高中数学函数最值的求解方法
解题秘诀二次函数最值的4种解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。
本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。
一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。
3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。
4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。
5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
6.x和y的值就是二次函数的最值。
二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。
3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
4.x和y的值就是二次函数的最值。
三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。
四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。
通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。
求最值方法--高考数学复习
求最值方法 -- 高考数学复习一问一答 -------- 最值问题方法总论1高中数学求最值有哪些方法？答：有 9 种方法： 1）配方法 2）鉴别式法； 3）不等式法； 4）换元法； 5）函数单一性法； 6）三角函数性质法； 7）导数法； 8）数形联合发；9）向量法2如何将恒成立问题转变为最值问题？答：1) a f ( x)恒成立，则a f (x)max 2）a f ( x)恒成立，则 a f (x)min一元整式函数最值1、二次函数张口方向、对称轴、所给区间均确立,如何求最值 ?答：1）确立对称轴与x轴交点的横坐标能否在所给区间。
2）假如在所给区间，一个最值在极点处获得，另一个最值在与极点横坐标较远的端点处获得。
3）若不在所给区间，利用函数的单一性确立其最值。
2、二次函数所给区间确立，对称轴地点变化，如何求最值 ?答： 1）挪动对称轴，将对称轴平移到定区间的左边、右边及区间内议论， 2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。
3、二次函数所给区间变化，对称轴地点确立，如何求最值 ?答：分类议论，分为四种状况： 1）对称轴在闭区间左边；2）对称轴在闭区间右边3）对称轴在闭区间内且在中点的左边； 4）对称轴在闭区间内且在中点的右边（或过中点）；4、二次函数所给区间、对称轴地点都不确立，如何求最值 ?答：将此中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，而后如上分四种状况进行议论。
5、什么状况下运用基本不等式求最值？答：当两个变量的和或积为定值时运用，有时需要变形。
即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
6、对于多项式乘积的最值问题，如何求解答：能够考虑睁开后，利用基本不等式求解7、如何求复合型函数的最值答：若函数f ( x), g( x) 在 [ mn.] 上单调性相同，则h( x) f (x)g(x) 在 [m.n] 上与 f ( x), g( x) 有同样的单一性，可利用单一性求h( x) 在[ mn.] 上的最值。
高中数学函数求最值常用方法总结
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。
三角函数最值问题求法
三角函数最值问题求法三角函数是高中数学中常见的一种函数类型，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在解决三角函数最值的问题时，我们通常需要根据特定的条件和信息来确定函数的最大值或最小值。
下面将详细介绍三角函数最值问题的求解方法。
1.函数的定义域和值域分析：在解决三角函数最值问题之前，我们首先要对函数的定义域和值域进行分析。
不同的三角函数具有不同的定义域和值域，对于正弦函数和余弦函数，其定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；而对于正切函数，其定义域是除去kπ（k∈Z）的全体实数，值域是整个实数集。
2.函数的周期性利用：三角函数具有周期性的特点，即对于一些三角函数f(x)，存在正整数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)。
利用函数的周期性特点，我们可以通过分析一个周期内的变化趋势，从而确定函数的最值。
常见的周期为π或2π。
在具体求解过程中，我们可以通过将函数的自变量进行换元，使其处于一个周期内进行分析。
3.导数的求解和极值点分析：如果一个三角函数是连续的，并且在一些区间内可导，则可以通过求导数的方法来确定指定区间上的局部最值。
我们可以通过求导数并令其等于零，求解出导数为零的点，然后通过第一、第二导数的正负性进行判断，得出函数的极值点和最值。
同时，我们还可以利用导数的符号变化来确定驻点和极值点的位置。
4.图像分析法：对于特定的三角函数问题，我们可以通过观察函数的图像来推测函数的最值。
通过绘制函数的图像，并结合定义域和值域的分析，我们可以直观地判断出函数在一些区间上的最值。
对于常见的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以通过观察其图像的特点，确定函数在一个周期内的最值位置。
5.利用特殊三角函数的性质：在求解三角函数最值问题时，我们可以利用特殊的三角函数性质来进行分析。
例如，正弦函数和余弦函数在定义域内是交错递增和递减的，因此我们可以通过分析数值的正负性来确定函数在一些区间上的最值。
