电动力学理论证明集锦
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学重点知识总结(期末复习必备)电动力学是物理学的重要分支之一，研究电荷之间相互作用导致的电场和磁场的规律。
在这篇文章中，我们将整理电动力学的重点知识，以帮助大家进行期末复习。
一、库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本定律。
根据库仑定律，电荷之间的力与它们的电量大小和距离的平方成正比。
即$$ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} $$其中$F$为电荷之间的力，$q_1$和$q_2$分别为两个电荷的电量，$r$为它们之间的距离，$k$为库仑常数。
二、电场电场是描述电荷对周围空间产生影响的物理量。
任何一个电荷在其周围都会产生一个电场，其他电荷受到这个电场的力作用。
1. 电场强度电场强度$E$定义为单位正电荷所受到的电场力。
即$$ E =\frac{F}{q} $$电场强度的方向与电场力方向相同。
2. 电荷在电场中的受力当一个电荷$q$在电场中时，它受到的电场力$F$为$F = qE$，其中$E$为电场强度。
3. 电场线电场线是一种用于表示电场分布的图形。
电场线从正电荷发出，或者进入负电荷。
电场线的密度表示电场强度大小，电场线越密集，电场强度越大。
三、高斯定律高斯定律是用于计算电场分布的重要工具。
它描述了电场与通过闭合曲面的电通量之间的关系。
1. 电通量电通量是电场通过曲面的总电场线数。
电通量的大小等于电场强度与曲面垂直方向的投影之积。
电通量的计算公式为$$ \Phi = \int \mathbf{E} \cdot \mathbf{dA} $$其中$\mathbf{E}$为电场强度，$\mathbf{dA}$为曲面元。
2. 高斯定律高斯定律表示电通量与包围曲面内所有电荷之和的比例关系。
即$$ \Phi = \frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_0} $$其中$\Phi$为通过曲面的电通量，$Q_{\text{内}}$为曲面内的总电荷，$\epsilon_0$为真空介电常数。
电动力学典型试题分析-证明题和答案解析
典型试题分析1、 证明题：1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=•∇B证明：由式：()()''0'3'0144dv rx J dv r r x J B ∇⨯=⨯=⎰⎰πμπμ又知：()()''11x J r r x J ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇，因此 ()()⎰⎰=⨯∇=⨯∇=r dv x J A A dv rx J B ''0''04 4πμπμ式中由 ()0=⨯∇•∇=•∇A B 所以原式得证。
2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.tAE ∂∂--∇=ϕ证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。
电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。
因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。
在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。
t B E A B ∂∂-=⨯∇⨯∇=式代入得：0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇t A E ，该式表示矢量t A E ∂∂+是无旋场，因此它可以用标势ϕ描述，ϕ-∇=∂∂+tAE 。
因此，在一般情况下电场的表示式为：.tAE ∂∂--∇=ϕ。
即得证。
3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式221cv l l -=。
答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。
如图所示，设物体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘∑。
若物体后端经过1P 点（第一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的物体长度。
物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。
在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。
对这两事件分别应用洛伦兹变换式得 2222'22211'11,1c vvt x x c v vt x x --=--=，两式相减，计及21t t =，有().*12212'1'2c vx x x x --=-式中12x x -为∑上测得的物体长度l （因为坐标21x x 和是在∑上同时测得的），'1'2x x -为‘∑上测得的物体静止长度0l 。
电动力学知识点归纳
电动力学知识点归纳电动力学是物理学的一个分支，研究电荷和电流以及它们与电场和磁场之间的相互作用。
电动力学是现代工程学和科学研究的基础，也是解释电子、电力、磁性材料、光学和无线通信等现象的关键。
以下是电动力学的几个重要知识点的归纳：1.库仑定律：描述了两个电荷之间的作用力，称为电场力。
它表明，两个电荷之间的作用力正比于它们的电荷量的乘积，反比于它们之间距离的平方。
2.电场：由电荷产生的电场是描述电荷周围的空间的力场。
电场可以通过电场线来可视化，箭头指向正电荷，箭头离开负电荷，线的密度表示电场的强度。
3.电势能和电势差：电势能是一个电荷在电场中的能量，它与电荷量、电场强度和距离之间都有关系。
电势差是沿电场中两点之间的电势能变化，用来描述电荷从一个点移动到另一个点时的能量变化。
4.电流和电阻：电流是电荷在单位时间内通过导体的量，通常用安培(A)来衡量。
电阻是导体对电流的阻碍，其大小与导体材料的特性有关。
欧姆定律描述了电流、电势差和电阻之间的关系，即电流等于电势差与电阻的比值。
5.麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组是描述电磁场行为的一组方程，它们是电动力学的核心。
方程组包括四个方程，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和高斯磁定律。
这些方程描述了电荷和电流如何产生电场和磁场，以及电场和磁场之间如何相互作用。
6.磁场：磁场是由电流产生的，可以通过磁感线来可视化，箭头指向磁南极，箭头离开磁北极。
磁场对运动带电粒子施以洛伦兹力，使其偏离原来的轨道。
7.麦克斯韦-安培定理：描述了电流生成的磁场的环路积分等于通过环路的总电流的情况。
它建立了电流与磁场之间的关系。
8.电感和电容：电感是储存电磁能的元件，通过存储磁场的能量来抵抗电流变化。
电容是储存电荷的元件，通过储存电场的能量来抵抗电压变化。
