fft 频谱栅栏效应修正

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数字信号处理实验：基于FFT谱分析中的误差分析及处理

学生实验报告2020 —— 2021 学年第 1学期实验课程数字信号处理实验地点主教414学院电子信息工程学院专业通信工程学号姓名实验项目基于FFT谱分析中的误差分析及处理实验时间10.20 实验台号预习成绩报告成绩一、实验目的1.在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写2.熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。

3.了解应用FFT对非周期信号进行频谱分析所面临的问题并掌握其解决方法。

二、实验原理对非周期序列进行频谱分析应注意的问题1、混叠三、预习内容1.混叠，泄漏，栅栏效应的概念2.应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法3.应用FFT对非周期信号进行频谱分析所面临的问题并掌握其解决方法4．傅里叶变换的相关性质四、实验内容（一）完成如下实验内容的学习和调试1. 对有限长序列进行谱分析（2）将上述有限长序列x(n)[1,2,3,2,1]末尾补零到N=1000点，使用FFT计算其频谱。

2. 对无限长序列进行谱分析用FFT进行无限长序列的频谱分析，首先要将无限长序列截断成一个有限长序列。

序列长度的取值对频谱有较大的影响，带来的问题是引起频谱的泄漏和波动。

已知一个无限长序列为, x(n)=0(n＜0),采样频率Fs=20Hz，要求用FFT求其频谱。

3. 对模拟信号进行谱分析（一）用FFT计算下列连续时间信号的频谱，并观察选择不同的Ts和N值对频谱特性的影响。

（二）记录实验图形结果并结合基本原理，理解每一条语句的含义；（三）讨论有限长序列谱分析时增加分辨率的措施和方法；（四）谈论连续信号谱分析时不同时域采样频率及点数N不同时对频谱分析的影响；（五）对模拟信号进行谱分析，选择采样频率Fs=64Hz，变换区间长度N分别取8、32和64，用FFT分析其频谱。

记录结果并对比、分析和讨论。

五、实验步骤Fs=10;xn=[1,2,3,2,1];N=length(xn);D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(1,2,1);plot(k*D,abs(X),'o:');title('幅度频谱');xlabel('rad/s');subplot(1,2,2);plot(k*D,angle(X),'o:');title('相位频谱');xlabel('rad/s');Fs=10;N=1000;xn=[1,2,3,2,1];Nx=length(xn);xn=[1,2,3,2,1,zeros(1,N-Nx-1)];D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(1,2,1);plot(k*D,abs(X)); title('幅度频谱');xlabel('rad/s'); subplot(1,2,2);plot(k*D,angle(X)); title('相位频谱');xlabel('rad/s');Fs=20;C=[8,16,128];for r=0:2;N=C(r+1);n=0:N-1;xn=exp(-0.5*n);D=2*pi*Fs/N;k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);X=fftshift(fft(xn,N));subplot(3,2,2*r+1); plot(k*D,abs(X));axis([-80,80,0,3]);subplot(3,2,2*r+2);stairs(k*D,angle(X));axis([-80,80,-1,1]);endT0=[0.5,0.25,0.125,0.125];N0=[256,256,2048,2048];for r=1:4;Ts=T0(r);N=N0(r);n=0:N-1;xn=exp(-0.5*n);D=2*pi/(N*Ts);xa=exp(-0.01*n*Ts).*(sin(2*n*Ts)+sin(2.1*n*Ts)+sin(2.2*n*Ts)); k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);Xa=Ts*fftshift(fft(xa,N));[r,Xa(1)]subplot(2,2,r);plot(k*D,abs(Xa));axis([1,3,1.1*min(abs(Xa)),1.1*max(abs(Xa))]);end六、总结分析1.离散时间信号的FFT变换，其频谱是以抽样点数N为周期的周期延拓2.当N2为N1的整数倍时，以为抽样点数的抽样的图形就是在以为抽样点数的抽样图形的每两个点之间插入N2/N1个点的谱图形。

FFT造成的频谱混叠，栅栏效应，频谱泄露，谱间干扰

FFT造成的频谱混叠，栅栏效应，频谱泄露，谱间干扰FFT造成的频谱混叠，栅栏效应，频谱泄露，谱间⼲扰fft在分析频谱分析的时候，会有下⼲四个⼲⼲的误差：（1）频谱混叠：奈奎斯特定理已被众所周知了，所以⼲乎所有⼲的都知道为了不让频谱混叠，理论上采样频谱⼲于等于信号的最⼲频率。

那和时域上联系起来的关系是什么呢？采样周期的倒数是频谱分辨率，最⼲频率的倒数是采样周期。

设定采样点数为N，采样频率fs，最⼲频率fh，故频谱分辨率f=fs/N,⼲fs>=2fh，所以可以看出最⼲频率与频谱分辨率是相互⼲盾的，提⼲频谱分辨率f的同时，在N确定的情况下必定会导致最⼲频率fh的减⼲；同样的，提⼲最⼲频率fh的同时必会引起f的增⼲，即分辨率变⼲。

