2.2.4空间的平行平面的性质
2.2.4平面与平面平行的性质2
L
α∥β
α∩β= L
(2):平面和平面平行的判定定理是什么？
一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行。 如果一个平面内有 两条相交直线分别平行 于另一个平面内的两条 直线，那么这两 b
α
d
如果两个平 行平面同时与第三 个平面相交，那么 它们的交线平行。
是α上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G
点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
B C D
a
α
E
F
G
A
10
小结
面面平行判定定理: 线面平行
另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
求证：MN∥平面PBC。
N D C
E
A B
M
7
已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一 点G，画出过G和AP的平面。
P
M
G
D
C
H
A
O
B
8
练习： 点P在平面VAC内，画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A
9
E
C
如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D
面面平行性质定理: 面面平行
线面平行 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。
11
课外作业： 1、已知α∥β，AB交α、β于A、B，CD交 α、β于C、D，AB∩CD=S，AS=8，BS=9，
线面平行 面面平行 的判定
2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质1．文字语言：一条直线与一个平面平行，则__过这条直线的任一平面与此平面的交线__与该直线平行．2．图形语言：3．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α__a ⊂β____α∩β＝b __⇒a ∥b 4．作用：线面平行⇒线线平行．要点二 面面平行的性质定理1．文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的交线__平行__.2．图形语言：3．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α∥β__α∩γ＝a ____β∩γ＝b __⇒a ∥b 4．作用：面面平行⇒线线平行．要点三 平行关系性质的应用1．若平面α与平面β平行，则α上的任何直线与平面β的位置关系是__平行__. 2．若两个面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线的关系是__平行或异面__. 3．A 是异面直线a ，b 外一点，过A 最多可作__0或1__个平面同时与a ，b 平行． 4．过平面外一点能作__无数__条直线和这个平面平行．思考： 如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话正确吗？为什么？提示 不正确，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．考点一线面平行、面面平行的性质定理定理可简记为“线面平行，则线线平行”“面面平行，则线线平行”．定理揭示了直线与平面平行中蕴涵着直线与直线平行，即通过直线与平面平行、平面与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法．【例题1】在下列命题中，正确的有__④__(填序号)．①若α∩β＝a，b⊂α，则a∥b；②若a∥平面α，b⊂α，则a∥b；③若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④平面α∥平面β，点P∈α，a∥β且P∈a，则a⊂α.思维导引：此类题一般是以符号语言为载体的判断题，熟悉相关定理是前提，全面分析是关键，一般通过合理利用模型及排除法解题．解析①若α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，①不正确；②若a∥α，b⊂α，则a与b异面或a∥b，②不正确；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a与b异面，③不正确；④若α∥β，点P∈α，知P∉β，所以过点P且平行于β的直线a必在α内，故④正确．【变式1】(1)若直线a，b均平行于平面α，那么a与b的位置关系是__平行、相交或异面__.(2)若直线a∥b，且a∥平面β，则b与β的位置关系是__b∥β或b⊂β__.(3)若直线a，b是异面直线，且a∥β，则b与β的关系是__b∥β或b⊂β或b与β相交__.解析(1)a∥α，b∥α，则知a，b与α无公共点，而a，b平行、相交、异面都有可能．(2)a∥b，a∥β知b∥β或b在β内．(3)b与β的三种位置关系都有可能．考点二线面平行的性质及应用利用线面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：(1)先找过已知直线且与已知平面相交的平面；(2)再找两个平面的交线；(3)由定理得出结论．【例题2】如图，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．思维导引：AB∥平面MNPQ，CD∥平面MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形证明因为AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，所以AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可证NP ∥MQ.所以四边形MNPQ为平行四边形．【变式2】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F.求证：EF∥B1C．证明由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD 为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．考点三面面平行的性质及应用应用平面与平面平行的性质定理的基本思路：【例题3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点．当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是__与D重合__.思维导引：平面AB1C∥平面A1EC1，且都与对角面BB1D1D相交，则交线平行．在平行四边形BB1D1D中再来论证平行线的位置．解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O.连接ME，B1O，因为平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，所以B1O∥ME.