分片近似法求解数学物理方程反问题
方程的近似解
方程的近似解大家好，我今天要谈论的是“方程的近似解”。
令()为有限多元函数，求解()=0的根，称为求解方程。
求解方程的方法很多，但它们能够准确求得根却不多。
在实际工作中，很多时候我们需要寻找近似解。
近似解指的是某个方程的接近解，但不完全等于0。
近似解的意义在于它们比根更容易求得，但仍可以用于算法的一些计算和应用。
通常来说，要找到近似解，就需要定义某个误差量来度量它们之间的差异。
在具体应用中，我们可以将误差量作为近似解的公式来计算。
以下是一些常用的近似解求取方式：（1）平方根法：平方根法是其中一种最古老的方法，可以用来计算一个方程的近似解。
它使用迭代法求出方程的近似解，直到解收敛为偶函数为止。
（2）牛顿法：牛顿法是另一种比较古老的方法，它使用多项式近似函数和偏导数来对方程求解。
它最初是由牛顿发明的，后来被改进。
牛顿法可用来计算一个特定方程的近似解，但它也有其缺点，即在特定情况下，它可能无法收敛到解。
（3）梯度下降法：梯度下降法是一种非常流行的数值方法，它可以用来求解一个多变量函数的极小值。
它使用步长来移动步长，以便在每个步骤上求出一个近似解。
该方法也有一定的局限性，它有可能陷入局部最小值。
（4）拟牛顿法：拟牛顿法是一种近似求解方程的近似方法，它使用迭代法更新解，直到解收敛到某个精度为止。
它的优点在于它的执行速度很快，而且可以在高精度下求得一个近似解。
以上就是关于求取方程的近似解的介绍。
有了这些算法，我们可以更容易地求出近似解，让方程更容易求解。
它们可以帮助我们更快地解决一些复杂的数值问题。
在实际应用中，我们还可以组合使用这些方法，在一定精度范围内，以更快的速度解决一些复杂的数值问题。
总之，方程的近似解对于许多数值计算问题来说是非常有用的，近似解的求取方法也有很多，比如平方根法、牛顿法、梯度下降法和拟牛顿法等。
我们可以根据实际应用情况，灵活选择这些方法，帮助我们更快地解决这些问题。
反问题概述
反问题（inverse problem）：给定零点 x1,x2,......,xn, 求 n 次多项式
p (x ) c (x x 1 )(x x n )
Adams 于1845 年彻底解决了这个反问题。他所运用的方 法在当时是空前新颖的。令人遗憾的是，英国天文学家Airy 先 入为主地认为天王星的轨道问题是引力定律不再适用的结果， 没有重视Adams 向他提交的新行星的轨道计算结果。
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几乎与此同时，法国人Le Verrier 独立地解决了同样 的反问题。1846 年9 月23 日，柏林天文台的Galle 按照Le Verrier 提交的计算轨道着手观测，当晚就在偏离预言位 置不到1 度的地方发现了一颗新的八等星。连续观测的数 据都与Le Verrier 的预测结果吻合得很好，证实这是一颗 新行星。这时英国天文台才想起了Adams 的工作，悔之 晚矣。
目前，国际上已经能够进行三维速度全波形反演。 弹性波全波形反演研究已经成为国际潮流。
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• 正问题，一般是按着自然顺序来研究事物的
演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。
• 反问题，是根据事物的演化结果，由可观测的
现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响， 起着倒果求因的作用。
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• 线性方程 Ax=y • y’=y+n
• 我国反问题的研究最早由计算数学家冯康倡导（1982）。 他把反问题列为计算数学四大问题之一（正问题、反问题 、逼近问题和代数问题）
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科学史上的著名的案例
1781 年，天王星被确认为太阳系的第7 颗大行星。40年后， 法国天文学家Bouvard 搜集了一个多世纪来的全部观测资料， 包括了1781 年之前的旧数据和之后的新数据，试图用牛顿的天 体力学原理来计算天王星的运动轨道。他发现了一个奇怪的现 象：用全部数据计算出的轨道与旧数据吻合得很好，但是与新 数据相比误差远超出精度允许的范围；如果仅以新数据为依据 重新计算轨道，得到的结果又无法和旧数据相匹配。Bouvard 的治学态度非常严谨，他在论文中指出：“两套数据的不符究 竟是因为旧的观测记录不可靠，还是来自某个外部未知因素对 这颗行星的干扰？我将这个谜留待将来去揭示。”
反问题方法
反问题方法摘要：一、反问题方法的概述1.定义和概念2.应用领域二、反问题方法的理论基础1.数学模型2.求解方法三、反问题方法的实践应用1.工程领域2.科学研究3.医学诊断四、反问题方法的发展趋势1.技术创新2.跨学科融合正文：一、反问题方法的概述反问题方法，作为一种重要的科学研究手段，旨在通过观测到的结果，逆向推断出背后的原因或者过程。
它具有广泛的应用前景，涵盖了诸多领域。
1.定义和概念反问题方法，指的是根据已知的输出，寻求对应的输入。
在数学、物理等领域，反问题通常是指求解偏微分方程的边界值问题。
2.应用领域反问题方法在多个领域都有广泛应用，如工程、科学、医学等。
通过反问题方法，我们可以更好地理解现象的本质，优化工程设计，提高诊断准确率等。
二、反问题方法的理论基础反问题方法的理论与数学模型密切相关。
数学模型是描述现实世界现象的抽象表达，通过建立合适的数学模型，我们可以将复杂的问题简化为求解数学方程组。
1.数学模型数学模型是反问题方法的基础，它将现实问题抽象为数学方程组，为反问题求解提供了理论依据。
2.求解方法求解反问题，通常采用偏微分方程的数值方法。
这类方法包括有限差分法、有限元法、边界元法等。
求解过程中，需要关注数值稳定性和精度，以确保结果的可靠性。
三、反问题方法的实践应用反问题方法在实践中的应用不断拓展，取得了显著的成果。
1.工程领域在工程领域，反问题方法被广泛应用于结构优化、电磁场计算、流体力学等方面。
通过反问题求解，可以优化工程设计，提高产品的性能。
2.科学研究在科学研究中，反问题方法有助于揭示现象的本质。
