2015-2016年最新审定北师大版数学必修一《函数的单调性》【第1课时】(优秀课件)
函数单调性教案--北师大版(必修一)
《函数的单调性》第一课时教案一、教学目标知识与技能：理解函数单调性和单调函数的意义；会判断和证明简单函数的单调性。
过程与方法：培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。
情感态度与价值观：领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。
二、教学的重点和难点教学重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性；教学难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。
三、教法与学法1．教学方法本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”2．教学手段教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
3．学法高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。
（1）让学生利用图形直观感受；（2）让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。
四、教学过程(一)创设情境，引入课题我们知道，函数是刻画事物变化的工具。
如图为宿迁市20XX年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：思考如下的问题：1. 某些时段温度升高，某些时段温度低？2. 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？3. 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？(二)归纳探索，形成概念 1、借助图象直观感知 在区间上，y 随着x 的增大而减小图像呈上升趋势(),-∞+∞思考： 你能根据自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数吗?预案：y 随着x 增大而增大是增函数， y 随着x 增大而减小是减函数通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上点的运动情况，引导xt 2f(t 2) t 1f(t 1)问题1 分别作出函数 的图象，并观察随着自变量的变化，函数值怎样变化？21,y x y x =+=(在区间上,y 随着x 的增大而减小，图象呈下降趋势),0-∞在区间上,y 随着x 的增大而增大，图象呈上升趋势()0,+∞学生能用自然语言描述出，随着x 增大时图像变化规律。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 函数的单调性》0
《函数的单调性》教学设计一、教学目标设计：1理解函数单调性的概念及其几何特征；会根据定义和图象判断函数的单调性，会根据定义证明简单函数的单调性；2经历函数增减性科学概念的形成过程，体验数学概念形成的基本思想方法，体会数形结合的数学思想；二、教学重难点：１教学重点：函数单调性的定义和依据图象与定义判断证明函数的单调性。
２教学难点：函数单调性定义的形成过程以及根据定义证明函数的单调性。
三、教学过程设计：为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；探究发现，建构概念；自我尝试，运用概念；归纳小结，提高认识。
具体过程如下：（一）创设情境引入新课如图为某市一天内的气温变化图：活动１：请同学们思考回答下列问题（1）观察这个气温变化图，说出这一天气温随时间变化变化的趋势；（2）你能用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征吗？学生：（1）凌晨0点到4点，气温随时间的增大而降低；4点到14点气温随时间的增大而增大；14点到24点气温随时间的增大而降低。
（2）思考后会跃跃欲试或欲言又止。
教师：这里气温是时间的函数，记为, 。
那么，“凌晨0点到4点气温随时间的增大而降低”，就是函数，当时，随的增大而减小；“4点到14点气温随时间的增大而升高”，就是函数，当时，随的增大而增大；“14点到24点气温随时间的增大而降低”，就是函数，当时，随的增大而减小。
这里的函数，当时，随的增大而增大其实就是函数在[4,14]上是增函数；函数，当时，随的增大而减小其实就是函数在[14,24]上是减函数，那么什么叫增函数，什么叫减函数呢？又怎样用数学语言来刻画函数的增减性呢？这也正是我们本节课将要解决的问题---板书课题[设计意图]：从学生身边的实例入手, 即可使学生感受数学源于生活,又可增强问题的趣味性，从而激发学生的学习兴趣。
似曾相识的生活问题用已有的数学知识一时难以得出答案，必会引起学生认知上的冲突，从而激发了学生的求知欲，也使引出本节课题顺理成章（二）探究发现建构概念在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，设计以下几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识1借助图象直观感知问题１：分别做出函数的图像，指出上面每个函数的变化趋势？通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图象上点的情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。
高一数学北师大版必修1教学教案第二章3函数的单调性(1)
函数的单调性教学设计一教学内容分析函数单调性是函数重要性质之一，研究了随自变量的增大函数值是增大还是减少的性质，1函数的单调性是研究基本初等函数的理论基础，在研究函数的值域，最大值，最小值，比较大小，解不等式中起着重要作用。
2函数单调性是培养学生数形结合能力的重要题材，从概念教学来看，本节课通过具体函数的图像，得到增减性的直观特征，然后进一步量化，得到数字特征，用数学符号刻画出定义，指出函数单调性是针对区间而言的；从解题方法来看，既有从图像观察函数的单调性，又有利用定义严格判断证明的过程二教学目标设置1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．三学生学情分析我班学生本身基础薄弱，而函数单调性又是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对我班的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．四教学策略分析结合我班学生实际和教材内容分析，在教学中我采取了以下办法。
1制作学案，在预习中感性认识单调性2在教学过程中，注重概念的生成，通过创设情境，从学生熟悉的一次函数，二次函数的图像出发，层层设问，调动学生积极性，培养学生数形结合思想3在函数概念理解中，结合图像引导学生理解“任意”这个词，通过图像理解单调性是区间概念，有多个单调区间时连接词的使用。
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》第一课时参考课件
函数的单调性
第1课时
定义1： 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 如果对于任意两数x1 , x2∈A ,当x1＜x2时,都 有f(x1)＜f(x2) , 那么, 就称函数y=f(x)在区间A 上是增加的 , 有时也称函数y=f(x)在区间A上
是递增的.