又由长方体的性质可知四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD．故E与D重合．【变式3】已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．解析直线a，b的位置关系是平行．如图所示，连接DD′.因为平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A ′D ′B ∩平面A ′B ′C ′＝A ′D ′， 所以A ′D ′∥a . 同理可证AD ∥b .又D 是BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，所以DD ′BB ′，又BB ′AA ′，所以DD ′AA ′，所以四边形AA ′D ′D 为平行四边形，所以A ′D ′∥AD ，所以a ∥b .考点四 空间平行关系的相互转换线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行转换．相互间的转换关系如下．【例题4】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求PQ 的长；思维导引：通过作辅助线构造平面，从而证得线面平行；或通过线线平行证得线面平行． 解析 (1)证明：方法一 如图，连接AC ，CD 1.AC 与BD 交于点Q .因为P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点，所以PQ ∥CD 1. 又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1， 所以PQ ∥平面DCC 1D 1.方法二 取AD 的中点G ，连接PG ，GQ ， 则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ， 则平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又因为PQ ⊂平面PGQ ，则PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .【变式4】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD ．证明 过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连接GF ，则B 1E B 1A ＝B 1GB 1B.因为B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，所以C 1F C 1B ＝B 1GB 1B .所以FG ∥B 1C 1∥BC ，又因为EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， 所以平面EFG ∥平面ABCD ，又因为EF ⊂平面EFG ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD ．。
2.2.4面面平行的性质
D
A B
C
问题3：若两个平面平行，则一个平面内的直 线a与另一个平面内的直线有什么位置关系?
a
b
异面、平行
已知: 平面，， ， // , a
b求证：a // b 证明: a
b
｛b
/
a
a, b没有公共点 a, b都在平面内
a // b
二、平面和平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b b
简记:面面平行 线线平行
例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面//平面 ,AB和DC为夹在 、 D A 间的平行线段。求证：AB=DC.
证明：连接BC，取BC的中点E， 分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β， M 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥ 平面α， ∵ MN平面MEN，∴MN∥α.
B A C
E
N D
例3 在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系，并说明理由.
C′ D′ M D C A A′ B B′
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个
平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
作业: P61练习：（做在书上） P63习题2.2B组：4（做在书上） P63习题2.2B组：3.
两个平面平行的判定和性质
两个平面平行的判定和性质一、内容提要1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。
因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：（1）平行—没有公共点；（2）相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：4. 两个平面平行具有如下性质：（1）两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
（3）如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
二、要点内容1. 证明两个平面平行的方法有：（1）根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
（2）根据判定定理。
证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。
就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。
这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。
夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
人教A版数学必修二2.2.4 平面与平面平行的性质 教学设计
《2.2.4 平面与平面平行的性质》教学设计一、教学内容分析：本节教材选自人教A版数学必修二第二章2.2.4，本节内容在立体几何学习中具有重要的意义与地位。
本节课是在前面已学直线与平面平行的判定及性质、平面与平面平行的判定，结合有关的实物模型，通过直观感知、推理证明出平面与平面平行的性质定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，对以后的学习作用重大。
