第二章 流体静力学-1概要
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第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第2章流体静力学1
P A
dP dA
B
A pn p
N
N'
p
1、静止流体表面应力只能是压应力或压 强，且静水压强方向与作用面的内法 线方向重合。
2、作用于静止流体同一点压强的大 小各向相等，与作用面的方位无关。
即有：
p x p y p z pn
证明：由于液体处于平衡状态，则有 F 0 ，即各向分力投影之和亦为
测压管水头（ Z + p/ ρg ）：单位重量液体的总势能。
p1/ρ
g
注意：位置水头和压强 水头都属于比能。 水头计算是对被研究流 体而言的，测量压强时 的工作流体可能与被测 流体不同。 (2) (1)
h
p2/ρg
Z1
Z2
o
o
• 重力作用下静水压强的分布规律
静水力学基本方程又可写为：
p g
zc
第2章 流体静力学
第一节 静止流体中应力的特性 第二节 流体平衡微分方程 第三节 重力场中流体静压强的分布规律 第四节 流体静力学基本方程讨论 第五节 作用在平面壁上的静水总压力 第六节 作用在曲面壁上的静水总压力
第一节 静止流体中应力的特性
一、静水压强的定义：
p lim
二、静水压强的特性：
A 0
p p 0 U U 0
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
• 流体静力学的基本方程：反映静止流体中某一点的静水 压强的大小与该点空间坐标的关系。
质量力：
X Y 0，Z g
z p0
h
H A
流体平衡微分方程的全微分式
dp ( Xdx Ydy Zdz )
压强
真空度pv
第二章-流体静力学
第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。
计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。
（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。
（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。
求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。
压⼒体内不⼀定有液体。
正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。
（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开，把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小，
p1 p2
证明：从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积：
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ，液体所受旳质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 旳，故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
第二章流体静力学
当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn
即
p=p(x,y,z)
§2-2 流体的平衡微分方程及积分
一、流体的平衡微分方程
在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面
体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
1 p
fz z 0
上式也可用矢量方程表示：
虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。
A
A
B
B
例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆 柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分 力Px和竖直分力Pz 。
a
d d/2
b 水
水 c
[解] 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
考虑左侧水的作用
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
四.等压面
1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。
2.等压面微分方程
f xdx f y dy f z dz 0
或
f•
ds
0
3.等压面的性质
(1)等压面与等势面重合;
(2)等压面恒与质量力正交。
其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。 当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。
对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩 形两部分进行计算后，最后利用合力矩定理求总压力作用点。
例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受 力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求： （1）每根横梁所受静水总压力的大小； （2）各横梁至水面的距离。
