【精品】2015-2016年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷带解析
厦门市2015—2016学年上学期期末高一质量检测
厦门市2015—2016学年上学期期末高一质量检测厦门市2015—2016学年上学期期末高一质量检测语文必修2 试题（时间：150分钟；满分：150分）考生注意：答案全部写在“答题卷”上。
监考教师注意：只须装订“答题卷”，本“试题”让学生带回、保存。
一、积累与运用（23分）1．下列词语中加点字的读音全都正确的一项是（3分）A. 乳臭．（xiù）未干岁在癸．（kuí）丑一椽．（chuán）茎．（jìng）叶B. 象弭．（mǐ）鱼服虚与委蛇．（shé）妆奁．（lián）肄．（shì）业C. 含情脉．（mò）脉否．（fǒu）极泰来霎．（chà）时伶俜．（pīng）D. 蓊．（wěng）蓊郁郁窈窕．（tiǎo）之章訾詈．（lì）葳蕤．（ruí）2．下列词语中没有．．错别字的一项是（3分）A. 孜孜求学言笑宴宴三顾茅庐沧海一栗B. 疏疏落落溘然长逝砥砺德行相形见绌C. 了截爽直群贤必至集思广益摇摇欲堕D. 没精打采横朔赋诗信誓旦旦青青子襟高一语文试题第2页 (共28页)3．依次填入下列横线处的词语，最恰当的一项是（3分）一生中能有这样两个发现，该是很够了。
只能作出一个这样的发现，也已经是幸福的了。
马克思在他所研究的每一个领域，甚至在数学领域，有独到的发现，这样的领域是很多的，其中任何一个领域他都不是浅尝辄止。
A. 即使但是都而且B. 纵使但是也而且C. 即使可是也况且D. 纵使可是都况且4．填入下面横线处的几句话，排列最恰当的一项是（3分）平时则放荡冶游，考试则熟读讲义，不问学问之有无，唯争分数之多寡;试验既终，, ，, ，，即可借此活动于社会，岂非与求学初衷大相背驰乎?①文凭到手②敷衍三四年③毫不过问④书籍束之高阁⑤潦草塞责A. ④③②⑤①B. ④③②①⑤C.③②④⑤① D.③②④①⑤5．下列有关文学常识的表述，正确的一项是高一语文试题第3页 (共28页)（3分）A.《诗经》是我国最早的诗歌总集，分为“风”、“雅”、“颂”三大类。
2014-2015年福建省厦门市高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．（5.00分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A．1 B．2 C．3 D．﹣22．（5.00分）气象台预报“厦门市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是（）A．厦门市明天将有80%的地区降雨B．厦门市明天将有80%的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定要淋雨D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大3．（5.00分）如图，在一个边长为2的正方形中有一封闭的“★”型阴影区域，向正方形中随机撒入200粒豆子，若恰有40粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．4．（5.00分）如图，样本A和B分别来自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为S A和S B，则下列结论正确的是（）A．＞，S A＞S B B．＞，S A＜S BC．＜，S A＞S B D．＜，S A＜S B5．（5.00分）执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A．3 B．7 C．10 D．166．（5.00分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则以下命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n 7．（5.00分）函数f（x）=x2ln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5.00分）某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表（一个数据上有污渍）：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）492639已知该公司根据原有统计数据（没有污渍前）得线性回归方程=9.4x+9.1，则污渍部分的数据是（）A．50 B．52 C．54 D．589．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c10．（5.00分）已知函数f（x）=a（x﹣1）3+bx+c（a∈R，b，c∈Z），对于取定的一组a，b，c的值，若计算得到f（﹣1）=2，则f（3）的值一定不能等于（）A．4 B．3 C．2 D．0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4.00分）某商场对新进300袋奶粉采用系统抽样的方法，从中抽取20袋进行检查，先将所有奶粉从1～300编号，按编号顺序平均分成15组（1～20号，21～40号，…，281～300号），若第1组抽出的号码是6，则第3组抽出的号码为．12．（4.00分）将二进制数10011（2）化为十进制数等于．13．（4.00分）投掷一颗质地均匀的骰子两次，记向上一面的点数分别为a，b，则事件“a+b＞4”发生的概率为．14．（4.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．（4.00分）已知函数f（x）=，如果f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于．16．（4.00分）设方程2x+x+2=0和log2x+x+2=0的根分别为p和q，凼数f（x）=（x+p）（x+q），则关于x的不等式f（x2+2x+2）＜f（0）的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共76分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12.00分）实数R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥0}．（Ⅰ）求∁R（A∩B）；（Ⅱ）若集合C={x|y=log2（x﹣a）}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．18．（12.00分）某甲计划到厦门探亲访友，有三种方式（动车、汽车、飞机）直达厦门，已知甲选择乘坐动车或汽车到厦门的概率为0.6，选择乘坐汽车到厦门的概率为0.3．（Ⅰ）求甲不选择乘坐动车的概率；（Ⅱ）甲选择哪种方式到厦门的可能性最大？写出理由．19．（12.00分）某校高一（1）班的一次数学考试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图，解答下列问题：（Ⅰ）求分数在[80，90）的频率；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[50，70）的试卷中任取9份分析无谓失分情况，求在[50，60）中应抽取多少份？（Ⅲ）从分数在[90，100）的学生中选2名同学作经验介绍，请列出所有基本事件，并求成绩为99分的同学被选中的概率．20．（12.00分）如图是一个长方体ABCD﹣A1B1C1D1被一个平面截去一部分后，所得多面体的直观图，已知AB=6，AD=AA1=4，BE=CF=2．（Ⅰ）若点M的棱DD1的中点，求证：BM∥平面A1EFD；（Ⅱ）求此多面体的体积．21．（14.00分）某地区二手车的收购市场只收购使用10年（含）以内的车，且二手车的收购价计算方式如下：前四年每年递减新车购买总价的15%；从第五年开始，每年的收购价是上一年收购价的（超过n年不到n+1年的按n+1年计算，0＜n＜10，n∈N），某人在2014年元旦以25万元的总价购买了一辆新车．（Ⅰ）若此人在2017年5月卖车，则此人得到的卖车款是多少万元？（Ⅱ）写出卖车款y（万元）关于新车购买后x（年）的函数关系；（Ⅲ）若此人想得到不低于4万元的卖车款，则最迟应该在哪年卖车？（参考公式：log a b=，其中a＞0且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0；参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.5）22．（14.00分）已知定义在R上的函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求实数n的值；（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2λx﹣2λ，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＞f（x1）成立，求实数λ的取值范围；（Ⅲ）请指出方程|f（x）|=log|x|有几个实数解，并说明理由．2014-2015学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．（5.00分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A．1 B．2 C．3 D．﹣2【解答】解：模拟程序语言的运算过程，如下；a=1，b=3，a=a+b=1+3=4，b=a﹣b=4﹣3=1，输出b=1．故选：A．2．（5.00分）气象台预报“厦门市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是（）A．厦门市明天将有80%的地区降雨B．厦门市明天将有80%的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定要淋雨D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大【解答】解：“厦门市明天降雨的概率是80%”，是指“厦门市明天降雨的可能性达到80%”，由此得到选项A、B、C均不正确，选项D正确．故选：D．3．（5.00分）如图，在一个边长为2的正方形中有一封闭的“★”型阴影区域，向正方形中随机撒入200粒豆子，若恰有40粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，豆子落在阴影部分的数量与全部数量的比值恰好是阴影部=．分的面积与正方形的面积比，所以=，即，所以S阴影故选：B．4．（5.00分）如图，样本A和B分别来自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为S A和S B，则下列结论正确的是（）A．＞，S A＞S B B．＞，S A＜S BC．＜，S A＞S B D．＜，S A＜S B【解答】解：∵样本A的数据均不大于8，而样本B的数据均不小于8，∴＜，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，∴S A＞S B．故选：C．5．（5.00分）执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A．3 B．7 C．10 D．16【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=1满足条件k＜10，S=1，k=2满足条件k＜10，S=2，k=4满足条件k＜10，S=4，k=8满足条件k＜10，S=7，k=16不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为7．故选：B．6．（5.00分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则以下命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n【解答】解：对于A，若m∥n，n⊂α，则m可能在α内；故A错误；对于B，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故B错误；对于C，若m∥α，n∥α，则m与n的位置关系可能为相交、平行或者异面；故C错误；对于D，若m∥α，m⊂β，α∩β=n，根据线面平行的性质定理可以得到m∥n；故D正确；故选：D．7．（5.00分）函数f（x）=x2ln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x2ln|x|可知：f（﹣x）=x2ln|﹣x|=x2ln|x|=f（x），函数是偶函数，排除选项A、C；当x=e时，函数的图象经过（e，e2），是第一象限的点．显然B不满足题意．故选：D．8．（5.00分）某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表（一个数据上有污渍）：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）492639已知该公司根据原有统计数据（没有污渍前）得线性回归方程=9.4x+9.1，则污渍部分的数据是（）A．50 B．52 C．54 D．58【解答】解：设污渍部分的数据是m，由题意，==3.5，代入=9.4x+9.1，可得=42，∴（49+26+39+m）=42，解得m=54．故选：C．9．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，要得函数在（0，+∞）上是减函数，图象越靠近y轴，图象越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0＜0.20.6＜1＜log47＜log49=log23，可得b＜a＜c，故选：C．10．（5.00分）已知函数f（x）=a（x﹣1）3+bx+c（a∈R，b，c∈Z），对于取定的一组a，b，c的值，若计算得到f（﹣1）=2，则f（3）的值一定不能等于（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：∵函数f（x）=a（x﹣1）3+bx+c（a∈R，b，c∈Z），对于取定的一组a，b，c的值，若计算得到f（﹣1）=2，∴f（﹣1）=﹣8a﹣b+c，f（3）=8a+3b+c，∴f（﹣1）+f（3）=2（b+c），∵b，c∈Z，∴f（﹣1）+f（3）的值为偶数，∵f（﹣1）=2，∴f（3）的值一定不能是奇数，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4.00分）某商场对新进300袋奶粉采用系统抽样的方法，从中抽取20袋进行检查，先将所有奶粉从1～300编号，按编号顺序平均分成15组（1～20号，21～40号，…，281～300号），若第1组抽出的号码是6，则第3组抽出的号码为36．【解答】解：样本间隔为300÷20=15，若第1组抽出的号码是6，则第3组抽出的号码为6+2×15=36，故答案为：36．12．（4.00分）将二进制数10011（2）化为十进制数等于19．【解答】解：10011=1+1×2+1×24=19．（2）故答案为：19．13．（4.00分）投掷一颗质地均匀的骰子两次，记向上一面的点数分别为a，b，则事件“a+b＞4”发生的概率为．【解答】解：由题意得，掷骰子1次，其向上的点数有6种情况，则将一枚骰子连掷两次，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b≤4”包含基本事件：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，2）共6个，故“a+b＞4”发生的概率为1﹣=故答案为：14．（4.00分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由题意可知，三视图复原的几何体是半球，半球的半径为：1，半球的体积为：=．故答案为：．15．（4.00分）已知函数f（x）=，如果f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于0．【解答】解：由f（x）=，可得f（1）=2，且x＞0时，f（x）＞1，则f（a）+f（1）=0，即f（a）=﹣2，则a≤0，即有﹣2a+1=﹣2，即a+1=1，解得a=0．故答案为：0．16．（4.00分）设方程2x+x+2=0和log2x+x+2=0的根分别为p和q，凼数f（x）=（x+p）（x+q），则关于x的不等式f（x2+2x+2）＜f（0）的解集是（﹣2，0）．【解答】解：方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1）根据中点坐标公式得到=﹣1，即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，因为x2+2x+2≥1，f（2）=f（0）且当x＞1时，函数为增函数，所以由f（x2+2x+2）＜f（0），可得x2+2x+2＜2，所以﹣2＜x＜0，故答案为：（﹣2，0）．三、解答题（本大题共6小题，共76分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12.00分）实数R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥0}．（Ⅰ）求∁R（A∩B）；（Ⅱ）若集合C={x|y=log2（x﹣a）}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥0}={x|x≥2}∴A∩B={x|2≤x＜3}∴∁R（A∩B）={x|x＜2，或x≥3}（Ⅱ）∵集合C={x|y=log2（x﹣a）}，∴C={x|x＞a}∵B∪C=C，∴B⊆C，∴a＜218．（12.00分）某甲计划到厦门探亲访友，有三种方式（动车、汽车、飞机）直达厦门，已知甲选择乘坐动车或汽车到厦门的概率为0.6，选择乘坐汽车到厦门的概率为0.3．（Ⅰ）求甲不选择乘坐动车的概率；（Ⅱ）甲选择哪种方式到厦门的可能性最大？写出理由．【解答】解：（Ⅰ）记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件A、B、C，则事件A、B、C互斥，P（A+B）=P（A）+P（B）=0.6，P（B）=0.3，∴P（A）=0.6﹣0.3=0.3，∴甲不选择乘坐动车的概率P=1﹣P（A）=0.7．（Ⅱ）∵P（A）+P（B）+P（C）=1，∴P（C）=1﹣P（A）﹣P（B）=1﹣0.3﹣0.3=0.4，∴P（C）＞P（A）=P（B），∴甲选择乘飞机到厦门的可能性最大．19．（12.00分）某校高一（1）班的一次数学考试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图，解答下列问题：（Ⅰ）求分数在[80，90）的频率；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从分数在[50，70）的试卷中任取9份分析无谓失分情况，求在[50，60）中应抽取多少份？（Ⅲ）从分数在[90，100）的学生中选2名同学作经验介绍，请列出所有基本事件，并求成绩为99分的同学被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得分数在[50，60）之间的频率为：0.008×10=0.08，由茎叶图知分数在[50，60）之间的频数为4，∴全班人数为：=50（人），∴分数落在[80，90）的学生共有：50﹣（4+14+20+4）=8（人）．∴分数落在[80，90）的频率为：=0.16．（Ⅱ）分数在[50，70）的试卷共有18份，其中[50，60）的有4份，现需抽取容量为9的样本，根据分层抽样原理，在[50，60）中应抽取的份数为=2，∴在[50，60）中应抽取2份．（Ⅲ）分数分布在[90，100）的学生一共有4人，从中抽2人，其中成绩为99分的有1人，基本事件总数n==6，成绩为99分的同学被选中包含的基本事件个数m==3，∴成绩为99分的同学被选中的概率P=．20．（12.00分）如图是一个长方体ABCD﹣A1B1C1D1被一个平面截去一部分后，所得多面体的直观图，已知AB=6，AD=AA1=4，BE=CF=2．（Ⅰ）若点M的棱DD1的中点，求证：BM∥平面A1EFD；（Ⅱ）求此多面体的体积．【解答】（I）证明：连接ED1，∵点M为棱DD1的中点，DD1=AA1=4，∴BE=MD1=2，又BE∥MD1，∴四边形D1MBE是平行四边形，∴BM∥ED1，又BM⊄平面A1EFD，D1E∥平面A1EFD；∴BM∥平面A1EFD；（II）解：由题意此多面体是一个四棱柱，底面==18，高h=AD=4，∴此多面体的体积V=sh=18×4=72．21．（14.00分）某地区二手车的收购市场只收购使用10年（含）以内的车，且二手车的收购价计算方式如下：前四年每年递减新车购买总价的15%；从第五年开始，每年的收购价是上一年收购价的（超过n年不到n+1年的按n+1年计算，0＜n＜10，n∈N），某人在2014年元旦以25万元的总价购买了一辆新车．（Ⅰ）若此人在2017年5月卖车，则此人得到的卖车款是多少万元？（Ⅱ）写出卖车款y（万元）关于新车购买后x（年）的函数关系；（Ⅲ）若此人想得到不低于4万元的卖车款，则最迟应该在哪年卖车？（参考公式：log a b=，其中a＞0且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0；参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.5）【解答】解：（Ⅰ）由题意，25×（1﹣4×15%）=10，∴此人得到的卖车款是10万元；（Ⅱ）∵前四年每年递减新车购买总价的15%；从第五年开始，每年的收购价是上一年收购价的，∴卖车款y（万元）关于新车购买后x（年）的函数关系y=；（Ⅲ）由题意，10•≥4，解得x≤6，2014+6=2020，∵超过n年不到n+1年的按n+1年计算，∴最迟应该在2020年元旦（或2019）卖车．22．（14.00分）已知定义在R上的函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求实数n的值；（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2λx﹣2λ，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＞f（x1）成立，求实数λ的取值范围；（Ⅲ）请指出方程|f（x）|=log|x|有几个实数解，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=为R上的奇函数，∴f（0）=n=0；经检验，当n=0时，f（x）=是R上的奇函数；故n=0；（Ⅱ）由题意，对于任意x1∈[0，1]，g（x2）＞f（x1）在x2∈[0，1]上有解，即g（x2）max＞f（x1）在[0，1]上恒成立；即g（x2）max＞f（x1）max，对于f（x）=，易知其在[0，1]上单调递增，故f（x1）max=f（1）=，对于二次函数g（x）=x2﹣2λx﹣2λ，对称轴为x=λ，（1）当λ≥时，g（x2）max=g（0）=﹣2λ，令﹣2λ＞得，λ＜（舍去）；（2）当λ＜时，g（x2）max=g（1）=1﹣4λ，令1﹣4λ＞得，λ＜；综上所述，λ＜．（Ⅲ）方程|f（x）|=log|x|只有2个实数解，∵函数h（x）=|f（x）|﹣log|x|=﹣log|x|是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，故先讨论h（x）在（0，+∞）上的零点个数，此时h（x）=﹣log x，（1）当x≥1时，﹣log x＞0恒成立，故不存在零点，（2）当0＜x＜1时，f（x）=在（0，1）上单调递增，y=log x在（0，1）上单调递减；故h（x）=﹣log x在（0，1）上单调递增，且连续不断，h （）=﹣1＜0，h（1）=＞0，故函数h（x）在（0，1）上有一个零点，综上可知，函数h（x）在（0，+∞）上有一个零点，故函数h（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上只有两个零点．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减．函数．．．y=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的性质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．即方程|f （x ）|=log |x |只有2个实数解．。
厦门市高一(上)期末数学试卷
