高中数学北师大版必修5同步精练122等差数列的前n项和含答案

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高中数学北师大版必修5同步精练122等差数列的前n项和含答案

基础巩固1等差数列｛a n｝中，a i= 1, d = 1，贝y S n等于…（）A . nB . n（n + 1）n n + 1C. n（n—1）D.㊁一2已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且S101= 0，则有（）A . a1+ a101 > 0B . a1 + a101 < 0C. a1+ a101 = 0 D . a1+ a101 的符号不确定3等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若S2= 4, S4= 20,则数列｛a n｝的公差d等于（）A . 2B . 3C . 6D . 74已知｛a n｝为等差数列，a1 + a3 + a5= 105, a2 + a4+ a6= 99,以S n表示｛a n｝的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A . 21B . 20C . 19D . 185现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为（）A . 9B . 10C . 19D . 206设数列｛ a n｝的首项a1 = —7,且满足a n+1 = a n+ 2（n€ N +），贝U a1 + a2+・・・+ a17 =7设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a6= S3= 12,则a n = ____________ .8设数列｛a n｝的前n项和为S n= n2—4n+ 1,求通项公式.9首项为正数的等差数列｛a n｝，它的前3项和与前11项的和相等，问此数列的前多少项的和最大？10甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第 1 min走2 m ,以后每分钟比前1 min多走1 m,乙每分钟走5 m.（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？⑵如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？综合过关11已知数列｛a n｝的前n项和S n= n2—9n,第k项满足5< a k< 8,贝U k等于（）A . 9B . 8C . 7D . 612已知S n是等差数列｛a n｝的前n项和，S10> 0并且Sn= 0,若S n< Sk对n € N +恒成立, 则正整数k构成的集合为（）A . {5}B . {6}C . {5,6}D . {7}13已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为A n 和B n ,且春=7n] 45，则使得£为B n n + 3 b n整数的正整数n 的个数是()A . 2B . 3C . 4D . 5S 914设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 5= 5a 3,则焉= _______________ • 15在小于100的正整数中共有多少个数被 3除余2 ?这些数的和是多少？能力提升16 数列｛ a n ｝的前 n 项和为 Si = nPa n (n € N +)，且 a 1M a 2. ⑴求常数P 的值；(2)证明：数列｛a n ｝是等差数列.3 ° 20517已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n =-qn 2 + 一厂n ，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n .参考答案1答案：D2解析:_ 101 a 1+ a 101 小 ._答案： C2a 1 + d = 4,3解析：解方程组得d = 3.4a 1 + 6d = 20,答案：B4解析：设公差为d ,则 a 1+ a 1+ 2d + a 1 + 4d = 105,解得a 1+ d + a 1 + 3d + a 1+ 5d = 99,n n — 1a 1 = 39, d =— 2,二S n = na 1 +2 d=—n 2 + 40n = — (n — 20)2+ 400, •••当 n = 20 时，S n 取最大值. 答案：B5解析：设由上到第n 层的钢管数为a n ,则｛a n ｝为等差数列，且公差 d = 1, a 1= 1, S n所以堆放19层时，所剩钢管数最少为 200 — 190= 10.答案：Bn n + 12 •要使剩余的则用到的钢管6解析：由题意得a n+1—a n= 2, • ｛a n｝是一个首项a1= —7,公差d= 2的等差数列.• a117 v 16+ a 2+…+ a i7= S i7= 17X (— 7) +2— x 2 = 153.答案：153a i + 5d = 12,7解析：设数列｛a n ｝的公差为d ，贝U解得d = 2, a 1= 2，所以a n = a 1 +3a 1+ 3d = 12, （n — 1）d = 2n.答案：2n8分析：a n = S n — S n -1（n 》2），必须验证对 n = 1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数来表示.解：当 n = 1 时，a 1 = S 1 = 12— 4X 1 + 1 = — 2;当 n 》2 时，a n = S n 一 S n -1 = (n 2— 4n + 1) — [(n — 1)2— 4(n — 1) + 1] = 2n — 5. 又玄1工2X 1 — 5,—2, n = 1, 则a n =2n — 5, n 》2, n € N +.9分析：确定首项的符号，转化为求二次函数的最值. 解：T S 3= S 11 ,1 1••• 3a 1+ X 3X (3 — 1)d = 11a 1 + 寸 11X (11 — 1)d.d =—务1< 0.• •当n = 7时，0有最大值，即前7项和最大.10解：（1）设n min 后第一次相遇，依题意，有整理得 n 2+ 13n — 140= 0，解得 n = 7, n =— 20(舍去).第一次相遇是在开始运动后 7 min.6X 70= 0.解得 m = 15, m =— 28（舍去）. •第二次相遇是在开始运动后15 min.11解析：当 n = 1 时，a 1 = S 1 = 12— 9 =— 8;当 n 》2 时，a n = S n — S n -1 = 2n — 10. 又 a 1= — 8 = 2X 1 —10,贝U a n = 2n — 10. 所以 5v 2k — 10v 8，且 k € N + ,解得 k = 8.n n — 1d =—缶1 n 2+希am =—挣1( n — 7)2 + 4913a1.2n + n n — 12 + 5n = 70.（2）设m min 后第二次相遇，依题意有 2m + m m — 12+ 5m = 3 X 70,整理得 m 2+ 13m —答案：B=0，贝V a i + a ii = 2a6= 0,贝V a6= 0，所以a5> 0,公差d= a6—a5=—a5V 0,所以S n 的最大值是S5或S6,所以若S n W S k对门€ N+恒成立，则正整数k= 5,6.答案：C2a n a i + a2n-i b n 2b n b i+b2n —i2n—i a i + a2n-122n—i b i + b2n-1答案：DS9 9 a i + a9、“ 2 9 a5 + a5 9a5XS5 2 5 a i+ a5 5 a3 + a3 5a3答案：915分析：这些数按大小排列后组成等差数列，转化为求等差数列的前n项和.解：将这些数按从小到大排列，设第n个数为a n，则｛a n｝是等差数列，a i = 2, d = 3, 则a n = 2 + (n—1) X 3 = 3n—1,令3n—1 v 100,解得n v罗,又n € N + ,••• n的最大值为33,即有33个被3除余2的数，这些数的和是S33= 33 X 2 + 叮X 3= 1 650.16(1)解:当n= 1 时，a i = Pa i;若P= 1 时,a i + a2= 2Pa2= 2a2.二a i = a2与已知矛盾，故P M 1，贝U a i = 0.当n = 2时，a i + a2= 2Pa2,•••(2P—i)a2= 0.T a i M a2, •• P =1(2)证明：由已知S n= §na n, a i = 0.n》2时，1 1a n= S n —S n —1 = gHa n —?(n —1)a n ,27n+ 19 n+ 112n+ 1.当为整数时,b n12市为整数, 则正整数n= 1,2,3,5,11.12 解析：S io 10 a i+ a io>0,贝Va+10 a i + a iii3解析: A2n-1 = 7 2n —1 + 45 = 14n+ 38 B2n-1 2n —1 + 3 2n+ 214解析：•/｛a n｝为等差数列,a n _ n — 1 a n -1_ n — 2... a 3_ 2 a n -1 n — 2 a n —2 n — 3 a 2 1--a n — a n —1 = a 2.二｛a n ｝是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列.QOCA17分析：由S n =—尹2 + ^n 知S n 是n 的缺常数项的二次式，所以数列｛a n ｝为等差数列, 可求出通项a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .解：a 1 = S 1= 101, 当n > 2时，3 2 205 3 2 205a n = S n — S n -1 =(—尹 2+三门)—[—<n — 1)2+牙(n — 1)] = — 3n + 104. 又•/ n = 1也适合上式，•••数列通项公式为 a n =— 3n + 104(n € N +). 由 a n = — 3n + 104》0, 得 n w 34.7,即当 n W 34 时，a n >0;当 n 》35 时，a n v 0. (1) 当 n w 34 时，3 n 205T n = a 1 + a 2 + . + a n = S n =— ?n 十~^n. (2) 当n 》35时，T n = |a 1|+ |a 2| + …+ |a 34|+ |a 35| + …+ |a n | =a 1 + a 2 + …+ a 34 — (a 35+ a 36 + …+ a n ) =2(a 1 + a 2 + …+ a 34) — (a 1 + a 2 + …+ a n )=2S 34 — S n = 3n 2 — ■2^5n + 3 502.故T n-|n 2 + 205nn w 34 ,討-学n + 3 502 n 》35.a n=n — a 21,--a n = (n — 1)a 2.。