水力学课件第二部分 流体静力学
a A 式中：Ix= ∫y2dA , 为受压平面面积对Ox轴的惯 性矩。所以 ρgsin αIx ρgsin αIx Ix yD = = = FD ρgsin αyc A yc A 根据惯性矩的平行移轴定理，有
Fp • yD = ∫ ydFp = ∫ yρgysin αdA = ρgsin α∫ y2dA = ρgsin αI x
上式表明：作用在圆柱形曲面上液体总压力的铅 垂分量的大小等于压力体体积的液体重量，Fpz 的作用线通过压力体的重心；Fpz的方向取决于 液体与曲面表面的相互位置 。
A z
强大小和方向的图称静压强分布图。在实际工程 P A 中，常用静压强分布图来分析问题和进行计算。 对于气体来说，静压强分布图很简单。对于液体 来说，如前所述，在计算时常用相对压强，所以 在这里介绍按式（1-9）绘制相对压强分布图。 h 设铅垂线AB为承受静压强的容器侧壁的侧影， H 如图1-3所示。AB线上各点的静压强大小为γhi， 且垂直于AB线，如图所示。在AB线上各点的每一 γ h 点上各绘亦垂直AB线的γhi线段，等于各该点上 的静压强，这些线段的终点将处在一条直线AC上。 三角形ABC图就是铅垂线AB上的静压强分布图。 事实上，由式（1-9）知，当液体重度γ为常数 C B 时，静压强p只是随淹没深度h而变化，两者成直 γH 线关系。因此，在绘制静压强分布图时，只需在 A、B两端点上绘出静压强值后，连以直线即可。
对于静止流体中任意两点来说，上式可写为：
z1 + p1
γ
= z2 +
p2
γ
(1-13)
或 p2=p1+γ(z1-z2)=p1+γh (1-13a) 式中z1、z2分别为任意两点在z轴上的铅垂坐标 值，基准面选定了，其值就定了；p1、p2份别为 上述两点的静压强；h为上述两点间的铅垂向下 深度。上述两式即为流体力学基本方程，在水力 学中又称水静力学基本方程。Z的物理意义是： p γ 单位重量流体从某一基准面算起所具有的位能， 因为对重量而言，所以称单位位能。的物理意义 是：单位重量流体所具有的压能，称单位压能。 因此流体静力学基本方程的物理意义是：在静止
Fp • yD = ∫ ydFp = ∫ yρgysin αdA = ρgsin α∫ y2dA = ρgsin αI x
上式表明：作用在圆柱形曲面上液体总压力的铅 垂分量的大小等于压力体体积的液体重量，Fpz 的作用线通过压力体的重心；Fpz的方向取决于 液体与曲面表面的相互位置 。
A z
强大小和方向的图称静压强分布图。在实际工程 P A 中，常用静压强分布图来分析问题和进行计算。 对于气体来说，静压强分布图很简单。对于液体 来说，如前所述，在计算时常用相对压强，所以 在这里介绍按式（1-9）绘制相对压强分布图。 h 设铅垂线AB为承受静压强的容器侧壁的侧影， H 如图1-3所示。AB线上各点的静压强大小为γhi， 且垂直于AB线，如图所示。在AB线上各点的每一 γ h 点上各绘亦垂直AB线的γhi线段，等于各该点上 的静压强，这些线段的终点将处在一条直线AC上。 三角形ABC图就是铅垂线AB上的静压强分布图。 事实上，由式（1-9）知，当液体重度γ为常数 C B 时，静压强p只是随淹没深度h而变化，两者成直 γH 线关系。因此，在绘制静压强分布图时，只需在 A、B两端点上绘出静压强值后，连以直线即可。
对于静止流体中任意两点来说，上式可写为：
z1 + p1
γ
= z2 +
p2
γ
(1-13)
或 p2=p1+γ(z1-z2)=p1+γh (1-13a) 式中z1、z2分别为任意两点在z轴上的铅垂坐标 值，基准面选定了，其值就定了；p1、p2份别为 上述两点的静压强；h为上述两点间的铅垂向下 深度。上述两式即为流体力学基本方程，在水力 学中又称水静力学基本方程。Z的物理意义是： p γ 单位重量流体从某一基准面算起所具有的位能， 因为对重量而言，所以称单位位能。的物理意义 是：单位重量流体所具有的压能，称单位压能。 因此流体静力学基本方程的物理意义是：在静止
第二章流体力学流体静力学(1)PPT课件
2
第二章 流体静力学
第一节 作用于流体上的力 第二节 流体静压强特性 第三节 流体平衡微分方程 第四节 静止流体压强的分布
一、重力作用下静水压强的分布规律 二、压强的表示方法及单位 三、相对平衡流体静止压强分布
第一节 作用于流体上的力
3
一、分类
1 、按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。 2 、按作用方式分：质量力和面积力。
的两种流体的交界面。
设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：
y向受力： 表面力
(
p
p y
d2y)dxdz
(
p
p y
d2y)dxdz
D'
z
A'
p dy
p y 2
dz p(x,y,z) B' M
dx D dy
A
B
C'
p dy
p y 2
C
y
质量力：Ydxdydz
o
x
理解
第三节 流体流动平衡微分方程
根据平衡条件，在y方向有Fy=0，即：
,
p y
,
p z
）等于
该轴向单位体积上的质量力的分量（X, Y, Z）。
第三节 流体流动平衡微分方程
二、流体平衡微分方程的综合式
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
Z
1
p z
0
∵p = p(x,y,z)
∴压强全微分 dppdxpdypdz x y z
（1）式各项依次乘以dx,dy,dz后相加得：
受的单位质量力大小（x、y、z）分别为多少？
第二章流体静力学1
1
r1
1
h
2
r2
p 2 h
( 2 1 )h 0
由于液体容重不等于零，要满足上式，则必须Δh=0， 即分界面是水平面，不可能是倾斜面。 分界面既是水平面又是等压面。