定义2： 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 如果对于任意两数x1 , x2∈A ,当x1＜x2时,都
有f(x1)＞f(x2) , 那么, 就称函数y=f(x)在区间A
上是减少的 , 有时也称函数y=f(x)在区间A上
是递减的.
定义的另一种叙述:
设函数y=f(x)的定义域为D , A D
,若对任意的x1 , x2∈A 且x1≠x2 , 都有
f ( x2 ) f ( x1 ) 0, x2 x1
ห้องสมุดไป่ตู้
则函数y=f(x)在A上是增
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 加的或递增的.反之,若都有 x x 2 1
,则函数y=f(x)在A上是减少的或递减的.
★如果函数y=f(x)在区间A上是增加的
或是减少的, 那么称区间A为单调区间 .
★如果函数y=f(x)在定义域的某个子集
上是增加的或减少的, 那么就称函数y=f(x) 在这个子集上具有单调性 . ★如果函数y=f(x)在整个定义域内是增 加的或是减少的, 我们分别称这个函数为增 函数或减函数, 统称为单调函数 .
例4. 已知函数f(x)对任意的m,n∈R ,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x＞0时,f(x)＞1, 求证: f(x)在R上是增函数.
小结: 函数的单调性有关定义
作业: 作业课本39页A组第4、5题
最新北师大版高中数学必修一函数的单调性1教案(精品教学设计)
§3函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学过程： 阅读与思考 ♦ 1、阅读教材♦ P36的实例分析及思考交流止。
20406080100120140160180421423425427429501503505507509511513515517519♦ 2、思考问题（1）从P36图2-15 （全国从20120421-20120519每日新增艾滋病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转？（2）从P36图2-16你能否说出y 随x 如何变化？ 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 时间间隔 记忆保持量 刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后 58.2% 1小时之后 44.2% 8-9小时之后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 一个月后 21.1% ……艾宾浩斯遗忘曲线问:什么是增函数、减函数、函数的单调性？问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:保持量（百分数）天数1 2 3 420 40 60 80 100 (1) 1y x =+(2) 22y x =-+2(3) y x =-1(4) y x=问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势 当x 的值增大时，函数值y 也增大图象在该区间呈下降趋势 当x 的值增大时，函数值y 反而减小如何用x 与 f(x)来描述上升的图象？Oxy2x 2+-=21yOxx1y =Oy1+=x y 1-1yOx2xy -=那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值⊇x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）单调区间如果函数y=f(x)在区间I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.那么就说y= f(x)在区间I 上是单调增函数.一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I A. 如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当 x 1＜x 2 时，都有 f （x 1）＜f （x 2）练一练1例３、求证：函数在区间上是单调增函数．()1f x x=--()0-∞，证明：设是（0，+∞）上的任意两个实数，且．21,x x 21x x <12121221121111()()(1)(1)x x f x f x x x x x x x --=-----=-=则1212120,0,()()x x x x f x f x -<>∴<()1()10f x x=--+∞故在区间，上是单调增函数．）上是增函数。
《函数的单调性和最值(1)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《函数的单调性和最值（1）》教学设计1．理解增函数、减函数、最值等概念．2．培养学生利用函数概念进行判断推理的能力及数形结合的能力．3．使学生养成细心观察、认真分析的良好思维习惯．重点：函数单调性的概念．难点：对函数单调性概念中关键词的理解． 一、新课导入 复习函数的概念，回答以下问题： 1．函数是如何定义的?函数概念包含几个要素?各是什么?2．函数常见的表示法有几种?各有什么特点?3．函数的定义域怎样确定?如何表示?4．函数研究的主要内容是什么?5．下列函数具有什么特征?如何说明函数具有这些特征?为什么具有这些特征?（1）y =2x +1 （2）y =−x 2+1 （3）y =1x1．函数概念：给定实数集R 中的两个非空数集A 和B ，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A 上的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A ．函数的三要素：定义域、对应法则、值域．2．解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；图象法的特点：直观形象地表示出函数变化的趋势；列表法的特点：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值．3．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围．通常用集合或者区间来表示．4．函数研究的主要内容是函数的概念与性质．5．(1)中函数值随自变量的增大而增大；随自变量的减小而减小．