以上只是电动力学领域中的一些重要概念和原理，还有很多细节和衍生知识需要进一步学习和理解。
电动力学的应用也非常广泛，例如电路设计、电子设备制造、电力输送、无线通信等领域都离不开电动力学的原理。
电动力学知识点归纳
电动力学知识点归纳在物理学中，电动力学是研究电荷与电场、电磁场相互作用的学科。
它关注着电场、电荷、电容、电流和电磁感应等概念及其相互关系。
本文旨在对电动力学的相关知识点进行归纳，帮助读者更好地了解电动力学的核心概念和基本原理。
一、电荷与电场在电动力学中，电荷是一种基本粒子，具有正电荷和负电荷两种属性。
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电场则是由电荷产生的物理量，指的是某一点的电荷所具有的作用力。
电场的强度用电场强度表示，它是单位正电荷所受的力。
二、电势与电势差电势是描述电场中各点电能状态的物理量。
电势差指的是两个点之间电势的差异，常用符号∆V表示。
电势差可以通过电场强度的积分来计算，即∆V = ∫E·dl，其中E为电场强度，dl为路径微元。
三、电容与电容器电容指的是储存电荷的能力，是电容器的重要性质之一。
电容器由两个导体之间的介质隔开，其中一个导体带正电荷，另一个导体带负电荷，二者之间形成电场。
四、电流与电路电流是单位时间内通过某一截面的电荷量。
它是电荷在导体中的流动导致的。
电路则是由电源、导线和负载组成的。
电流在电路中的流动受到欧姆定律的控制，该定律表明电流与电压成正比，与电阻成反比。
五、电磁感应与法拉第定律当导体穿过磁场时，会在其两端产生感应电动势。
这个现象称为电磁感应。
根据法拉第定律，感应电动势的大小与导体在磁场中移动的速度和磁场强度的乘积成正比。
六、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，它由四个方程组成，分别是高斯定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和非电磁场的推广定律。
通过这四个方程，我们可以全面地描述电场和磁场的产生、变化和相互作用。
综上所述，电动力学是研究电荷与电场、电磁场相互作用的学科。
电动力学的核心概念包括电荷与电场、电势与电势差、电容与电容器、电流与电路、电磁感应与法拉第定律以及麦克斯韦方程组。
了解这些知识点能够帮助我们深入理解电动力学的基本原理和应用。
电动力学的相对论不变性
电动力学的相对论不变性 一、 四维电流密度矢量 电荷是洛仑兹标量，即：⎰=dv Q ρ=不变量设当电荷静止时电荷密度为0ρ，体积为0dV ，则运动时：022/1dV c u dV -=，0220/1ργρρu c u =-=电流密度u u J u 0ργρ==引入第四维分量04ργρu ic ic J ==得一四维矢量：),(0ρρμμic J U J==， 满足协变式νμνμJ a J =' 电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇t J ρ可写成0=∂∂μμx J ，它有明显的协变性：0='∂'∂μμx J 二、 四维势矢量在洛仑兹规范012=∂∂+⋅∇tc A ϕ 条件下的势方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-∇-=∂∂-∇0222022221ερϕϕμt J t Ac A微分算符μμx x t c ∂∂∂∂=∂∂-∇22221J A x x 0μμμ-=∂∂∂∂⇒，ρμϕμμ20c x x -=∂∂∂∂ 把A和ϕ合成一个四维矢量 ),(ϕμciA A =，满足变换式νμνμA a A = 则：μμμμμJ A x x 0-=∂∂∂∂满足协变式 μμμμμJ A x x '-='∂∂∂∂0 洛仑兹规范四维形式：0=∂∂μμx A ，满足协变式0='∂'∂μμx A 。
四维势满足变换式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='='='-=')()(2x z z y y x xvA A A A A cv A A ϕγϕϕγ 三、电磁场张量用势表示的电磁场为：⎪⎩⎪⎨⎧∂∂--∇=⨯∇=t A E A Bϕ在四维空间中ict x =4，4icA -=ϕ有：32231x A x A B ∂∂-∂∂=，13312x A x A B ∂∂-∂∂=，21123x A x A B ∂∂-∂∂=)()(411444214111x A x A ic t x x A x icA t A x E ∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂-∂-=∂∂-∂∂-=ϕ同理：)(42242x A x A ic E ∂∂-∂∂=，)(43343x A x A ic E ∂∂-∂∂=用νμμνμνx A x A F ∂∂-∂∂=作为分量引入一四维反对称张量：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=0000321312213123E ci E ci E ci E c i B B E c i B B E c i B B F 用张量，有： μνμνμμεμερJ x F J t E B E 00000=∂∂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+∂∂=⨯∇=⋅∇ 00=∂∂+∂∂+∂∂⇒⎪⎭⎪⎬⎫∂∂-=⨯∇=⋅∇νλμμνλλμνx F x F x F t B E B协变性的证明：在洛仑兹变换νμνμx a x =下，算符μx ∂∂的变换式为：νμνμx a x ∂∂='∂∂，故： βαγμανγνβαγνγμαβνβνμνx F a a a F a a x a x F ∂∂=∂∂='∂'∂)(μαμααμαβαβμαμμμJ J a J a x F a '===∂∂=000)()(满足协变性的要求。
电动力学_知识点总结
电动力学_知识点总结电动力学是物理学的一个重要分支，研究电荷、电场、电流、磁场等现象和它们之间的相互作用。
下面是电动力学的一些重要知识点的总结。
1.库仑定律：库仑定律描述了两个点电荷之间的力，它与它们之间的距离成反比，与它们的电荷量成正比。
该定律为电场的基础，用数学公式表示为F=k(q1*q2)/r^2，其中F是电荷之间的力，k是库仑常数，q1和q2是电荷量，r是两个电荷之间的距离。
2.电场：电场是指任何点周围的电荷所受到的力的效果。
电场可以通过电场线来表示，电场线从正电荷出发，指向负电荷。
电场线的密度表示了电场的强度，而电场线的形状表示了电场的方向。
3.电势能：电势能是指一个电荷在电场中具有的能量。
电荷在电场中移动时，会因电场做功而改变其势能。
电势能可以表示为U=qV，其中U是电势能，q是电荷量，V是电势。
4.电势：电势是一种描述电场中电场强度的物理量。
电势可以通过电势差来表示，电势差是指两个点之间的电势差异。
电势差可以表示为ΔV=W/q，其中ΔV是电势差，W是从一个点到另一个点所做的功，q是电荷量。
5.高斯定理：高斯定理是描述电场和电荷之间关系的一个重要定律。
它表明，穿过一个闭合曲面的电场通量等于该曲面内部的总电荷除以真空介电常数。
数学表达式为Φ=∮E*dA=Q/ε0，其中Φ是电场通量，E是电场强度，dA是曲面的微元面积，Q是曲面内的电荷，ε0是真空介电常数。