分界面和自由面是水平面这一规律是在静止、 同种、连续液体的条件下得到的。如不能同时 满足这三个条件，就不能应用上述规律。
第一节
流体静压强及其特性
流体静压强的定义
P p A
P p lim Aa A
流体静压强的单位: Pa MPa bar kgf/m2
atm
at
流体静压强的特性
流体静压强的方向与作用面垂直，并指向 作用面——作用面的内法线方向。 流体在静止时不能承受拉力和切力。
任意一点各方向的流体静压强大小相等， 与作用面的方位无关。
3
气体压强计算
以上规律，虽然是在液体的基础上提出来 的，但对于不可压缩气体仍然适用。
由于气体容重很小的特点，在高差不大的 情况下，气柱产生的压强值很小，因而可 忽略γh的影响． 空间中各点气体压强相等。
等密面是水平面
静止均质流体的水平面是等压面，静止非均质流体呢？ 取水平轴线的微小圆柱体 沿轴向外力的平衡，表现为两端面压力相等
d
dp
dV V dp
ห้องสมุดไป่ตู้热胀系数α：温度增加1K时，密度或液体体积
的相对变化率
dV V dT dT d
四、表面张力特性
定义：由于分子间的吸引力， 在液体的自由表面上能够承受
的及其微小的张力。
表面张力系数σ，单位(N/m)。 上升或下降的高度h
r1
1
h
2
r2
p 2 h
( 2 1 )h 0
由于液体容重不等于零，要满足上式，则必须Δh=0， 即分界面是水平面，不可能是倾斜面。 分界面既是水平面又是等压面。
分界面和自由面是水平面这一规律是在静止、 同种、连续液体的条件下得到的。如不能同时 满足这三个条件，就不能应用上述规律。
第一节
流体静压强及其特性
流体静压强的定义
P p A
P p lim Aa A
流体静压强的单位: Pa MPa bar kgf/m2
atm
at
流体静压强的特性
流体静压强的方向与作用面垂直，并指向 作用面——作用面的内法线方向。 流体在静止时不能承受拉力和切力。
任意一点各方向的流体静压强大小相等， 与作用面的方位无关。
3
气体压强计算
以上规律，虽然是在液体的基础上提出来 的，但对于不可压缩气体仍然适用。
由于气体容重很小的特点，在高差不大的 情况下，气柱产生的压强值很小，因而可 忽略γh的影响． 空间中各点气体压强相等。
等密面是水平面
静止均质流体的水平面是等压面，静止非均质流体呢？ 取水平轴线的微小圆柱体 沿轴向外力的平衡，表现为两端面压力相等
d
dp
dV V dp
ห้องสมุดไป่ตู้热胀系数α：温度增加1K时，密度或液体体积
的相对变化率
dV V dT dT d
四、表面张力特性
定义：由于分子间的吸引力， 在液体的自由表面上能够承受
的及其微小的张力。
表面张力系数σ，单位(N/m)。 上升或下降的高度h
第2章 流体静力学
第2章流体静力学第2章流体静力学第二章静水力学流体静力学主要研究流体在静止状态下的平衡规律及其工程应用。
由于静止状态下流体之间及流体与物面之间的作用是通过静压力的形式来表现的。
所以，本章的中心问题是研究静止状态下静压力的分布规律，进而确定静止流体作用物面上的总压力，用以解决工程实际问题。
静水力学中的静止是指流体粒子之间没有相对运动的状态。
因此，流体静止包括以下两种情况：所谓的绝对静止，即流体作为一个整体与地球没有相对运动；流体作为一个整体对地球有相对运动，但流体粒子之间没有相对运动。
流体静止时，流体质点之间没有相对运动，所以粘滞性在静止流体中显现不出来。
因此，本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。
§2-1静水压力及其特性一、静压力在静止的流体中，没有剪切应力。
因此，流体中的表面力是沿受力表面法向的正压力或法向力。
设在作用微元面积△a上的法向力为△p，则极限δp（2－1）δa?0δa就是流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压强，称为流体静压力，简称压力，用p表示。
其单位为n/m2，称为帕斯卡，简称帕（pa）。
作用在某一面积上的静压力的合力称为总压力，以p表示，其单位为牛顿（n）。
常用的压力单位有：PA、bar、ATM、mmHg和mh2o。
换算关系为1bar=1×105pa；1atm=1.01325×105pa；1atm=760mmhg；1atm=10.34mh2o；1mmhg=133.28pa；1mh2o=9800pa。
可以看出，静压单位非常小，所以工程实践中常用的单位是kPa（103pa）或MPa（106pa）。
p=lim二、静压力的两个重要特性其中一个特点是：静压遵循作用面内部法线的方向，即它垂直指向作用面。
证明：一方面，流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向；另一方面，流体不能承受拉力，只能承受压力。
所以，静压力唯一可能的方向就是内法线方向。
第二章 流体静力学
2、作用于六面体的质量力 x轴向
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
X dxdydz
x轴向的平衡 1 p 1 p (p dx)dydz ( p dx)dydz X dxdydz 0 2 x 2 x
X
p 0 x
同理
p Y 0 y p Z 0 z
流体平衡微分方程式 （欧拉平衡方程）
第二节 流体静压强的分布规律
三、气体压强计算
前述规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可 压缩气体仍然适用。 由于气体密度很小的特点，在高差不是很大的情况下，气 柱产生的压强很小，因而可以忽略ρg h的影响，即 p= p0 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、测压管、 锅炉等上部的气体空间，就认为各点的压强是相等的。