（2）栅栏效应：由于dft是只取k=0,1,2,.......N-1,只能取到离散值，如果频谱之间相隔较⼲的话也许会将⼲些中间的信息丢失掉，⼲⼲fft计算dft是不可避免的，解决的办法就是增加采样点数N。

这样频谱间隔变⼲，丢失信息的概率减⼲。

另外，增加0可以更细致观察频域上的信号，但不会增加频谱分辨率。

（3）频谱泄露：是由加窗函数引起的，同样是计算量的问题（⼲fft⼲dft必需要加窗函数），时域上的相乘，频域上卷积，引起信号的频谱失真，只有在很少的情况下，频谱泄露是不会发⼲的，⼲部分情况都会引起泄露。

如x(n)=cos(2π/N),(n=0,1,2,3.....N-1,) N点的fft则不会发⼲泄露，但2N，或N+1，N+2等均会引起失真，⼲引起失真可以从表达式上可以看出 X(K)=卷积以后的频谱在2π/N*k的取样值，所以如果是2N 的dft，为2π/2N*K,相当于N点dft结果各个值中间再取样了⼲个值，⼲2π/(N+2)*k,就与N点fft完全不⼲样了。

解决办法，可以扩⼲窗函数的宽度（时域上的宽了，频域上就窄了，（时域频域有相对性），也就是泄露的能量就⼲了），或者不要加矩形的窗函数，可以加缓变的窗函数，也可以让泄露的能量变下。

频谱混叠、栅栏效应、频谱泄露、谱间干扰 (旁瓣效应、细化技术)

(d) 将移频后的数字信号再经数字低通滤波，滤去所需频带以外的信号；
(e) 对滤波后的信号的时间序列进行重采样，此时分析的是一段小频段为原来的1/M。这样在一小频段上采样，采样量还是N，但采样时间加了M倍，提高了分辩率。
细化FFT技术的应用：
一些不能增加总的采样点数而分辨率又要求精细的场合，细化FFT分析是很有用的。例如：（a）区分频谱图中间距很近的共振尖峰，用常规分析不能很好分开时，用细化分析就能得到满意的结果。（b）用于增加信噪比，提高谱值精度，这是由于细化时采用了数字滤波器，混叠与泄漏产生的误差都非常小;(c ) 用于分离被白噪声淹没的单频信号，由于白噪声的功率谱与频率分辨率有关，每细化一个2倍，白噪声的功率谱值降低3dB，若细化256倍，白噪声功率谱值即下降24 dB，而单频信号的谱线就会被突出出来。
解决办法，可以扩大窗函数的宽度（时域上的宽了，频域上就窄了，（时域频域有相对性），也就是泄露的能量就小了），或者不要加矩形的窗函数，可以加缓变的窗函数，也可以让泄露的能量变下。
因为泄露会照成频谱的扩大，所以也可能会造成频谱混叠的现象，而泄露引起的后果就是降低频谱分辨率。
频谱泄露会令主谱线旁边有很多旁瓣，这就会造成谱线间的干扰，更严重就是旁瓣的能量强到分不清是旁瓣还是信号本身的，这就是所谓的谱间干扰。
另外，增加0可以更细致观察频域上的信号，但不会增加频谱分辨率
答案是此时分辨率不变。从时域来看，假定要把频率相差很小的两个信号区分开来，直观上理解，至少要保证两个信号在时域上相差一个完整的周期，也即是相位相差2*pi。举个例子，假定采样频率为1Hz，要将周期为10s的正弦信号和周期为11s的正弦信号区分开来，那么信号至少要持续110s，两个信号才能相差一个周期，此时周期为10s的那个信号经历的周期数为11，而11s的那个信号经历的周期书为10。转化到频域，这种情况下，时域采样点为110，分辨率为1/110=0.00909，恰好等于两个信号频率只差（1/10-1/11）。如果两个信号在时域上不满足“相差一个完整周期“的话，补零同样也不能满足“相差一个完整周期”，即分辨率不发生变化。另外，从信息论的角度，也很好理解，对输入信号补零并没有增加输入信号的信息，因此分辨率不会发生变化。

实验二_应用FFT对信号进行频谱分析

1. 三、实验内容和结果:高斯序列的时域和频域特性:高斯序列的时域表达式:2(),015()0,n p q a e n x n -⎧⎪≤≤=⎨⎪⎩其它固定参数p=8,改变参数q 的值, 记录时域和频域的特性如下图。

