平行线分线段成比例
4.平行线分线段成比例.详解
相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？ 的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
平行线分线段成比例的推论
平行线分线段成比例的推论在平面几何中，平行线分线段成比例是一个非常重要的定理。
它是由欧几里得在《几何原本》中提出的。
这个定理可以用来计算两个平行线之间的距离，也可以用来求解平面三角形的各种问题。
在这篇文章中，我们将详细介绍平行线分线段成比例的推论。
首先，让我们回顾一下平行线分线段成比例的基本定理。
如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，那么这三条线上的线段所构成的比例相等，即：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$其中，AB、BC分别是线段AC上的两个部分，DE、EF分别是线段DF上的两个部分。
那么，平行线分线段成比例的推论是什么呢？其实，它就是基本定理的一个推广。
具体来说，如果有两条平行线L1和L2，它们分别与一条第三条线L相交，并且在L上分别有三个点A、B、C和D、E、F，使得：$%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}$那么，我们就可以得到以下推论：1. 如果在L上任取一点P，则AP、BP、CP和DP、EP、FP 所构成的比例相等。
证明：由于L1和L2是平行线，所以它们与L上任意一条直线所交的角度相等。
因此，我们可以得到以下等式：$%frac{AP}{PD}=%frac{AB}{BC}=%frac{DE}{EF}=%frac{D F}{FC}=%frac{DP}{PC}$因此，AP、BP、CP和DP、EP、FP所构成的比例相等。
2. 如果在L上任取一点P，则以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF的面积之比等于AB与DE之比。
证明：设S1和S2分别为三角形ABC和三角形DEF的面积，则有：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}ABÍotAC}{%frac{1}{2}DEÍot DF}=%frac{ABÍot AC}{DEÍot DF}$因为AB/BC=DE/EF，所以我们可以得到：$AB=%frac{BCÍot DE}{EF+DE}$将其代入上式中得：$%frac{S1}{S2}=%frac{%frac{1}{2}Íot%frac{BCÍotDE}{EF+DE}Íot AC}{%frac{1}{2}Íot DEÍot DF}=%frac{BCÍot AC}{EFÍot DF}=%frac{AB}{DE}$因此，以P为顶点的三角形ABC和以P为顶点的三角形DEF 的面积之比等于AB与DE之比。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理：两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．典型例题：例题1. ①如图，l1、l2分别被l3,l4,l5所截,且l3∥l4∥l5，则AB与对应，BC与对应，DF与对应；ABBC=()()，()AB=( )DF，ABDE=()()=()().②如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )A.ADDF=BCCEB.BCCE=DFADC.CDEF=BCBED.CDEF=ADAF找准对应线段是关键.例2.如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，A F=5.那么FC的长是多少？例3 如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB跟踪训练1.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD DF =BC CE B ．BC CE =DF AD C ．CD EF =BC BE D ．CD EF =AD AF第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE:EC=1:2，AD=6，则AB 的长为（ ）A.18B.12C.9D.33.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶FB ＝( )A. 5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．5∶3 4.如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若=，DE =4，则EF的长是．第4题图 第5题图 5.如图，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝4，CN ＝1.5，则ND ＝______.6．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，BC AB =32，DE=6，则EF= ．第6题图 第7题图7.如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5cm ，则线段BF 的长为_________cm ． 8.如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，求AC 的长．9.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB=3，DE=27，EF=4，求BC ．10、如图，在ABC △中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD ︰DC=3︰1， AE ︰EC=2︰3，DE 的延长线交BA 的延长线于F 点，求EF ︰ED的值。
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。
2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。
这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。
平行线分线段成比例定理
AB C E F平行线分线段成比例定理【知识要点】导入：如图分别与321221,////l l l b a l l l 交于A,B,G ,D,E,F 则1. 假设21,l l 分别被同一组平行线截得线段;,;,,2121n n b b b a a a 则n n b b b b a a a a ::::::321321 = 或nn b a b a b a b a ==== 332211这就是平行线分线段成比例定理。
2. 平行线分线段成比例定理可简记为：⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴全上全上全下全下下上下上DF DE AC AB DF EF AC BC EF DE BC AB l l l 321////特别地，当A 与D 重点时： 当B 与E 重点时：AF AEAC AB EFAEBC AB ==DFDB ACABBFDB BC AB== 3.推论： A 型CEBDAE AD AC AB DE ADBC AB === a b A BCFE D 1l 2l3lA B 1l2l CFE D 3l ADBF C1l2l 1b 1a 2a 2b na n bX 型ECADBE DB BC AB ==【典型例题】例1 已知：如图，a//b//c ，时BD=2AB ，EF=3cm,HF=5cm,求FG 和HQ 的长；例2 如图：在ABC ∆中，DE//BC ，EF//C （1）求证：AF:AD=AD:AB （2）若AF=4,FB=5,求FD 的长。
