第2章 流体静力学

第2章流体静力学

第二章流体静力学

流体静力学主要研究流体在静止状态下的平衡规律及其工程应用。由于静止状态下流

体之间及流体与物面之间的作用是通过静压力的形式来表现的。所以，本章的中心问题是

研究静止状态下静压力的分布规律，进而确定静止流体作用物面上的总压力，用以解决工

程实际问题。

流体静力学中所说的静止是指流体质点间没有相对运动的状态。所以，流体的静止包

含以下两种情况：流体整体对地球没有相对运动的所谓绝对静止；流体整体对地球有相对

运动，但流体质点之间没有相对运动的所谓相对静止。

流体静止时，流体质点之间没有相对运动，所以粘滞性在静止流体中显现不出来。因此，本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。

§2－1 流体静压力及其特性

一、静压力

在静止流体中，不存在切应力。因此，流体中的表面力就是沿受力面法线方向的正压

力

或法向力。设在作用微元面积△A上的法向力为△P，则极限

ΔP （2－1）

ΔA?0ΔA就是流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压强，称为流体静压力，简称压力，用p表示。其单位为N/m2，称为帕斯卡，简称帕（Pa）。作用在某一面积上的静压力的合力称为总压力，以P表示，其单位为牛顿（N）。

常用的压力单位有：帕(Pa)、巴(bar)、标准大气压(atm)、毫米汞柱(mmHg)、米水柱(mH2O)，其换算关系为：1bar=1×105 Pa；1atm=1.01325×105 Pa；1atm=760 mmHg；

1atm=10.34 mH2O；1mmHg=133.28Pa；1mH2O=9800Pa。由此可见静压力的单位非常的小，

所以在工程实际中常用的单位是kPa(103Pa）或MPa(106Pa)。

p=lim二、静压力的两个重要特性

特性之一：静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直地指向作用面。

证明：一方面，流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向；另一

方面，流体不能承受拉力，只能承受压力。所以，静压力唯一可能的方向就是内法线方向。

由这一特性可知，在流体与固体的接触面上静压力将垂直于接触面，见图2－1。

? ? 图2-1 静压力垂直于作用面

特性二：静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关。证

明：在静止流体中任取出如图2－2所示的，棱长为dx、dy、dz的微元正四面体oABC，取

其内的静止流体为研究对象。建立一个与其三个相互垂直的三个棱相重合的直角坐标系，

以px、py、pz和pn依次表示作用在三个坐标面和△ABC上的静压力，用Px、Py、Pz和

Pn依次表示作用在这四个面上的总压力。由于dx、dy、dz的大小是任取的，所以

z dz py dx o x A pz dy B y pn px △ABC的外法线方向n也是任意的。

流体处于静止状态时，作用在流体上的合外力在任一个方向的分量都应为零。首先分

析流体在x方向的受力，作用在流体上的质量力在x方向上的分量可表示为

1Fx=Xρdxdydz。

6式中X表示作用在单位质量流体上的质量力在x方向上的分量。同时，作用在流体

上的表面力在x方向分量不为零的只有△oBC和△AB C上的总压力，即

Px?和

Pncos(n,x)=(pnSΔABC)cos(n,x)

图2－2 静压力特性二

1pxdydz。 2 =pn[SΔABCcos(n,x)] =pnSΔoBC

1pndydz。 2注意，在这一公式的推导过程中利用乘法的结合律将力的投影转换成了

面积的投影。由于流体处于静止状态，其在x方向的合外力应为零，即

=111pxdydz?pndydz?Xρdxdydz=0。 226令dx、dy、dz趋于零，即四面体缩小到原点o时，

忽略高阶小量dxdydz则可得

px=pn。

同理，分析y和z方向上的受力及静止条件可得

py=pn； pz=pn，

即

px=py=pz=pn=p （2－2）由于方向n代表任意方向，所以

上式表明：静止流体中任意一点上的流体静压力，无论来自何方均相等，或者说与作用方

向无关。p代表一点处的流体静压力，永远为正值。因此，在连续介质中研究一点的静压

力p时不必考虑其作用方向，只需计算或测量出其在空间的分

布函数p=p(x, y, z)即可。

§2－2 流体平衡方程

一、流体平衡微分方程式的建立（标题位置提到这里）

通过分析静止流体中流体微团的受力，可以建立起平衡微分方程式，然后通过积分便

可

得到各种不同情况下流体静压力的分布规律。因此，首先要建立起流体平衡微分方程式。现在讨论在平衡状态下作用在流体上的力应满足的关系，建立平衡条件下的流体平衡

微分方程式。（删除这段话中红字部分的内容）

在静止流体中任取出棱长各为dx、dy、dz的微元正六面体，如图2－3所示，并建立

图示的直角坐标系。

首先，我们分析作用在这个微元六面体内流体上的力在x方向上的分量。微元体以外

的流体作用于其上的表面力均与作用面相垂直。因此，只有与x方向相垂直的前后两个面

上的总压力在x轴上的分量不为零。设六面体中心点A处的静压力为p(x，y，z)，则作用在A1和A2点的压力可以表示为

z p1 A1・ A・・A2 dy p2 x 图2－3 六面体受力分析 dx dz ?pdx?pdx；

p2=p?。 ?x2?x2所以作用在A1和A2点所在面上的总压力分别为

p1=p?1?p1?p(p?dx)dydz、(p?dx)dydz。

2?x2?xo y 微元体内流体所受质量力在x方向的分力为Xρdxdydz，由于流体处于平

衡状态，则

1?p1?p(p?dx)dydz?(p+dx)dydz+Xρdxdydz=0。

2?x2?x用ρdxdydz除上式，简化后得

?1?p=0?ρ?x??1?p=0?。（2－3）同理，在y、z方向，可得

Y? ρ?y??1?pZ?=0?ρ?z?X?这就是1755年由欧拉建立的流体平衡微分方程式，又称为欧

拉平衡方程式。根据这个

方程可以解决流体静力学中许多基本问题，它在流体静力学中具有重要地位，既适用

于绝对静止状态也适用于相对静止状态。同时，推导中也没有考虑整个空间密度ρ是否

变化及如何变化，所以它不但适用于不可压缩流体，而且也适用于可压缩流体。该方程的

物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相平衡。