图 1i. 结论: 从时域图中可以看到, q 参数反应的是高斯序列能量的集中程度: q 越小, 能量越集中, 序列偏离中心衰减得越快, 外观上更陡峭。

同时, 随着q 的增大, 时域序列总的能量是在增大的。

频域上, 对应的, 随着q 的增加, 由于时域序列偏离中心的衰减的缓慢, 则高频分量也就逐渐减, 带宽变小: 时域上总的能量增大, 故也可以看到低频成分的幅度都增大。

固定参数q, 改变参数p, 记录时域和频域的特性如下图 2.图 22. 结论: p 是高斯序列的对称中心, p 的变化在时域表现为序列位置的变化。

由于选取的矩形窗函数一定, p 值过大时, 会带来高斯序列的截断。

并且随着p 的增大, 截断的越来越多。

对应地, 看频域上的变化: 截断的越多, 高频的成分也在增多, 以至发生谱间干扰, 泄露现象变得严重。

从图中可以看到, 在p=13时, 已经有混叠存在。

当p=14时, 混叠进一步加大, 泄露变得更明显。

衰减正弦序列的时域和幅频特性:sin(2),015()0,n b e fn n x n απ-⎧≤≤=⎨⎩其它改变参数f, 记录时域和幅频特性如下图3.图 33. 结论: 随着f 的增大, 时域上可以看到, 序列的变化明显快多了。

从幅度谱上看, 序列的高频分量逐渐增多, 低频分量逐渐减小, 以至于发生严重的频谱混叠。

当f 增大到一定的程度, 从图中可以看到, f=0.4375和f=0.5625时的幅度谱是非常相似的, 此时已经很难看出其幅度谱的区别。

三角序列的时域表达式和对应的时域和幅频特性如图 4:c 1,03()8,470,n n x n n n n +≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它图 4结论: 随着fft 取点数的增多, 能够看到的幅度谱的频率分量变得丰富, 得到的是高密度更高的谱, 也就是减轻了栅栏效应。

对DFT(FFT)的一些理解

一、幅频图傅里叶反变换的实质是将已知信号分解成不同频率信号的组合，对于DFT由其反变换（公式(1)）可知，分解后信号的频率k*2π/N，n为时间，所以此时原来的信号，变成了一系列频率离散的信号的组合，所以在频域的图形（幅频图）是一个个离散的点，这点也可由正变换公式得。

由公式（2）对于每一个频率k*2π/N，计算结果都是一个点，同时每个频率的基本幅度是|X(k)|，为什么说基本幅度，因为这个幅度不是各个不同频率信号真正的幅度，由（1）式可以看出，前面还有一个1/N，又由于DFT的圆周对称性，当x(n)为实序列或者纯虚序列信号时，其DFT正变换结果的幅度是圆周对称的。

如下所示，下图是对两个正弦信号（一个50Hz，幅度3，一个75Hz，幅度1.5）与一个直流信号（幅度2）之和求解256点DFT，然后对其幅度求模所得的结果，由图可以看出，如果将这些点放在一个圆周上，他们是关于n=0对称的。

这相当于一个双边谱，频率的能量分成了对称的两部分。

所以其真正的幅度如下，当K不等于0时，频率k*2π/N的幅度等于2|X(k)|/N，K=0时，也就是直流信号的幅度为|X(k)|/N，N为计算DFT的点数。

而且最后结果只取前一半的频率点。

重新计算后得幅频图如下所示，与开始所设的信号幅度一致。

而当信号是复信号时则无对称性质。

例如，信号2+3*exp(j*2π*50*n)，真正的幅度就是|X(k)|/N，而且作图时不需要人工去掉后一半的点。

结果如下：另外，本人认为双边谱的结果只是计算的结果，并无实际物理意义，这与用虚指数信号表示的连续周期信号的傅里叶级数出现负频率类似，频率关于ω=0对称。

计算能量也就是真正的幅度时，要考虑到与真频率相对应的负频率。

对于对称性可以有以下的解释。

在傅里叶变换的层面上，总体的来说，因为傅里叶反变换就是把信号分解成以exp(jω)或者exp(jk*2π/N)为基本信号的组合，所以一个复指数信号就代表一个频率（其它复杂复信号可以由复指数信号合成），所以信号是复信号的时候没有对称性。

fft算法离散频谱校正

fft算法离散频谱校正FFT（Fast Fourier Transform）算法是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的算法。

