高考第一轮复习数学 5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

合集下载

高三数学一轮 第五章 第四节 线段的定比分点和平移课件 理

高三数学一轮 第五章 第四节 线段的定比分点和平移课件 理

再向上平移
9 4
个单位所得图象与函数y=
x2-x-2的图象的两个交点关于原点对
称.
∴所求解析式为y-94=-x+122, 即y=-x2-x+2.
本题的解题关键是确定平移向量a=(h, k),题中巧用根与系数的关系,起到了简 化运算的作用.交点问题要注意联立方 程,是否要求交点坐标,应视具体“题 情”而定.在处理平移问题时,待定系数 法是常用的有效方法之一,与换元法、特 殊值法一样都是求平移向量的基本方法.
【思路点拨】 (1)利用向量的夹角公式 求解;
(2)先把c·d化简整理成Asin(ωx+φ)+B的 形式,再利用角x的范围求最大值; (3)先化简f(x)=Asin(ωx+φ),再设m的坐 标,按平移公式理顺关系求解.
【规范解答】 (1)∵x=π4,
∴a=( 26, 22),b=(0, 22),1分 则a·b=( 26, 22)·(0, 22)=21,
→ AB
的比为
1 3
,E在BC上且使△BDE的面积是△ABC
的面积的一半,求点E的坐标.
【解析】 依题意A→D=31D→B,∴|A→D|=31
|D→B|,|A→B|=43|D→B|,
∵S△BDE=
1 2
|
→ DB
||
→ BE
|sin
B,S△ABC=
1 2
|
→ AB
→ ||BC|
sin
B,
S△BDE=12S△ABC,
设(x,y)为图象C上任一点,(x′,y′) 为图象C′上相应的点, 则x′=x+1π2,
y′=y-1,
∴x=x′-1π2, y=y′+1.
将它们代入到y=2sin 2x+56π +3中, 得到

高三数学一轮复习课件——线段的定比分点和平移

高三数学一轮复习课件——线段的定比分点和平移

是_________
函数图象和曲线的平移
练习:把函数y 2 x 2的图像按向量a=(2, -2)平 移,则平移后函数解析式是_________。
课堂例题讲解
例1、已知 P 1P 2 4cm, 根据条件写出点P分有向线 段P 1P 2所成的比 1) P在P 1P 2上,且 P 1 P 1cm, 则 ______ 2) P在P P2 P 1cm, 则 ______ 1P 2的延长线上, 3) P在P2 P PP 1的延长线上, 1 1cm, 则 ______
x1 x2 x 2 中点 y y1 y2 2
x1 x2 x3 x 3 重心 y y1 y2 y3向量a (h, k )平移到点P '( x ', y ')
x ' x h y ' y k 如:将A(3, 4)按a (1, 2)平移得到的对应点为___
课堂例题讲解
练习:已知点A(1, 6)和B(3, 0)同在直线AB上求一 1 点P, 使 AP AB 3
课堂例题讲解
例3、函数y 2 x 4 x 5的图像按向量a平移得 2 到y 2 x 的图像,又a b, c (1, 1), b c 4,求 b坐标。
线段的定比分点
3 练习:若点P分 AB所成的比为 , 则A分 BP的比为__ 4
练习:已知ABC的顶点A(2,3)和重心G(2, 1), 则 BC边上的中点坐标为________
函数图象和曲线的平移
函数y f ( x)的图象按a (h, k )平移后的函数 解析式是 _________ 曲线f ( x, y) 0按a (h, k )平移后的曲线方程

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移课件

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移课件

(3)已知平移前后解析式,求平移向量.
x=x′-h 其中,第(1)类问题的解法是将 代入已知解析式后 y=y′-k x′=x+h 化简;第(2)类问题的解法是将 代入已知解析式后 y′=y+k
化简;第(3)类问题常用解法是待定系数法.
失误防范
→ → 1. 分有向线段P1P2所成的比 λ 与 P 分有向线段P2P1所成的比 P λ 是不同的. 2.利用平移公式时,要分清哪个是平移前的点的坐标,哪个 是平移后的点的坐标,哪个是平移向量的坐标,注意公式的正 用、逆用及变形使用.
即(x+2)2+2(y+1)2=2 中得到 x′ 2+2y′2=2. x2 2 ∴曲线 C 的方程为 +y =1. 2
(2)设 M(x ,y ),N(x ,y ),则 2+λy y = 1+λ .
λx2 x1= , 1+λ
2 1 1 1 2 2
由于点 M、N 在椭圆 x2+2y2=2 上,
解析:选 B.设 P(x,y)在 f(x)=2sin(x+θ)的图象上,按向量 a π,0 平移后得到点 P′(x′,y′). = 3 x+π=x′, x=x′-π, 3 3 则 ∴
y+0=y′,
y=y′,
x′+θ-π . ∴y′=2sin 3
π 而平移后所得图象的一条对称轴为直线 x= , 6 π π π 2π ∴ +θ- =kπ+ ,k∈Z.∴θ=kπ+ ,k∈Z. 6 3 2 3 2π 当 k=0 时,θ= .故选 B. 3
(3)坐标法 x-x1 y-y1 λ= = . x2-x y2-y 2.起点、分点、终点的选择:P1、P2、P3 三点中,任何一点都 可以作为起点、分点、终点,区分内外分点的关键在于起点、 分点、终点的选择,当分点变化时,内分、外分常互相转化, 因而在计算过程中要灵活选择分点以求方便. 3.利用平移公式研究解析式可解决三类问题 (1)已知平移前解析式和平移向量,求平移后解析式; (2)已知平移后解析式和平移向量,求平移前解析式;

高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移课件

高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移课件

考点2 平移公式及应用
利用平移公式可研究点的平移或者曲线的平移.
例2 点(2,-3)按向量a平移后为点(1,-2),则(-7,2)
按向量a平移后点的坐标为( )
A.(-6,1)
B.(-8,3)
C.(-6,3)
D.(-8,1)
【思路分析】 由(2,-3)平移(1,-2)得向量a,按向量a平
移再得到(-7,2)的平移点
(2)定比 λ 与分点之间的一一对应关系如下表:
λ P点位置 P点名称
λ<-1 在P1P2的延
长线上
外分点
λ=-1 不存在
-1<λ<0 在P2P1的 延长线上
外分点
λ=0 与P1重合
始点
λ
0<λ<1
λ=1
λ>1
P点位置 在P1与中点之间 P为中点 在中点与P2之间
P点名称
内分点
(3)定比分点坐标公式:
§5.3 线段的定比分点和平移
本节目录











演顾究ຫໍສະໝຸດ 望练夯讲














教材回顾夯实双基
• 基础梳理
1.线段的定比分点
(于1)定P1、 比分P2点的:任设意P一1、点P,2 是则直存线在一l 上个的实两数点λ,,点使_PP_→是1_P_=_l_上λ_P_→不P__2同, λ 叫做 P 分有向线段P→1P2所成的比,点 P 叫做定比分点.
y1=-41++1212×2=-83+2=-2,即 P1(1,-2).