新教材高中数学北师大版必修5同步精练：1.2.1等差数列 Word版含答案

（新教材）北师大版精品数学资料第一课时基础巩固1下列说法中正确的是( )A ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列B ．一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列C ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于常数，这个数列就叫等差数列D ．一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列2已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )A ．4－2nB ．2n －4C ．6－2nD ．2n －64已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．75在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 009等于( )A ．2 007B ．2 008C ．2 009D ．不确定 6已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2 7已知数列{a n }的通项公式是a n ＝7n ＋2，求证：数列{lg a n }是等差数列． 8夏季高山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米？综合过关9已知关于x 的方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于 ( )A ．1 B.34 C.12 D.3810有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行铺瓦多少块？11已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100. 12一个等差数列首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范围．能力提升13某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2 009 时对应的指头是______．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)14设{a n }为a 1＝4的递增数列，且满足a 2n ＋1＋a 2n ＋16＝8(a n ＋1＋a n )＋2a n ＋1a n ，则a n ＝__________.参考答案1解析：仅有D 是等差数列的定义．答案：D2解析：可得a n ＋1－a n ＝－2或a 2－a 1＝(3－4)－(3－2)＝－2.答案：C3解析：通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝6－2n .答案：C4解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝105，a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝99，解得a 1＝39，d ＝－2，∴a 20＝a 1＋(20－1)×d ＝1.答案：B5解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，∴a 2 009＝2 009.答案：C6解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，a 1＋2d ＝0，解得d ＝－12. 答案：B7分析：转化为证明lg a n ＋1－lg a n 是一个与n 无关的常数．证明：设b n ＝lg a n ，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋3)lg7－(n ＋2)lg7＝lg7＝常数．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．8解：∵每升高100米温度降低0.7 ℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，∴26＋(n －1)×(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1 600(米)．9解析：设这四个根组成的等差数列为{a n }，则a 1＝14，设公差为d ，方程x 2－2x ＋m ＝0的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0的两根之和也为2，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝4a 1＋6d ＝4，则1＋6d ＝4，所以d ＝12.则这四个根是14，34，54，74.又14＋74＝2，34＋54＝2，则m ＝14×74＝716，n ＝34×54＝1516或n ＝14×74＝716，m ＝34×54＝1516，则|m －n |＝|716－1516|＝12. 答案：C10分析：转化为求等差数列的第15项．解：设从上面开始第n 行铺瓦a n 块，则数列{a n }是首项为30，公差为3的等差数列．则a 15＝a 1＋14d ＝30＋14×3＝72(块)，即该侧面最下面一行铺瓦72块．11(1)证明：x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， 1x n －1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴{1x n}是等差数列． (2)解：1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53. ∴1x 100＝100＋53＝35. ∴x 100＝135. 12分析：转化为解不等式组．解：∵d ＞0，设等差数列为{a n }，则a 1＜a 2＜…＜a 9＜a 10＜a 11…，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a 10<a 11<…，a 1<a 2<…<a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>1a 9≤1⇔⎩⎨⎧ 125＋(10－1)d >1，125＋(9－1)d ≤1，解得875＜d ≤325. 13解析：把这些数分成“层”，则第1层有5个数，其他层都是有4个数，奇数层小拇指对应的数最大，偶数层大拇指对应的数最大，则2 009＝5＋2 004＝5＋4×501，则2 009在第502层，并且是该层最大的数，所以2 009位于大拇指的位置上．答案：大拇指14解析：a2n＋1＋a2n＋16＝8(a n＋1＋a n)＋2a n＋1a n ⇔(a n＋1＋a n)2－8(a n＋1＋a n)＋16＝4a n＋1a n⇔(a n＋1＋a n－4)2＝4a n＋1a n⇔a n＋1＋a n－4＝2a n＋1a n(由题意可知取正号) ⇔(a n＋1－a n)2＝4⇔a n＋1－a n＝2，因此，{a n}是公差为2的等差数列．则a n＝a1＋(n－1)×2＝2n，从而可得a n＝4n2.答案：4n2第二课时基础巩固1a＝13＋2，b＝13－2，则a、b的等差中项为()A.3B.2C.33 D.222等差数列{a n}的公差为d，则数列{ca n}(c为常数，且c≠0)是()A．公差为d的等差数列B．公差为cd的等差数列C．不是等差数列D．以上都不对3在a和b(a≠b)两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为______．4等差数列{a n}中，a5＝10，a20＝7，则a2＋a23＝______.5已知a，b，c成等差数列，请问b＋c，c＋a，a＋b是否构成等差数列，为什么？6在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这5个数成等差数列，求这5个数．7四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．综合过关8已知1a 、1b 、1c成等差数列，并且a ＋c 、a －c 、a ＋c －2b 均为正数，试证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．9在数列{a n }中，相邻两项a n 和a n ＋1是相应的二次方程x 2＋3nx ＋b n ＝0(n ∈N ＋)的两根．若a 1＝2，试求b 100的值．能力提升10在等差数列{a n }中，已知a 1＝83，a 4＝98，则这个数列有多少项在300到500之间？参考答案1答案：A2解析：设b n ＝ca n ，则b n ＋1－b n ＝ca n ＋1－ca n ＝c (a n ＋1－a n )＝cd .答案：B3解析：b ＝a ＋(n ＋2－1)d ，则d ＝b －a n ＋1. 答案：b －a n ＋14答案：175分析：要证明三个数成等差数列，可用等差中项的性质去说明．解：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 构成等差数列．∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又∵(b ＋c )＋(a ＋b )＝(a ＋c )＋2b ＝2(a ＋c )，∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．6分析：此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解．解法一：设这5个数构成的等差数列为{a n }，公差是d ，由已知，有a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d .解得d ＝2.∴所求数列为－1,1,3,5,7.解法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，a 是－1与b 的等差中项，c 是b 与7的等差中项，即b ＝－1＋72＝3，a ＝－1＋b 2＝1，c ＝b ＋72＝5. ∴所求数列为－1,1,3,5,7.7解：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即4a 2＋20d 2＝94. ①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，∴d ＝±32. 代入①得a ＝±72， ∴所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1. 8分析：转化为证明2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．证明：∵1a 、1b 、1c成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c. ∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数，∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．9分析：依题意有：a n ＋a n ＋1＝－3n 且a n ·a n ＋1＝b n ，欲求b 100，需求a 100和a 101的值，可由递推或a n ＋a n ＋1＝－3n ，找到a n 的通项公式，进而求出a 100和a 101.解：依题意得：a n ＋a n ＋1＝－3n ， ① a n ·a n ＋1＝b n (n ∈N ＋)， ② 由②知：b 100＝a 100·a 101.∵a n ＋a n ＋1＝－3n ， ① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝－3(n ＋1)， ③ ③－①得：a n ＋2－a n ＝－3.∴a 1，a 3，a 5，…，a 99，a 101构成公差为－3的等差数列． ∴a 101＝a 2×51－1＝a 1＋(51－1)d ＝2＋50×(－3)＝－148，代入a 100＋a 101＝－3×100得a 100＝－152.∴b 100＝a 100·a 101＝(－152)×(－148)＝22 496.10分析：可先利用a 1＝83，a 4＝98求出首项和公差，确定通项公式后再求解．解：公差d ＝a 4－a 13＝98－833＝5， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝83＋5(n －1)＝5n ＋78.令300＜a n ＜500得300＜5n ＋78＜500，解得44.4＜n ＜84.4.∴从第45项到第84项，共有40项在300到500之间．。

北师大数必修五同步练习：第一章数列 1.2.2.1 Word含解析

2.2等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和一、非标准1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.★答案★:C2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C. 2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.★答案★:C3.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-37,则S n取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.★答案★:B4.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-=0,S2m-1=38,则m=()A.38B.20C.10D.9解析:由a m-1+a m+1-=0,得2a m-=0,解得a m=2(a m=0舍去).又因为S2m-1=(2m-1)a m,所以38=(2m-1)×2,解得m=10.★答案★:C5.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n与B n,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:由于,所以.★答案★:C6.已知{a n}是等差数列,S n为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为. 解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=-2,a1=20,∴S10=10a1+d=200-90=110.★答案★:1107.在等差数列{a n}中,前n项和为S n,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.★答案★:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.★答案★:39.若数列{a n}为等差数列,S n为其前n项和,已知S7=7,S15=75,T n为数列的前n项和,求T n.解:设等差数列{a n}的公差为d,则S n=na1+n(n-1)d.由S7=7,S15=75,得即解得∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=(n-5),∴(n+1-5)-(n-5)=,∴数列是首项为-2,公差为的等差数列,∴T n=-2n+n(n-1)×n2-n.10.在等差数列{a n}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|a n|}的前n项和.解:数列{a n}的公差d==3,∴a n=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由a n<0得3n-63<0,解得n<21.∴数列{a n}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设S n,S n'分别表示数列{a n}和{|a n|}的前n项和,当n≤20时,S n'=-S n=-=-n2+n;当n>20时,S n'=-S20+(S n-S20)=S n-2S20=-60n+×3-2×n2-n+1260.∴数列{|a n|}的前n项和S n'=。