它的主要思想是通过对称性将N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，再通过重组得到最终结果。

该算法的时间复杂度为O(NlogN)，相较于传统的DFT算法，其计算速度更快，因此广泛应用在信号处理、图像处理、通信等领域中。

离散频谱校正是指在频域中对信号进行处理，以消除或校正频谱中的不良效应。

在进行频域处理时，可能会出现混叠效应（频谱重叠）或频率偏移等问题，这会导致信号的失真或干扰。

离散频谱校正的目的就是通过一系列算法和技术，对频谱进行调整和修正，以恢复信号的原始特性。

离散频谱校正的方法有很多种，下面将简要介绍几种常见的方法。

1. 频谱外插频谱外插是一种常见的频谱校正方法，它通过在频谱中插入一定数量的零值来改变信号的频谱特性。

这样可以使频谱变得更加平滑，并且减小混叠效应。

频谱外插在FFT算法中很容易实现，只需要将原始信号补零到2的幂次方长度即可。

2. 频谱滤波频谱滤波是指通过滤波器对频谱进行处理，以去除或衰减不需要的频率分量。

常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。

滤波器可以选择不同的截止频率、通带宽度和阻带宽度，以满足不同的要求。

3. 频谱修正频谱修正是一种校正频谱幅度和相位的方法。

通常在进行频域分析时，频率响应对于不同频率的信号可能有不同的增益和相位差，这就需要进行补偿和修正。

频谱修正的方法包括经验修正和数学模型修正等，可以根据信号的特性进行选择。

4. 非线性变换非线性变换是一种通过对频谱进行非线性操作，以改变频谱特性的方法。

常见的非线性变换包括幂律变换、对数变换、绝对值变换等。

非线性变换可以改变频谱的动态范围和分辨率，从而提取出信号的细节或增强信号的特征。

5. 频率域插值频率域插值是指通过对频谱进行插值，以增加频率的分辨率或减小频率的间隔。

频谱泄露和栅栏效应

频谱泄露和栅栏效应
频谱泄露（Spectral Leakage）是指在进行离散傅立叶变换（DFT）或快速傅立叶变换（FFT）等频谱分析时，由于信号
不是完全周期的或者信号窗口不起作用等原因，导致信号的频谱泄露到相邻频率上的现象。

频谱泄露会导致原始信号的频谱图与实际频谱有所偏差，使得某些频率成分的能量被分散到相邻的频率上，影响频率分析的准确性。

特别是对于低频信号或者窄带信号，频谱泄露问题更加显著。

栅栏效应（Scalloping Effect）是频谱泄露的一种特殊形式，它在频谱图上表现为频率分量之间出现隔离的栅栏状结构。

栅栏效应是由于在信号窗口边界上进行截断造成的，可以看做是频谱泄露的一种形式。

栅栏效应会导致频谱分析的主瓣宽度变宽，频率分辨率下降，从而使得相邻频率成分之间难以区分。

栅栏效应也会干扰谱图的峰值测量和频率估计。

为了减少频谱泄露和栅栏效应的影响，可以使用窗函数来对信号进行加窗处理。

常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等，选择合适的窗函数可以使信号频谱的泄露和栅栏效应得到一定程度上的缓解，提高频谱分析的准确性。

学习笔记-信号处理 FFT频率修正方法

信号处理——FFT频率修正方法FFT频率修正.m算法比较分析-326 -v1.docx一、Ｒife算法Ｒｉｆｅ算法是利用ＤＦＴ最大谱线与次大谱线的比值来进行正弦波频率估计的。

利用次大谱线赋值Ａ２＝｜Ｘ（ｋ２）｜（ｋ２为次大赋值位置）与最大谱线赋值Ａ１＝｜Ｘ（ｋ０）｜的比值ａ＝Ａ２／Ａ１，得到信号的实际频率与估计频率之间的相对偏差δ＝ａ /１＋ａ＝Ａ２ /Ａ１＋Ａ２，根据δ得到精细的频率估计值：ｆ０＝（（ｋ０－１）±δ）Δｆ二、分段相位差法将N点序列分为两个等长的序列ｓ１（ｎ）和ｓ２（ｎ），分别进行Ｎ／２点ＤＦＴ，得到离散频谱。

分段相位差法是利用两段序列的ＤＦＴ最大谱线处的相位信息进行频率细估。

ｓ１（ｎ）和ｓ２（ｎ）初相相同可以通过相减来消除对初相的判断。

用三、二次频率内插利用二次逼近方程估计离散幅度谱的原貌，借助谱峰及其前后两个点，计算频率修正项，公式如下*S(km+1)1/2-Δk=-b/2a=1)-S(km+1)S(km--S(km1)-)/2S(km四、FFT系数插值法该算法首先利用FFT系数的实部和虚部序列索引出峰值谱线位置，然后根据峰值谱线的相位，选取实部与虚部序列中幅度较大的序列进行频率插值。

五、apFFT全相位运用 FFT 与 ApFFT 联合的相位差校正法校正幅值与频率。

分别提取谱峰处相位，计算频率修正项如下-(p1β=p2)/+(N)π/N1-k0六、参考1）《基于FFT幅度和相位插值的频率估计改进算法_马阳阳》2）《单频信号快速频率估计算法比较及改进_张昌菊》3）《基于改进ApFFT的动平衡信号检测算法_王相怡》4）《基于FFT系数的正弦信号频率估计算法_侯盼卫》。