二、学生学习情况分析：任教的学生在年级属中上程度，学习兴趣较高，但学习立体几何所具备的语言表达、逻辑推理及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，借助实物模型，通过直观感知，推理证明，归纳出平面与平面平行的性质定理，让学生在观察分析、自主探究、合作交流的过程中，揭示平面与平面平行的性质定理，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探究、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标：通过直观感知，推理证明，理解并掌握平面与平面平行的性质定理，掌握平面与平面平行、相交的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述性质定理。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的效率。
五、教学重点与难点：重点是性质定理的引入与理解，难点是性质定理的应用及立体几何空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
六、教学过程设计：（一）知识准备，引入提问：两平面平行的判定定理解决了两平面平行的条件；反之，在两平面平行的条件下，会得到什么结论呢？本节我们利用长方体模型共同探讨这个问题.问题1如何判断平面和平面平行？如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？生答有两种方法，一是用定义法，须判断两个平面没有公共点；二是用平面和平面平行的判定定理，须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.问题2 如果两个平面平行，除了上述性质，两个平面内的直线还有别的性质吗？【设计意图：通过提问，学生复习面面平行的判定定理，引入本节课课题。
2.2.4平面与平面平行的性质
平面与平面平行的性质定理
展馆上下两层所在的平面与侧墙 所在的平面分别相交,它们的交线的位置关系 如何? (平行)
(1)文字语言:如果两个平行平面同时 和第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)符号语言:α ∥β ,α a∥b. (3)图形语言:如图所示. γ =a,β γ =b
【质疑探究】 (1)如何理解平面与平面平行的性质 定理?需要注意什么? (①该性质定理可以简述为:“面面平行,则线线平 行”,必须注意这里的“线线”是指同一平面与已 知两平行平面的交线.②关于两个平面平行的性质 还有如下的结论:两个平面平行,其中一个平面内 的直线必平行于另一个平面,即 “面面平行,则线面 平行”,此处的线是平面内的任一条直线)
跟踪训练 1 1:已知 a、b 表示直线,α 、β 、γ 表示平面,下列推理正确的是( (A)α β =a,b α )
a∥b (B)α β =a,a∥b b∥α 且 b∥β (C)a∥β ,b∥β ,a α ,b α α ∥β (D)α ∥β ,α γ =a,β γ =b a∥b
利用面面平行的性质定理证明线线 平行的技巧是什么? (利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键 是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造 三个面是其应用中的主要工作:即二个平行面,一 个包含讨论直线的面,有时需要添加辅助面)
跟踪训练 2 1:已知如图所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中, 点 D、D1 分别为 AC、A1C1 上的点.
(3)你能总结一下线线平行与线面平行、面面平 行之间的转化关系吗? (三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系 如图所示:
)
如图所示,AB α ,CD β , 且α ∥β ,若 AC∥BD,求证:AC=BD.
空间的平行平面的性质
面面平行的性质
P69练习:已知三个平行平面 , ,与两条直线 l, m
分别相并于点A, B,C和点D, E, F.
求证: AB DE . BC EF
证明: 过A作直线AH//DF, G , H .
连结AD,GE,HF(如图).
// // ,
BG // CH , AD// GE // HF.
性质定理：如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交线平 行．
// 即： a a // b
b
简记:面面平行，则线线平行
例3 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
已知:平面 //平面 ,AB和DC为夹在 、
间的平行线段。 求证：AB=DC. 证明：
必平行于另一个平面
可根据两个平面平行与直线和平面平行的定义证明
面面平行转化 为线面平行或
线线平行
这个结论可作为两个 平面平行的性质
两个平面平行的几条性质
性质3：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
性质4：经过平面外一点只有一个平面和已知平 面平行
面面平行的判定
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
a
b
求证：a // b
证明
a
a
b b
//
a, b没有公共点
a, b都在平面内
a // b
； https:/// 棋牌游戏赚钱 ；
都以一颗心做底。古人造字是很讲究的，他们在这两个字中注入了自己的体验，也期待着所有喜欢这两个字的人，都会共鸣和震撼。 如果一个人把自己的财富拿出来帮助别人，就等于伸出了自己结实的臂膀，因为劳动者的每一分钱都是他用双手换来的。如果一个人把自己的时间拿 出来帮
面面平行的性质
α E FG
A
练：A、B是不在直线l上的两点，则过点A、B 且与直线l平行的平面的个数是 （ D ）
A．0个
B．1个
C．无数个 D．以上三种情况均有可能
小结与归纳
1、若两个平面互相平行，则其中一个 平面中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行；
3、夹在两平行平面间的平行线段相等。
β
答:两条交线平行.
α
a
b
下面我们来证明这个结论
如图，平面α，β，γ满足α∥β，
α∩γ＝a,β∩γ=b，
求证：a∥b
证明：∵α∩γ=a,
β∩γ=b
∴aα，bβ
a
α
∵α∥β ∴a，b没有公共点，
又∵ a，b同在平面γ内，
b
β
∴ a∥b
面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行.
2.2.4 平面与平面 平行的性质
复习回顾：
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
探究新知
探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面 内的直线与另一个平面有什么位置关系？
a
异面直线
平行直线
探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
探究新知
探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时，两条交 线有什么关系？为 什么？
用符号语言表示性质定理：
/ /
a,
b
a//b
想一想：这个定理的作用是什么?