高中数北师大必修五案：第一章数列 2.2 等差数列的前n项和(一) Word含答案

2.2 等差数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)．思考由S n 与S n －1的表达式可以得出a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n －S n －1 (n ≥2)S 1 (n ＝1). 知识点二等差数列前n 项和公式、推导和认识1．公式：若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2. 2．若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 3．推导：(方法：倒序相加法)过程：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a n ＋a 1，∴2S n ＝n (a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2. 4．从函数角度认识等差数列的前n 项和公式(1)公式的变形S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n . (2)从函数角度认识公式①当d ≠0时，S n 是项数n 的二次函数，且不含常数项；②当d ＝0时，S n ＝na 1，不是项数n 的二次函数．(3)结论及其应用已知数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ＋C ，若C ＝0，则数列{a n }为等差数列；若C ≠0，则数列{a n }不是等差数列．思考等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )A ．－2B ．－13C ．1D ．3★答案★ A解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝6，∴a 2＝2，又a 1＝4，∴d ＝－2.知识点三等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. 2．若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 4．若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5．若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 思考等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是________． ★答案★ 210解析设{a n }的前3m 项和是S ，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 分别为30,70，S －100.由性质知30,70，S －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S －100)，∴S ＝210.题型一与等差数列S n 有关的基本量的计算例1 在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝(56－32)2＝－5，解得n ＝15. 又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16. ∴n ＝15，d ＝－16. (2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.∴a 8＝39，d ＝5.反思与感悟 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中；(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10；(2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340. 题型二等差数列前n 项和性质的应用例2 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S n n}的前10项的和为________．★答案★ (1)C (2)D (3)75解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214. (3)∵S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)． ∴S n n ＝n ＋2，数列{S n n}是以首项为3，公差为1的等差数列， ∴{S n n }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 反思与感悟等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解． (2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S n n＝an ＋b (a ≠0)进行计算． (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解．跟踪训练2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27★答案★ B解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.(2)已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．解方法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17 ＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 方法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列，∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n .又S n T n ＝2n ＋13n －2， ∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R .∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1)＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)，b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5)＝t (6n －5)(n ≥2)．∴a n b n ＝t (4n －1)t (6n －5)＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 题型三等差数列前n 项和公式在实际中的应用例3 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？解 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a 9＝a 1＋(9－1)d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈一共有石板S 9＝9a 1＋9(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)．答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板．反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．★答案★ 2 000解析假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000 米．1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．48★答案★ B解析 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝120， ∴a 1＋a 10＝24.2．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10等于( )A ．－1B ．－11C ．－13D ．－15★答案★ D解析易知(a 3＋a 8)2＝9.∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3. ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝－15. 3．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8★答案★ B解析由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n (a 1＋a n )2＝n 2×70＝210，∴n ＝6. 4．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． ★答案★ 20解析设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.5．在等差数列{a n }中，a n ＝2n ＋3，则等差数列{a n }从第100项到第200项之和S 的值为________．★答案★ 30 603解析 ∵a 100＝203，∴S ＝203×101＋101×1002×2＝30 603.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p 的应用．3．本节的思想方法：方程思想、函数思想、整体思想．。

高中数北师大必修五案：第1章 §2 2.2 等差数列的前n项和 Word含答案

2.2 等差数列的前n 项和学习目标：1.理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系．(重点、难点)2.熟练掌握等差数列的五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)3.能够应用等差数列的前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点)[自主预习·探新知]等差数列的前n 项和公式阅读教材P 15～P 16“例7”以上部分，完成下列问题： (1)等差数列的前n 项和公式(2)将等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 整理成关于n 的函数可得S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 思考：(1)等差数列的前n 项和一定是n 的二次函数吗？[提示] 不一定，当公差d ≠0时，前n 项和是n 的二次函数，当公差d ＝0时，前n 项和是n 的一次函数，它们的常数项都为0.(2)求等差数列的前n 项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n 项和公式？[提示] 求等差数列的前n 项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式．[基础自测]1．判断正误(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n 项和公式求和．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和．( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋1，则数列{a n }一定不是等差数列．( )[解析] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式求和；(3)正确．[★答案★] (1)× (2)× (3)√2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－2，则前n 项和S 10＝( )【导学号：91022049】A ．－20B ．－40C ．－60D ．－80D [由等差数列前n 项和公式，S 10＝10×1＋12×10×9×(－2)＝－80.] 3．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝8，则S 17＝________. [解析] S 17＝12×17×(2＋8)＝85. [★答案★] 854．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S 8＝64，则d ＝________.【导学号：91022050】[解析] S 8＝8×1＋12×8×7×d ＝64，解得d ＝2.[★答案★] 2[合作探究·攻重难]与S n 有关的基本量的运算已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a 12； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (3)a 1＝6，a 3＋a 5＝0，求S 6.[解] (1)因为S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0. 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)．所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.(3)由a 3＋a 5＝2a 4＝0，得a 4＝0，a 4－a 1＝3d ＝－6，d ＝－2. 故S 6＝6a 1＋15d ＝6×6＋15×(－2)＝6.[规律方法] 等差数列中基本量计算的两个技巧：(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝na 1＋a n2结合使用. [跟踪训练] 1．等差数列中：(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝13，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7，得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝128×(105＋994)2＝70 336.(2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5，∴S 20＝20a 1＋20×(20－1)2×5＝20×10＋10×19×5＝1 150.(3)将d ＝13，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ， S n ＝n (a 1＋a n )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋12，37·(a 1＋a n )2＝629，解得⎩⎨⎧a 1＝11，a n ＝23.等差数列前n 项和公式在实际中的应用某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[解] 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)． [规律方法] 应用等差数列解决实际问题的一般思路[跟踪训练]2．有30根水泥电线杆，要运往1 000 m 远的地方开始安装，在1 000 m 处放一根，以后每50 m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？[解] 汽车第一次运完3根后回到原地走过路程是： a 1＝(1 000＋50＋50)×2＝2 200(m)；运完第二次3根后回到原地走过路程是： a 2＝2 200＋(3×50)×2＝2 500(m)；运完第三次共走：a 3＝2 500＋(3×50)×2＝2 800(m)；即每次比前一次多走300米，30根电线杆运完共需走10次，这10次路程构成等差数列，d ＝300，n ＝10， S 10＝2 200×10＋10×92×300＝35 500(m)＝35.5 km.等差数列前n 项和的性质n 【导学号：91022051】(1)a 4＝2，求S 7；(2)S 5＝3，S 10＝7，求S 15； (3)S 10＝100，S 100＝10，求S 110.[思路探究] (1)利用a 1＋a 7＝2a 4；(2)根据S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列求S 15；(3)根据所给条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d 可得S 110，也可利用S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 110－S 100成等差数列求解．[解] (1)S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝12×7×2a 4＝7a 4＝7×2＝14.(2)数列S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即3,7－3，S 15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S 15－7，解得S 15＝12.(3)法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10， ②①×10－②，整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.法二：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92×D ＝S 100＝10⇒D ＝－22，所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22) ＝－120.所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三：因为数列{a n }是等差数列，故其前n 项和S n 可设为S n ＝An 2＋Bn .由S 10＝100，S 100＝10，得⎩⎨⎧100A ＋10B ＝100，10 000A ＋100B ＝10，解得A ＝－11100，B ＝11110，故S n ＝－11100n 2＋11110n ，故S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. [规律方法] 巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质.若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质. S n ＝n a 1＋a n 2＝na m ＋a n －m ＋12.(3)项的个数的“奇偶”性质. {a n }为等差数列，公差为d .①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n. ②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝nn ＋1.(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n ).(5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. [跟踪训练]3．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．[解] a 5b 5＝2a 52b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.等差数列前n 项和的最值[1．(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ，求S n 的最小值； (2)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，求S n 的最小值．[提示] (1)S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，所以当n ＝2时，S n 的最小值为－4. (2)S n ＝n 2－3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322－94，因为n ∈N ＋，所以当n ＝2或n ＝1时，S n 的最小值为S 2＝S 1＝－2.2．(1)在等差数列{a n }中，若a 5＞0，a 6＜0，则其前多少项的和最大？ (2)在等差数列{a n }中，若a 5＜0，a 6＝0，其前n 项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．[提示] (1)前5项的和S 5最大．(2)因为a 5＜0，a 6＝0，故其公差d ＞0，所以前n 项和有最小值，其最小值为S 5＝S 6.3．在等差数列{a n }中，若d ＜0，S 10＝0，则其前多少项的和最大？ [提示] S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝0，故a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，因为d ＜0，所以a 5＞0，a 6＜0，所以S 5最大．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．[思路探究] (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×42×d ＝－15，得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12. (2)法一：S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.法二：设S n 最小，则⎩⎨⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎨⎧3n －12≤0，3(n ＋1)－12≥0，解得3≤n ≤4，又n ∈N ＋，∴当n ＝3或4时，前n 项和的最小值S 3＝S 4＝－18.母题探究：1.(变条件)把例4中的条件“S 15＝－15”改为“S 5＝125”，其余不变，则数列{a n }的前n 项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．[解] S 5＝12×5×(a 1＋a 5)＝12×5×2a 3＝5a 3＝125，故a 3＝25，a 10－a 3＝7d ，即d ＝－1＜0，故S n 有最大值，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝28－n .设S n 最大，则⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，解得27≤n ≤28，即S 27和S 28最大，又a 1＝27，故S 27＝S 28＝378.母题探究：2.(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若S n ＝0，求n . [解] 法一：因为S 3＝S 4＝－18为S n 的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x ＝72，所以当x ＝0或x ＝7时，图像与x 轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n ∈N＋，所以S 7＝0，所以n ＝7.法二：因为S 3＝S 4，所以a 4＝S 4－S 3＝0，故S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝0，所以n ＝7.[规律方法] 等差数列前n 项和的最值问题的三种解法(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值.(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n 的值.(3)利用二次函数的图像的对称性.[当堂达标·固双基]1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )【导学号：91022052】A ．12B ．24C ．36D ．48B [S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝120，故a 1＋a 10＝24.]2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．7B [S 2＝a 1＋a 2＝4，S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4，故a 3＋a 4＝16.∴(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)＝4d ＝12，∴d ＝3.]3．等差数列{a n }中，a n ＝2n －1，则前n 项和S n ＝________.【导学号：91022053】[解析] 由已知得a 1＝1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.[★答案★] n 24．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝21－2n ，则当其前n 项和S n 取最大值时n 的值为________．[解析] 由⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧21－2n ≥0，21－2(n ＋1)≤0，解得192≤n ≤212，又n ∈N ＋，故n ＝10. [★答案★] 105．在各项均为正数的等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【导学号：91022054】[解] 由题意得⎩⎨⎧a n ＝a 1＋2(n －1)＝11，S n ＝na 1＋n (n －1)＝35，解得⎩⎨⎧ a 1＝3，n ＝5或⎩⎨⎧ a 1＝－1，n ＝7(舍去)．故⎩⎨⎧a 1＝3，n ＝5.。

