三角、数列、向量复习备考建议(吴新华)

09届高三数学复习备考建议――《三角函数》《数列》《平面向量》广东广雅中学吴新华廖婉雁2009届高考是广东省实施文理分科考试的第三年，两年的备考经验和命题方向，对09届高考是有指导性意义的。

作为高考第一线的数学教师，我们应该明确考试大纲的具体要求，深入分析研究前两年的高考命题思路，获得新一轮高考备考的策略。

下面就三个专题，具体阐述09届高考数学备考的一些建议，希望对高三教师的备考能有所启发和帮助。

第一篇《三角函数》复习备考建议新课标中三角函数部分包括三个板块：必修4《三角函数》、《三角恒等变换》、必修5《解三角形》,其中三角函数模型是主线，三角变换是关健。

三角函数部分不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一。

新课标、新教材的实施，教师对新教材的把控，都需要一个过程，目前来看，学生在三角函数这章的学习，问题明显增多，如何更有效复习，是我们值得探讨的重要问题。

下面就三角函数的复习提出一些建议：一、新旧大纲对照，把握复习要点三角部分07和08年考纲是一致的，估计09年高考考纲差别不大。

尽管三角函数这部分内容是高中数学的传统内容，但跟过渡教材相比，新教材在教学内容、教材设计特别是教学要求上都发生了较大的变化。

认识这一变化，对于我们领悟新课标的理念，控制教学的深度、难度和广度都有着至关重要的作用，只有准确地把握考纲要求，才能避免复习中做一些无用功。

有很多老师去年不教高三，有必要知道新教材跟以前的过渡教材的不同之处：（一）教学内容的变化1、六个三角函数名，只保留正弦、余弦和正切三个；2、同角三角函数的基本关系式只限于两个，少了tan cot1αα=；3、原教材中“§4.11已知三角函数值求角”在新教材中已消失；4、删除了角的反三角函数表示；5、增设了“§1.6三角函数模型的简单应用”；6、在例题和习题中削弱了复杂的三角恒等变换。

（二）教材结构的调整在过渡教材中第四章三角函数包括了两角和与差的三角函数（作为第二节），解三角形作为第五章平面向量的第二节；在新教材中三角恒等变换单独成章，而且放在了平面向量之后，解三角形在必修5中也独立成章了。

这一调整有利于以向量作为工具解决三角形中的问题（比如用向量法简捷明快地证明两角差的余弦公式）。

（三）教材编写的新特点1、进一步加强了几何直观。

三角函数的概念、公式的推导及其性质研究都紧密结合单位圆、三角函数线、三角函数的图象；2、加强了数学建模的思想。

将三角函数作为刻画现实世界的数学模型，先呈现丰富的背景材料，再分析、概括、抽象，最后建立模型来解决问题；3、强调信息技术的应用。

新教材倡导借助计算器、计算机求三角函数值，求解测量问题，画三角函数图像，分析参数变化对函数的影响等等。

把学生从烦琐的计算中解脱出来，并利用信息技术探索数学规律。

4、强调数学知识之间的内在联系以及数学与其它学科的联系。

新教材进一步发挥向量的工具性作用，注重沟通代数、几何、三角的联系，充分体现了数形结合思想。

此外，还突出了三角与向量的物理背景及其在物理中的应用，体现了学科间的联系。

（四）考试大纲中考试要求的变化二、高考试题统计分析表一：近五年高考广东卷三角函数部分的分值统计纵观近几年的广东试题和08年课标地区高考试卷的三角函数部分，关于三角函数的命题有如下几个显著特点：1、考查的题型与分值：三角函数的试题一般是一到二个小题和一个解答题，属常规的题型，三角函数解答题，大都处在解答题第1题的位置，三角部分的分值平均在20分左右，约占15％；2、考查的难易程度：三角函数的解答题一般都为基础题，中档题，试题难度不大，且易出现课本中习题与例题的变式与组合；3、考查的热点：其一是三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换；其二是通过三角恒等变换进行化简求值；其三是与向量、数列、二次函数等内容的综合问题；其四是利用正弦定理、余弦定理解决与测量（距离和高度）、几何有关的实际问题。

三、高考命题趋势1、三角函数的命题趋于稳定。

依然会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上也许会有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题。

2、实施新课标后，三角的题量、分值略有下降。

这倒不是说三角函数失去原有的地位和重要性，而是新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光。

比如，上一轮的改革中，引进的导数、向量和线性规划等内容，在04-06年高考都有了充分的体现；新一轮改革中，更是引进了算法、统计、三视图等，而且它们在07年广东高考中体现得淋漓尽致，因为包含这些知识点的试题分数加起来竟达三四十分之多。