例3 如图：N 为□ABCD 一边AD 的中点，BM 多AC 于点P ，若AC=6cm,求PC 的值？EADBCA E HB FP Q GDA M PB C例4 如图：若DE//AB,FD//BC,,32=AC AD AB=9cm,BC=6cm,求□BEDF 的周长？例5 如图：再ABC ∆中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长先上一点，且FDEFBC AC =求证：AD=EB 。
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
平行线分线段成比例定理
左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC
成比例线段与平行线分线段成比例
初中数学成比例线段与平行线分线段成比例编稿老师董志臣一校杨雪二校黄楠审核郑建彬一、考点突破1. 理解并掌握比例的基本性质，成比例线段的定义。
2. 理解平行线分线段成比例的定理及其证明。
3. 应用相关知识解决问题。
二、重难点提示重点：成比例线段及平行线分线段成比例定理的理解。
难点：应用比例性质及平行线分线段成比例定理解决问题。
1. 成比例线段：在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
【注意顺序问题】A. 当题目给出a、b、c、d为成比例线段时，表示有先后顺序之分：为（）；B. 当题目问a、b、c、d是否为成比例线段时说明没有先后顺序，只要按照一定的顺序，满足比值相等就行。
2. 常用的比例性质：①基本性质：若则ad=bc，可由ad=bc推出a:b=c:d;a:c=b:d;d:b=c:a和d:c=b:a②合比性质：若则；③反比性质：若则；④等比性质：若=…=＝k, 则 (b+d+…+n≠0)。
3. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例题1（青浦区一模）已知：线段a、b、c，且==。
（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27，求a、b、c的值。
思路分析：（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值；（2）首先设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，利用a+b+c=27求出k的值即可得出答案。
答案：解：（1）∵=，∴=，∴=；（2）设===k则a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b+c=27，∴2k+3k+4k=27，∴k=3，∴a=6，b=9，c=12。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例【把握要点，领会概念】㈠平行线分线段成比例定理：⑴定理: 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段___________.说明：①对应线段是指两条平行线所截的线段.②对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比.⑵推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段________.⑶平行于三角形一边并且和其他两边相交的________，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应线段成比例.⑷如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段_________,那么这条直线平行于三角形的第三边.注意：这四个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线。
首先要弄清三个基本图形：★这三个基本图形的用途是:①由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或注意：在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.②由比例式产生平行线段基本图形(2): 若, , , , , 之一成立，则DE//BC.基本图形(3): 若,,,,, 之一成立，则AC//DB. ③ 基本图形（1）有：两条直线被第三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条 __________ 截得的线段也 _________. ㈡ 本讲内容所需要的计算与证明方法计算方法: 1.利用引入参数求解相关命题的方法. 2.会利用比例式建立方程求线段的长.证明方法: 会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题. 【典型例题剖析】▲题型一：平行线分线段成比例概念及性质的应用例1.如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中成立的是：（ ）A ．BC CE DF AD = B.AF BCBE AD = C. BC AD DF CE = D.CEBEDF AF = ★方法归纳：应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：例2.（河北省）已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=12.求DE 和EF 的长.例3．如图，DE ∥AC ，EF ∥AB ，AC=14，AD ：DB=3：4，则AF 的长是（ ）A 6B 10C 8D 9A B L 1C D L 2E F L 3例4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于O ，过O 作底的平行线，分别与两腰交于E 、F ，则 （ ）A OE= OFB OE=OFC OE=2OF DOE+OF=BD例5.如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长.例6.（2011•牡丹江）在△ABC 中，AB=6，AC=9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD=2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为__________ 例7．（2013•乌鲁木齐）如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为 ___ ．例8．（2013•贵州）在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC=1：2，则BF ：BE= _________ ．▲题型二：构造平行线证明成比例的线段 例1．在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，求证：ACABDC BD =.ED CBA例2. 如图,在□ABCD 中，E 为AB 中点,，，EF 、AC 相交于G ，求 .例3 如图，D 是△ABC 的AB 边的中点，F 是BC 延长线上一点，连结DF 交AC 于E 点.求证: EA:EC=BF:CF例4 如图,菱形ABCD 内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD 的边长.分析: 有平行线就能得到比例线段，求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决，本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法，注意掌握解题的思路.例5. 如图，AB ∥GH ∥CD ，若AB=a ，CD=b ，GH=c ，求证：ba c 111+=.。
平行线分线段成比例常见应用的六种技巧
∵点D为AB的中点A，D 1.