6. 安培定律：安培定律是描述电流和磁场之间关系的一个重要定律。
它表明，通过一个闭合回路的磁场强度等于该回路内部的总电流除以真空中的磁导率。
数学表达式为∮B * dl = μ0I，其中∮B * dl是磁通量，B是磁场强度，dl是回路的微元长度，I是回路内的电流，μ0是真空中的磁导率。
7. 法拉第定律：法拉第定律描述了电磁感应现象。
它表明，当一个导体中的磁通量发生变化时，该导体内产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
数学表达式为ε = -dΦ/dt，其中ε是产生的电动势，dΦ是磁通量的变化量，dt是时间的微元。
电动力学 基尔霍夫定律 证明-概述说明以及解释
电动力学基尔霍夫定律证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述电动力学是物理学中研究电荷与电流相互作用的分支，它是现代科学和技术中至关重要的学科。
电动力学的核心理论之一就是基尔霍夫定律，它是描述电路中电流分布和电压规律的基本原理。
基尔霍夫定律由德国物理学家叶夫根尼·奥托·波波夫（Gustav Robert Kirchhoff）于19世纪中叶提出，至今仍然被广泛应用于电路分析和设计。
这个定律在电路中的应用非常重要，因为它允许我们准确地计算电流和电压在复杂电路中的分布情况。
基尔霍夫定律包括两个关键点：基尔霍夫电流定律（Kirchhoff's Current Law, KCL）和基尔霍夫电压定律（Kirchhoff's Voltage Law, KVL）。
KCL指出在任何一个节点上，流入节点的电流总和等于流出节点的电流总和。
而KVL则表明沿着一个闭合回路的电压总和等于零。
通过基尔霍夫定律，我们可以推导出电路中复杂的电流和电压关系，从而有效地解决电路设计和分析中的问题。
这不仅在电子工程和电路设计中发挥着重要作用，也为各种电子设备的正常运行提供了基础。
本文将详细介绍基尔霍夫定律的理论基础和应用方法，并从数学角度给出基尔霍夫定律的证明过程。
通过这篇文章，读者们将能够更深入地理解基尔霍夫定律的原理和意义，以及如何利用它们进行电路分析与设计。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章结构部分旨在向读者介绍本文的组织结构和各个部分的主要内容。
通过清晰的文章结构，读者可以更好地理解文章的逻辑脉络和论证过程。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
下面将对每个部分的主要内容进行简要介绍。
引言部分（Introduction）旨在引起读者的注意并提出问题。
首先，我们将概述电动力学在物理研究中的重要性。
然后，对本文的结构进行说明，包括各个部分的目的和内容。
最后，明确本文的目的是为了证明基尔霍夫定律。
电动力学证明计算题范围
选择填空题在练习题范围13年电动力学证明计算范围：第一章： P7： 例题，P13：例题，P32：例题，P33：1、 2。
第二章：P42：例题3，P48：例题1；P53：例题1、例题2，P70：1、11。
第三章：P79：例题1、P106： 1。
第四章：1、用麦克斯韦方程推导电磁波的波动方程，#2、时谐情况下的波动方程－－亥姆霍兹方程的推导。
3、证明平面波满足亥姆霍兹方程，课件的例1、例一、有一平面电磁波，其电场强度为()()t z i xe e t x E 62102102100,--⨯-⨯=πππ （1）判断电场强度的方向和波传播的方向；（2）确定频率、波长和波速；（3）若介质的磁导率7410()μπ-=⨯亨米，求磁场强度；（4）求在位时间内从一个与xy 平面平行的单位面积通过的电磁场能量。
解：（1）E 沿x 轴方向振荡，kz x k =⋅ ，2102-⨯=πk ，沿z 方向传播。
（2）6102⨯=πω，)(1026Hz f ==πω，)(1022m k==πλ， )(108s m k v ==ω。
（3）v B E =，H B μ=，所以v E H μ=，从而5.210104100870=⨯⨯=-ππH 所以()t z i y e e H 621021025.2⨯-⨯-=ππ（H 与E 同位相同频率，与k 垂直且与E 垂直，故它在y 轴方向）。
（4）考虑S ：单位时间垂直通过单位横向截面的能量，vw S =)(250222J H B E w πμμε====。
P150：3，P151：7。
第六章：1、课件中的会讨论同时的相对性的三种情况。
2、会计算和固有时间和固有长度相关的问题和质量亏损和能量关系的计算，见老师的课件例3： μ子是1936年由安德森（C. D. Anderson ）等人在研究宇宙线中发现的，它可自发的衰变为一个电子和两个中微子。
自发衰变的平均寿命s 61015.2-⨯=τ，当高能宇宙射线质子进入地球上层大气中时，会形成丰富的μ子，设来自太空的宇宙线在离地面6000m 高空产生的μ子，可否在衰变前到达地面？已知μ子相对于地球的运动速率为v ＝0.995c 。
电动力学一一(麦克斯韦方程)
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应用高斯定理， 应用高斯定理，得微分形式
v ∂ρ ∇⋅J + =0 ∂t
------电荷守恒定律的微分形式。 ------电荷守恒定律的微分形式。 电荷守恒定律的微分形式
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讨论： 讨论： 1.当V是全空间，S为无穷远界面，由于在 上没 当 是全空间 是全空间， 为无穷远界面 由于在S上没 为无穷远界面， 有电流流出， 有电流流出，则有
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为源点x’上的电流密度 为由x’点到 设J(x’)为源点 上的电流密度，r为由 点到 为源点 上的电流密度， 为由 场点x的距离 的距离， 场点 的距离，则场点上的磁感应强度为
v v v v v µ0 J( x′) ×r B( x) = dV′ ∫ r3 4π
v v µ0 B( x ) = 4π v v Idl × r 3 r
局域性质： 局域性质：空间某点邻域上场的散度只和该点上的 电荷密度有关，而和其他地点的电荷分布无关。 电荷密度有关，而和其他地点的电荷分布无关。电 荷只直接激发其邻近的场，而远处的场则是通过场 荷只直接激发其邻近的场， 本身的内部作用传递出去的。 本身的内部作用传递出去的。
散度的局域性质： 散度的局域性质：虽然对任一个包围 着电荷的曲面都有电通量， 着电荷的曲面都有电通量，但是散度
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2. 电场的散度
高斯公式
∫
S
v v v v Ε ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ ΕdV
V
v v ρ ∇⋅ Ε = ε0
------高斯定理的微分形式 高斯定理的微分形式 ------电场的一个微分方程 电场的一个微分方程
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电荷是电场的源， 电荷是电场的源，电场线从正 电荷发出而终止于负电荷。 电荷发出而终止于负电荷。