福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x3 D．3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）A．48 B．62 C．76 D．904．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（）A．去年吹西北风和吹东风的频率接近B．去年几乎不吹西风C．去年吹东风的天数超过100天D．去年吹西南风的频率为15%左右5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（）A．1 B．e﹣1C．e D．e26．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）A．B．C．D．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（）A．0 B．7 C．14 D．288．（5分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f （5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．1610．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（）A．2﹣B．﹣1 C．D．11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（）A．7 B．8 C．9 D．1012．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为．14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI 数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为．15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}（Ⅰ）求A∪B（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q （p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则∁U A={1，2，5}，∴（∁U A）∩B={1，2}．故选：A．2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x3 D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=x﹣1=，是奇函数，且其在（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于B、y=（）x是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C、y=x3是幂函数，是奇函数但其在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于D、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：A．3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）A．48 B．62 C．76 D．90【解答】解：因为是从700名学生中抽出50名学生，组距是14，∵第2段中编号为20的学生被抽中，∴第5组抽取的为20+3×14=62号，故选B．4．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（）A．去年吹西北风和吹东风的频率接近B．去年几乎不吹西风C．去年吹东风的天数超过100天D．去年吹西南风的频率为15%左右【解答】解：根据风向频率图，可知去年吹西南风的频率为5%左右，故选D．5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（）A．1 B．e﹣1C．e D．e2【解答】解：∵函数f（x）=|lnx﹣|，a≠b，f（a）=f（b），∴|lna﹣|=|lnb﹣|，∴lna﹣=lnb﹣或lna﹣=，即lna=lnb或ln（ab）=1，解得a=b（舍）或ab=e．∴ab=e．故选：C．6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的数分别是1，3，5，7，9，共1，3，5，7；1，3，5，9；1，3，7，9；1，5，7，9；3，5，7，9 共5种密码，最多输入2次就能开锁的频率是p=，故选：C．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（）A．0 B．7 C．14 D．28【解答】解：由程序框图可知：a=98＞63=b，∴a←35=98﹣63，b←28=63﹣35，∴a←7=35﹣28，b←21←28﹣7，a←14=21﹣7，b←7=21﹣14，a←7=14﹣7，则a=b=7，因此输出的a为7．故选：B．8．（5分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，是指数函数，a∈（0，1），函数y=x a的图象为：所以A不正确；y=x﹣a，第一象限的图象为：第三象限也可能有图象．所以B不正确；y=log a x，是减函数，所以选项C不正确；y=log a（﹣x），定义域是x＜0，是增函数，所以D正确．故选：D．9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f （5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，f（﹣1）=ln3+1，f（3 ）=﹣ln3+1，f（5）=ln3﹣ln5+1，f（7 ）=ln5﹣ln7+1，f（9）=ln7﹣ln9+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，故选：C．10．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（）A．2﹣B．﹣1 C．D．【解答】解：分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，交C、D于P1，P2，当E在线段P1P2间运动时，能使得△ABE的最大边为AB，∵在矩形中ABCD中，AB=2，AD=1，∴AP1=BP2=2，∴CP1=DP2=2﹣，∴P1P2=2﹣2（2﹣）=2﹣2，∴△ABE的最大边是AB的概率：p==﹣1故选：B．11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由S0=2，S n+1=S n+×（n+2），∴S9=2+++＞1320，故选：C．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，则f（x）=，即，由f（x）=得，f2（x）=x+a，画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，且A（1，1），此时a=1，当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，此时切点P（，），代入y=x+a得a=，∵方程f（x）=有4个不相等的实根，∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，由图可得，实数a的取值范围是（，1），故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为85．【解答】解：由茎叶图得：学习小组6名同学的英语口试成绩从小到大为：76，81，84，86，87，90，∴这些成绩的中位数为：．故答案为：85．14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI 数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为36．【解答】解：=2015，=64，故64=﹣14×2015+a，解得：a=14×2015+64，故2017年1月份该地区的平均AQI为：y=﹣14×2017+14×2015+64=36，故答案为：36．15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是{x|x＞} ．【解答】解：若f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则a﹣1=0，即a=1，此时f（x）=x3，在R递增，则不等式f（ax）＞f（a﹣x），即x＞1﹣x，解得：x＞，故不等式的解集是：{x|x＞}，故答案为：{x|x＞}．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（﹣1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}（Ⅰ）求A∪B（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，且函数在R上为减函数，∴x≤﹣1．∴A∪B={x|x＜﹣2或x＞0}∪{x|x≤﹣1}={x|x≤﹣1或x＞0}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，∴a+1＜﹣2或a≥0，解得a＜﹣3或a≥0．18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．【解答】本题满分（12分）．解：（Ⅰ）∵函数的图象经过点（﹣2，3），∴a﹣2﹣1=3，解得，∴其图象如图所示：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（﹣∞，0），（2，+∞），∴m+1≤0或m≥2或，∴m的取值范围为m≤﹣1或0≤m≤1或m≥2．19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将4个红球分别记为a1，a2，a3，a4，2个白球分别记为b1，b2，则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a4，b1}，{a4，b2}，{b1，b2}，总共15种，其中2个都是红球的有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a3，a4}共6 种，所以方案一中奖的概率为，所以顾客的想法是错误的．（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6）共11种，所以方案二中奖的概率为，所以应该选择方案一．20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算[63.0，67.0）的频数是6，频率是=0.15；[67.0，71.0）的频数是11，频率是=0.275，补齐频率分布表如下； 计算a==0.05625，b==0.04375；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为=61×0.05+65×0.15+69×0.275+73×0.225+77×0.175+81×0.125=71.8；根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁．21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q （p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】本小题满分（12分）．解：（Ⅰ）两个函数y=ka x（k＞0，a＞1），在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）适合要求．由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以解得所以该函数模型的解析式是（x∈N*）．（Ⅱ）x=0时，，所以元旦放入凤眼莲面积是，由得，所以，因为，所以x≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，可得g（x）=lnx；函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，即有1﹣a=8或4+2a=8，解得a=2（﹣7舍去），函数g（f（x））=ln（x2+2x），由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．由复合函数的单调性，可得函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间为（﹣∞，﹣2）；（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）＞0，∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，φ（）=﹣e＜﹣e＜0，即φ（）φ（）＜0，∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），∴（+2x0）﹣=0，即=，∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，即g（x0）＜h（x0）﹣1，综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．。
2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：49分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数的导函数的图象如图所示，，令，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．[-1，2]2、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于（ ）A ．B ．C ．D ．3、过双曲线C ：的左焦点作倾斜角为的直线，则直线与双曲线C 的交点情况是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．两个交点都在左支上 D ．两个交点分别在左、右支上4、如图，在棱长为1的正方体中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥的体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．5、若关于的不等式组 ，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、若，则（ ）7、向量，若为实数），则的值为（）A．2 B．-2 C． D．8、已知集合，则（）A．{0,1} B．{0,2} C．{1,2} D．{0,1,2}9、已知m∈R，“函数有零点”是“函数在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）10、点P在直线上，记，若使T取得最小值的点P有无数个，则实数的取值是 .11、如图，正方形ABCD中，AB=2，DE=EC，若F是线段BC上的一个动点，则的最大值是 .12、数列中，，则该数列的前22项和等于 .13、函数的最小值是 .14、将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则.15、抛物线的准线方程是 .16、函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A．1B．-1C．2D．-2参考答案1、A2、C3、D4、D5、A6、C7、B8、A9、B10、±111、612、1113、514、15、x=-116、D【解析】1、试题分析：由题根据所给函数图像得到f（x）的得到性，结合所给条件不难得到不等式的解集；由题f（x）在时，单调递减，在时，单调递增，，或或，故选A.考点：利用导数研究函数的性质2、试题分析：由题易知该几何体为三棱锥，底面为直角三角形，直角边长为3,4，三棱锥的高为5，不难得到其最长棱；由题易知该几何体为底面为直角三角形，高为5的三棱锥，其最长棱为.考点：由几何体的三视图求体积3、试题分析：求出直线方程，联立双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用判别式和韦达定理，即可得到．双曲线C：的a=2，b=3，左焦点为过左焦点作倾斜角为的直线l的方程为代入双曲线方程，可得，则直线和双曲线有两个交点，且为左右两支各一个，故选D．考点：双曲线的简单性质4、试题分析：由题利用等积法求得对应三棱锥的体积.∵在棱长为1的正方体中，E是棱BC上的一点，∴E到平面的距离h=1，，故选D. 考点：柱，锥，台体的体积5、试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形即可得到结论．作出不等式组对应的平面区域如图，直线kx-y+1=0，过定点A（0，1），当直线kx-y+1=0与直线x=0垂直时，满足平面区域是直角三角形区域，此时k=0不是正数，不成立，当直线kx-y+1=0与直线y=-x垂直时，满足条件，此时k=1，故选：A考点：简单线性规划6、试题分析：由题根据所给条件应用诱导公式不难得到，然后结合角的范围求得其对应余弦值，根据正切函数对应求得结果即可；由题，故选C考点：三角函数诱导公式的应用7、试题分析：由题根据向量共线对应坐标成比例，不难求得m值.由题，故选B.考点：共线向量的坐标运算8、试题分析：由题根据集合B={x|x<2},不难求得A,B的交集；由题,故选A.考点：集合的运算9、试题分析：由题根据函数有零点可以得到m-1<0,所以m<1,根据函数为减函数可得0<m<1,不难得到前者与后者的关系；由题函数“函数有零点”则“m<0”,“函数在（0，+∞）上为减函数”则“0<m<1”,所以前者是后者的必要不充分条件. 考点：充分条件，必要条件，充要条件10、试题分析：直线y=kx+2上恒过定点（0，2），由当且仅当|x|=|y|时取等号，结合图形可得只有当k=±1时，使T取得最小值的点P有无数个．直线y=kx+2上恒过定点（0，2），，当且仅当|x|=|y|时取等号，可得：只有当k=±1时，使T取得最小值的点P有无数个．故答案为：±1．考点：直线斜截式方程11、试题分析：建立平面直角坐标系A-xy，得到向量的坐标，利用向量的数量积的坐标运算求数量积的最大值．解：建立平面直角坐标系A-xy，因为正方形ABCD中，AB=2，DE=EC，F是线段BC 上的一个动点，则A（0，0），E（1，2），F（2，y），因为F是线段BC上的一个动点，所以y的最大值为2，，故答案为6.考点：平面向量的数量积运算12、试题分析：由可得即数列是以3为周期的周期数列．即可得出．∴数列是以3为周期的周期数列．考点：数列求和13、试题分析：由题将所给函数配成，然后应用均值不等式求解即可..当且仅当x=3时，等号成立.考点：均值不等式14、试题分析：由题根据三角函数平移规律不难得到g（x）的解析式，代入求解即可;由题.考点：三角函数的图像和性质15、试题分析：由题根据所给抛物线的方程结合抛物线定义不难得到其准线方程;,所以其准线方程为x=-1.考点：抛物线的简单性质16、试题分析：由题根据函数的奇偶性集合分段函数性质不难得到f（-1）=-f（1）,通过计算f（1）求得f（-1）;由题f（-1）=-f（1）=-（1+1）=-2,故选D.考点：函数奇偶性，分段函数的性质。
2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设函数，则 （ ）.A ．B ．C ．D ．2、椭圆E ：的右焦点为F,直线与椭圆E 交于A,B 两点.若△EAB周长的最大值是8，则m 的值等于 （ ）. A ．0 B ．1 C ．D ．23、在直角坐标系中，函数的图像可能是（ ） .4、等差数列中，和是关于方程的两根，则该数列的前11项和（ ）A ．58B ．88C ．143D ．1765、函数的图形的一条对称轴经过点（ ） .6、曲线与直线x=1,x=2及x 轴围城的封闭图形的面积是（ ） .A ．1B ．3C ．7D ．87、已知向量若存在使得则m=（ ） .A ．0B ．2C ．0或2D ．0或-28、已知命题则是（ ）.C． D．9、设集合则（）.A． B．C． D．10、已知l,m表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（） . A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、已知且则的最大值等于 .12、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线L的极坐标方程为，圆C的参数方程为；，则圆心C到直线L的距离等于 .13、已知矩阵A且，则x+y= .14、已知数列中，，①当b=1时，=12;②存在，数列成等比数列；③当时，数列是递增数列；④当时数列是递增数列以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题对应的序号）15、已知双曲线C：的渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率等于 .16、三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .三、解答题（题型注释）17、已知则= .参考答案1、A2、B3、A4、B5、D6、C7、C8、9、D10、A11、12、113、314、①②③15、16、317、-3【解析】1、试题分析：由题根据所给函数取值进行分析判断即可.由题方法一：x=0时，，时，，；故选A.方法二：设，同理令可得..故选A方法三：由题根据泰勒公式和中值定理可得，故选A.考点：导数在研究函数问题中的应用2、试题分析：首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果．椭圆E：的右焦点为F，N为左焦点，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点，则△EAB周长l=AB+BF+AF=AB+2a-NB+2a-NA=4a+（AB-NA-NB），，N、A、B三点共线时，所以椭圆的方程为：直线直线y=x+m 经过左焦点．所以：m=1故选B考点：椭圆的性质3、试题分析：由题意根据函数的奇偶性排除C,结合排除B、D，得到正确选项. 由题意∴图象关于原点对称，故排除C；当时，；故排除B、D；故选A．考点：函数的图像和性质4、试题分析：由题根据韦达定理和等差中项性质不难得到，然后求得数列的前11项和.由题根据韦达定理得到，故选B.考点：等差数列性质5、试题分析：先化简可得函数解析式为从而可求其对称轴方程，即可确定答案．∴令可得∴当k=0时，函数的图象的一条对称轴经过点，故选D．考点：二倍角公式，余弦函数的图像6、试题分析：首利用定积分的几何意义求解即可．由题意，，故选C.考点：定积分在求面积中的应用7、试题分析：根据向量的坐标运算和题意求出，利用向量相等的条件列出方程组，求出m的值即可；，故选C．考点：平面向量坐标运算8、试题分析：根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．原命题为特称命题，故其否定为全称命题，故选D考点：命题的否定9、试题分析：由题根据所给集合满足条件化简集合，然后根据交集定义求解即可.,故选D 考点：交集运算10、试题分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．对于A，若，则根据直线与平面垂直的性质定理知：，故A正确；对于B，若，则根据直线与平面垂直的判定定理知：不正确，故B不正确；对于C，，∴由直线与平面平行的性质定理知：l与m平行或异面，故C不正确；对于D，若，则l与m平行，异面或相交，故D不正确．故选：A．考点：空间中线线，线面，面面位置关系11、试题分析：∵x、y均为正数，且x+2y=2，∴由柯西不等式可得当且仅当时，取等号.故所求式子最大值为考点：函数最值及其几何意义12、试题分析：利用消去参数将圆C的参数方程化成直角坐标方程，再将直线l的极坐标方程也化成直角坐标的方程，把圆C与直线l的方程组成方程组解出对应的方程组的解，即得到交点坐标．由圆C的参数方程消去参数化为普通方程，直线l的极坐标方程为，的直角坐标方程为：x=1；所以圆心C到直线l的距离等于1．故答案为：1．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．13、试题分析：由题根据矩阵运算首先求得A的逆矩阵，然后根据矩阵的乘法性质不难得到x,y对应的值，求得结果.由题.考点：矩阵运算14、试题分析：①由题根据所给条件直接验证即可；②假设存在满足条件的值，根据等比数列定义分析，然后根据所给条件利用系数相等求得对应的即可；③④由题根据所给条件应用累加法不难得到数列的单调性，从而判断对应命题的真假；①当b=1时，易知，故①对；②若为等比数列，设公比为q,则，，故存在使数列为等比数列；故②对；③由题可得，，所以b>1时，数列为递增数列；故③对；④由题可得所以，当时数列是递减数列，故④错.考点：等比数列的性质，数列与函数的关系15、试题分析：根据双曲线的渐近线与圆E ：相切⇔圆心（5，0）到渐近线的距离等于半径r=3，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．设的一条渐近线bx-ay=0．所给圆的圆心（5，0），半径r=3．∵渐近线与圆E：相切. 故答案为考点：双曲线的简单性质16、试题分析：由三棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长及高，三棱柱的高为2，求出底面三角形的面积，然后直接由棱柱的体积公式求体积．由棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长为2，底边上的高为1．故棱柱的底面面积棱柱的高h=3，故棱柱的体积V=Sh=3，故答案为：3考点：由三视图求面积，体积17、试题分析：由条件求得,然后运用和角公式求解即可..考点：三角函数化简求值。