DB
∴AD＝DB，即
∵CDEFFE∥BAEA，CE
AD DB
1.
∴
∴DE＝EF.
类型 3 证两个比的值的和为1
技巧6 同分母的中间比代换法
6.
如图，已知AC∥FE∥BD，求证：
AE AD
BE BC
1.
∵AC∥EF，
证明：∴
BE BF
①.
BC BA
又∵FE∥BD，
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD， ∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC＝∠AEC. 又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60° ＝∠FCE，CD＝CE， ∴△GCD≌△FCE(ASA)． ∴CG＝CF. ∴△CAFGG为A等F边. 三角形．
∴PD·PC＝PE·PBP. F
PD .
PC PA
∵DF∥AC，∴
∴PD·PC＝PF·PA.
PE PA . PF PB
∴PE·PB＝PF·PA. ∴
技巧3 等比代换法证比例式 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
AD AF .
证明：∵求E证F：∥CADB， AD
∴ AF AE .
第四章 图形的相似
平行线分线段成比例
第2课时
利用平行线证比例式或等积式的方法： 当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行
线为一组(两条以上)时，可直接利用平行线分线段成 比例的基本事实证明；若平行线只有两条时，则利用 平行线分线段成比例的基本事实的推论证明；当比例 式或等积式中的线段不是对应线段时，则利用转化思 想，用等线段、等比例、等积替换进行论证．
平行线分线段成比例定理及证明
平行线分线段成比例定理证明简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。
也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。
说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF 可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则四边形AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行线分线段成比例八大题型
【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝ ．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上 上上 下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为 下 下 ， 全 全 ， 全 全 ．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（ ）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（ ）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意； 故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的 是（ ）
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．例1、如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A例2、如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEED C B A例3、如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
练习1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA2、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB •AF,求证∠1=∠23、如图 已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB AABC DEF124、如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，090=∠C ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在边ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ上，且四边形ＥＦＣＧ是矩形，若ＡＣ＝３cm ，ＢＣ＝４cm ，ＣＧ＝１cm ，求ＡＥ、ＢＦ、ＣＦ的值．5、已知：如图，AB AD AE ⋅=2，ＤＦ∥ＥＣ．求证：ＥＦ∥ＢＣ．6、已知：如图，∠１＝∠２，且ＡＭ／ＢＭ＝ＡＮ／ＮＣ，ＡＭ＝４ｃｍ，ＡＮ＝３ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ，求ＭＮ的长7、已知：如图，点Ｍ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的延长线上的任意一点，ＤＭ分别交ＢＣ、ＡＣ于点Ｎ、Ｐ，求证： DC/AM =CN/AD8、已知：如图，点Ｍ为平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的中点，点Ｎ在ＢＣ上，且BN/CN=1/3，ＭＮ交ＢＤ于点Ｅ．求ＢＥ：ＥＤ的值．9、如图，点Ｆ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＤＣ的延长线上一点，ＡＦ交ＢＣ于点Ｅ，ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＤ＝７ｃｍ，ＢＥ＝４ｃｍ．求ＣＦ的长．10、如图，ＡＤ∥ＥＦ∥ＢＣ，ＡＥ∶ＥＢ＝１∶２，若ＡＤ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，求ＥＦ的长11、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ在ＡＢ上ＡＥ∶ＥＢ＝１∶３．ＤＥ交ＡＣ于点Ｆ．求ＡＦ∶ＦＯ∶ＯＣ的值12、已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＭＮ∥ＢＣ，四边形ＭＮＰＱ是平行四边形，ＢＱ，ＣＰ的延长线相交于点Ｄ．求证：ＡＤ∥ＮＰ．13、设点Ｐ是△ＡＢＣ的中线ＡＤ上一点，过Ｐ作ＡＢ，ＡＣ的平行线ＥＰ，ＦＰ分别交ＢＣ于点Ｅ、Ｆ．求证：ＢＥ＝ＣＦ．。
平行线分线段成比例定理(通用12篇)