高考数学总复习 5.3线段的定比分点与平移课件 人教版

高考数学总复习 5.3线段的定比分点与平移课件 人教版
→ → λ PP P2 的任意一点,则存在一个实数 λ,使P1P= 2 ,λ 叫做
→ 点 P 分有向线段P1P2所成的比.
→ → P1P=λPP2中,要注意字母的顺序,分别是起点—分点, → 分点—终点,这一顺序是不能颠倒的,P 分P1P2的比与 P 分 → P2P1的比是两个不同的比,要注意区别. → 点 P 在线段 P1P2 上且异于 P1、 P2 两点时, 点 P 是P1P2的 内分点,这时定比 λ>0;当 P 在线段 P1P2 的延长线或反向 → → → 延长线上时,点 P 是P1P2的外分点,P1P与PP2方向相反,这 时定比 λ<0.
.
答案:(-3,-5)或(2,-7)
x2 2 5.设 F1,F2 分别为椭圆 3 +y =1 的左、右焦点,点 A, → → B 在椭圆上.若F1A=5F2B,则点 A 的坐标是______. → → 解析:设 A(m,n),由 F1 A =5F2B m+6 2 n 得 B( 5 ,5). 2 m 2 3 +n =1, 又 A,B 均在椭圆上,所以有 m+6 2 5 n 2 + 5 =1, 3
(2)三角形重心坐标公式: 在△ABC 中, A(x1, y1), B(x2, y2),C(x3,y3),若重心为 G(x,y),

二、平移 1.平移 设F为坐标平面内的一个图形,将F上所有点按同一个方 向 移 动 同 样 的 长 度 , 得 到 图 形 F′ , 这 个 过 程 叫 图 形 的 平 移.将一个图形平移后,图形的形状大小不变,只是在坐标 平面内的位置发生变化.
第三讲
线段的定比分点与平移
考点 线段的 定比分 点 分比、定比 分点坐标公 式、中点坐 标公式 平移公式, 图形按向量 平移
考纲要求 掌握平面中线段 的定比分点和中 点坐标公式

高三第一轮复习数学---线段的定比分点与平移参考资料

高三第一轮复习数学---线段的定比分点与平移参考资料

高三第一轮复习数学---线段的定比分点与平移一、教学目标:1.掌握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式,会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ,会用中点坐标公式解决对称问题;2.掌握平移公式,会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式. 二、教学重点:公式的应用三、教学过程:(一)主要知识: 1、 线段的定比分点 (1)定义设P 1,P 2是直线L 上的两点,点P 是L 上不同于P 1,P 2的任意一点,则存在一个实数λ,使21pp p λ=,λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。

当点P 在线段21P P 上时,0>λ;当点P 在线段21P P 或21P P 的延长线上时,λ<0 (2)定比分点的坐标形式⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ,其中P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), P (x,y) (3)中点坐标公式当λ=1时,分点P 为线段21P P 的中点,即有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 2、平移(1)图形平移的定义设F 是坐标平面内的一个图形,将图上的所有点按照同一方向移动同样长度,得到图形F ’,我们把这一过程叫做图形的平移。

(2)平移公式设P(x,y)是图形F 上任意一点,它在平移后图形上的对应点P ’(x ’,y ’’),且'PP 的坐标为(h,k),则有⎩⎨⎧+=+=k y y hx x '',这个公式叫做点的平移公式,它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。

(二)主要方法:1、平移向量一般是配方法和待定系数法。

2、正确选择平移公式,强化代入转移去思想。

(三)例题分析: [定比分点坐标公式]例1.已知点)2,5(),4,1(B A --,线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ,求1P 、2P ,点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ。

解:设),(111y x P 、),(222y x P ,则P AP 1121=B P AP 222= ∴135221152111=+-=+⨯+-=x232821122141-=+-=+⨯+-=y ,即)2,1(1-P 339215212==+⨯+-=x ,0212242=+⨯+-=y ,即)0,3(2P由211AP A P λ=,得:111311λλ+⨯+=-,∴211-=λ;由221BP P λ=,得:221315λλ+⨯+=,∴22-=λ;思维点拨:定比是根据PB AP λ=求得的,必须搞清起点、分点、终点。