福建省厦门市2015-2016学年高一上学期期末质检化学试题-含答案
A卷（满分100分）一、选择题（本题包括16小题，每小题3分，共48分。
每小题只有一个选项符合题意）1.中华民族有着光辉灿烂的发明史，下列发明创造不涉及化学反应的是A．用蚕丝织丝绸 B．粮食酿酒 C．湿法炼铜 D．人工合成青蒿素2.下列物质组别，不属于同素异形体的是A．石墨和石墨烯 B．O2和O3 C．H2O和H2O2 D．单斜硫和斜方硫3.实验室里需储存在棕色试剂瓶中的是A．金属钠 B浓硝酸 C．FeSO4溶液 D．浓硫酸4.下列物质属于非电解质的是A．氯气 B．醋酸 C．氨气 D．氯化钠溶液5.下列有关硫及其化合物的叙述正确的是A．硫单质是一种淡黄色易溶于水的固体 B．SO2的漂白原理与活性炭相同C．可用澄清石灰水鉴别SO2和CO2 D．可用铁质或铝质容器储存浓硫酸6.下列事实与胶体性质无关的是A．豆浆中加入CaSO4制豆腐B．清晨在茂密的森林里看到缕缕阳光穿过林木枝叶C．FeCl3溶液中加入NaOH溶液产生红褐色沉淀D．使用钢笔时不宜将不同品牌的墨水混用7.下列有关物质分类的正确组合是分类碱酸盐碱性氧化物酸性氧化物组合A Na2CO3H2SO4NaHCO3Fe2O3CO2B NaOH NaHSO4NH4Cl Na2O NO2C KOH CH3COOH NaClO Na2O2SO2D NH3•H2O HNO3CaCO3CaO SO38.下列化学反应中，属于氧化还原反应的是A．SO2+2NaOH=Na2SO3+H2O B．SiH4+2H2O+8AgNO3=8Ag↓+SiO2↓+8HNO3C．Na2O+H2O=2NaOH D．Al(OH)3+NaOH=Na9.下列有关自然界中氮循环（如右图）的说法不正确的是A．含氮无机物和含氮有机物可相互转化B．通过闪电产生NO属于高能固氮C．硝酸盐被细菌分解为氮气过程氮元素一定被氧化D．C、H、O也参与自然界中氮循环10.下列变化需加入氧化剂才可实现的是A．CO→CO2 B．CO2→Na2CO3 C．NO2→HNO3 D．S→CuS11.下列铁的化合物不可能由化合反应直接制得的是A．FeCl2 B．Fe2(SO4)3 C．FeCl3 D．FeS12.在溶液中能大量共存的一组离子是A．K+、H+、ClO-、CO3- B．NH4+、K+、OH-、NO3-C．H+、Mg2+、MnO4-、SO42- D．Fe3+、Na+、I-、Cl-13.下列反应的离子方程式正确的是A．Ba(OH)2溶液与稀硫酸反应：Ba2++SO42-=BaSO4↓B．CaCO3与醋酸反应：CaCO3+2H+=Ca2++H2O+CO2↑C．NaHCO3溶液与NaOH溶液反应：HCO3-+OH==CO32-+H2OD．Cu与FeCl3溶液反应：Cu+Fe3+=Cu2++Fe2+14.为检验某溶液中的离子，下列操作方法及结论正确的是A．加入氯水，再加入KSCN溶液，溶液显红色，则溶液中一定含有Fe2+B．加入盐酸，产生无色无味且能使澄清石灰水变浑浊的气体，则溶液中一定含有CO32- C．加入Ba(NO3)2溶液，再加入稀盐酸，产生白色沉淀，则溶液中一定含有SO42-D．加入NaOH溶液并加热，产生使湿润的红色石蕊试纸变蓝的气体，则溶液中一定含有NH4+15.根据右图转化关系判断下列说法不正确的是A．反应Ι中SO2是还原剂B．反应Ш中H2是还原产物C．氧化性强弱顺序是：H2SO4>I2>SO2D．该转化关系可实现分解H2O制取H216.中学化学常见物质存在转化关系：A+B→C+D+H2O，其中C属于盐类，下列推断不正确的是A．若A为黄绿色气体，则D可能有漂白性B．若A为红色金属单质，则D一定是红棕色气体C．若A为纯碱，则D一定能使澄清石灰水变浑浊D．若A为氯化铵，则D一定是具有刺激性气味的气体二、填空题（本题包括2小题，共21分）17.（15分）用化学用语表达下列变化过程，其中（1）~（3）写化学方程式，（4）~（5）写离子方程式。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
2015-2016学年(福建省)高一上学期期末考试数学试题(解析版)8
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．若，，，则实数（）A. B. C. D. 2或【答案】D【解析】由于两个向量平行，故.点睛：本题主要考查两个向量的位置关系.两个向量，两个向量平行时，有；若两个向量垂直，则有.本题中将题目所给的两个向量的坐标代入，即可求得的值.2．下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于函数来说，一个只有唯一一个和其对应，故错误，选.3．函数（且）的图象经过的定点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，函数值恒为，故定点为.4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正弦函数对称轴为，令，求得对称轴为.5．若，则一定存在一个实数，使得当时，都有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，的图像在的上方，故，排除选项.当时，，而是幂函数，增长速度比对数函数要快，故当时，.故选选项.6．若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于两个向量垂直，根据向量加法的几何性质可知，平行四边形为矩形，对角线相等，即.7．若集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，故.8．若，，则在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意有投影为.9．若一扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，解得，所以弧度数为.10．若函数在上的最大值与最小值之和为，则实数的值是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意函数在上单调，故，解得.11．（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，即.点睛：本题主要考查两角和的正切公式的变形，考查了化归与转化的数学思想方法.首先注意到题目所给的两个角度的特殊关系，即.而题目涉及到正切的公式，我们就联想到两角和的正切公式，变形为.12．已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D. 【答案】D 【解析】根据夹角为锐角，有，即，也即，即，解得.点睛：本题主要考查平面向量的数量积运算与夹角公式，考查了锐角对应三角函数的取值范围，考查了两个向量的位置关系.题目一开始给定两个向量的模和夹角，那么它们的数量积可以通过公式求解出来.由于后面给定两个向量的夹角为锐角，则转化为数量积大于零，且不等于，就说明两个向量不能共线，由此得到.二、填空题13．，，，则与的夹角是__________．【答案】【解析】，所以夹角为.14．若函数是偶函数，则__________．【答案】【解析】由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故，由于，所以.15．若，则__________．【答案】【解析】，化简得.所以.16．若定义在上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：①是周期为4的周期函数；②的图象关于点对称；③是偶函数；④的图象经过点．其中正确论断的序号是__________（请填上所有正确论断的序号）．【答案】①②③【解析】由可知函数周期为.由是奇函数关于原点对称，可知关于对称，即.，所以函数为偶函数，无法判断其值.综上，正确的序号是①②③.点睛：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查函数平移变换等知识.在阅读题目的时候，采用逐句转化的方法，即读到“”时，将其转化为函数的周期为，这个要记住小结论，即若，，则函数为周期函数，且周期为.向左平移个单位后得到，这是函数变换的知识.三、解答题17．已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域与零点；（Ⅱ）判断函数的奇偶性．【答案】（I）定义域为，零点为；（II）奇函数.【解析】试题分析：（I）定义域为.令，即.（II）利用奇偶性的定义，判断，所以函数为奇函数.试题解析：解：（Ⅰ）∵∴，∴的定义域为．由，得，∴，解得，∴的零点为．（Ⅱ）∵对任意的实数，都有，∴是奇函数．18．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和递增区间；（Ⅱ）求函数的图象的对称中心的坐标．【答案】（I）最小正周期，单调递增区间是，；（II）对称中心的坐标是，.【解析】试题分析：（I）利用降次公式和二倍角公式，化简，由此得到最小正周期.令，解出的范围即是函数的增区间.（II）令，解出的值即是对称中心的横坐标，由此得到对称中心的坐标.试题解析：解：．（Ⅰ）函数的最小正周期．由，，得，．∴函数的单调递增区间是，．（Ⅱ）由，，得，，∴函数的图象的对称中心的坐标是，．19．已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，）的函数，记作．如表是某日各时的浪高数据：（时）（米）（Ⅰ）在如图的网格中描出所给的点；（Ⅱ）观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8:00到20:00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．【答案】（I）详见解析；（II），（III）小时.【解析】试题分析：（I）根据题目所给数据进行描点.（II）根据图象，应该选择，利用可求得的值，利用周期可求得的值，最后代入图像上一个最高点或最低点，求得的值.（III）由（II）令，解这个三角不等式可求得的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）（Ⅱ）根据图，应选择．不妨设，，由图可知，，，．∴，又当时，，∴，∴，∴，．∴，∴所求的解析式为．（Ⅲ）由，即，得，即，．又，∴．答：一天内的8:00到20:00之间有4个小时可供冲浪爱好者进行活动．20．已知，，，求的值．【答案】.【解析】试题分析：由于，故可以用诱导公式，将已知的表达式转化为.利用平方差公式，可将化简为.利用对数的运算公式，可将化简为.由此求得的值.试题解析：解：∵．．．∴．21．已知，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）依题意有，利用正切的二倍角公式可求得.（II）利用，求出，由此求得，利用求得，所以.试题解析：解：（Ⅰ）∵，，∴，即．∵，∴，∴，∴，∴．（Ⅱ）∵，∴，又∵，∴，∴，．又，∴．点睛：本题主要考查向量模的概念，考查正切函数的二倍角公式，考查三角恒等变形.第一步是利用向量的模的概念，求得，然后利用正切的二倍角公式求得的值.第二问主要通过划归与转化的思想方法，将进行转化，利用其正切值求得相应的弧度数.22．已知函数的值域为，函数，的值域为．（Ⅰ）求集合和集合；（Ⅱ）若对任意的实数，都存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：（I）利用两角和与差的正弦、余弦公式，辅助角公式，化简.所以.对分成三类，利用配方法，分类讨论的取值.（II）由于，，根据题意，有.由（I）的讨论，列出不等式组，由此求得的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）．∴．．（1）若，则，；（2）若，则．∵，∴，当时，，①若，则，∴；②若，则，（i ）若，即，则；（ii ）若，即，则．综上，若，则；若，则；若，则；若，则．（Ⅱ）∵，∴的值域为，∴的值域．∴对任意的实数，都存在，使得，即，或或或第 11 页共 12 页或或或或或或或．∴所求的取值范围为．点睛：本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式，辅助角公式.考查恒成立问题的处理方法，考查三角函数的值域等知识，还考查了分类讨论的数学思想方法.第一问主要利用三角函数公式进行三角恒等变形，化为一个角且次数为一次的三角函数，由此求得值域.第二问需要对分类讨论，情况比较多，分类要做到不重不漏.第 12 页共 12 页。
厦门市2015-2016学年度第二学期高一年级质量检测数学模拟试题及参考答案
厦门市2015-2016学年度第二学期高一年级质量检测数学模拟试题试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．cos 420 的值为（ ）2．设(1,2)a = ，(2,)b k = ，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（ ） A ．2-B ．4-C ．6- D ．8-3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆0442:221=-+-+y x y x C ，圆0222:222=--++y x y x C ，则两圆的公切线的条数是（ ）A ．1条B ．3条 D ．4条4．A ．B ．C ．D ．5．直线0632=-+y x 分别交x 轴和y 轴于B A 、两点，P 是直线x y -=上的一点，最小，则点P 的坐标是（ ）A.）（1,1-B.）（0,0C.）（1,1- D.6．有的点的（ ）ABD 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（2）与（4）D ．（3）与（4）8．在等腰ABC ∆中，4BC =，AB AC =，BA BC ⋅=（ ） A ．4-B ．4C ．8-D ．89．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 、H 分别为1AA 、AB 、1BB 、11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒10．已知B A ,为圆),(9)()(:22R b a b y a x C ∈=-+-上的两个不同的点，且满足）A ．1B ．2D 11．如图，P 是正方体1111ABCD A BCD -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）12．直线ax ＋by ＝1A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且OA OB ⋅ ＞0（O 是坐标原点），则22a b ＋－2a 的取值范围为（ ）第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知tan 3α=，则sin cos αα的值是. 14．__________.15．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影是________．16．如图1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1111,,,A BC D在同一球面上，则该球的表面积为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
福建师大附中2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∩β，则α⊥β4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（）A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣15．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN 所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A．6πB．C．3πD．12π7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=18．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么的最小值为（）A．5 B．8 C．13 D．189．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为．15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是．16．若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点，则k的取值范围是．17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求△ACD的面积．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率等于直线倾斜角的正切值求得答案．【解答】解：化直线方程y﹣3=（x﹣4）为，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan，∴α=60°．故选：C．2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标．【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z），则x=1，y=﹣3，z=﹣6，所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．故选：C．3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∩β，则α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，m与n平行或异面；在C中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A 正确；在B中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：B．4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（）A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣2=0，x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．当m≠0时，∵l1⊥l2，∴﹣m×=﹣1，解得m=1．综上可得：m=0，或m=1．故选：C．5．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN 所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．【解答】解：取A′A的中点为E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE 成的角，由题意得B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°，故选D．6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A．6πB．C．3πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出体积【解答】解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，设球的半径为r，所以2r==，所以这个球的体积积：=π故选：B．7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=1【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标，可得要求的对称圆的方程．【解答】解：由于圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为（4，﹣1），半径为1，故圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2=1，故选：A．8．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么的最小值为（）A．5 B．8 C．13 D．18【考点】圆的标准方程．【分析】由题意画出图形，利用的几何意义结合图象得答案．【解答】解：如图，圆（x+5）2+（y﹣12）2=25的圆心M（﹣5，12），|MO|=，的几何意义为圆（x+5）2+（y﹣12）2=25上的点到原点的距离，则最小值为|OM|﹣5=13﹣5=8．故选：B．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】点与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选B11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与半球的组合体．【解答】解：由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体，半圆柱与半球的半径均为r，半圆柱的高为2r，∴几何体的表面积为为+++πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=64+80π．解得r=4．故选：C．12．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．【解答】解：直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO，∴m的斜率为﹣，∵直线n的斜率为﹣∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内，∴a2+b2＜r2，∴＞r∴直线n与圆相离故选A二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】把所给的直线分离参数，再令参数的系数等于零，即可求得定点的坐标．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0，即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x+2y﹣4）=0，一定经过直线2x﹣y﹣1=0 和直线﹣x+2y﹣4=0的交点（2，3），故答案为：（2，3）．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角C1﹣BD﹣C的正切值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则，CD=BC=CC1=a，取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，∵CO==，∴tan∠COC1==．故答案为：．15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．【考点】轨迹方程；圆的标准方程．【分析】设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．【解答】解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则，∴代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=116．若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点，则k的取值范围是﹣1≤k＜1或k=．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】曲线y=表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线位于此两条直线之间时满足题意．当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，也满足条件．