北师大版高中数学必修五等差数列的前n项和同步练习

等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-602、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是（）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4. 已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（） A 、36 B 、30 C 、24 D 、185.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为（） A. 47n - B. 47n -- C. 41n + D. 41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是（）A.一定不是等差数列B. 一定是递增数列C.一定是等差数列D. 一定是递减数列二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a = .8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = .9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = . 10. 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12. 等差数列｛a n ｝中，a 1=23，公差d 为整数，若a 6>0,a 7<0.（1）求公差d 的值;（2）求通项a n .13、若三个数a-4,a+2,26-2a ，适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列.等差数列1.C2.B3.A4.B5.D6.C7.108.219.23n - 10. 311.由题意知27n a n =-,由2752n -=,得29.5n N *=∉,∴52不是该数列中的项.又由2727n k -=+解得7n k N *=+∈,∴27k +是数列{}n a 中的第7k +项.12. （1）d=-4;（2）a n =-4n+2713．a=6，相应的数列为：2，8，14 a=9，相应的数列为：5，8，11a=12，相应的数列为：2，8，14。

北师大版高中数学必修5同步练习第1课时等差数列的前n项和

[A 基础达标]1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4＝20,S 2＝4,则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列,a 10＝10,数列前10项和S 10＝70,则公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D ．23解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2,得70＝5(a 1＋10),解得a 1＝4,所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23,故选D. 3．在等差数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝－24,a 18＋a 19＋a 20＝78,则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54,又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18,则3(a 1＋a 20)＝54,所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n,所以S n n＝2n ＋3, 当n≥2时,S n n －S n －1n －1＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若a n b n ＝2n 3n ＋1,则S 21T 21的值为( ) A.1315 B ．2335 C.1117D ．49解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn,则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn,所以当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A(n －1)2－B(n －1)＝2An ＋B －A,当n ＝1时满足,所以d ＝2A.答案：2A7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5－5S 3＝5,则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1,公差为d,则由6S 5－5S 3＝5知,6×(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5,得3(a 1＋3d)＝1,所以a 4＝13. 答案：138．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13,且a 1>0,S n 为其前n 项和,则S n 最大时n ＝________．解析：因为3a 8＝5a 13,所以3(a 1＋7d)＝5(a 1＋12d),所以d ＝－2a 139,故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139(41－2n)．由a 1>0可得当n≤20时,a n >0,当n>20时,a n <0,所以S n 最大时n ＝20.答案：209．已知在等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35,求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.由a 1＝1,a 3＝－3,可得1＋2d ＝－3,解得d ＝－2.所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n.(2)由a 1＝1,d ＝－2,得S n ＝2n －n 2.又S k ＝－35,则2k －k 2＝－35,即k 2－2k －35＝0,解得k ＝7或k ＝－5.又k∈N ＋,故k ＝7.10.某仓库有同一型号的圆钢600根,堆放成如图所示的形状,从第二层开始,每一层比下面一层少放一根,而第一层至少要比第二层少一根,要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少),则最下面一层放几根？共堆了多少层？解：设最下面一层放n 根,则最多可堆n 层,则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2≥600, 所以n 2＋n －1 200≥0,记f(n)＝n 2＋n －1 200,因为当n∈N ＋时,f(n)单调递增,而f(35)＝60>0,f(34)＝－10<0,所以n≥35,因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630,所以最多可堆放630根,必须去掉上面30根,去掉顶上7层,共1＋2＋3＋…＋7＝28根,再去掉顶上第8层的2根,剩下的600根共堆了28层．[B 能力提升]11．等差数列{a n }的前四项之和为124,后四项之和为156,各项和为210,则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124,a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156,所以4(a 1＋a n )＝280,所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210,所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n＋27),则它们的第11项之比为____________．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等差数列{b n }的前n 项和为T n ,则a 11＝a 1＋a 212,b 11＝b 1＋b 212, 所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶313．已知数列{a n }中,a 1＝1,当n≥2时,其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列,并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1,求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12,结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12(n≥2), 化简整理得1S n －1S n －1＝2(n≥2),知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列,所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1,所以S n ＝12n －1.(2)b n ＝S n 2n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1, 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1－ ⎭⎪⎫12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4＝117,a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列,且b n ＝S n n ＋c,求非零常数c 的值．解：(1)因为数列{a n }为等差数列,所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117,所以a 3,a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根,又公差d>0,所以a 3<a 4,所以a 3＝9,a 4＝13,从而可得a 1＝1,d ＝4,所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1,d ＝4,所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18,所以当n ＝1时,S n 最小,最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n,所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c , 所以b 1＝11＋c ,b 2＝62＋c ,b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列,所以2b 2＝b 1＋b 3,即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c,得2c 2＋c ＝0,所以c ＝－12或c ＝0(舍去),所以c ＝－12.。

【步步高】高中数学北师大版必修5练习：1.2.2等差数列的前n项和(一)(含答案解析)