13FFT谱分析中的栅栏效应

实验十三FFT谱分析中的能量泄漏一. 实验目的在理论学习的基础上，通过本实验加深学生对DFT和FFT变换中栅栏效应误差的理解，使学生对用FFT进行信号频谱分析过程中存在的问题有一个明确的认识。

二. 实验原理对采样信号的频谱，为提高计算效率，通常采用FFT算法进行计算，设数据点数为：N = T/dt = T.Fs (1) 式中T为观测的信号长度，dt为采样间隔，Fs为采样频率。

则计算得到的离散频率点为：Xs(fi) ，Fi = i . Fs / N , i = 0，1，2，…，N/2 （2）这就相当于透过栅栏观赏风景，只能看到频谱的一部分，而其它频率点看不见，因此很可能使一部分有用的频率成分被漏掉，此种现象被称为栅栏效应。

图1 FFT谱中的栅栏效应用505Hz正弦波信号的频谱分析为例，设定采样频率fs=5120Hz，取FFT计算点数为512，其离散频率点为：Fi = i.Fs/N = i.5120/512=10 ，i= 0，1，2，…，N/2位于505Hz 位置的真实谱峰被挡住看不见，看见的只是它们在相邻频率500Hz或510Hz处能量泄漏的值，从而造成分析误差。

三. 实验内容取不同采样频率对正弦波信号进行采样，用1024点FFT算法计算信号频谱，观察栅栏效应对频谱估计精度的影响。

四. 实验仪器和设备1. 计算机1台2. DRVI快速可重组虚拟仪器平台1套3. 打印机1台五. 实验步骤1.运行DRVI主程序，点击DRVI快捷工具条上的"联机注册"图标，选择其中的“DRVI采集仪主卡检测”或“网络在线注册”进行软件注册。

2.在DRVI软件平台的地址信息栏中输入WEB版实验指导书的地址，在实验目录中选择“FFT谱分析中的栅栏效应实验”，建立实验环境。

图2 FFT谱分析中的栅栏效应实验环境下面是该实验的装配图和信号流图，图中的线上的数字为连接软件芯片的软件总线数据线号，6006为定义的信号发生器的名字，**IC为使用的软件芯片。

实验二应用 FFT 对信号进行频谱分析

实验二应用 FFT 对信号进行频谱分析一、实验目的1、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉 FFT 算法及其程序的编写。

2、熟悉应用 FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。

3、了解应用 FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用 FFT 。

二、实验原理与方法一个连续信号 )(t x a 的频谱可以用它的傅立叶变换表示为⎰+∞∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j a a )()( （2-1）如果对该信号进行理想采样，可以得到采样序列)()(nT x n x a = （2-2）同样可以对该序列进行z 变换，其中T 为采样周期∑+∞-∞=-=n n z n x z X )()( （2-3）当 ωj ez =的时候，我们就得到了序列的傅立叶变换 ∑+∞-∞=-=n n j j e n x e X ωω)()( （2-4）其中ω称为数字频率，它和模拟域频率的关系为s f T Ω=Ω=ω（2-5）式中的s f 是采样频率。

上式说明数字频率是模拟频率对采样率s f 的归一化。

同模拟域的情况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅立叶变换称为序列的频谱。

序列的傅立叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系∑-=)2(1)(Tm j X T e X a j πωω （2-6）即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。

从式（2-6）可以看出，只要分析采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。

注意：这里的信号必须是带限信号，采样也必须满足 Nyquist 定理。

在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。

无限长的序列也往往可以用有限长序列来逼近。

对于有限长的序列我们可以使用离散傅立叶变换（DFT ），这一变换可以很好地反应序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是 N 时，我们定义离散傅立叶变换为：∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT K X （2-7）其中，N j N e W π2-=它的反变换定义为：∑-=-==10)(1)]([)(N k kn N W k X N k X IDFT n x （2-8）根据式（2-3）和（2-7）令 k N W z -=，则有)]([)()(10n x DFT W n x z X N n kn N W z k N ==∑-==- （2-9）可以得到 k N k N j W z W e z X k X k N -===-,)()(2π是 z 平面单位圆上幅角为k Nπω2=的点，就是将单位圆进行 N 等分以后第 k 个点。

提高FFT谱质量的一种新方法_陈奎孚

提高FFT 谱质量的一种新方法陈奎孚(中国农业大学工程基础科学部北京,100871)焦群英(中国惠普DSP 中心北京,100083)高小榕(清华大学电机系北京,100084)摘要　论述了D FT 连续性,并推出D FT 谱的插值公式。