(2)中，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而减小．(3)中在第一象限和第三象限，函数值均随自变量的增大而减小．设计意图：(1)复习函数概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质;(2)回顾初中对函数性质的认识及研究方法，与本节课的学习内容形成对比． ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程二、新知探究问题1：（展示某只股票在某一天内的变化图）请学生观察股市图，说一说这只股票当天的走势．答案：随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变．问题2：观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的．答案：从左至右观察函数f(x) (x∈[-6，9])的图象上点的位置变化，可以看出：对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而减小．函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，这种变化规律称为函数的单调性．追问：怎样用数学的符号语言来表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢?答案：对于任意的x1、x2∈[-6，-5]．当x1<x2时，f(x1)< f(x2)．设计意图：在观察分析的过程中，将点的位置变化转化为随自变量的变化函数值的变化，由对函数图象的观察转化为对函数性质的研究．问题３：通过上面的学习，我们如何用数学的符号语言表达函数的单调性呢？一般地，设函数f(x)的定义域D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y= f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．追问１：如何理解函数单调性定义中的关键词“任意的”“都有”？答案：“任意的”“都有”指的是在定义域当中存在两个变量满足条件，是不能确定函数的单调性的，需要对定义域内任意选取的所有x1、x2，只要满足x1<x2都有f(x1)< f(x2)或者f(x1)> f(x2)成立，才能确定函数的单调性．追问２：函数单调递增或者单调递减还有其他表示形式吗？答案：在函数y=f(x)定义域内的一个区间I上，对于任意的x1、x2∈I且x1≠x2，>0，则称函数y=f(x)在区间I上是增函若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)>0或f(x1)－f(x2)x1−x2数或函数y=f(x)在区间I上单调递增．若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)＜0或f(x1)－f(x2)＜0，则称函数y=f(x)在区间I上是减函数x1−x2或函数y=f(x)在区间I上单调递减．问题４：观察问题２中函数的图象，函数值f(x)在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？答案：根据函数图象，函数值在f(3)和f(2)这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．总结：（1）M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；（2）最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上（下）方．三、应用举例例1．设f(x)是定义在R上的函数，判断下列命题是否成立，并说明理由．（1）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1)< f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（2）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减；（3）若存在x2>0，对于任意的x1∈R，都有f(x1)< f(x1+x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（4）对任意的x1、x2∈R，且x1<x2，都有f(x1) ≥f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递减．解：（1）不成立，比如函数y=−x2−1<0，f(−1)< f(0)．函数在对称轴的左侧单调递增，右侧单调递减，并不是在R上单调递增．（2）成立，由函数单调递减的定义可知，在给定区间上，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)．所以存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减．（3）成立，当x2>0时，x1<x1+x2恒成立，且满足f(x1)< f(x1+x2)，根据函数单调递增的定义可知成立．（4）不成立，由函数单调递减的定义可知当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，不能带等号．设计意图：（1）改变概念的内涵或外延，有利于学生从较高层次把握概念的本质，从而认识到概念中哪些因素是重要的，起关键作用的，哪些因素容易出错，形成对数学概念的全面理解和认识．（2）引入反例、错例，可以帮助学生从另一个角度形成对数学概念的更深入、更全面的认识．例2．设f(x)=1x(x<0)画出f(x+3)(x<−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性．解：依题意知f(x)=1x+3(x<−3)其图象可由f(x)=1x(x<0)的图象向左平移3个单位长度得到．该函数在区间(−∞，−3)上单调递减．探究：对于f(x)=1x+3，(−∞，−3)和(−3，+∞)都是它的单调区间，并且函数f(x)=1x在这两个区间上都是单调递减，那么能否说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数?