最新高考第一轮复习数学53两点间距离公式线段的定比分点与图形的平移汇总

最新高考第一轮复习数学53两点间距离公式线段的定比分点与图形的平移汇总

2006年高考第一轮复习数学53两点间距离公式线段的定比分点与图形的平移5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则«Skip Record If...»=(x2-x1,y2-y1).∴|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...».2.线段的定比分点是研究共线的三点P1,P,P2坐标间的关系.应注意:(1)点P是不同于P1,P2的直线P1P2上的点;(2)实数λ是P分有向线段«Skip Record If...»所成的比,即P1→P,P→P2的顺序,不能搞错;(3)定比分点的坐标公式«Skip Record If...»(λ≠-1).3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系,«Skip Record If...»特别提示1.定比分点的定义:点P为«Skip Record If...»所成的比为λ,用数学符号表达即为«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...».当λ>0时,P为内分点;λ<0时,P为外分点.2.定比分点的向量表达式:P点分«Skip Record If...»成的比为λ,则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»(O为平面内任一点).3.定比分点的应用:利用定比分点可证共线问题.●点击双基1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f(x)的图象按向量a平移,使图象上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图象的解析式为A.y=f(x+1)-2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x-1)+2D.y=f(x+1)+2解析:由平移公式得a=(1,2),则平移后的图象的解析式为y=f(x-1)+2.答案:C2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2-4y=4x,则向量a为A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-4,2)D.(4,-2)解析:设a=(h,k),由平移公式得«Skip Record If...»代入y2=4x得(«Skip Record If...»-k)2=4(«Skip Record If...»-h),«Skip Record If...»2-2k«Skip Record If...»=4«Skip Record If...»-4h-k2,即y2-2ky=4x-4h-k2,∴k=2,h=-1.∴a=(-1,2).答案:A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示:由y2-4y=4x,配方得(y-2)2=4(x+1),∴h=-1,k=2.(知道为什么吗?)3.设A、B、C三点共线,且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A点分«Skip Record If...»所得的比为A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.-«Skip Record If...»D.-«Skip Record If...»解析:设A点分«Skip Record If...»所得的比为λ,则由2=«Skip Record If...»,得λ=-«Skip Record If...».答案:C4.若点P分«Skip Record If...»所成的比是λ(λ≠0),则点A分«Skip Record If...»所成的比是____________.解析:∵«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...»=λ(-«Skip Record If...»+«Skip Record If...»).∴(1+λ)«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»«Skip Record If...».答案:-«Skip Record If...»5.(理)若△ABC的三边的中点坐标为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则△ABC的重心坐标为____________.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴重心坐标为(-«Skip Record If...»,«Skip Record If...»).答案:(-«Skip Record If...»,«Skip Record If...»)(文)已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx-7与线段M1M2的交点M分有向线段«Skip Record If...»的比为3∶2,则m的值为____________.解析:设M(x,y),则x=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=3,y=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=5,即M(3,5),代入y=mx-7得5=3m-7,∴m=4.答案:4●典例剖析【例1】已知点A(-1,6)和B(3,0),在直线AB上求一点P,使|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...»|«Skip Record If...»|.剖析:|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...»|«Skip Record If...»|,则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»或«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...».设出P(x,y),向量转化为坐标运算即可.解:设P的坐标为(x,y),若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»,则由(x+1,y-6)=«Skip Record If...»(4,-6),得«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»此时P点坐标为(«Skip Record If...»,4).若«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»«Skip Record If...»,则由(x+1,y-6)=-«Skip Record If...»(4,-6)得«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»∴P(-«Skip Record If...»,8).综上所述,P(«Skip Record If...»,4)或(-«Skip Record If...»,8).深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»,得«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»,则P为«Skip Record If...»的定比分点,λ=«Skip Record If...»,代入公式即可;若«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»«Skip Record If...»,则P为«Skip Record If...»的定比分点,λ=-«Skip Record If...».«Skip Record If...»由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算,是解决向量问题的一般方法.【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(3,4),C(-1,2),BD是∠ABC的平分线,求点D的坐标及BD的长.剖析:∵A、C两点坐标为已知,∴要求点D的坐标,只要能求出D分«Skip Record If...»所成的比即可.解:∵|BC|=2«Skip Record If...»,|AB|=«Skip Record If...»,∴D分«Skip Record If...»所成的比λ=«Skip Record If...».由定比分点坐标公式,得«Skip Record If...»∴D点坐标为(9-5«Skip Record If...»,«Skip Record If...»).∴|BD|=«Skip Record If...»=«Skip Record If...».评述:本题给出了三点坐标,因此三边长度易知,由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标,适当利用平面几何知识,可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法:设D(x,y),∵BD是∠ABC的平分线,∴〈«Skip Record If...»,«Skip Record If...»〉=〈«Skip Record If...»,«Skip Record If...»〉.∴«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»=«Skip Record If...».又«Skip Record If...»=(1,-3),«Skip Record If...»=(x-3,y-4),«Skip Record If...»=(-4,-2),∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...».∴(4+«Skip Record If...»)x+(2-3«Skip Record If...»)y+9«Skip Record If...»-20=0.①又A、D、C三点共线,∴«Skip Record If...»,«Skip Record If...»共线.又«Skip Record If...»=(x-4,y-1),«Skip Record If...»=(x+1,y-2),∴(x-4)(y-2)=(x+1)(y-1).②由①②可解得«Skip Record If...»∴D点坐标为(9-5«Skip Record If...»,«Skip Record If...»),|BD|=«Skip Record If...».思考讨论若BD是AC边上的高,或BD把△ABC分成面积相等的两部分,本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD中,点A(1,1),B(2,3),CD的中点为E(4,1),将□ABCD按向量a平移,使C点移到原点O.(1)求向量a;(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解:(1)由□ABCD可得«Skip Record If...»=«Skip Record If...»,设C(x3,y3),D(x4,y4),则«Skip Record If...»又CD的中点为E(4,1),则«Skip Record If...»由①-④得«Skip Record If...»«Skip Record If...»即C(«Skip Record If...»,2),D(«Skip Record If...»,0).∴a=(-«Skip Record If...»,-2).(2)由平移公式得A′(-«Skip Record If...»,-1),B′(-«Skip Record If...»,1),C′(0,0),D′(-1,-2).●闯关训练夯实基础1.(2004年福州质量检查题)将函数y=sin x按向量a=(-«Skip Record If...»,3)平移后的函数解析式为A.y=sin(x-«Skip Record If...»)+3B.y=sin(x-«Skip Record If...»)-3C.y=sin(x+«Skip Record If...»)+3D.y=sin(x+«Skip Record If...»)-3解析:由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»-3=sin(«Skip Record If...»+«Skip Record If...»).∴«Skip Record If...»=sin(«Skip Record If...»+«Skip Record If...»)+3,即y=sin(x+«Skip Record If...»)+3.答案:C2.(2003年河南调研题)将函数y=2sin2x的图象按向量a平移,得到函数y=2sin (2x+«Skip Record If...»)+1的图象,则a等于A.(-«Skip Record If...»,1)B.(-«Skip Record If...»,1)C.