【解答】解：曲线y=表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点，此时k=﹣1；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，k=．因此当﹣1≤k＜1时，或k=，直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点．故答案为﹣1≤k＜1，或k=．17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．【考点】直线与平面所成的角．【分析】先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AB1的长度，在直角三角形AEB1中，即可求得结论．【解答】解：由题意不妨令棱长为2，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，故DA=，由勾股定理得A1D==过B1作B1E⊥平面ABC，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角，且B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，∴A1S=，∴AB1==∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故答案为：18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是④或⑥．（写出所有正确答案的序号）【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30°．由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°，故答案为：④或⑥．三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求△ACD的面积．【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．【分析】（1）设AC的中点为M，则由M为AC的中点求得M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，求得D的坐标．（2）求得直线CD的斜率K CD，可得CD边上的高线所在直线的斜率为，从而在△ACD 中，求得CD边上的高线所在直线的方程0．（3）求得，用两点式求得直线CD的方程，利用点到直线的距离公式求得点A到直线CD的距离，可得△ACD的面积．【解答】解：（1）由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3），设AC的中点为M，则M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有，解得，所以，D（3，8）．（2）∵直线CD的斜率K CD==5，所以CD边上的高线所在直线的斜率为，故△ACD中，CD边上的高线所在直线的方程为，即为x+5y﹣19=0．（3）∵C（2，3），D（3，8），∴，由C，D两点得直线CD的方程为：5x﹣y﹣7=0，∴点A到直线CD的距离为=，∴．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；（Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；【解答】（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形，连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，CD∩PD=D，且CD、PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC，又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC；（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C 的平面角，Rt△FEM中，，，，故所求二面角的正切值为；21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．…因为|CD|=|CB|，所以，解得b=﹣12．…所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，…距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出k，即可求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2，可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为y﹣6=k（x﹣4），则圆心C1到切线的距离，解得，所以切线的方程为：5x﹣12y+52=0；若切线的斜率不存在，则切线方程为x=4，符合题意．综上所述，过P点的圆C1的切线方程为5x﹣12y+52=0或x=4．…（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为：y﹣b=k（x﹣a）（k≠0），即kx﹣y+b﹣ak=0（k≠0），则直线l2的方程为：，即x+ky﹣bk﹣a=0．因为圆C1的半径是圆C2的半径的2倍，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，所以圆C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍，即…整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+（2b﹣8）k|从而ak﹣b=2a﹣14+（2b﹣8）k或b﹣ak=2a﹣14+（2b﹣8）k，即（a﹣2b+8）k=2a+b﹣14或（a+2b﹣8）k=﹣2a+b+14，因为k的取值有无穷多个，所以或，…解得或，这样点P只可能是点P1（4，6）或点．经检验点P1和点P2满足题目条件．…2016年7月31日。
福建省厦门市高一上学期期末数学试卷
福建省厦门市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2015高三下·武邑期中) 已知M，N是两个集合，定义集合N*M={x|x=y﹣z，y∈N，z∈M}，若M={0，1，2}，N={﹣2，﹣3}，则N*M=（）A . {2，3，4，5}B . {0，﹣1，﹣2，﹣3}C . {1，2，3，4}D . {﹣2，﹣3，﹣4，﹣5}2. （2分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（）A . =-B .C . =2D .3. （2分）设偶函数f(x)的定义域为R，当时f(x)是增函数，则的大小关系是..（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·新疆月考) 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 函数其中（）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向左平衡个长度单位6. （2分） (2018高二上·凌源期末) 若，，则等于（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数，若实数a,b,c互不相等，且，则abc 的取值范围是（）A . (1,10)B . (5,6)C . (20,24)D . (10,12)8. （2分） (2016高一上·荆州期中) 函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2，则f（x）﹣x=0的解有（）A . 1B . 2C . 3D . 无数个二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2019高一上·大庆期中) 函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是________ .10. （1分） (2016高二下·大庆期末) 已知函数f（x）=logax在定义域内单调递增，则函数g（x）=loga （3﹣2x﹣x2）的单调递增区间为________．11. （1分）(2017·郎溪模拟) 已知非零向量满足且，则向量的夹角为________．12. （1分） (2016高三上·泰州期中) 定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（﹣1，9）时，f（x）=x2﹣2x ，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是________．13. （1分）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为________．14. （1分）求函数y= tan（5x+ ）的对称中心________．三、解答题： (共5题；共40分)15. （5分）(2017·榆林模拟) 如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．（Ⅰ）用向量，表示．（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．16. （10分）计算题（1）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．（2）若sinx= ，cosx= ，x∈（，π），求tanx．17. （5分） (2017高三上·甘肃开学考) 已知在△A BC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若且sinC=cosA（Ⅰ）求角A、B、C的大小；（Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+A）+cos（2x﹣），求函数f（x）单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离．18. （5分） (2017高三上·九江开学考) 已知 =（2，﹣）， =（sin2（ +x），cos2x）．令f（x）= • ﹣1，x∈R，函数g（x）=f（x+φ），φ∈（0，）的图象关于（﹣，0）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求φ的值；（Ⅱ）在△ABC中sinC+cosC=1﹣，求g（B）的取值范围．19. （15分） (2019高一上·阜阳月考) 已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且 .（1）判断的奇偶性；（2）求在区间[-3,3]上的最大值；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题： (共5题；共40分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、。
福建省厦门2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
福建省厦门2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．求值：tan 49tan111tan 49tan11︒+︒-︒︒＝ ( )A ．tan 38° BC D 2．若tan α＜0，则 ( )A ．sin α＜0B ．cos α＜0C ．sin α·cos α＜0D ．sin α－cos α＜03．函数f (x )＝log 2(3x－1)的定义域为 ( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞) 4．下面各组函数中为相同函数的是 ( )A ．f (x )g (x )＝x －1B ．f (x )g (x )C ．f (x )＝ln e x与g (x )＝eln xD ．)1(1)()1()(-=-=x x g x x f 与5．已知集合{|13}A x x =≤≤，{}0B x x a =<<，若B A ⊆，则实数a 的范围是 ( )A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,3)-∞6．实数a ＝，b ＝，c ＝0.2的大小关系正确的是 ( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a7．向高为H 的水瓶中均速注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系式如图所示，那么水瓶的形状是 ( )8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA＋λCB ，则λ等于A ．23B ．13C ．－13D ．－239．为了得到函数y x 的图象，可以将函数y )23(sin π+x 的图象( )A ．向右平移6π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向左平移2π个单位10．设sin(4π＋θ)＝13，则sin 2θ＝ ( )A ．－79B ．－19C ．19D ．7911．已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是 ( ) A ．a <1<b B ．a <b <1 C ．1<a <bD ．b <1<a12．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ．将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为 ( )第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．已知函数f (x )＝x m 过点(2，12)，则m ＝＿＿＿；14．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝242, 10,,01,x x x x ⎧-+-≤<⎨≤<⎩则3()2f ＝________；15．已知奇函数f (x )的定义域为[－2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f (1－m )＋f (1－2m )<0的实数m 的取值范围是＿＿＿＿；16．对于集合M ，定义函数f M (x )＝1,,1,.x M x M -∈⎧⎨∉⎩对于两个集合A ，B ，定义集合A *B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2，4，6，8，10}，B ＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A *B 的结果为＿＿＿＿＿＿＿＿．三．解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(1)计算：0(＋lne ＋138＋log 62＋log 63；(2)已知向量a ＝(sin ,cos )θθ，b ＝）（1,2-，满足a b∥，其中(,)2πθπ∈，求cos θ 的值．18．(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b的夹角为120°．(1) 求b a ⋅及|a ＋b|；(2)设向量a ＋b 与a －b的夹角为θ，求cos θ的值．19．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若函数y ＝f (x )的零点为－1和1，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知,cos )a x x = ，(sin ,sin )b x x = ，设函数23)(-⋅=b a x f .(1)写出函数()f x 的周期，并求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值.21．(本小题满分12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足12()x f x ＝f (x 1)－f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)若当x >1时，有f (x )<0．求证：f (x )为单调递减函数； (3)在(2)的条件下，若f (5)＝－1，求f (x )在[3，25]上的最小值．22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R)． (1)当a=1时，求f (x )的最小值； (2)当f (x )有最小值时，求a 的取值范围；(3)若函数h (x )＝f (sin x )－2存在零点，求a 的取值范围．福建省厦门2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题答案及评分标准一、选择题：1．C ； 2．C ； 3．D ； 4．D ； 5．B ； 6．C ； 7．B ； 8．A ； 9．A ； 10．A ； 11．A ； 12．B ； 二、填空题：13．－1； 14．1； 15．[－12，23)； 16．{1，6，10，12}． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)解析：(1)原式＝1＋1－5＋2＋1＝0； ………………………6分(2)∵a b ∥，a＝(sin ,cos )θθ，b ＝）（1,2-， ∴sin θ＝-2cos θ， ① ………………………9分 又2sin θ＋2cos θ＝1， ②由①②解得2cos θ＝15， ………………………11分∵(,)2πθπ∈，∴cos θ………………………12分 18．(本小题满分12分)解析：(1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°θ＝1×2×(－12)＝－1， ………………………2分所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2×(－1)＝3.所以|a ＋b|………………………4分(2)同理可求得|a －b|………………………6分因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12－22＝－3， ………………………9分所以cos θ＝()()||||a b a b a b a b +⋅-+⋅-．所以向量a ＋b 与a －b． ……………………12分19．(本小题满分12分)解：(1) 函数y ＝f (x )的零点为－1和1．由根与系数的关系，得112,11.b c -+=-⎧⎨-⨯=⎩即20,1.b c -=⎧⎨=-⎩所以b ＝0，c ＝－1. ………………………5分 (2)由题意可知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b . ………………………6分 记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，因为关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间 (－3，－2)，(0，1)内，所以有(3)570,(2)150,(0)10,(1)10.g b g b g b g b -=->⎧⎪-=-<⎪⎨=--<⎪⎪=+>⎩ 解得1557b <<，即实数b 的取值范围为(15,57)． ………………………12分20．(本小题满分12分)解析：（1）由已知得a b ⋅2sin cos x x x +， ………………………1分＝1cos21sin 222x x -+1sin 22x x +sin(2)3x π+- ∴)32sin(23)(π-=-⋅=x b a x f ， ………………………4分∴函数的周期为22T ππ==， ………………………5分 由223222πππππ+≤-≤-k x k (k ∈Z )解得12512ππππ+≤≤-k x k ， ∴f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12512ππππk k ，(k ∈Z )； …………………7分 (2)由(1)知)32sin()(π-=x x f ，当32x ππ≤≤时，582333x πππ≤-≤， ………………………9分所以，sin(2)123x π-≤-≤， 故()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值分别为1和-2. ……………12分21．(本小题满分12分)解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. ………………………4分(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则12xx >1，由于当x >1时，f (x )<0，所以12()x f x <0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．………………………8分 (3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[3，25]上的最小值为f (25)．由12()xf x ＝f (x 1)－f (x 2)得，f (5)＝)5()25()525(f f f -=，而f (5)＝－1， 所以f (25)＝－2.即f (x )在[3，25]上的最小值为－2. ………………………12分22．(本小题满分14分)解：(1)当a=1时⎩⎨⎧≥-〈+-=)2(43)2(4)(x x x x x f ……………………2分所以，)(x f 在()2-，∞递减，在[)∞+，2递增，故最小值为2)2(=f ………………………4分（2）⎩⎨⎧≥-+〈+-=)2(42)2(4)2()(x x a x x a x f ）（ ………………6分要使函数f (x )有最小值，需20,20,a a +≥⎧⎨-≤⎩∴－2≤a ≤2，…………………8分故a 的取值范围为[－2，2]． ………………………9分 (3)∵sin x ∈[－1，1]，∴f (sin x )＝(a －2)sin x ＋4，“h (x )＝f (sin x )－2＝(a －2)sin x ＋2存在零点”等价于“方程(a －2)sin x ＋2＝0有解”，亦即2sin 2x a =--有解，∴2112a -≤-≤-， ………………………11分解得0a ≤或4a ≥， ………………………13分 ∴a 的取值范围为(][)+∞⋃∞-,40, ………………………14分。
福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题