而正切函数在定义域上的周期是π，其在相邻两个零点之间是增函数还是减函数，从而确定函数的极值点。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1设－2≤x≤3，求函数的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1.转化为求直线斜率的最值。
例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。
而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。
因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。
求函数值域(最值)的方法
求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。
综上，求出y 的范围。
如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.222221620,32163(2)6266x y xxxx+>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2xx+=+，即22x=时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.3、 裂项例3已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号.所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时， 等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为【例题解析】 例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5已知x，y为正实数，且2212yx+=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a bab+≤.12，==下面将x=2212222yx++≤4=当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以的最大值为4.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265D ．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设的最小值是( ) A. 10 B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。
二次函数最值问题解题技巧
二次函数最值问题解题技巧二次函数最值问题是高中数学中常见的一类问题，也是中考、高考中经常出现的题型之一。
解题时需要掌握一些解题技巧，下面就介绍一些二次函数最值问题的解题技巧。
1. 求最值的方法二次函数的最值可以通过求解二次函数的顶点来得到，顶点即为最值点。
二次函数的顶点公式为：(-b/2a , f(-b/2a))。
其中，a、b、c分别为二次函数的系数，f(x)表示函数值。
2. 求最值的条件要求二次函数的最值，必须先要满足二次函数的a值不为0，否则该函数就不是二次函数。
其次，需要根据二次函数的符号来判断最值，当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
3. 求最值的步骤求解二次函数的最值，一般可以分为以下几个步骤：（1）将二次函数化简为标准形式：y=ax+bx+c。
（2）求出二次函数的顶点坐标：(-b/2a , f(-b/2a))。
（3）判断二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
（4）用最值来解题：根据题目要求，将二次函数的x值代入函数中求出对应的y值，从而得到函数的最值。
4. 拓展除了方法和步骤外，还有一些需要注意的点：（1）二次函数最值问题常常伴随着图像问题，需要将函数的图像画出来，从而更直观地理解问题。
（2）对于一些复杂的二次函数，可以借助计算器等工具来求解，但需要掌握求解方法和步骤。
（3）对于二次函数最值问题的解题，需要练习多种不同类型的题目，从而提高解题能力。
总之，掌握二次函数最值问题的解题技巧，需要学生在学习中不断积累，多加练习，从而提高数学解题能力。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=n i bi x ai y 1的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1. 转化为求直线斜率的最值。
例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析 函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。
高中数学求函数值域解题方法大全
高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。
例1：求函数y=x+1的值域。
解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。
例2：求函数y=1/x的值域。
解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。
解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。
二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。
解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。