2.2 等差数列的前n项和(一)课时目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n之间的关系．1．把a1＋a2＋…＋a n叫数列{a n}的前n项和，记做____________________________．例如a1＋a2＋…＋a16可以记作______；a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＝______ (n≥2)．2．若{a n}是等差数列，则S n可以用首项a1和末项a n表示为S n＝__________；若首项为a1，公差为d，则S n可以表示为S n＝____________.3．等差数列前n项和的性质(1)若数列{a n}是公差为d的等差数列，则数列S nn也是等差数列，且公差为________．(2)S m，S2m，S3m分别为{a n}的前m项，前2m项，前3m项的和，则S m，S2m－S m，S3m －S2m也成等差数列．(3)设两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，则a nb n＝S2n－1T2n－1.一、选择题1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于() A．13 B．35C．49 D．632．等差数列{a n}中，S10＝4S5，则a1d等于()A.12B．2C.14D．43．已知等差数列{a n}中，a23＋a28＋2a3a8＝9，且a n<0，则S10为()A．－9 B．－11 C．－13 D．－154．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A．63 B．45 C．36 D．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765 B．665 C．763 D．6636．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是()。

高中数学第一章数列第2.2节《等差数列前n项和》同步测试题北师大版必修5

第2.2节?等差数列?同步测试题姓名：___________班级：___________1．设n S 是数列{}n a 前n 项和，假设2n S n =，那么2017a =〔〕A. 4033B. 4034C. 4035D. 4036【答案】A2．等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，那么数列{b n }前9项和S 9等于( )A. 9B. 18C. 36D. 72【答案】B3．公差不为0等差数列{}n a 中，14a =且27110a a a =⋅，其前n 项和n S 最大值为〔〕 A. 25 B. 26 C. 27 D. 28【答案】B4．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 9445,31n S a -==，假设198n S =，那么n =〔〕 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】B5．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 1>0且，那么当S n 取最大值时，n 值为( )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B6．数列{a n }前n 项和S n ， 11a =，，那么值为〔〕A. 503B. 504C. 505D. 506【答案】C7．数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，那么其前100项和为〔〕A. 250B. 200C. 150D. 100【答案】D8．数列{}n a 满足 ()n N +∈，数列{}n b 满足，且12945b b b +++=，那么46b b 〔〕A. 最大值为100B. 最大值为25C. 为定值24D. 最大值为50【答案】C9．在等差数列{}n a 中，，那么数列{}n a 前11项和11S =〔〕A. 21B. 48C. 66D. 132【答案】C10．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，假设，那么13141516a a a a +++= 〕 A. 12 B. 8 C. 20 D. 16【答案】C11．等差数列{}n a 前n 项和为n S 〔*n N ∈〕，假设，那么〔〕 A. 4 B. 2 C.14 D. 12 【答案】D12．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，那么等差数列{a n }前13项和为( )A. 24B. 39C. 52D. 104【答案】C13．等差数列{}n a 中，4712a a +=，那么10S 值是_________.【答案】6014．{}n a 为等差数列， 4518a a +=，那么8S = __________．【答案】7215．数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －4(n ∈N *)，那么a n ＝__________；数列{log 2a n }前n 项和为__________．【答案】 12n +16．数列{a n }前n 项和为S n ，且a 3＝5，a 6＝11，假设数列n S 是等差数列，那么a n ＝________.【答案】2n-117．数列{a n }各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝ (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1nS ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 【答案】〔1〕略〔2〕21n n +18．数列{}n a 前n 项和为n s ，且21n n s a =-，〔1〕求数列{}n a 通项公式；〔2〕记，求数列{}n b 前n 项和n T .【答案】(1) 12n n a -=〔2〕19．数列{}n a 前n 项和为n S ，， 121n n a S +=+. 〔Ⅰ〕求2a ， 3a 值；〔Ⅱ〕设221n n b a n =--，求数列{}n b 前n 项和n T .【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕2322 2.2n n T n n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭20．正项数列{}n a 前n 项和n S 满足: ()()22210n n s n n s n n -+--+= 〔Ⅰ〕求数列{}n a 通项公式n a ；〔Ⅱ〕令,数列{}n b 前n 项和为n T .证明:对于任意*n N ∈,都有．【答案】(Ⅰ) 2n a n =. (Ⅱ)略。

北师大版数学高二-必修5试题 1.2《等差数列的前n项和》

1.2《等差数列的前n 项和》同步练习一、选择题1. 设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则 A ．1011S S = B ．1011S S >C ．910S S =D ．910S S <2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37101148,14a a a a a +-=-=，则13S 等于（）A. 168B. 286C. 78D. 152 3．在等差数列{}n a 中，公差为d ，且1054S S =，则1a d等于（） A.14 B. 8 C. 12D. 4 4． {a n }是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（）A ．100 B. 101 C. 200 D . 201二、填空题6．已知数列{a n }中，122n n n a a a +=+对任意正整数n 都成立，且712a =，则5a = . 7．已知集合},,17,22|{1++∈+=<<=N n m m x x x A n n n 且，则A 6中各元素的和为 .8.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知131113,,a S S n ==为________时，n S 最大. 9.⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ； ⑵已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .三、解答题10.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=.⑴求321a a a ++；⑵求10321a a a a ++++ ； ⑶求n a a a a ++++ 321.11.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b nn .求证：数列{}n b 是等差数列.12.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a = ⑴求常数p 的值；⑵求证：数列{}n a 是等差数列.13.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ，n n n b b b -=++122，其前9项和为.153⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57kT n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.14.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.15.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =，且1n T =，求n 的值.16.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a ⑴当n 为何值时，n S 取得最大值； ⑵求208642a a a a a +++++ 的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和.n T17.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.18.数列{}n a 满足),2,1()(,1211 =-+==+n a n n a a n n λ，λ是常数.⑴当12=a 时，求λ及3a 的值；⑵数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； ⑶求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当m n >时总有0<n a .参考答案1.C 【解析】因为1091521015216292)(,22S S a d a S d a a a a S =⇒++=++=+=另法：由28a =-，155a =，得713815)8(5=---=d ，76921=-=d a a ，计算知910S S = 2.B 【解析】由已知得118,714,2,10a d d d a -==∴==，则S 13=286. 3.C 【解析】1110954104(5)22a d a d ⨯⨯+=+，∴1510d a =，即112a d =. 4.B 【解析】由100S >，则50a >，由110S <，则650a a +<，∴使0n a <的最小的n 值为6.5.A 【解析】依题意，a 1＋a 200＝1，1200200200()1002a a S +==.6.1【解析】由已知得11112n n a a +-=，∴5751112,12a a a -=⨯∴=7.891【解析】令n ＝6得.1810,1281764.12864,2276≤≤∈<+<<<∴<<+m N m m x x 有由故各元素之和为.8917289719=⨯⨯+⨯=S 8.7【解析】由311S S =，则780a a +=，由{}131113,,n a S S a ==∴是一递减数列，即S 7最大.9.【解析】⑴11001122112)(116611111==⨯=+=a a a a S ；⑵方法1：令Bn An S n +=2，则n m m n B m n A nBm Am mBn An -=-+-⇒⎩⎨⎧=+=+)()(2222. m n ≠，∴1)(-=++B m n A ，∴)()()(2n m n m B n m A S n m +-=+++=+；方法2：不妨设n m >m n a a n m a a a a a S S m n m m n n n n m -=+-=+++++=-+-+++2))((11321 .∴211-=+=+++m n n m a a a a ， ∴)(2))((1n m a a n m S n m n m +-=++=++；方法3： {}n a 是等差数列，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m S n m m S m n Sn n m m n,,,,,三点共线.)(n m Snm nn m S n m n m m n n m n m +-=⇒-+=--++答案：1100 ；()m n -+.10.分析：利用n S 求出n a ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.解： 212n n S n -=，∴当1=n 时，1111211=-==S a ，当2≥n 时，n n n n n S S a n n n 213)1()1(12)12(221-=-+---=-=-，当1=n 时，1111213a ==⨯-， ∴n a n 213-=. 由0213≥-=n a n ，得213≤n ，∴当61≤≤n 时，0>n a ；当7≥n 时，0<n a . ⑴27331223321321=-⨯==++=++S a a a a a a ；⑵)(10987632110321a a a a a a a a a a a a +++-++++=++++52)101012()6612(2222106=-⨯--⨯=-=S S ；⑶当61≤≤n 时，232132112n n a a a a a a a a n n -=++++=++++ ，当7≥n 时，)(876321321n n a a a a a a a a a a a +++-++++=++++.7212)12()6612(222226+-=---⨯=-=n n n n S S n11.分析：利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法. 解：方法1：设等差数列{}n a 的公差为d ，d n n na S n )1(211-+=， ∴d n a n S b n n )1(211-+==∴2)1(2121111dd n a nd a b b n n =---+=-+（常数）∴数列{}n b 是等差数列.方法2： d n a n S b n n )1(211-+==， ∴nd a b n 2111+=+，d n a b n )1(2112++=+∴1111222)1(21)1(21++=+=-++++=+n n n b nd a d n a d n a b b ，∴数列{}n b 是等差数列.点评：判断或证明数列是等差数列的方法有：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列； ⑶通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑷前n 项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列.12.解：⑴ n n pna S =，21a a =，∴111=⇒=p pa a ；⑵由⑴知：n n na S =，当2≥n 时，0))(1()1(111=--⇒--=-=---n n n n n n n a a n a n na S S a ，∴)2(01≥=--n a a n n ，∴数列{}n a 是等差数列.13.分析：⑴利用n a 与n S 的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出n T 后，判断nT的单调性.解：⑴ n n S n 211212+=， ∴当1=n 时，611==S a ；当2≥n 时，5)1(211)1(2121121221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n 当1=n 时，1651a ==+，∴5+=n a n ；222112+++++=⇒-=n n n n n n b b b b b b ，∴{}n b 是等差数列，设其公差为d . 则3,5153369112111==⇒⎩⎨⎧=+=+d b d b d b ， 23)1(35+=-+=n n b n .⑵ [][]1)23(211)5(26)12)(112(6-+-+=--=n n b a c n n n121121)12)(12(2+--=+-=n n n n∴1211)121121()7151()5131()311(+-=+--++-+-+-=n n n T n +∈N n ，∴n T 是单调递增数列. ∴当1=n 时，()323111min =-==T T n ∴57k T n >对+∈∀N n 都成立()38573257min <⇔>⇔>⇔k k k T n ∴所求最大正整数k 的值为37.点评：本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容.14.解：⑴当2≥n 时，)(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S∴21111-=--n n S S ，且3111=S ，∴{}n a 是以21-为公差的等差数列，其首项为31.∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--=∴当2≥n 时，)53)(83(18211--==-n n S S a n n n 当1=n 时，11018)53)(83(18a ≠=--，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n ； ⑵0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k ，得3532<<k 或38>k ，∴当3≥k 时，1+>k k a a 恒成立，所求最小的正整数.3=k15.解：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,22288220111=-=⇒⎩⎨⎧-=+-=+d a d a d a ∴242)1(222-=-+-=n n a n⑵ 242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===令(1)240n n n +-=，得23=n ∴当23n =时，.1=n T 16.解：⑴ 等差数列{}n a 中，.16,2541==a a ∴公差31414-=--=a a d ∴283+-=n a n ，令90283≤⇒>+-=n n a n∴当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a .∴当9=n 时，n S 取得最大值；⑵ 数列{}n a 是等差数列∴208642a a a a a +++++ 20)9325(10102)(1011202-=⨯-==+=a a a ；⑶由⑴得，当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a .∴n n n S S a a a a a a T -=+++-+++=911109212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2n n n 234253232+-=n n17.⑴证明：2132,n n n a a a ++=-∴)(2112n n n n a a a a -=-+++, 3,121==a a ,∴)(2112++++∈=--N n a a a a nn n n{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列.⑵解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n nn N --=++++=-∈⑶证明：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+12(...)42,n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即，1(1)20.n n n b nb +--+= ③21(1)20.n n nb n b ++-++= ④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即，2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列.18.解：⑴由于),2,1()(,1211 =-+==+n a n n a a n n λ，且11=a ，所以当12=a 时，得λ-=-21，故3=λ.从而3)1()322(23-=-⨯-+=a .⑵数列{}n a 不可能为等差数列.证明如下：由11=a ，n n a n n a )(21λ-+=+得).2)(6)(12(),2)(6(,2432λλλλλλ---=--=-=a a a若存在λ，使{}n a 为等差数列，则1223a a a a -=-，即.31)2)(5(=⇒-=--λλλλ于是.24)2)(6)(11(,213412-=---=--=-=-λλλλa a a a 这与{}n a 为等差数列矛盾，所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列.⑶记),2,1(2=-+=n n n b n λ根据题意可知，01<b 且0≠n b ，即2>λ且)(2+∈+≠N n n n λ，这时总存在+∈N n ，满足：当 n n ≥时，b n ＞0；当1-≤ n n时，.0<n b所以，由n n n a b a =+1及011>=a 可知，若 n 为偶数，则0< n a ，从而当 n n >时0<n a ；若 n 为奇数，则0> n a ，从而当 n n >时.0>n a因此“存在+∈N m ，当m n >时总有0<n a ”的充分必要条件是： n 为偶数，记),2,1(2 ==k k n ，则λ满足：⎩⎨⎧<--+-=>-+=-012)12(02)2(21222λλk k b k k b k k 故λ的取值范围是).(242422+∈+<<-N k k k k k λ。

