＝．得：2OP2＝AQ•AR故AQ，，AR成等比数列．5．已知sin t+cos t＝1，设s＝cos t+i sin t，求f（s）＝1+s+s2+…s n．【解答】解：sin t+cos t＝1∴（sin t+cos t）2＝1+2sin t•cos t＝1∴2sin t•cos t＝sin2t＝0则cos t＝0，sin t＝1或cos t＝1，sin t＝0，当cos t＝0，sin t＝1时，s＝cos t+i sin t＝i则f（s）＝1+s+s2+…s n＝当cos t＝1，sin t＝0时，s＝cos t+i sin t＝1则f（s）＝1+s+s2+…s n＝n+16．随机挑选一个三位数I，（1）求I含有因子5的概率；（2）求I中恰有两个数码相等的概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是三位数一共有999﹣100+1＝900个，满足条件的事件是I中含有因子5即I是5的倍数，其中5的倍数有C91C101C21＝180个∴概率P＝＝0.2（2）可以从构造一个三位数的角度来考虑，即任选三个数码构成三位数，那么就有900个三位数其中按照相同的数码是否是0分情况：如果相同的数码是0，那么只能是十位和各位为0，因此有9个（100，200，…900）如果相同的数码不是0，那么百位、十位、个位都可以．在此基础上再分情况：三位数是否含0如果三位数中没有0，则先选择1个数码作为重复的数码（9种）再从剩下的8个数字选择1个数码（8种），排列形成三位数就有9×3×8＝2160不能放在百位，因此重复的数码只能是百位、十位或者百位、个位两种放法，先选择一个数码作为重复的数码（9种），放在数位上（2种），接下来把0填入，所以形成三位数就有9×2＝18种因此符合条件的三位数就有9+216+18＝243∴概率P＝＝0.277．证明：若是第四象限角，则﹣＝2tanα．【解答】解：＝＝（1+sin a）^2/[1﹣（sin a）^2]＝因为A是第四象限的角所以cos＞0又因为sinα＜﹣1所以1+sin a＞0所以＝同理＝所以﹣＝﹣＝2＝2tanα原式得证．8．记．若函数，用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．【解答】解：＝得x＝4．又函数在（0，+∞）内递减，y2＝log2x在（0，+∞）内递增，所以当0＜x＜4时，；当x≥4时，．所以．f（x）＜2等价于：①或②．解得：0＜x＜4或x＞4，故f（x）＜2的解集为（0，4）∪（4，+∞）．9．设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．【解答】证明：①当a1，a2，…，a2n+1全部相等时，从中任意2n个数，将其分为两组，每组n个数，两组所有元素的和相等，故性质P成立．②下面证明：当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．反证法：假设a1，a2，…，a2n+1不全部相等，则其中至少有一个整数和其它的整数不同，不妨设此数为a1，若a1在取出的2n个数中，将其分为两组，每组n个数，则a1在的那个组所有元素的和与另一个组所有元素的和不相等，这与性质P矛盾，故假设不成立，所以，当a1，a2，…，a2n+1具有性质P时，a1，a2，…，a2n+1全部相等．综合①②可得，a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．。
2009年清华大学自主招生试题及其解答
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。打乱顺序后，最坏的顺序为：
交流知识
共享智慧
文 武 光 华
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显然，除了最后的
两件货物装在同一个集装箱中，其它每件货物都独装一个
集装箱。 综上所述，至少需要 199 个集装箱，才能保证能将所有货物装箱。 5、甲、乙两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若a 、a 、a 、 … … 、a 出现在黑板 上，则形如∑ a x 的数都不能写，其中x 为任意非负整数。不得不写 1 的人算输。初始状 态黑板上写着 5、6，如果甲先写，问甲、乙两人谁有必胜策略？ 解答：我们将所有正整数数按模 5 的余数分类： （1）5k型的正整数，均不可写； （2）5k + 1型的正整数均不可写：当k = 0时，1 不可写；当k ≥ 1时，5k + 1 = 5(k − 1) + 6不可写； （3）5k + 2型的正整数只可写2、7：当k ≥ 2时，5k + 2 = 5(k − 2) + 6 × 2不可写； （4）5k + 3型的正整数只可写3、8、13：当k ≥ 3时，5k + 3 = 5(k − 3) + 6 × 3，不 可写； （5）5k + 4型的正整数只可写4、9、14、19 ：当k ≥ 4时，5k + 4 = 5(k − 4) + 6 × 4， 不可写。 于是知，初始时，黑板上只可写2、3、4、7、8、9、13、14、19这九个数。 甲先取 19。将剩下的八个数两两配对： ① 2，3 、② 4，7 、③ 8，9 、④ 13，14 。 