例如，在地球物理领域，通过反问题方法，可以推断地下结构；在天体物理领域，可以研究恒星的内部结构等。
3.医学诊断在医学领域，反问题方法在影像诊断中具有重要意义。
通过建立生物组织的物理模型，结合医学成像数据，可以实现对病变部位的定位和诊断。
四、反问题方法的发展趋势随着科技的不断发展，反问题方法在以下方面展现出良好的发展趋势。
数学物理方程反问题讲稿分析解析
2018/10/20
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什么是反问题？
反问题是相对于正问题而言的。以前面所举的“盲人听鼓” 反问题为例，它的正问题就是要在已知鼓的形状的条件下，研 究其发声规律，这在数学物理历史上已经研究在先，而且比较 成熟。此时鼓的所有谱都能通过一套算法利用计算机算出来。 我们可以这样理解：世间的事物或现象之间往往存在着一定的 自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。所谓正 问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布 形态，起着由因推果的作用。反问题则是根据事物的演化结 果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影 响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。可以看出， 正、反两方面都是科学研究的重要内容。
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我们经常遇到这样的问题：知道了某个事物的现在状
态，希望了解它的过去，即通常所说的“恢复历史的本来面 目。这往往可以提为逆时反问题。它所研究的对象一般要满 足某种类型的演化方程或数学模式。例如，通过远程测得的 某次爆炸产生的辐射波，如何确定爆炸的位置和初始能量？ 这是波动方程的逆时反问题；又如，根据近来的温度变化能 否确定过去某个时间的温度状态？这就成为热传导方程的逆 时反问题。
其中热交换系数为正常数 ，这是一个经典的指数衰减模型 ，确定表面温度的正问题有唯一解
u(t ) = A + (u(0) A)et
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这个解依赖外界温度 A、初始温度 u (0)和热交换系数 三个 参数。当然在适当时候表面温度观测值确定了识别参数 A 、 u (0) 和 的反问题的解。 热是一种形式的能量，物体的热含量是物体分子动能的一 种测量标准，温度计测量得的温度与物体分子的平均动能有 关。物体的热含量不仅依赖于它的温度，而且依赖于它的质 量，如3千克的铁球在给定的温度下，它的热能是相同温度 的1千克的铁球的3倍。热还与材料的种类有关，1千克的棉 花球在给定温度下，其热能比相同温度的1千克铁球的少。 这一思想可描述为：
谈初中物理中常用的数学方法
初中物理中常用的数学方法数学计算是指人们根据利用已有的知识，对一定的现象、规律进行数学计算，发现各个量之间的数学关系，从深一层次去认识新的事物的方法。
数学计算是研究性学习中必备的手段，是初中物理研究性学习中进一步认识事物中最可靠的工具。
通过数学计算，学生可以从定性认识事物发展到定量认识事物，使感性认识上升到理性认识，从而更准确地认识事物各个量之间的内在规律。
以下所列是初中物理中常用的一些数学方法：1、代入法“代入法”是指在研究物理问题中，已知因变量与自变量之间关系公式，将物理量直接代入公式进行计算的方法。
学会利用公式直接进行计算是学生解决问题的基本能力之一，它可以促进学生掌握物理量之间的来龙去脉，熟悉物理量在日常生活中的应用。
例：质量为0.5kg 的水，温度从 60℃降至40℃，会放出______J 的热量。
若将这部分热量全部被初温为10℃、质量为0.7kg 的酒精吸收，则酒精的温度将上升______℃。
[酒精的比热容为2.4×103J ／（kg ·℃），水的比热容为 4.2 ×103J ／（kg ·℃）]解：物体升、降温时吸、放的热量计算公式为：Q=c ·m ·Δt应用“代入法”进行解题时，可以根据公式用自变量求因变量，也可以根据公式用因变量求自变量，但要注意在计算过程中，物理单位必统一。
2、比例法“比例法”是指用两个已知的物理量的比值来表示第三个物理量的方法。
比值法可以充分体现出在两个物理量同时变化的条件下影响物理过程的真正因素。
例：现有两杯质量不同的液体酒精和水，若两者的质量之比为2∶3，求两种液体的体积比？（ρ酒精= 0.8×103kg/m 3，ρ水= 1.0×103kg/m 3） 解：658.0132=⋅=⋅==酒水水酒水水酒酒水酒ρρρρm m m m V V 另外，初中物理中的许多物理量是通过比值来介绍的，如：速度、密度、热值、电阻等等。
数学物理方程中反问题与不适定问题的数值方法
数学物理方程中反问题与不适定问题的数值方法
数学物理方程中反问题与不适定问题的数值方法是一种重要的数学工具，它可
以用来解决复杂的物理问题。
反问题是指从观测数据中推断出未知参数的问题，而不适定问题是指在给定的条件下，求解某种物理系统的状态的问题。
反问题和不适定问题的数值方法可以分为两类：一类是基于最小二乘法的方法，另一类是基于最优化的方法。
最小二乘法是一种经典的数值方法，它可以用来拟合数据，从而推断出未知参数。
最优化方法是一种更加灵活的数值方法，它可以用来求解复杂的物理系统的状态。
反问题和不适定问题的数值方法可以用来解决复杂的物理问题，例如，可以用
来求解复杂的流体动力学问题，用来求解复杂的热力学问题，用来求解复杂的电磁学问题，用来求解复杂的量子力学问题等等。
反问题和不适定问题的数值方法也可以用来解决实际应用中的问题，例如，可
以用来求解地震数据中的未知参数，用来求解气象数据中的未知参数，用来求解医学图像中的未知参数等等。
总之，反问题和不适定问题的数值方法是一种重要的数学工具，它可以用来解
决复杂的物理问题，也可以用来解决实际应用中的问题。
计算结果的近似处理方法
计算结果的近似处理方法作者：于梦梅来源：《试题与研究·中考物理》2015年第03期在解答物理计算问题时，计算结果往往会出现非整数（小数点位数较多或除不尽）的情况，需对其作必要的近似处理。