第一节 流体静压强及其特性
二、流体静压强的特性
（1）静压强的垂向性。 流体静压强总是沿着作用面 的内法线方向。 （2）静压强的各向等值性。 在静止或相对静止的流体中，任一点的流体静压强的大小与 作用面的方向无关，只与该点的位置有关，即同一点上各个 方向的流体静压强大小相等。
第一节 流体静压强及其特性
第七节 液体平衡微分方程
p 0 x p Y 0 y p Z 0 z
X
指出流体处于平衡状态时，作用于 流体上的质量力与压强递增率之间 的关系。它表示单位体积质量力在 某一轴的分力，与压强沿该轴的递 增率相平衡。
1 p x 1 p Y y 1 p Z z X
水头。 p Z ：测压管水面相对于基准面的高度，测压管水头。 g
所谓测压管是一端和大气相通，另一端和液体中某一点相 接的管子。 两水头相加等于常数，表示在同一容器的静止液体中所有 各点的测压管水面必然在同一水平面上。
第二节 流体静压强的分布规律
第2章流体静力学
X = 0,Y = 0, Z = −g
代 dp = ρ(X + Y + Z ) 入 dx dy dz (2.16) 得 dp = −ρ gdz = −γdz
z
积 得 分
p = −ρgz +c = −γz +c
'
'
0 y
x
移项整理得
p p z+ = c 或 z + =c ρg γ
重力作用下的静止流体
(2.27)
p = p0 + ρg(z0 − z) = p0 + ρgh
(2.30)
或
p = p0 +γ (z0 − z) = p0 +γh
(2.31 )
2.4.2 静力学方程的 能量意义与几何意义 如下图所示， 如下图所示，一个 盛水的容器，两侧开两 盛水的容器， 个口， 个口，一个口接一根抽 成真空的管子， 成真空的管子，另一个 口所接管子的一端通大 气。 对容器中A 对容器中A、B两点 应用式 2.28）， ），得 应用式（2.28），得
z dx
表面力—作用在所研究流体体积表面上的力 表面力 作用在所研究流体体积表面上的力
τ
dz dpx’ dy
dpx
τ τ
τ
C
●
0 y x
z y
x
微小平行六面体受力（ 方向） 图2-3 微小平行六面体受பைடு நூலகம்（沿x方向）
↓
2.2 流体静压强及其特性 2.2.1 流体静压强的概念
↑
流体静压强——单位面积上的流体静压力 单位面积上的流体静压力 流体静压强
∂p dx ∂p dx (p− )dydz −( p + )dydz + Xρdxdydz = 0 ∂x 2 ∂x 2
第二章 流体静力学_zzx_1
证明：
在静止液体内任取一分界面N-N，如图所示 ： 设想作用于该面上某点压强p的方向为任意方
B
向，该压强p可分解为垂直分量pn和切向分量τ。
显然，在pn和τ作用下，液体将失去平衡而流 动，这与静止液体的假设相违背。只有当τ ＝0， 才不会使液体流动而保持静止或平衡状态。
A pn p
N
N'
p
§2一1 流体静压强特性
p
F A
F dF p lim ( Pa) A0 A dA
F pdAn ( N )
A
表明：流体静压力的大小是用微元面积乘以面上任何
一点的流体静压强。
§2—0 流体静力学
流体静力学主要研究静止流体处于力学平衡的一般条件和流体中 的压强分布规律。 • 注意：由于平衡流体之间无相对运动，流体的粘性不起作用。所以， 流体静力学中所得出的结论，对于理想流体和粘性流体都适用。理论 不需要实验修正。
Z
z
Gz G
o
§2一3 流体静力学基本方程
o
流体静力学基本方程的物理意义（physical property）
3、 z
势能。
p ρg
：单位重量流体所具有的势能（potential energy） ，称单位
4、流体静力学基本方程的物理意义是：在静止流体中任一点的单位位能 与单位压能之和，亦即单位势能为常数。
§2—0 流体静力学
3、流体静压强（static pressure of fluid//hydrostatic pressure）: 处于平衡状态或静止的流体中的流体质点所受到的压应力。 动压强(dynamic pressure of fluid): 运动流体中的压应力。 平均流体静压强 一点流体静压强 流体静压力
第二章流体静力学
流体力学基础
1
2012-5-26
第二章 流体静力学 一、质量力（体积力）
质量力是一种非接触力，可穿过流体内部而作用到 每一个微团上，所以叫做体积力或彻体力；大小与 质量成正比，并且集中作用于微团质量中心上所以 又叫做质量力。 质量力种类：
• 万有引力（包括重力） W mg • 电场与磁场作用力 • 与加速度有关的惯性力（直线运动惯性力、离心惯性力）
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流体力学基础
11
第二章 流体静力学
§4 压强的计算与测量
一、静压强的计算标准
• 不可压平衡液体的自由液面如与大气连通，则： p=pa+ρgh • 相关概念：绝对压强，表压强，真空度
二、静压强计量单位
• 1 应力单位（Pa, bar） • 2 液柱高度（mH2O, mmHg） • 3 大气压单位(1atm)
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流体力学基础
8
第二章 流体静力学
二、质量力的势函数 欧拉平衡方程的综合形式（压强微分方程）： dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) 当： W W W
X x , Y y , Z z 时 dp dW
称满足上式的坐标函数W为质量力的势函数，符合上述关系 式的质量力称为有势的质量力； 重力场中：W=g z
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流体力学基础
13
第二章 流体静力学
1. 2. 3. 4.