由平面与平面平行得出直线与直线平行
平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ 求证：α∥β
课件4：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
知识点一 直线与平面平行的性质 线面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥α
a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
(4)作用：线面平行⇒线线平行．
题型三 线面平行和面面平行的综合问题 例3 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′ 分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、 β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°,OA∶OA′ ＝3∶2.求△A′B′C面和两平行平面α、β分 别相交于AB、A′B′， 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、 B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′. ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′.
练习
5.如图所示，P 是△ABC 所在平面外一 点，平面 α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA、PB、PC 于 A′、B′、C′.若APA′A′＝23， 求S△A′B′C′的值．
S△ABC
解 平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′， 平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC， ∠A′C′B′＝∠ACB. ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5. ∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
证明 如图所示，过点A作AE∥CD，且AE交平面β 于E，连接DE与BE. ∵AE∥CD， ∴由AE与CD可以确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. ∵α∥β，∴AC∥DE. 取AE的中点N，连接NP与MN，如图所示． ∵M与P分别为线段AB与CD的中点，
课件10：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
本课结束
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∵NP⊄平面 AA1B1B，AB⊂平面 AA1B1B， ∴NP∥平面 AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面 AA1B1B，BB1⊂平面 AA1B1B， ∴MP∥平面 AA1B1B. 又∵MP⊂平面 MNP，NP⊂平面 MNP，MP∩NP＝P， ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. ∵MN⊂平面 MNP，∴MN∥平面 AA1B1B.
[类题通法] 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[针对训练] 2．给出下列说法： ①若平面 α∥平面 β，平面 β∥平面 γ，则平面 α∥平面 γ； ②若平面 α∥平面 β，直线 a 与 α 相交，则 a 与 β 相交； ③若平面 α∥平面 β，P∈α，PQ∥β，则 PQ⊂α； ④若直线 a∥平面 β，直线 b∥平面 α，且 α∥β，则 a∥b. 其中正确说法的序号是________．
文字语言 那么它们的交线__平__行___
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥__b_
图形语言
三、综合迁移·深化思维 (1)若直线 a∥平面 α，则直线 a 平行于平面 α 内的任意一条直线，对吗？ 提示：错误．若直线 a∥平面 α，则由线面平行的性质定理可知直线 a 与平面 α 内的一组直线平行． (2)若直线 a 与平面 α 不平行，则直线 a 就与平面 α 内的任一直线都不 平行，对吗？ 提示：不对．若直线 a 与平面 α 不平行，则直线 a 与平面 α 相交或 a⊂α，当 a⊂α 时，α 内有直线与直线 a 平行．
(3)两个平面平行，那么，两个平面内的所有直线都相互平行吗？ 提示：不一定．它们可能异面． (4)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？ 提示：一定平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则 其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，因而它们平行．
平面与平面平行的判定及其性质
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理： / / a//b a, b
想一想：这个定理的作用是什么? 答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
例题分析,巩固新知 例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么? 答:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化 为符号语言,最后分析并书写出证明过程。 如图,α//β ,AB//CD,且AÎ α, CÎ β ,DÎ . α,BÎ β 求证:AB=CD. 证明:因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ ,且平面γ 与平 面α和β 分别相交于AC和BD. 因为 α//β ,所以 BD//AC.因此,四边形ABDC是平 行四边形. 所以 AB=CD.
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。
D1
F
M
B1
N
A1
C1
E
线面平行
线线平行
面面平行
D A B C
第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步：利用判定定理得出结论。
线面平行 线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行。
2.2.4《平面与平面 平行的性质》
Байду номын сангаас
复习提问、引入新课
复习：如何判断平面和平面平行? 答:有两种方法,一是用定义法,须 判断两个平面没有公共点;二是用 平面和平面平行的判定定理,须判 断一个平面内有两条相交直线都和 另一个平面平行.