变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。
解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。
例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。
高中数学函数最值问题的几种求解方法
高中数学函数最值问题的几种求解方法摘要：在高中数学的课程内容中，函数是占比非常大的部分学习内容。
最值问题，也是函数课程学习中最有难度且在考试中比较常考的一个知识点。
关于最值的求解，在具体的解题方法上有多种不同的类型，不同的解题方法，其应用中的思路和解题的关键要点都是有差异的，本文重点针对几种比较典型且求解效率较高的函数最值求解方法进行探讨，从而为高中阶段数学课程中的函数课程的学习提供参考。
关键词：高中数学；函数问题；最值求解；单调性；配方法引言：对于函数题目的求解而言，解题的思路不同，则具体应用的解题方法与技巧也是有所差别的，不同的题目类型，其最值求解的原理和思路也有细微的差别，在具体的解题方法选择应用的过程中，应当结合题目的已知条件，对于具体的解题方法进行科学的选取。
一、函数最值问题的特征分析（一）题型有多种不同的变化从本质上来讲，题型的多变性也意味着在解题中需要应用多种不同的方法来进行解题，这也符合函数最值求解的基本性质，从具体的题型角度来讲，这一点的具体表现是，虽然在最终的解题目标上，具体的题目都是对函数最值的求解，但从题目本身的呈现形式上，其就具有丰富性比较强的典型特征，另外，随着题目组织形式的变化，实际上也意味着函数最值问题在解答时的切入点和所适应的解题方法会发生变化，这在一定程度上反映出了函数最值问题本身的难度较高的特征[1]。
（二）题型解答涉及多种类型的知识这一点主要是指，在解决一个函数最值问题的过程中，需要涉及的知识内容具有多元性特征。
例如，虽然在形式上是单一的最值问题的解答，但在题目的思考解答过程中，需要学生掌握的思考方法和相关的数学知识是具有多样性的要求的。
这对于学生在解题中的思维灵活性和数学知识掌握的综合性都有很高的要求，这也意味着在具体的题目解答中，需要掌握科学的解题方法，方可切实解决具体的数学问题。
二、不同的最值解题方式的具体阐述（一）利用配方法解题这种函数机制的解题方法在这类问题的整体解答中，属于应用频率比较高，其应用的普遍性较强的一种方法，下文以一个具体的题目实例举例说明这种方法在函数最值求解中的应用。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数∑=+=ni bi x ai y 1的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1 设－2≤x≤3，求函数12+++-=x x x y 的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,min y 3=；当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
max y =max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝, min y =min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1. 转化为求直线斜率的最值。
例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin θ、－cos θ）两点直线的斜率。
高中求最值的方法总结
高中求最值的方法总结三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一。
以下是小编整理的高中求最值的方法总结,欢迎大家前来查阅。
高中求最值的方法总结篇1方法一：利用单调性求最值学习导数以后，为讨论函数的性质开发了前所未有的前景，这不只局限于基本初等函数，凡是由几个或多个基本初等函数加减乘除而得到的新函数都可以用导数作为工具讨论函数单调性，这需要熟练掌握求导公式及求导法则，以及函数单调性与导函数符号之间的关系，还有利用导数如何求得函数的极值与最值。
例1 已知函数，当x∈[-2，2]时，函数f(x)的图象总在直线y=a-e2的上方，求实数a的取值范围。
分析：此题属于恒成立问题，恒成立问题大都转化为最值问题。
解：原问题等价于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。
令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原问题等价于a 下面利用导数讨论g(x)的最小值，求导可得g'(x)=x(1-ex)。
当x∈[-2，0]时，g'(x)≤0，从而g(x)在[-2，0]上单调递减;当x∈(0，2]时，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也单调递减。
所以g(x)在[-2，2]上单调递减，从而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)评注：本题是求参数的取值范围问题，利用等价转化的思想可化为不等式恒成立问题，进而化为最值问题，再借助于导数讨论函数的单调性求出的最值。
其实高中阶段接触到的最值问题大都可以运用单调性法求得最值。
方法二：利用不等式求最值掌握和灵活运用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││这一类型的基本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意考虑利用不等式求最值的条件限制。
例2 若x∈R，且0 分析：本题可以运用单调性法求最值，但是较麻烦，下面介绍一种新的方法。
高中数学中的函数的增减与最值
高中数学中的函数的增减与最值函数是数学中的重要概念，它描述了两个量之间的依存关系。
在高中数学中，我们经常需要分析函数的增减性以及确定函数的最值。