由于物理计算是应用物理知识通过一定的计算研究物理量之间的关系，其计算结果不仅是数量关系的表述，而且具有一定的实际的物理意义，若近似处理不当，会使整个解题功亏一篑，因此，能否正确处理计算结果是解题成功与否的关键一步，掌握正确处理计算结果的方法，是运用物理知识分析解决相关问题的必备的技能之一。
对于具体问题，应在应用相关物理知识对计算结果进行分析的基础上，以符合有关的物理规律和实际情况为前提，确定正确、合理的处理方法。
常用的计算结果的近似处理方法有以下几种：一、四舍五入法一般情况下，可依数学上的“四舍五入法”来处理计算结果（计算结果用有限小数表示），即根据题意确定保留位数，之后的那一位数字若小于或等于4，则将它和后面的数字全部舍去；若大于或等于5，则在需保留的最后一位数字上加1，再舍去后面的数字。
1.根据题目要求“四舍五入”有些计算中，考题明确提出“保留×位小数”，只需按要求对计算结果“四舍五入”即可。
图1例1.有一种电子秤的原理图如图1所示，它主要由三部分构成：踏板和压力杠杆ABO，压力传感器R（电阻值会随所受压力大小发生变化的可变电阻），显示重力大小的仪表（实质是电流表），其中AO长20cm，BO长5cm，压力传感器R的阻值与所受压力的关系如下表所示。
踏板和杠杆组件的质量可以忽略不计，电源电压为6V。
（1）重300N的学生站在踏板上时，双脚与踏板的接触面积为0.07m2，此时对踏板的压强是多大？（2）当重300N的学生站在踏板上时，通过压力传感器R的电流为________________________________________A。
（保留两位小数）解析：（1）学生对踏板的压强p=FNS=GS=300N0.07m2≈4285.71428571Pa采用“四舍五入法”，因保留的两位小数后的那一位是“4”，应舍去“4”及其后面的所有数字，故学生对踏板的压强p≈4285.71Pa。
数学物理方程第九章 数学物理中的近似解法
⎪⎧∆u1 ⎨
=
−
∂u0 ∂r
⋅
∂u0 ∂ϕ
⎪⎩u1 r=1 = 0
⎪⎧∆u2 ⎨
=
−
∂u0 ∂r
⋅
∂u1 ∂ϕ
−
∂u0 ∂ϕ
⎪⎩u2 r=1 = 0
M
这是一系列泊松方程的狄氏问题。依次求解每一个定解问题
⎧∆uk = f (u0 , u1,L, uk−1 ) ⎩⎨uk r=1 = 0
(k = 1,2,L)
若 k(x, t) 为退化核，则式（9.1.8）为
n
b
ϕ(x) = λ∑ ai (x)∫ bi (t)ϕ(t)dt + f (x)
i =1
a
（9.1.9）
b
∫ 令 Zi = bi (t)ϕ(t)dt ，则式（9.1.9）化为 a
n
∑ ϕ(x) = f (x) + λ ai (x)Zi i =1
将其代入积分式（9.1.8）得
我们用一个具体的例子来介绍正则摄支法解题的步骤。 例 1 试在单位圆内求解定解问题
⎪⎧∆u ⎨
+ε
∂u ∂r
∂u ∂ϕ
=
0(r
< 1,0
<ε
≤ 1)
⎪⎩u(r,ϕ) r=1 = cosϕ
（9.1.1）
解 这是一个含有小参量的非线性问题。当 ε = 0 时，显然，式（9.1.1）变为了线性定
解问题
⎧∆u = 0, r < 1 ⎩⎨u(r,ϕ) r=1 = cosϕ
的是近似解析解，我们以具有例子说明此方法。
∫ 例 2 求方程ϕ(x) = 1(1 − x cos xt)ϕ(t)dt + sin x 的近似解。 0
热传导方程的反问题
I
****大学毕业设计（论文）
英文摘要
I
****大学毕业设计（论文）
一 有关数学物理方程的一些概念
1.1 数学物理方程的概念： 数学物理方程通常指物理学、力学、工程技术和其他学科中出现的偏微分方 程。例如二阶线性偏微分方程，其一般形式为
������
������ ������ =
������ ,������ =1
∂2 ������ ������������������ + ∂������������ ∂������������
������
b������
i=1
∂������ + c������ = ������ ∂������������
式中， ������代表方程的维数， ������������������ ，c，������ 可以为常数也可以是连续的泛函， ������������������ = ������������������ 。 1.2 数学物理方程的分类 数学物理方程的分类方法较多， 一般有如下几种： 从数学分析的角度有线性、 非线性和拟线性之分； 从方程有无右端项的角度有齐次和非齐次之分；从数学上 三类典型问题的角度有双曲型、 抛物型和椭圆型之分，而与之对应的在物理学上 又分别称之为波动或振动方程、 热传导方程以及位势方程或拉普拉斯方程；从方 程的形式角度有一般形式和标准形式方程之分； 从未知函数及其导数前面的系数 角度有常系数和变系数偏微分方程之分。 2、定解条件和定解问题 一般而言， 只有一个偏微分方程而没有给出其他限制条件，则这个方程称为 泛定方程，对应的问题就是不确定问题。对于一个确定的物理过程，仅建立表征 该过程的物理量所满足的泛定方程是不够的，还需要附加一定的条件，这些条件 统称为定解条件。 定解条件应该恰恰足以说明系统的初始状态及边界上的物理情 况，所提出的条件既不能多也不能少，而且要与泛定方程相匹配，这些要求称为 条件的相融性。 泛定方程和定解条件一起所构成的问题称为定解问题。定解条件 又分初值条件、边值条件和混合条件，相应的问题分别称为初值问题（Cauchy 问题） 、边值问题和混合问题。 1、 解的适定性 一个定解问题提出后， 需要知道这个定解问题的是否存在，这便是解的存在 性问题；如果解存在，那这个定解问题的解是否只有一个，这边是解的唯一性问 题； 此外当定解条件或自由项的值作微小变化的时候，这个定解问题的解是否也 只作微小变化，这就是解稳定性问题。定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称 为定解问题的适定性， 一个问题如果存在唯一稳定的解， 就称这一问题是适定的， 否则就应该修改定解问题的提法，使其适定。 2、 数学物理方程研究的内容 一个实际问题，运用物理规律，经过合理假设、分析、简化得到一个数学模 型即偏微分方程， 然后对模型进行理论分析， 包括解的存在性、 唯一性、 稳定性， 再对问题求解，包括解析解、近似解或数值解，最后结合实际问题进行检验，这 些就是数学物理方程的正问题。如果微分方程中的系数、右端项、定解条件、定 义域等还含有一些未知的参数， 则确定这些参数并求出问题的解的过程称为数学 物理方程的反问题。 3、 热传导方程及其定解问题 4.1 热传导问题的陈述 如果空间某物体������ 内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高点向温 度较低点处流动，这种现象称为热传导。设有一个导热物体，在空间占据区域为 I