福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题试卷说明：福建师大附中2015-2016学年高（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）下列条件中，能使α∥β的条件是（）A．平面α内有无数条直线平行于平面βB．平面α与平面β同平行于一条直线C．平面α内有两条直线平行于平面βD．平面α内有两条相交直线平行于平面β考点：平面与平面之间的位置关系．.专题：规律型．分析：直接利用平面与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的定义，判断选项即可．解答：解：对于A，如果直线都是平行线，平面α不平行于平面β，所以A不正确；对于B，平面α与平面β同平行于一条直线，这条直线平行与两个平面的交线，两个平面也不平行，B不正确；对于C，平面α内有两条直线平行于平面β，不满足直线与平面平行的判定定理，所以C不正确；对于D，平面α内有两条相交直线平行于平面β，这是两个平面平行的判定定理，所以正确．故选D．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理与定义的应用，基本知识的考查．2．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（）A．135°，1B．45°，?1C．45°，1D．135°，?1考点：直线的截距式方程；直线的倾斜角．.专题：计算题．分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角；在直线方程中，令x=0，能得到它在 y 轴上的截距．解答：解：∵直线x+y+1=0的斜率为?1，所以它的倾斜角为135°，在x+y+1=0中，由x=0，得y=?1，∴x+y+1=0在 y 轴上的截距为?1．故选D．点评：本题考查直线的倾斜角的求法和求直线的截距，解题时要注意公式的合理运用．3．（5分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条考点：平面的基本性质及推论．.分析：画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题．解答：解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．故选C．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题．4．（5分）已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0互相平行，则a的值是（）A．1B．?3C．1或?3D．0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．.专题：计算题；直线与圆．分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．解答：解：因为直线l1：ax?y+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a?3）x+ay?a=0的斜率为a，即=a，解得 a=?3或a=1，当a=1时，已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0，两直线重合，当a=?3时，已知直线l1：?3x+y?3=0与直线l2：?3x?y=1，两直线平行，则实数a的值为?3．故选B．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法5．（5分）（2009?浙江）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．.分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l ⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a ∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为（）A．2B．3C．D．5考点：基本不等式．.专题：计算题．分析：由题意可得，3a+4b=15，而a2+b2==，根据二次函数的性质可求解答：解：由题意可得，3a+4b=15∵a2+b2==根据二次函数的性质可得，当b=时有最小值9则的最小值为3故选B点评：本题主要考查了最值的求解，解题的关键是根据已知关系把所求的式子转化为二次函数的最值求解7．（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）A．2B．C．2D．4考点：平面图形的直观图．.专题：计算题；作图题．分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．8．（5分）若P（2，?1）为圆（x?1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x?y?3=0B．2x+y?3=0C．x+y?1=0D．2x?y?5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．.专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=?1kAB=1∴直线AB的方程是x?y?3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．9．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．56πC．14πD．16π考点：球的体积和表面积．.专题：计算题．分析：根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．解答：解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14π故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题．10．（5分）（2009?宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x?y?1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y?2）2=1B．（x?2）2+（y+2）2=1C．（x+2）2+（y+2）2=1D．（x?2）2+（y?2）2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程．.专题：计算题．分析：求出圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标，关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．解答：解：圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标（?1，1），关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标为（2，?2）所求的圆C2的方程为：（x?2）2+（y+2）2=1故选B点评：本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．11．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交考点：直线与圆的位置关系．.专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．12．（5分）如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF ∥平面ABCD C．三棱锥A?BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征．.专题：计算题．分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C．三棱锥A?BEF 的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF 的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题。
福建省厦门市第十六中学高一数学理上学期期末试卷含解析
福建省厦门市第十六中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线，，和圆相切，则的取值范围是A．或 B．或C．或 D.或参考答案：D2. 已知在空间坐标系O﹣xyz中，点A（﹣1，2，3）关于平面xOz对称的点的坐标为（）A．（1，2，3）B．（﹣1，﹣2，3）C．（﹣1，2，﹣3）D．（﹣1，﹣2，﹣3）参考答案：B【考点】空间中的点的坐标．【分析】根据空间直角坐标系中点两点关于坐标平面对称的规律，可得与点A（﹣1，2，3）关于平面xoz的对称点，它的横坐标和竖坐标与P相等，而纵坐标与P互为相反数，因此不难得到正确答案．【解答】解：设所求的点为Q（x，y，z），∵点Q（x，y，z）与点A（﹣1，2，3）关于平面xoz的对称，∴P、Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x=﹣1，y=﹣2，z=3，得Q坐标为（﹣1，﹣2，3）故选：B．【点评】本题借助于两点关于一个平面对称，已知其中一点坐标的情况下求另一点的坐标，考查了空间点与点关于平面对称的知识点，属于基础题．3. 下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）；；；；参考答案：B略4. 一个铅球的直径是一个垒球的直径的2倍，一个皮球的直径又是一个铅球直径的3倍，则皮球的体积是垒球体积的（）A．倍； B．倍；C．倍； D．倍．参考答案：C略5. 已知是非零向量，若，且，则与的夹角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°参考答案：D【分析】由得，这样可把且表示出来．【详解】∵，∴，，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．6. .总体由编号为01，02…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体。
福建厦门第一中学2015—2016学年度
福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期12月月考高三年理科数学试卷2015.12.14满分为150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．已知集合{}ln(12)A x y x ==-，{}2B x x x =≤，全集U A B =，则()UC A B =（ ）A ．(,0)-∞B ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦2．设复数2()1a iw i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为 （ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．323．若非零向量,a b 满足(4)a b a -⊥，()b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6πB ．3πC ．2πD ．56π 4．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点 P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A . 220x -280y =1B . 280x -220y =1C . 25x -220y =1 D . 220x -25y =15．已知()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（ ）A ．0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<-B ．0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<- C ．0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< D ．0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-6．已知命题:p “0,31xx ∀>>”的否定是“0,31xx ∃≤≤”，命题:q “2a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[]1,2-上存在零点”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝7．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为 （ ）侧视图8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图,在 鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ AB ．2CD 9．如图，是函数)2,0(),2sin()(πϕϕ≤>+=A x A x f []b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有2)(21=+x x f ，则 （ ）A ．()f x 在)12,125(ππ-上是增函数B ．()f x 在)12,125(ππ-上是减函数C ． ()f x 在)8,83(ππ-上是增函数D ．()f x 在)8,83(ππ-上是减函数10.已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，椭圆上两点,A B 关于原点对称，,M N 分别是线段,AF BF 的中点，且以MN 为直径的圆过原点，直线AB 的斜率k 满足03k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 （）A ．⎛⎝⎭ B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．()1 D ．)1,111．已知函数()()()22log 11,11,x x k f x x x k x a-+-≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是 （ A ．[]1,2 B ．(]1,2 C ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．252π C ．12π D ．414π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13. 已知,x y 满足不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为 ▲ .14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，*2()n n S a n n N =+∈，则n a = ▲ .15. 在平面直角坐标系中，圆心坐标均为()2,2的圆Ⅰ、圆Ⅱ、圆Ⅲ半径分别为4,2,1，直线334y x =+与圆Ⅰ交于点,A B ，点C 在圆Ⅰ上，满足线段CA 和线段CB 与圆Ⅱ均有公共点，点P 是圆Ⅲ上任意一点，则△APB 与△APC 面积之比的最大值为 ▲ . 16. 点P 在曲线xy e -=-上，点Q 在曲线ln y x =上，线段PQ 的中点为M ，O 是坐标原点，则线段OM 长的最小值是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17. （本小题10分）设函数1321)(+--=x x x f ，()f x 的最大值为M ，正数,a b 满足3311Mab a b+=． (Ⅰ)求M ；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得66a b +=？并说明理由．18．（本小题12分）设ABC ∆的,,A B C ∠∠∠所对边分别为c b a,,,满足c =且ABC ∆的面积222=4b c a S +-.(Ⅰ)求C ∠；(Ⅱ) 设ABC ∆内一点P 满足,AP AC BP CP ==，求PAC ∠的大小.19．（本小题12分）如图，四棱锥S ABCD -中， //AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.(Ⅰ)证明：SD ⊥平面SAB ；(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.20. （本小题12分）已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =．(Ⅰ)已知15815S a =，且对任意*n N ∈，有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列；(Ⅱ)若123d d =（10d ≠），且存在正整数,m n （m n ≠），使得m n a a =．求当1d 最大时，数列{}n a 的通项公式． 21．（本小题12分）已知过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）焦点F 的直线l 倾斜角为60o且与抛物线E 交于点M ，N ，△OMN 的面积为4． (Ⅰ)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为 A 、B ，直线AB 与直线OP 、y 轴的交点分别为Q 、R ，C 、D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标． 22．（本小题12分）已知曲线()1x xaxf x be e -=++在点(0,(0))f 处的切线方程为220x y +-=. (Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围.厦门一中2016届高三（上）12月月考 2015.12.14理科数学参考答案一、选择题： CABDA CDBCB AD 二、填空题：13．1-； 14．12n-； 1516．2三、解答题：17.解：(Ⅰ)当1x <-时，()4f x x =+单调递增，所以()3f x <；当112x -≤≤时，()52f x x =--单调递减，所以()max ()13f x f =-=；当12x >时，()4f x x =--单调递减，所以19()22f x f ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭；所以()f x 的最大值3M =(Ⅱ)假设存在正数,a b，使得66a b +=66332a b a b +=≥=所以552212a b ≤；又由于33113Mab ab a b +==≥，所以552223a b ≥与552212a b ≤矛盾，所以假设不成立，即不存在,a b，使得66a b +=.18.解： (Ⅰ)由余弦定理得2221=cos 42b c a S bc A +-=，又因为1sin 2S bc A =， 所以sin cos A A =，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=， 由正弦定理得sin sin c aC A=，因为c =所以sin 1C A ==， 因为()0,C π∈，所以2C π=；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,42A C ππ==所以4B AC A ππ=--==，所以b a =设PAC θ∠=，因为,AP AC =，所以,2ACP APC πθ-∠=∠= 因为2C π=，所以,22BCP ACP πθ∠=-∠=因为在APC ∆中,AP AC = 所以2sin 2sin 2sin 222PC AC b a θθθ===，因为在BPC ∆中,BP CP = 所以2cos 2cos 2BC PC PCB PC a θ=∠==，即2cos2a PC θ=，所以2sin22cos2a a θθ=，即12sincos222θθ=，即1sin 2θ= 因为0,4PAC πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以6PAC πθ∠==综上可知，(Ⅰ) 2C π=；(Ⅱ) 6PAC πθ∠==19.解：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,,DE SE ⊂平面SDE ∴AB ⊥平面SDE ,因为,DE SE ⊂平面SDE 所以AB SD ⊥. 又1SD =,故222ED SE SD =+,所以SD SE ⊥. 又因为AB SE E =I ，,AB SE ⊂平面SAB所以SD ⊥平面SAB .另解:由已知易求得1,2SD AD SA ===,于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB .(Ⅱ)以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .又设(,,)S x y z ,则0,0,x y z >>(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r, 由||||AS BS=u u r u ur =故x =由||1DS =u u u r 得221y z +=,又由||2BS =得222(2)4x y z +-+=,即22410y zy +-+=,故1,22y z ==.于是1(1,,22S 设平面SBC 的法向量(,,)n m n p =r ,则,,0,0n BS n CB n BS n CB ⊥⊥⋅=⋅=r u u r r u u r r u ur r u u .又3(1,,(0,2,0)22BS CB =-=uu r uu r ,故30,2220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩取2p =得(n =r,设AB 与平面SBC 所成角为θ，因为(2,0,0),AB =-uuu r 所以sin cos ,7||||AB a AB n AB a θ⋅=<>==⋅uu u r ruu u r r uu u rr故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为7.20. 解：当n 为奇数时，设21n k =-，则()1111112n n a a k d d -=+-=+ 当n 为偶数时，设2n k =，则()22212(1)2n na a k d d =+-=+-(Ⅰ)当n 为奇数时，因为1n n a a +<恒成立，即121112(1)22n n d d -++<+-，12(1)()20n d d --+>恒成立，120d d ∴-≤，当n 为偶数时，因为1n n a a +<恒成立，即212(1)122nnd d +-<+， 212()102nd d d -+-<恒成立，21d d ∴-0≤且21d >． 于是有 12d d =． 15815S a =Q ，1228776814304522d d d ⨯⨯∴+++=+，12d d ∴=2=，当n 为奇数时1112n n a d n -=+=，当n 为偶数时22(1)2n na d n =+-=，所以对任意正整数n 都有n a n =，所以11n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列． (Ⅱ)解：若123d d =（10d ≠），且存在正整数,m n （m n ≠），使得m n a a =， 由题意得,在,m n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为m n a a =，所以12112(1)22m n d d -+=+-，因为123d d =，所以1631d m n =--， 因为m 为奇数，n 为偶数，所以31m n --的最小正值为2，此时123,1d d ==,所以数列{}n a 的通项公式为31,2211,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数．21. 解：（1）依题意，0,2p F ⎛⎫⎪⎝，所以直线l的方程为2p y =+；由222p y x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p =+=>+==-△，)212127,8y x x p p MN y y p p =++==++=，O 到MN 的距离21,42OMN p d S MN d p ====，所以2p =，抛物线方程为24x y =21214,42OMN p S OF x x p ==-==解法三：（略）运用定义及图形（2）设(),2P t -，221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24E x y =：得24x y =，'2x y =，则切线PA方程为()211142x x y x x -=- 即21111242x x x y x x y =-=-，同理，切线PB 方程为112x y x y =-，把P 代入可得11222=222x t y x ty⎧--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩故直线AB 的方程为22x t y -=-即240tx y -+=所以()0,2R ，由2402tx y y x t -+=⎧⎪-⎨=⎪⎩ 得224484Q Q t x t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以r RQ === ==，当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，此时1sin23CPD rPR∠==≤，等号当t=±所以当()2P±-时，所求的角CPD∠最大.综上，当CPD∠最大时点P的坐标为()2±-解法二:同解法一得042:=+-ytxAB，注意到ABOP⊥2122||2||||tan||2||82CPD RQ t PQ d RQ dPQ t∠∴====∴==≤=+又当且仅当28t=即t=±22.解：(Ⅰ)()()21'()1x xxxa e axef x bee-+-=-+，依题意(0)1,1'(0)2ff=⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,122bab=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a b==，即a、b的值均为1；(Ⅱ)由(Ⅰ)得1a b==，代入()1xxxf x kee->+-得11x xx xx xe kee e--+>++-即()221111xx x xx x xk ee e e-->-=-+-，即()21x xxke e-->-，因为当0x>时0x xe e-->，当0x<时0x xe e--<，所以2x xxe e->-，所以10k->即()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，设()2,1x xm g x e e mxk-==---则0m>又()'x xg x e e m-=+-，（1）当02m<≤即0k≤时，()'20x xg x e e m m-=+-≥-≥恒成立，所以()g x在R上单调递增，所以①当0x>时()()00g x g>=，又因为此时0x xe e-->，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee->+-成立，②当0x<时()()00g x g<=，又因为此时0x xe e--<，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee->+-成立，因此，当0k≤时，当0x≠时，都有()1xxxf x kee->+-成立，符合题意；（2）当2m>即01k<<时，由()'0x xg x e e m-=+-=得12lnx x==，因为2m>，所以2120,0x x x>=-<，当()20,x x∈时()'0g x<，所以()g x在()20,x上递减，所以()()00g x g<=，又因为此时0x xe e -->，10k ->，所以()1201x xx x k e e x e e k---⎛⎫--<⎪--⎝⎭， 即()1xx x f x ke e -<+-与()1x xx f x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意； 综上可知，k 的取值范围是0k ≤。