电动力学习题
Chapter1电磁现象的普遍规律 计算、证明题1. 真空中有一静电场，场中各点z e E E =，试证明(1)当0≠ρ时，)(z E E =，即E 仅是z 的函数；(2)当0=ρ时，E 是常矢量. 【证】（1）由于z e E E =，且电荷密度0≠ρ，故000=∂∂+∂∂=⨯∇≠=∂∂=⋅∇y x e e E E xE y E z E ερ所以，得0,0≠∂∂=∂∂=∂∂zE x E y E 即z e E E =（2）当0=ρ时，由（1）中的结果，有00=∂∂=∂∂=∂∂=⋅∇xE y E zEE所以，当0=ρ时，电场E 为一常矢量，即均匀电场2. 在一个半径为R 的介质球内，极化强度矢量p 沿径向向外，其大小正比于离开球心的距离)0(>=00r p p p ，试求介质内、外的电荷密度、电场强度和电位移矢量. 【解】：利用介质中极化电荷体密度与极化强度的关系R r <时，00013)(p p p P -=⋅∇-=⋅-∇=r r ρ R r >时，0,022==P p ρ在R r =的球面上，极化电荷体密度R p R r r P 0=⋅=⋅-==p e p -p n 12）（σp ⋅-∇=P ρ由于球内、球面上电荷分布具有球对称性，故电场也具有球对称性，做一半径为r 的同心球面.由高斯定理⎰⎰=⋅dv d Sρε01s E 得，R r <<0时，有,3341400110100013021=+-=+=-==⋅=⋅r p r p p E D r p rE r r E P P εεερρπεπR r >时，有,00)434(142202223022=+===+=⋅p E D E R R r E P P εσπρπεπ3. 证明在载有稳恒电流电流的线性介质中，磁化电流分布在介质的不均匀处以及存在自由电流的地方 【证】：由于磁化电流密度M J ⨯∇=M对于线性介质，H H M )1(-==μμm x ，代入上式，得 HH H J ⨯∇-+⨯-∇=-⨯∇=)1()]1([)1(00μμμμμμM又因为是稳恒电流，故J H =⨯∇，所以J H J )1()]1([00-+⨯-∇=μμμμM4. 在同一空间中存在静止电荷的电场和永久磁铁的磁场，此时可能存在H E S ⨯=矢量，但没有能流，证明对于任一闭合表面有0)(=⋅⨯⎰s H E d S【证】：利用积分变化关系dv d VS⎰⎰⨯⋅∇=⋅⨯)()(H E s H E由于)()()(H E E H H E ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇对于静止电荷、永久磁铁产生的电磁场，属于稳恒场，且传到电流0=J ，故0,0=⨯∇=⨯∇H E代入得0(=⨯∇）H E 所以0)(=⋅⨯⎰Sd s H E5. 电流稳恒地流过两个线性导电介质的交界面，已知两导电介质的电容率和电导率分别为1ε、1σ和2ε、2σ，交界面上的电流密度分别为1J 和2J ，试求交界面上自由电荷面密度σ. 【解】：在介质的交界面上，自由电荷面密度n n D D 1212-=⋅=）（D -D n σ由于E D ε=且E J c σ=，其中c σ为介质的电导率，所以，得到J D cσε=代入，得n n J J 111222σεσεσ-=式中n 2J 、n 1J 是电流密度在界面处的法向分量 由于电流稳恒，J 满足0=⋅∇J ，在界面上有0)(1=-⋅J J n 2，即n n 21J J = 所以界面上自由电荷面密度21J n J n ⋅-=⋅-=)()(11221122σεσεσεσεσ6. 已知一静电场y x x x e e E λλ22--=，其中λ是实数，设某一时刻，在),,(000z y x 点沿z 轴方向把带电粒子注入到此电场中，带点粒子的质量为m ，电荷电量为e ，注入的初速度为)(00c v v <<，求粒子的运动方程的解，并说明所得的解得物理意义.【解】带电粒子运动时满足y x y e x e e dtd me e E rλλ2222--== 沿z y x 、、方向的分量方程分别为022222222=-=-=dtzd y me dty d m xm e dtx d m λλ由已知条件，0=t 时，z z y x v z y x e v e e e r 000,=++=，利用这些初始条件，解得tv z z t y y tx x 0000cos cos +===ωω，式中me λω2=7. 用高斯公式证明【证】用非零的任意常矢量c 点乘上式左边得)1(][⎰⎰⨯∇⋅=⨯∇⋅VVf c f c dV dV根据矢量分析公式)()(B A B A B A ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇）（令其中的f A =，c B =，便得)()(f c c f c f ⨯∇⋅=⋅⨯∇=⨯⋅∇）（因此（1）式左边⎰⎰⨯⋅∇=⨯∇⋅VVc f f c ）（）dV dV ]([又由高斯公式有⎰⎰⎰⎰⎰⨯⋅=⨯⋅=⋅⨯=⋅⨯=⨯⋅∇SSSSd dS S d d dV f S c f n c n c f S c f c f V)()()(）（所以⎰⎰⨯⋅=⨯∇⋅Sd dV f S c f c V因为c 为非零的任意常矢量，故得⎰⎰⨯=⨯∇Sd dV f S f V8.用斯托克斯定理证明⎰⎰⋅=⋅⨯SLS a l r a d d 2）（，式中a 为常矢量. 【证】由矢量分析公式有a a a r a a r r a a r r a 23)()()()()(=+-=⋅∇-⋅∇+∇⋅-∇⋅=⨯⨯∇⎰⎰⨯=⨯∇V f f S dS dV令r a F ⨯=，则由斯托克斯公式⎰⎰⋅=⋅⨯∇LSl F S F d d 和上式得⎰⎰⎰⋅=⋅⨯⨯∇=⋅⨯SSLS a S r a l r a d d d 2）（）（9.设电磁场的能量密度为)(21D H DE ⋅+⋅=w ，能流密度为H E S ⨯=.试由麦克斯韦方程证明：对于各向同性的绝缘介质来说，0=∂∂+⋅∇twS 【证】对绝缘介质来说，电导率为0=σ，这时麦克斯韦方程为)2()1(t t ∂∂-=⨯∇∂∂-=⨯∇DH B E由矢量分析公式)()(g f g f g f ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇）（得)()(H E H E H E S ⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇=⋅∇）（将（1）（2）两式代入上式得）（3)(H BD E D E H B S ⋅∂∂+∂∂⋅-=∂∂⋅-⋅∂∂-=⋅∇tt t t对于各向同性的介质来说，E D ε=，H B μ=电容率ε和磁导率μ都是常量，故有）（）（421D E E D E E E E D E ⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅t t t t t εε ）（）（521B H H B H H H H B H ⋅∂∂=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅=∂∂⋅t t t t t μμ将（4）（5）两式代入（3）式便得twt ∂∂-=⋅+⋅∂∂=⋅∇）（H B D E S 21所以0=∂∂+⋅∇twS10.由麦克斯韦方程组出发，求电导率为σ、电容率为ε的均匀介质内部自由电荷量ρ与时间t 的关系【解】设在这介质内部，由于某种原因，在0=t 时刻，有自由电荷分布，电荷量的密度为0ρ；到t 时刻，电荷量的密度变为ρ，则由麦克斯韦方程组得ρεσεσσρ-=⋅∇-=⋅∇-=⋅-∇=-⨯∇⋅∇=∂∂⋅∇=⋅∇∂∂=∂∂D E j j H D D )(tt tεσρρ-=∂∂t 1 求解，并利用初始条件便得teεσρρ-=0当∞→t 时，0→ρ。
