2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测55文新人教A版!
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测15 含
课时跟踪检测(十五)1．方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案：C解析：设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，极小值为f (3)＝－10＜0，所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根有1个．2．若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x(x －a )＜1，∴a ＞x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－xln 2＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．3B ．4C ．6D ．5答案：A解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R.∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小．故选A.4．若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x2－e x1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x2－e x1＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x2 D ．x 2e x1＜x 1e x2 答案：C解析：令f (x )＝exx，则f ′(x )＝xx －x ′·e x x 2＝e x x －x 2.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0,1)上单调递减，∵0＜x 1＜x 2＜1，∴f (x 2)＜f (x 1)，即e x2x 2＜e x1x 1，∴x 2e x 1＞x 1ex2，故选C.5．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)＜f (x 2)，则( )A ．x 1＞x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1＜x 2D ．x 21＜x 22答案：D解析：因为f (－x )＝－x ⎝⎛⎭⎪⎫e －x－1e －x ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，由f (x 1)＜f (x 2)，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)(*)．又f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＝e 2x x ＋＋x －1ex.当x ≥0时，e 2x(x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，则f ′(x )≥0，所以f (x )在对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－3x 2＋12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝( )A ．100B ．50C ．992D ．0答案：D解析：依题意得，g ′(x )＝6x 2－6x ，g ″(x )＝12x －6， 令g ″(x )＝0得x ＝12，因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 所以函数g (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则g (1－x )＋g (x )＝0.因为1100＋99100＝2100＋98100＝…＝49100＋51100＝50100×2＝1，所以g ⎝⎛⎭⎪⎫1100＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝0.故选D.7．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是________．答案：时，不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x 3，设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0,1]，g ′(x )＝3x 3－x －x 2x 6＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x4. 由g ′(x )＝0得x ＝12，当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表.当－1<x <0时，h (x )>h (0)＝0，即g (x )<1. 综上，x >－1且x ≠0时，总有g (x )<1.11．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线 y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a 的值；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解：f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．1．已知函数f (x )＝m (x －1)e x ＋x 2(m ∈R )． (1)若m ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x ＜0，不等式x 2＋(m ＋2)x ＞f ′(x )恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝(1－x )e x＋x 2， 则f ′(x )＝x (2－e x)， 由f ′(x )＞0，得0＜x ＜ln 2； 由f ′(x )＜0，得x ＜0或x ＞ln 2.故函数f (x )的单调递增区间为(0，ln 2)，单调递减区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．(2)依题意，f ′(x )＝mx ⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋2m ＜x 2＋(m ＋2)x ，x ＜0，因为x ＜0，所以m e x－x －m ＞0，令h (x )＝m e x －x －m ，则h ′(x )＝m e x－1， 当m ≤1时，h ′(x )≤e x－1＜0， 则h (x )在(－∞，0)上单调递减， 所以h (x )＞h (0)＝0，符合题意；当m ＞1时，h (x )在(－∞，－ln m )上单调递减，在(－ln m,0)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (－ln m )＜h (0)＝0，不合题意． 综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．2．函数f (x )＝(ax 2＋x )e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)当a ＞0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在上有解．解：(1)因为e x＞0，所以不等式f (x )≤0即为ax 2＋x ≤0.又因为a ＞0，所以不等式可化为x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0，所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a，0.(2)当a ＝0时，方程即为x e x＝x ＋2， 由于e x＞0，所以x ＝0不是方程的解， 所以原方程等价于e x－2x－1＝0.令h (x )＝e x－2x－1，因为h ′(x )＝e x＋2x2＞0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递增函数，又h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－2＞0，h (－3)＝e －3－13＜0，h (－2)＝e －2＞0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根， 且分别在区间和上，所以整数t 的所有值为{－3,1}．3．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． 解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2.设在点P 处的切线l 交x 轴、y 轴分别于A ，B 两点，y ′＝－2 000x3， 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32 t 2＋4×106t4，t ∈．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测28文新人教A版
课时跟踪检测(二十八)[高考基础题型得分练]1．[2017·广东惠州二调]已知向量AB →＝(3,7)，BC →＝(－2,3)，则－12AC →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 答案：C解析：因为向量AC →＝AB →＋BC →＝(1,10)，则－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5，故选C.2．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案：B解析：②中，e 1＝12e 2，即e 1与e 2共线，所以不能作为基底．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35答案：A解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 答案：B解析：AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)，∵Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)， PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案：B解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.6．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0 答案：B解析：∵a 与b 方向相反，∴b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.7．[2017·江苏杭州五校联盟一诊]已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p＝⎝⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，其中a ，b ，c ，A ，B ，C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：B解析：∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2与n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线，∴a cos B 2＝b cos A2，由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2，∵sin A ＝2sin A 2cos A 2，sin B ＝2sin B 2cos B2，∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2，化简得sin A 2＝sin B2.又0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，可知A ＝B . 同理，由n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2与p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线得到B ＝C ，∴在△ABC 中，A ＝B ＝C ，可得△ABC 是等边三角形．故选B.8．[2017·河南八市质检]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB → 答案：C解析：如图，∵EC →＝2AE →， ∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案：12解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0， 所以1a ＋1b ＝12.10．[2017·四川雅安模拟]已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a－2b 与c 共线，则k ＝________.答案：1解析：∵a －2b ＝(3，3)，且(a －2b )∥c ， ∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.11．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________.答案：－3解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ， 则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)，由题意可知，(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·湖南长沙调研]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14答案：A解析：由题意知，OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.2．[2016·江西南昌十校联考]已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)答案：B解析：∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B.3．[2017·甘肃兰州一中期中]如图所示，两个不共线向量OA →，OB →的夹角为θ，M ，N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在线段MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.24 B.18 C.22 D.12答案：B解析：∵M ，N ，C 三点共线，∴存在实数t 使得NC →＝tNM →(0≤t ≤1)，∴OC →＝ON →＋NC →＝ON →＋tNM →＝ON →＋t (OM →－ON →)＝(1－t )ON →＋tOM →＝1－t 2OA →＋t 2OB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t2，y ＝t2，∴x 2＋y 2＝1－t2＋t24＝14(2t 2－2t ＋1)(0≤t ≤1)． 令f (t )＝2t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)，函数f (t )图象开口向上且以t ＝12为对称轴，∵t ＝12∈[0,1]，∴f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. ∴(x 2＋y 2)min ＝14×12＝18，故选B.4．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案：45解析：解法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得 AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC →＋AB →)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2AC →＝0， 得⎝⎛⎭⎪⎫μ2－1AB →＋λ2AD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎪⎫AD → ＋12AB →＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0. 又AB →，AD →不共线，∴由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.∴λ＋μ＝45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，即AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.5．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，解得t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13；若点P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，解得t <－23.(2)若四边形OABP 为平行四边形，则OP →＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．6．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知，得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4) ＝(0,20)，即M (0,20)．又CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4) ＝(9,2)，即N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测70含答案