福建省厦门市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（）A．2 B．4 C．6 D．83．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x 2 3 5 6销售额y 20 30 40 50由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元B．58万元C．68万元D．70万元5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．36．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．10．函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：x f（x）=2x﹣3x0.25 0.440.375 0.170.4375 0.040.46875 ﹣0.020.5 ﹣0.08A．0.375 B．0.4375 C．0.46875 D．0.512．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2] D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取人．14．已知函数f（x）=x2﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为．15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k= ．16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（Ⅰ）若a=2，求A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：分组（分数段）频数（人数）频率[50，60） a 0.08[60，70） 13 0.26[70，80） 16 0.32[80，90） 10 0.20[90，100） b c合计 50 1.00（Ⅰ）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．21．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（Ⅰ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．22．设函数f（x）=（Ⅰ）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】列举出B中的元素确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0，1}，故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；同一法；函数的性质及应用．【分析】令x﹣1=3，求出x的值，代入可得答案．【解答】解：∵f（x﹣1）=2x，令x﹣1=3，则x=4，∴f（3）=2×4=8，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．3．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题利用几何概型求概率，解得的区间长度，求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，区间[﹣1，3]的长度为4，区间[1，3]长度为2，由几何概型公式得x恰好在区间[1，3]内的概率是为=．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x 2 3 5 6销售额y 20 30 40 50由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元B．58万元C．68万元D．70万元【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】求出数据中心（，），代入回归方程求出，再将x=7代入回归方程得出答案．【解答】解： ==4， ==35．∴35=4×7+，解得=7．∴回归方程为=7x+7．∴当x=7时，y=7×7+7=56．故选：A．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【考点】伪代码；程序框图．【专题】计算题；阅读型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，由x=1满足条件x≥0，执行输出y=2x+1即可得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，x=1，满足条件a≥0，执行y=2x+1=3，输出y的值为3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．6．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性比较a，b，再以1为媒介比较b，c得答案．【解答】解：∵log0.50.9＜log0.50.8＜log0.50.5=1，0.5﹣0.9＞0.50=1，∴a＜b＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数函数与指数函数的单调性，是基础题．7．已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】指数函数的图象与性质．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算法则即可①正确，②错误，④错误；根据函数f（x）=3x的单调性可以判断③正确．【解答】解：关于函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2）：①f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2），∴①正确；②f（x1•x2）=≠+=f（x1）+f（x2），∴②错误；③f（x）=3x是定义域上的增函数，f′（x）=k=＞0，∴③正确；④f（﹣x1）+f（﹣x2）=+≠+=f（x1）+f（x2），∴④错误；综上，正确结论的序号是①③．故选：A．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义，再进行判断，是基础题目．8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】计算甲、乙二人得分的平均数与方差，即可得出正确的结论．【解答】解：6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33，乙的得分为14、17、24、28、28和33；∴=（16+17+18+22+32+33）=23，=（14+17+24+28+28+33）=24，∴＜；又=（49+36+25+1+81+100）=，=（100+49+0+16+16+81）=∴＞，乙比甲成绩稳定些．故选：D．【点评】本题利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的问题，也考查了计算能力，是基础题目．9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由已知基本事件总数n==15，∴他随机作答，则他答对的概率p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断．【解答】解：因为t=log3x的函数为增函数，且函数值的变化越来越慢，即图象的变化越来越趋向于平缓，又因为y=2t为增函数，其图象的变化是函数值的变化越来越慢，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质，属于基础题．11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：x f（x）=2x﹣3x0.25 0.440.375 0.170.4375 0.040.46875 ﹣0.020.5 ﹣0.08A．0.375 B．0.4375 C．0.46875 D．0.5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．【解答】解：模拟执行程序，可得：f（x）=2x﹣3x，d=0.1，a=0，b=0.5，m=0.25，不满足条件f（0）f（0.25）＜0，a=0.25，|a﹣b|=0.25，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.375，不满足条件f（0. 25）f（0.375）＜0，a=0.375，|a﹣b|=0.125，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.4375，不满足条件f（0.375）f（0.4375）＜0，a=0.4375，|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据表中函数的值，按照程序框图的顺序进行执行求解即可，考查了用二分法方程近似解的方法步骤，属于基础题．12．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2] D．[，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化为解y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，从而作图求解即可．【解答】解：∵关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，∴y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，作函数y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上的图象如下，，结合图象可知，k l=2，k m=，实数a的取值范围是（，2]，故选C．【点评】本题考查了方程的解与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取16 人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．【解答】解：∵运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的∴男运动员应抽取56×=16；故答案为16．【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．14．已知函数f（x）=x2﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为[2，6] ．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】配方得到f（x）=（x﹣1）2+2，而f（x）的定义域为[0，3]，这样便可求出f（x）的最大值和最小值，从而求出f（x）的值域．【解答】解：f（x）=（x﹣1）2+2；∵x∈[0，3]；∴x=1时，f（x）取最小值2；x=3时，f（x）取最大值6；∴f（x）的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】考查函数定义域、值域的概念，以及配方求二次函数值域的方法．15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k= 5 ．【考点】进位制．【专题】计算题；方程思想；转化思想；算法和程序框图．【分析】由已知中132（k）=42（10），可得：k2+3k+2=42，解得答案．【解答】解：∵132（k）=42（10），∴k2+3k+2=42，解得：k=5，或k=﹣8（舍去），故答案为：5【点评】本题考查的知识点是进位制，难度不大，属于基础题．16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据g（x）的值域和g（x）•f（x0）=1得出f（x0）的范围，结合f（x）的图象得出f（x0）的范围解出a．【解答】解：f（x0）==，∵x∈[a，+∞），∴f（x0）≤，作出f（x）在[，4]上的函数图象如图：∵对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，∴0＜≤1，解得a≥2．故答案为[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，结合函数图象是解题关键．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（Ⅰ）若a=2，求A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（Ⅰ）若a=2，求出A，∁R B，即可求A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∪B=B，则A⊂B，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵log2x≥1，∴x≥2，即A=[2，+∞），∵a=2，∴B={x|x＞6}，∴∁R B=（﹣∞，6]，∴A∩（∁R B）=[2，6]；（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵A=[2，+∞），B={x|x＞a+4}，∴a+4＜2，∴a＜﹣2．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：分组（分数段）频数（人数）频率[50，60） a 0.08[60，70） 13 0.26[70，80） 16 0.32[80，90） 10 0.20[90，100） b c合计 50 1.00（Ⅰ）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知分别求出a，b，c的值即可，由频率分布表能作出频率分布直方图．（Ⅱ）根据频率分布直方图，能估计出全校学生成绩的中位数．【解答】解：（Ⅰ）a=50×0.08=4，b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7，c=0.14，如图示：；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是：不准确，很笼统．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数的估计，是基础题，解题时要认真审题．19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．【考点】函数奇偶性的性质；指数函数的图象与性质．【专题】综合题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据函数f（x）的图象经过点（4，2）．可得a值，结合f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数的解析式；（2）不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0可化为：|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象经过点（4，2）．∴4a=2，解得：a=，故当x≥0时，f（x）=，当x＜0时，﹣x＞0，由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（﹣x）=，综上可得：f（x）=（2）若f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0，则f（x2）＞f（﹣x2+x﹣1），则|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得：x＞1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档．20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）利用2010年该地区人口共计105万求W的值，利用≥142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万；（Ⅱ）利用该地区2013年恰好进入老龄化社会，求出k%≈，即可预测2040年该地区60岁以上人口数．【解答】解：（Ⅰ）∵2010年该地区人口共计105万，∴x=2010，P==105，∴W≈142．令≥142，∴0.35×（0.94）x﹣2010≤0无解，∴未来该地区的人口总数不可能突破142万；（Ⅰ）∵该地区2013年恰好进入老龄化社会，∴10×[1+k%•（2013﹣2010）]=10%×，∴k%≈，∴x=2040，L（2040）≈10×[1+•（2040﹣2010）]=20万【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．21．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（Ⅰ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．【考点】模拟方法估计概率；几何概型．【专题】应用题；对应思想；转化法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）这种规则不公平，求出甲胜的概率P（A）与乙胜的概率P（B），比较得出结论；（2）根据题意，求出应用随机模拟的方法甲船先停靠的概率值是X﹣Y≤0的对应值．【解答】解：（Ⅰ）这种规则是不公平的；设甲胜为事件A，乙胜为事件B，基本事件总数为5×5=25种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∴甲胜的概率P（A）=，乙胜的概率P（B）=1﹣P（A）=；∴这种游戏规则是不公平；（2）根据题意，应用随机模拟的方法求出甲船先停靠的概率是P（C）=1﹣=0.88．【点评】本题考查了古典概型的概率与模拟方法估计概率的应用问题，求解的关键是掌握两种求概率的方法与定义及规则，是基础题．22．设函数f（x）=（Ⅰ）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】作图题；数形结合；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，则f（x）=，进而可得函数的图象；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得答案；（Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得答案．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=，函数f（x）的图象如下图所示：；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2﹣4ax+3a2≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，由y=x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故，或，或解得：a≤0，或a≥2，（Ⅲ）解3x﹣a=0得：x=log3a，解x2﹣4ax+3a2=0得：x=a，或x=3a若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得：a≥3，或≤a＜1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，函数的零点，难度中档．。