线面、面面平行、垂直例题
¤学习目旳：以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳鉴定,掌握直线与平面平行鉴定定理,掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”. ¤知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 鉴定定理:平面外旳一条直线与此平面内旳一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表达为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒． 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Ｅ、F 分别为AB 、PD 旳中点,求证:AF ∥平面PEC【例2】在正方体ＡB ＣD -A 1B 1Ｃ１D 1中,E 、Ｆ分别为棱BC 、C 1D １旳中点． 求证:EF ∥平面ＢＢ１Ｄ１D.【例３】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别是AB 、PC 旳中点（1)求证:ＭN //平面PA Ｄ；(２）若4MN BC ==，43PA =,求异面直线PA 与MN 所成旳角旳大小． ．¤学习目旳：以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面平行旳鉴定,掌握两个平面平行旳鉴定定理与应用及转化旳思想.¤知识要点:面面平行鉴定定理：如果一种平面内有两条相交直线都平行于另一种平面，那么这两个平面平行.用符号表达为：,,////,//a b ab P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. ¤例题精讲:【例1】如右图，在正方体A ＢC Ｄ—A 1B 1Ｃ1D １中,Ｍ、N 、Ｐ分别是C 1C 、B １Ｃ1、C １Ｄ1旳中点,求证:平面ＭＮP ∥平面A 1B Ｄ.．【例２】已知四棱锥P －A ＢCD 中， 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在ＰA 、BD 、P Ｄ上， 且PM ：ＭＡ=BN ：ND ＝PQ ：ＱD .求证：平面MNQ ∥平面P ＢC .第14讲 §2.２.3 直线与平面平行旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳性质,掌握直线和平面平行旳性质定理，灵活运用线面平行旳鉴定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行旳转化.NM P DCQB A¤知识要点:线面平行旳性质：如果一条直线和一种平面平行，通过这条直线旳平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭. ¤例题精讲:【例１】通过正方体ABCD -Ａ1B 1C 1D 1旳棱ＢB 1作一平面交平面AA １D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥Ｂ1B【例2】如右图，平行四边形EFG Ｈ旳分别在空间四边形AB ＣD 各边上,求证:BD ／/平面ＥＦG Ｈ.第１5讲 §2.2.4 平面与平面平行旳性质¤学习目旳：通过直观感知、操作确认、思辨论证，结识和理解空间中面面平行旳性质，掌握面面平行旳性质定理,灵活运用面面平行旳鉴定定理和性质定理,掌握“线线”“线面”“面面”平行旳转化. ¤知识要点:1. 面面平行旳性质:如果两个平行平面同步与第三个平面相交，那么它们旳交线平行. 用符号语言表达为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2． 其他性质:①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；βaαb③夹在平行平面间旳平行线段相等. ¤例题精讲:【例1】如图，设平面α∥平面β，A Ｂ、C Ｄ是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 旳中点，且A 、Ｃ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.【例4】如图,已知正方体1111ABCD A B C D -中,面对角线1AB ，1BC 上分别有两点Ｅ、F ，且11B E C F =. 求证：ＥF ∥平面ＡＢCD ．第16讲 §2.３.1 直线与平面垂直旳鉴定¤学习目旳:以立体几何旳定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面垂直旳鉴定,掌握直线与平面垂直旳定义，理解直线与平面垂直旳鉴定定理,并会用定义和鉴定定理证明直线与平面垂直旳关系. 掌握线面角旳定义及求解． ¤知识要点:1. 定义:如果直线l 与平面α内旳任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直,记作l α⊥. l －平面α旳垂线,α－直线l 旳垂面,它们旳唯一公共点P 叫做垂足．（线线垂直→线面垂直）２. 鉴定定理:一条直线与一种平面内旳两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面GNMFEEC DBAD 1C 1B 1A 1βαEN MDBCA垂直. 符号语言表达为：若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n =B ，m α,nα，则l ⊥α３. 斜线和平面所成旳角，简称“线面角”，它是平面旳斜线和它在平面内旳射影旳夹角. 求直线和平面所成旳角,几何法一般先定斜足，再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证(证所作为所求)→求（解直角三角形）”. 一般，通过斜线上某个特殊点作出平面旳垂线段,垂足和斜足旳连线是产生线面角旳核心． ¤例题精讲：【例1】四周体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 旳中点,且22EF AC =,90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD ．【例２】已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,2AB =，4PA AD ==，E 为BC 旳中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；(2）求直线DP 与平面PAE 所成旳角．【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，,PO ⊥平面AB Ｃ,垂足为O ,求证：O 为底面△ＡBC 旳垂心.第１7讲 §２．3.2 平面与平面垂直旳鉴定¤学习目旳：通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面垂直旳鉴BD CAE FG定,掌握二面角和两个平面垂直旳定义，理解平面与平面垂直旳鉴定定理并会用鉴定定理证明平面与平面垂直旳关系，会用所学知识求两平面所成旳二面角旳平面角旳大小.¤知识要点:１. 