(«Skip Record If...»,-1)D.(«Skip Record If...»,1)解析:由y=2sin(2x+«Skip Record If...»)+1得y=2sin2(x+«Skip Record If...»)+1,∴a=(-«Skip Record If...»,1).答案:B3.(2004年东城区模拟题)已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点,定点A(0,-1),若点M分«Skip Record If...»所成的比为2,则点M的轨迹方程是____________,它的焦点坐标是____________.解析:设P(x0,y0),M(x,y).«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1,即18x2=3y+1,x2=«Skip Record If...»y+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»(y+«Skip Record If...»),∴p=«Skip Record If...»,焦点坐标为(0,-«Skip Record If...»).答案:x2=«Skip Record If...»(y+«Skip Record If...»)(0,-«Skip Record If...»)4.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后,得到y=2x2的图象,且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b=____________.解析:a=(0,0)-(1,3)=(-1,-3).设b=(x,y),由题意得«Skip Record If...»«Skip Record If...»则b=(3,-1).答案:(3,-1)5.已知向量«Skip Record If...»=(3,1),«Skip Record If...»=(-1,2),«Skip Record If...»⊥«Skip Record If...»,«Skip Record If...»∥«Skip Record If...».试求满足«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»的«Skip Record If...»的坐标.解:设«Skip Record If...»=(x,y),则«Skip Record If...»=(x,y)+(3,1)=(x+3,y+1),«Skip Record If...»=«Skip Record If...»-«Skip Record If...»=(x+3,y+1)-(-1,2)=(x+4,y-1),则«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»=(11,6).6.已知A(2,3),B(-1,5),且满足«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»,«Skip Record If...»=3«Skip Record If...»,«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»«Skip Record If...»,求C、D、E的坐标.解:用向量相等或定比分点坐标公式均可,读者可自行求解.C(1,«Skip Record If...»),D(-7,9),E(«Skip Record If...»,«Skip Record If...»).培养能力7.(2004年福建,17)设函数f(x)=a·b,其中a=(2cos x,1),b=(cos x,«Skip Record If...»sin2x),x∈R.(1)若f(x)=1-«Skip Record If...»,且x∈[-«Skip Record If...»,«Skip Record If...»],求x;(2)若y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<«Skip Record If...»)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.解:(1)依题设f(x)=2cos2x+«Skip Record If...»sin2x=1+2sin(2x+«Skip Record If...»),由1+2sin(2x+«Skip Record If...»)=1-«Skip Record If...»,得sin(2x+«Skip Record If...»)=-«Skip Record If...».∵|x|≤«Skip Record If...»,∴-«Skip Record If...»≤2x+«Skip Record If...»≤«Skip Record If...».∴2x+«Skip Record If...»=-«Skip Record If...»,即x=-«Skip Record If...».(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即y=f(x)的图象.由(1)得f(x)=2sin2(x+«Skip Record If...»)+1.又|m|<«Skip Record If...»,∴m=-«Skip Record If...»,n=1.8.有点难度哟!(2004年广州综合测试)已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=(2,1)平移后得到曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点D(0,2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»,求实数λ的取值范围.解:(1)原曲线即为(x+2)2+2(y+1)2=2,则平移后的曲线C为x2+2y2=2,即«Skip Record If...»+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则«Skip Record If...»由于点M、N在椭圆x2+2y2=2上,则«Skip Record If...»即«Skip Record If...»消去x22得,2λ2+8λy2+8=2λ2+4λ+2,即y2=«Skip Record If...».∵-1≤y2≤1,∴-1≤«Skip Record If...»≤1.又∵λ>0,故解得λ≥«Skip Record If...».故λ的取值范围为[«Skip Record If...»,+∞).思考讨论本题若设出直线l的方程y=kx+2,然后与x2+2y2=2联立,利用韦达定理能求解吗?(不要忘记讨论斜率不存在的情况)读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行,速度为15«Skip Record If...»n mile/h,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发,朝北偏东θ(θ=arctan«Skip Record If...»)的方向作匀速直线航行,速度为10«Skip Record If...»n mile/h.(如下图所示)«Skip Record If...»(1)求出发后3 h两船相距多少海里?(2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?解:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.«Skip Record If...»设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1),Q(x2,y2),则«Skip Record If...»由θ=arctan«Skip Record If...»,可得cosθ=«Skip Record If...»,sinθ=«Skip Record If...»,x2=10«Skip Record If...»t sinθ=10t,y2=10«Skip Record If...»t cosθ-40=20t-40.(1)令t=3,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20).|PQ|=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=5«Skip Record If...»,即两船出发后3 h时,两船相距5«Skip Record If...» n mile.(2)由(1)的解法过程易知|PQ|=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»≥20«Skip Record If...».∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20«Skip Record If...»,即两船出发4 h时,相距20«Skip Record If...» n mile为两船最近距离.●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题:(1)弄清起点、分点、终点,并由此决定定比λ;(2)在计算点分有向线段所成比时,首先要确定是内分点,还是外分点,然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»获解.2.线段的定比分点的坐标表示,强化了坐标运算的应用,确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移,主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用,并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.●教师下载中心教学点睛1.线段的定比分点公式«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»,该式中已知P1、P2及λ可求分点P的坐标,并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量(形)与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错,要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.拓展题例【例1】(2004年豫南三市联考)已知f(A,B)=sin22A+cos22B-«Skip Record If...»sin2A-cos2B+2.(1)设△ABC的三内角为A、B、C,求f(A,B)取得最小值时,C的值;(2)当A+B=«Skip Record If...»且A、B∈R时,y=f(A,B)的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象,求满足上述条件的一个向量p.解:(1)f(A,B)=(sin2A-«Skip Record If...»)2+(cos2B-«Skip Record If...»)2+1,由题意«Skip Record If...»得«Skip Record If...»∴C=«Skip Record If...»或C=«Skip Record If...».(2)∵A+B=«Skip Record If...»,∴2B=π-2A,cos2B=-cos2A.∴f(A,B)=cos2A-«Skip Record If...»sin2A+3=2cos(2A+«Skip Record If...»)+3=2cos2(A+«Skip Record If...»)+3.从而p=(«Skip Record If...»,-3)(只要写出一个符合条件的向量p即可).【例2】设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后,得到曲线C1.(1)写出曲线C1的方程;(2)证明:曲线C与C1关于点A(«Skip Record If...»,«Skip Record If...»)对称.(1)解:C1:y-s=(s-t)3-(x-t).①(2)分析:要证明曲线C1与C关于点A(«Skip Record If...»,«Skip Record If...»)对称,只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上,反过来,曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.证明:设P1(x1,y1)为曲线C1上任意一点,它关于点A(«Skip Record If...»,«Skip Record If...»)的对称点为P(t-x1,s-y1),把P点坐标代入曲线C的方程,左=s-y1,右=(t-x1)3-(t-x1).由于P1在曲线C1上,∴y1-s=(x1-t)3-(x1-t).∴s-y1=(t-x1)3-(t-x1),即点P(t-x1,s-y1)在曲线C上.同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.从而证得曲线C与C1关于点A(«Skip Record If...»,«Skip Record If...»)对称.。