易见，（1）这四组数中，排在前面的一组数取到，则后面的数都不可取了；（2）这四组数 中，每组中的一个数可取，则另一个数一定可取。于是，无论乙取那一个数，甲都取同组中 另一个数。最终乙将无数可取，所以甲有必胜策略。 6、问 64 匹马能否通过 50 场比赛，比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多 8 匹 马参赛） 解答：能比出。我们如下安排比赛： （1）将 64 匹马，分成八组，每组 8 匹马。每组马比赛一场，即可在本组内排出优劣。 如此，经过 8 场比赛，则八组马在组内都可排出优劣顺序。 （2）将八组马两两合并成四队，每队两组共 16 匹马。注意到每队 16 匹马中最好的 4 匹，必然在原先两组的前四名中，因此取原先两组的前四名共 8 匹马比赛，其前四名必然 为本队的前四名。将这 4 匹马从原来的组中除去，再取两组的前 4 匹马，共 8 匹马进行比 赛，其前四名必然为本队的五至八名。最后将本队剩下的 8 匹马比赛一次，则可以将本队 的 16 匹马排出优劣顺序。四个队，共进行 3×4=12 次比赛，则四队马在队内都可排出优劣 顺序。 （3）将四队马两两合并成两班，每班两队共 32 匹马。注意到每班 32 匹马中最好的 4 匹，必然在原先两对的前四名中，因此取原先两队的前四名共 8 匹马比赛，其前四名必然 为本班的前四名。将这 4 匹马从原来的队中除去，再取两队的前 4 匹马，共 8 匹马进行比 赛，其前四名必然为本班的五至八名。依次类推，六场比赛后，还剩下 8 匹马，最后将这 8 匹马比赛一次，则可以将本班的 32 匹马排出优劣顺序。两个班，共进行 7×2=14 次比赛， 则两班马在班内都可排出优劣顺序。 （4）最后将两个班合并为一个群，本群即为全部的 64 匹马。注意到群内 64 匹马中最 好的 4 匹，必然在原先两班的前四名中，因此取原先两班的前四名共 8 匹马比赛，其前四 名必然为本群的前四名。将这 4 匹马从原来的班中除去，再取两班的前 4 匹马，共 8 匹马 进行比赛，其前四名必然为本群的五至八名。依次类推，比赛 14 场后，还剩下 8 匹马，最 后将这 8 匹马比赛一次，则可以将本群的 64 匹马排出优劣顺序。 依照上面的比赛安排，共进行 8+12+14+15=49 场比赛，即可以将 64 匹马排出优劣顺序。
2009年清华大学自主招生试题
中英文综合（200分）1.语文部分（95分）甲文：白居易的粉丝（9分）1、请解释什么是“白居易现象”。
2、“文章已满行人耳，一度思卿一怆然。
”一句中的“文章”指的是什么？3、陈至呼为“白舍人行诗图”的根据是什么？4、作者写到“打开整部中国文学史上，与大众如此呼吸相通，生息相关，声气相连，心神相交的文人，还真是很少见有与他相匹敌者。
”作者似乎另有感慨，作者感慨的是什么哪乙文：4年前与奥巴马的邂逅（11分）（略）1、请具体说明文中“如同奥巴马所期待的那样”指的是什么？2、下文为奥巴马当选总统后的演讲，请说明文中“我”的作用和下文中安·尼克松·库伯的作用分别是什么？丙文：历史与记忆（13分）（略）1、文中“记忆能否擦拭掉历史的尘垢，恢复其本来面目？”显然有两种回答：能或不能。
请选择一种，并举例论证。
2、“在押往集中营的火车上，她设法递出了令人揪心的一封明信片。
她说，她不知道她的孩子在哭泣，在挨饿？他要死了吗？她希望有人去照料一下她的孩子啊！这份明信片现在就在博物馆里展出。
"作者举这个例子的目的是什么？3、如果《中国发展年鉴》要增加一个词条“城市记忆”，请你做一个解释。
（30字以内）丁文：传统油画过气了吗？（12分）（略）1、最后说这种诗意又是“东方式”的，怎么理解？2.式微一词出自哪？它的意思是什么？3、文中与架上油画意思相同的词还有哪些？（请写出两个）4、传统油画仍是绘画艺术中魅力犹存的主流样式。
在作者看来，原因是什么甲--丁文：作文1、下面的词都是与原文相关的词汇，选择其中的5个，做简单的解释。
（5分）IT 粉丝过气涂鸦小众化2、上面四篇文章是选自某一期报纸的某一版面，请你为这个版面拟一个称谓，并说明你的构想（800字左右）（45分）2.英语部分（80分）1、10个词汇题，给出一句话，将其中一个词划线，从A、B、C、D中选出与划线词意思相近的词。
（10分）2、10个单项选择，高中大纲难度。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
清华大学自主招生理科综合之化学试题(2009)
清华大学自主招生理科综合之化学试题（2009）一简答题（35分，17题，最后一题3分）1）画出分子结构CrO5H3PO22）判断极性，给出理由H2O2O33）什么金属可以用来盛浓硝酸？写出两种，给出理由4）美国科学院1992年评出一种含氮的“明星小分子”，写出它的分子式，并说出它的生物功能5）写出CO中毒的原理6）为什么常温下F2,Cl2为气体，Br2为液体，I2为固体？7）为什么CO2是一种温室气体？8）为什么卤素（氯溴碘）可以显+1，+3，+5，+7价9）从分子结构的角度说明O2是一种活性强的分子，可以与卤素、除Au、Pt、Ag以外的金属直接作用生成相应的氧化物10）“夏天多雨，秋天丰收”，解释其科学原理11）为什么镀锌铁板比马口铁（镀锡铁板）耐腐蚀？12）写出用Cl2制漂白粉的离子方程式13）理想气体状态方程为pV=nRT，这是不考虑分子间相互作用力所得的方程，请问若考虑气体的分子间作用力，应当对方程作怎样的修正？怎样的实际气体可以用理想气体状态方程?14) 为什么高浓度的NaCl可以用来保存食物？二、蛋白质的H核磁共振谱可以用来测定蛋白质结构。