课时跟踪检测(七十)1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R,结论是：a2〉0，那么这个演绎推理出错在( ）A．大前提 B．小前提C．推理过程D．没有出错答案：A解析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为大前提是：任何实数的平方都大于0，是不正确的．故选A。
2．观察（x2）′＝2x,（x4）′＝4x3，（cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x)满足f(－x）＝f(x），记g(x）为f（x）的导函数,则g（－x)＝( ）A．f（x）B．－f(x）C．g(x）D．－g(x）答案:D解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x）＝－g(x）．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1，1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…,则式子3⊗5是第（)A．22项B．23项C．24项D．25项答案：C解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个,和为5的有4个，和为6的有5个,和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项,所以为第24项，故选C.4．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a〈b.证明:∵∠A＝30°，∠B＝60°,∴∠A〈∠B。
∴a〈b。
其中,画线部分是演绎推理的( )A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论答案：B解析：由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提．5．将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色,从任意一点开始,按逆时针方向依次记录k（k≤n)个点的颜色，称为该圆的一个“k阶色序",当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k阶色序．若某国的任意两个“k阶色序”均不相同，则称该圆为“k阶魅力圆"．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（）A．4 B．6C．8 D．10答案：C解析：因“3阶色序”中每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有2×2×2＝8种,一方面,n个点可以构成n个“3阶色序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个;另一方面，若n＝8，则必须包含全部共8个“3阶色序”，不妨从(红，红，红）开始按逆时针确定其它各点颜色，显然(红，红,红，蓝，蓝，蓝，红，蓝）符合条件．故“3阶魅力圆”中最多有8个等分点，故选C.6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199答案：C解析：从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测31文新人教A版
课时跟踪检测(三十一)[高考基础题型得分练]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.－1n＋12 B ．cos n π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π答案：D解析：令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 答案：D解析：∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数的性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.3．已知数列{a n }，a 1＝－14，a n ＝－1a n －1＋1(n >1)，则当a n ＝－14时，n 的值可以为( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案：C解析：由题意，得a 1＝－14，a 2＝－43，a 3＝3，a 4＝－14，…，则a 3m －2＝－14(m ∈N *)，a 16＝－14，故选C.4．[2017·河北保定调研]在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1) 答案：A解析：解法一：由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1. 解法二：由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n－1. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1 答案：A解析：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2，∴a 6＝3×46－2＝3×44，故选A.6．[2016·云南一模]在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，则a 2 016＋a 2 017＝( )A.56B.52C.72 D ．5答案：C解析：因为a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，所以a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝13，即数列{a n }是周期数列，周期为4，则a 2 016＋a 2 017＝a 4＋a 1＝3＋12＝72，故选C.7．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案：D解析：由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5 答案：D解析：由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n .又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N 时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.9．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案：6116解析：由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116.10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.答案：1n解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 11．[2017·山西四校第二次联考]已知{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 016＝________.答案：3×101 008－3解析：因为a n ·a n ＋1＝2n，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＋2a n＝2，因此a 1，a 3，a 5，…构成一个以1为首项，2为公比的等比数列，a 2，a 4，a 6，…构成一个以2为首项，2为公比的等比数列．从而S 2 016＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2×1－21 0081－2＝3×21008－3.12．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案：(－3，＋∞)解析：因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·山西四校联考]已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016＝( )A ．1B ．4 018C ．2 010D ．0答案：D解析：依题意，该数列为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009,1，…，按此规律，可知该数列的周期为6，且这6项之和为0.所以这个数列的前2 016项之和S 2 016＝S 336×6＝S 6＝0.2．[2017·湖北宜昌一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，若数列{a n }满足a n ＝f (n )，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3C ．(2,3)D ．(1,3) 答案：C解析：由已知得a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a n －3，n ≤7，a n －6，n >7(n ∈N *)，若数列{a n }是递增数列，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－a ×7－3<a 8－6，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)．3．[2016·北京海淀期末]若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7. ∴满足条件的n 的值为7.4．[2016·江西南昌调研]一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．答案：2解析：记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1,2,3,4)，则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，a 4＝12a 3＋1，而12a 4＋1＝2，解得a 4＝2，因此得a 3＝2，…，a 1＝2. 5．[2017·甘肃天水一模]已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋a n ＋1＝2n.求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋a n ＋1＝2n，①∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝2n， 由a 1＝1，a 1＋a 2＝2，得a 2＝1. 当n 为奇数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝2n －2＋2n －4＋…＋2＋1＝13×2n ＋13； 当n 为偶数时，a n ＝(a n －a n －2)＋(a n －2－a n －4)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝2n －2＋2n －4＋…＋22＋1＝13×2n －13. 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13×2n＋13，n 为奇数，13×2n－13，n 为偶数.6．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．。
高考数学一轮复习考点规范练55几何概型含解析新人教A版
考点规范练55 几何概型基础巩固1.(2021全国Ⅰ,文7)在区间(0,12)随机取1个数,则取到的数小于13的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.16答案:B解析:所求事件的概率P=13-012-0=23.2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2 B.π4C.π6D.π8答案:B 解析:所求概率为S 半圆S 长方形=12π·122×1=π4,故选B .3.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为( )A.1213 B.113C.314D.213答案:B解析:设水深为x 尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x 2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为()A.80 mB.50 mC.40 mD.100 m答案:D解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为500×(1-45)=100(m).5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案:C解析:如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15√2 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A.34B.38C.3π16D.12+3π32答案:B解析:如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x ,则sin πS 4的值介于-12与√22之间的概率为( )A.14 B.13C.23D.56答案:D解析:∵-1≤x ≤1,∴-π4≤πS 4≤π4.由-12≤sinπS 4≤√22, 得-π6≤πS 4≤π4,则-23≤x ≤1.故所求事件的概率为1-(-23)1-(-1)=56.8.记函数f (x )=√6+S -S 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 . 答案:59解析:由6+x-x 2≥0,即x 2-x-6≤0得-2≤x ≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5].由几何概型的概率公式得x ∈D 的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.9.记集合A={(x ,y )|x 2+y 2≤4}和集合B={(x ,y )|x+y-2≤0,x ≥0,y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M (x ,y ),则点M 落在区域Ω2的概率为 .答案:12π解析:作圆O :x 2+y 2=4,区域Ω1就是圆O 内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界),其面积为2,因此所求概率为24π=12π.10.在圆C :(x-3)2+y 2=3上任取一点P ,则锐角∠COP<π6(O 为坐标原点)的概率是 .答案:23解析:当∠COP=π6时,直线OP 的方程为x ±√3y=0,圆心C 到直线OP 的距离d=32.又圆C 的半径为√3,此时弦所对的圆心角为π3,所以所求概率P=1-π3×22π=23.能力提升11.在区间[-1,1]上随机取一个数k ,使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1不相交的概率为( ) A.34 B.23C.12D.13答案:C 解析:要使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1相交,应满足√52√≥1,解得-12≤k ≤12,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k ,使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.故选C .12.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为15,则图中直角三角形较大锐角的正弦值为( )A.√55B.2√55C.15D.√33答案:B解析:设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x ,1+x ,√S 2+(1+S )2. 由几何概型可得12S 2+(1+S )2=15,解得x=1(x=-2(舍)),所以直角三角形的边长分别为1,2,√5,直角三角形较大锐角的正弦值为√5=2√55,故选B .13.已知函数f (x )=x 2+bx+c ,其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件{S (2)≤12,S (-2)≤4为事件A ,则事件A 发生的概率为( ) A.14 B.58 C.12 D.38答案:C 解析:由题意, 得{4+2S +S ≤12,4-2S +S ≤4,0≤S ≤4,0≤S ≤4,即{2S +S -8≤0,2S -S ≥0,0≤S ≤4,0≤S ≤4,表示的区域(阴影部分)如图所示,可知阴影部分的面积为8, 所以所求概率为12,故选C .14.设点(a ,b )是区域{S +S -4≤0,S >0,S >0内的任意一点,则使函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内是增函数的概率为 . 答案:13解析:作出不等式组{S +S -4≤0,S >0,S >0所对应的平面区域如图△AOB 区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为S △AOB =12×4×4=8. 若f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内是增函数,则{S >0,--2S 2S=S S ≤12,即{S >0,S -2S ≥0.则A (0,4),B (4,0), 由{S +S -4=0,S -2S =0得{S =83,S =43.即C (83,43). 则使函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内为增函数的点(a ,b )所构成的区域为△OBC ,其面积为12×4×43=83.故所求的概率为838=13.15.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在边BC 上任取一点M ,则∠AMB ≥90°的概率为 .答案:14解析:如图,在Rt △ABC 中,作AD ⊥BC ,D 为垂足,由题意可得BD=12,且点M 在BD 上时,满足∠AMB ≥90°,故所求概率为SSSS=122=14.16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 . 答案:78解析:以横坐标x 表示报纸送到时间,纵坐标y 表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为1×1-12×12×121×1=78.高考预测17.若不等式x 2+y 2≤2所表示的平面区域为M ,不等式组{S -S ≥0,S +S ≥0,S ≥2S -6表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为 . 答案:π24解析:分别作出平面区域M 和平面区域N 如图所示,可知平面区域M 与平面区域N 重叠部分的面积为14π(√2)2=π2,平面区域N 的面积为12×3×2+12×3×6=12,故所求的概率为12π12=π24.。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测49文新人教A版