掌握这些概念和技巧，对于解决实际问题和应对高考数学是至关重要的。
本文将依次介绍函数的增减性和最值的求解方法。
一、函数的增减性函数的增减性描述了函数在其定义域内的变化趋势。
通常，我们通过函数的导数来判断函数的增减性。
对于闭区间上的连续函数，我们可以通过导函数的正负性来判断函数的增减性。
当导函数大于零时，函数单调递增；当导函数小于零时，函数单调递减。
对于开区间上的函数，我们可以通过导函数的增减性来判断函数的增减性。
当导函数的增减性与函数的增减性一致时，函数在该区间内是增加的；当导函数的增减性与函数的增减性相反时，函数在该区间内是减少的。
除了导数法，我们还可以利用零点与拐点来判断函数的增减性。
当函数在某点的导数为0时，该点就是函数的极值点或者拐点。
通过计算函数在极值点附近的导数符号来确定函数的增减性。
二、函数的最值函数的最值是指函数在其定义域中取得的最大值和最小值。
通过求解函数的最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而对函数的性质有更深入的认识。
对于闭区间上的连续函数，我们可以通过求解函数的导数为零的点来确定函数的最值。
当导函数由正数变为负数时，函数取得最大值；当导函数由负数变为正数时，函数取得最小值。
对于开区间上的函数，我们可以通过求解函数的极限来确定函数的最值。
当函数在区间的端点处取得最值时，我们需要进一步求解函数在区间内的极值。
另外，闭区间上的连续函数还可以利用上确界和下确界来求解最值。
通过将闭区间划分为若干个子区间，在每个子区间内找出函数的最值，然后比较这些最值来确定整个区间上函数的最值。
三、实例分析现以一个具体的函数为例，说明如何通过分析函数的增减性和求解最值来解决实际问题。
假设有一个开水器，它的工作原理可以用函数y = f(x)来描述，其中x表示加热时间（单位：分钟），y表示温度（单位：摄氏度）。
高中数学如何求解指数函数的变化趋势和最值
高中数学如何求解指数函数的变化趋势和最值指数函数是高中数学中的重要内容，它在各个领域中都有广泛的应用。
在解题过程中，我们需要了解指数函数的变化趋势和最值，以便更好地理解和应用指数函数。
本文将通过具体的例子，分析指数函数的变化趋势和最值的求解方法，并提供一些解题技巧。
一、指数函数的变化趋势指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
当底数a大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数a在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
例如，考虑指数函数f(x) = 2^x和g(x) = (1/2)^x，我们可以通过绘制函数图像来观察它们的变化趋势。
对于f(x) = 2^x，我们可以选择一些x值计算对应的y值，然后绘制函数图像。
例如，当x取-2、-1、0、1、2时，分别计算得到y值为1/4、1/2、1、2、4。
绘制这些点后，我们可以看到函数图像从左下方向右上方递增，呈现出一条曲线。
同样地，对于g(x) = (1/2)^x，我们可以选择一些x值计算对应的y值，然后绘制函数图像。
例如，当x取-2、-1、0、1、2时，分别计算得到y值为4、2、1、1/2、1/4。
绘制这些点后，我们可以看到函数图像从左上方向右下方递减，呈现出一条曲线。
通过观察函数图像，我们可以得出结论：当底数大于1时，指数函数递增；当底数在0和1之间时，指数函数递减。
这一结论对于我们理解指数函数的变化趋势具有重要意义。
二、指数函数的最值求解在解题过程中，我们常常需要求解指数函数的最值，即函数的最大值或最小值。
下面，我们通过具体的例子来说明最值的求解方法。
例题：求函数f(x) = 3^x的最小值。
解析：要求函数的最小值，我们需要找到函数的极小点。
对于指数函数来说，极小点往往出现在底数小于1的情况下。
首先，我们可以观察底数3^x的变化趋势，发现它是递增的。
因此，我们可以猜测函数f(x) = 3^x的最小值出现在x为负无穷大时。
为了验证我们的猜测，我们可以计算一些x值对应的y值。
高中数学函数极值点的求解技巧
高中数学函数极值点的求解技巧在高中数学中，函数是一个非常重要的概念，而函数的极值点更是我们经常需要求解的问题之一。
本文将介绍一些常见的函数极值点求解技巧，并通过具体的题目来说明这些技巧的应用。
一、函数极值点的定义和性质首先，我们来回顾一下函数极值点的定义和性质。
对于函数f(x)，如果在某个点x=a处，f(x)的值比它的邻近点都大（或都小），那么我们称x=a为函数f(x)的极大值点（或极小值点）。
而极大值点和极小值点统称为函数的极值点。
函数极值点的求解是通过对函数求导来实现的。
对于函数f(x)，如果在某个点x=a处，f'(a)=0且f''(a)≠0，那么x=a就是函数f(x)的极值点。
其中，f'(x)表示f(x)的导数，f''(x)表示f(x)的二阶导数。
二、求解函数极值点的技巧1. 使用导数判定法导数判定法是求解函数极值点最常用的方法之一。
根据导数判定法，我们可以通过求解函数的导数来确定函数的极值点。
例如，考虑函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，我们需要求解它的极值点。
首先，我们求解f(x)的导数f'(x)：f'(x)=3x^2-6x+2然后，令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。
接下来，我们需要判断x=1和x=2/3是否为函数f(x)的极值点。
为了判断极值点的性质，我们需要计算f''(x)。
计算得到f''(x)=6x-6。
然后，我们将x=1和x=2/3代入f''(x)中，得到f''(1)=0和f''(2/3)=-2。
根据导数判定法，如果f''(a)>0，那么x=a是函数的极小值点；如果f''(a)<0，那么x=a是函数的极大值点。
而当f''(a)=0时，无法判断x=a的极值性质。
一元函数最值的求法
一元函数最值的求法一元函数最值的求法是在高中数学中的重要内容，其涉及到单调性、导数、二次函数等多个知识点。