常常用重水替换法，让重水中的D 替换氨基酸氨基中的H，这样氨基酸氨基中的H便会脱落而没有信号。
实际上，不同的氨基的H被替换的速率差别很大，请问这是为什么？（提示：从蛋白质结构角度考虑）三、为了准确测定HCl的浓度，往往用NaOH在酚酞的指示下进行中和滴定。
1）怎样准确地测定NaOH的浓度2）可以用来进行滴定分析的反应一般要有什么特性？（分析化学书中应该会有）四、“毒鼠强”又名“424”，指的是它的分子结构中有4个C，4个N，2个S，其分子式为C4S2N4O4H8，分子中没有不饱和键，请画出它的结构五、化合物A分子式C6H12，不能使酸性高锰酸钾褪色，可以与HI作用得到C6H13I，与氢气加成仅可得到3-甲基戊烷，写出其结构式并写出相关的反应方程式六、25ml的KI溶液，用稀HCl处理后，再与10ml的0.05mol/L的KIO3反应。
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得整系数多项式 f（x）＝x6﹣6x4+12x2﹣8，
∴f（
）＝
﹣6
+12
﹣8
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论． 【解答】解：不能． 取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴， 根据抛物线的图象和性质知直线上的点不能被完全覆盖．如图：
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（因一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线对称轴） 故有限条抛物线及其内部不能覆盖整个坐标平面．
大家拿到 考卷后 ，先看 是不是 本科考 试的试 卷，再 清点试 卷页码 是否齐 全，检 查试卷 有无破 损或漏 印、重 印、字 迹模糊 不清等 情况。 如果发 现问题 ，要及 时报告 监考老 师处理 。：1． 从前向 后，先 易后难 。通常 试题的 难易分 布是按 每一类 题型从 前向后 ，由易 到难。 因此， 解题顺 序 也宜按试 卷题号 从小到 大，从 前至后 依次解 答。当 然，有 时但也 不能机 械地按 部就班 。中间 有难题 出现时 ，可先 跳过去 ，到最 后攻它 或放弃 它。先 把容易 得到的 分数拿 到手， 不要“ 一条胡 同走到 黑”， 总的原 则是先 易后难 ，先选 择、填 空题， 后解答 题。2． 规范答 题，分 分计较 。 数学分 I 、II 卷， 第 I 卷 客观性 试题， 用计算 机阅读 ，一要 严格按 规定涂 卡，二 要认真 选择答 案。 第 II 卷为 主观性 试题， 一般情 况下， 除填空 题外， 大多解 答题一 题设若 干小题 ，通常 独立给 分。解 答时要 分步骤 （层次 ）解答 ，争取 步步得 分。 解题中 遇到困 难时， 能做几 步做几 步， 一分地争 取，也 可以跳 过某一 小
5．A，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若 a1，a2，…an 出现在黑板上，则形如
的数都不能写（其中 xi（i＝1，2，…，n）是自然数），不得不写 1 的人算输．初始状态
黑板上写着 5，6，问先写的人还是后写的人有必胜策略？
【解答】解：∵初始状态黑板上写着 5，6，而形如
的数都不能写，
其中 10＝5×2+6×0，11＝5×1+6×1，12＝5×0+6×2，15＝5×3+6×0，16＝5×2+6 ×1，17＝5×1+6×2，18＝5×0+6×3， 故此时能填的数据只能从 1，2，3，4，7，8，9，13，14，19 中选择 如果第一个人填 2，第二个人只能选 3，则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 3，则第二个人还有 1，2，4，7 共 4 个数据可选，如果第二个人选 2， 则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 7，则第二个人还有 1，2，3，4，8，9 共 6 个数据可选，如果第二个人
的数都不能写（其中 xi（i＝1，2，…，n）是自然数），不得不写 1 的人算输．初始状态 黑板上写着 5，6，问先写的人还是后写的人有必胜策略？ 6．从 0，1，2，3，4，5，6，7 七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数 共有几个？ 7．A，B 两人玩一个游戏，A 提供若干硬币，B 可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并 确定一个目标顶点 u．规则是：A 可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点 v，并选择一 个与它相邻的顶点 w，将 v 上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在 w 上．A 若在有限步 内根据规则在 u 上放上一个硬币则获胜．已知 B 不想让 A 赢且他很聪明，试问在这两种 情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自己能赢．
