机器人第六章-静力学与动力学
工业机器人的力学分析
第!!卷!第"期#$%&!!!’$&"!!!!!平!原!大!学!学!报()*+’,-)./0’12*,’*’0#3+4052!!!!!667年8月!(9:;&!667工业机器人的力学分析姬清华!平原大学机电工程学院"河南新乡<7"66"#!!摘!要!随着机电一体化技术的迅速发展!工业机器人在工业生产中的地位越来越重要!本文从工业机器人的力学分析入手!分别作了静力学和动力学的分析研究!为工业机器人手部及运动各构件提供了力学的分析原理及方法"关键词!工业机器人#静力学#动力学#力矩中图分类号!5/!<!W !!!文献标识码!,!!文章编号!=66>?"@<<!!667#6"?6==8?6!!!收稿日期!!667?6"?6>作者简介!姬清华$=@A 8%&!男!河南新乡人!主要从事机电一体化及数控加工方面的研究"!!随着工业机器人技术的发展"工业机器人的力学分析变得至关重要$工业机器人力学分析主要包括静力学分析和动力学分析"它们是工业机器人操作机设计%控制器设计和动态仿真的基础$P 静力学分析静力学分析是研究操作机在静态工作条件下"手臂的受力情况$P &P 静力平衡方程如图=所示"为开式链手臂中单个杆件的受力情况$杆件)通过关节)和)N =分别与杆件)U =和)N =相连接"以)关节的回转轴线和)N =关节回转轴线为2)U =和2)坐标分别建立两个坐标系)U =和)$令5)U =")表示)U =杆作用在杆上的力"5)")N =表示)杆作用在)N =杆上的力"则U 5)")N =表示)N =杆作用在)杆上的力"*)为)杆的重心"重力<1作用在*)上"于是杆件)的力平衡方程为&5)U =")N 5)N =")N <)1K 6)K ="!"’"#若以5)")N =代替5)N =")"则有&5)U =")U 5)")N=N <)1K 6!=#!!又令;)U =为)U =杆作用于)杆上的力矩"U ;)")N =为)N =杆作用于)杆的力矩"则力矩平衡方程为;)U =")U ;)")N=U !&)")N =N &)"*)#V 5)U =")N !U &)"*)#V U 5)")N =K 6!!)K ="!"’"!!#式中"第三项为5)U =")对重心取矩"第四项为U 5)")N =对重心取矩$若工业机器人操作机由#个杆件构成"则由式图=!杆件的受力分析!=#和式!!#可列出!#个方程"两式共涉及力和力矩!#g !个"因此"一般需结出两个初始条件方程才能有解$在工业机器人作业过程中"最直接受影响的是操作机手部与环境之间的作用力和力矩"故通常假设这两个量为已知"以使方程有解$从施加在操作机手部的力和力矩开始"依次从末杆件到机座求出所施加的力和力矩"将式!=#和式!!#合并并变成从前杆到后杆的递推公式"即5)U =")K 5)")N=U <)1;)U =")K ;)")N =N !&)U =")N &)"*)#V 5)U =")U !&)"*)V 5)")N =#!!)K ="!"’"#P &N 关节力和关节力矩为了使操作机保持静力平衡"需要确定驱动器对相应杆件的输入力和力短与其所引起的操作机(8==( 万方数据手部力和力矩之间的关系!令*)为驱动元件)的第)个驱动器的驱动力或驱动力矩"并假设关节处无摩擦"则有当关节是移动副时"如图!所示"*)应与该关节的作用力5)U =")在2)U =上的分量平衡"即*)K -O)U =5)U=")式中-)U =为)U =关节轴的单位向量!上式表明驱动器的输入力只与5)U =")在2)U =轴上的分量平衡"其他方向的分量由约束力平衡"约束力不作功!当关节是转动副时"*)表示驱动力距"它与作用力矩;)U =")在2)U =轴上的分量相平衡"即*)K -O)U =;)U=")图!!移动关节上的关节力N 动力学分析动力学分析是研究操作机各主动关节驱动力与手臂运动的关系"从而得出工业机器人动力学方程!目前已提出了多种动力学分析方法"这里仅就用牛顿欧拉方程建立工业机器人动力学方程作简要介绍!图"!杆件动力学方程的建立!!动力学方程可以用两个方程表达#一个用以描述质心的移动"另一个描述质心的转动!前者称为牛顿运动方程"后者称为欧拉运动方程!取工业机器人手臂的单个杆件作为自由体"其受力分析如图"所示!图中(*)为杆件)相对于固定坐标系的质心速度"+)为杆件)的转动角速度!因为固定坐标系是惯性参考系"所以将杆件)的惯性力加入到静力学方程式$=%中"于是有牛顿运动方程#5)U =")U 5)")N=N <)1U <)W (*)K 6)K ="!"