数学物理反问题不适定性理论研究
科技信 息
０高校讲台０
Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ Ｉ Ｆ ＭＡ Ｉ Ｃ Ｅ Ｃ Ｎ ＯＲ Ｔ ＯＮ
２０ 年 ０７
第５ 期
数学物理反问题不适定性理论研究
彭亚 绵 安 敏 纪 楠 杨 爱 民 （ 河北理 工大 学理 学院 河北 唐 山 ０ ３ ０ ） ６ ０ ９
Ａｚ ｕ ＝
适 定 性 的 概 念 是 数 学 家 Ｈａａ ａｄ在 １２ ｄｍｒ ９ ３年 首 先 针 对 偏 微 分 方
这个 概 念很 容 易 推 广 到 一 般 算 子 方 程 的 情 况 。 下 的算 子 理 论 框 架 下 ，其 中 ｚ和 Ｕ取 值 范 围分 别 为 度 量 空 间 Ｆ和 程 定 解 问题 提 出 的 ， Ｕ， 问 Ｆ和 Ｕ也 可 为 Ｂ ｎｃ 空 ａ ａｈ空 间 （ Ｈｉ ｅｔ 间 或 Ｓ ｂｌｖ空 间 ） 或 ｌ ｒ空 ｂ ｏ ｏｅ ， 面介 绍 一 般 性 的 适 定性 概念 。 已知两个 度量空间 ｕ和 Ｆ，元素间 的距离 分别为 Ｐ ｕ，２ （． （． ） ｕ， Ｘ Ｉ， Ａ 是定 义 在 Ｆ上 到 ｕ 的一 个 算 子 。 以下 以对 流— — 扩 散 方程 参 数 识 别 反 问题 为例 来说 明这 一 情 形 。 考 虑 对 流— — 扩 散 方 程 的初 边 值 问题
Ｏ 引言 ．
的元 素 ｚ计 算 Ａｚ即 Ｕ值 ， ， 而反 问 题 是 已 知 算 子 Ａ 和 ｕ 中 的元 素 Ｕ，
ｚ ｕ中 的 ｚ 即 ： ， 随 着 当代 各 门 科 学 技 术 相 互 交 叉 、 透 、 合 以及 对 系 统 的 深 人 解 算 子 方 程 Ａ ＝ 渗 融 正 问 题 ： 定 算 子 Ａ 和 ｚ计 算 Ａｚ ｕ 给 ， 得 。 了解 ， 们 不 再 满 足 对 系统 的 被 动 的 认 识 ． 是 试 图对 各类 系 统 进 行 人 而 反 问 题 ： 定 ｕ和 Ａ ， 给 解算 子方 程 Ａｚｉ得 ｚ ＝ Ｘ 。 这 样 就 把 反 问 题 纳人 了算 子理 论 的范 畴 ， 方 面 使 得 反 问 题 能 在 一 是 ， 问 题 应 运 而 生 。越 来 越 多 的 科学 技 术 领 域 正 在 提 出和 研 究 各 自 反 另一 方 面用 算 子 论 方 法 可 以更 深 刻 地 了 解 领域 中 的反 问题 。 以环 境 水 力 学 为 例 。 中存 在 很 多 要 求 对 水 流 及 伴 算 子理 论 框 架 下 统 一 处 理 ， 其 随水 流 的传 热 ， 质 过 程 实 现 控 制 的 问 题 ， 预 测 性 （ 正 问 题 ） 法 反 问题 的本 质 并 指 导 解 决 问题 的方 法 。 传 用 即 方 主动 的控 制 ， 系 统 按 照 指 定 的 方式 运 行 ， 而 达 到 预 期 的 目的 。 于 使 从
数学物理方程反问题讲稿
2011-8-11
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给你一只管子，不允许直接进入内部测量， 给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里 面的形状吗？如果管子是轴对称的， 面的形状吗？如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的 截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的Sondhi和 截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的 和 Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪 提供了一个方法： 提供了一个方法 在管子的一边发出声音， 器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管 器测量管口的位移速度和压力。 内的截面半径。 内的截面半径。 这个例子， 这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探 测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“ 测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“上天 入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“ 入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“入地 ”才能解决问题，比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的 才能解决问题，比如说石油勘探。 地下，无法直接观察油田的位置和储量， 地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来 探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元）， ），而且效率 探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率
2011-8-11
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Hale Waihona Puke 应用背景定向设计 物性探测 扫描成像 逆时反演及其他
2011-8-11