提出了通过迭代确定D FT 的幅值极大值以寻找信号参数,并编制出寻找D FT 幅值峰值的抛物线迭代程序,该迭代只需几步即可得到相当准确的频率。

考察了D FT 的频率分辨力和精度。

比较了窗函数对D FT 精度影响,指出全景分析时采用汉宁窗,而局部分析时采用矩形窗。

关键词　信号处理　窗函数　FF T DF T 中图分类号　T N 911.72　T H 8651　DFT 连续性及其与FFT 的关系数学上对能量有限的信号x (t )的付里叶变换定义为X (k )=∫+∞-∞x (t )e-j k td t ,但实际的操作只能由[0,T ]区间上x (t )的信息来估计X (k ),即X ～(k )=∫Tx (t )e -j k td t (1)采用矩形积分公式近似式(1)有　X —(k )=ΔF ∑N -1i=0x i e -j k ti(2)其中:x i =x (i ΔF ),(i =0,1,…,N -1),ΔT =T /N 。

因离散X —(k )具有X ～(k )所不具有的周期性X —(k )=X —(k +2π/ΔF )(3)绘出X —(k )的各种图形,需计算出一定数量的X —(k ),而直接计算式(3)是很费力的。

FFT 算法巧妙地应用式(3)的周期性,大大降低了运算量,但正因为要利用式(3)的周期性,FFT 的N个k 只能选为k k =k Δk (k =0,1,…,N -1,Δk =2c /T ,Δf =1/T ),这就会产生如下两个问题:(1)　栅栏效应。

当信号频率对不准某一条谱线时,通常用邻近的一条谱线来近似。

这有时会成造很大误差,特别是相位误差可达90°。

栅栏效应数字信号处理术语

栅栏效应数字信号处理术语
基本概念
1. 栅栏效应：栅栏效应是一种数字信号处理领域常用的术语,指的是数
字信号经过多次重复采样的情况下,频率越来越接近抽样率的情况出现
的错误，是数字信号处理过程中的一种失真可能存在的情况。

2. 产生栅栏效应的原因：栅栏效应的产生主要是由于简单的抽样原理
和存在小数量级失真的示波器仪器不足。

其主要原因可以归结为：（1）抽样原理：在数字信号处理过程中，抽样原理是显而易见的，零点和
未采样的位置之间存在着差别，导致信号经过多次重复采样的情况下，可能会得到一个不正确的信号；（2）示波器仪器的精度不足：大多数
数字信号处理仪器都有一定的失真，而栅栏效应便是由此失真而产生的。

3. 栅栏效应产生的影响及处理：栅栏效应产生后，会使数字信号处理
结果发生变化，从而造成数字信号处理结果的不准确，严重时会造成
重要信号数据的丢失。

为了避免栅栏效应的产生，需要正确选择采样率，采用更精确的仪表，在数字信号处理时使用低失真的解调器进行
采样建模，以避免信号的重新抽样率过低而产生的误差；此外，可以
使用滤波器、插值器等技术进行栅栏效应去除。

FFT 谱分析中的栅栏效应

FFT 谱分析中的栅栏效应一、试验目的在理论学习的基础上，通过本实验加深学生对DFT和FFT变换中栅栏效应误差的理解，使学生对用FFT进行信号频谱分析过程中存在的问题有一个明确的认识.二、试验原理对采样信号的频谱，为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算，设数据点数为：N = T/dt = T.fs，则计算得到的离散频率点为：Xs(fi) ，fi = i.fs/N , i = 0，1，2，...N/2。

这就相当于透过栅栏观赏风景，只能看到频谱的一部分，而其它频率点看不见，因此很可能使一部分有用的频率成份被漏掉，此种现象被称为栅栏效应。

三、试验内容用505Hz正弦波信号的频谱分析来说明栅栏效应所造成的频谱计算误差。

设定采样频率:fs=5120Hz，软件中默认的FFT计算点数为512，其离散频率点为：fi = i.fs/N = i.5120/512=10 ，i= 0，1，2，....，N/2位于505Hz 位置的真实谱峰被挡住看不见，看见的只是它们在相邻频率500Hz 或510Hz处能量泄漏的值。

若设fs=2560Hz，则频率间隔df=5Hz，重复上述分析步骤，这时在505位置有谱线，我们就能得到它们的精确值。

从时域看，这个条件相当于对信号进行整周期采样，实际中常用此方法来提高周期信号的频谱分析精度。

四、程序代码及图形time1=0:1/5120:0.1;%采样频率为5120Hz;f1=0:10:5120;time2=0:1/2560:0.2;%采样频率为2560Hz;f2=0:5:2560;y1=sin(2*pi*505*time1);transf1=abs(fft(y1)/512);y2=sin(2*pi*505*time2);transf2=abs(fft(y2)/512);%对y2进行512点的傅里叶变换;subplot(221);plot(time1,y1);title('sin(2*pi*505*t1)');subplot(223);stem(f1(1:512),transf1(1:512));title('fs=5120');subplot(222);plot(time2,y2);title('sin(2*pi*505*t1)');subplot(224);stem(f2(1:512),transf2(1:512));title('fs=2560');观察在fs=5120和fs=2560点的放大图形，当fs=2560在505位置有谱线。