平衡流体对壁面的作用力 水平的平面 倾斜的平面 曲面 浮力
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流体力学基础
14
第二章 流体静力学
例1:如图中同高程的两条输水管道的压强差为 p1-p2，已知液面高程读数为z1，z2，z3，z4， 水，酒精，水银密度已知。 例2：将U型测压计两末端部分的直径扩大成 如图所示的形式，可以增加其灵敏度。如面积 S1为面积S2的50倍。一边充水，另一边充比 重0.95的油。试计算使油水分界面移动25mm 的压差是多少？
1
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第二章 流体静力学 一、质量力（体积力）
质量力是一种非接触力，可穿过流体内部而作用到 每一个微团上，所以叫做体积力或彻体力；大小与 质量成正比，并且集中作用于微团质量中心上所以 又叫做质量力。 质量力种类：
• 万有引力（包括重力） W mg • 电场与磁场作用力 • 与加速度有关的惯性力（直线运动惯性力、离心惯性力）
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流体力学基础
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第二章 流体静力学
§4 压强的计算与测量
一、静压强的计算标准
• 不可压平衡液体的自由液面如与大气连通，则： p=pa+ρgh • 相关概念：绝对压强，表压强，真空度
二、静压强计量单位
• 1 应力单位（Pa, bar） • 2 液柱高度（mH2O, mmHg） • 3 大气压单位(1atm)
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流体力学基础
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第二章 流体静力学
二、质量力的势函数 欧拉平衡方程的综合形式（压强微分方程）： dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz)=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) 当： W W W
X x , Y y , Z z 时 dp dW
称满足上式的坐标函数W为质量力的势函数，符合上述关系 式的质量力称为有势的质量力； 重力场中：W=g z
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第二章 流体静力学
1. 2. 3. 4.
平衡流体对壁面的作用力 水平的平面 倾斜的平面 曲面 浮力
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流体力学基础
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第二章 流体静力学
例1:如图中同高程的两条输水管道的压强差为 p1-p2，已知液面高程读数为z1，z2，z3，z4， 水，酒精，水银密度已知。 例2：将U型测压计两末端部分的直径扩大成 如图所示的形式，可以增加其灵敏度。如面积 S1为面积S2的50倍。一边充水，另一边充比 重0.95的油。试计算使油水分界面移动25mm 的压差是多少？
流体力学 第2章 流体静力学
39.2KPa，3m B
结论： ★ 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点 的静水压强随深度按线性规律增加。 ★ 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点 的静水压强等于表面压强加上流体的容重与 该点淹没深度的乘积。 ★ 3）自由表面下深度h相等的各点压强均 相等——只有重力作用下的同一连续连通的 静止流体的等压面是水平面。 ★ 4）推广：已知某点的压强和两点间的深 度差，即可求另外一点的压强值。
则作用在微元四面体上的总质量力为： 1 F d x d yd z f 6 它在三个坐标轴上的分量为：
1 Fx dxdydzf x 6
1 Fy dxdydzf y 6
1 Fz dxdydzf z 6
则作用在微元四面体上的总质量力为：
1 F d x d yd z f 6
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
1、意义
质量力作用的方向就是压强增加的方向。 例如，静止液体，压强递增的方向就是重力作用 的铅直向下的方向。