定义:从一条直线出发旳两个半平面所构成旳图形叫二面角(dihedral a ｎgl ｅ）. 这条直线叫做二面角旳棱,这两个半平面叫做二面角旳面． 记作二面角AB αβ－－． (简记P AB Q －－）2. 二面角旳平面角：在二面角l αβ－－旳棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 旳射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成旳AOB ∠叫做二面角旳平面角． 范畴：0180θ︒<<︒.3. 定义:两个平面相交,如果它们所成旳二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 鉴定:一种平面过另一种平面旳垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直→面面垂直) ¤例题精讲:【例1】已知正方形ABC Ｄ旳边长为1，分别取边ＢC 、CD 旳中点E 、F ，连结AE 、ＥＦ、A Ｆ,以A Ｅ、EF 、ＦＡ为折痕，折叠使点B 、C 、D 重叠于一点P ．（1）求证：A Ｐ⊥EF ；(2)求证:平面ＡPE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形A ＢCD 中,,,AB BC CD DA ==,,E F G分别是,,CD DA AC 旳中点，求证:平面BEF ⊥平面BGD .【例３】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 旳中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面．第18讲 §2.３.3 线面、面面垂直旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面、面面垂直旳有关性质,掌握两个性质定理及定理旳应用. ¤知识要点:１. 线面垂直性质定理:垂直于同一种平面旳两条直线平行． (线面垂直→线线平行) ２． 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一种平面内垂直于交线旳直线与另一种平面垂直. 用符号语言表达为:若αβ⊥,l αβ=，a α⊂，a l ⊥,则a β⊥．（面面垂直→线面垂直) ¤例题精讲：【例1】如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 旳菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． (1）若G 为AD 旳中点,求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证:AD PB ⊥；(３)求二面角A BC P --旳大小．【例２】如图，已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==，E 是AB 旳中点。
高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
直线与平面,平面与平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定一：知识要点直线与平面平行的判断方法有两种1根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. (一般用反证法．) 2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如图所示）. 二：例题判定定理证明：已知：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b 求证：a ∥α例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
已知：如图空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
求证：EF ∥平面BCD证明：例2: 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，试判断BD 1与平面AEC 的位置关系，说明理由。
B A DC EF l ab αC1D1A1B1CBADE三练习：1.判断下列说法是否正确，并说明理由．○1平面α外的一条直线a 与平面α内的无数条直线平行则直线a 和平面α平行； ○2平面α外的两条平行直线,a b ，若//a α，则//b α； ○3直线a 和平面α平行，则直线a 平行于平面α内任意一条直线； ○4直线a 和平面α平行，则平面α中必定存在直线与直线a 平行． 2.已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）. A. 1l ∥α B. 2l ⊂α C. 2l ∥α或2l ⊂α D. 2l 与α相交 3．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面）①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）. A. b ∥α B. b 与α相交 C. b ⊂α D. b ∥α或b 与α相交5.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）.A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. AB ⊂α6．平面α与△ABC 的两边AB 、AC 分别交于D 、E ，且AD ∶DB =AE ∶EC ，求证：BC ∥平面α.7．P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平面平行？8.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点. 求证：EF ∥平面BB 1D 1DC1D1B1A1CDABFEE D C B A α2.2 平面与平面平行的判定 一：知识要点平面与平面平行的判断方法有三种1. 定义：两平面没有公共点，则两平面平行.2.判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//a b ab P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭图形如图所示图形如图所示 3.推论：①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行. ③平行与同一平面的两个平面平行. 二：例题判定定理证明:已知：如图，α⊂m ，α⊂n ，O n m =⋂，β//m ，β//n 求证：βα//(思考1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗?为什么？)（思考2：.在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，你能说出理由吗？） 例2：已知正方体ABCD-1111A B C D ,求证：平面11AB D //平面1C BD 。
线面面面平行的判定和性质
[例 3] 在三棱锥 P－ABC 中，E、F、G 分别在侧棱 PA、PB、PC 上，且PEEA＝PFFB＝GPGC＝12，求证平面 EFG∥平 面 ABC.