平行线分线段成比例定理（通用12篇）平行线分线段成比例定理篇1教学建议学问结构重难点分析本节的重点是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理是讨论相像形的最重要和最基本的理论,它一方面可以直接判定线段成比例,另一方面,当不能直接证明要证的比例成立时,常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理变式较多,同学在找对应线段时常常消失错误;另外在讨论平行线分线段成比例时,常用到代数中列方程度方法,利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程,求出未知数,这种运用代数方法讨论几何问题,同学接触不多,也常常消失错误.教法建议1.平行线分线段成比例定理的引入可考虑从旧学问引入,先复习平行线等分线段定理,再转变其中的条件引出平行线分线段成比例定理2.也可考虑探究式引入,对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系,从而得到平行线分线段成比例定理,并加以证明,较附和同学的认知规律(第一课时)一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论,并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用,培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学,进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点:是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点:是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤复习提问找同学叙述平行线等分线段定理.讲解新课在四边形一章里,我们学过平行线等分线段定理,今日,在此基础上,我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理,如图: ,且 ,∴由于问题:假如 ,那么是否还与相等呢?老师可带领同学阅读教材p211的说明,然后强调:(该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的学问,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它)因此:对于是任何正实数,当时,都可得到:由比例性质,还可得到:为了便于记忆,上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外,依据比例性质,还可得到 ,即同一比中的两条线段不在同始终线上,也就是“ ”,这里不要让同学死记硬背,要让同学会看图,达到依据图作出正确的比例即可,可多找几个同学口答练习.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理,我们可以写出六个比例,为了便于应用,在以后的论证和计算中,可依据状况选用其中任何一个,参见下图.,∴ .其中后两种状况,为下一节学习推论作了预备.例1 已知:如图所示, .求:bc.解:让同学来完成.注:在列比例式求某线段长时,尽可能将要求的线段写成比例的第一项,以削减错误,如例1可列比例式为:例2 已知:如图所示,求证: .有了5.1节例4的教学,同学作此例题不会有困难,建议让同学来完成.小结1.平行线分线段成比例定理正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.(对比图形,并注意变化)七、布置作业教材p221中3(练习同学克服图形中各线段的干扰).八、板书设计标题复习:平行线等分线段定理问题:……平行线等分线段定理:……4个变式图形(投影仪)板书:形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇2教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇3（其次课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）.【讲解新课】在黑板上画出图，观看其特点：与的交点A在直线上，依据平行线分线段成比例定理有：……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例.在黑板上画出左图，观看其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：（六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例.综上所述，可以得到：推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图，（六个比例式）.此推论是判定三角形相像的基础.注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，假如已知，DE是截线，这个推论包含了下图的各种状况.这个推论不包含下图的状况.后者，教学中如同学不提起，可不必向同学交待.（考虑改用投影仪或小黑板）例3 已知：如图，，求：AE.教材上采纳了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即： .让同学思索，是否可直接未出AE（找同学板演）.【小结】1.知道推论的探究方法.2.重点是推论的正确运用七、布置作业（1）教材P215中2.（2）选作教材P222中B组1.八、板书设计平行线分线段成比例定理篇4教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇5教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇6教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇7教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【巩固】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，129AB CD ==， ，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例3】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例4】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例5】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
平行线分线段成比例定理
A
D
L1
B
E L2
C
F L3
一、复习导入
如图：l1 // l2 // l3 // l4 // l5 //，l6
且AP=PB=BQ=QR=RC.