2、变形式
即
二、等压面及其特性
pc
则有
即
dp 0
Pascal Law （连通器原理）
方法：对质量连续的静止流体，等压面为等高面；不同流体交界 面为等压面，从一个方向顺推。
z0 p0
p2 p0 ( z0 z2 )
z1
p1
z2
p2
z
p
C
表示在同一静止液体中， 不论哪一点 z p 总是一个常数。
位置水头， 计算点的 位置高度。
压强水头， 测压管液 面相当于 计算点的 高度，即 压强高度。
测压管水头， 测压管液面 相当于基准 面的高度。
结论： ★ 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点 的静水压强随深度按线性规律增加。 ★ 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点 的静水压强等于表面压强加上流体的容重与 该点淹没深度的乘积。 ★ 3）自由表面下深度h相等的各点压强均 相等——只有重力作用下的同一连续连通的 静止流体的等压面是水平面。 ★ 4）推广：已知某点的压强和两点间的深 度差，即可求另外一点的压强值。
则作用在微元四面体上的总质量力为： 1 F d x d yd z f 6 它在三个坐标轴上的分量为：
1 Fx dxdydzf x 6
1 Fy dxdydzf y 6
1 Fz dxdydzf z 6
则作用在微元四面体上的总质量力为：
1 F d x d yd z f 6
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
1、意义
质量力作用的方向就是压强增加的方向。 例如，静止液体，压强递增的方向就是重力作用 的铅直向下的方向。
2、变形式
即
二、等压面及其特性
pc
则有
即
dp 0
Pascal Law （连通器原理）
方法：对质量连续的静止流体，等压面为等高面；不同流体交界 面为等压面，从一个方向顺推。
z0 p0
p2 p0 ( z0 z2 )
z1
p1
z2
p2
z
p
C
表示在同一静止液体中， 不论哪一点 z p 总是一个常数。
位置水头， 计算点的 位置高度。
压强水头， 测压管液 面相当于 计算点的 高度，即 压强高度。
测压管水头， 测压管液面 相当于基准 面的高度。
第二讲 流体静力学
第一章 绪论
一、流体质点的概念及连续介质模型 流体质点—— 流体中由大量流体分子组成的， 宏观尺度非常小，而微观尺度又足够大的物理实体。 （具有宏观物理量 、T、p、v 等） 连续介质模型—— 流体是由无穷多个，无穷小 的，彼此紧密毗邻、连续不断的流体质点所组成 的一种绝无间隙的连续介质 。
1
二、流体的粘性
B
A
3
动画演示
式中： Ff —流体流动时，相邻液体层间的内摩擦力 μ—粘性系数，与流体的种类和温度有关 A —接触面积 du /dy—速度梯度
du Ff A dy
——两液层的速度差 ——两液层间的距离
静止液体 du＝0
Ff
不呈现粘性 — 牛顿内摩擦定律
du 切应力: A dy
33
§24 静压强的计算
一、 压力的表示方法 p p a gh
绝对压力： 以绝对真空为起点表示的压力。
p gh
相对压力： 以当地大气压为计算标准表示的压力。 也称为计示压强、表压强
真空度:当压力比当地大气压低时，流体压力与当 地大气压的差值称为真空度。
34
当p>pa 时： 绝对压强=表压强+当地大气压 表压强=绝对压强-当地大气压 绝对压强 = 当地大气压 真空度 当p<pa 时： 真空度=当地大气压-绝对压强
13
平均流体静压强 p= lim F V 0 A
流体静压力矢量： F= -∫ApdAn
三、 流体静压力的两个重要特性。
1、流体静压力的方向总是沿受作用面法线方向。
2、平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作用
面的方向无关，它只是该点空间坐标的函数。
证明：在平衡流体中取出一微小四面体ABOC，考 察其在外力作用下的平衡条件。
一、流体质点的概念及连续介质模型 流体质点—— 流体中由大量流体分子组成的， 宏观尺度非常小，而微观尺度又足够大的物理实体。 （具有宏观物理量 、T、p、v 等） 连续介质模型—— 流体是由无穷多个，无穷小 的，彼此紧密毗邻、连续不断的流体质点所组成 的一种绝无间隙的连续介质 。
1
二、流体的粘性
B
A
3
动画演示
式中： Ff —流体流动时，相邻液体层间的内摩擦力 μ—粘性系数，与流体的种类和温度有关 A —接触面积 du /dy—速度梯度
du Ff A dy
——两液层的速度差 ——两液层间的距离
静止液体 du＝0
Ff
不呈现粘性 — 牛顿内摩擦定律