北师大版数学高二必修5试题 1-2-2等差数列的前n项和(一)

2.2等差数列的前n 项和(一)双基达标 (限时20分钟)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( )．A ．1 B.53C ．2D ．3 解析设{a n }首项为a 1，公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝6，a 3＝a 1＋2d ＝4， ∴a 1＝0，d ＝2.答案 C2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则过P (1，a 1)，Q (2，a 2)两点的直线的斜率是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ∵S n ＝n 2＋n ，∴a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4.∴过P 、Q 两点直线的斜率k ＝a 2－a 12－1＝4－21＝2. 答案 B3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ ( )． A ．16 B ．24 C ．36 D ．48 解析 ∵S 4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3.故S 6＝3＋15d ＝48.答案 D4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.解析由题意知6⎝⎛⎭⎫5a 1＋5×42d －5⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22d ＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d )＝15a 4＝5，故 a 4＝13. 答案 135．在等差数列{a n }中，a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝________.解析由a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15. 答案－156．已知等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 5＝15，a 10＝25.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝112，求n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 5＝15，∴a 1＋4d ＝15①∵a 10＝25，∴a 1＋9d ＝25，②解①②组成的方程组得：a 1＝7，d ＝2.∴a n ＝7＋(n －1)×2＝2n ＋5.(2)∵S n ＝112，∴7n ＋12n (n －1)×2＝112. 即n 2＋6n －112＝0，解之得n ＝－14(舍去)或n ＝8，故n ＝8.综合提高（限时25分钟）7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于 ( )．A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析 ∵a n ＝2－3n ，∴S n ＝2－3×1＋2－3×2＋…＋2－3×n ＝2n －3(1＋2＋3＋…＋n )＝2n －3·n (1＋n )2＝－32n 2＋n 2.故选A. 答案 A8．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10＝ ( )．A ．138B ．135C ．95D ．23 解析设数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝4，a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，所以S 10＝10×(－4)＋10×(10－1)2×3＝95，故选C. 答案 C9．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析由已知条件可得⎩⎨⎧ S 3＝3a 1＋3×22d ＝3，S 6＝6a 1＋6×52d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.∴a 9＝a 1＋8d ＝15. 答案 1510．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析由a 4＝1，S 5＝10，得a 1＋3d ＝1,5a 1＋5×42d ＝10，解得a 1＝4，d ＝－1，因为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－12n 2＋92n ，又n 为正整数，所以当n 的值为4或5时，S n 取得最大值．故填4或5.答案 4或511．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d . 由S 7＝7，S 15＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n＝⎝⎛⎭⎫－2＋12n －⎣⎡⎦⎤－2＋12(n －1)＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为－2，公差为12的等差数列．根据题意得T n ＝－2n ＋12n (n －1)×12＝14n 2－94n . 即T n ＝14n 2－94n . 12．(创新拓展)已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)∵－a n ＝2S n S n －1，∴－S n ＋S n －1＝2S n S n －1(n ≥2)，又S n ≠0(n ＝1,2,3，…)． ∴1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)可知1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)(或n ≥2时，a n ＝－2S n S n －1＝－12n (n －1))；当n ＝1时，S 1＝a 1＝12.∴a n ＝⎩⎨⎧ 12，(n ＝1)，－12n (n －1)，(n ≥2).。