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工业生产离不开产品设计， 工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好 地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。 地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。在这 方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上， 方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上，最早的反 问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道， 问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道，单摆的等时性 只是在小角度的假设下才近似成立。 只是在小角度的假设下才近似成立。能不能找到一种特殊轨线 的摆，使它严格满足等时性？ 的摆，使它严格满足等时性？Huygens于1673年提出并解决了 于 年提出并解决了 这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线， 这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为
数学物理中的反问题
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems,A. Kirsch,Springer-Verlag,1996,第一版,0-387-94530-X；
数学物理中的反问题课程详细信息
课程号
00112530
学分
3
英文名称
Inverse Problem of Mathematical Physics
先修课程
数学分析、高等代数、计算方法、偏微分方程、泛函分析、最优化方法
中文简介
本课程主要介绍反问题提法，反问题数学理论和数值方法。
英文简介
This course will introduce what is inverse problem, the mathematical theory and numerical methods for inverse problems.
参考书
教学大纲
学习反问题基本方法，包含理论、分析和计算方法。
第一章：基本概念介绍
反问题提法、不适定问题
第二章：常见反问题举例
第三章：第一类积分方程正则化方法
第四章：特征方程反问题
存在性、唯一性、数值方法
第五章：反散射问题
散射、唯一性、数值方法、Born近似"
课堂讲授
平时成绩包含作业占20%，上机作业占30%，考试占50%。
方程近似解的两种求法
方程近似解的两种求法
二分法，又称分半法，是一种方程式根的近似值求法。
对于区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)\uc0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)。
1如果要求已知函数 f(x) = 0 的根 (x 的解)，那么
2先要找到一个区间 [a, b]，使f(a)与f(b)异号。
根据介值定理，这个区间内一定包含着方程式的根。
3求该区间的中点m=(a+b)/2，并找到 f(m) 的值。
4若 f(m) 与 f(a) 正负号相同，则取 [m, b] 为新的区间, 否则取 [a, m]。
5重复第3步和第4步，直至获得理想的精确度年才。
物理学 简化法
物理学简化法
物理学的简化法是一种将复杂的物理现象或问题简化为较为简单的模型或假设的方法。
简化法可以帮助物理学家更好地理解和解决问题，尤其是在复杂系统的研究中。
在物理学中，常用的简化法包括以下几种：
1. 假设法：在研究复杂的物理系统时，可以假设一些影响较小或不重要的因素为常数或忽略掉，从而简化问题的表达和求解。
2. 近似法：当物理现象非常复杂或难以求解时，可以采用近似方法来简化问题的求解。
常见的近似法包括线性近似、小角度近似、忽略摩擦力等。
3. 对称性法：利用物理系统的对称性来简化问题。
例如，对称物体的分析可以通过考虑对称轴或面上的一个部分来简化，减少计算的复杂度。
4. 统计法：对于大量微观粒子组成的系统，可以采用统计方法来简化问题的求解。
通过考虑系统的平均行为和概率分布，可以避免详细考虑每个微观粒子的运动。
简化法的使用要注意在简化问题的同时不丧失问题的关键特征和重要信息。
合理的简化可以大大提高问题的可解性和理解性，同时也有助于物理学的理论建立和实验验证。
两类数学物理反问题的数值解法的开题报告
两类数学物理反问题的数值解法的开题报告欢迎来到我的开题报告。
本文将介绍两类数学物理反问题的数值解法，分别是利用离散化方法的迭代算法和利用神经网络的机器学习方法。
一、迭代算法迭代算法是求解数学物理反问题的一种常用方法。
它的基本思想是，在已知解空间的基础上，利用已知信息对未知参数进行逐步修正，直到满足预定精度为止。
离散化方法是迭代算法中的一种常用手段。
其基本思路是把数学物理反问题离散化为一系列代数方程组，然后通过迭代求解这些方程组。
常用的离散化方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
在数值计算中，迭代算法有时还需要结合最优化技术。
最优化技术是找到使某个目标函数值最小或最大的变量值组合的一种数学方法，应用非常广泛。
最优化的本质是迭代算法，在求解数学物理反问题时也可以采用相应的最优化技术。
二、机器学习方法机器学习方法是求解数学物理反问题的另一种常用方法。
它的基本思想是利用大量的已知数据，通过学习算法自动建立数学模型，进而预测未知数据的结果。
在机器学习中，神经网络是一个常用的模型。
神经网络是由若干个节点和它们之间的连接组成的网络结构，通过对节点之间的权值进行学习，可以提高网络对未知数据的预测能力。
神经网络有多种结构，如前馈神经网络、反馈神经网络和卷积神经网络等，具体应用需要视情况而定。
机器学习方法还可以与其他数学方法相结合，如支持向量机、决策树和随机森林等。
在求解数学物理反问题时，采用机器学习方法可以更好地处理大规模非线性问题，并能够适应数据量大、维度高的情况。
以上就是本文介绍的两类数学物理反问题的数值解法。
采用迭代算法和机器学习方法的优缺点各有所长，选择何种方法需要结合具体问题进行考虑。
数学物理方程第九章 数学物理中的近似解法