【全国百强校】福建省福建师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知直线方程34)y x --，则这条直线的倾斜角是（ ）A. 150︒B. 120︒C.60︒ D. 30︒【答案】C考点：直线的倾斜角．2.在空间直角坐标系中，点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A. (1,3,6)-B. (1,3,6)--C. (1,3,6)--D. (1,3,6)--【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据空间直角坐标系，可得点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是(1,3,6)--，故选D ．考点：空间直角坐标系．3．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m Ìβ，则α⊥β【答案】B【解析】试题分析：由题意得，A 中，若//,m n m α⊥，则有直线与平面垂直的判定定理得n α⊥，所以是正确的；B 中，若//,m n ααβ= ，则m 与n 平行或异面，所以是不正确的；C 中，若,m m αβ⊥⊥，则由平面与平面平行的判定定理得//αβ，所以是正确的；D 中，,m m αβ⊥⊂，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，所以是正确的．考点：空间中线面位置的判定．4.已知12:20,:(1)210,l mx y l m x my +-=+-+=若12l l ⊥ 则m ＝（ ）A ．m=0B ．m=1C ．m=0或m=1D ．m=0或m=1-【答案】C【解析】试题分析：由12l l ⊥，得(1)1(2)0m m m ⨯++⨯-=，解得0m =或1m =，故选C ．考点：两直线垂直的应用．5.正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线M B '与CN 所 成的角是（ ）A ． 0B ． 90C ． 45D ． 60【答案】B考点：异面直线所成的角．6.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的 体积是（ ）A ．6πBC ．3πD ．12π【答案】B【解析】试题分析：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即2R =R =，所以求得体积为334433V R ππ==⨯=． 考点：球的组合及球的体积的计算．7．圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1关于直线20x y --=对称的圆的方程为（ ）A ．22(4)(1)1x y -++=B ．22(4)(1)1x y +++=C ．（x+2）2+（y+4）2=1D ．22(2)(1)1x y -++=【答案】A【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为()1,2，设圆心()1,2关于直线20x y --=的对称点为(,)P x y ，则2111122022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得4,1x y ==-，所以对称圆方程为22(4)(1)1x y -++=． 考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程．8．已知实数,x y满足22(5)(12)25,x y ++-=的最小值为（ ）A ．5B ． 8C ． 13D ．18【答案】B 考点：圆的标准方程及圆的最值．9．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，11=AA ，则1BC 与平面D D BB 11所 成角的正弦值为（ ）A ．63 B ．552 C ．515 D ．510【答案】D1A 1A考点：直线与平面所成角的求解．10．已知点()()4,0,0,2B A －,点P 在圆()()5=4+3-:22－y x C ,则使090=∠APB 的点P 的个数 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】试题分析：设(,)P x y ，要使90APB ∠= ，只需P 到AB 中点(1,2)-12AB ==，而圆上的所有点到AB 中点距离范围为，即，所以使090=∠APB 的点P 的个数只有一个，就是AB 中点与圆心连线与圆的交点． 考点：点与圆的位置关系．11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为6480π+，则r =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】 C考点：几何体的三视图；体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用和几何体的体积的计算与应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的空间想象能力和运算能力，求解三视图问题时，要牢记三是的规则“长对正，高平齐、宽相等”，得到原结合体的形状，再根据几何体的体积公式求解几何体的体积，本题的解答中通过给定的三视图可得该几何体为一个半球和半个圆锥拼接的几何体，通过计算半球的体积和半个圆柱的体积，从而得到给几何体的体积．12.已知点(,)M a b ,(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直 线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（ ）A.//m n 且n 与圆O 相离B. //m n 且n 与圆O 相交C.m 与n 重合且n 与圆O 相离D. m n ⊥且n 与圆O 相交【答案】A【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为a b-，所以//n m ，圆心到直线n，因为M 在圆内，所以2ax by r +<r >，所以直线n 与圆相离，故选A ． 考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）13．不论k 为何值，直线(21)(2)(4)0k x k y k ----+=恒过的一个定点是__________.【答案】(2,3)考点：直线方程．14．在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1C BD C --的正切值为 ．【解析】试题分析：设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a，则111,BD DC BC CD BC CC a =====，取BD 的中点O ，连接1,OC OC ，则1C O C ∠就是二面角1C BD C --的平面角，因为122CO BD ==，所以1tan 2COC ∠==．考点：二面角的求解．15．点P(4，－2)与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是 ．【答案】22(2)(1)1x y -++=考点：轨迹方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了与圆有关的轨迹方程的求解，属于基础题，着重考查了代入法求解轨迹方程，其中确定坐标之间的关系是解答此类问题的关键．本题解答中通过设圆上任意一点为11(,)A x y ，表示AP 中点为(),x y ，确定出A 与AP 中点坐标之间的关系112422x x y y =-⎧⎨=+⎩，再代入圆的方程，化简即可得到动点的轨迹方程．16．若直线x y k +=与曲线y =,则k 的取值范围是 .【答案】11k k -≤<=或【解析】试题分析：曲线y =(1,0)A -时，直线y x k =-+与半圆只有一个交点，此时1k =-；当直线过点(1,0),(0,1)B C 时，直线y x k =-+与半圆有两个交点，此时1k =；当直线y x k =-+与半圆相切时，只有一个公共点，k =因此当11k -≤<或k =直线x y k +=与曲线y =考点：直线与圆的方程的应用．17．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中 心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于 ．考点：直线与平面所成的角．18．若直线m 被两平行线12:0:0l x y l x y +=+=与所截得的线段的长为m 的倾斜角可以是①15 ② 45 ③60 ④ 105︒ ⑤120︒ ⑥165︒其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号）【答案】④或⑥考点：两平行线之间的距离；直线的夹角．【方法点晴】本题主要考查了两条平行线之间的距离公式的应用及两直线的位置关系的应用，属于中档试题，解答的关键是根据两平行线之间的距离和被截得的线段的长，确定两条直线的位置关系（夹角的大小），本题的解答中，根据平行线之间的距离和被截得的线段长为m 与两平行线的夹角为45，从而得到直线m 的倾斜角． 三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（本小题满分12分）如图,已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(14)A ,-，(21)B ,--，(23)C ,．（1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；（2）在∆ACD 中，求CD 边上的高线所在直线方程；（3）求ACD ∆的面积.【答案】（1）(3,8)；（2）5190x y +-=；（3）8．【解析】考点：待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．20．（本小题满分13分）-中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD，且如图，在四棱锥P ABCDPA PD AD（1）求证：EF//平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC；【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3．⊥, (3) 解：设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM PD 由(2)知EF⊥面PDC∴EF PD⊥，⊥∴PD⊥面EFM∴PD MF在Rt FEM ∆中，12EF PA == 1122EM CD a ==4tan 122EF EMF EM a ∠===故所求二面角的正切值为2 ………13分 考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的求解．21．(本小题满分10分)一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱圈最高点距水面8m ,拱圈内水 面宽32m ，船只在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽8m ，故通行无阻，如下图所示.（1）建立适当平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m ，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试 问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m2.45≈)【答案】（1）400；（2）0.9．(2)当x=4时,求得y ≈7.6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7.60m,距涨水后的水面约5.6m,因为船高6.5m ，顶宽8m ，所以船身至少降低6.5-5.6=0.9(m ）以上，船才能顺利通过桥洞．考点：圆的方程及其应用．22．（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠= .（1）证明:1AB AC ⊥； （2）若2AB CB ==,1AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积. C 1B 1AA 1BC 【答案】（1）证明见解析；（2）3．22111111,OC OA A C OA OC OA OC OA AB ===+⊥⊥ 又=A C ，故又111111111,--= 3.ABC ABC OC AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S A B C V S OA =⊥∆=⨯= 因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC 的体积考点：直线与平面垂直的判定与性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质和几何体的体积的计算，属于中档试题，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力，解答此类问题的关键是把线线垂直的证明转化为线与面垂直，利用线面垂直的性质证明1AB AC ⊥；第2问中，利用线面垂直，确定几何体的高是解答三棱锥的体积的是求解几何体体积的一个难点．23．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:16C x y +=和圆222:(7)(4)4C x y -+-=．（1）求过点(4,6)的圆1C 的切线方程；（2）设P 为坐标平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和 圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍. 试求所有满足条件的点P 的坐标.【答案】（1）512520x y -+=或4x =；（2）1(4,6)P 或2362(,)55P.考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式和方程问题的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系求解圆的切线方程及利用点到直线的距离公式和方程解问题的综合应用，属于难度较大的试题，并着重考查了转化的思想方法和计算能力．本题的解答中设出直线1l 的方程，根据垂直关系，确定2l 的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，是解答一个难点，平时应重视圆的转化思想在求解圆的方程中的应用．高考一轮复习：。
福建省厦门市2015届高三上学期期末质检检测数学文试题Word版含解析
厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学文【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.【题文】1.已知集合{}0,1,2A =，集合{}x |x 20B =-<，则A B ⋂= A. {}0,1 B. {}0,2 C. {}1,2 D. {}0,1,2 【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】A 解析：因为B={x|x<2}，所以A ∩B={}0,1，故选A. 【思路点拨】化简已知集合即可.【题文】2.向量()()1,,2,4a m b ==-，若a b λ=（λ为实数），则m 的值为 A.2 B. -2 C.12 D. 12- 【知识点】向量相等的坐标运算；向量共线. F1 F2【答案】【解析】B 解析：由a b λ=得：（1，m ）=λ(2,-4)=(2λ,-4λ)2124m m λλ=⎧⇒⇒=-⎨-=⎩，故选B.【思路点拨】根据向量相等的坐标运算，得关于,m λ的过程中求解.【题文】3.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当时0x >时，()21f x x =+则()1f -等于A. 1B. -1C. 2D. -2 【知识点】奇函数的性质. B4【答案】【解析】D 解析：f(-1)= -f(1)= -2,故选D. 【思路点拨】由奇函数的定义得结论. 【题文】4.若()3,,sin 25παππα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，则tan α=A. 43-, B. 43 C. 34- D. 34【知识点】诱导公式；同角三角函数关系. C2【答案】【解析】C 解析：由()3sin 5πα-=得，3sin 5α=，又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==-，所以tan α=sin 3cos 4αα=-，故选C.【思路点拨】利用诱导公式，同角三角函数关系式求解.【题文】5.若关于x,y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为A 1B 2C 3D 4 【知识点】线性规划问题. E5【答案】【解析】A 解析：当过定点（0,1）的直线10kx y -+=与直线x=0或x+y=0垂直时，关于x,y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是直角三角形区域，此时k=0或k=1，由于k 为正数，所以k 的值为1，故选A.【思路点拨】画出简图，分析直线10kx y -+=与直线x=0，x+y=0的位置关系得结论. 【题文】6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥111D B C E -的体积等于A.13B. 12C. 6D. 16【知识点】锥体的体积求法. G1【答案】【解析】D 解析：111111*********113326D B CE E B C D B C D V V S CC --∆==⋅=⨯⨯⨯=, 故选D.【思路点拨】由等体积转化法求解.【题文】7.过双曲线22:149x y C -=的左焦点作倾斜角为6π的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是A.没有交点 B 只有一个交点 C 两个交点都在左支上 D 两个交点分别在左、右支上 【知识点】直线与双曲线的位置关系. H8【答案】【解析】D 解析：直线l 方程为3y x =，代入22:149x y C -=整理得：2231500x +-=，(24231500∆=+⨯⨯>，所以线l 与双曲线C 有两个交点，由韦达定理得两个交点横坐标符号不同，故选D.【思路点拨】把直线方程代入双曲线方程，由判别式和韦达定理确定结论.【题文】8.已知m R ∈，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 即不充分与不必要条件 【知识点】函数的零点；函数的单调性；充分条件；必要条件. B9 B3 A2【答案】【解析】B 解析：由函数21xy m =+-有零点，得m<1. 函数log m y x =在()0,+∞上为减函数，得0<m<1.所以函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的必要不充分条件.故选B.【思路点拨】利用集合间的关系判定充分性、必要性.【题文】9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于A.B. C. D.【知识点】几何体的三视图的应用. G2【答案】【解析】C 解析：由三视图可知此几何体的直观图如下：所以其最长的棱长DB= C.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的直观图及相关数据，从而该多面体最长的棱长.【题文】10.已知函数f(x)的导函数()f x ¢的图像如图所示，f(-1)=f(2)=3，令g(x)=(x-1)f(x)， 则不等式g(x)≥3x-3的解集是A.[-1,1]∪)2,é+?êëB. (,11,2-?UC. (),12,-?+?U D. 1,2轾-犏臌【知识点】导函数值的符号与函数单调性的关系. B12【答案】【解析】A 解析：由导函数的图像可知函数f(x)在(,1ù-?úû上单调递减，在)1,é+?êë上单调递增.又不等式为(1)(()3)0x f x --?，即()12()32x x f x f ìï³ï蕹íï?ïïî，或()()11131x xf x f ìï£ï?＃íï?-ïïî，综上得不等式g(x)≥3x-3的解集是[-1,1]∪)2,é+?êë.故选A.【思路点拨】由导函数的图像得原函数的单调性，再由已知函数值得原函数图像的大致形状， 由此分类讨论的所求不等式的解集.【题文】二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.【题文】11.抛物线24y x =的准线方程是 .【知识点】抛物线的几何性质. H7【答案】【解析】x= -1 解析：由抛物线的方程得：p=2，所以其准线方程为：12px =-=-【思路点拨】由抛物线的定义得结论. 【题文】12.将函数f(x)=cos x 的图像向右平移6p个单位，得到函数y=g(x)的图像，则2g p 骣÷ç÷=ç÷ç÷桫. 【知识点】平移变换；函数值的意义. C4【答案】【解析】12 解析：根据题意得：()cos 6g x x p 骣÷ç÷=-ç÷ç÷桫，所以2g p 骣÷ç÷=ç÷ç÷桫1cos 32p =. 【思路点拨】利用平移口诀得函数g(x)的解析式，从而求得2g p骣÷ç÷ç÷ç÷桫的值.【题文】13.函数()411y x x x =+>-的最小值是 . 【知识点】基本不等式求最值. E6 B3【答案】【解析】5 解析：∵x>1，∴x-1>0，∴()1112131y x x =-++?=-，当且仅当x=2时等号成立，所以()411y x x x =+>-的最小值是3. 【思路点拨】利用基本不等式法求函数的最小值. 【题文】14.数列{}n a 中，1111,2n n na a a a +-==，则该数列的前22项和等于 . 【知识点】周期数列前n 项和求法. D4 【答案】【解析】11 解析：∵1111,2nn na a a a +-==，∴23411,2,2a a a =-==L ， ∴数列{}n a 是以三为周期的周期数列，所以()22123131771122S a a a a =+++=?=. 【思路点拨】逐一求出数列的前几项，得此数列是以三为周期的周期数列，从而求得该数列的前22项和.【题文】15.如图，正方形ABCD 中，AB=2，DE=EC ，若F 是线段BC 上的一个动点，则A E A F ×uuu r uuu r的最大值是 .【知识点】向量的数量积； F3【答案】【解析】6 解析：要使A E A F ×uuu r uuu r 最大，只需A F uuu r最大，EAF Ð最小.由图易知，当F 与C 重合时，满足条件，而此时△EAC中，1AE AC EC ===,所以cos2221EA C+-?=A E A F×uuu r uuu r最大值是：cos 6AE AC EAC鬃?=uuu r uuu r .【思路点拨】通过图形分析得A E A F ×uuu r uuu r取得最大值的条件，然后计算此最大值.【题文】16.点P(x,y)在直线y=kx+2上，记T=|x|+|y|，若使T 取得最小值的点P 有无数个， 则实数k 的取值是 .【知识点】直线的斜截式方程；直线与圆. H1 H4【答案】【解析】1或-1 解析：直线y=kx+2恒过定点（0,2），∵T x y =+?当且仅当x y =时取等号，可得：只有当1k =?时，使T 取得最小值的点P 有无数个. 故1k =?.【思路点拨】注意到直线恒过定点（0,2），画图观察斜率k 取不同值的情况下，T 取最小值的点P 的个数，不难发现，仅在1k =?时，点P 的个数有无数个. 【题文】三、解答题：本大题共6小题，共76分. 【题文】17.（12分）数列{}n a 中，141,8a a =-=. （1）若数列{}n a 为等比数列，求7a 得值； （2） 若数列{}n a 为等差数列，其前n 项和n S ，已知6n n S a =+，求n 的值. 【知识点】等差数列；等比数列. D2 D3 【答案】【解析】（1）-64；（2）4.解析：(1)∵数列{}n a 为等比数列，∴2417a a a =?，得247164a a a ==-.（2）设数列{}n a 的公差为d ，由413138a a d d =+?+=，解得d=3∴1(1)34n a a n d n =+-=-，2352n n nS -=∵2356,3462n n n nS a n -=+\-+，化简得231140n n --= 解得143n n ==-或，∵n ∈*N , ∴n=4 【思路点拨】(1)根据等比数列的性质求解；（2）根据等差数列的通项公式及前n 项和公式求解.【题文】18.（12分）已知圆M ：22(2)16,x y -+=椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是圆M 的圆心，其离心率为23. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为k 的直线l 过椭圆C 的左顶点，若直线l 与圆M 相交，求k 得取值范围.【知识点】直线、圆、椭圆的基本性质；直线与圆的位置关系. H3 H5 H4【答案】【解析】(1)22195x y +=；（2）4433k -<<. 解析：(1)由题意得：圆心M(2，0)，r=4, ∴c=2 又23c a =，∴a=3，由222b a c =-，得25b =， ∴椭圆方程为22195x y += （2）∵直线l 过椭圆左顶点A （-3,0），∴l 的方程为：y=k(x+3),即kx-y+3k=0 ∵l 与圆M 相交，∴圆心M 到直线l 的距离d<r4<∴()()2221651619kk k <+?，∴4433k -<< 【思路点拨】(1)由已知得关于a,b,c 的方程组求解；（2）设出直线的点斜式方程，由圆心到直线的距离小于半径得关于k 的不等式，解得k 范围即可. 【题文】19．（12分）已知函数f(x)=sin 2x+22cos 1x -. （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)已知△ABC 三边a,b,c 所对的角分别为A,B,C ，若()22A f b ==且△ABC 的面积为1，求a 得值.【知识点】三角恒等变换；三角函数图像与性质；解三角形. C7 C8 【答案】【解析】(1) 函数f(x)的最小正周期p ,单调递增区间为:[3,]()88k k k Z p pp p -+?；（2. 解析：∵2()sin 22cos 1sin 2cos 2f x x x x x =+-=+)4x p +，∴最小正周期22T p p == 令222,242k x k k Z ppp p p -???，解得3,88k xk k Z p pp p -＃+? ∴函数f(x)的单调递增区间为:[3,]()88k k k Z p pp p -+?(2)由（1）得：())2244AAf A p p 骣÷ç÷=?=+=ç÷ç÷桫∴ 在△ABC 中，42A p p+=，∴4A p =又∵11sin sin 1224A BC S bc A c p==?V ，∴c=2由余弦定理得，222222cosA 22cos24a b c bc p=+-=+-∴【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，将函数化为：f(x)=)4x p+，从而求得其最小正周期和单调递增区间；（2）由（1）的结论及三角形面积得4A p=、c=2，再由余弦定理求得a 值. 【题文】20.（12分）如图平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC=CE，点F为CE中点.(1)证明：AE∥平面BDF；（2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE? 