du 切应力: A dy
33
§24 静压强的计算
一、 压力的表示方法 p p a gh
绝对压力： 以绝对真空为起点表示的压力。
p gh
相对压力： 以当地大气压为计算标准表示的压力。 也称为计示压强、表压强
真空度:当压力比当地大气压低时，流体压力与当 地大气压的差值称为真空度。
34
当p>pa 时： 绝对压强=表压强+当地大气压 表压强=绝对压强-当地大气压 绝对压强 = 当地大气压 真空度 当p<pa 时： 真空度=当地大气压-绝对压强
13
平均流体静压强 p= lim F V 0 A
流体静压力矢量： F= -∫ApdAn
三、 流体静压力的两个重要特性。
1、流体静压力的方向总是沿受作用面法线方向。
2、平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作用
面的方向无关，它只是该点空间坐标的函数。
证明：在平衡流体中取出一微小四面体ABOC，考 察其在外力作用下的平衡条件。
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界面升至h=280mm时的压强差Δp. 解：设初始液面距离为h1和h2
1h1 2h2
当交界面上升h时，液面上升 或下降均为Δh 2 2 d 2 h ( ) h h D h d D 4 4
以变动后交界面为基准，列平衡方程：
p1 1(h1 h h) p2 2 (h2 h h)
在静止流体中任取一微小三棱柱，它在垂直于纸面方向 的高度为dl，设柱体底面三边的长度分别为da.db.dc， 作用在三个微小侧面上的压强分别为p1, p2, p3
P 1 p1 da dl P 2 p2 db dl P 3 p3 dc dl
P2
db da
P1
P1 P3
d 2 p p1 p2 h[( 1 2 ) ( 1 2 )( ) ] D
156Pa 16mmH2O
例题：油箱液面指示器的功用是：在较短尺寸的液面指示管上成比 例地示出油箱中液面的升降情况。图示三液交叉式U型管中，装有 汽油1，水2和水银3，汽油装满时，U型管中的水银面为1-1，液面 指示管中的水位在刻度1处，当油箱液面下降h1时，指示管中液面 下降h2,求h2和h1的比例关系式。
两边除以容重并整理得：
Z1
h2 Z0
2 P2
Z1
Z p
p1
Z2
p2
Z2
p2
P0
Z0
p0
位置水头+压强水头=常数 （测压管水头）
Z2
Z1
C
1 P1
h1
Z2
P2/ r
0 2
测压管水头
Z1
0
1
P2/ r
分界面和自由面是水平面
用反证法证明： 设分界面不是水平面而是 倾斜面。在分界面上任选1、 2两点，其深度差为Δh,根据 压差关系式： p h
解:1
p p0 h
' A
pA p pa
' A
2
p p0 pa
第四节
测压计种类： 弹簧管金属式 电测式 液柱式
液柱测压计
液柱式： 测压管 微压计 压差计
压差计
例题2-4：对于压强较高的密封容器，可以采 用复式水银测压计，如图示，测压管中各液 面高程为：▽1=1.5m, ▽2=0.2m, ▽3=1.2m, ▽4=0.4m, ▽5=2.1m,求液面压强p5.
流体的静压强只是空间位置的函数。
流体的静压强是标量；压力是矢量
第二节
流体静压强的分布规律
P1
△l
倾斜微小圆柱体轴向力的平衡,就是两端压 力及重力的轴向分力三个力作用下的平衡。
P2 P 1 G cos 0
P 1 p1 dA P2 p2 dA
dA P2
△h
α G
G l dA
解：当油箱装满时： 1H1 2 H 2
当汽油面下降时，以左支管 交界面为基准，列平衡方程
1 ( H 1 h1 h 2 ) 3 2 h 2 2 H 2
1 ( H 1 h1 h 2 ) 2 3 h 2 1 H 1
H1
H2
1h1 h2 kh1 2 3 1
水静压力
例题2-1：水池中盛水如图示，已知液面压强 为98.07kPa, 求A，B，C，D点的静压强。
p p0 h
0.6m
1m
液体静力学基本方程式的另一种表达形式：
p1 p0 (Z0 Z1 )
p1 Z0 p0
p2 p0 (Z0 Z2 )
Z0 p0
液体内微小圆柱的平衡
p2 p1 h
p2dA p1dA l dA cos 0
流体静压强的分布规律为：静止液体中任两点的 压强差等于两点间的深度差乘以容重。
p2 p1 h
p2 p1 gh
静止液体中任一点的压强是由液面压强和该 点在液面下的深度与容重的乘积两个部分所 组成。压强的大小与容器的形状无关。 深度相同的各点，压强也相同，这些深度相 同的点所组成的平面是一个水平面，可见水 平面是压强处处相等的面。 水平面是等压面
1
r1
1
h
2
r2
p 2 h ( 2 1 )h 0