（9.1.5）
这是泊松方程的狄氏问题，我们采用下述方法来求解。由式（8.1.5）右边函数的形式，我们 猜测方程的解应为
u1 (r , ϕ ) = f (r ) sin 2ϕ
式中， f (r ) 为待定函数，将之代入式（9.1.5）,得
1 3 ⎧ 2 ′′ ⎪r f (r ) + rf ′(r ) − 4 f (r ) = r 2 ⎨ ⎪ | f (0) |< +∞ ⎩ f (1) = 0,
f ′( x) = lim
f ( x + ∆x) − f ( x) f ( x) − f ( x − ∆x) = lim ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x f ( x + ∆x) − f ( x − ∆x) = lim ∆x →0 2∆x
我们把函数的增量 ∆f 与自变量 ∆x 的比值称为差商。因此，当 ∆x 很小时，可用下列三 种差商中的一种代替微商
~
~
∫ (1 − x cos xt )ϕ (t )dt + sin x 的近似解。
0
1
解 用 Taylor 级数表示核函数 k ( x, t ) = 1 − x cos xt ，则
x 3t 2 x 5 t 4 k ( x, t ) = 1 − x + − +L 2! 4! ~ x 3t 2 ，考虑方程 2
f ( x + ∆x) − f ( x) f ( x) − f ( x − ∆x) − ∆ x ∆x ′ ′ f ( x) ≈ ∆x = f ( x + ∆x) − 2 f ( x) + f ( x − ∆x) (∆x) 2
对于一个多元函数，也可用差商近似偏导数，例如对函数 u = u ( x, y ) ，可用对 x （或 对 y ）的差商来近似代替对 x （或对 y ）的偏导数
kdv方程 反问题
kdv方程反问题KdV方程是一种描述非线性波动现象的偏微分方程，其全称为Korteweg-de Vries方程。
它最早由荷兰物理学家Korteweg和de Vries于1895年提出，用于描述河流中的水波现象。
KdV方程是一类重要的可积系统，具有许多重要的数学性质和物理应用。
在实际问题中，我们经常需要通过已知的数据来反演确定方程中的未知项，即求解KdV方程的反问题。
反问题是指根据已知的输出数据，推断出输入数据或者模型参数的过程。
在KdV方程的反问题中，我们已知某一时刻波动的解析解或者实验数据，需要通过这些已知信息来反演出方程中的未知项，如初始条件或者边界条件。
这对于理解和预测非线性波动现象的演化规律具有重要意义。
在实际应用中，KdV方程的反问题广泛存在于各个领域。
以海洋科学为例，海洋中的内波传播现象可以通过KdV方程进行描述。
通过观测到的波动数据，我们可以反演出海洋中的内波的初始状态和边界条件，从而了解内波的形成和演化机制。
类似地，KdV方程的反问题也可以应用于其他领域，如气象学、地球物理学等。
针对KdV方程的反问题，常用的求解方法包括逆问题方法、最优化方法和统计方法等。
逆问题方法是通过构建逆问题的数学模型，利用已知数据进行反演计算。
最优化方法则是通过求解最优化问题，将已知数据与模型计算结果进行拟合，得到最优的输入数据或者参数。
统计方法则是通过对大量的实验数据进行统计分析，建立统计模型，从而推断出未知项。
KdV方程的反问题具有一定的挑战性，主要体现在以下几个方面。
首先，KdV方程是一类非线性偏微分方程，具有多个未知项，求解过程相对复杂。
其次，反问题中的已知数据通常存在一定的噪声和不确定性，需要进行适当的数据处理和误差估计。
此外，由于KdV 方程的非线性特性，反问题的求解往往需要借助数值计算方法，如有限差分法、有限元法等。
为了有效地求解KdV方程的反问题，我们需要采取合理的数值算法和优化策略。
首先，需要选择适当的数值离散格式和求解算法，以保证计算结果的精度和稳定性。
方程法定义
方程法定义一、方程法定义概述方程法，又称为代数法或解析法，是一种基于数学方程来描述、分析和解决问题的数值计算方法。
在数学、物理、工程等多个领域中，方程法都发挥着重要作用。
它利用数学原理，通过对方程的变形、化简、求解等操作，获得所需的结果或解决方案。
二、方程法的基本原理方程法的基本原理主要包括以下方面：1.代数运算：方程法涉及基本的代数运算，如加、减、乘、除等，以及更高级的运算，如乘方、开方等。
这些运算为方程的变形和求解提供了基础。
2.等量关系：方程法基于等量关系建立数学模型。
通过建立等式，将实际问题转化为数学问题，从而便于分析解决。
3.方程的求解：方程法的重要目标是求解方程。
根据方程的类型和复杂程度，可以采用不同的求解方法，如代数法、因式分解法、公式法等。
4.变量与参数：方程法中涉及的变量和参数必须满足一定的约束条件。
通过对这些条件的处理和分析，可以获得更深入的理解和解决复杂问题的能力。
三、方程法的应用举例方程法在多个领域都有广泛的应用，以下是几个具体例子：1.物理问题：在物理领域中，许多问题可以通过建立方程来解决。
例如，在力学中，牛顿第二定律就是一个基本的方程；在电路分析中，基尔霍夫定律也是一个重要的方程。
通过对方程的求解和分析，可以深入理解物理现象的本质。
2.经济问题：在经济领域中，方程法常用于描述和分析经济关系和问题。
例如，供需关系可以建立为一个方程；经济系统的优化问题也可以通过建立和求解方程来解决。
3.化学问题：在化学领域中，许多反应过程和物质性质都可以通过建立化学方程来描述。
通过对方程的分析和求解，可以了解化学反应的动力学特征和物质性质的变化规律。
4.工程问题：在工程领域中，方程法广泛应用于各个专业。
例如，在机械工程中，材料力学可以通过建立和分析应力-应变关系方程来解决；在航空航天工程中，飞行器的气动性能可以通过建立和求解流体动力学方程来分析。
四、方程法的优势与局限性1.优势：(1) 精确性：方程法基于数学原理，能够精确地描述和表达问题，避免了解释和推理的模糊性。
数学物理学的发展历程
数学物理学的发展历程物理问题的研究一直与数学密切相关。
作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和刚体的运动用常微分程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。
这种研究一直持续到今天。
例如，天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。
