字母系数二元一次方程组复习课程

字母系数二元一次方程组
二元一次方程组中出现字母系数（包括字母常数），是我们经常碰到的问题，它比单纯解方程组要求高一些。

解此类问题首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，运用转化的数学思想，巧妙地列出相应的方程或方程组来解，请看下面的例子。

例1 若⎩⎨⎧-==2y ,3x 是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+5
ny mx 3,1ny 21mx 的解，求m 、n 的值。

分析：根据方程组解的定义，可把⎩
⎨⎧-==2y ,3x 代入方程组中，这样可得到关于m 、n 的二元一次方程组，解之即可。

解：把⎩⎨⎧-==2y ,3x 代入相应的二元一次方程组中，得⎩⎨⎧=-=-,5n 2m 9,1n m 3解得⎩
⎨⎧==.2n ,1m
例2 已知方程组⎩⎨⎧=+=+4y 5ax ,3y x 5与⎩
⎨⎧=+=-1by x 5,5y 2x 有相同的解，求a 、b 的值。

分析：两个方程组的解相同，也就是有一组x 、y 的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解。

所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解。

解：由已知可得⎩⎨⎧=-=+,5y 2x ,3y x 5解得⎩
⎨⎧-==.2y ,1x 把⎩⎨⎧-==2y ,1x 代入剩下的两个方程组成的方程组⎩⎨⎧=+=+,1by x 5,4y 5ax 得⎩⎨⎧=-=-,1b 25,410a 解得⎩
⎨⎧==.2b ,14a
例3 关于x 、y 的方程组⎩
⎨⎧=+=+2y 3mx 2,3y 4x 3的解中x 与y 的和等于1，则m 的值是 。

分析：方程组的解也必然是方程3y 4x 3=+的解，也是方程1y x =+的解，把它们组合
得方程组⎩
⎨⎧=+=+.3y 4x 3,1y x 这个方程组的解一定也是方程2y 3mx 2=+的解，代入这个方程即可求得m 的值。

解：由⎩⎨⎧=+=+,3y 4x 3,1y x 解得⎩
⎨⎧==.0y ,1x 代入2y 3mx 2=+，得1m =。

例4 k 为何值时方程组⎩⎨⎧=-=+②
①2y 4x 3,
2y 2kx 无解？
分析：将方程组消元，使之化为b ax =的形式，然后讨论一次项系数a 。

当0a ≠时，有唯一解a
b x =；当0a =，0b =时，有无数个解；当0a =，0b ≠时，无解。

反之也成立。

解：①×2＋②，得6x )3k 2(=+。

③ 由原方程组无解，知方程③也无解。

所以03k 2=+。

解得23k -
=。

当2
3k -=时方程组无解。

例5 小刚在解方程组⎩⎨⎧=-=+8y 7cx ,2by ax 时，本应解出⎩
⎨⎧-==,2y ,3x 由于看错了系数c ，而得到的解为⎩
⎨⎧=-=,2y ,2x 求c b a ++的值。

分析：尽管看错了c ，但是⎩⎨⎧-==2y ,3x 和⎩
⎨⎧=-=2y ,2x 都适合方程组中的第一个方程。

将它们代入第一个方程可得到关于a 、b 的二元一次方程组，可解出a 、b 的值，再由原方程组的解是⎩
⎨⎧-==,2y ,3x 可求出c 的值。

解：∵⎩⎨⎧-==2y ,3x 是方程组⎩
⎨⎧=-=+8y 7cx ,2by ax 的解， ∴⎩⎨⎧=+=-②①.814c 3,
2b 2a 3
由方程②，得2c -=。

设小刚把c 看成了n ，则⎩⎨⎧=-=2y ,2x 满足⎩⎨⎧=-=+④③8
y 7nx ,2by ax
由③可得2b 2a 2=+-。

⑤ 由方程①⑤组成方程组⎩⎨⎧=+-=-.2b 2a 2,2b 2a 3解得⎩
⎨⎧==.5b ,4a 所以7)2(54c b a =-++=++。

例6 要使方程组⎩
⎨⎧=-=+0y 2x ,16ay x 2有正整数解，求整数a 的值。

分析：首先解方程组（用含a 的式子表示x 、y 的取值），再由条件确定a 的取值。

解：解方程组⎩⎨⎧=-=+,0y 2x ,16ay x 2得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.4a 16y ,4a 32x
要使x 、y 均为正整数，则a ＋4必须是16和32的正整数因数，所以a ＋4只能等于1，2，4，8，16，故整数a 的值是－3，－2，0，4，12。

［练一练］
1、方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-21y kx ,1y 2x 4的解中x 与y 相等，则k ＝ 。

2、在二元一次方程组⎩
⎨⎧=++=++03my x 6,01y 3x 2中，当m ＝ 时，这个方程组有无数组解。

3、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+7ay bx ,3by ax 的解是⎩
⎨⎧==,1y ,2x 求a ＋b 的值。

4、已知关于x 、y 的方程组⎩
⎨⎧=-=+m 9y x ,m 3y 2x 的解也是方程17y 2x 3=+的解，求m 。

5、小明和小言同时解方程组⎩⎨⎧=+=+②①.1ay bx ,
16by ax
小明把方程①抄错了，求得的解为⎩⎨⎧=-=;3y ,1x 小言把方程②抄错了，求得的解为⎩
⎨⎧==.2y ,3x 求原方程组的解。

答案：1、0 2、9 3、.310b a =+ 4、m ＝1。

5、⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=.726y ,79x。