高考数学一轮复习 第11单元 选考4系列 第70讲 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式课件 理
2019届高三数学一轮复习：第70讲 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
10
课堂考点探究
变式题 [2017·长沙雅礼中学二模] 已知关 于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数 a,b 的值; (2)求证:2≤ ������������ + 12+ ������������≤4.
解:(1)∵|x-2m|-|x|≤|x-2m-x|=|2m|,∴要使
|x-2m|-|x|<4 恒成立,则|m|<2,解得-2<m<2.
又∵m∈N*,∴m=1.
(2)证明:由(1)可知 f(x)=|x-2|-|x|.
∵α∈(0,1),β∈(0,1),∴f(α)+f(β)=2-2α+2-2β=
3,即 α+β=12,∴���4���+���1���=2
(3)综合法
从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成
立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法.
(4)放缩法
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的
目的,这种方法称为放缩法.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金榜 题名！
4
课前双基巩固
(5)反证法的步骤
①作出否定 结论 的假设; ②进行推理,导出 矛盾 ; ③否定 假设 ,肯定 结论 .
2. 柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式
①柯西不等式的代数形式:设 a1,a2,b1,b2 均为实数,则(������12+������22)(������12+������22)≥ (a1b1+a2b2)2 (当且
(完整版)高中物理-公式-柯西不等式
(完整版)高中物理-公式-柯西不等式一、柯西不等式的定义柯西不等式是线性代数中的一种重要不等式，其用于描述向量内积的性质。
柯西不等式的一般形式如下：对于任意两个n维实向量x和y，有不等式：x·y ≤ ||x|| ||y||其中，x·y表示x和y的内积，||x||和||y||分别表示x和y的模长。
二、柯西不等式的证明要证明柯西不等式，可以采用以下方法之一：方法一：使用向量投影通过向量投影的定义，可以得出：x·y = ||x|| ||y|| cosθ其中，θ为x和y之间的夹角。
由于cosθ的取值范围为[-1,1]，所以有：x·y ≤ ||x|| ||y||方法二：使用Cauchy-Schwarz不等式柯西不等式也可以通过Cauchy-Schwarz不等式（柯西-施瓦茨不等式）来证明。
Cauchy-Schwarz不等式的一般形式如下：(x1y1 + x2y2 + ... + xnyn)^2 ≤ (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)(y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)将Cauchy-Schwarz不等式应用于内积的情况下，可以得到柯西不等式。
三、柯西不等式的应用柯西不等式在物理学中有广泛的应用，特别是在向量分析和线性代数中。
在向量分析中，柯西不等式可用于证明向量的正交性，以及判断向量是否共线等问题。
在线性代数中，柯西不等式可用于证明向量的线性无关性，以及求解线性方程组等问题。
总结：柯西不等式作为一种重要的不等式，在高中物理研究中具有重要的意义。
掌握柯西不等式的定义、证明和应用，对于深入理解向量内积的性质以及推导相关定理都具有重要的帮助。
高中语文-公式-柯西不等式
高中语文-公式-柯西不等式什么是柯西不等式？柯西不等式，也称为柯西-施瓦茨不等式，是数学中的重要不等式之一。
它用于描述两个向量内积的不等性。
柯西不等式可以表示为：其中，a和b是两个向量，a的长度为|a|，b的长度为|b|，θ是a 和b之间的夹角，且0 ≤ θ ≤ π。
柯西不等式的应用柯西不等式在数学中有着广泛的应用。
下面列举了几个例子：1. 向量的长度柯西不等式可以用来证明两个向量的内积不大于两个向量的长度的乘积。
即|a·b| ≤ |a|·|b|。
2. 余弦相似度柯西不等式可以用来计算两个向量之间的余弦相似度。
余弦相似度可以衡量两个向量在方向上的相似程度，它的取值范围在[-1, 1]之间。
3. 不等式证明柯西不等式可以用于数学证明中，特别是当涉及到向量和内积的不等式时。
柯西不等式的示例下面是一个柯西不等式的示例：给定两个向量a = (2, 3)和b = (4, 5)，计算它们的内积和长度，并验证柯西不等式是否成立。
解答：根据柯西不等式，有|a·b| ≤ |a|·|b|。
计算内积：a·b = 2*4 + 3*5 = 8 + 15 = 23计算长度：|a| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13|b| = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41计算长度的乘积：|a|·|b| = √13 * √41 = √(13 * 41) ≈ √533因此，|a·b| = 23 ≤ |a|·|b| ≈ √533。
柯西不等式成立。
总结柯西不等式是数学中的重要不等式之一，用于描述两个向量内积的不等性。
它在向量计算、余弦相似度和不等式证明中有着广泛的应用。
柯西不等式可以帮助我们理解和解决各种数学问题。
柯西不等式的证明_柯西不等式
柯西不等式的证明_柯西不等式二维形式(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...(平方的和的乘积不小于乘积的和的平方)证明|a|*|b|≥|a*b|,a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]推广(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤(a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+.. .+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
(应为之积的几何平均之和)概率论形式√E(X)√E(Y)≥∣E(XY)∣二维形式的证明(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²=a²·c²+2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²=(ac+bd)²+(ad-bc)²≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用1.柯西不等式的证明：(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)证明：设向量(x1,x2,...,xn)与(y1,y2,...,yn)的内积为A，则有：A = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn考虑不等式(，x1，^2/，A， + ，x2，^2/，A， + ... + ，xn，^2/，A，) * (，y1，^2A + ，y2，^2/，A， + ... + ，yn，^2/，A，) ≥ 1根据乘法交换律，可以将上式化简为：(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2) * (，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2) ≥ ，A，^2由于A是内积，其绝对值不超过向量的模的乘积，即，A，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ...+ ，yn，^2)将不等式化简可得：(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)2.柯西不等式的应用：2.1内积空间中的角度和长度：根据柯西不等式，可以得出两个向量的内积的绝对值小于等于它们的模的乘积，即，A，≤ ，x，y，其中x和y是向量。