高中数学数列1221等差数列的前n项和课后演练提升北师大版必修5

2016-2017 学年高中数学第一章数列等差数列的前n 项和课后演练提升北师大版必修 5一、选择题 ( 每题 5 分，共 20 分)1．已知数列 { a n} 为等差数列，a1＝ 35，d＝－ 2，S n＝ 0，则n等于 ()A． 33B． 34C． 35D． 36解析：由题可得n n－×( － 2) ＝0，35n＋2解得 n＝36或 n＝0(舍去)．答案：D2．若等差数列{ a n} 的前 5 项和S5＝ 25，且a2＝ 3，则a7＝ () A． 12B． 13C． 14D． 15解析：S5＝a1＋ a5＝ 25，2∴a1＋ a5＝10，又∵ a1＋ a5＝2a3.∴a3＝5，a2＝3，∴ d＝2.∴a7＝ a3＋(7－3) d＝5＋4×2＝13.应选B.答案：B3．已知等差数列 { a } 满足a＋a＝ 4，a＋a＝ 10，则数列 { a } 的前 10项和 S＝() n2435n10A． 138B． 135C． 95D． 23解析：2435方法一：由 a ＋ a ＝4， a ＋ a ＝10，得 2a1＋ 4d＝ 4,2 a1＋6d＝ 10，从而可得a1＝－ 4，d＝ 3，所以 S10＝10a1＋45d＝95.应选C.方法二： ( a3＋a5) － ( a2＋a4) ＝ ( a3－a2) ＋ ( a5－a4) ＝ 2d＝6，从而d＝3；又 a2＋ a4＝2a3＝4，从而3＝2，a所以10＝ a ＋ a＝ a ＋ a＝ a ＋a ＋5d＝ 95.应选 C.S1103833222方法三：由a2＋ a4＝4， a3＋ a5＝10，得 a4＋ a6＝16， a5＋ a7＝22，a4＋ a6＋a5＋ a7于是 a4＋a7＝＝19，2a1＋ a10＝a4＋ a7所以 S10＝＝ 95. 应选 C.22方法四：注意到a2＋ a4＝2a3＝4， a3＋ a5＝2a4＝10，∴a3＝2，a4＝5.又 S n＝ an2＋ bn，所以 a3＝S3－ S2＝9a＋3b－(4 a＋2b)＝2， a4＝ S4－ S3＝16a＋4b－(9 a＋3b)＝5，3113211从而 a＝2， b＝－2，即 S n＝2n －2 n，所以 S ＝95.应选C.10答案： C4．已知 { a n} 为等差数列，a1＋a3＋a5＝ 105，a2＋a4＋a6＝ 99. 以S n表示 { a n} 的前n项和，则使得 S n达到最大值的n 是()A． 21B． 20C． 19D． 18解析：∵ { a n} 为等差数列，∴a1＋ a3＋a5＝105? a3＝35，a2＋ a4＋ a6＝99? a4＝33，d＝ a4－ a3＝33－35＝－2，∴ { a n} 是递减数列．a n＝ a3＋( n－3) d＝35＋( n－3)×(－2)＝－2n＋41，41a n≥0，－2n＋41≥0， n≤2，∴当 n≤20时， a n>0，∴ n＝20时， S n最大，应选B.答案：B二、填空题 ( 每题 5 分，共 10 分)5．设等差数列 { a } 的前n项和为S，若a6＝S3＝ 12，则 { a } 的通项a＝ ________.n n n n解析：由6＝3＝12 可得 { n} 的公差＝ 2，首项a 1＝2，a S a dn故易得 a ＝2n.答案：2n6．若等差数列 {a n}的前n项和为n，且a1＝29,58＝5－8，则n 的最大值为________．S a a S解析：依题意得5( a1＋ 7d) ＝a1＋ 4d－ 8，∴5(29 ＋ 7d) ＝ 29＋ 4d－ 8，解得 d＝－4.n n－S n＝ n×29＋×(－4)2＝－ 2n2＋31n31 2312＝－ 2 n－4＋8 .∴当 n＝8时， S n最大值．2S n最大为－2×8＋31×8＝120.三、解答题 ( 每题 10 分，共20 分)7．已知等差数列 { a n} 中，1(1)a1＝2， S4＝20，求 S6；53(2)a1＝6， a n＝－2，S n＝－5，求 n 和 d；(3)a1＝4， S8＝172，求 a8和 d.－解析：(1) S4＝ 4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，2∴d＝3.故6＝6 1＋－＝ 6 1＋15d＝ 3＋45＝ 48.S a2 d a53(2) 由题意，得S n＝n a1＋ a n n 6－2＝＝－ 5，22解得 n＝15.53又 a15＝6＋(15－1) d＝－2，1∴ d＝－6.8 a ＋ a8＋a(3) 由已知，得S＝18，2＝2解得 a8＝39，又∵ a8＝4＋(8－1) d＝39，∴ d＝5.8．已知公差大于零的等差数列{ a n } 的前n项和为S n，且满足a3· a4＝117， a2＋ a5＝22.(1)求通项 a n；(2)求 S n的最小值．解析：(1) ∵数列 { a n} 为等差数列，∴a3＋ a4＝a2＋ a5＝22.又∵ a3·a4＝117，∴ a3， a4是方程 x2－22x＋117＝0的两实根，又公差 d＞0，∴ a3＜ a4，∴ a3＝9， a4＝13，a ＋2d ＝ 9a ＝ 111∴1＋ 3 ＝ 13，解得，ad ＝4d∴ a n ＝ 4n － 3.(2) 由 (1) 知 a 1＝ 1，d ＝ 4，∴ n ＝1＋nn－＝2－＝1 2 12n －－，S na2d 2n n 48∴当 n ＝ 1 ， S 1最小，最小S 1＝ a 1＝1.尖子生☆☆☆9． (10分 ) 等差数列{ a n } 的首a 1 及公差d 都整数，前n 和S n .(1) 若 a 11 ＝0， S 14＝ 98，求数列 { a n } 的通公式；(2) 若 a 1≥6， a 11>0，S 14≤77，求全部可能的数列{ a n } 的通公式．解析：(1) 由 S 14 ＝98 得 2a 1＋ 13d ＝ 14，又 a 11＝ a 1＋10d ＝ 0，故解得 d ＝－ 2， a 1＝ 20.所以， { a n } 的通公式是a n ＝ 22－ 2n ， n ＝ 1,2,3 ，⋯.S ≤77，2a ＋ 13d ≤11，141(2) 由 a>0，得 a ＋ 10d >0，111a ≥6，a ≥6，112a ＋ 13d ≤11，①1即－ 2a －20d <0，②1－ 2a 1≤－ 12.③11 由①＋②得－7d <11，即 d >－.71由①＋③得 13d ≤－ 1，即 d ≤－ 13.111于是－ 7 <d ≤－ 13. 又 d ∈Z ，故 d ＝－ 1. ④将④代入①②得 10<a 1≤12. 又a 1∈ Z ，故 a 1＝ 11 或 a 1＝ 12.所以，全部可能的数列{ a n } 的通公式是a n ＝ 12－n 和 a n ＝ 13－ n ， n ＝1,2,3 ，⋯.。