解：不能，因为函数f(x)=1x+3的定义域不连续，当我们在区间(−3，+∞)上取一个数比如1，在区间(−∞，−3)上取一个数比如−4，我们知道−4<1，但f(−4)=1−1=−1<f(1)=11+3=1 4，即不能说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数．例３．根据函数图像直观判断y=|x−1|的单调性，并求出最小值．解：函数y=|x−1|可以表示为y={1−x，x≤1，x−1，x>1．画出该函数的图象．由图象可知该函数在区间（-∞，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时，y=|x−1|取得最小值，最小值为0．探究：函数在区间[1，+∞）上是否存在最大值？为什么？答案：函数在区间[1，+∞）上不存在最大值，因为函数在区间上单调递增，因此不存在函数值M使得对于定义域内的每个值都满足不等式f(x)≤M．四、课堂练习1．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：（1）y=−5x，x∈[2，7]（2）f(x)=3x2−6x+1，x∈[3，4)；（3）y=|x2−2x|，x∈[−1，3]．2．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程f（x）（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8．（1）求f（50），并说明它的实际意义；（2）当速度x为多少时，汽车最省油？参考答案：1．．解析：（1）y=−5x在区间[2，7]单调递减．最小值是f(7)=−35，最大值是f(2)=10．（2）函数f(x)=3x2−6x+1的开口向上，对称轴为x=1，所以在区间[3，4)单调递增．最小值是f(3)=10，无最大值．（3）由题意，函数y=|x2−2x|，在区间[−1，0]和[1，2]上单调递减；在(0，1)和(2，3]单调递增．最小值是0，最大值是f(3)=f(−1)=3．2．解析：（1）f(50)=29.2，表示当行驶速度为50km/h时，行驶路程是29.2km．(2)由题意，函数f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8的对称轴为x=60，此时函数最大值为f(60)=30.2，即速度为60km/h时，汽车最省油．五、课堂小结1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．2．函数的单调区间：如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y= f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．3．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0≤D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．六、布置作业教材第60页练习题第2~4题．。
《函数单调性北师大》PPT课件
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8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
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9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
精选课件ppt
x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
精选课件ppt
5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
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借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
北师大版高中数学必修一2.3.1函数的单调性课件
-10-
第1课时 函数单调性的定义与判断
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
(2)由 (1)知 ,m=4,故
f(x)在(2,+∞)上是增加的. 用定义证明如下 : 任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=x1+ =(x1-x2)+
UITANGYANLIAN
【例 1】
(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f(x)在(2,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
������ 已知函数 f(x)=x+ , 且此函数图像过点(1,5). ������
题型一
证明函数的单调性
分析:(1)把点的坐标代入函数f(x)的解析式求m. (2)要证明函数的单调性,只需用定义证明即可. 解:(1)∵函数f(x)的图像过点(1,5), ∴1+m=5,∴m=4.
名师点拨1.定义中的区间不一定是整个定义域,也可以是定义域 的子集,但一定是连续的. 2.x1,x2是同一区间上的任意两个值,不能以特殊值代替,注意区分 大小,一般设x1<x2. 【做一做1】 下列四个函数中,在区间(0,+∞)上递增的是( ) A.f(x)=-x+3 B.f(x)=(x+1)2 1 C.f(x)=-|x-1| D.f(x)= ������ 答案:B
【做一做2】 函数f(x)在R上是减函数,则有( A.f(3)<f(5) B.f(3)≤f(5) C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5) 解析:∵函数f(x)在R上是减函数,且3<5, ∴f(3)>f(5). 答案:C
北师大版高中数学必修一教学案函数的单调性
五课后巩固练习
1.讨论 的单调性并证明.
2.讨论 的单调性并证明.
3.求函数 的单调区间
A. B. C. D.
3.在区间 上为增函数的是（）
A． B．
C． D．
4.函数 的单调性是.
5.函数 的单调递增区间是，
6..求证 的(0,1)上是减函数，在 是增函数.
7.下列结论正确的是（）
A函数 （R为常数，R 0）在R上是增函数
B函数 在R上是增函数
C函数 在 上是减函数
D函数 在 上是增函数
（1） ；（2） .