电动力学的基础理论介绍
电动力学的基础理论介绍电动力学是物理学中研究电荷和电磁场相互作用规律的学科。
它包括静电学、电流学、磁学和电磁感应学等内容。
本文将简要介绍电动力学的基础理论，包括库仑定律、电场、电势和电磁感应等。
一、库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的基本规律。
根据库仑定律，两个电荷之间的相互作用力与它们的电荷量大小成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个力的大小由下式给出：F = k * (Q1 * Q2) / r^2其中F是电荷之间的相互作用力，Q1和Q2分别是电荷的大小，r是它们之间的距离，k是一个常数，被称为库仑常数。
库仑常数的数值约为9×10^9 N·m^2/C^2。
二、电场电场是电荷在空间中所产生的一种物理量，用来描述电荷之间相互作用的方式。
在电场中，一单位正电荷所受到的力被定义为电场强度。
电场强度可以根据下式计算：E =F / Q其中E是电场强度，F是电荷受到的力，Q是电荷的大小。
电场强度的方向与力的方向相同。
对于由点电荷产生的电场，其电场强度是一个向外的矢量。
三、电势电势是描述电场中某一点的能量状态的物理量。
它可以被定义为单位正电荷从无穷远处移到该点所做的功。
电势是一个标量，通常用V表示，其单位是伏特（V）。
电势是由电荷所产生的电场而引起的。
电荷与电场之间的关系可以由电势差来描述。
电势差是指两个点之间的电势之差，可以用下式计算：ΔV = V2 - V1 = - ∫E · dl其中ΔV是电势差，V1和V2分别是两个点的电势，E是电场强度，dl是沿电场强度方向的无穷小位移。
四、电磁感应电磁感应是当变化的磁场穿过导体或电流通过变化的磁场时，在导体中产生电流的现象。
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势与磁场变化率之积和导体的回路长度有关。
该定律可以用下式表示：ε = - dφ / dt其中ε是感应电动势，dφ/dt是磁通量的变化率。
根据楞次定律，感应电动势的方向总是使得感应电流产生的磁场的磁通量与外部的磁场变化率相抵消。
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备).doc 电动力学重点知识总结（期末复习必备）第一部分：电场与电势1. 电场强度（E）定义：单位正电荷在电场中所受的力。
公式：[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} ]性质：矢量，方向为正电荷受到的力的方向。
2. 电势（V）定义：单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的能量。
公式：[ V = \frac{W}{q} ]性质：标量，与参考点的选择有关。
3. 电势能（U）定义：电荷在电场中的能量状态。
公式：[ U = qV ]4. 电场线的绘制规则从正电荷出发，指向负电荷。
电场线不相交。
第二部分：高斯定理1. 高斯定理的表述通过闭合表面的电通量等于闭合表面内总电荷量除以电常数。
2. 高斯定理的应用计算对称性电场问题，如球对称、圆柱对称等。
第三部分：电容器与电容1. 电容器定义：两个导体板之间用绝缘介质隔开的装置。
功能：存储电荷和能量。
2. 电容（C）定义：电容器存储电荷的能力。
公式：[ C = \frac{Q}{V} ]单位：法拉（F）。
3. 电容器的充电与放电充电过程：电容器两端电压逐渐增加至电源电压。
放电过程：电容器两端电压逐渐降低至零。
第四部分：电流与电阻1. 电流（I）定义：单位时间内通过导体横截面的电荷量。
公式：[ I = \frac{Q}{t} ]2. 电阻（R）定义：导体对电流的阻碍作用。
公式：[ R = \frac{V}{I} ]3. 欧姆定律表述：在恒定温度下，导体的电阻与其两端电压成正比，与通过的电流成反比。
第五部分：磁场与磁力1. 磁场（B）定义：对运动电荷产生力的场。
性质：矢量场。
2. 磁感应强度（B）公式：[ \vec{B} = \frac{\vec{F}}{IL} ]单位：特斯拉（T）。
3. 安培环路定理表述：通过闭合回路的磁通量等于通过回路的电流乘以常数。
4. 洛伦兹力（F）公式：[ \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) ]性质：力的方向垂直于电荷的速度和磁场。
电动力学知识点
电动力学知识点
以下是 6 条电动力学知识点：
1. 电磁波啊，那可太神奇了！就像阳光一样无处不在。
你看咱们打电话、上网，这些不都是电磁波在发挥作用嘛！比如手机能接收到信号不就是电磁波的功劳嘛！
2. 静电场知道不？它可厉害着呢！就如同一只无形的手在掌控着电荷的分布呀。
你想想看，气球摩擦头发能吸住小纸片，不就是静电场在起作用吗！
3. 安培定律呀，就好像是电流的好朋友！电流通过导体的时候，安培定律可就发挥大作用啦。
就像家里的电线，安培定律保证了电流能正常传输呢！
4. 法拉第电磁感应，哇哦，这可真的超酷的！它就像是开启电磁转换的钥匙。
比如说发电机，不就是利用这个原理把机械能转化为电能嘛！
5. 电介质，它可默默奉献着呀！就好像是电场的保护者一样。
你看电容器里，电介质的存在可重要了，没有它怎么能储存电能呢！
6. 磁场呀，那可是很神秘又很强大的存在！好比是一个巨大的磁场能影响着周围的一切呢。
像扬声器能发出声音，不就是靠磁场和电流相互作用嘛！
我的观点结论就是：电动力学知识点真是太有趣太重要了，它们让我们的生活变得丰富多彩！。
学习电动力学的关键实验和理论
学习电动力学的关键实验和理论电动力学是物理学的重要分支之一，研究电荷、电场、电流、电磁感应等电磁现象及其相互关系的规律。
要全面掌握电动力学，除了理论知识外，实验也是不可或缺的。
本文将介绍学习电动力学的关键实验和理论，帮助读者更好地理解和应用电动力学的知识。
一、库仑定律实验库仑定律是电动力学的基础，描述了带电体之间电荷相互作用的规律。
学习电动力学的第一步便是要了解和验证库仑定律。
为此，我们可以进行简单的库仑定律实验。
实验步骤：1. 准备一块绝缘导体板（如硬纸板），在板的中心固定一根绝缘杆。
2. 在绝缘杆两端之间，分别固定两个金属小球。
3. 使用电源和导线将两个金属小球分别与正负极相连。
4. 分别给两个金属小球带上一定电荷。
5. 使用电子天平等仪器，测量金属小球之间的距离，并量测每个小球所带的电荷。
6. 记录观察到的相互作用力并进行比较与分析。
根据实验结果，我们可以验证库仑定律：两个电荷之间的作用力与电荷量的乘积成正比，与二者之间的距离平方成反比。
这个实验不仅可以让我们实践应用库仑定律，还能帮助我们理解不同电荷间的相互作用。
二、电场实验电场是电荷周围的一种物理场，存在于空间中。
了解和研究电场是电动力学的重要内容之一。
进行电场实验有助于我们深入理解电场的性质和特点。