从而可以推出内积与向量的模的乘积的乘积的cosine值不超过1，即cosθ ≤ 1，其中θ是x和y之间的角度。
这表明柯西不等式可以用于计算向量的夹角。
2.2线性无关的证明：假设有n个非零向量(x1,x2,...,xn)，如果存在n维向量(a1,a2,...,an)，使得a1x1 + a2x2 + ... + anx_n = 0，其中a1,a2,...,an不全为零，则称向量组(x1,x2,...,xn)线性相关。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式(解析版)
专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值. 【答案】（1）13(,][,)22x ∈-∞-⋃+∞；（2）【解析】（1）因为1a =，0b =，所以()1f x x x =-+， 当0x <时，1122x x x --≥⇒≤-，∴12x ≤-. 当01x ≤<时，12x x x φ-+≥⇒∈； 当1x ≥时，3122x x x -+≥⇒≥，∴32x ≥.综上所述：][13,,22x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）∵2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=， 又根据柯西不等式知2a b +≤=a b =时取等号），故2+ab 的最大值为2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---【答案】（Ⅰ）()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）∵11a =且1102n n n S S a -⋅+=，即()()111022n n n n S S S S n --⋅+-=≥ 112n n n n S S S S --⋅=-两边同除以1n n S S -⋅得1112n n S S -=- ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列． ∴()112121n n n S =+-=-，∴121n S n =-， 当1n =时，11a =当2n ≥时，()()()1112212112123n n n a S S n n n n --=-=-=----- ∴()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩．（Ⅱ）112112n n S n++=-设数列{}n c 的前n项积为n T =，则)12n n n T c n T -==≥ 经检验1n =时也成立要证不等式231111111n S S S+⋅>---只需证不等式212n n +>两边平方即为2244114n n n n n+++>即证2244144n n n n ++>+，显然成立． 3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2a b +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) 3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b =+++≤+++=(Ⅱ)对正实数,a b有a b +…所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +--≥恒成立， 所以|1||3|1x x +--≥恒成立．当1x ≤-时，不等式化为1(3)1x x ----≥，整理得41-≥，所以不等式无解； 当13x -<<时，不等式化为1(3)1x x +--≥，解得332x ≤≤； 当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +--≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞．4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14n n C S ≤. 【答案】(Ⅰ)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12λ=；(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得()()221311a a a -=+，即2111111124a a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得112a =，故数列的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ()()1223188822162828n T b d b n T b d d d λλλλλ⎧⎧==+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨=+=+⎪⎩⎩⎪=⎩. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：()()188412n n n n T n b n n λ++=⋅==+，则111141n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 121111111111114223141n n C T T T n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 1111442nn S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14n n C S … 1111114142nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 12n n ⇔+…， 当n =1时，21n n =+；当n >1时，()01211111nn nn n n C C C n n =+=+++=+++>+.故题中的结论成立.5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x …的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-…成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+…. 【答案】(1) 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)见证明 【解析】 （1）解：()21215f x x x =-++≤，15122x x ∴-++≤， 由绝对值得几何意义可得32x =-和1x =上述不等式中的等号成立，∴不等式()5f x ≤的解集为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由绝对值得几何意义易得()1212f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小值为3， 235m m ∴≤+-，12m ∴-≤≤，2M ∴=，332a b ∴+=，()()33222a b a b a ab b =+=+-+，220a ab b -+≥，0a b ∴+>，222ab a b ≤+，()24ab a b ∴≤+，()24a b ab +∴≤，332a b =+ ()()22a b a ab b =+-+ ()()23a b a b ab ⎡⎤=++-⎣⎦ ()314a b ≥+， 2a b ∴+≤， 02a b ∴<+≤6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）依题意，()0,x ∈+∞，()()()()111221'x x xxe e x ef x x xx λλλ----=-=.