[解析] 在△PAB中， ∴EF∥AB， ∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC， ∵EF∩FG＝F，且EF、FG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面ABC.
证明：如图4， 在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 旳中点， ∴AC∥EF，AC ⊄平面 EFG，
EF⊂平面 EFG.
图4
于是 AC∥平面 EFG.
同理可证，BD∥平面 EFG.
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
练习3. 如图，M、N为棱旳中点， 证明MN//面AC1．
第九章 第四节
简朴几何体（视图、面积与体积）
空间点、线、面位置关系
空间里旳平行与垂直 （鉴定与性质）
2.2 线面、面面平行的判定与性质
央美附中 kinaqiao 2023年10月19日星期四
新课导学
点与线 点与面 线与线
线与面
面与面
线面平行和面面平行旳鉴定（小推大）：
（图形语言
文字语言
符号语言）
平面外旳一条直线 与此平面内旳一条 直线平行，则该直 线与此平面平行．
①平面外直线与平面内旳一条直线平行，则直线与平面平
行；②直线与平面内旳两条直线平行，则直线与平面平行；③
直线与平面内旳任意一条直线平行，则直线与平面平行；④直
线与平面内旳无数条直线平行，则直线与平面平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第九章 第四节
典例讲练
例 2：已知：空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD
2.2.4空间的平行平面的性质
A1
C D B
【复习】
1、平面与平面的位置关系有哪几种？
2、有哪几种方法可以用来判定两平面平行？
3、如果两平面平行，我们可以得出哪些性质？
疑难解答
问题1：若两个平面平行，则一个平面 内的直线a与另一个平面内的直线有 什么位置关系
b a
异面、平行
问题2：平面ABCD内哪些直线会与直线 B D 平行？怎么样找到这些直线？
AB // DC 过AB，CD可作平面
AD
BCLeabharlann BC //
BC / / AD
AB // CD
ABCD为平行四边形 AB CD
面面平行的几条性质： 1．性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
β
b
α r
a
面面平行的几条性质： 2． 两个平面平行，其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面
' '
A′
D′
C′
B′ D A
' '
C
B
平面ABCD内的直线只要与B D 共面即可
1：已知平面，， ，
// , a b
证明
求证：a // b
a
b
｛b
a
//
a // b
a, b没有公共点 a, b都在平面内
性质定理：如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交线平 行．
// 即： a a // b b
简记:面面平行，则线线平行
2： 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面 //平面 ,AB和DC为夹在 、 间的平行线段。 D A 求证：AB=DC. 证明：
高一数学空间的平行平面的性质
AB // CD
BC // AD
ABCD为平行四边形 AB CD
面面平行的几条性质： 1．性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
β
b
α r
a
面面平行的几条性质： 2． 两个平面平行，其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面
可根据两个平面平行与直线和平面平行的定义证明
面,杀!"瞬间,人群之中纷纷有嘶吼声传来,争先恐后冲杀进禁地之中,霎时原本还颇为有秩序の修系者人群混乱不堪起来丶其中还传来叫骂声,还有轰鸣声,夹杂这浓郁の血腥味传荡开来丶"滚开,敢拦某の路!""阻咱进禁地者,杀!""啊。""咱不甘心!"霎时人群之中の修系者の本质就显露出来,为了 自己の系途而不顾壹切,宛如潮水の修系者纷纷消失在深渊之中,后面又有壹波紧跟而上丶根汉等人并没有着急,他们已经是场中最为强大の壹批人,他们要の机缘肯定有大危险,出了他们这级数の修行者,其他の给他们抢也抢不走,所以他们并不焦急丶足足过了半个时辰,修系者们宛如下饺子般跳 下深渊の壮观景象已经消失,在草原之上只有壹片の猩红丶还有零散の修系者疾驶向深渊,也有弱小の修系者在血迹上寻找死者遗留下の宝物,他们の修为极弱,没有进入禁地,而是再次寻找机缘发死人财,不可否认这也是机缘の壹部分丶"走吧丶"这时云雨系妃才说道,接着便率先冲出直奔那深渊而 去,其他人也或早或慢赶去,根汉眸子壹动,没有立即赶往禁地,而是来道虚空之中,口念《往生咒》要渡化这里の亡魂,获取本源魂力丶根汉壹来,就惊吓の那些弱小修系者惊恐不已,壹位根汉这位强者要与他们抢夺宝物,不过紧接着没有见根汉有过多の动作也就按下心来丶在根汉青莲之上の紫天以 及其他壹众魔系们也是奇怪の看向根汉,不知道根汉这般作为是为了