所以 a 2= 6, b 2= 1, 则 c 2= a 2-b 2= 5.课时跟踪检测（四十九）［高考基础题型得分练］1.椭圆x 2 + my = 1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，贝U m 的值为（1A.4B.C. 2D.答案: 解析: 2 1 2由题意知，a = m b = 1,且a = 2b ,1•m=4,X 22.已知实数4, m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线-+ y = 1的离心率为（B. .7答案：C解析：因为实数4, m,9构成一个等比数列, 所以可得m = 36, 解得m= 6或m=- 6.当圆锥曲线为椭圆时，即2 2m / =1的方程为x + y =1所以离心率e =a =5 _30 6= 当曲线是双曲线时可求得离心率为 .7. 2 23. ［2017 •河北邯郸一模］椭圆12 + 3 = 1 的焦点为F i , F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PB |是|PF |的（ A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍答案：A解析：设线段PF 的中点为D,1 则 |0D = 2I PF 1I 且 OD/ PF , ODL x 轴，••• PF 丄 x 轴，••• |PF | = b =△=€•a 2、p 2又••• |PF | + I PF = 4西，• |PE|= 4 .3_f= =-2.■■- | PFJ 是| PF | 的 7倍.2 2x y4•已知椭圆C ： ； + £= 1的左、右焦点分别为 F l , F 2,椭圆C 上的点A 满足AF 丄F 1F 2.43若点P 是椭圆C 上的动点，贝U F i P- F 2A 勺最大值为于2贝y c 的方程是()2土=12x 2D -+y =14B.3<3 2_ 9C.4D. 15 ~4答案：B解析：设向量FP, F 2A 的夹角为0 . 由条件知| AR|为椭圆通径的一半,b 2 3即 | AF = - = ©T T 3 T则 F 1P - F 2A = ?| F 1P COS 0 ,于是FP-只需FP 在 F 2A 上的投影值最大,易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点,T T 3 T所以 FP- F 2A = x| F 1P |cos 3.3故选B.5. [2017 •陕西西安质量检测 ]已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为F (1,0)，离心率等—1,=—1,点与线段AB 中点的直线的斜率为■，则b 的值为( 2 aB.2*3 3 C症C.2D.2,3 27答案：B解析：设 A (X 1, yj , B (X 2, ax 2 + by 1 = 1, ax 2+ by ! = 1,y 2)，则即 ax 1 — ax 2=— ( by 2 — by 2), 22by 1 — by 22 2 = ax 1 — ax 2.b y — y 2y 1 + y 2 a X 1 — X 2 X 1 + X 2答案：A解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a ), 由于直线 AB 的方程为bx + ay — ab = 0,ab•/ b 2 = a 2 — c 2,「. 3a 4— 7a 2c 2+ 2c 4= 0,解得a 2= 2c 2或3a 2= c 2(舍去)」e =#答案：C 解析：依题意，所求椭圆的焦点位于c1x轴上，2 2因此其方程是++警=X 故选C.6. [2017 •甘肃兰州诊断]已知椭圆 C:2 2x y 云+令=1( a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1, F 2, 右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为半| F 1F 2I ，则椭圆C 的离心率e =( )B.~2D.7. [2 017 •江西师大附中模拟]椭圆ax 2+ by 21与直线y = 1 — x 交于A , B 两点，过原••• a x（-1）x• b=孚，故选B.2 2& [2017 •山东青岛模拟]设椭圆m2+ £= 1(m>0, n>0)的右焦点与抛物线y2= 8x的焦点1相同，离心率为2，则此椭圆的方程为 ________ .2 2答案：16+务=1解析：抛物线y2= 8x的焦点为(2,0),•吊—n2= 4,①• m= 4,n2= 12,2 2•椭圆方程为~+12= 1.2 29. _________ [2017 •湖南长沙一模]椭圆r :争+碁=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,焦距为2c,若直线y=J3(x+ c)与椭圆r的一个交点M满足/ MFF2= 2/ MFF，则该椭圆的离心率等于_________________ .答案：3 —1解析：依题意得/ MFF2= 60°,/ MFF1 = 30°,/ RMF= 90°,设| MF| = m则有| MF| = 3m I尸冋=2m该椭圆的离心率是e=丨田_J3_1| MF| + | MI2| = 32x10. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC的顶点A( —4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆忑5答案：5解析：sin A+ sin C | BQ + | BA 2a a 5 sin B =|AQ = 2c= c = 4.2 2 21 2e= 2=m代入①得,2+ y9 = 1上，则S in A+ Sin C的值为sin Bxv 2 y11. [2017 •山东三校联考]椭圆C：孑+話=1(a>b>0)的右焦点为F,双曲线x -3 = 1的一条渐近线与椭圆C交于A, B两点，且AF丄BF则椭圆C的离心率为____________ .答案：3 —12解析：不妨取双曲线x2—V3 = 1的一条渐近线的方程为y= .3x,记椭圆C的左焦点为F1,由题意得| OA = | OB = | OF = | OF| = c,•••四边形AFBF为矩形，△ AFC是正三角形，••• | AF = c, | AF| = Q3c,c 2c•椭圆C的离心率e=a=亦=l FF l = % = 3_1= |AF + |AF| = c+ 3c = 3_12. 已知椭圆的左焦点为R,右焦点为冃，若椭圆上存在一点P,满足线段PR相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 __________________________ PF的中点，则该椭圆的离心率为.答案：£设| F1F2| = 2c, |PF| = 2|CM = 2b, 由椭圆的定义，得|PF a| = 2a_ 2b.2 2 2由勾股定理，得4b + (2 a—2b) = 4c ,2 yl5解得b= 3a, c = -ya,所以椭圆的离心率e =靑［冲刺名校能力提升练］2 21. ［2017 •广东汕头一模］已知椭圆X +吕=1上有一点P , F i , F 2是椭圆的左、右焦点， 若厶F i PR 为直角三角形，则这样的点P 有（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个答案：C解析：当/ PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点 P 有2个；同理当/ PF 2F 1为直角时，这样的点 P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，/ F i PR 最大，且为直角，此时这样的点P 有2个.故符合要求的点 P 有6 个.+ y =0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（ 1 A.- 1 BYC© C.2D. 3 — 1答案：D解析：解法一：设A （m n ），则—/3 =— 1,解得A |,彳-,-2 3-2代入椭圆C 中，有石+ 4b 2=1,.22只 2 2 , 2. 2「•be + 3a - = 4a b ,/ 22、 2 小22 ,2,2 2、/• (a — c )c + 3a c = 4a (a — c ),4介 2 2 ,4…c — 8a c + 4a = 0,二 e — 8e + 4 = 0,2. ［2017 •河北唐山模拟m- - n+ 2=0，］椭圆C:2 2F ,若F 关于直线e = 4±2 , 3,•/ 0<e<1，二e= . 3— 1.解法二：借助于椭圆的定义，本题还有如下简捷解法:设F '是椭圆的右焦点，连接 AF, AF . 由已知得厶AFF 是直角三角形，其中/ A = 90°,/ AFF = 30°,2c—— =3— 1，故选D.c + 3c '2 2x y3.已知F 1, F 2是椭圆G 尹^2= 1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆答案：3••• I FF I = 2c ,. | AF | =0c , |AF | = c , 2c|FF |e= 2a = | AF | + | AF IC 上的一点，且 PF丄PF 2.若厶PFF 2的面积为 9,则 b =解析：设| PF| = r1, | PF| =「2，则r 1+「2= 2a,2,2 2r 1+「2= 4c ,2 22「1「2= (「1 +「2) —(r 1 +r ) =4a2—4c2= 4b2,1 2又S PF_,F2=歹1r2= b = 9,「. b= 3.4. [2017 •河北保定一模]与圆C: (x+ 3)2+ y2= 1外切，且与圆 2 2G: (x —3) + y = 81内切的动圆圆心P的轨迹方解析：设动圆的半径为r，圆心为F(x, y),则有|PG| = r + 1, | PG| = 9- r.所以| PG| + | PG| = 10> | CC ,即P在以2x P的轨迹方程为去+255.已知椭圆G的对称中心为原点O,焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2,且|尸冋=2，点1, 2在该椭圆上.(1)求椭圆G的方程;⑵过F1的直线I与椭圆C相交于A, B两点，若△ AFB的面积为^2#,求以F2为圆心且与直线I相切的圆的方程.解：(1)由题意知c = 1,2 a=gj + p gj + 22= 4，解得a= 2,故椭圆G的方程为x(2)①当直线I 丄x 轴时，可取A — 1, — 2 , B — 1, 2 ， △ AFB 的面积为3，不符合题意.②当直线I 与x 轴不垂直时，设直线I 的方程为y = k (x + 1)，代入椭圆方程得(3 + 4k 3 4 5)x 22 2+ 8k x + 4k — 12= 0,显然△ >0 成立，设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2),3 求椭圆C 的方程；4 在x 轴上是否存在定点经过以 MN 为直径的圆？若存在， 求定点坐标；若不存在，请说明理由.X 1+ X 2= — 8 k 2 3 +4k 2，X 1X 2 = 4k 2— 123+ 4k 2，可得| AB = 1 + k2—X1 + X2 2—4x1X212 k2+l=3 + 4k2，又圆F2的半径r =2| k|_ 1 + k2'•••△ AFB的面积为12| k| .. k2+ 1 12 2 r= 3+ 4k2=十，化简得17k4+ k2—18= 0,得k=± 1,• r = 2,圆的方程为(x —1)2+ y2= 2.2 2x y6. [2017 •湖南四校联考]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：二+ 2= 1(a>b>0)的离心a b率e= 1,且过点(0 , 3)，椭圆C的长轴的两端点为A B,点P为椭圆上异于A, B的动点, 1| AB. 2 2 22 c a — b 1解：⑴ a a 4 b 2= 32 2 x y•••椭圆C 的方程为匚+石=1. 4 3y oy o 则 k l =，k 2=x^， 2 y ok i k 2= ―22 X o — 4x o — 42 4 — x o 3X 4 3x 2— 4 =— 4，由 I PA ：y = k i (x + 2)知 M 4,6 k i ), 由 l PB ： y = k 2(x — 2)知 N (4,2 k 2), • MN 的中点Q4,3总+ k 2),1•••以 MN 为直径的圆的方程为(x — 4)2+ (y — 3k 1— k 2)2=二(6k 1 — 2k ?)2 = (3k 1 — k"2, 4 令y = o ,得x — 8x + 16+ 9k 1 + 6k 〔k 2+ k 2=9k 1— 6k 1 k 2 + k 2,2•- x — 8x + 16+ 12k 1k 2= o , • x 2 — 8x + 16+ 12X-3 = o ,2 即 x — 8x + 7 = o ，解得 x = 7 或 x = 1,•••存在定点(1,o) , (7,o)经过以MN 为直径的圆. ⑵设PA PB 的斜率分别为 k i , k 2, F (x o , y o ),31 - 42 2 T。
新教材高中数学课时跟踪检测五组合与组合数公式新人教A版选择性必修第三册
课时跟踪检测（五） 组合与组合数公式1.[多选]下列问题是组合问题的是( )A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次？B.平面上有2 020个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段？C.集合{a 1,a 2,a 3,…,a n }的含有四个元素的子集有多少个？D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法？解析：选ABC 组合问题与次序无关,排列问题与次序有关,D 项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法,因此不是组合问题,A 、B 、C 均是组合问题. 2.若C 2n ＝28,则n ＝( ) A.9 B ．8 C.7D ．6解析：选B 由C 2n ＝n ×n －12＝28,解得n ＝8.3.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有( ) A.A 310种 B ．C 310种 C.C 310A 310种D ．30种解析：选B 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C 310,故选B. 4.下列计算结果为21的是( ) A.A 24＋C 26 B ．C 37 C.A 27D ．C 27解析：选D C 27＝7×62×1＝21.5.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( ) A.36种 B ．48种 C.96种D ．192种解析：选C 甲选修2门有C 24＝6种选法,乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法计数原理可知,共有6×4×4＝96种选法.6.6个朋友聚会,每两人握手1次,一共握手________次．解析：每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手C 26＝15次．答案：157.若C 4n >C 6n ,则n 的集合是________．解析：∵C 4n >C 6n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！n －4！>n ！6！n －6！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *,∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．答案：{6,7,8,9}8.按ABO 血型系统学说,每个人的血型为A 、B 、O 、AB 四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时,子女一定不是O 型,若某人的血型为O 型,则父母血型的所有可能情况有________种．解析：父母应为A 或B 或O,共有C 13·C 13＝9种情况． 答案：99.