实验步骤：1. 在实验室中准备一个点电荷，可以使用一块带电板或者一个高电位发生器。
2. 使用细针形的金属探针将它放置在空间中，探测周围的电场强度。
3. 分别在不同位置测量并记录电场强度。
4. 将探针位置作为参考点，测量不同方向的电场强度。
通过这个实验，我们可以确定电场的分布情况，研究电场强度与距离、电荷量之间的关系，从而进一步理解电场的性质和规律。
三、电容实验电容是描述电场储存能量的物理量。
学习电动力学中的电容理论，电容实验是不可或缺的环节。
我们可以通过电容实验来验证电容的性质和计算电容的方法。
实验步骤：1. 准备两块金属平板，将它们相互平行放置并保持一定的距离。
电动力学总结 郭版
库仑定律F 304'r QQ πε=r 电场强度E=304r Qπεr 电场强度磁通量的高斯定理⎰sE d s=0εQ 静电场的散度 ∆·E=ερ旋度 ∆×E=0 恒定电流时有∆·J =0 电荷守恒定律的微分形式（电流连续性方程）∆·J+t∂∂ρ=0 J 是电流密度 安培环路定律⎰LBdl =0μI⎰LBdl =0μ⎰sJ d s恒定磁场的一个基本微分方程∆×B=0μJ 恒定磁场的散度∆·B=0 电场的散度只存在于电荷分布的区域，没电荷分布的空间中散度为0 磁场的旋度只存在于有电流分布的导线内部，而周围空间是无旋的 磁场对电场作用的基本规律∆×E=-t ∂∂B 位移电流J D =0εt∂∂E 麦克斯韦方程组∆×E=-t ∂∂B ∆×B=0μJ+0μ0εt∂∂E ∆·E=0ερ ∆·B=0洛伦兹力公式F=q E+q v ×B 自由电荷密度f ρ 束缚电荷密度p ρ 电位移矢量D ：D=0εE+p ∆·D=f ρ 介质极化率e χ：p=e χ0εE 磁场强度H ：H=1μB-M ∆×H=J f +t∂∂D 磁化率m χ：M=m χH 介质中的麦克斯韦方程组∆×E=-t ∂∂B ∆×H=J+t∂∂D ∆·E=ρ ∆·B=0 介质中电磁性质方程D=εE B=μH J=σEεμσ分别为电容、磁导、电导率边值关系e n ×（E 2-E 1）=0 e n ×（H 2-H 1)=a e n ·（D 2-D 1)=σ e n ·(B 2-B 1)=0能量守恒定律微分形式∆·S+t∂∂w=-f ·v 能流密度S=E ×H 能量密度变化率t ∂∂w=E t ∂∂D+H t ∂∂B w=21(E ·D+H ·B )真空中S=1μE ×B w=21(0εE 2+01μB 2)静电势基本微分方程（泊松方程）∆2ϕ=-ερ边值关系21ρρ= σϕεϕε-=∂∂-∂∂nn 1122导体静电条件1内部不带静电荷，只能分布于表面，2导体内电场为0，3表面电场沿法线方向，表面为等势面，整体电势相等。
电动力学
第一章1. 根据算符∇的微分性与矢量性，推导下列公式：()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇21()()2A A A A A ⨯∇⨯=∇+⋅∇解：1）()()()()()A B B A B A A B A B ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇首先算符∇是一个微分算符，其具有对其后所有表达式起微分的作用，对于本题，∇将作用于A 和B 。
又∇是一个矢量算符，具有矢量的所有性质。
因此，利用公式()()()c a b a c b c a b ⨯⨯=⋅-⋅可得上式，其中右边前两项是∇作用于A ，后两项是∇作用于B 。
2）根据第一公式，令A =B 可得证。
2. 设u 是空间坐标x ,y ,z 的函数，证明：d ()dud ()du d ().du ff u u u u u u ∇=∇∇⋅=∇⋅∇⨯=∇⨯AA AA 证明： 1）f(u)(u)(u)d u d u d u d ()du du du dux y z x y z f f f f f ff u u x y z x y z ∂∂∂∂∂∂∇=++=⋅+⋅+⋅=∇∂∂∂∂∂∂e e e e e e 2）(u)d (u)d (u)d u u u()du du du y y x x z z x y z u x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇⋅=++=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂A A A A A A A e e ed duu =⋅∇A3）()()(u)(u)x y z x y z u x y z A u A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A()()()yy x x z z x y z A A A A A A y z z x x y∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂e e ed d d d d d u u u u u u ()()()du du du du du du d .duy y x x z z x y zA A A A A A y z z x x yu ∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=∇⨯e e e A3.设=r 'x 到x 的距离，r 的方向规定为从源点到场点。
电动力学
1、梯度定义式： 计算式：直角坐标系的算符：2、散度：描述矢量场空间中的某一点园和喙（通量密度）的大小。
散度定义式： 计算式：旋度：面元与所指矢量场f 之矢量积对一个闭合面S 的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。
3、旋度定义式： 计算式： 4、斯托克城的定理： 证明：例如：We know that5、四种力：Strong （强力） Electromagnetic （电磁力） Weak （弱力） Gravitational （引力）6、库仑定律：7、高斯定理： 高斯定律在微分形式高斯定律在积分形式梯度： 8、边界条件： 电势边界条件：9、泊松方程: 拉普拉斯方程:：场强E 的计算表达式：()TT 2∇=∇⋅∇ a. ()0=∇⨯∇Tb.()()vv v 2∇=⋅∇⋅∇≠⋅∇∇c.()0=⨯∇⋅∇T d ()()vv v 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇e. dz z T dy y T dx x T dT ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=z zT y y T x x T T ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇ld T ⋅∇=z zx y x x∂∂+∂∂+∂∂=∇ˆˆˆV div V δδ⎰⋅=→S d F lim )F (0 F ⋅∇zF y F x F zy x ∂∂+∂∂+∂∂=Acurl A ⎰⋅=⋅→C 0l d F lim n ˆ)F (F ⨯∇z y x y x z x z y ˆF F ˆF F ˆF F x y z x y z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=()⎰⎰⋅⨯∇=⋅C:S CS F l d F d ())ˆˆˆ(z