本文将详细介绍一元函数最值的求法。
一、单调性及奇偶性在求解一元函数最值之前，需要先了解单调性和奇偶性的概念。
单调性是指函数在定义域上的增减关系，可以分为递增和递减两种情况。
奇偶性是指函数的定义式中是否存在$x$的奇偶性，可以分为奇函数和偶函数两种情况。
1. 奇函数的定义区间必定包括原点；2. 函数在原点处对称；3. 如果$x$属于定义区间，则$-x$也属于定义区间；4. 对于任何$x$值，有$f(-x)=-f(x)$。
知道了单调性和奇偶性的概念，就可以通过函数的性质来判断其最值了。
二、利用导数求最值利用导数求解一元函数的最值是比较常用的方法。
在求解函数的最值时，需要先求出函数的导数，然后通过对导数进行分析得到函数的最值。
1. 求导数首先需要求出函数的导数。
对于一元函数$f(x)$，其导数为：$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$如果函数$f(x)$在$x$处可导，则$f'(x)$表示函数在$x$处的切线斜率。
如果$f'(x)>0$，则函数在$x$处递增；如果$f'(x)<0$，则函数在$x$处递减；如果$f'(x)=0$，则函数在$x$处取得极值。
2. 求极值通过求导得到函数的导数后，需要对导数进行分析，从而确定函数的极值。
对于一元函数$f(x)$：1. 当$f'(x)>0$时，函数在$x$处递增；需要注意的是，$f'(x)=0$只能说明函数可能取得极值，而不能确定其是最大值还是最小值。
此时需要使用导数符号法或判别式法来求解。
导数符号法：对于一元函数$f(x)$，若在$x_0$处$f'(x_0)=0$，则有：判别式法：对于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
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函数最值的解法及其在生活中的应用（师学院 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 11级2班）摘要：函数最值问题是现在高中数学课程中的重要组成部分，也是高考考查的重要容之一，在高考中占有比较重要的地位.但由于最值问题综合性较强.解法比较灵活.所以对各方面知识及选择何种解题方法方面都有较高的要求.本文主要对函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题.关键词:函数;最值;解法1绪论函数是高中数学的主体容，贯穿于整个高中阶段，而函数最值问题是函数的重要容之一．解决函数最值问题就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化的过程，虽然解决问题的具体方法不完全相同，但就其思维模式来说，一般是将待解决的问题进行一次次的转化，直至划为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答．函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，因此解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，选择合适的解题方法．1.1函数最值的定义：一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数()y f x =的定义域为T ，T x ∈0，且在0x 处的函数值是()0f x如果对于定义域T 任意x ，不等式()()0f x f x ≥都成立，那么()0f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作()min 0y f x =；如果对于定义域T 任意x ，不等式()()0f x f x ≤都成立，那么()0f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作()max 0y f x =.函数的最值一般有两种特殊情况：（1）如果函数0()f x 在[,]a b 上单调增加(减少)， 则()f a 是()f x 在[,]a b 上的最小值(最大值)，()f b 是()f x 在[,]a b 上的最大值(最小值).（2）如果连续函数0()f x 在区间(,)a b 有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[,]a b 上的最大(小)值.2函数最值的求解方法探究中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。
利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如定义法、导数法、配方法、消元法、数形结合法、以及不等式的证明等等，选择合适的方法才能让问题迎刃而解.2.1定义法利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要的一点就是要把握定义的涵，准确地加以应用! 需要注意的是: 函数一定有值域，但不一定有最值.例1设函数()x f 的定义域为R ，下列命题中正确的是:（1）若存在常数P ，使得对任意R x ∈，有 ()P x f ≥，则P 是函数()x f 的最小值;（2）若存在R x ∈0，使得对任意的R x ∈，有()()0x f x f ≥，则()0x f 是函数()x f 的最小值;（3）若存在R x ∈0，使得对任意的R x ∈，且0x x ≠有()()0x f x f >，则()0x f 是函数()x f 的最小值;解析 根据函数最小值的定义知，（1）是假命题: 虽然满足最小值定义中的任意性，但不满足存在性，故错误（2）（3）正确: 实质上，它们是等价命题，都满足最值定义中的两个条件2.2导数法例2 求函数5156)(23+-+=x x x x f 在[]3,6-的最值.