(1)解不等式：2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1； (2)计算C 3n13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n ； (3)求证：C m n ＝nn －mC mn －1.解：(1)∵2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1, ∴2C 3x ＋1<3C 2x ＋1, ∴2×x ＋1x x －13×2×1<3×x ＋1x2×1.∴x －13<32,∴x <112,∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x ＋1≥2，∴x ≥2,∴2≤x <112,又x ∈N *,∴x ＝2,3,4,5.∴不等式的解集为{2,3,4,5}．(2)由题意,⎩⎪⎨⎪⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，得173≤n ≤132, 又n ∈N *,故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112 ＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112 ＝19＋18＋17＋…＋12＝124. (3)证明：∵nn －mC mn －1＝nn －m ·n －1！m ！n －1－m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ,∴原式成立.10.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生,又有外科医生．解：(1)先选内科医生有C 36种选法,再选外科医生有C 24种选法,故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑,则有C 510－C 56＝246种选派方法.1.从6名男生和3名女生中选出4名代表,其中必须有女生,则不同的选法种数为( ) A.168 B ．45 C.60D ．111解析：选D 选出的代表中女生有1,2,3名时,男生相应有3,2,1名,则不同的选法种数为C 13C 36＋C 23C 26＋C 33C 16＝111.2.若A3m＝6C4m,则m的值为( )A.6 B．7 C.8 D．9解析：选B 由A3m＝6C4m得m！m－3！＝6·m！4！m－4！,即1m－3＝14,解得m＝7.3.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．解析：要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走．因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C49C55＝126种走法,故从A地到B地的最短路线共有126条．答案：1264.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数,则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数,相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合,故所有不同的数的个数为C36＝6×5×43×2×1＝20.5.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种．(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？解：(1)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有C120C215＝2 100(种),所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种,选取3件假货有C315种,共有选取方法C120C215＋C315＝2 555(种)．(3)选取3件的种数有C335,因此有选取方法C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测50Word版含答案
课时跟踪检测(五十)1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．以上三个选项均有可能 答案：C解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2＜3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案：B解析：将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.3．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A.2－1或－2－1 B ．1或－3 C ．1或－ 2 D. 2答案：B解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. 较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2. 即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 4．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11答案：C解析：圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1， 圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ， 所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ， 从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.5．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S△AOB＝1时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在答案：A解析：由于S △AOB ＝12×2×2sin ∠AOB ＝1，∴sin ∠AOB ＝1，∴∠AOB ＝π2， ∴点O 到直线l 的距离OM 为1，而OP ＝2，OM ＝1，在直角△OMP 中，∠OPM ＝30°， ∴直线l 的倾斜角为150°，故选A.6．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( ) A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案：A 解析：如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴AB ⊥OP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|OA |sin ∠AOP ＝ 3.7．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2答案：D解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22， 因此根据直角三角形勾股定理，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 8．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0答案：C解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)， 所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)， 所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.9．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝________.答案：5解析：解法一：由已知得，圆心C (0,2)，半径r ＝5， △ABC 是直角三角形，|AC |＝－2＋－2＝10，|BC |＝5，∴cos ∠ACB ＝BC AC＝510，∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝5.解法二：CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＋BA →·CB →， 由于|BC |＝5，AB ⊥BC ， 因此CA →·CB →＝5＋0＝5.10．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案：4±15解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3， 于是有|a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 11．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：整理曲线C 1的方程得，(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，依题意知直线l 与圆相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m＋－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 12．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案：x ＋y －3＝0解析：依题意得，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大， 此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1， 因此所求直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.1．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．3或－5 D ．－3或5答案：C解析：解法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x －a 2＋y －2＝8，消去y 可得，2x 2－(2a －2)x ＋a 2－7＝0， 则由题意可得Δ＝2－4×2×(a 2－7)＝0， 整理可得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或－5.解法二：因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切知，圆心到直线的距离等于半径，所以|a －3＋4|12＋－2＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.2．在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.3π4答案：B解析：由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π4.3．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当直线l 的斜率k 存在时，如图，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，P 为直线x －2y ＋5＝0上的动点，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为________．答案：2解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0， 过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ， 易知此时|PA |的值最小． 由点到直线的距离公式，得 |OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5. 又|OA |＝1，所以|PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.5.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值．解：(1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)， 即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33， 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)， 即x －3y －4＝0.所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)， 则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×＝4×(5＋24＋d 21d 22)． 因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3， 所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时等号成立， 所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210， 即|AC |＋|BD |的最大值为210.。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测63文新人教A版
课时跟踪检测(六十三)[高考基础题型得分练]1．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A．0 B.1C．2 D.3答案：C解析：由于a，b，c不全相等，则a－b，b－c，c－a中至少有一个不为0，故①正确；②显然成立；令a＝2，b＝3，c＝5，满足a≠c，b≠c，a≠b，故③错．2．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.ab<a＋1 b＋1答案：B解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．3．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( )A．a>b B.a<bC．a＝b D.a，b大小不定答案：B解析：∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是( )A．a－b＞0 B.a－c＞0C ．(a －b )(a －c )＞0 D.(a －b )(a －c )＜0答案：C解析：由题意知b 2－ac ＜3a ⇐b 2－ac ＜3a 2⇐(a ＋c )2－ac ＜3a 2 ⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0 ⇐2a 2－ac －c 2＞0⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0.5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．a >b >c B.b >c >a C ．c >a >b D.a >c >b答案：A解析：∵a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6，且7＋6>6＋5>3＋2>0，∴a >b >c .6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B.A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D.C ≤B ≤A答案：A 解析：因为a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是单调减函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 7．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 答案：D解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．8.6＋7与22＋5的大小关系为________． 答案：6＋7>22＋ 5解析：要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小， 只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋5.9．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案：332解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)． ∴f A ＋f B ＋f C3≤f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞2；②a 2＋b 2＞2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件的是________．(填序号)答案：①11．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]上至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 解析：解法一：(补集法)当二次函数在区间[－1,1]上不存在一点C ，使f (c )>0时，令⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝－2p 2＋p ＋1≤0，f1＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.