由于液体容重不等于零，要满足上式，则必须Δh=0， 即分界面是水平面，不可能是倾斜面。 分界面既是水平面又是等压面。
分界面和自由面是水平面这一规律是在静止、 同种、连续液体的条件下得到的。如不能同时 满足这三个条件，就不能应用上述规律。
P2
dc
由于这三个压力 P3 微小三棱柱的平衡 处于平衡状态，据 力学原理，必组成 P P P 1 2 一闭合三角形。根 3 p1dl p2dl p3dl 据几何学，这两个 da db dc 三角形相似，则： 即: p1 p2 p3
各点的位置不同，压强可能不同； 位置一定，则不论取哪个方向，压强的 大小完全相等。因此:
解：由于气体容重远
小于液体容重，因 此，气柱所产生的 压强可以忽略不计。
p 2 p1 h
例题：如图微压计由U型管连接的两个相同圆杯所组成， 两杯中分别装入互不混合而又密度相近的两种工作液体 （酒精水溶液密度ρ1=870kg/m3,煤油ρ2=830kg/m3），当 气体压强差Δp=p1- p2=0时，两种液体的初始交界面在标 尺O处，已知U型管直径d=5mm,杯直径d=50mm,试确定使交
第二章
流体静力学
流体静力学是研究流体处于静止
或相对静止时的力学规律及其在工程
技术上的应用。
平衡的条件 压强分布
任 务
相对平衡
总压力 浮体稳定性
流体静力学 固壁受力分析 应 用 液压系统原理 压力仪器设计 液缸,水坝,闸门等 水压机,油压系统等 比重计,测高仪,分离器等 舰船,浮吊,气艇等
浮体稳定性分析
pa
p
0
相对压强的力学作用
引起固体和流体力学效应的只是相 对压强的数值,而不是绝对压强的数值。
大气压强的小实验
压强的三种量度单位
用单位面积上的力表示：Pa
用大气压的倍数来表示：atm 用液柱高度来表示：mmHg
kPa
at mH2O
三种单位间的相互换算
例2-3:封闭水箱如图示,自由面的绝对压强为p0=122.6kPa, 水箱内水深3m,当地大气压pa=88.26kPa,求1.水箱内绝对 压强和相对压强最大值.2.如果p0=78.46kPa,求自由面上 的相对压强,真空度或负压.
例题2-2：容重不同的两种液体，装在容器中， 各液面深度如图示，若γb=98.07kN/m3,大气压强 98.07kPa,求γa及pA
p3 p2
pa b (0.85 0.5) pa 0.5 a
a 0.7 b 6.865kN / m
p A p a 0.5 a 0.5 b p a 0.85 b
引起固体和流体力学效应的只是相对压强的 数值，而不是绝对压强与大 气相通的或者是处于 大气压的环境中，因 此工程技术中广泛采 用相对压强。今后所 提压强，如未特殊说 明，均指相对压强。
A点相对压强 大气压强 B点真空度 A点绝对压强 B点绝对压强 绝对压强
绝对压强、相对压强与真空的关系
气体压强计算
以上规律，虽然是在液体的基础上提出来 的，但对于不可压缩气体仍然适用。
由于气体容重很小的特点，在高差不大的 情况下，气柱产生的压强值很小，因而可 忽略γh的影响． 空间中各点气体压强相等。
第三节
压强的计算基准和量度单位
压强的两种计算基准 绝对压强：以绝对真空为零点起算的压强p’ 相对压强：以当地同高程的大气压强为零点 起算的压强p 两者关系：p’=p+pa 绝对压强只能为正，不能为负；相对压强可 正可负（正压、负压） 若无特别说明，今后所说压强均为相对压强
P dP pdA hdA sin ydA
A A A
是受压面积A对x ydA
A
轴的静面矩=Ayc
P sin y c A hc A p c A
P sin y c A hc A p c A
作用在任意位置、任意形状平面上的水 静压力值等于受压面面积与其形心点所 受水静压强的乘积。 水静压力的方向，沿着受压面的内法线 方向。
例题：图为倾斜水管上测定压差的装置，测得Z=200mm， h=120mm，当测压管中是容重为9.02kN/m3的油时，求A、 B两点的压差。 h A z
B
第五节
作用于平面的液体压力
X
Y
第五节 作用于平面的液体压力 dP pdA hdA
由于流体静压强的方向沿着 作用面的内法线方向，所以， 作用在平面上各点的水静压 强的方向相同，其合力可按 平行力系求和原理解决
3
等密面是水平面
静止均质流体的水平面是等压面，静止非均质流体呢？ 取水平轴线的微小圆柱体 沿轴向外力的平衡，表现为两端面压力相等
p1 p2
静止非均质流体的水平面依然是等压面
水平面上的容重是否变化呢？
p a h
p b h
a b
静止非均质流体的水平面是等压面，等密面和等温面。
第一节
流体静压强及其特性
流体静压强的定义
P p A
P p lim A a A
流体静压强的单位: Pa MPa bar kgf/m2
atm
at
流体静压强的特性