解 ∵5156)(23+-+=x x x x f ,∴15123)('2-+=x x x f令15123)('2-+=x x x f =3)5)(1(+-x x =0解得 5,121-==x x()856=-f ，()1055=-f ，()31-=f ，()413=f可知()()3-11055-==极小值极大值，f f比较得()()3,105min max -==x f x f故函数5156)(23+-+=x x x x f 在闭区间[]3,6-上的最大值是105,最小值是-3.2.3单调性法闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值,而极值又来源于0)('=x f 的根处的函数值.所以建议求可导函数在闭区间[a,b]上的最值可分以下两步步骤进行:1.求函数的导数;2.求函数在[a,b]令0)('=x f 的x 的值（称之为”驻点”);3.判断驻点左右两侧)('x f 的正负,以此判断函数曲线的走向（0)('>x f 为上升,0)('<x f 为下降）,左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值,反之为极小值;4.如果函数驻点较多,分段讨论,并可以列表、画图表达;5.求最大值,将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较,取最大的,则为最大值.最小值亦然。
2.4 判别式法对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值.例32.5 配方法如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用此法求解.例3 求2()234x x f x +=-在区间[1,0]-的最值.解：配方得2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+, 因为[1,0]x ∈-,所以1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1.2.5 消元法在求多元函数最值的条件中#若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法#把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的!例4 已知x y x 3222=+，求x y x u -+=222的最大值解：由已知得()x x y 32122+-= ①30,032≤≤∴≥+-x x x将①代入x y x u -+=222化为一元函数，再用配方法即可求得。
2.6 数形结合求最值数形结合法是一种重要的解题方法#其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决!此法直观性较强#易于理解#有一定的灵活性且常有化难为易的神奇效果。
例5 已知直线03=+-y x ,求函数22)1(y x S ++=+22)1(y x +-的最值.解 此题的几何意义是在直线03=+-y x 上求一点M ,使得M 到点)0,1(-,)0,1(的距离之和最小.(如下图3—1）设:点B A ,的坐标分别为)0,1(-,)0,1(,直线l 的方程为03=+-y x .由几何光学原理知当点光源从A 射出后,经镜面l 反射到点B ,这时NB BM AM =+就是所求的最小值.设点B 关于光线l 的对称点为),(11y x N ,于是m in S =NB BM AM =+,由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=⨯+-0322111101111y x x y化简得 ⎩⎨⎧=+-=++05011111y x y x 解得 2,311=-=y x所以 m in S NB BM AM =+==22)02()13(-+--=52 图3—12.7 换元法求最值换元变换是一种重要的数学变换#在数学中有着广泛的应用!正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易。
例6 设1222=++y xy x ,求22y x +的最值.解 θcos r x =,θsin r y = (θ为参数),则)sin sin cos (cos 22222θθθθ++=++r y xy x =12)2sin 211(2=+θr . 从而 )sin (cos 22222θθ+=+r y x =θ2sin 211122+=r . 因-112sin ≤≤θ,当12sin =θ(即2==y x )时,故8)(min 22=+y x ;当12sin -=θ(即32==y x )时,故24)(max 22=+y x .2.8 最值不等式的证明定理 设c bx ax x m m x f +++=2)((N m m a ∈>>,1,0)若非负整数k 满足:(1) ,0)]2([log 2=-+-+++k b ak c bk ak m(2) ,2-∈++Z c bk ak那么有(I)满足条件(1)的k 值是唯一的;(II)当k x =时,的最小值为c bk akk m m k f x f +++==2)()(min .例7 证明 62223≥++x x ,(R x ∈). 证 令x x '=+3,那么 )(222296322x f x x x x x '=+=++'-''+,这里.9,6,1,2=-===c b a m 由条件(1)可得0)26(log 9622=--++-k k k k∵-∈Z k ,若方程0)26(log 9622=--++-k k k k 有解,必须满足)(226Z p k p ∈=-,由此可知k 的取值只能是1,2.经过验证只有2=k 是方程0)26(log 9622=--++-k k k k 的解,且-∈=+⨯-=++Z c k ak 19262622,满足条件(2),故由结论(II),可得622)2()(92622min 2=+=='+⨯-f x f , 即 62223≥++x x ,成立.