解法二：(直接法)依题意有f (－1)>0或f (1)>0， 即2p 2－p －1<0或2p 2＋3p －9<0， 得－12<p <1或－3<p <32，故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.[冲刺名校能力提升练]1．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2B.a 2＞ab ＞b 2C.1a ＜1bD.b a ＞a b答案：B解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0， ∴a 2＞ab .①又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.2．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 答案：D解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由 ⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．3．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．答案：c n ＋1<c n 解析：由条件得，c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .4．(1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.(2)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. 证明：(1)∵a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋a ＋b ab＝1＋ba＋1＋a b ＋a ＋bab≥2＋2b a ·a b ＋a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2＋2＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．(2)∵a ，b ，c 全不相等，且都大于0， ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 全不相等， ∴b a ＋a b＞2，c a ＋a c＞2，c b ＋b c＞2， 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c＞6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c－1＞3，即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. 5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c .证明：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c .6．已知点A (1,0)，B (0,1)和互不相同的点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…，满足OP n →＝a n OA →＋b n OB →(n ∈N *)，其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列，O 为坐标原点，若P 1是线段AB的中点．(1)求a 1，b 1的值；(2)点P 1，P 2，P 3，…，P n ，…能否在同一条直线上？请证明你的结论． 解：(1)P 1是线段AB 的中点⇒OP 1→＝12OA →＋12OB →，又OP 1→＝a 1OA →＋b 1OB →，且OA →，OB →不共线， 由平面向量基本定理，知a 1＝b 1＝12.(2)由OP n →＝a n OA →＋b n OB →(n ∈N *)⇒OP n →＝(a n ，b n )，设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则由于P 1，P 2，P 3，…，P n ，…互不相同， 所以d ＝0，q ＝1不会同时成立． 若d ＝0，q ≠1，则a n ＝a 1＝12(n ∈N *)⇒P 1，P 2，P 3，…，P n ，…都在直线x ＝12上；若q ＝1，d ≠0，则b n ＝12为常数列⇒P 1，P 2，P 3，…，P n ，…都在直线y ＝12上；若d ≠0且q ≠1，P 1，P 2，P 3，…，P n ，…在同一条直线上⇔P n －1P n ＝(a n －a n －1，b n －b n －1)与P n P n ＋1＝(a n ＋1－a n ，b n ＋1－b n )始终共线(n ≥2，n ∈N *)⇔(a n －a n －1)(b n ＋1－b n )－(a n ＋1－a n )(b n －b n －1)＝0 ⇔d (b n ＋1－b n )－d (b n －b n －1)＝0 ⇔b n ＋1－b n ＝b n －b n －1 ⇔q ＝1，这与q ≠1矛盾，所以当d ≠0且q ≠1时，P 1，P 2，P 3，…，P n ，…不可能在同一条直线上．。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测21文新人教A版
课时跟踪检测(二十一)[高考基础题型得分练]1．[2017·河北张家口模拟]计算：tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案：C解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝112sin 30°＝4. 2．[2017·江西九江一模]已知tan α＝－35，则sin 2α＝( )A.1517B ．－1517C ．－817D.817答案：B解析：sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517.3．[2017·山西四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12 B.23 C ．－12D ．1答案：C解析：由已知，得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．[2017·山东济宁期末]tan π12－1tanπ12等于( )A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3答案：D解析：∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝ tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3，∴tan π12－1tanπ12＝2－3－12－3 ＝－2 3.5．[2016·广东广州二测]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223C ．－13D ．－223答案：A 解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ ＝cos ( π12－θ )＝13.6．[2017·甘肃兰州检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案：A解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sinC ，等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ， 即tan A ＝1，所以A ＝π4.7．[2016·陕西宝鸡模拟]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．答案：58解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58.8．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案：－142解析：解法一：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝24.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144， ∴cos 2α＝－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ( α－π4 ) ＝－2×24×144＝－74， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.解法二：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋34＝72， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 9．[2017·安徽合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.10．[2017·湖南常德模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)，得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ等于( )A.23 B.43 C.34 D.32答案：D解析：由sin θ－cos θ＝－144，得 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.2．[2017·安徽十校联考]已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358 B.1＋538 C.1－358D.1－538答案：A解析：由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)， 即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358， 故选A.3．[2017·福建宁德一模]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________.答案：－53解析：∵sin α＋cos α＝33， 两边平方，得1＋sin 2α＝13，∴sin 2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝53，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝153， ∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝－153×33＝－53. 4．[2017·河北承德二模]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (2B )的取值范围．解：f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1＝－12.(2)由余弦定理及a cos C ＋c2＝b ，可得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又∵△ABC 是锐角三角形，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴π3<B ＋π6<2π3， 又f (2B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋12，∴1＋32<f (2B )≤32.∴f (2B )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1＋32，32.。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测23Word版含解析
课时跟踪检测(二十三)[高考基础题型得分练]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A BC D答案：A解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C. 2．[2017·山东济南模拟]将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin 2x ＋2 C ．y ＝cos 2x D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案：A解析：将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A. 3．[2017·辽宁丹东二模]函数y ＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π8 D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋7π16 答案：B解析：由题中图象可知，该函数的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－π8＝π，所以ω＝2ππ＝2.又当x ＝π8时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 解得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以所求函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选B.4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．－ 3 B.33 C ．1 D. 3 答案：D解析：由题意可知，该函数的周期为π2， ∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 5．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关 答案：C解析：π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，当x ＝π时，函数y 的值为0.故选C.6．[2017·广西第一次质检]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．f (x )＝34sin ⎝⎛⎭⎪⎫32x ＋π6B ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋15C ．f (x )＝45sin ⎝⎛⎭⎪⎫56x ＋π6D ．f (x )＝45sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －15答案：B解析：由题图可以判断|A |<1，T >2π，|ω|<1.f (0)>0，f (π)>0，f (2π)<0，只有选项B 满足上述条件．7．[2017·河北承德一模]已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 答案：D解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8．[2017·山西太原模拟]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫w >0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 答案：B解析：∵f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象， 又g (x )的图象关于原点对称， ∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴φ＝－π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2， ∴B 正确，D 错误．9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案：22 解析：―――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6 解析：据已知两个相邻最高点和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ， 又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12， 故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 11．[2017·辽宁抚顺一模]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2，点P (x 1,4)和Q (x 2,4)是函数f (x )图象上相邻的两个最高点，且|x 1－x 2|＝π，x ＝π3是函数f (x )的一个零点，则使函数f (x )取得最大值的最小正数x 0的值是________．答案：π12解析：由题意，可得A ＝4，2πω＝π， 所以ω＝2，f (x )＝4sin(2x ＋φ)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， 又0≤φ≤π2，所以φ＝π3，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.再根据sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝1，可得最小正数x 0＝π12.12．[2017·皖北协作区联考]已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称． 答案：①③④⑤解析：f (x )＝sin x ＋3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以①正确； 将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝1≠0， 所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3， 另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3，⑤正确． [冲刺名校能力提升练]1．