栅栏效应和分辨率

(一) 连续时间信号经采样、截断后的序列为Xn(n)，其频谱函数XN(ejw)，并不随序列末端补零而改变，信号的频率分辨率为Fs/N.序列末端补零只能提高信号频谱显示的分辨率。

换句话说，如果连续时间信号在离散化或时域加窗截断过程中，由于频谱泄漏或混叠等原因已造成信号频谱中信息的失真，则无论怎么补零做DFT，都无法再恢复已损失的信息。

提高信号的频率分辨率只有提高信号的采样频率或增加序列的截断长度N(信号的持续时间加长)。

1）数据后面补零-------不能提高信号的频率分辨率序列末端补零后，尽管信号的频谱不会变化，但对序列做补零后L点DFT后，计算出的频谱实际上是原信号频谱在[0,2*pi)区间上L个等间隔采样，从而增加了对真实频谱采样的点数，并改变了采样点的位置，这将会显示出原信号频谱的更多的细节。

故而数据后面补零可以克服栅栏效应。

2）数据间隔补零-------不能提高信号的频率分辨率3）数据插值相当于提高了信号的采样率，可以提高信号的频率分辨率（二）【原创】补零与离散傅里叶变换的分辨率[DSP] 发布时间：2009-11-21 19:57:52 离散傅里叶变换(DFT)的输入是一组离散的值，输出同样是一组离散的值。

在输入信号而言，相邻两个采样点的间隔为采样时间Ts。

在输出信号而言，相邻两个采样点的间隔为频率分辨率fs/N，其中fs为采样频率，其大小等于1/Ts，N为输入信号的采样点数。

这也就是说，DFT的频域分辨率不仅与采样频率有关，也与信号的采样点数有关。

那么，如果保持输入信号长度不变，但却对输入信号进行补零，增加DFT的点数，此时的分辨率是变还是不变？答案是此时分辨率不变。

从时域来看，假定要把频率相差很小的两个信号区分开来，直观上理解，至少要保证两个信号在时域上相差一个完整的周期，也即是相位相差2*pi。

举个例子，假定采样频率为1Hz，要将周期为10s的正弦信号和周期为11s的正弦信号区分开来，那么信号至少要持续110s，两个信号才能相差一个周期，此时周期为10s的那个信号经历的周期数为11，而11s的那个信号经历的周期书为10。

dsp作业——栅栏效应

栅栏效应1.定义N 点DFT 对应的频谱也是N 个点且只能是而（原始）无限离散序列对应的是一个连续频率区间。

因此，在DFT 中，只能得到此连续频率区间上等间距分布的频谱成分（如同在栅栏的一边通过缝隙看到另一边的景色，我们始终只能看到离散点处的景色），其余部分频率成分被遮挡，故称其为栅栏效应。

2.原理在计算N 点DFT 时，输出的N 个点相当于对信号的频谱进行了N 点等间隔采样。

这个采样间隔为：delta_f = fs / N其中fs 为采样频率，N 为采样点数。

如果输入信号中有两个信号，其频率间隔小于delta_f ，那么DFT 的输出将不能分辨出这个两个信号的频谱，这个现象就是栅栏效应。

解决栅栏效应的办法是增大N 至delta_f 小于信号之间的最小频率间隔。

3.计算假设有如下信号y = sin(2*pi*2*t) + sin(2*pi*2.05*t)这个信号的由两个信号组成，一个频率为2Hz, 另一个的频率为2.05Hz 。

这两个信号的频率差为0.05Hz 。

我们取采样频率fs=100。

4.程序clear all ;close all ;N=100;% N=10000;figuretest(N);function test(N)fs = 100;(0,1,,1)m m f m N N ==-∆n = 0:N-1;y = sin(2*pi*2/fs*n) + sin(2*pi*2.05/fs*n); W = exp(-sqrt(-1)*2*pi/N);Y = zeros(1,N);for i = 0:N-1p = 0;for j = 0:N-1p = p + W^(i*j) * n(i+1);endY(j+1) = p;endfft_y = abs(Y);subplot(2,1,1)plot(n,y);subplot(2,1,2)f = n * fs / N;plot(f,fft_y)end5.结果当N=100, delta_f=1 Hz, 不能分辨出这两个信号。