当11λ≤时，10xe λ->.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 当11λ>时，令()'0f x =，解得1x =或1ln x λ=.若1e λ=，则()'0f x ≥，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 若11e λ<<，则1ln 1λ<，所以当()10,ln x λ∈时，()'0f x >，当()1ln ,1x λ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()10,ln λ和()1,+∞上单调递增，在()1ln ,1λ上单调递减； 若1e λ>，则1ln 1λ>，所以当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()11,ln x λ∈时，()'0f x <，当()1ln ,x λ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()0,1和()1ln ,λ+∞上单调递增，在()11,ln λ上单调递减.（Ⅱ）依题意，得()1x e f x x-=，所以1m n e e m -=.要证20m n -<，即证12n m >，即证2m n e e >，即证21mm e e m->,即证210m m e me -->，所以只需证0m >时，210mm e me -->成立即可. 令()21xx h x e xe=--，则()22=12xx x h x e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令()212xx g x e =--，则()211'0(0)22xg x e x =->>.所以()g x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00g x g >=，即2102xxe -->，所以()22'102x xx h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.所以()h x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00h x h >=， 所以210mm e me -->，即20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 【答案】（1）[]1,1-；（2）见解析【解析】（1）解：当12x -…时，不等式()4f x …变为21124x x --+-≤， 解得1-…x ，此时1x -剟12-. 当1122x -<…时，不等式()4f x …变为21124x x ++-≤，此不等式恒成立，此时1122x -<….||||x y …当12x >时，不等式()4f x …变为21214x x ++-≤，解得1x …，此时112x <…，综上，不等式的解集M 是[]1,1-；（2）证明：由题意，得[1,1],[1,1]x y ∈-∈-，则0||1,0||1x y 剟剟， 设||||x y …，||||||||||||1||11||1||1||1||1||1||x y x y x y y y x y y y y ++++==++++++剟故111x y yx+≤++8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.【答案】（1）44a -≤≤ ；（2）1621【解析】（1）因为函数()4f x x a x =-+244x a x a a ≥--=≥恒成立，解得44a -≤≤ ；（2）由第一问可知4m =，即4244()24x y z x y y z ++=⇒+-+= 由柯西不等式可得：2222222[4()2][4(2)1][()]x y y z x y y z +-+≤+-+⋅+++化简：2221621[()]x y y z ≤⨯+++即22216()21x y y z +++≥当且紧当：421x y y z+==-时取等号， 故最小值为1621．9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）72；（2）详见解析. 【解析】解：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由于函数y=146,2x x -<-,是减函数，y=1562,24x x --≤<,是减函数，y=564,4x x -≥，是增函数， 故当54x =时，()f x 取得最小值72M =.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a +++++≥++b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值；（2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．【答案】（1）2a =；（2）见解析 【解析】（1）解：由()01f =-，得11a -=-，即2a =±. 由()13f -=，得123a a +--=，所以2a =. （2）证明：由（1）知()2122f x x x =--+，所以()()1123232g x f x f x x x ⎛⎫=++-=--+ ⎪⎝⎭ 36,2334,2236,2x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x 的最大值为6，即6t =. 因为6(0,0)m n m n +=>>， 所以()491491491366n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为4912n m m n +≥=（当且仅当125m =，185n =时取等号）， 所以()49125131266m n +≥⨯+=. 11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x -++<的解集为M ． (1)求集合M ；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-． 