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数 D ．把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象 答案：C解析：对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确； 把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错．2．[2017·江西南昌一模]如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )A B C D答案：C解析：如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N .又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称， 所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ， 所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B,2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 则x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T 2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x N －x M |＝T 2＝πω(常数)，故选C.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32 答案：D解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案：143解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴π3－π4≤πω，即ω≤12， 令k ＝0，得ω＝143.5．[2017·重庆巴蜀中学一模]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若关于x 的方程g (x )－(2m ＋1)＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π6.(2)通过平移，g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，方程g (x )－(2m ＋1)＝0有两个解可看成函数y ＝g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2和函数y ＝2m ＋1的图象有两个交点，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，为使直线y ＝2m ＋1与函数y ＝g (x )的图象有两个交点，只需52≤2m ＋1<5，解得34≤m <2.故实数m的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课时跟踪检测58 含
课时跟踪检测(五十八)1．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A．93 B．123C．137 D．167答案：C解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.2．如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在内，其分组为，则样本质量落在内的频数为( )A．10 B．20C．30 D．40答案：B解析：由题意，得组距为5，故样本质量在内的频率为1－0.3－0.5＝0.2，频数为100×0.2＝20，故选B.3．样本中共有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( )A.105B.305C. 2 D ．2答案：D解析：依题意，得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15×(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.4．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A. x ，s 2＋1002B. x ＋100，s 2＋1002C. x ，s 2D. x ＋100，s 2答案：D 解析：x ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，s 2＝110，月工资增加100元后：x ′＝x 1＋＋x 2＋＋…＋x 10＋10＝x 1＋x 2＋…＋x 1010＋100＝x ＋100，s ′2＝110＝s 2.故选D.5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o ＜xC ．m e ＜m o ＜xD ．m o ＜m e ＜x答案：D解析：30个数中第15个数是5，第16个数是6， 所以中位数m e ＝5＋62＝5.5，众数m o ＝5，平均值x ＝130×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)＝17930.∴m o ＜m e ＜x .6．下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是( ) A ．15名女生成绩的平均分为78 B ．17名男生成绩的平均分为77C ．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82,80D ．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重 答案：C解析：对于A,15名女生成绩的平均分为115×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A 正确；对于B,17名男生成绩的平均分为117×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，B 正确；对于C ，根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C 错误． 对于D ，观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D 正确． 7．若1,2,3,4，m 这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________． 答案：2解析：∵这5个数的平均数为3，∴1＋2＋3＋4＋m5＝3，∴m ＝5.故方差为2.8．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________．答案：甲解析：由茎叶图可知，甲监测点的数据较为集中，乙监测点的数据较为分散，所以甲地的方差较小．9．在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本的容量是________．答案：40解析：设中间小长方形的面积为S ，则S ＝13(1－S )，解得S ＝14，即中间一组的频率为14.又中间一组的频数为10， 所以样本容量＝频数频率＝1014＝40.1．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机调查了24名笔试者的成绩，如下表所示：A ．75B ．80C ．85D ．90答案：B解析：因为参加笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P ＝100400＝14， 因为随机调查24名笔试者，则估计能够参加面试的人数为24×14＝6，观察表格可知，分数在＝0.04.(2)年龄在[25,35)内的频率为0.04×5＋0.07×5＝0.55，人数为0.55×800＝440. 3．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：(1)(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测14文新人教A版
课时跟踪检测(十四)[高考基础题型得分练] 1．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案：D解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝e x ＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增， 此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x>0，解得x >2.2．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，52 答案：D解析：∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52，故选D.3．[2017·甘肃兰州高三诊断]定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e (e 为自然对数的底数)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b答案：A解析：当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，解得f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象上的点距离直线x ＝1越近，函数值越大，又log 28＝3，所以log 28>2－1e>2>1，得f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f (log 28)，故c <a <b . 4．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2) >e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2) <ex 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1) D ．ex 1f (x 2)与ex 2f (x 1)的大小关系不确定答案：A 解析：设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意g ′(x )>0， 所以g (x )单调递增， 当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即f x 1ex 1<f x 2ex 2，所以e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,2)答案：A解析：对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为{x |x >0}，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x <0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．6．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(0,1]D ．(－∞，0)∪[1，＋∞) 答案：D解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x <－1时，x 2>1，则有1a≤1，解得a ≥1或a <0.7．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案：(－3，－1)∪(1,3)解析：因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)；由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)．由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.8．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________． 答案：(0,1)解析：函数的定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．9．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立． 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.[冲刺名校能力提升练]1．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(0,3]答案：A解析：∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上函数f (x )是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.2. f (x )，g (x )(g (x )≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则f xg x<0的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3) 答案：C 解析：f xg x是奇函数， ∵当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x <0，则f xg x在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数．又f (－3)＝0，则有f －3g －3＝0＝f 3g 3，可知f xg x<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选C.3．[2017·河北衡水中学月考]已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e2 016f (0)答案：D 解析：令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x e x ′＝f ′x e x －f x ex′e 2x＝f ′x －f xex<0，所以函数g (x )＝f xex在R 上是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f 1e1<f 01，f 2 016e2 016<f 01，故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e2 016f (0)．4．[2017·河北“五个一”名校联盟一模]已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则平面区域⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，f 2a ＋b ≤1的面积是( )A ．2B ．4C ．5D ．8答案：B解析：由导函数的图象可知，函数f (x )在[－2,0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，∵a ≥0，b ≥0，∴2a ＋b ≥0. 又f (4)＝1，f (2a ＋b )≤1， ∴f (2a ＋b )≤f (4)， ∴0≤2a ＋b ≤4.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，0≤2a ＋b ≤4，画出图象如图所示，图中阴影部分的面积为S ＝12×2×4＝4，故选B.5．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.6．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0，当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝－1＋1－aa，x 2＝－1－1－a a.若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数．若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)上是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )>0，所以当a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数，当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0∪(0，＋∞)．。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测50 Word版含解析
课时跟踪检测(五十)[高考基础题型得分练]．双曲线－＝的实轴长是虚轴长的倍，则＝( )．．．答案：解析：双曲线的方程可化为－＝，∴实轴长为，虚轴长为，∴＝×，解得＝.．已知双曲线的渐近线方程为＝±，且经过点()，则的方程为()．－＝－＝．－＝－＝答案：解析：由题意，设双曲线的方程为－＝λ(λ≠)，因为双曲线过点()，则－＝λ，解得λ＝－，所以双曲线的方程为－＝－，即－＝.．[·吉林长春模拟]已知，是双曲线－＝(＞，＞)的两个焦点，以为直径的圆与双曲线的一个交点是，且△的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )．．．答案：解析：不妨设点位于第一象限，为左焦点，＝－，＝，＝＋，其中＞＞，则有(－)＋＝(＋)，解得＝，故双曲线的离心率＝＝.．[·安徽黄山一模]设，是双曲线－＝的两个焦点，是双曲线上的一点，且＝，则△的面积等于( )．．．．答案：解析：由已知，得(－)，()，＝.设＝，∵＝，∴＝.由双曲线的性质知－＝，解得＝.∴＝，＝，∴∠＝°，∴△的面积＝××＝，故选.．[·吉林长春二模]过双曲线－＝的右支上一点，分别向圆：(＋)＋＝和圆：(－)＋＝作切线，切点分别为，，则－的最小值为( )．．．．答案：解析：由题意可知，－＝(－)－(－)，因此－＝－－＝(－)(＋)－＝(＋)－≥－＝.故选.．已知椭圆＋＝(>>)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为；双曲线－＝(>，>)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为.则等于()．．答案：解析：由＝，得－＝，∴＝＝.由＝，得－＝，∴＝＝.。