北师大版高中数学必修五练习第1章2.2等差数列的前n项和第2课时

第2课时等差数列前n项和的性质课时过关·能力提升1.设数列{a n}是等差数列,且a2=-8,a15=5,S n是数列{a n}的前n项和,则()A.S10=S11B.S10>S11C.S9=S10D.S9<S10=a15-a215-2=5-(-8)13=1,∴a n=n−10.令a n=0,∴n=10,即a10=0.∴S9=S10.2.设{a n}是等差数列,S n为其前n项和,且S5<S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值S5<S6=S7>S8,∴a6>0,a7=0,a8<0.∴d<0.S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0.∴S9<S5,故C错.3.在等差数列{a n}中,S n是其前n项和,且S2 011=S2 015,S k=S2 009,则正整数k为()A.2 014B.2 015C.2 016D.2 017n项和S n可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数的对称性及S2 011=S2015,S k=S2 009,可得2011+20152=2009+k2,解得k=2 017.故选D.4.在等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186a2=6,a5=15,∴公差d=a5-a23=3.∵b n=a2n,∴{b n}也为等差数列,且公差d'=2×3=6,b1=a2=6,∴数列{b n}的前5项和为5×6+5×42×6=30+60=90.5.在等差数列{a n}中,S n是它的前n项和.若S16>0,且S17<0,则当S n最大时,n的值为()A.8B.9C.10D.16S16>0,且S17<0,知16(a1+a16)2>0,且17(a1+a17)2<0,得a1+a16>0,且a1+a17<0,所以a8+a9>0,2a9<0,所以a8>0,a9<0,故当S n最大时,n=8.6.现有200根相同的钢管,把它们堆放成等边三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,则剩余钢管根数为()A.9B.10C.19D.20,第n层的钢管数为a n,则{a n}为等差数列,且公差d=1,a1=1,S n=n(n+1).要使剩余的钢管数最少,则用到的钢管数最多.因为S19=190<200,S20=210>200,所以堆放19层时,所剩钢管数最少,即剩余钢管根数为200-190=10.7.已知数列{a n}为等差数列,若a11a10<−1,且数列{an}的前n项和Sn有最大值,则使得a n>0的n的最大值为()A.11B.19C.20D.21{a n}的前n项和S n有最大值,所以等差数列{a n}的公差d<0.因为S n=n(a1+a n)2,所以使得S n>0的n的最大值,即是使a1+a n>0的n的最大值.又由a11a10<−1,得a11+a10a10<0,所以a10>0,a10+a11<0,得a11<0,所以a1+a19=2a10>0,a1+a20=a10+a11<0.故使a1+a n>0的n的最大值为19,即使得S n>0的n的最大值为19.8.若等差数列{a n}满足a5=11,a12=-3,{a n}的前n项和S n的最大值为M,则lg M等于.a5=11,a12=-3,∴公差d=a12-a57=−2.∴a 1=a 5-4d=11+8=19,S n =na 1+n (n -1)2·d=19n+n-n 2=-n 2+20n. ∴当n=10时,S n 取最大值S 10=-100+200=100, ∴M=100.故lg M=lg 100=2.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=0,S 15=25,则S n 的最小值为 .S n =na 1+n (n -1)d,得{10a 1+45d =0,15a 1+105d =25, ∴{a 1=-3,d =23. ∴S n =-3n +n (n -1)2·23=13(n 2−10n)=13(n −5)2−253.∴当n=5时,S n 有最小值−253.253 10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26,记T n =S n n 2.若存在正整数M,使得对一切正整数n,Tn ≤M 都成立,求M 的最小值.a 4-a 2=8,∴a 5-a 3=8.又a 3+a 5=26,∴a 3=9,a 5=17. ∴a n =4n-3,S n =n (1+4n -3)2=n(2n −1). ∴S n n 2=2n -1n =2−1n . ∴T n =2−1n <2.∴M ≥2.∴M 的最小值为2.★11.已知数列{a n }的前n 项和S n =-a n −(1)n -1+2(n ∈N +),数列{b n }满足b n =2n ·a n .(1)求证:数列{b n }是等差数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)设c n =log 2n a n ,数列{2c n c n+2}的前n 项和为Tn,求满足Tn <2521(n ∈N +)的n 的最大值.S n =-a n −(12)n -1+2中,令n=1,可得S 1=-a 1-1+2=a 1,解得a 1=12.∵当n ≥2时,S n-1=-a n-1−(12)n -2+2, ∴a n =S n -S n-1=-a n +a n-1+(12)n -1,即2a n =a n-1+(12)n -1, ∴2n ·a n =2n-1·a n-1+1.∵b n =2n ·a n ,∴b n =b n-1+1,b 1=2a 1=1,∴数列{b n }是以1为首项,1为公差的等差数列. ∴b n =1+(n-1)·1=n ,∴a n =n 2n .c n =log 2na n =log22n =n, ∴2c n c n+2=2n (n+2)=1n −1n+2. ∴T n =(1-13)+(12-14)+⋯+(1n -1n+2)=1+12−1n+1−1n+2. 由T n <2521,得1+12−1n+1−1n+2<2521,即1+1>13. 令f (n )=1n+1+1n+2,则f (n )是递减的. ∵f (3)=920,f(4)=1130,f(5)=1342,∴n 的最大值为4.。

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基础巩固1等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于 …( )A ．nB ．n (n ＋1)C ．n (n －1) D.n (n ＋1)22已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 101＝0，则有 ( )A ．a 1＋a 101＞0B ．a 1＋a 101＜0C ．a 1＋a 101＝0D ．a 1＋a 101的符号不确定3等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．74已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．185现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．206设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝__________.7设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则a n ＝________.8设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋1，求通项公式．9首项为正数的等差数列{a n }，它的前3项和与前11项的和相等，问此数列的前多少项的和最大？10甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1 min 走2 m ，以后每分钟比前1 min 多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min 多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？综合过关11已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．612已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＞0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N ＋恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}13已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．514设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝__________. 15在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2？这些数的和是多少？能力提升16数列{a n }的前n 项和为S n ＝nPa n (n ∈N ＋)，且a 1≠a 2.(1)求常数P 的值；(2)证明：数列{a n }是等差数列．17已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 参考答案1答案：D2解析：∵S 101＝101(a 1＋a 101)2＝0，∴a 1＋a 101＝0. 答案：C3解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，得d ＝3. 答案：B4解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝105，a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝99，解得 a 1＝39，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400，∴当n ＝20时，S n 取最大值．答案：B5解析：设由上到第n 层的钢管数为a n ，则{a n }为等差数列，且公差d ＝1，a 1＝1，S n ＝n (n ＋1)2.要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多，又S 19＝190＜200，S 20＝210＞200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少为200－190＝10.答案：B6解析：由题意得a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是一个首项a 1＝－7，公差d ＝2的等差数列．∴a 1＋a 2＋…＋a 17＝S 17＝17×(－7)＋17×162×2＝153. 答案：1537解析：设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n8分析：a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，必须验证对n ＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数来表示．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－4×1＋1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－4n ＋1)－[(n －1)2－4(n －1)＋1]＝2n －5.又a 1≠2×1－5，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －5，n ≥2，n ∈N ＋. 9分析：确定首项的符号，转化为求二次函数的最值．解：∵S 3＝S 11，∴3a 1＋12×3×(3－1)d ＝11a 1＋12×11×(11－1)d . ∴d ＝－213a 1＜0. ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－113a 1n 2＋1413a 1n ＝－113a 1(n －7)2＋4913a 1. ∴当n ＝7时，S n 有最大值，即前7项和最大．10解：(1)设n min 后第一次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70. 整理得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第一次相遇是在开始运动后7 min.(2)设m min 后第二次相遇，依题意有2m ＋m (m －1)2＋5m ＝3×70，整理得m 2＋13m －6×70＝0.解得m ＝15，m ＝－28(舍去)．∴第二次相遇是在开始运动后15 min.11解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－9＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10. 又a 1＝－8＝2×1－10，则a n ＝2n －10.所以5＜2k －10＜8，且k ∈N ＋，解得k ＝8.答案：B12解析：S 10＝10(a 1＋a 10)2＞0，则a 1＋a 10＞0，则a 5＋a 6＝a 1＋a 10＞0，又S 11＝10(a 1＋a 11)2＝0，则a 1＋a 11＝2a 6＝0，则a 6＝0，所以a 5＞0，公差d ＝a 6－a 5＝－a 5＜0，所以S n 的最大值是S 5或S 6，所以若S n ≤S k 对n ∈N ＋恒成立，则正整数k ＝5,6.答案：C13解析：a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)(b 1＋b 2n －1)2＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1.当a n b n 为整数时，12n ＋1为整数，则正整数n ＝1,2,3,5,11. 答案：D14解析：∵{a n }为等差数列，∴S 9S 5＝9(a 1＋a 9)2×25(a 1＋a 5)＝9(a 5＋a 5)5(a 3＋a 3)＝9a 55a 3＝9. 答案：915分析：这些数按大小排列后组成等差数列，转化为求等差数列的前n 项和．解：将这些数按从小到大排列，设第n 个数为a n ，则{a n }是等差数列，a 1＝2，d ＝3，则a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，令3n －1＜100，解得n ＜1013，又n ∈N ＋，∴n 的最大值为33，即有33个被3除余2的数，这些数的和是S 33＝33×2＋33×322×3＝1 650. 16(1)解：当n ＝1时，a 1＝Pa 1；若P ＝1时，a 1＋a 2＝2Pa 2＝2a 2.∴a 1＝a 2与已知矛盾，故P ≠1，则a 1＝0.当n ＝2时，a 1＋a 2＝2Pa 2，∴(2P －1)a 2＝0.∵a 1≠a 2，∴P ＝12. (2)证明：由已知S n ＝12na n ，a 1＝0. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12na n －12(n －1)a n －1，∴a n a n －1＝n －1n －2，a n －1a n －2＝n －2n －3…a 3a 2＝21. ∴a n a 2＝n －1，∴a n ＝(n －1)a 2. ∴a n －a n －1＝a 2.∴{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列．17分析：由S n ＝－32n 2＋2052n 知S n 是n 的缺常数项的二次式，所以数列{a n }为等差数列，可求出通项a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .解：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)]＝－3n ＋104. 又∵n ＝1也适合上式，∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N ＋)．由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7，即当n ≤34时，a n ＞0；当n ≥35时，a n ＜0.(1)当n ≤34时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . (2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)，32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).。

高中数学北师大版必修5同步精练122等差数列的前n项和含答案