【答案】（1）{|11}x x -<<（2）见解析 【解析】（1）原不等式等价于122124x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩或1221224x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或21224x x x ≤-⎧⎨---<⎩ 解得：112x ≤<或112x -<< 所以原不等式的解集为{}11x x -<<（2）由（1）知，当,a b M ∈时，11a -<<，11b -<< 所以21a <，21b <从而()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--<可得1a b ab -<-12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±； （Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）34b b ==Ⅱ）见解析（Ⅲ）1p k == 【解析】（Ⅰ）由{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b == 22213D ⇒=-=于是2232437b b D =+=+=，22437310b b D =+=+=所以34b b ==（Ⅱ）设数列{}n a 是等比数列，所以11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠）则22221n n a a q-= 若{}n a 为“平方等差数列”，则有()()22222222242211111n n n n n a a a qa q a qqD -----=-=-=因为D 为与n 无关的常数，所以21q = 即1q =±（Ⅲ）因为数列{}n c 是“平方等差数列”，122,0n c c c ==>则4D =，()()22114414n c c n D n n =+-=+-= n c ⇒=所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1...2n T =+假设存在正整数,p k 使不等式112n +>⎪⎭对一切*n N ∈都成立，即)21n+++>当1n =时，)121> 94p k ⇒+<又,p k 为正整数 1p k ⇒==) (21)++>对一切*n N ∈都成立()*2n N =>=∈所以：))...21 (2)1⎡⎤++>+++=⎣⎦所以存在1p k ==使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）()1,1- （Ⅱ）见证明 【解析】（Ⅰ）由31210x x ---+> 1213x x ⇒-++<1233x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-<⎩或11223x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+<⎩或133x x >⎧⎨<⎩ 112x ⇒-<≤-或112x -<<或x φ∈ 11x ⇒-<<所以函数()f x 的定义域D 为()1,1-． （Ⅱ）法一：()()()()222222221111a bab a b a b a b +-+=+--=--因为,a b D ∈，所以21a <，21b <． 故()()2210a bab +-+<，即()()221a b ab +<+所以1a b ab +<+．法二：当(),1,1a b D ∈=-时， ∴21a <，21b < ∴()()22110a b--<，即 22221ab a b +<+，∴()()2211a b ab a b ab +<+⇒+<+．14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->. 【答案】（1）(),6∞-；（2）见解析 【解析】（1）令15y x x =++-= 24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集， 则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6∞-． （2）证明：由,a b 为不相等的正数， 要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >， 只需证1a b b aab-->，整理得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立．15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（2?.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）要证a b c ++≥,,0a b c >，因此只需证明()23a b c ++≥.即证：()22223a b c ab bc ca +++++≥，而1ab bc ca ++=， 故需证明：()22223a b c ab bc ca +++++≥ ()ab bc ca ++.即证：222a b c ab bc ca ++≥++.而这可以由ab bc ca ++≤ 222222222a b b c c a +++++= 222a b c ++（当且仅当a b c ==时等号成立）证得.∴原不等式成立.（2=.由于（1）中已证a b c ++≥≥.即证1，即证ab bc ca ≤++.而2ab ac+=≤，2ab bc +≤，2bc ca+≤.∴≤ ab bc ca ++（3a b c ===时等号成立）.∴原不等式成立. 16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 【答案】（Ⅰ） 3t ≤ （Ⅱ）见证明 【解析】解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--= 所以3t ≤（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++ =+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p∴+≥++ 方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭2133≥= 123m p n p∴+≥++ 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．【答案】（1）][(),22,-∞-⋃+∞；（2）见解析 【解析】 解：()()1223f x x x =++-，()311513313x x f x x x x x -+<-⎧⎪∴=+-≤≤⎨⎪->⎩，①当1x <-时，不等式()7f x ≥即为317x -+≥，解得，2x ≤-，②当13x -≤≤时，不等式()7f x ≥即为57x +≥，解得23x ≤≤， ③当3x >时，不等式()7f x ≥即为317x -≥，解得3x >综上所述，不等式()7f x ≥的解集为][(),22,-∞-⋃+∞()2证明：由()1可知，4a =，24m n ∴+=，即214m n+=，()121121412442444m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即122m n+≥． 18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）左边()2223a b c =++由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==），即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证。
柯西不等式的证明_柯西不等式
柯西不等式的证明_柯西不等式柯西不等式二维形式(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式) 所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3 (1式) 又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...(平方的和的乘积不小于乘积的和的平方)证明|a|*|b|≥|a*b| ,a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]推广(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤(a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+ ...(bn^2))三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1 /n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