&"#$"%作用在杆件)上的惯性矩是该杆件的瞬时角动量对时间的变化率!令+)为角速度向量"B )为杆件)质心处的惯量"于是角动量为B )+)!因为惯量随杆件方位的变化而变化"所以角动量对时间的导数不仅包含B )W +)"而且包含因B )的变化而引起的变化+)V B )+)"即陀螺力矩"上述两项加到静力学力矩平衡式$!%中"得;)U =")U ;)")N =N &)"*)V 5)")N =U &)U ="*)V 5)U =")U B W +)U +)V B )+)K 6)K ="!"&"#$<%公式$"%和$<%是单个杆件的动力学特性关系式"若将工业机器人的:个杆件均列出相应的上述两个方程"即得到工业机器人完整的动力学方程组的基本形式#牛顿’欧拉方程!!!参考文献!!="徐元昌#陶学恒&工业机器人!["&北京$中国轻工业出版社#=@@@&!!"陈小川#刘晓冰&虚拟制造体系及其关键技术!("&计算机辅助设计与制造#=@@@#%=6&&!""盛晓敏#邓朝晖&先进制造技术!["&北京$机械工业出版社#!66<&!<"邱士安&机电一体化技术!["&西安$西安电子科技出版社#!66<&【责任编校!李东风】@"@"’-.()(45B %*$’")*(!"U 474#_K +)"2?$,’$C "*0$#)*$+$#DX +"*8&)*$+X #1)""&)#1H "I $&8<"#8’5%)#1.3$#6#)("&7)8."9)#:)$#1"!"#$#<7"66"40)#$%@7(#1’*##_C G BG B ;F E J C II ;T ;%$J M ;:G$O [;H B E G F E :C H D "G B ;F $K $GE J J %C ;IC :C :I 9D G F L BE T ;K ;H $M ;M $F ;E :IM $F ;C M J $FG E :G &5B C D E F G CH %;E :E %L c ;D O F $M M ;H B E :C H D "I C D H 9D D ;D O F $MG B ;D G E G C H D E :II L :E M C H D D ;J E F E G ;%L E :I$O O ;F D G B ;G B ;$F C ;D $O E :E %L c C :Q E F M M $T ;M ;:G E :I H $M J$:;:G $O F $K $G D &A %.:41/(#F $K $G (D G E G C H D (I L :E M C H D (M $T ;M ;:G )A ==) 万方数据工业机器人的力学分析作者：姬清华， JI Qing-hua作者单位：平原大学,机电工程学院,河南,新乡,453003刊名：平原大学学报英文刊名：JOURNAL OF PINGYUAN UNIVERSITY年，卷(期)：2005,22(3)被引用次数：2次1.邱士安机电一体化技术 20042.盛晓敏;邓朝晖先进制造技术 20043.陈小川;刘晓冰虚拟制造体系及其关键技术 1999(10)4.徐元昌;陶学恒工业机器人 19991.陈登瑞六自由度机械手本体结构关键技术研究[学位论文]硕士 20062.张烈霞工业机器人运动及仿真研究[学位论文]硕士 2006本文链接：/Periodical_pydxxb200503036.aspx。
工业机器人静力计算及动力学ppt
将机器人的连杆和关节视为刚体，利用牛顿-欧拉方法计算各关节的力和扭矩 ，从而得到机器人的动力学行为。
基于拉格朗日方法的机器人动力学计算
拉格朗日方法
这是一种通过分析系统的动能和势能来计算动力学的方法。
应用到机器人动力学计算
利用拉格朗日方法建立机器人的动力学模型，计算各关节的力和扭矩，从而得到 机器人的动力学行为。
基于牛顿-欧拉方法的机器人静力学建模
03
工业机器人静力学的计算
刚体静力学基础
刚体的静力学基本概念
了解刚体的概念、刚体的基本形态、刚体的分类等。
刚体的静力学基本原理
掌握静力学基本原理，如力的合成与分解、力的平衡等。
工业机器人的刚体模型
工业机器人的基本结构
了解工业机器人的基本结构，如机械臂、腕部、手部等。
介绍MATLAB、Simulink的基本概念、功能及特点，以 及在机器人控制系统设计中的应用。
基于MATLAB/Simulink的机…
详细阐述利用MATLAB/Simulink进行机器人控制系统设 计的步骤和方法，包括模型建立、控制器设计、系统仿 真等。