在十八世纪中，牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进了变分法的发展，并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。
十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。
直到二十世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。
此后，联系于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。
它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。
复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。
从二十世纪开始，由于物理学内容的更新，数学物理也有了新的面貌。
伴随着对电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。
许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探讨大范围时空结构时，还需要整体微分几何。
随着电子计算机的发展，数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决，由此发展起来的“计算力学”“计算物理”都发挥着越来越大的作用。
计算机直接模拟物理模型也成为重要的方法。
此外各种渐近方法也继续获得发展。
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分片近似法求解数学物理方程反问题童海滨11河海大学水资源环境学院(210098)E-mail: lbthb@摘要：指出了基于优化理论的数理方程反演方法的局限性。
分析了直接法的优点和缺陷，从弥补直接法的缺陷出发，借鉴有限元的思想并利用双差准则的优势，提出了数理方程反演问题的一种新的直接解法----分片拟合法。
论述了该方法的基本原理和需要解决的关键问题――近似函数的收敛性和系数确定过程中的计算量以及相应的对策――采用分片拟合以降低计算量，采用双差准则以防止近似函数的发散。
随后列举了一个常微分方程反演的例子以说明该方法的构造和求解过程。
与基于优化理论的反演方法相比，本文提出的方法不需进行微分方程的正演过程（数值正演或解析正演），不需经过参数的试算过程，即可直接由观测数据一次求出所需反演的参数。
数值实验的结果表明了本文所提算法的精确性和有效性。
关键词：数学物理方程 反演 优化 分片近似法 双差准则1．引言若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题，另一个反问题[1]。
微分方程是数学里的一个经典分支。
在自然科学的各个领域中存在着各种各样的微分方程。
对微分方程中的计算问题也分为两类：（1）已知方程的初始条件和（或）边界条件以及各种参数，求方程的解（数值的或解析的）。
（2）已知方程的解，求方程的初始条件和（或）边界条件以及方程中的未知参数。
各种应用领域的“预测”“预报”等问题常常可以归结为微分方程的正演问题，而“参数估计”和“模型识别”问题常可归结为微分方程的反演问题。
而更多的例子则同时涉及这两个过程。
如“控制”领域的某些问题。
依据常规思路，微分方程的反演问题可以看成一个优化问题，但换一种思路，微分方程的反演问题也可以看成一个方程求解问题。
依据前一种思路，首先要面对正演问题（无论是数值的，还是解析的），其次要面对优化问题。
在很多情况下，这意味着复杂的解析计算和（或）数值计算量，以及对最终结果是否是最优值的怀疑。
而第二种思路，如果不追求过于完美的解析式和（或）过于精确（实际上达不到，或不需要）的数值解，就给新方法的开辟拆除了人为的障碍。
2．基于优化理论的微分方程反演方法极其局限性基于优化理论的反演方法（算法流程如图1）的局限性包含在如下几个方面：（1）正问题的解析解一般不存在，而数值解的计算量又较大。
（2）如果需要反演的参数较多，则又需解决高维优化问题。
而高维优化，除非十分特殊的问题，目前还没有有效的求解方法。
或者说，在有限的计算量下，是不可能求得最优解的。
（3）解的不适定性[2]。
- 1 -图1. 基于优化理论的数理方程反演方法的算法流程图既然有那么多的缺陷，是否有更简便一些的方法呐？据前人的研究，还有所谓直接法，即根据实测点据的x，y值通过数值近似计算直接代入原微分方程，解出所求参数。
但此种方法对观测数据提出了较高的要求。
如果因缺少数据，而进行线性插值来补缺的话，则又会给计算带来严重的后果。
但在作者看来，这些缺陷是可以采取某些措施加以弥补的。
如果从实用的角度来看，与其花费巨大的计算量寻求一个不知是否适定的解，倒不如寻求一个计算量小且接近真值（或尚算实用）的解。
另外，由直接解法求参数，当观测数据少时，也并非只有“插值”一条路可走。
即使插值，如果处理得当，则亦不会“对计算带来严重的后果”，正如有限元法通过分片插值克服了传统的Ritz-Galerkin方法在构造子空间时所遇到的困难，并且可以使得形成Ritz-Galerkin 方程的系数矩阵时计算量大为减少以及使系数矩阵变为一个带装稀疏矩阵，从而减少了计算量和存储量[3]。
因而本文的思路仍然是直接法，并且主要的目的是构造对计算不会带来“严重后果”并且“适定”的直接法。
3．分片（段）近似法求解数学物理方程反问题3.1分片近似法的基本思想由直接法（算法流程见图2）求解数学物理反问题的最关键之处即在于如果近似解y＝y h(x)中包含大量的待定参数，并且逼近方法是采用的连续高次插值或拟合，则插值或拟合本身可能是不收敛的，或者即使收敛，需要求解一个计算量庞大的（甚至病态的）代数方程组才能求出近似解中所包含的待定参数。
但正如有限元法通过分片插值解决了传统Ritz-Galerkin法所固有的数值计算量大的难题一样，在直接法求反问题时，仍然可以采用这种“分而治之”的策略。
只不过有限元法是面向正问题，而本方法是面对的反问题而已。
另外插值或拟合的收敛性问题，可以采用特殊的优度准则加以处理。
本文采用最小二乘- 2 -- 3 -法和双差准则联合实用的方法，由“观测”数据拟合出所需的“最佳”多项式函数[4]。