4．现有 100 个集装箱，每个集装箱装两件货物．在取出来的过程中货物的顺序被打乱了， 现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中．集装箱体积都是 1，且每个集装箱最多放两 件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到 下个集装箱中．问在最坏情况下需要多少个集装箱． 【解答】解：根据题意，设所有货物的体积从小到大依次为：a1，a2，a3，…a200； 在最坏情况下， 顺序被打乱之前，货物顺序为：a1，a200；a2，a199；a3，a198；…a100，a101， 两个一组，装在同一个箱子里； 顺序被打乱之后，最坏的顺序为 a200，a2，a199，a3，a198，…a100，a101，a1； 此时，除 a101，a1；可以装在同一个箱子里之外，其他的货物均是单独放在一个箱子里； 共需要 199 个集装箱．
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2009 年清华大学自主招生数学试卷（理综）
参考答案与试题解析
一、解答题（共 7 小题，满分 0 分）
1．求值：
．
【解答】解：原式＝|2+2（cos +isin ）+
|
＝
＝
＝ ＝
∵
＝
∴
所以，
＝
2．请写出一个整系数多项式 f（x），使得
是其一个根．
【解答】解：由 f（x）＝（x2﹣2）3＝
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选 4，则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 8，则第二个人还有 1，2，3，4，7，9 共 6 个数据可选，如果第二个人 选 4，则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 9，则第二个人还有 1，2，3，4，7，8 共 6 个数据可选，如果第二个人 选 7，则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 13，则第二个人还有 1，2，3，4，7，8，9 共 7 个数据可选，此时 B 无 论选任意数，都必要填 1，此时先填者必胜 故选填 13 者有必胜的策略． 6．从 0，1，2，3，4，5，6，7 七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数 共有几个？ 【解答】解：∵乘积是奇数的个数比较好求，两个数都为质数 1，3，5，7，乘积不会重 复． 所以先求奇数个数为：4 个数字 1，3，5，7 中任意选 2 个有 6 个结果 而总乘积个数为 8 个数字中任意选 2 个有 28 个结果， ∵0 乘以任何数都是 0，有 6 个多余重复的 0 ∴28﹣6＝22 个 ∵乘积除了奇数就是偶数，那么总个数减去奇数个数，以及 1×6 和 2×3，2×6 与 3×4， 就可以得到偶数个数 22﹣6﹣2＝14 个 7．A，B 两人玩一个游戏，A 提供若干硬币，B 可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并 确定一个目标顶点 u．规则是：A 可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点 v，并选择一 个与它相邻的顶点 w，将 v 上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在 w 上．A 若在有限步 内根据规则在 u 上放上一个硬币则获胜．已知 B 不想让 A 赢且他很聪明，试问在这两种 情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自己能赢．
2009 年清华大学自主招生数学试卷（理综）求值：
．
2．请写出一个整系数多项式 f（x），使得
是其一个根．
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论． 4．现有 100 个集装箱，每个集装箱装两件货物．在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，
现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中．集装箱体积都是 1，且每个集装箱最多放两 件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到 下个集装箱中．问在最坏情况下需要多少个集装箱． 5．A，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若 a1，a2，…an 出现在黑板上，则形如