实际上，广东近两年的三角试题已经减少到了一道小题和一道解答题，而07年的填空选做题（参数方程和极坐标），还说不上是单纯的三角题，08年对三角函数的基本内容尤其是三角函数性质和恒等变换进行了重点考查。

这些方向在09年高考中也必将有所体现。

3、三角函数的图象和性质是考查的重点。

因为三角函数的图象和性质是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具，而且近年来高考降低了对三角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性。

4、解三角形和三角函数的化简求值也是常考题型。

它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的其中一小问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质，着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.5、考应用，建立三角模型。

如用函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义刻画简谐振动、交流电等，说明三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等，解决三角应用问题需引起高度重视。

跟广东同使用新教材的其它三个省份都不约而同地在07年高考卷中考查了三角应用题（山东卷的航海问题和海南、宁夏卷的塔高问题），08年江苏卷三角建模问题等，09年的三角备考需要注意。

6、考交汇点，体现三角的工具性。

由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点设计题，对三角知识的考查常常与平面向量、数列、立体几何、解析几何等综合在一起，突出三角的工具性。

特别是平面向量与三角的综合题出现的机会很大，如：07年广东文科16题、08福建理科17题是三角与平面向量结合，08年湖北卷文理18题是立体几何与三角的结合。

四、复习备考建议（一）紧扣大纲，把握高考命脉《考试大纲》是数学高考试题的主要命题依据，是高中数学教学的纲领性和指导性文件，因此我们在复习时要认真研读考纲，准确把握复习的方向，09年大纲出台后请大家务必认真研读。

由于课时较紧（特别是理科），复习中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点。

例如，三角函数只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲1cos sin22=+αα，αααtan cos sin =两个。

三角函数部分，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在对知识理解的准确性、熟练性和灵活性上，复习时以中低档题目为主，着重通法。

在复习时应注意两个方面：一是“立足课本，着眼提高”，二是加强对常规题型的归纳与掌握，只有这样才能确保这部分试题在高考中成为主要得分题。

（二）切实掌握三角函数的概念、图象和性质在三角函数的教学中，应发挥单位圆和三角函数线的作用。

单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象和基本性质。

复习时要求学生能利用单位圆中的三角函数线推导诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===、sin()y A x ωϕ=+的图像，了解参数,,A ωϕ对函数图像变换的影响。

三角函数的性质包括值域、周期性、奇偶性、单调性和最值等，其中以单调性、最大和最小值最为突出，此外近两年也出现了奇偶性与平移向量结合的题目，更深刻地考查学生对图象性质的理解。

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，加强了对三角函数的图象和性质的考查，因此三角函数的图象和性质是本章复习的一个重点，三角的复习应充分利用数形结合的思想方法，即借助于图象(或三角函数线)的直观性来获取三角函数的性质，同时利用三角函数的性质来描绘函数的图象，揭示图形的代数本质。

（三）切实掌握三角函数的基本变换思想三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中必考，而且在研究三角函数的图象与性质时、在解三角形中都不可回避。

尤其08年高考三角函数题目就重点考查了恒等变形。

解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径是：变角，变函数，变结构，还要注意公式的逆用。

基本变换思想主要有：①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y A x =+sin()ωϕ；②化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；③“合二为一”： 对于形如θθcos sin b a +的式子，引入辅助角ϕ并化成)sin(22ϕθ++b a 的形式（注在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可）；④利用正弦定理、余弦定理及面积公式进行边角互换（通常边→角对解题比较便捷）。

三角公式是三角变换的基本依据。

在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，以此作为三角恒等变换的基本训练，建立知识网络。

通过对这些公式的探求，以及利用这些公式进行三角变换，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力。

（四）切实加强三角函数的应用意识解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量和几何计算有关的实际问题的一种工具，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。

（五）切实提高三角函数综合运用的能力三角函数具有较强的渗透力，它可和其它的数学知识综合起来，特别是与向量、几何联系密切。

注意三角与几何的综合试题，在几何中引入角度作为自变量建立函数模型或解几模型可化难为易，使问题获得简捷的解决（参见教材必修四P 156例4）；注意三角与向量的综合试题，平面向量有着极其丰富的实际背景，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种工具，因此，我们应通过整合，将三角函数，平面向量，解斜三角形形成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练。