(应为之积的几何平均之和)概率论形式√E(X) √E(Y)≥∣E(XY)∣二维形式的证明(a²+b²)(c²+d²) (a,b,c,d∈R)=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²=(ac+bd)²+(ad-bc)²≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
三元柯西不等式公式证明
三元柯西不等式公式证明咱们先来说说三元柯西不等式，这可是数学里挺有意思的一部分呢！三元柯西不等式是这样的：(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²。
要证明这个不等式，咱们可以从简单的思路入手。
想象一下，咱们在一个三维的空间里，有两个向量，一个是 (a₁, a₂, a₃) ，另一个是(b₁, b₂, b₃) 。
咱们先来看看向量的模长。
向量 (a₁, a₂, a₃) 的模长的平方就是a₁² + a₂² + a₃²，向量 (b₁, b₂, b₃) 的模长的平方就是 b₁² + b₂² +b₃²。
那这两个向量的数量积呢？就是 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
咱们知道，两个向量的数量积不会超过它们模长的乘积。
也就是说，|a·b| ≤ |a|×|b| 。
把这个放到咱们的三元柯西不等式里，两边平方一下，不就得到了(a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²嘛！再给您举个例子来理解。
比如说，有个小朋友在做搭积木的游戏。
他有三种不同形状的积木，分别用长度 a₁, a₂, a₃来表示，另一个小朋友也有三种不同形状的积木，长度是 b₁, b₂, b₃。
然后他们比谁搭的积木长度总和更长。
按照三元柯西不等式，如果第一个小朋友的积木长度平方和乘以第二个小朋友的积木长度平方和，那肯定比他们两个积木长度对应相乘再相加的平方要大或者相等。
就好像第一个小朋友的积木组合方式特别多，可能性更丰富，总的长度可能性的范围也就更大。
咱们再从代数的角度来证明一下。
将 (a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) 展开，得到：a₁²b₁² + a₁²b₂² + a₁²b₃² + a₂²b₁² + a₂²b₂² + a₂²b₃² + a₃²b₁² +a₃²b₂² + a₃²b₃²然后把 (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²展开，得到：a₁²b₁² + 2a₁b₁a₂b₂ + 2a₁b₁a₃b₃ + a₂²b₂² + 2a₂b₂a₃b₃ +a₃²b₃²用前面展开的式子减去后面展开的式子，通过一系列的化简和整理，最终可以得到一个非负的式子，这就证明了前面的式子大于等于后面的式子。
柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式是一个重要的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论和其他领域。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出，是数学分析中的一项重要成果。
柯西不等式在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在概率论和统计学中的应用，能够帮助人们更好地理解和解决实际问题。
一、柯西不等式的基本原理1. 柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它描述了内积空间中向量的长度和夹角之间的关系。
具体来说，对于内积空间中的任意两个向量a和b，柯西不等式可以表达为：|⟨a, b⟨| ≤ ||a|| ||b||2. 其中，⟨a, b⟨表示向量a和b的内积（或称点积），||a||和||b||分别表示向量a和b的长度。
柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会大于它们长度的乘积。
二、柯西不等式的六个基本公式3. 柯西不等式有许多不同的形式和推广，但最基本的形式是针对实数向量空间的柯西不等式。
具体来说，对于实数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)4. 在复数向量空间中，柯西不等式的形式稍有不同。
对于复数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1* + a2b2* + ... + anbn*| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + ... + |an|^2) √(|b1|^2 + |b2|^2 + ... + |bn|^2)5. 在积分的应用中，柯西不等式的形式也有所不同。
对于连续函数f和g，柯西不等式可以表达为：|∫(f*g)dx| ≤ √(∫f^2 dx) √(∫g^2 dx)6. 这些是柯西不等式的基本形式，它们描述了向量的长度和夹角之间的关系，以及函数的积分之间的关系。
柯西不等式的证明及妙用
柯西不等式的证明及妙用柯西不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是线性代数中的一个重要定理，它被广泛应用于数学、物理和工程学科中的不等式证明。
该不等式以法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家施瓦兹（Hermann Amandus Schwarz）的名字命名，因为他们都独立地发现了这个不等式。
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)，≤ sqrt(a1^2 + a2^2 + ... +an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中，a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn是任意实数或复数。
接下来，我将对柯西不等式的证明及其妙用进行一些解释。
1.柯西不等式的证明：假设有两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，我们可以将其表示为两个多项式的展开形式：a·b = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)a·a = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)b·b = (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)将a·b的平方表示为一个多项式：(a·b)^2 = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) - (a1b2 - a2b1)^2 - (a1b3 - a3b1)^2 - ... - (an-1bn - anbn-1)^2≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中，不等号的成立是因为平方差的非负性。
再开方，就得到了柯西不等式：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)，≤ sqrt(a1^2 + a2^2 + ... +an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)2.柯西不等式的妙用：-向量长度的标准推导：利用柯西不等式，可以推导出向量的长度表达式：a·b，≤，a，*，b其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