最新-2018届高三数学一轮复习 53 线段的定比分点与平

最新-2018届高三数学一轮复习 53 线段的定比分点与平
_______.
解析:设P关于x轴的对称点为(x,y),则由平移公式得
x+1=-1,y+2=-2,x=-2,y=-4,∴P(-2,4),
点P按a平移后的对应点为(-1,6).
答案:(-1,6)
求定比λ的方法 (1)定义法 是否方向相同决定λ的符号,相同为正、相反为负. 的长度关系决定λ的绝对值,|λ|= (2)图示法 借助直观图形,依据定义数形结合求解.先利用内外分点确定符号,再求长度之比. (3)坐标法λ= . .
【例1】已知点P分线段AB的比是
,则点B分线段AP的比为多少?
思维点拨:紧扣线段定比分点的定义,结合图形解决.
解:如图所示,由于P分
的比为
,∴
变式1:已知点A分有向线段
比;②B分 解:因为A分 的比;③C分
的比为2,求下列定比λ:①A分
的比.

的比为2,所以A在BC之间,且|BA|=2|AC|(如图所示).
根据题意,①与②的图象关于x轴对称, ∴ ,∴平移向量a= .
【方法规律】
1.关于线段的定比分点
要弄清楚按定比划分线段和定比的意义,也可以把定比分点问题转化为向量
共线问题,这样处理线段比例时用向量平行的充要条件更为简捷.
2.将图形按向量a=(h,k)平移,也就是将图形沿x轴向右(或向左)平移|h|个
第 3讲
线段的定比分点与平移
【考纲下载】
1. 掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且 能熟练运用. 2.掌握平移公式.
1.线段的定比分点 (1)定比λ与分点之间的一一对应关系如下表
λ的范围 P点位置 P点名称
λ<-1
λ=-1
-1<λ<0 在P2P1的延长 线上 外分点

【精品含答案】高考一轮复习5.3线段的定比分点与平移基础训练题(理科)

【精品含答案】高考一轮复习5.3线段的定比分点与平移基础训练题(理科)

2009届高考一轮复习5.3线段的定比分点与平移基础训练题(理科)注意:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分100分,考试时间45分钟。

第Ⅰ卷(选择题部分 共36分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2007·辽宁高考)若函数)x (f y =的图象按向量a 平移后,得到函数2)1x (f y -+=的图象,则向量=a ( )(A ))2,1(-- (B ))2,1(-(C ))2,1(- (D ))2,1(2. 设点P 在有向线段AB 的延长线上,且|BP |4|AP |=,则点A 分BP 所成的比为( )(A )45- (B )32-(C )43- (D )34- 3. 将函数x 1y =的图象按向量a 平移后,得到1x 12y ++=的图象,则( ) (A ))2,1(a = (B ))2,1(a -= (C ))2,1(a -= (D ))2,1(a --= 4.(易错警示题)已知)1,2(P 1-,)5,0(P 2且点P 在21P P 延长线上,使P 2P 21=,则点P 的坐标是( ) (A ))11,2(- (B ))3,34( (C ))3,32( (D ))7,2(- 5.(2008·长春模拟)若把一个函数的图象按)2,3(a -π-= 平移后,得到函数x cos y =的图象,则原图象的函数解析式是( )(A )2)3x cos(y -π+= (B )2)3x cos(y -π-= (C )2)3x cos(y +π+= (D )2)3x cos(y +π-= 6. 已知点)2,6(M 1和)7,1(M 2,直线7mx y -=与线段21M M 的交点M 分有向线段21M M 的比为2:3,则m 的值为( )(A )23- (B )32- (C )41 (D )4第Ⅱ卷(非选择题部分 共64分)二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分。

高考第一轮复习数学:53两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移-教案(含习题及答案).

高考第一轮复习数学:53两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移-教案(含习题及答案).