(1)你能推出怎样的结论？
为什么？
由平行线等分线段定理可知.
(注意其前提条件是:等距)
A P B Q R C
D
L1
S
L2
E L3
T L4
D L1 E L2
L3 F
3、如图1：已知L1∥L2∥L3 ， AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米. 则EF=（ 1.8 ），DE=（ 2.7 ）.
4、如图2：△ABC中，DE ∥BC，如果
AE ：EC=7 ：3，则DB ：AB=（ 3:10 ）
A
D L1
B
E L2
F
C L3
图1
A
DE
B
需要构造一组平行线，使 且四边形DEFB为平行四边形.
AE、AC、DE、BC成为 由这组平行线截得的线段.
∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AD AE DE .
AB AC BC
故作EF//AB.
已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、
E.求证：AD AE DE . AB AC BC
反比
合比
BC EF AB DE
合比
AB BC DE EF
AC DF BC EF
反比
AC DF AB DE
? AB BC AC DE EF DF
BC EF AC DF
合比
BC AC EF DF
AB DE AC DF
23.1.2平行线分线段成比例
，那么ad＝bc．如果ad＝bc
，那么 a c .
bd
你还可以得
a b;d b;d c; c d c ab a
到其它的比 例式吗？
c ab ac db d ; ; ; .
d b． d c a b a c
பைடு நூலகம் m
A B C
n D E F
打开笔记本，每一页都 是由一些间距相等的平 行线组成的，在笔记本 上任意画一条直线m， 与相邻的三条平行线交 于A、B、C三点。
复习提问
1.什么是成比例线段？
对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两
条线段的长度的比等于另外两条线段的长度之
比，
如
a b
dc（或a∶b＝c∶d），那么，
这四条线段叫做成比例线段，简称比例线
段．此时也称这四条线段成比例．
2.比例的基本性质是什么？
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果
a b
c d
AD AE
AB AC
上 上
下下
； 上
全
上 DB EC
全 AB AC
下 全
下 全
A
D
E
B
C
在ABC中， DE // BC
AD AE DB EC
AD AE
AB AC
DB EC
AB AC
思考：如图当直线m、n相交于第二条平行线上某 点时，是否也有类似的成比例线段呢？
如图23.1.9，l1∥l2∥l3，AB=4,DE=3,EF=6。 求BC的长。
解： l1 / /l2 / /l3, AB DE (平行线分线段成比例）.
BC EF AB 4, ED 3, EF 6,
平行线分段成比例的定理
平行线分段成比例的定理平行线分段成比例的定理概述平行线分段成比例的定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。
该定理在解决平面几何问题时经常被使用，特别是在求解三角形相似性问题时。
定义在平面几何中，如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。
符号表示设有两条平行线l和m，它们分别与另一条直线n相交于A、B、C、D四点。
则有：AB/BC = AD/DC证明我们可以使用相似三角形来证明这个定理。
具体步骤如下：步骤1：连接AC和BD两条对角线，并延长BD至E点。
步骤2：由于l和m是平行的，所以∠ABC = ∠ACD（同旁内角）。
步骤3：同样地，由于n与l和m相交，所以∠ABC = ∠ADE（同旁内角）。
步骤4：因此，∆ABC与∆ADE是相似三角形。
步骤5：根据相似三角形的定义，我们可以得到：AB/AD = BC/DE步骤6：又因为BD = AD + DE，所以有：AD/BD = AD/(AD + DE) = AB/(AB + BC)步骤7：移项可得：AB/BC = AD/DC结论根据上述证明过程，我们可以得出结论：如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。
应用平行线分段成比例的定理在解决平面几何问题时经常被使用。
以下是一些常见的应用场景：1. 求解三角形相似性问题：当两个三角形中有两个角分别相等时，我们可以使用该定理来判断它们是否相似。
2. 求解平面图形内部点的位置关系：当一个点在一个多边形内部时，我们可以使用该定理来判断它到多边形各边的距离关系。
3. 求解直线交点坐标问题：当两条直线之间存在比例关系时，我们可以使用该定理来求出它们的交点坐标。
总结平行线分段成比例的定理是几何学中一个重要且实用的定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。
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3 1.5 2
2.25.