练一练：
变式：指出 、 的单调性.
例2求函数 的单调区间
练一练
1求函数 的单调区间
2.物理学中的玻意耳定律 （k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
三巩固练习
1.函数 的单调增区间是（）
A. B. C.RD.不存在
2.如果函数 在R上单调递减，则（）
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,当 时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是。
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）__________，区间D叫做函数y=f(x)的____________.
2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
函数的单调性1
授课时间
撰写人
撰写时间
学习重点
函数单调性概念、判断函数单调性的方法
函数单调性教案北师大版必修一
《函数的单调性》第一课时教案一、教学目标知识与技能：理解函数单调性和单调函数的意义；会判断和证明简单函数的单调性。
过程与方法：培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。
情感态度与价值观：领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。
二、教学的重点和难点教学重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性；教学难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。
三、教法与学法1．教学方法本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”2．教学手段教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
3．学法高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。
（1）让学生利用图形直观感受；（2）让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。
四、教学过程(一)创设情境，引入课题我们知道，函数是刻画事物变化的工具。
如图为宿迁市2011年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：思考如下的问题：1. 某些时段温度升高，某些时段温度低？2. 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？3. 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？(二)归纳探索，形成概念 1、借助图象直观感知 在区间上，y 随着x 的增大而减小图像呈上升趋势(),-∞+∞思考： 你能根据自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数吗?预案：y 随着x 增大而增大是增函数， y 随着x 增大而减小是减函数通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上点的运动情况，引导xt 2f(t 2) t 1f(t 1)问题1 分别作出函数 的图象，并观察随着自变量的变化，函数值怎样变化？21,y x y x =+=(在区间上,y 随着x 的增大而减小，图象呈下降趋势),0-∞在区间上,y 随着x 的增大而增大，图象呈上升趋势()0,+∞学生能用自然语言描述出，随着x 增大时图像变化规律。
北师大版高中数学必修第一册2.3.1函数的单调性课件
【最新课标】 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
教材要点 要点一 增函数与减函数的定义
f(x1)<f(x2)
增函数
f(x1)>f(x2)
减函数
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明 时不能以特殊代替一般；
解析：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4， ∴a＝－3.
答案：D
答案：ABD
答案：D
3．(5分)若函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)在(0，3)上不单调，则实
数m的取值范围为( )
A．[0，2]
B．(0，2)
C．(－∞，0]
答案：B
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系
式正确的是( )
A．f(－1)<f(1)<f(2)
B．f(1)<f(2)<f(－1)
C．f(2)<f(1)<f(－1)
答案：C
D．f(1)<f(－1)<f(2)
解析：因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞， 2]上单调递减．因为2>1>－1，所以f(2)<f(1)<f(－1)．故选C.
4 ． 函 数 y ＝ (2m － 1)x ＋ b 在 R 上 是 减 函 数 ， 则 m 的 取 值 范 围 为 ________.
题型1 利用函数图象求单调区间——自主完成 1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
新教材北师大版高中数学必修一 2.3.1函数的单调性(第1课时) 教学课件
第二页，共三十页。
重点
1.理解函数单调区间、单调性等概念 2.会划分函数的单调区间，判断单调性
难点
会用定义证明函数的单调性
第三页，共三十页。
环节一 创设情境
第四页，共三十页。
图2：2018-2023年中国数控机床行业市场规模预测
第五页，共三十页。
图1：2009-2017年我国数控机床销售收入
第二十九页，共三十页。
课堂小结
1．核心要点
1．通过单调区间、单调性等概念的学习，培养抽象概括素养．
2．数学素养 2．通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养．
第三十页，共三十页。
判断符号
得出结论
第二十三页，共三十页。
定义域
任取值
环节四
求增减区间
第二十四页，共三十页。
角度一
图像法
例3 θ/ºC
10
y＝f(x)，x∈[0，24]
函数在区间[4,14]上单调递增；
8
在区间[0,4]和[14，24]上单调
6
4
递减.
2
0
24
24
6
8 10 12 14 16 18 20 22 t/h
第十九页，共三十页。
D 函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函 数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.