图2.直接法求解数理方程反问题的算法流程图3.2一个算例3.2.1正问题 为了说明这种分片近似法求解逆问题的具体操作步骤，这里举一个常微分方程的例子。
正问题如下，已知一阶微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅+=00|()( y y k x p k y k dx dyx 为常数）(1)易知其解析解为：∫⋅⋅+=⋅−xkxxk dx ex p ek y y 00)((2)现不妨设k=1,p(x)=sin(x),y 0=0 则相应的初值问题的解析解解为：∫⋅=−xxxdx ex ey 0)sin((3)3.2.2 反演问题1 现在假定已知条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅+=00|()( y y k x p k y k dx dyx 为常数）(4)k ＝1， y(x i )=y i （i=1..n) 试求：p(x) 3.2.3算法流程（1） 由观测数据（x i ，y(x i )）（i=1..n)作y(x)的逼近函数y h (x)。
本例采用多项式拟合。
关于多项式的最佳次数的选择，文[3]给出了用最小二乘法和双差准则分别确定多项式的最佳系数和最佳拟合次数的算法流程，该算法防止了多项式拟合/插值在经验点处拟合精度较高，而在非经验点处又容易发散的缺点，具有较高的精度和较好的稳健性。
- 4 -（2） 把拟合出的y ＝y h （x ）和k ＝1代入微分方程（4）式中，直接解出函数p(x)的近似函数p ＝p h (x)。
因为y h (x)是多项式函数，所以求导运算也非常简单。
（3） 把求出的p h （x ）和p(x)（在本例中即指sin(x)）在区间[x 1,x n ]上作比较（或计算两函数之间的距离），估计结果的精度。
3.2.4数值实验按前面的算法在maple10上计算结果如下：分别取x i ＝i*L （i=1..10），以微分方程正演的解析解计算出的y(x i )值作为相应的“观测”数据y i 。
当L ＝0.1时，所得“观测”数据如表1所示；按最小二乘法和双差准则根据上述｛（x i ，y i ）| i=1..10｝拟合所得的最佳多项式y h (x)的次数和系数见表2, 函数曲线见图3；反演所得p(x)的近似解为多项式函数p h (x)，各项的次数和系数见表3。
表1“观测”数据｛（x i ，y i ）|i=1..10｝（L=0.1） x i0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y i 0.0048333347020.018666753020.040500969110.069338697140.10418618120.14405924730.18798040190.23498917280.28414330050.3345240601表2：y(x)的近似函数y h （x ）各项所对应的系数和次数（L=0.1）x i x 0x 1x 2 x 3a i-0.000141185314799867324 0.00167191325041083350 0.494800105936482104 -0.161831842252137814表3：反演所得p(x)的多项式函数近似解p h （x ）各项所对应的系数和次数（L=0.1） x i x 0x 1x 2x 3a i 0.001530727935 0.99127212500.0093045790-0.161831842252137814为直观的比较p h （x ）和p （x ）（在本例即sin(x)）的接近情况，下面给出这两个函数在区间[0.1,1]上的函数图像（如图4，其中红色线条代表sin(x)，绿色线条代表p h (x)）。
图3：函数y ＝y h （x ）的图像（L=0.1） 图4：p h （x ）和sin(x)的吻合情况（L=0.1）当L ＝0.7时，数值实验的各项结果如下：表4：“观测”数据｛（x i ，y i ）|i=1..10｝（L=0.7） x i0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0 y i 0.18798040190.53103977540.74525595000.66901027700.3079354216-0.1831596871-0.5807591995-0.7015673261-0.4906042156-0.04800188683表5：y(x)的近似函数y h（x）各项所对应的系数和次数（L=0.7）x i x0x1 x2 x3 x4 x5x6a i0.192229364728831870 -0.5918933867201554571.145207624365079500.4948001059364821040.0722*******70973572-0.161831842252137814-0.0000334497723159651932表6：反演所得p(x)的多项式函数近似解p h（x）各项所对应的系数和次数（L=0.7）x i x0x1x2x3x4x5x6a i-0.3996640220 1.698521861 -0.319221514 -0.199********.05609737292 -0.003435600379-0.0000334497723159651932图5：p h（x ）和sin(x)的吻合情况(L=0.7) 图6：p h（x）和sin(x)的吻合情况(L=0.3)因篇幅所限，下面仅给出当L＝0.3，0.5，1.0,1.2,1.6,1.7,2.0时，ph（x）和sin(x)曲线的对比情况（图6~12）：图7：p h（x）和sin(x)的吻合情况(L=0.5) 图8：p h（x）和sin(x)的吻合情况(L=1.0)图9：p h（x）和sin(x)的吻合情况(L=1.2 ) 图10：p h（x）和sin(x)的吻合情况(L＝1.6)- 5 -- 6 -图11：p h（x ）和sin(x)的吻合情况(L=1.7) 图12：p h（x ）和sin(x)的吻合情况(L ＝2.0) 由数值实验结果，我们看到在观测数据十分“稀疏”（例如L ＝1时）时，反演出的p h（x ）和p(x)仍然十分接近，这一方面表明“直接法”在运用适当时，还是有效的；另一方面，也表明“双差准则”在防止“插值”或“拟合”的发散方面，有较高的性能。