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1).∴|AB |=212212)()(y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1,P ,P 2坐标间的关系.应注意:(1)点P 是不同于P 1,P 2的直线P 1P 2上的点;(2)实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比,即P 1→P ,P →P 2的顺序,不能搞错;(3)定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ,(λ≠-1).3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系,⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ,特别提示1.定比分点的定义:点P 为21P P 所成的比为λ,用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ>0时,P 为内分点;λ<0时,P 为外分点.2.定比分点的向量表达式:P 点分21P P 成的比为λ,则OP =λ+111OP +λλ+12OP (O 为平面内任一点). 3.定比分点的应用:利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f (x )的图象按向量a 平移,使图象上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图象的解析式为A.y=f (x+1)-2B.y=f (x -1)-2C.y=f (x -1)+2D.y=f (x+1)+2 解析:由平移公式得a=(1,2),则平移后的图象的解析式为y=f (x -1)+2. 答案:C2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2-4y=4x ,则向量a 为A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-4,2)D.(4,-2) 解析:设a=(h ,k ),由平移公式得 ⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-',,k y y h x x k y y h x x 代入y 2=4x 得(y '-k )2=4(x '-h ),y '2-2k y '=4x '-4h -k 2, 即y 2-2ky=4x -4h -k 2, ∴k=2,h=-1. ∴a=(-1,2). 答案:A 思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示:由y 2-4y=4x ,配方得(y -2)2=4(x+1),∴h=-1,k=2.(知道为什么吗?)3.设A 、B 、C 三点共线,且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A 点分BC 所得的比为 A.83 B.38 C.-83 D.-38解析:设A 点分BC 所得的比为λ,则由2=λλ+1+105,得λ=-83.答案:C4.若点P 分AB 所成的比是λ(λ≠0),则点A 分BP 所成的比是____________. 解析:∵=λ,∴=λ(-+).∴(1+λ)=λ.∴=λλ+1.∴BA =-λλ+1. 答案:-λλ+15.(理)若△ABC 的三边的中点坐标为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则△ABC 的重心坐标为____________.解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3), 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ,,,,, ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为(-32,34).答案:(-32,34)(文)已知点M 1(6,2)和M 2(1,7),直线y=mx -7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2,则m 的值为____________.解析:设M (x ,y ),则x=231236++=515=3,y=2312372+⨯+=5214+=5,即M (3,5),代入y=mx -7得5=3m -7,∴m=4.答案:4 ●典例剖析【例1】 已知点A (-1,6)和B (3,0),在直线AB 上求一点P ,使||=31||.剖析:|AP |=31|AB |,则AP =31AB 或AP =31BA .设出P (x ,y ),向量转化为坐标运算即可.解:设P 的坐标为(x ,y ),若AP =31AB ,则由(x+1,y -6)=31(4,-6),得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ,此时P 点坐标为(31,4).若AP =-31AB ,则由(x+1,y -6)=-31(4,-6)得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ,∴P (-37,8).综上所述,P (31,4)或(-37,8).深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ,得AP =21PB ,则P 为AB 的定比分点,λ=21,代入公式即可;若AP =-31AB ,则AP =-41PB ,则P 为AB 的定比分点,λ=-41.A PB P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算,是解决向量问题的一般方法.【例2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (4,1),B (3,4),C (-1,2),BD 是∠ABC 的平分线,求点D 的坐标及BD 的长.剖析:∵A 、C 两点坐标为已知,∴要求点D 的坐标,只要能求出D 分AC 所成的比即可.解:∵|BC|=25,|AB|=10,∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式,得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ,)( ∴D 点坐标为(9-52,2).∴|BD|=22423259)()(-+--=268104-. 评述:本题给出了三点坐标,因此三边长度易知,由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标,适当利用平面几何知识,可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法:设D (x ,y ),∵BD 是∠ABC 的平分线,∴〈BA ,BD 〉=〈BC ,BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BA ⋅=,即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =(1,-3),BD =(x -3,y -4),BC =(-4,-2), ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴(4+2)x+(2-32)y+92-20=0.①又A 、D 、C 三点共线,∴AD ,AC 共线. 又AD =(x -4,y -1),AC =(x+1,y -2),∴(x -4)(y -2)=(x+1)(y -1).②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ,∴D 点坐标为(9-52,2),|BD|=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高,或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分,本题又如何求解?请读者思考.【例3】 已知在□ABCD 中,点A (1,1),B (2,3),CD 的中点为E (4,1),将 □ABCD 按向量a 平移,使C 点移到原点O.(1)求向量a ;(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. 解:(1)由□ABCD 可得=, 设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则⎩⎨⎧=-=-②①,.214343y y x x又CD 的中点为E (4,1), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③,.12424343y y x x由①-④得⎪⎩⎪⎨⎧==,,22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==,,02744y x即C (29,2),D (27,0).∴a=(-29,-2).(2)由平移公式得A ′(-27,-1),B ′(-25,1),C ′(0,0),D ′(-1,-2).●闯关训练 夯实基础1.(2004年福州质量检查题)将函数y=sinx 按向量a=(-4π,3)平移后的函数解析式为A.y=sin (x -4π)+3B.y=sin (x -4π)-3C.y=sin (x+4π)+3 D.y=sin (x+4π)-3 解析:由⎩⎨⎧-'=-'=,,k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ,∴y '-3=sin (x '+4π).∴y '=sin (x '+4π)+3,即y=sin (x+4π)+3.答案:C 2.(2003年河南调研题)将函数y=2sin2x 的图象按向量a 平移,得到函数y=2sin (2x+3π)+1的图象,则a 等于A.(-3π,1)B.(-6π,1) C.(3π,-1)D.(6π,1) 解析:由y=2sin (2x+3π)+1得y=2sin2(x+6π)+1,∴a=(-6π,1). 答案:B3.(2004年东城区模拟题)已知点P 是抛物线y=2x 2+1上的动点,定点A (0,-1),若点M 分所成的比为2,则点M 的轨迹方程是____________,它的焦点坐标是____________.解析:设P (x 0,y 0),M (x ,y ).⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==,,23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y+2=18x 2+1,即18x 2=3y+1,x 2=61y+181=61(y+31),∴p=121,焦点坐标为(0,-247).答案:x 2=61(y+31) (0,-247)4.把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移后,得到y=2x 2的图象,且a ⊥b ,c=(1,-1),b ·c=4,则b=____________.解析:a=(0,0)-(1,3)=(-1,-3).设b=(x ,y ),由题意得⎩⎨⎧=-=--,,403y x y x ⎩⎨⎧-==,,13y x 则b=(3,-1).答案:(3,-1)5.已知向量=(3,1),=(-1,2),⊥,∥.试求满足+=的的坐标.解:设OD =(x ,y ),则OC =(x ,y )+(3,1)=(x+3,y+1), =-=(x+3,y+1)-(-1,2)=(x+4,y -1),则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123)()(,)()(y x y x所以⎩⎨⎧==,,611y x =(11,6).6.已知A (2,3),B (-1,5),且满足AC =31AB ,AD =3AB ,AE =-41AB ,求C 、D 、E 的坐标.解:用向量相等或定比分点坐标公式均可,读者可自行求解.C (1,311),D (-7,9),E (411,25). 培养能力7.(2004年福建,17)设函数f (x )=a ·b ,其中a=(2cosx ,1),b=(cosx ,3sin2x ),x ∈R.(1)若f (x )=1-3,且x ∈[-3π,3π],求x ;(2)若y=2sin2x 的图象按向量c=(m ,n )(|m|<2π)平移后得到函数y=f (x )的图象,求实数m 、n 的值.解:(1)依题设f (x )=2cos 2x+3sin2x=1+2sin (2x+6π),由1+2sin (2x+6π)=1-3,得sin (2x+6π)=-23.∵|x|≤3π,∴-2π≤2x+6π≤6π5.∴2x+6π=-3π,即x=-4π.(2)函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ,n )平移后得到函数y=2sin2(x -m )+n 的图象,即y=f (x )的图象.由(1)得f (x )=2sin2(x+12π)+1.又|m|<2π,∴m=-12π,n=1.8.有点难度哟!(2004年广州综合测试)已知曲线x 2+2y 2+4x+4y+4=0按向量a=(2,1)平移后得到曲线C.(1)求曲线C 的方程;(2)过点D (0,2)的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ,且M 在D 、N 之间,设DM =λ,求实数λ的取值范围.解:(1)原曲线即为(x+2)2+2(y+1)2=2,则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2, 即22x +y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ,由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,,222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ,)()(λλλλ消去x 22得,2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2,即y 2=λλ432-.∵-1≤y 2≤1,∴-1≤λλ432-≤1.又∵λ>0,故解得λ≥21.故λ的取值范围为[21,+∞).思考讨论本题若设出直线l 的方程y=kx+2,然后与x 2+2y 2=2联立,利用韦达定理能求解吗?(不要忘记讨论斜率不存在的情况)读者可尝试一下.探究创新 9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行,速度为152 n mile/h ,在甲船从A 岛出发的同时,乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发,朝北偏东θ(θ=arctan 21)的方向作匀速直线航行,速度为105 n mile/h.(如下图所示)B❑ 东北(1)求出发后3 h 两船相距多少海里?(2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解:以A 为原点,BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.APQB❑东北x y 设在t 时刻甲、乙两船分别在P (1122), 则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x , 由θ=arctan 21,可得cos θ=552,sin θ=55,x 2=105tsin θ=10t ,y 2=105tcos θ-40=20t -40.(1)令t=3,P 、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20).|PQ|=2220453045)-()(+-=850=534, 即两船出发后3 h 时,两船相距534 n mile. (2)由(1)的解法过程易知|PQ|=212212)()(y y x x -+-=221540201510)()(t t t t --+- =1600400502+-t t=8004502+-)(t ≥202.∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为202,即两船出发4 h 时,相距202 n mile 为两船最近距离. ●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题: (1)弄清起点、分点、终点,并由此决定定比λ;(2)在计算点分有向线段所成比时,首先要确定是内分点,还是外分点,然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示,强化了坐标运算的应用,确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移,主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用,并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ●教师下载中心 教学点睛 1.线段的定比分点公式P P 1=λ2PP ,该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标,并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量(形)与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错,要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例 【例1】 (2004年豫南三市联考)已知f (A ,B )=sin 22A+cos 22B -3sin2A -cos2B+2. (1)设△ABC 的三内角为A 、B 、C ,求f (A ,B )取得最小值时,C 的值;(2)当A+B=2π且A 、B ∈R 时,y=f (A ,B )的图象按向量p 平移后得到函数y=2cos2A的图象,求满足上述条件的一个向量p.解:(1)f (A ,B )=(sin2A -23)2+(cos2B -21)2+1, 由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,,212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ,或 ∴C=3π2或C=2π.(2)∵A+B=2π,∴2B=π-2A ,cos2B=-cos2A.∴f (A ,B )=cos2A -3sin2A+3=2cos (2A+3π)+3=2cos2(A+6π)+3.从而p=(6π,-3)(只要写出一个符合条件的向量p 即可).【例2】 设曲线C 的方程是y=x 3-x ,将C 沿x 轴、y 轴正向分别平移t 、s 单位长度后,得到曲线C 1.(1)写出曲线C 1的方程;(2)证明:曲线C 与C 1关于点A (2t ,2s)对称.(1)解:C 1:y -s=(s -t )3-(x -t ). ①(2)分析:要证明曲线C 1与C 关于点A (2t ,2s)对称,只需证明曲线C 1上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 上,反过来,曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 1上即可.证明:设P 1(x 1,y 1)为曲线C 1上任意一点,它关于点A (2t ,2s)的对称点为 P (t -x 1,s -y 1),把P 点坐标代入曲线C 的方程,左=s -y 1,右=(t -x 1)3-(t -x 1).由于P 1在曲线C 1上,∴y 1-s=(x 1-t )3-(x 1-t ).∴s -y 1=(t -x 1)3-(t -x 1),即点P (t -x 1,s -y 1)在曲线C 上. 同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C 1上.从而证得曲线C 与C 1关于点A (2t ,2s)对称.。