第二十页，共三十页。
初中常见函数的图像
一次
二次
反比例
第二十一页，共三十页。
指数
高中常见函数的图像
对数
三角函数
第二十二页，共三十页。
角度二
定义法
例2.定义法证明一次函数单调性
作差变形
新教材北师大版高中数学必修一 2.3.1函数的单调性（第1课时） 教学课件
北师大版高中数学必修《函数的单调性》课件(完整版)1
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) sin x x, x(0,);
(3) f (x) x 1 x
解析: (3)
பைடு நூலகம்
因为
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
(2) 因为 f (x) sin x x, x(0, ) , 所以
f (x) cos x 1 0.
(3) f (x) x 1 x
因此, 函数 f (x) sin x x 在 x (0, )上单调递减.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》课 件（完 整版）1
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》课 件（完 整版）1
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会 数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运 算素养。
问题1:我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述函
数f(x)在区间 I 上是单调递增的吗？
(1)如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么f(x)在区间I上是单调递增的。
追问2：在高台跳水运动员问题中，可以用函数导数的正负判断函数的单调性， 那么这种做法是否具有一般性？
y
y
y
y
o
x
yx
函数在R上 f '(x) 1 0
ox
y x2
（-∞，0）
北师大版高中数学必修一教案：2.3+函数的单调性第一课时
数学高一年级北师大版必修一2.3函数的单调性（第一课时）一、教材分析：本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一．二、学情分析：学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了初步的感性认识。
同时，学生也具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力。
但是，高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强。
如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度。
另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱。
这些都容易使他们的学习产生思维上的障碍．三、学习目标：通过以上分析及《课标》的要求，我确定本节课的学习目标为：1、能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.2、通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力．3、通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．四、教学重点：让学生经历观察、讨论、交流、验证形成增（减）函数形式化定义；会用定义证明函数单调性．五、教学难点：在形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述是其中一个难点；用定义证明函数单调性时的代数推理论证过程是本节课的另一个难点． 六、教学策略：在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y 随x 的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。
北师大版高中数学课件必修第1册第二章 §3 第1课时 函数的单调性
特别提醒作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因
式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判
断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
提示不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符
1
x
号“∪”连接.如y= 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.
课堂篇 探究学习
探究一
判断函数的单调性
1.利用图象判断函数的单调性
例1根据函数图象直观判断下列函数的单调性:
(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
递增;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔
f(x 1 )-f(x 2 )
x 1 -x 2
x 1 -x 2
>0⇔f(x)在[a,b]上单调
<0⇔f(x)在[a,b]上单调递减.
二、单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间
I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
即 y=
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定义2： 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 如果对于任意两数x1 , x2∈A ,当x1＜x2时,都 有f(x1)＞f(x2) , 那么, 就称函数y=f(x)在区间A 上是减少的 , 有时也称函数y=f(x)在区间A上 是递减的.
定义的另一种叙述:
设函数y=f(x)的定义域为D , A D
,若对任意的x1 , x2∈A 且x1≠x2 , 都有 , 则函数y=f(x)在A上是增
f ( x2 ) f ( x1 ) ,0 加的或递增的 . 反之 若都有 x2 x1
,则函数y=f(x)在A上是减少的或递减的.
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 x2 x1
★如果函数y=f(x)在区间A上是增加的
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§3
函y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 如果对于任意两数x1 , x2∈A ,当x1＜x2时,都
有f(x1)＜f(x2) , 那么, 就称函数y=f(x)在区间A
上是增加的 , 有时也称函数y=f(x)在区间A上 是递增的.
或是减少的, 那么称区间A为单调区间 . ★如果函数y=f(x)在定义域的某个子集 上是增加的或减少的, 那么就称函数y=f(x) 在这个子集上具有单调性 . ★如果函数y=f(x)在整个定义域内是增 加的或是减少的, 我们分别称这个函数为增
例1. 证明函数y=x3在R上是增函数.
证明函数的单调性的一般步骤: 1、取值 ; 2、作差变形 ;
3、判定符号 ;
4、下结论 .
例2. 设函数
:当a≥1时, f ( x) ,证明 x2 1 ax
函数f(x)在[0,+∞)上是减函数.
例3. 讨论函数
f ( x)
ax 的单调性 . x 1) ( 1 x2 1
例4. 已知函数f(x)对任意的m,n∈R ,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x＞0时,f(x)＞1, 求证: f(x)在R上是增函数.
小结: 函数的单调性有关定义
作业: 作业课本39页A组第4、5题