注 文中定理利用高等数学知识可推广为:定理 设c bx ax x m m x f +++=2)((0,1>>a m ),若存在常数k 满足0)]2([log 2=-+-+++k b ak c bk ak m那么c bk ak k m m k f x f +++==2)()(min .3求解函数最值时应注意的一些问题3.1注意定义域求最值问题的时候，在求解的过程当中，要注意观察定义域的变化情况，首先看到题目的时候，应该先把确定函数的定义域；在解题过程中，当函数变形时应注意定义域是否发生改变，如果引入新变量也应该确定新变量的取值围，以免在后面的求解过程中出现错误；在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是否包含在定义域的围例 求函数12x y x 的最值. 错解：将1x y 两边同时平方并去分母得2222(41)410y x y x y . 因为xR ，所以2222(41)4(41)0y y y ，化简得241y . 所以1122y ，故min 12y ，max 12y . 分析：这个答案致错原因是两边平方及去分母，使函数的定义域扩大了. 正解：将12x yx 两边平方并去分母，得2222(41)410y x y x y . 因为xR ，所以2222(41)4(41)0y y y ，化简得241y . 所以1122y，注意到原函数的定义域是1x 0，20x ，于是必有0y. 所以102y ，故min 12y ，max 0y .3.2注意值域求函数的最值，不但对几种基本初等函数的值域要非常熟悉，而且在解题过程中还要注意函数取值围的变化.参考文献[1[1]方晓华，吴凤香，黄宝存.函数最问题的解法探讨.职业技术学院学报，2002,2(2).[2]玉晓.关于函数最值问题的探讨[J].师学院学报，2005(9).[3]戴宝尔，杏莲.初等方法求解函数最值问题[J].科技资讯，2008(20).[4]戚雪敏.浅谈求函数最值问题的方法[J].2011(11)][5]人民教育中学教学室.数学第三册必修I[M].:人民教育,2006: 50-51.[6]袁亚湘,文瑜.最优化理论与方案第5次[M].:科学,2005:45-47.[7]传理,同君.数学建模教程第二版[M].:高等教育,2005:149.[8]周汉良.数学规划及其实用[M]．超星数字图书馆,1995:56-60.[9]人民教育中学教学室.数学第三册必修I[M].:人民教育,2006: 50.[7]董国阳.关于求函数最值问题的探讨[J].2011(11).[13]维进.一类指数函数最小值的初等求法[J]. 电子学报,1999,(2).Discussion on the function most value in the application of lifeYang Jing(Weinan Teachers University , Shanxi Weinan)Abstract: Application of mathematics is an important task in the teaching of mathematics. This paper will through the definition of the value function and the method of solving the most value, the value of the function and system, which isan important and basic properties and functions, which made people realize the function most value question has a close relationship with the actual the problem. Finally, the value function can use the knowledge, to solve the problems in real life.Firstly, the value function and the value function of the definition of related theory. And given the value function and the relationship between the (lower) bound; secondly, gives some methods to solve the value function (such as the value of the derivative of general method, elimination method, combination method, substitution method, and to prove inequality etc.); and then use these some of the problems in real life (for example, to solve the minimum cost maximum profit, the fastest speed, etc.) and the life of some of the most value of some phenomenon; the last is a summary of the value function of the actual life played a certain effect of the value function, and then the further development and research of the positive role.This paper relates to the application can be divided into the following several points:1 the value of application in real life;2 the value of the application in EconomicsKeywords: most value; application.。