金融工程5

（0.10） 1个月即期利率 1×2远期利率
1
2
3
2个月即期利率 （0.105）
e0.10 ⋅ e? = e0.105⋅2
? = 0.11
16
第三节 远期利率协议
远期利率的确定
r
t
rF
T T*
r*
e
r ⋅(T −t )
*
⋅e
rF ⋅(T * −T )
*
=e
*
r * ⋅(T * −t )
rF ⋅ (T − T ) = r ⋅ (T − t ) − r ⋅ (T − t )
Pt − Pt −1 rt = Pt −1
rt
log
对数收益率
Pt = log( ) Pt −1
Pt − Pt −1 Pt 1 + rt = 1 + = Pt −1 Pt −1 Pt log(1 + rt ) = log( ) = rtlog Pt −1
3
收益和风险
收益的衡量 ——期望收益 风险的衡量
第三节 远期利率协议
远期利率协议（FRA） 远期利率协议（FRA）是买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始
的一定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义 本金的协议。 P82 案例5.3
直接执行 现金结算 ——管理利率风险、非需要真实借贷款 ＦＲＡ的多方： ＦＲＡ的多方： 利息的支付者，即名义借款人 的多方 ＦＲＡ的空方： ＦＲＡ的空方： 利息的获得者，即名义贷款人 的空方
E ( r2 ) = 25% , σ 2 = 20%
ρ12 = 0.5
1) x1 = 0.25, x2 = 0.75
2) x1 = 0.5, x2 = 0.5 3) x1 = 0.75, x2 = 0.25
9
E (rp ) = 23.75% E (rp ) = 22.5% E (rp ) = 21.25%
r
*
t
FRA的协议利率： K
T
r
名义本金：A
rK ⋅(T * −T )
rK rF
T*
[A⋅e
− A⋅e
rF ⋅(T * −T )
]⋅ e
− r * ⋅( T * − t )
19
利率模型介绍
布朗运动：
dr = a ⋅ dt + σ ⋅ dz
n
i =1
rp = x1 ⋅ r1 + x2 ⋅ r2 + L + xn ⋅ rn = ∑ xi ⋅ ri
资产组合的期望 期望收益率： 期望
E (rp ) = E ( x1 ⋅ r1 + x2 ⋅ r2 + L + xn ⋅ rn ) = x1 ⋅ E ( r1 ) + x2 ⋅ E (r2 ) + L + xn ⋅ E (rn )
14
远期利率协议的定价
远期利率协议（FRA） 远期利率协议（FRA）的价格
——远期利率协议中的理论协议利率，即远期利率
远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率 即期利率是指当前时刻起一定期限的利率
1个月即期利率 1×2远期利率 2×3远期利率
1
2
3
2个月即期利率
15
第三节 远期利率协议
远期利率的确定
i =1 i< j
n
i =1
i =1
= ∑ xi 2 ⋅ D( ri ) + 2∑ xi x j ⋅ cov( ri , rj )
i =1 i< j
n
1 let : xi = , D( ri ) = σ 2 n
D ( rp ) =
n
∑
i =1
1 11 ⋅σ 2 + 2∑ ⋅ cov( ri , r j ) 2 n i< j n n
D
E (r )
● ●
A
●
C
B
σ = D( r )
10
作业 金融工程作业４ 金融工程作业４：
根据历史数据，股票 的年收益率为 ％，收益率每天的波动为标准差 的年收益率为30％， 根据历史数据，股票A的年收益率为 ％，收益率每天的波动为标准差 0.05。股票 的年收益率为 ％，收益率每天的波动为标准差 的年收益率为15％，收益率每天的波动为标准差0.03。股票 的年 。股票B的年收益率为 ％，收益率每天的波动为标准差 。股票C的年 收益率为5％，收益率每天的波动为标准差0.01。 3只股票日收益率的相关系数均为 ％，收益率每天的波动为标准差 收益率为 ％，收益率每天的波动为标准差 。 0.8。当前的股价均为 元。 。当前的股价均为10元 1）如果我们现在总资产为 万元的股票 ，试估计 天后的总资产的期望值 万元的股票B，试估计30天后的总资产的期望值 ）如果我们现在总资产为3万元的股票 和标准差。 和标准差。 2）尝试找出一个股票Ａ、Ｂ、Ｃ的资产组合，使得这个组合的标准差和上 Ａ、Ｂ、Ｃ的资产组合 ）尝试找出一个股票Ａ、Ｂ、Ｃ的资产组合， 面的１ 近似，但期望收益率大于前者。 面的１）近似，但期望收益率大于前者。 尝试找出一个股票Ａ、Ｂ、Ｃ的资产组合， Ａ、Ｂ、Ｃ的资产组合 ３）尝试找出一个股票Ａ、Ｂ、Ｃ的资产组合，使得这个组合的期望收益率和上面