高考数学大一轮复习 课时训练78 不等式的证明及柯西不等式 理 苏教版(1)
课时跟踪检测(七十八) 不等式的证明及柯西不等式1．已知x ，y ，z ∈R ，若x 4＋y 4＋z 4＝1.求证：x 2＋y 2＋z 2≤ 3.2．(2014·大连模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c1＋c .3．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .4．已知a ，b ，c ∈R ＋.求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥c ba ＋a cb ＋b ac .5．已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证|f (a )－f (b )|<|a －b |.6．(2014·金华模拟)已知x ，y ，z 是正实数．求证：x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z2x ＋y ≥x ＋y ＋z2.7．设a ，b ，c 均为正实数．求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.8．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x 值．答 案1．证明：x ，y ，z ∈R ，且x 4＋y 4＋z 4＝1为定值，利用柯西不等式得到(x 2＋y 2＋z 2)2≤(12＋12＋12)[(x 2)2＋(y 2)2＋(z 2)2]．从而(x 2＋y 2＋z 2)2≤3⇒x 2＋y 2＋z 2≤ 3.当且仅当x 21＝y 21＝z 21时取“＝”号， 又x 4＋y 4＋z 4＝1，所以x 2＝y 2＝z 2＝33时取“＝”号． 2．证明：∵a >0，b >0，∴a 1＋a >a 1＋a ＋b ，b 1＋b >b 1＋a ＋b . ∴a 1＋a ＋b 1＋b >a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，则a ＋b1＋a ＋b >c1＋c ，所以a1＋a ＋b1＋b >c1＋c ，故原不等式成立．3．证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .4．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴b 2a ＋c 2b ≥2 b 2a ·c 2b ＝2c ba ， 同理，c 2b ＋a 2c ≥2a cb ，a 2c ＋b 2a ≥2b ac ， 三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥c b a ＋a ·cb ＋b ac .5．证明：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2| ＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2 ＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2.又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2.∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0，∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.6．证明：∵x ，y ，z 是正实数，令a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ＋z ，yx ＋z ，z x ＋y ，b ＝(y ＋z ，x ＋z ，x ＋y )，∵|a·b|2≤|a|2|b|2， ∴⎝ ⎛ xy ＋z ·y ＋z ＋y x ＋z ·x ＋z ＋⎭⎪⎫zx ＋y ·x ＋y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ·[(y ＋z )＋(x ＋z )＋(x ＋y )]，当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．即(x ＋y ＋z )2≤2⎝ ⎛ x 2z ＋y ＋y2x ＋z ＋ ⎭⎪⎫z 2x ＋y ·(x ＋y ＋z )，∴x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥x ＋y ＋z 2.7．证明：∵a ，b ，c 均为正实数， ∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立；12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ，当且仅当b ＝c 时等号成立；12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a ，当且仅当c ＝a 时等号成立；三个不等式相加即得 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．8．解：(1)证明：x 是正实数，由基本不等式知， x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立；当x ≤0时，8x 3≤0.而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1) ＝(x ＋1)2(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥0， 此时不等式仍然成立．。
柯西不等式专题课件高三数学一轮复习
方法总结 1．高幂因式在柯西不等式里位于不等号较大的一侧，所以低幂部分有 最大值．这里的高幂、低幂是相对的，比如二次相对于一次是高幂，而 一次相对于根式也算高幂． 2．低幂因式在柯西不等式里位于不等号较小的一侧，所以高幂部分有 最小值．
跟踪训练
6．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大值是 ____1_2_____．
[证明] 构造二次函数 f(x)＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋…＋(anx＋bn)2
＝(a21＋a22＋…＋a2n)x2＋2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(b21＋b22＋…＋b2n)， 由构造知 f(x)≥0 恒成立， 又∵a21＋a22＋…＋a2n≥0， ∴Δ＝4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≤0， 即(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)， 当且仅当 aix＋bi＝0(i＝1，2…n)即ab11＝ab22＝…＝abnn时等号成立．
题型三 一般形式的柯西不等式及证明 柯西不等式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋a23＋…＋a2n)·(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， 当且仅当 bi＝0(i＝1，2，3，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1， 2，3，…，n)时，等号成立． 例3 利用函数知识证明柯西不等式．