练习
1. 如图，AC，BD相交于点O ，直线MN过点O，
且 BA∥MN∥CD. 已知 OA=3，OB= 1，
OD = 2，求OC的长.
解 因为 BA∥MN∥CD，
则由平行线分线段成比例可知 OC OD， OA OB
所以 OC OA OD 3 2 6.
和
AD AB
AE AC
成立吗？为什么？
DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC.
因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知，
AD AE DB EC
AD AE AB AC
同时还可以得到 DB EC ， DB EC . AD AE AB AC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
下面我们来证明： 假设 AB 2 ，则把线段 AB二等分，分点为D，过点D
BC 3
作直线d∥a，交l2于点D1，如下图:
把线段BC三等分，三等分点为E，F，分别过点E，F 作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1，F1.
由已知 AB 2 ， 得 1 AB 1 BC.
我们还可以得到：
BC AB
B1C1 A1 B1
，
AB AC
A1 B1 A1C1
，
BC AC
B1C1 . A1C1
结论
由此，得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.
动脑筋
如图，在△ABC 中，已知DE∥BC，则 AD AE
如图，任意画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1，l2
相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、
c相截等得吗的？线任段意A平B，移B直C线，cA，1B再1，度B量1CA1的B，长B度C.，BAACB1B与1，BAB111CBC111
的长度，AB 与 A1B1 还相等吗？
BC B1C1
类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线 l1，l2 被
直线a、b、c截得的线段分别为AB，BC 和A1B1 ，B1C1，
若
AB BC
m （其中m，n是正整数），则 n
A1 B1 B1C1
m. n
进一步可以证明，若 AB k（其中k为无理数），则
A1B1 k.
BC
B1C1
从而 AB A1B1 . BC B1C1
如下图所示，已知直线a∥b∥c，直线l1，l2 被直线
a、b、c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，且
AB=BC.
过点B作直线l3∥l2 ，分别与直线a、c相交于点
A2、C2.由于a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线 间的平行线段相等” 可知A2B =A1B1，BC2 = B1C1 .
解得 AC 5.4.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，DE∥BC，且DB=AE，若AB=5
，AC=10，求AE的长.
解
由DE∥BC，可得
AD AB
=
AE AC
.
设 DB=AE=x，∵ AB = 2，BC = 3，
∴（5-x）: 5 = x:10. 解得 x =130. 即AE的长为 130.
结束
在△BAA2和△BCC2中，∠ABA2=∠CBC2， BA=BC，∠BAA2=∠BCC2， 因此 △BAA2≌△BCC2 .
从而 BA2= BC2， 所以 A1B1 = B1C1.
由此可以得到：两条直线被一组平行线所截， 如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在 另一条直线上截得的线段也相等.
动脑筋
本节内容 平行线分线段成比例 3.2
观察
下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知 道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
结论
由此得到以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对
应线段成比例.
例
如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB = 2，BC = 3， A1B1= 1.5，求 B1C1 的长.
解 由平行线分线段成比例可知 AB A1B1 ，
BC B1C1 即 2 1.5 ，
3 B1C1
因此
B1C1
BC 3
2
3
由于 AD DB 1 AB ， BE EF FC 1BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c，
因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1. 从而 A1B1 2 A1D1 2 .
B1C1 3B1E1 3
OB
1
2. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且
DE∥BC. 若AB =3，AD = 2，EC =1.8，求AC
的长.
解 ∵ DE∥BC，
则由平行线分线段成比例可知 AD AE ， AB AC
又 AE AC EC , ∴ 2 AC 1.8 ,
3 AC ∴ 2AC 3( AC 1.8).