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测53含解析
课时跟踪检测(五十三)［高考基础题型得分练］1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( ）A.错误!B.［－2,2]C．[－1,1］ D.［－4,4]答案：C2．已知P为双曲线C：错误!－错误!＝1上的点，点M满足|错误!｜＝1，且错误!·错误!＝0，则当|错误!｜取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( ）A。
错误! B.错误!C．4 D.5答案：B解析：由错误!·错误!＝0，得OM⊥PM。
根据勾股定理，求｜MP|的最小值可以转化为求｜OP｜的最小值,当|OP｜取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点（±3，0)，而双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝错误!,故选B。
3．若双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[3，＋∞）B 。
(3，＋∞）C ．(1，3］D 。
(1，3）答案：A 解析：依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±错误!x ，与抛物线方程联立消去y ,得x 2±b a x ＋2＝0. ∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝错误!－8≥0，求得b 2≥8a 2,∴c ＝错误!≥3a ，∴e ＝错误!≥3。
4．设F 1，F 2为椭圆错误!＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ,Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时,错误!·错误!的值等于（ )A ．0B.2 C ．4D.－2 答案:D解析：根据题意可知，当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时,四边形PF 1QF 2的面积最大．这时，F 1（－错误!，0),F 2(错误!,0），P （0,1），∴错误!＝（－错误!，－1）,错误!＝（错误!，－1)，∴错误!·错误!＝－2。
5．[2017·河南八市重点高中质量检测]已知椭圆错误!＋错误!＝1，左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点,则｜BF2|·｜AF2|的最大值为( ）A．3 B.6C．4 D.错误!答案：D解析：由题意知a＝2，c2＝a2－b2＝4－3＝1，则F1（－1,0)，当且仅当AB⊥x轴时，|AB｜取得最小值,为2×错误!＝3。
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测6文新人教A版
课时跟踪检测(六)[高考基础题型得分练]1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x答案：D解析：A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故既不是奇函数，也不是偶函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1 D ．7答案：A解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6答案：B解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x－1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，故选B. 4．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数答案：C解析：∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的最小正周期为π.5．[2017·湖北荆州模拟]已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1答案：D解析：因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3 x－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝1－ 3. 6．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案：A解析：由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2.又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98答案：A解析：∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.8．定义在(－1,1)上的函数f (x )＝－5x ＋sin x ，若f (1－a )＋f (1－a 2)>0，则实数a 的取值范围为________．答案：(1，2)解析：由题意知，函数f (x )为奇函数，在(－1,1)上单调递减，由f (1－a )＋f (1－a 2)>0，得f (1－a )>f (a 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1，解得1<a < 2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝________.答案：－1解析：因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，所以当x ∈(0,1)时，－x ∈(－1,0)，则f (x )＝－f (－x )＝－2－x－15.因为f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是周期为4的周期函数．而4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－2 －(log 220－4)－15＝－242log 220－15＝－1. 10．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．答案：f (1)>g (0)>g (－1)解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x－2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．11．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案：－32解析：函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )， 即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax，整理得e 3x＋1＝e2ax ＋3x(e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·陕西西安模拟]设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 答案：C解析：由f (2－x )＝f (x )可知，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． 2．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2答案：A解析：∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (2 014)＝f (2)＝2.3．[2016·广东惠州三调]如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12答案：A解析：由题中图象知，f (x )＝0有3个根0，a ，b ，a ∈(－2，－1)，b ∈(1,2)，g (x )＝0有3个根0，c ，d ，c ∈(－1,0)，d ∈(0,1)，由f (g (x ))＝0，得g (x )＝0或a ，b ，由图象可知g (x )所对每一个值都能有3个根，因而m ＝9；由g (f (x ))＝0，知f (x )＝0或c ，d ，由图象可以看出0时对应有3个根，d 时有4个，c 时只有2个，加在一起也是9个，即n ＝9，∴m ＋n ＝9＋9＝18，故选A.4．[2017·内蒙古包头模拟]若关于x 的函数f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin xx 2＋t(t ＞0)的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4，则实数t 的值为________．答案：2解析：由题意，f (x )＝tx 2＋2x ＋t 2＋sin xx 2＋t ＝t ＋2x ＋sin x x 2＋t ，显然函数g (x )＝2x ＋sin xx 2＋t是奇函数， ∵函数f (x )最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝4， ∴M －t ＝－(N －t )，即2t ＝M ＋N ＝4，∴t ＝2.5．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.6．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数， 且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|， 所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。
新教材高中数学课时跟踪检测五充分条件与必要条件新人教A版必修第一册(含答案)
新教材高中数学新人教A版必修第一册：充分条件与必要条件层级(一) “四基”落实练1．若p是q的充分条件，则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不正确解析：选B 由充分条件和必要条件的概念知选项B正确．2．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上均不正确解析：选A ∵x＞0⇒x≠0，∴x＞0是x≠0的充分条件．故选A.3．已知条件p：－1＜x＜1，条件q：x≥－2.则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不对解析：选B 由题意，得－1＜x＜1⇒x≥－2.即p⇒q，所以q是p的必要条件．4．(多选)以下选项中，是a＜0，b＜0的一个必要条件的为( )A．a－b＞0 B.ab<－1C．a＋b＜0 D．a＋2b＜1解析：选CD 由a＜0，b＜0，可得：a＋b＜0，a＋2b＜0＜1.而a与b大小关系不确定，ab＞0，因此是a＜0，b＜0的一个必要条件的为C、D.5．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为( ) A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}解析：选D 令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，∵p是q的充分条件，∴p⇒q，即A⊆B，∴m≥4.故选D.6．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．答案：(1)必要条件(2)充分条件7．已知条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为________．解析：∵条件p ：2k －1≤x ≤1－k ，q ：－3≤x ＜3，且p 是q 的必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1≤－3，3≤1－k ，解得k ≤－2.则实数k 的取值范围是{k |k ≤－2}．答案：{k |k ≤－2}8．指出下列各命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：x 2>0，q ：x >0；(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(3)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(4)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等．解：(1)p ：x 2>0则x >0或x <0，q ：x >0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y 且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．层级(二) 能力提升练1．(多选)若不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，则实数a 的取值范围可以是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≥1}C ．{a |3＜a ≤5}D ．{a |a ≤2} 解析：选ABC 不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，设x －2＜a 的解集为A ，则{x |0<x <3}是集合A 的真子集，∵A ＝{x |x <2＋a }，∴2＋a ≥3，解得a ≥1，则A 、B 、C 均正确．2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜1}，集合B ＝{x |－a ＜x －b ＜a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．{b |－2≤b ＜0}B ．{b |0＜b ≤2}C ．{b |－2＜b ＜2}D ．{b |－2≤b ≤2}解析：选C A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |b －a ＜x ＜b ＋a }．∵a ＝1⇒A ∩B ≠∅，又a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1＞－1，b －1＜1，解得－2＜b ＜2.∴实数b 的取值范围是{b |－2＜b ＜2}．故选C.3．已知圆B 在圆A 内，点M 是平面上任意一点，请从“充分”“必要”中选出适当的一种填空．(1)“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的________条件．(2)“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的________条件．解析：圆B 在圆A 内，将圆A ，圆B 内部的点组成的集合分别记为A ′，B ′，则有B ′A ′.(1)如图①，因为B ′A ′，所以x ∈B ′⇒x ∈A ′，但x ∈A ′x ∈B ′，所以“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的充分条件．(2)如图②，因为B ′A ′，所以∁U A ′∁U B ′，其中U 为整个平面区域内所有点组成的集合，故x ∈∁U A ′⇒x ∈∁U B ′，但x ∈∁U B ′x ∈∁U A ′，所以“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的充分条件．答案：充分 充分4．设α：0≤x ≤1，β：x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1，m ∈R ，若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{x |x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1}．因为α是β的充分条件，所以A ⊆B .①当2m －1＞－2m ＋1，即m ＞12时，B ＝R ，满足A ⊆B ； ②当m ≤12，即B ≠R 时，1＜2m －1或0＞－2m ＋1，m 无解． 综上可得，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＞12.层级(三) 素养培优练1．(1)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件？解：(1)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件，只需⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，只需－m 2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，当m ≥2时，“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件．(2)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件，只需{x |x ＜－1或x ＞3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2，这是不可能的．故不存在实数m 使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件．2．某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，特开设了一些社会活动小组，现有其中的甲、乙两组同学在参加社团活动中，设计了如下两个电路图．并根据在数学课上所学的充分条件与必要条件知识，提出了下面两个问题：(1)①中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？(2)②中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？你能根据本节课所学知识解答上述两个问题吗？解：(1)充分条件．(2)必要条件.。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测55含答案