[证明] 由柯西不等式得 a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得
高考数学柯西不等式知识点总结
高考数学柯西不等式知识点总结柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等数学中的应用很普遍。
下面店铺给大家带来高考数学柯西不等式知识点，希望对你有帮助。
高考数学柯西不等式知识点(一)所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
(2)用向量来证.m=(a1，a2......an) n=(b1，b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
数学一轮复习选修4_5第二讲不等式的证明与柯西不等式学案含解析
第二讲不等式的证明与柯西不等式知识梳理·双基自测知识错误!错误!知识点一综合法从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．知识点二分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．知识点三放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法称为放缩法．知识点四均值不等式定理1:设a、b∈R，则a2＋b2≥__2ab__．当且仅当a＝b时,等号成立．定理2：如果a、b为正数,则错误!≥__错误!__，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c3≥__当且仅当a＝b＝c时,等号成立．定理4：（一般形式的算术－几何平均不等式）如果a1、a2、…、a n为n个正数，则错误!≥__错误!__，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时,等号成立．知识点五柯西不等式（1）设a、b、c、d均为实数,则(a2＋b2)(c2＋d2)≥（ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．（2）若a i、b i(i∈N＋）为实数，则（错误!a错误!)（错误!b错误!)≥(错误!a ib i）2，当且仅当错误!＝错误!＝…＝错误!（当a i＝0时，约定b i＝0，i＝1,2,…，n）时等号成立．（3)柯西不等式的向量形式：设α、β为平面上的两个向量，则｜α|｜β|≥｜α·β｜,当且仅当α，β共线时等号成立．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1）当a≥0,b≥0时,错误!≥错误!．（√)(2）用反证法证明命题“a,b,c全为0"的假设为“a,b,c全不为0"．(×）（3）若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0,y ＞0．(√)(4)若m＝a＋2b,n＝a＋b2＋1，则n≥m．（√）题组二走进教材2．（理)（P35例改编)(2020·宁夏银川一中月考）已知正数x、y满足x＋y＝1，则错误!＋错误!的最小值为（B）A．2 B．错误!C．错误!D．5（文）(P35例3）已知a，b∈R＋,a＋b＝2，则错误!＋错误!的最小值为（B)A．1 B．2C．4 D．8［解析]（理）∵x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2,则2错误!＝[x＋(1＋y）］错误!＝错误!＋错误!＋5≥2错误!＋5＝9，所以错误!＋错误!≥错误!，当且仅当错误!,即当错误!时，等号成立,故选B．（文）∵a，b∈R＋，且a＋b＝2，∴错误!＋错误!＝错误!（a＋b）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝2．(当且仅当a＝b＝1时“＝"成立),∴错误!＋错误!的最小值为2，故选B．3．（P41习题3。
人教A版高中数学 高三一轮 第十一章选修内容 11-4 不
不等式的证明1．求证：112＋122＋…＋1n 2<2(n ∈R *)． 证明 ∵1k 2<1k （k －1）＝1k －1－1k，∴112＋122＋…＋1 n 2<1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝1＋(1－1n )＝2－1n<2.2．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值． 解 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2， 当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴(3x ＋2y ＋z )2≤12， 即－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－2 3.3．设正实数a 、b 满足a 2＋ab －1＋b －2＝3，求证：a ＋b －1≤2. 证明 由a 2＋ab －1＋b －2＝3，得ab －1＝(a ＋b －1)2－3， 又正实数a 、b 满足a ＋b －1≥2ab －1，即ab －1≤(a ＋b －1)24，当且仅当a ＝b 时取“＝”．∴(a ＋b －1)2－3≤(a ＋b －1)24，∴a ＋b －1≤2.4．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)，求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.证明 ∵n (n ＋1)＝n 2＋n ，∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n (n ＋2)2. 综上得：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2. 5．已知x ，y ，z 均为正数． 求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 证明 因为x 、y 、z 均为正数． 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z ，同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .6．已知a 、b 都是正实数，且ab ＝2.求证：(1＋2a )(1＋b )≥9. 证明 法一 因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2， 所以2a ＋b ≥22ab ＝4.所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9. 法二 因为a 、b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a )(1＋b )＝[12＋(2a )2][12＋(b )2]≥(1＋2ab )2. 又ab ＝2，所以(1＋2ab )2＝9.所以(1＋2a )(1＋b )≥9. 法三 因为ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋2a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因为a 为正实数，所以a ＋1a ≥2 a ·1a ＝2.所以(1＋2a )(1＋b )≥9.法四 因为a 、b 都是正实数，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋a ＋a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＋b 2≥3·3a 2·3·3b 24＝9·3a 2b 24. 又ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )≥9.7．设实数x 、y 、z 满足x ＋2y －3z ＝7，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 证明 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)·[12＋22＋(－3)2]≥(x ＋2y －3z )2. ∵x ＋2y －3z ＝7，∴x 2＋y 2＋z 2≥72. 当且仅当x ＝y 2＝z－3时取等号，即x ＝12，y ＝1，z ＝－32时取等号． ∴x 2＋y 2＋z 2的最小值为72.8．已知m 、n 是正数，证明：m 3n ＋n 3m ≥m 2＋n 2.证明 ∵m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n ＋n 3－m 3m＝(m 3－n 3)(m －n )mn ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn ，∵m 、n 均为正实数，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn ≥0，∴m 3n ＋n 3m ≥m 2＋n 2.当且仅当m ＝n 时，等号成立．9．已知a 、b 、c 满足abc ＝1，求证：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)≥27.证明 (a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 10．已知x 、y 、z 均为正数，求证：33⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≤ 1x 2＋1y 2＋1z 2.证明 由柯西不等式，得(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z 2.即3×1x 2＋1y 2＋1z 2≥1x ＋1y ＋1z .∴33⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≤1x 2＋1y 2＋1z 2.当且仅当1x ＝1y ＝1z 时等号成立．11．已知a ，b 为实数，且a >0，b >0. (1)求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9；(2)求(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2的最小值． (1)证明 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a ＝33b >0， ①同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b >0.②由①②及不等式的性质得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2＝33b ×331b ＝9. (2)解 [(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2][12＋12＋22] ≥[(5－2a )×1＋2b ×1＋(a －b )×2]2. 所以(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2≥256.当且仅当5－2a 1＝2b 1＝a －b 2时取等号，即a ＝2512，b ＝512. 所以当a ＝2512，b ＝512时，(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2取最小值256. 12．已知a ，b 为正实数． (1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x (0<x <1)的最小值．(1)证明 法一 ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b3a≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 法二 ∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b . (2)解 ∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x ≥(1－x )＋x ＝1.当且仅当1－x ＝x ，即x ＝12时等号成立． ∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值为1.。
高中数学复习系列---柯西不等式
高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20.若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 变式10.设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( .当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！ ☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆 的半径，证明：22212x y z a b c R++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
高考数学总复习课时作业(七十)第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式理(2021年整理)
2019年高考数学总复习课时作业（七十）第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式理2019年高考数学总复习课时作业（七十）第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学总复习课时作业（七十）第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学总复习课时作业（七十）第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式理的全部内容。
1 / 81课时作业（七十）第70讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式基础热身1。
（10分）[2017·石家庄模拟］已知函数f（x)=｜x+1｜+|x—5|的最小值为m.（1）求m的值;（2)若a，b,c均为正实数，且a+b+c=m,求证:a2+b2+c2≥12.2.(10分)［2017·衡水中学三模］已知实数a，b满足a2+b2—ab=3。
（1）求a-b的取值范围；(2)若ab>0,求证:++≥.能力提升3。
(10分)［2017·巢湖模拟］已知函数f(x)=|2x—1｜+|x+1｜.(1）求函数f（x)的值域M;（2)若a∈M，试比较｜a-1｜+|a+1｜，，-2a的大小.4。
(10分)已知函数f（x)=|x+5|-|x-1｜(x∈R).(1)解关于x的不等式f(x）≤x；（2）记函数f(x)的最大值为k,若lg a+lg(2b）=lg(a+4b+k)，试求ab的最小值.5.(10分）已知a,b为任意实数.(1)求证：a4+6a2b2+b4≥4ab(a2+b2）;(2）求函数f（x)=｜2x—a4+(1-6a2b2—b4）｜+2｜x-(2a3b+2ab3-1)|的最小值。