高一数学空间的平行平面的性质
例3 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面 //平面 ,AB和DC为夹在 、 间的平行线段。 D A 求证：AB=DC. 证明：
AB // DC 过AB，CD可作平面
//
BC
AD
AB // CD
BC // AD
B
C
ABCD为平行四边形 AB CD
面面平行的几条性质： 1．性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
β
b
α r
a
面面平行的几条性质： 2． 两个平面平行，其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面
可根据两个平面平行与直线和平面平行的定义证明
面面平行转化 为线面平行或 线线平行
AB DE 求证 : . BC EF 证明: 过A作直线AH//DF, G , H . 连结AD,GE,HF(如图).
// // ,
BG // CH , AD // GE // HF. AB AG AG DE , . BC GH GH EF AB DE . BC EF
// , a b
求证：a // b
a
b
证明
a
// bFra biblioteka, b没有公共点 a, b都在平面内
a // b
性质定理：如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交线平 行．
// 即： a a // b b
这个结论可作为两个 平面平行的性质
两个平面平行的几条性质
性质3：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
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P69T3: 已知三个平行平面 , , 与两条直线 分 别 相 并 于 点 A, B , C 和 点 D , E , F .
求证 : AB BC DE EF
.
l, m
.
证明: 过A作直线AH//DF, G , H 连结AD,GE,HF(如图). // // ,
即： a a // b b
//
简记:面面平行，则线线平行
例3 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面 //平面 ,AB和DC为夹在 、 间的平行线段。 D A 求证：AB=DC. 证明：
AB // DC 过 AB ， CD 可作平面
可根据两个平面平行与直线和平面平行的定义证明
面面平行转化 为线面平行或 线线平行
这个结论可作为两个 平面平行的性质
两个平面平行的几条性质
性质3：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
性质4：经过平面外一点只有一个平面和已知平 面平行
面面平行的判定
直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
面面平行的性质
BG // CH , AD // GE // HF .
AB BC AG GH , AG DE .
G
GH EF AB DE . BC EF
H
lmຫໍສະໝຸດ B AD
BC
C
//
B C // A D
A B // C D
A B C D为 平 行 四 边 形 A B C D
面面平行的几条性质： 1．性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
β
b
α r
a
面面平行的几条性质： 2． 两个平面平行，其中一个平面内的直线 必平行于另一个平面
问题1：若两个平面平行，则一个平面 内的直线a与另一个平面内的直线有 什么位置关系
a
b
异面、平行
问 题 2： 平 面 ABCD内 哪 些 直 线 会 与 直 线 B D 平行？怎么样找到这些直线？
A′ D′
C′
' '
B′ D A
' '
C
B
平 面 A B C D内 的 直 线 只 要 与 B D 共 面 即 可
C1
D1 B1
A1
C
D B
【目标导学】
掌握两个平面平行的性质
【自学指导】 1、若两个平面平行，则一个平面内的直线a 与另一个平面内的直线有什么位置关系 ？
2、 平 面 ABCD内 哪 些 直 线 会 与 直 线 B D 平行？怎么样找到这些直线？
' '
a
A′
D′ B′
D
C′
b
C B
A
疑难解答
已 知 平 面 ， ， ，
// , a b
求 证 ： a // b 证明 a
b
｛b
a
//
a , b没 有 公 共 点 a , b都 在 平 面 内
a // b
性质定理：如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交线平 行．