1 2 2 = ⋅σ + 2 n n
6
∑ cov( r , r )
i< j i j
投资组合风险的量化原理
Portfolios收益率方差的讨论：
1 2 2 D(rp ) = ⋅ σ + 2 n n
∑ cov( ri , rj )
i&l( ri ) = σ 2 n
1) let : cov( ri , rj ) = 0
7
投资组合风险的量化原理
例子：已知：资产组合Portfolios： P 例子
r1 , r2
x1 = x2 = 0.5
E ( r2 ) = 25% , σ 2 = 20%
E ( r1 ) = 20% , σ 1 = 10%
则 资产组合的收益率： 资产组合的期望 期望收益率： 期望 资产组合收益率的方差 方差： 方差
金融工程5 金融工程
资产组合 金融工程作业3 金融工程作业3：
1.(资产组合 根据历史数据，股票 的年收益率为 ％，收益率每天的波动 资产组合)根据历史数据 股票A的年收益率为 ％，收益率每天的波动 的年收益率为30％， 资产组合 根据历史数据， 为标准差0.05。股票 的年收益率为 ％，收益率每天的波动为标准差 的年收益率为15％，收益率每天的波动为标准差0.03。2 为标准差 。股票B的年收益率为 ％，收益率每天的波动为标准差 。 只股票日收益率的相关系数为0.8。当前的股价均为15元 只股票日收益率的相关系数为 。当前的股价均为 元。 1）如果我们现在总资产为 股股票 ，试估计 天后的总资产的期望值和标 股股票A，试估计30天后的总资产的期望值和标 ）如果我们现在总资产为2股股票 准差，画出其密度函数并计算VaR（30,99%） 准差，画出其密度函数并计算 （ ） 2）调节总资产的构成为：1股股票 和1股股票 ，试估计 天后的总资产的 股股票A和 股股票 股股票B，试估计30天后的总资产的 ）调节总资产的构成为： 股股票 期望值和标准差，画出其密度函数并计算VaR（30,99%） 期望值和标准差，画出其密度函数并计算 （ ）
的１）近似，但标准差小于前者。 近似，但标准差小于前者。
11
投资组合风险的量化原理
Markowitz 有效集
r1 , r2 ,..., rn
{P = ( x1 , x2 ,..., xn ) : x1 + ... + xn = 1}
可行集 feasible set
满足条件 1）给定风险水平下，有最大的 预期回报 2）给定预期回报水平下，有最小的风险 的投资组合形成Markowitz 有效集（边界） Markowitz 有效集（边界） Markowitz 有效集（边界）是凹的 最优投资组合（optimal portfolio)
T*
* r * (T * −t )
F = St ⋅ e
*
St ⋅ e F = F St ⋅ e r ( T − t )
*
18
r * (T * − t )
F = F ⋅e
r * (T * −t ) − r (T −t )
= F ⋅e
rF ⋅(T * −T )
不同远期价格之间的换算
远期利率协议的价值
r
σ p = 16.1%
σ p = 13.2% σ p = 10.9%
投资组合的效果
投资组合的收益 投资组合收益的期望 投资组合收益的方差
rp = x ⋅ r1 + (1 − x) ⋅ r2 E (rp ) = x ⋅ E ( r1 ) + (1 − x) ⋅ E (r2 )
D(rp ) = x 2 ⋅ D(r1 ) + (1 − x) 2 ⋅ D(r2 ) + 2 x(1 − x) ⋅ cov(r1 , r2 )
n
= ∑ xi ⋅ Ε( ri )
i =1
5
投资组合风险的量化原理
资产组合收益率的方差 方差： 方差
D(rp ) = E (rp − E (rp )) = E (∑ xi ⋅ ri − ∑ xi ⋅ Ε( ri ) ) 2
2
n
n
= E[∑ xi 2 ⋅ ( ri − E (rp )2 + 2∑ xi x j ⋅ ( ri − E (ri )( rj − E (rj ) ]
x1 = x2 = 0.5
风险分散原理： 选择相关程度较低、不相关或负相关的证券构成多样化 风险分散原理 的证券组合，能够降低资产组合的风险。随着证券数量的不断增加，组合风险 也会不断下降（组合的期望不变）。