T z y T y x T x T ∂∂+∂∂+∂∂⨯∇=∇⨯∇ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂+⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂=x y T y x T z z x T x z T y y z T z y T x 222222ˆˆˆ022=∂∂∂-∂∂∂yz T zy T ()0=∇⨯∇⇒T20ˆ4rr Q Q F ba a πε=Divergence of electricGauss’s Law)(10r Eρε=⋅∇00)(1ετρετqd r d E a d E ==⋅∇=⋅⎰⎰⎰ )(10r E ρε=⋅∇n E E below above ˆ0εσ=- 0=-below above V V 02ερ-=∇V 02=∇V ')'(''4130τρπεd r r r r r E Allspace⎰--=10、唯一性定理：任意一个封闭曲面，里面没有电荷，但是曲面边界上每一点的值都确定，那么内部的拉普拉斯方程的值就唯一确定。
电动力学理论证明集锦
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17．试证明良导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻。
[ 证明 ]
取 Z 轴指向导体内部，由于高频趋肤效应，导体内体电流密度为： 其中为表面处的电场。 此电流分布在导体表面附近厚度的薄层内——视为面电流 分布： 由此得面电流最大值平方为： 而导体内平均热功率密度为：
[ 证明 ]
设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为 , 由麦克斯韦方程之一 ( 安 培环路定理 ) 给出 对方程两边作任意闭合曲面积分，得 即给出总电流为 因为矢量场的旋度无散度 : ，故
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2. 若是常矢量，证明除 R=0点以外，矢量的旋度等于标量的负梯度，即， 其中 R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
《电动力学》理论证明集锦
为了扩充学生知识面， 强化理论体系的证明与验证过程， 巩固已学知识。在 此编撰了与《电动力学》课程相关的 20 余条理论证明内容，有的是基础理论， 但大部分是扩展内容。
第一章 电磁现象的普遍规律
1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流 的总和为零。
3．试由电场积分公式出发，证明。
[ 证明 ]
因为，， 得到
根据函数的挑选作用，给出
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4．试由毕奥 - 萨伐尔定律出发，证明。
[ 证明 ] [ 方法 1： 间接积分计算 ]
其中：。 直接计算可得。 以下进一步计算，分两步运算：
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《电动力学》理论证明集锦为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。
在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明内容，有的是基础理论，但大部分是扩展内容。
第一章电磁现象的普遍规律1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。
[证明]设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为,由麦克斯韦方程之一(安培环路定理)给出对方程两边作任意闭合曲面积分，得即给出总电流为因为矢量场的旋度无散度:，故--------------------------------------2. 若是常矢量，证明除R=0点以外，矢量的旋度等于标量的负梯度，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
[证明]在的条件下，有另一方面经比较以上两式的右边，便可给出的答案。
注释:本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》内容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）：（1）电偶极矩激发的电势：；（2）磁偶极矩产生的磁标势：；（3）磁偶极矩产生的磁矢势：。
--------------------------------------3．试由电场积分公式出发，证明。
[证明]因为，，得到根据函数的挑选作用，给出--------------------------------------4．试由毕奥-萨伐尔定律出发，证明。
[证明][方法1：间接积分计算]其中：。
直接计算可得。
以下进一步计算，分两步运算：①计算：其中第一项因为：；第二项运用稳恒电流条件，结果也为零。
②计算：最终得到：[方法2：直接积分计算]利用毕奥-萨伐尔定律直接作积分计算（交换积分次序）（利用）注意，则，有（运用斯托克斯公式）（交换积分次序）其中第一项用了奥高积分变换公式、第二项用了运算与无关。
注意到，进一步有化成微分式得[方法3：直接微分计算]利用公式和关系，直接计算因为（求导与函数变量无关），故利用函数的挑选作用，给出--------------------------------------5．试证明在均匀电介质中存在关系。
[证明]因为，并且，=常数，所以--------------------------------------6．试证明在均匀磁介质中存在关系。
[证明]因为，并且,=常数，所以--------------------------------------7．证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。
[证明]（1）两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律。
设两电流元相距，根据毕奥-萨伐尔定律给出：电流元1在电流元2处产生的磁场为同样，电流元2在电流元1处产生的磁场为其中。
应用安培力公式，给出电流元1对电流元2的作用力、电流元2对电流元1的作用力分别为虽然、，但一般情况下，，即，因此两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。
其原因是，不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。
（2）两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
方法1：（场）电流圈1（闭合回路1整体）在电流元2处激发的磁场为电流元2（电流圈2上的抽样）所受的磁力为进一步，电流圈1对电流圈2（整体两闭合回路）的作用力为其中第一项的积分为这里对回路2的积分应用了斯托克斯公式，是以闭合回路为周界的任意曲面，且应用了的结果。