高三数学第一轮总复习5.4线段的定比分点与图形的平移课件2.ppt

高三数学第一轮总复习5.4线段的定比分点与图形的平移课件2.ppt

x
y
x- 2 ,
y 1
将它代入(x-2)2+(y+1)2=16,
3
得(x′-2-2)2+(y′+1+1)2=16, 即C′:(x-4)2+(y+2)2=16. (4)根据向量的定义,平移不改变向量,所 以把向量a=(x0,y0) 按a=(h,k)平移 得向量a=(x0,y0). 点评:平移公式中涉及到三个量:初坐标、 平移坐标、终坐标,三者之间的关系式:x终=x 初+x平是我们解决平移问题的基础,图象平移中 的坐标变化可以按点的平移关系变化来理解, 也可以用特殊点的变化来验证所求问题.
即y′=x′2+(4-2h)x′+h2-4h+5+k.
因为(x′,y′)适合y=x2,所以y′=x′2,
所以
4- 2h 0, h2 -4h5k
0.
所以
h k
2 , 所以a=(2,-1).
-1 .
5
题型4 向量平移与解析几何交汇 2. 已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0,按向量a=(2, 1)平移后得到曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点D(0,2)的直线与曲线C相交于不同 的两点M、N,且M在D、N之间,设 DMMN,求 实数λ的取值范围. 解:(1)原曲线即为(x+2)2+2(y+1)2=2, 则平移后的曲线C的方程为x2+2y2=2,即 x 2 y 2 1.
14
5.4 线段的定比分点与图形的平移
第二课时
题型3 平移公式的应用 1. (1)把点P(3,5) 按a=(4,5)平移 得点P′ 的坐标是________; (2)把函数y=2x2的图象F 按a=(2,-2)平移 得 F′,则F′的函数解析式是___________;

5.3线段的定比分点与平移

5.3线段的定比分点与平移

第五章 平面向量三 线段的定比分点与平移【考点阐述】线段的定比分点.平面两点间的距离、平移. 【考试要求】(6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用掌握平移公式. 【考题分类】(一)选择题(共7题) 1.(安徽卷理5)将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称,则向量α的坐标可能为( ) A .(,0)12π-B .(,0)6π-C .(,0)12πD .(,0)6π解:设平移向量)0,(m =,则函数按向量平移后的表达式为πsin[2()]sin(22)33y x m x m π=-+=+-,因为图象关于点)0,12(π-中心对称,故12π-=x 代入得: sin[2()2]0123m ππ-+-=,)(26Z k k m ∈=-ππ,k=0得:12π=m ,选C 。

本题也可以从选择支出发,逐个排除也可。

2.(福建卷理9)函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数y =-f ′(x )的图象,则m 的值可以为 A.2πB.πC.-πD.- 2π解:()sin y f x x '=-=,而()cos ()f x x x R =∈的图象按向量(,0)m 平移后得到cos()y x m =-,所以cos()sin x m x -=,故m 可以为2π. 3.(福建卷文7)函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后,得到函数y=g(x )的图象,则g(x )的解析式为A.-sin xB.sin xC.-cos xD.cos x 解:()cos()sin 2y g x x x π==+=-4.(湖北卷理5文7)将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是A.π125 B. π125- C. π1211D. 1112π-解: 平移得到图象F ,的解析式为3sin()33y x πθ=--+,对称轴方程()32x k k Z ππθπ--=+∈,把4x π=带入得75(1)()1212k k k Z ππθππ=--=--+∈,令1k =-,512θπ= 5.(辽宁卷理8文8)将函数21xy =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象,则A .(11)=--,aB .(11)=-,aC .(11)=,aD .(11)=-,a答案:A解析:本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。