若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【知识点】空间点，线，面位置关系；线面平行及线面垂直的证明. G4 G5【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明：见解析. 解析：(1)连接AC交BD于O，连接OF.在△ACE中，∵四边形ABCD 是矩形，∴O为AC中点，又F为EC中点，∴OF∥AE，又OFÌ平面BDF，AEË平面BDF，∴AE∥平面BDF.（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，以下给予证明.取BE中点H，连接DP，PH，CH，∵P为AE中点，H为BE中点，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P、H、C、D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD I平面BCE=BC，CD⊥BC∴CD⊥平面BCE，又BEÌ平面BCE ，∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H为BE中点，∴CH⊥BE∵CH I CD=C，∴BE⊥平面DPHC，又PMÌ平面DPHC，∴BH⊥PM，即PM⊥BE.【思路点拨】(1)取BD 中点O,证明OF ∥AE 即可；（2）要使PM ⊥BE ，只需BE ⊥平面DCP ， 取BE 中点H ，连接CH ，因为BC=CE ，所以BE ⊥CH ，有BE ⊥平面BCH ，则平面BCH 于线段AE 的交点为点P ，易得P 为线段AE 中点.【题文】21.（14分）某地汽车最大保有量为60万辆，为确保城市交通便捷畅通，汽车实际保有量x （单位：万辆）应小于60万辆，以便留出适当的空置量. 已知汽车的年增长量y （单位：万辆）和实际保有量x 与空置率的乘积成正比，比例系数k （k>0）. (空置量=最大保有量-实际保有量，空置率=空置量最大保有量)(1)写出y 关于x 的函数关系；（2）求汽车年增长量的最大值；（3）当汽车年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.【知识点】函数基础知识；不等式基础知识. B1 D1 【答案】【解析】(1) ()()26006060ky x x x =-+<<；(2) 15k 万辆；（3）()0,2. 解析：(1)根据题意得，空置率6060x-，从而()260606060x ky k x x x 骣-÷ç÷=?-+ç÷ç÷桫， 即y 关于x 的函数关系式为：()()26006060ky x x x =-+<< （2）∵()()2260309006060k k y x x x 轾=-+=--+犏犏臌，()0,60x Î ∴x=30时，max 15y k =，∴当实际保有量为30万辆时，汽车年增长量的最大值为15k 万辆. （3）根据实际意义：实际保有量x 与年增长量y 的和小于最大保有量60， ∴ 0<x+y<60，∴当汽车的年增长量取得最大值时，0<30+15k<60， 解得-2<k<2，∵k>0，∴0<k<2， 即k 的取值范围为()0,2.【思路点拨】(1)空置率6060x-，从而()260606060x ky k x x x 骣-÷ç÷=?-+ç÷ç÷桫， 即y 关于x 的函数关系式为：()()26006060ky x x x =-+<<；(2)由（1）得()23090060k y x 轾=--+犏犏臌，所以当实际保有量为30万辆时，汽车年增长量的最大值为15k 万辆；（3）由（2）的结论及已知得关于k 的不等式求解. 【题文】22.（14分）已知函数f(x) 32=x (,)bx cx b c R -+?,其图像记为曲线C.(1) 若f(x)在x=1处取得极值-1，求b,c 的值；(2) 若f(x)有三个不同的零点，分别为123,,x x x ，且3210x x x >>=过点O 11(,())x f x 作曲线C 的切线，切点为()00,()A x f x （点A 异于点O ） ①证明：2302x x x +=；②若三个零点均属于区间)0,2éêë，求00()f x x 的取值范围.【知识点】函数的零点；导数的几何意义；导数的应用；线性规划. B9 B11 B12 E5 【答案】【解析】（1）b=1,c= -1；（2）①证明：见解析，② （-1，0）.解析：(1) 2()32f x x bx c ¢=-+,由题意，有 ()()132011111f b c b c f b c ììï¢ï=-+==ïïÞ眄镲=-=-+=-镲îïî，经检验此时，f(x)在x=1处取极小值， 因此，b=1,c= -1.（2）①证明：切线斜率k=()200032f x x bx c ¢=-+，则切线方程为：()()20000(32)y f x x bx c x x -=-+-， 化简得：2320000(32)x 2x y x bx c bx =-+-+ 由于切线过原点O ，所以：32002x 0bx -+=， 因为点A 异于点O ，所以02bx =， 又()32f x x bx cx =-+有三个不同零点，分别为0，23,x x ，则23,x x 为方程20x bx c -+=的两个不同的根，由韦达定理得：23x x b +=因此，2302x x x +=②由①知，23,x x 为方程20x bx c -+=的两个不同的根， 令()2g x x bx c =-+，由23,x x ∈（0,2），知：函数g(x)图像与x 轴在（0,2）范围内有两个不同交点，所以20402042(0)00(2)0420b c b b g c g b c ììïïD >ïï<ïïïïïïïï<<镲<<Þ眄镲镲>>镲镲镲>-+>镲ïïîî这个不等式组对应的点(b,c)形成的平面区域如图阴影部分所示：又()2002442b f f xc b x b 骣÷ç÷ç÷ç÷-桫==，令目标函数24z c b =-，则244b z c =+， 于是问题转化为求抛物线244b zc =+的图像在y 轴上截距的取值范围， 结合图像，截距分别在曲线段OM ，N （2,0）处取上、下界， 则z ∈（-4,0），因此，()()001,0f x x ?.【思路点拨】(1)由f(x)在x=1处取得极值-1得关于b,c 的方程组求解；（2）①由导数的几何意义及直线方程的点斜式得以A 为切点的切线方程，由此切线过原点证得结论. ②由①及二次方程的实根分布理论的关于b,c 的不等式组，再利用线性规划思想求00()f x x 的取值范围.【典例剖析】本题第三问的求解是较典型的解法，采用了线性规划的解题思想，把求00()f x x 的取值范围问题，转化为了求纵截距范围问题.。
2015-2016年福建省厦门市高一(下)期末数学试卷(解析版)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1． （5 分） A． ＝（ B． ） C． D． ）
2． （5 分）已知向量 ＝（1， 2） ， 向量 ＝（x， ﹣2） ，且 ⊥ （ ﹣ ） ， 则实数 x 等于 （ A．﹣4 B．4
2
） C．3 D．4 ）
6． （5 分）为了得到函数 y＝2cos x 的图象，可以将函数 y＝1+cosx 图象上所有的点（ A．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变
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D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变 7． （5 分）已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，下列命题中正确的是（ A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m |＝1，| C．l∥m⇒α⊥β ）
A．
B．
﹣1
C．
D． ，AD，BC
12． （5 分）如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为
是圆台的两条母线（四边形 ABCD 是经过轴的截面） ．一只蚂蚁从 A 处沿容器侧面（含边 沿线）爬到 C 处，最短路程等于（ ）
A．2
B．π+2
C．
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+2
D．
，| |＝2，则 在 方向上的投影等于
16． （5 分）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，AB⊥底面 BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝2．该 三棱锥外接球的表面积等于 ．
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17． （10 分）已知 O（0，0） ，A（2，﹣1） ，B（1，2） ． （1）求△OAB 的面积； （2）若点 C 满足直线 BC⊥AB，且 AC∥OB，求点 C 的坐标． 18． （12 分）长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示． （1）画出这个几何体的俯视图，并求截面 AEF 的面积； （2）若 M 为 EF 的中点，求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．
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2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5.00分）设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x ∈Z |﹣1≤x ≤1}，则A ∪B=（ ） A ．{﹣1，1}B ．{0，1}C ．{﹣2，﹣1，1}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5.00分）已知f （x ﹣1）=2x ，则f （3）=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．83．（5.00分）在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x 恰好在区间[1，3]内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5.00分）某产品的广告费x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如表：由最小二乘法可得回归方程=7x +a ，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（ ）A ．56万元B ．58万元C ．68万元D ．70万元5．（5.00分）运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．36．（5.00分）已知a=log 0.50.9，b=log 0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b7．（5.00分）已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④8．（5.00分）甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定 B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定9．（5.00分）在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．10．（5.00分）函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5.00分）阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：A．0.375 B．0.4375 C．0.46875 D．0.512．（5.00分）已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2]D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5.00分）一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取人．14．（5.00分）已知函数f（x）=x2﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为．15．（5.00分）在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k=．16．（5.00分）已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（Ⅰ）若a=2，求A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．（12.00分）某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：（Ⅰ）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？19．（12.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．20．（12.00分）联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．21．（12.00分）某港口船舶停靠的方案是先到先停．（Ⅰ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．22．（12.00分）设函数f（x）=（Ⅰ）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5.00分）设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0，1}，故选：D．2．（5.00分）已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵f（x﹣1）=2x，令x﹣1=3，则x=4，∴f（3）=2×4=8，故选：D．3．（5.00分）在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，区间[﹣1，3]的长度为4，区间[1，3]长度为2，由几何概型公式得x恰好在区间[1，3]内的概率是为=．故选：C．4．（5.00分）某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元B．58万元C．68万元D．70万元【解答】解：==4，==35．∴35=4×7+，解得=7．∴回归方程为=7x+7．∴当x=7时，y=7×7+7=56．故选：A．5．（5.00分）运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，x=1，满足条件a≥0，执行y=2x+1=3，输出y的值为3．故选：D．6．（5.00分）已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵log0.50.9＜log0.50.8＜log0.50.5=1，0.5﹣0.9＞0.50=1，∴a＜b＜c．故选：B．7．（5.00分）已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：关于函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2）：①f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2），∴①正确；②f（x1•x2）=≠+=f（x1）+f（x2），∴②错误；③f（x）=3x是定义域上的增函数，f′（x）=k=＞0，∴③正确；④f（﹣x1）+f（﹣x2）=+≠+=f（x1）+f（x2），∴④错误；综上，正确结论的序号是①③．故选：A．8．（5.00分）甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定 B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定【解答】解：6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33，乙的得分为14、17、24、28、28和33；∴=（16+17+18+22+32+33）=23，=（14+17+24+28+28+33）=24，∴＜；又=（49+36+25+1+81+100）=，=（100+49+0+16+16+81）=∴＞，乙比甲成绩稳定些．故选：D．9．（5.00分）在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知基本事件总数n==15，∴他随机作答，则他答对的概率p=．故选：C．10．（5.00分）函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：因为t=log3x的函数为增函数，且函数值的变化越来越慢，即图象的变化越来越趋向于平缓，又因为y=2t为增函数，其图象的变化是函数值的变化越来越慢，故选：B．11．（5.00分）阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：A．0.375 B．0.4375 C．0.46875 D．0.5【解答】解：模拟执行程序，可得：f（x）=2x﹣3x，d=0.1，a=0，b=0.5，m=0.25，不满足条件f（0）f（0.25）＜0，a=0.25，|a﹣b|=0.25，不满足条件|a﹣b|＜d 或f（m）=0，m=0.375，不满足条件f（0.25）f（0.375）＜0，a=0.375，|a﹣b|=0.125，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.4375，不满足条件f（0.375）f（0.4375）＜0，a=0.4375，|a﹣b|=0.0625，满足条件|a ﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．故选：B．12．（5.00分）已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2]D．[，2]【解答】解：∵关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，∴y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，作函数y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上的图象如下，，结合图象可知，k l=2，k m=，实数a的取值范围是（，2]，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5.00分）一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取16人．【解答】解：∵运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的∴男运动员应抽取56×=16；故答案为16．14．（5.00分）已知函数f （x ）=x 2﹣2x +3的定义域为[0，3]，则函数f （x ）的值域为 [2，6] ．【解答】解：f （x ）=（x ﹣1）2+2； ∵x ∈[0，3]；∴x=1时，f （x ）取最小值2；x=3时，f （x ）取最大值6； ∴f （x ）的值域为[2，6]． 故答案为：[2，6]．15．（5.00分）在不同的进位制之间的转化中，若132（k ）=42（10），则k= 5 ． 【解答】解：∵132（k ）=42（10）， ∴k 2+3k +2=42，解得：k=5，或k=﹣8（舍去）， 故答案为：516．（5.00分）已知函数f （x ）=|log 2x |，g （x ）=，若对任意x ∈[a ，+∞），总存在两个x 0∈[，4]，使得g （x ）•f （x 0）=1，则实数a 的取值范围是 [2，+∞） ．【解答】解：f （x 0）==，∵x ∈[a ，+∞），∴f （x 0）≤，作出f （x ）在[，4]上的函数图象如图：∵对任意x ∈[a ，+∞），总存在两个x 0∈[，4]，使得g （x ）•f （x 0）=1， ∴0＜≤1，解得a ≥2．故答案为[2，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（Ⅰ）若a=2，求A∩（∁R B）；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵log2x≥1，∴x≥2，即A=[2，+∞），∵a=2，∴B={x|x＞6}，∴∁R B=（﹣∞，6]，∴A∩（∁R B）=[2，6]；（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵A=[2，+∞），B={x|x＞a+4}，∴a+4＜2，∴a＜﹣2．18．（12.00分）某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：（Ⅰ）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？【解答】解：（Ⅰ）a=50×0.08=4，b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7，c=0.14，如图示：；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是：不准确，很笼统．19．（12.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a ∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象经过点（4，2）．∴4a=2，解得：a=，故当x≥0时，f（x）=，当x＜0时，﹣x＞0，由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（﹣x）=，综上可得：f（x）=（2）若f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0，则f（x2）＞f（﹣x2+x﹣1），则|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得：x＞120．（12.00分）联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．【解答】解：（Ⅰ）∵2010年该地区人口共计105万，∴x=2010，P==105，∴W≈142．令≥142，∴0.35×（0.94）x﹣2010≤0无解，∴未来该地区的人口总数不可能突破142万；（Ⅰ）∵该地区2013年恰好进入老龄化社会，∴10×[1+k%•（2013﹣2010）]=10%×，∴k%≈，∴x=2040，L（2040）≈10×[1+•（2040﹣2010）]=20万21．（12.00分）某港口船舶停靠的方案是先到先停．（Ⅰ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．【解答】解：（Ⅰ）这种规则是不公平的；设甲胜为事件A，乙胜为事件B，基本事件总数为5×5=25种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∴甲胜的概率P（A）=，乙胜的概率P（B）=1﹣P（A）=；∴这种游戏规则是不公平；（2）根据题意，应用随机模拟的方法求出甲船先停靠的概率是P（C）=1﹣=0.88．22．（12.00分）设函数f（x）=（Ⅰ）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=，函数f（x）的图象如下图所示：；（Ⅱ）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2﹣4ax+3a2≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，由y=x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故，或，或解得：a≤0，或a≥2，（Ⅲ）解3x﹣a=0得：x=log3a，解x2﹣4ax+3a2=0得：x=a，或x=3a若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得：a≥3，或≤a＜1．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。