课时跟踪检测（五十五)1．已知椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1（m〉0)，如果直线y＝错误!x 与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为（）A．2 B．22C．8 D．2错误!答案:B解析：根据已知条件得c＝16－m2,则点错误!在椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)上,∴错误!＋错误!＝1，可得m＝2错误!.2．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l,经过F且斜率为错误!的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（)A．4 B．3错误!C．4错误!D．8答案：C解析:∵y2＝4x,∴F(1，0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为3的直线l1：y＝3（x－1),与y2＝4x联立,解得A（3,2错误!），∴AK＝4,∴S△AKF＝错误!×4×2错误!＝4错误!.3．设A（x1，y1），B（x2,y2）是抛物线y＝2x2上的两点，直线l是AB的垂直平分线．当直线l的斜率为错误!时，直线l在y轴上的截距的取值范围是( )A。
错误! B.错误!C．(2,＋∞) D．（－∞，－1）答案：A解析：设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝错误!x ＋b，过点A，B的直线可设为y＝－2x＋m,联立方程错误!得2x2＋2x－m＝0，从而有x1＋x2＝－1，Δ＝4＋8m＞0,m＞－错误!，①又AB的中点错误!在直线l上，即m＋1＝－错误!＋b，得m＝b－错误!,将m＝b－错误!代入①，得b＞错误!,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是错误!。
4．经过椭圆错误!＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点,则错误!·错误!＝( ）A．－3 B．－错误!C．－错误!或－3 D．±错误!答案：B解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0）时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1）,即y＝x－1，代入椭圆方程错误!＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0,解得x＝0或x＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1），错误!，所以错误!·错误!＝－错误!，同理，直线l经过椭圆的左焦点时,也可得错误!·错误!＝－错误!. 5．已知斜率为2的直线l与双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)交于A,B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则C的离心率等于（）A．2错误!B．2C.错误!D。
2018年高考数学一轮复习 课时跟踪检测58 文 新人教A版
课时跟踪检测(五十八)[高考基础题型得分练]1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对答案：B解析：由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选B.2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件答案：D解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )A．0.45 B.0.67C．0.64 D.0.32答案：D解析：摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P ＝1－0.45－0.23＝0.32.4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D.1答案：C解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( )A ．甲获胜的概率是16B ．甲不输的概率是12C ．乙输的概率是23D ．乙不输的概率是12答案：A解析：“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P ＝1－12－13＝16，故A 正确；“乙输”等于“甲获胜”，其概率为16，故C 不正确；设事件A 为“甲不输”，则A 是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23或设事件A 为“甲不输”看作是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23，故B 不正确；同理，“乙不输”的概率为56，故D 不正确．6．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38 答案：C解析：将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为36＝12，故选C.7．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09 B.0.20 C ．0.25 D.0.45答案：D解析：设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x ，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.8．[2017·山西太原一模]某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.2536 答案：C解析：记(a ，b )为甲、乙摸球的编号，由题意得，所有的基本事件共有36个，满足a ≠b 的基本事件共有30个，故所求事件概率为3036＝56.9．某城市2016年的空气质量状况如下表所示：100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．答案：35解析：由题意可知2016年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.10．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．答案：35解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以p ＝610＝35.11．[2017·甘肃兰州诊断]从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率＝________.答案：13解析：从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于26＝13.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北大城一中月考]某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95 B.0.97 C ．0.92 D.0.08答案：C解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.2．[2017·福建福州质检]在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310 B.58 C.710 D.25答案：D解析：由题意得，从1,2,3,4,5任取两人，共有10种取法．选出的火炬手的编号相连时，共有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种取法，所以概率为P ＝410＝25，故选D.3．[2017·安徽合肥一模]某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( )A.13B.23C.14D.34 答案：B解析：由题意知，此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条．记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，共4个，所以P (M )＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23.4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．答案：0.35解析：“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，∴所求概率为1－P (A )＝1－0.65＝0.35.5．黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.。
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课时跟踪检测(五十五)
[高考基础题型得分练]
1．[2017·陕西西工大附中模拟训练]某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是( )
A ．这次抽样可能采用的是简单随机抽样
B ．这次抽样一定没有采用系统抽样
C ．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D ．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
答案：A
解析：利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A 正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B 错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C 和D 均错误，故选A.
2．将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A ．26,16,8
B.25,17,8 C ．25,16,9
D.24,17,9
答案：B
解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．
令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034
， 因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；
令300<3＋12(k －1)≤495，得1034
<k ≤42， 因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；
第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.
3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )
A ．7 B.9
C ．10
D.15
答案：C 解析：由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k
＝0,1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130
，又k ∈N ，故k ＝15,16，…，24，共10人．
4．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为( )
A ．10
B.12 C ．18
D.24
答案：A
解析：根据分层抽样的特征，从C 学校中应抽取的人数为90180＋270＋90×60＝10. 5．某学校对该校参加第二次模拟测试的2 100名考生的数学学科的客观题解答情况进行抽样调查，可以在每个试题袋中抽取一份(每考场的人数为30)，则采取________抽样方法抽取一个容量为________的样本进行调查较为合适．
答案：系统 70
6．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．
答案：37
解析：因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学．所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37.
7．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
答案：37 20
解析：将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；
由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄
段中抽取x 人，则40200＝x 100
，解得x ＝20. 8．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
答案：76
解析：由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
[冲刺名校能力提升练]
1．某校2017届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A ．11
B.12 C ．13
D.14
答案：B
解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从
编号1～480的人中，恰好抽取48020＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取24020
＝12(人)．
2．从一个容量为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同的方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )
A．p1＝p2<p3 B.p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2 D.p1＝p2＝p3
答案：D
解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3.
3．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( ) A．480 B.481
C．482 D.483
答案：C
解析：根据系统抽样的定义可知，样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
4．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样的方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
答案：50 1 015
解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015(小时)．
5．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动，每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的
，为了了解学生对本次活动
5
的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．
答案：36
解析：根据题意知，样本中参与跑步的人数为200×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－25＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5
＝36. 6．[2017·辽宁大连一模]据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 000人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1人为在校学生的概率．
解：(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，
∴120＋x 3 000
＝0.06，解得x ＝60， ∴持“无所谓”态度的人数共有3 000－2 100－500－120－60＝220，∴应在持“无所谓”态度的人中抽取220×3003 000
＝22(人)． (2)由(1)知，持“应该保留”态度的一共有180人，
∴在所抽取的6人中，在校学生人数有120180
×6＝4(人)， 将这4个人分别记为A ，B ，C ，D ，则社会人士人数有2人，分别记为a ，b ，
∴从这6人中随机抽取2人，所有的可能情况有：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，共15种．
其中恰有1人为在校学生的情形有：Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，共8种. 故所
求概率P ＝815
.。