高考数学总复习 定比分点及平移公式

高考数学总复习 定比分点及平移公式

高考数学总复习 定比分点及平移公式一、知识回顾1.点P 分有向线段12PP 所成的比λ的含义 2.线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ,即P 1=λ2PP,则=λ+111+1λλ+2OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ=1时,得中点公式:OP =21(1OP +2OP )或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x 3.平移公式设点P (x ,y )按向量a =(h,k)平移后得到点P ′(x ′,y ′), 则P O '=+a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x 曲线y =f (x )按向量a =(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y -k=f (x -h)定比分点坐标公式二、基本训练1.已知点(2,3),(1,1)M N --,点1(,)2P x 在线段M N 的中垂线上,则点P 的横坐标x 的值是 A. 52- B. 32- C. 72- D. 3-2.已知(,0),(3,2)A a B a +,直线12y ax =与线段AB 交于M ,且2A M M B =,则a 等于A. -4B. 2C. 2或-4D.-2或43.若点P 分AB 所成的比为34,则A 分BP 所成的比为 A. 37 B. 73 C. 73- D. 37- 4.(05全国卷Ⅱ)点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量v =(4,-3)(即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后点P 的坐标为 ( )A .(-2,4)B .(-30,25)C .(10,-5)D .(5,-10)5.(05湖南)P 是△ABC 所在平面上一点,若⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心6.设线段12P P 的长为5cm ,写出点P 分有向线段12PP 所成的比为λ (1)点P 在线段12P P 上,11PP cm =,则λ=______. (2)点P 在12P P 的延长线上,21P P cm =,则λ=______.(3)点P 在12P P 的反向延长线上,11PP cm =,则λ=______. 7.把函数2x y =的图像F 按向量a 平移后得到的图像F '的函数解析式为221x y -=-,则a =_____.8.把函数的图像F 按向量(,2)3a π=平移后得到函数2sin y x =的图像F ',则平移前图像F 的函数解析式为_______________.三、例题分析例1. 已知点12(2,1),(4,3)P P -,求下列情况下,点P 分有向线段12PP 所成的比λ及点P 的坐标:(1)点P 在线段12P P 上,且12114PP PP = (2)点P 在12P P 的反向延长线上,2123P P P P =例2. 已知(1,1),(2,3),(8,3)O A B -且,C D 是AB 的三等分点,试求,OC OD 的坐标.例3. 把函数2log (2)3y x =-+的图像经过怎样的平移,可以得到函数2log y x =的图像?变题:将函数72sin(2)13y x π=-+图像,按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求出a ;若不唯一,求出模最小的向量.例4.已知三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C--,点D分AB所成的比为13,E为BC上的点且使BDE∆的面积是ABC∆的面积的一半,求E的坐标.四、作业同步练习1055 定比分点及平移公式。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1).∴|AB |=212212)()(y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1,P ,P 2坐标间的关系.应注意:(1)点P 是不同于P 1,P 2的直线P 1P 2上的点;(2)实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比,即P 1→P ,P →P 2的顺序,不能搞错;(3)定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ,(λ≠-1).3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系,⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ,特别提示1.定比分点的定义:点P 为21P P 所成的比为λ,用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ>0时,P 为内分点;λ<0时,P 为外分点.2.定比分点的向量表达式:P 点分21P P 成的比为λ,则OP =λ+111OP +λλ+12OP (O 为平面内任一点). 3.定比分点的应用:利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.(2004年东北三校联考题)若将函数y =f (x )的图象按向量a 平移,使图象上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图象的解析式为A.y =f (x +1)-2B.y =f (x -1)-2C.y =f (x -1)+2D.y =f (x +1)+2 解析:由平移公式得a =(1,2),则平移后的图象的解析式为y =f (x -1)+2. 答案:C2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2-4y =4x ,则向量a 为A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-4,2)D.(4,-2)解析:设a =(h ,k ),由平移公式得⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-',,k y y h x x k y y h x x代入y 2=4x 得(y '-k )2=4(x '-h ),y '2-2k y '=4x '-4h -k 2, 即y 2-2ky =4x -4h -k 2,∴k =2,h =-1.∴a =(-1,2). 答案:A 思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示:由y 2-4y =4x ,配方得 (y -2)2=4(x +1),∴h =-1,k =2.(知道为什么吗?)3.设A 、B 、C 三点共线,且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A 点分所得的比为A.83 B.38 C.-83D.-38解析:设A 点分BC 所得的比为λ,则由2=λλ+1+105,得λ=-83. 答案:C4.若点P 分AB 所成的比是λ(λ≠0),则点A 分BP 所成的比是____________. 解析:∵AP =λPB ,∴AP =λ(-AP +AB ).∴(1+λ)AP =λAB . ∴AB =λλ+1AP .∴BA =-λλ+1AP .答案:-λλ+15.(理)若△ABC 的三边的中点坐标为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则△ABC 的重心坐标为____________.解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ,,,,, ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x ∴重心坐标为(-32,34).答案:(-32,34) (文)已知点M 1(6,2)和M 2(1,7),直线y =mx -7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2,则m 的值为____________.解析:设M (x ,y ),则x =231236++=515=3,y =2312372+⨯+=5214+=5,即M (3,5),代入y =mx -7得5=3m -7,∴m =4.答案:4 ●典例剖析【例1】 已知点A (-1,6)和B (3,0),在直线AB 上求一点P ,使|AP |=31|AB |.剖析:|AP |=31|AB |,则AP =31AB 或AP =31BA .设出P (x ,y ),向量转化为坐标运算即可.解:设P 的坐标为(x ,y ),若AP =31AB ,则由(x +1,y -6)=31(4,-6),得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ,此时P 点坐标为(31,4). 若AP =-31AB ,则由(x +1,y -6)=-31(4,-6)得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ,∴P (-37,8). 综上所述,P (31,4)或(-37,8).深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ,得AP =21PB ,则P 为AB 的定比分点,λ=21,代入公式即可;若AP =-31AB ,则AP =-41PB ,则P 为AB 的定比分点,λ=-41. A P B P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算,是解决向量问题的一般方法. 【例2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (4,1),B (3,4),C (-1,2),BD是∠ABC 的平分线,求点D 的坐标及BD 的长.剖析:∵A 、C 两点坐标为已知,∴要求点D 的坐标,只要能求出D 分所成的比即可.解:∵|BC |=25,|AB |=10,∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ,)(∴D 点坐标为(9-52,2). ∴|BD |=22423259)()(-+--=268104-. 评述:本题给出了三点坐标,因此三边长度易知,由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标,适当利用平面几何知识,可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法:设D (x ,y ),∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴〈BA ,BD 〉=〈BC ,BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BC BD BA BD BA ⋅⋅=⋅,即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =(1,-3),BD =(x -3,y -4),BC =(-4,-2), ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴(4+2)x +(2-32)y +92-20=0.①又A 、D 、C 三点共线,∴AD ,AC 共线. 又AD =(x -4,y -1),AC =(x +1,y -2), ∴(x -4)(y -2)=(x +1)(y -1). ②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ,∴D 点坐标为(9-52,2),|BD |=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高,或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分,本题又如何求解?请读者思考.【例3】 已知在□ABCD 中,点A (1,1),B (2,3),CD 的中点为E (4,1),将 □ABCD 按向量a 平移,使C 点移到原点O .(1)求向量a ;(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解:(1)由□ABCD 可得=,设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则⎩⎨⎧=-=-②①,.214343y y x x又CD 的中点为E (4,1),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③,.12424343y y x x 由①-④得⎪⎩⎪⎨⎧==,,22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==,,02744y x 即C (29,2),D (27,0). ∴a =(-29,-2).(2)由平移公式得A ′(-27,-1),B ′(-25,1),C ′(0,0),D ′(-1,-2). ●闯关训练 夯实基础1.(2004年福州质量检查题)将函数y =sin x 按向量a =(-4π,3)平移后的函数解析式为A.y =sin (x -4π)+3 B.y =sin (x -4π)-3 C.y =sin (x +4π)+3D.y =sin (x +4π)-3 解析:由⎩⎨⎧-'=-'=,,k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ,∴y '-3=sin (x '+4π).∴y '=sin (x '+4π)+3,即y =sin (x +4π)+3.答案:C2.(2003年河南调研题)将函数y =2sin2x 的图象按向量a 平移,得到函数y =2sin (2x +3π)+1的图象,则a 等于A.(-3π,1) B.(-6π,1) C.(3π,-1)D.(6π,1) 解析:由y =2sin (2x +3π)+1得y =2sin2(x +6π)+1,∴a =(-6π,1). 答案:B3.(2004年东城区模拟题)已知点P 是抛物线y =2x 2+1上的动点,定点A (0,-1),若点M 分PA 所成的比为2,则点M 的轨迹方程是____________,它的焦点坐标是____________.解析:设P (x 0,y 0),M (x ,y ).。

相关文档
最新文档