所以同理可得比较以上两式，且注意到，可得。
方法2：（力）依据电流元1对电流元2的作用力给出电流圈1（闭合回路1整体）对电流元2的作用力为进一步，给出电流圈1对电流圈2（两个闭合回路整体）的作用力为其余运算同前（从略）。
综上可见，虽然两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力是满足牛顿第三定律的。
--------------------------------------8．已知一个电荷系统的偶极距定义为，利用电荷守恒定律证明的变化率为[证明]因为并矢的散度为,两边作积分得其中是的函数。
所以又，，故第二章静电场9．简略证明矢量场的唯一性定理。
[证明]假定有两个矢量场均满足定解条件，即引入差函数，则可见无旋，引入对应的势函数，代入的散度方程给出即势函数满足拉普拉斯方程，且在S面上将以上结果代入格林第一公式得到因为，所以。
又由于被积函数（非负），故上式成立的条件要求，即，亦即，满足所给定解条件的解是唯一性的。
--------------------------------------10．一块极化介质的极化矢量为，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为另外，根据极化电荷公式及，极化介质所产生的电势又可表为试证明以上两式是等同的。
[证明]因为，，所以。
证毕第三章静磁场11．试证明矢量场能够代表磁场。
[证明]检验是否等于0：因为的大小仅为的函数、方向沿，在球坐标系下容易求出满足高斯定理，故能够代表磁场。
再用另一场方程在球坐标系下计算旋度，求得对应的电流分布为--------------------------------------12．试证明规范变换函数满足泊松方程。
[证明]在的定义下，作规范变换：其中为任意可微的标函数（规范变换函数），则即虽不同于，但对应于同一个。
在静磁场中，人为常取（库仑规范）。
若，则可寻找，使，但对需要有限制：或即规范变换函数满足泊松方程。
第四章电磁波的传播13．大部分晶体属于各向异性介质，其中麦克斯韦方程组最简单的解是且。
试证明晶体光学第一基本方程成立。
其中为波传播方向的单位矢量。
[证明]应用无源区域的麦克斯韦方程组对于常幅矢和行波因子为的形式，存在代换：所以将以上关系代入展开式：得利用得即。
证毕--------------------------------------14．频率为的电磁波在各向异性介质中传播时，若仍按变化，但不再与平行（即不成立）。
（1）证明，但一般；（2）证明；（3）证明能流与波矢一般不在同一方向上。
[证明]（1）应用无源区域的麦克斯韦方程组由于仍按变化，则存在代换。
利用，上述方程化为由第一、第二式给出从而综上可见。
此外，虽然，但由于，故一般，直观图示如右。
（2）将代入中得。
（3）利用计算因为，所以上式中第二项不为0，即能流与波矢一般不在同一方向上。
注释:（1）本题中不再与平行，即不成立；但应用了，即是电各向异性介质。
（2）因为，即，又，故三者组成右手系；此外，因为，故三者共面，但不平行于。
显然，与之间的夹角也就是与之间的夹角。
--------------------------------------15．试证明在不同介质分界面上电磁波反射和折射时能量守恒。
[证明]设平面波的入射角、反射角和折射角分别为，分界面的面积为，其中为介质的法矢。
（1）入射到面积的功率为注意到一般介质，所以（2）反射波、折射波的功率之和为将电场矢量分解为垂直于和平行于入射面分量的叠加，即，，则由电场矢量垂直于、平行于入射面情况的菲涅耳公式得利用折射定律，即得其中第一项、第三项之和可以利用三角函数化为同理，第二项、第四项之和化为综合以上得最后，比较（1）式、（2）式的结果，可得，即入射波的功率等于反射波的功率与折射波的功率之和。
进一步表明反射波能量与折射波能量之和等于入射波的能量，即在不同介质分界面上电磁波发生反射和折射时遵守能量守恒定律。
注释:（1）本题结果，即可以借助于反射系数R和折射系数T进行表示。
反射系数和折射系数的定义为因为，所以即（2）电磁波在介质界面上发生反射和折射，其反射率和折射率的定义为，它们不同于反射系数和折射系数的定义。
由于反射波与入射波在同空间，但与折射波在异空间，所以。
--------------------------------------16．试证明导体内部透入任一体积的电磁波能量正好等于这块导体产生的焦耳热。
[证明]（1）设电磁场为：则在良导体内所以故在单位时间内由Z=0金属表面单位面积平均流入内部的电磁能量为（2）另外，金属内部的电流J引起焦耳热功率密度平均值为：故单位面积为底、Z为高的体积内，在单位时间内平均热耗能量为：其中，可见。
证毕--------------------------------------17．试证明良导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻。
[证明]取Z轴指向导体内部，由于高频趋肤效应，导体内体电流密度为：其中为表面处的电场。
此电流分布在导体表面附近厚度的薄层内——视为面电流分布：由此得面电流最大值平方为：而导体内平均热功率密度为：导体表面单位面积平均热功率为：将代入上式，有而良导体，所以与比较，可得表面电阻。
流电阻。
证毕第五章电磁波的辐射18．证明：如果和满足洛仑兹规范，则只要选择这样一个标函数使之满足，则新的矢势和标势，仍然满足洛仑兹规范。
[证明]设和是满足洛仑兹规范的势函数，作规范变换则将代入之，得表明，只要满足，则和也满足洛仑兹规范条件。
--------------------------------------19．证明荷质比相同的不同带电粒子构成的体系不会产生偶极辐射。
[证明]设体系有N个粒子，第个粒子的质量为，电荷为，总质量为M，粒子的荷质比相同，则体系的电偶极矩、磁偶极矩分别为（1）电偶极矩在的非相对论情形，应用质心运动定理。
质心的矢径为即，则。
由于系统不受外力，则质心加速度。
将代入电偶极矩中，给出因为，所以。
由电偶极矩辐射公式可知该体系不存在电偶极矩辐射。
（2）磁偶极矩其中体系的角动量，系统不受外力时角动量守恒，即，故。
由磁偶极矩辐射公式可知该体系没有磁偶极矩辐射。
--------------------------------------20．试证明真空中电磁场的动量公式可以用表示为。
[证明]∵另外即,所以代入得最后将上式代入得因为三个面积分的被积函数都反比于R的三次方，而S的边界面积正比于R的二次方。
因而注释:结合所证结果，给出一个应用示例：一质量为、带电为的粒子在磁场中运动，试在稳定情况下给出带电粒子的总动量。
因为，所以；考虑到带电粒子在磁场中以速度运动，机械动量为。
给出该带电为粒子在外磁场中的总动量为第六章狭义相对论21．试用相对论动量——能量的变换式证明：是一不变量。
[证明]因为，且，写成矩阵形式为即则--------------------------------------22．试证明在洛仑兹变换下与为不变量。
[证明]由电磁场四维张量变换关系可导出电磁场的变换关系：写为更紧致的形式为式中和分别表示与相对速度平行和垂直的分量。
（1）因为，所以，结论得证。
（2）因为所以，结论得证。
注释:四维物理量列表（1）四维坐标：；（2）四维电流：；（3）四维电磁势：；（4）四维波矢：；（5）四维电磁场张力张量：。