栅栏效应产生的原因和解决办法

栅栏效应产生的原因和解决办法
产生的原因：栅栏效应是因为DFT计算的频谱被限制在基频的整数倍而不可能将频谱视为一个连续函数而产生的。

就一定意义而言，栅栏效应表现为用DFT计算整个频谱时，就好像通过一个“栅栏”来观看一个图景一样，只能在离散点的地方看到真实图景。

改进的方法：增加频域抽样点数N，同时在不改变时域数据的情况下，在时域数据末端添加一些零值点，使得谱线更密，这样就可以减小栅栏效应，观察到原来看不到的频谱分量。

注意，该方法通过补零来增加N，此时采样频率f(s)会随之成正比上升，又由于频率分辨率F=f(s)/N，频率分辨率不改变，也就是说，补零不改变频率分辨率。

FFT算法设计简版修正

FFT算法设计简版修正快速傅立叶变换（FFT）算法是一种高效的计算离散傅立叶变换（DFT）的方法，通常比直接计算DFT要快得多。

FFT算法在信号处理、图像处理、通信等领域中得到广泛应用。

在本文中，我们将讨论一种简化版的FFT算法，并对其进行修正和优化。

首先，让我们回顾一下标准的FFT算法。

FFT算法的核心思想是将长度为N的DFT分解为长度为N/2的两个DFT，并且这个分解是递归进行的。

使用蝴蝶操作（Butterfly operation）来计算两个长度为N/2的DFT，然后将结果合并为长度为N的DFT。

该过程重复进行，直到长度为1、这样，FFT算法的时间复杂度可以降低到O(N*logN)。

对于简化版的FFT算法，我们将只考虑长度为2的幂次的N（即N=2^k，其中k为正整数）。

使用蝴蝶操作来计算DFT，核心操作为蝴蝶结的乘法和加法运算。

在合并两个长度为N/2的DFT时，需要对结果进行一定的调整以得到最终的DFT。

为了简化算法，我们可以采用迭代的方式来实现FFT。

首先将信号序列按照蝴蝶结的形式重新排列，然后进行迭代计算各层的蝴蝶操作，最后得到DFT的结果。

在计算DFT的过程中，可以利用位翻转（Bit-reversal）的方法来简化处理。

下面是简版FFT算法的伪代码实现：```pythondef fft(signal):N = len(signal)if N == 1:return signalelse:even = fft(signal[::2]) # 计算偶数部分的DFTodd = fft(signal[1::2]) # 计算奇数部分的DFTfor k in range(N//2):t = cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * odd[k] # 蝴蝶操作signal[k] = even[k] + tsignal[k + N//2] = even[k] - treturn signal```上述算法实现了简版FFT算法的迭代计算过程，其中signal为输入信号序列。

用FFT进行谱分析(zsyuan)

计算机作业：用FFT 进行谱分析1. 利用FFT 分析离散时间周期信号的频谱，通过实验理解分辨率的概念和栅栏效应。

设离散时间周期序列()cos(0.48)cos(0.52)x n n n p p =+ ，有限长序列()()()N x n x n R n = ，N 为序列长度。

参数选取：（1）设定序列()x n 长度N=10，对()x n 做10点DFT ，得到)(1k X ；（2）设定序列()x n 长度N=10，对()x n 补零后做100点DFT ，得到)(2k X ；（3）设定序列()x n 长度N=100，再做100点DFT ，得到)(3k X 。

要求：针对以上三种情况，分别输出1()X k 、2()X k 、3()X k ，并进行比较、分析和讨论。

分析：1、用DFT 计算频谱只是频谱的采样值，而不能够得到连续的频谱，即栅栏效应。

但它们的包络反映了真实的频谱。

栅栏效应可能造成一些重要的频率分量丢失，为减少这种效应，可在信号末端补零，使谱线变密。

2、10点DFT 不能将两个频率在频谱上分辨出来，而补零DFT 不能提高频谱分辨率，只能加频谱的采样点，使频谱看起来跟接近真实的频谱。

增加采样点（100点）后，频率分辨率得以大大提高，可以明显分辨出两个频点。

验证了频率分辨率公式f=1/NT.2．用FFT 对模拟信号做谱分析—理解频率分辨率和频谱泄漏的概念。

设)50cos()100sin()200cos()(t t t t x a πππ++=，用FFT 分析)(t x a 的频谱结构，选择不同的截取长度Tp ，观察截断效应，试用加窗的方法减少谱间干扰。

第一步：对模拟信号进行采样，采样频率400s f Hz =，采样间隔 1/s T f =，得到采样序列()()a x n x nT =；第二步：对采样序列加窗，得到()()()()()a v n x n w n x nT w n ==，)(n w 是窗函数，长度记为N ，则得到的序列()v n 长度为N ，对应的时间长度记为pT ，二者的关系为ps T f N =；第三步：对()v n 做2048点DFT ，得到的数字谱()V k ，作为()a x t 的近似频谱。