基于ADAMS的机器人控制系统联合仿真
ADAMS软件简介
介绍ADAMS软件的基本概念、功能及特点，以及在 机器人控制系统联合仿真中的应用。
基于ADAMS的机器人控制
系统联合仿真流程
详细阐述利用ADAMS进行机器人控制系统联合仿真 的步骤和方法，包括模型建立、动力学分析、控制策 略实现等。
07
结论与展望
研究成果总结
1 2
工业机器人静力计算方法
提出了基于物理模型的静力计算方法，并验证 了其有效性。
工业机器人静力计算及动 力学ppt
机器人学_第六讲 静力学与动力学
J
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l1
cos1
l2
cos(1
2
)
l2 sin(1 2 )
l2
cos(1
2
)
JT
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
l2 sin(1 2 )
l1 cos1 l2 cos(1 2 )
l2 cos(1 2 )
J T (q)F
Y0
l1 sin1 l2 sin(1 2 )
1 90 2 90
1 l1Fx l2Fy 2 l2Fy
-90
l1 τ2
l2
Y0
τ1
90
X0
Fy F Fx
第六讲 2 动力学分析
机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学的用途：
/projects/leglab/ robots/robots.html
相应满足静力平衡条件的关节驱动力矩
J T (q)F
2，已知关节驱动力，确定机器人手部对外界环境的作用力或
负荷的质量。
F J T (q)1
第六讲 1 静力学分析-机器人的静力计算
例，下图所示的二自由度平面关节机器人，已知手部端点力
F=[Fx,Fy]T,求相应于端点力F的关节力矩（忽略关节摩擦）。
m2 gl1(1 c1) m2 gp2 (1 c12 )
Ep Epi ,i 1,2
第六讲
2 动力学分析- 二自由度平面关节机器人的动力学方程
Y0
X0
l1
p1
θ1
m1
l2
m2
θ2
p2
5 系统动力学方程
L Ek Ep
Fi
试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系
试论述机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人学是一门研究机器人的运动、力学和控制的学科。
其中，机器人的静力学、动力学和运动学是机器人学中的三个重要分支，它们之间存在着密不可分的关系。
静力学是研究机器人在静止状态下的力学特性，主要包括机器人的力学结构、质心位置、静态稳定性等。
在机器人的设计和控制中，静力学是非常重要的，因为只有在机器人的静态稳定性得到保证之后，机器人才能进行安全和可靠的运动。
静力学的研究成果，可以为机器人的控制系统提供重要的参考依据。
动力学是研究机器人在运动状态下的力学特性，主要包括机器人的动力结构、速度、加速度、惯性等。
在机器人的控制和规划中，动力学是一个非常重要的研究方向，因为只有了解机器人的动态特性，才能更加有效地控制机器人的运动。
动力学的研究成果，可以为机器人的控制系统和运动规划提供重要的参考依据。
运动学是研究机器人运动的几何特性和空间关系的学科，主要包括机器人的位置、朝向、运动轨迹等。
在机器人的控制和规划中，运动学是非常重要的研究方向，因为只有了解机器人的运动特性，才能更加有效地控制机器人的运动。
运动学的研究成果，可以为机器人的运动规划和控制系统提供重要的参考依据。
综上所述，机器人的静力学、动力学和运动学之间存在着密不可分的关系。
在机器人的设计、控制和运动规划中，这三个分支相互作用，相互影响，共同推动了
机器人技术的不断发展。
机器人学导论第六章
现在我们定义一组参量，给出刚体质量在参考坐标系 中分布的信息。图6-1表示一个刚体，坐标系建立在刚 体上。惯性张量可以在任何坐标系中定义，但一般固 连在刚体上的坐标系中定义。 坐标系中的惯性张量可用 3×3矩阵表示如下
对单个连杆的力平衡，包括惯 性力
最后得到
应用这些方程对连杆依次求解，从连杆n向内迭代 一直到机器人基座。 在静力学中，可通过计算一个连杆 施加于相邻连 杆的力矩在Z方向的分量来求得关节力矩。 移动关节
牛顿-欧拉迭代动力学算法
由关节运动计算关节力矩的完整算法由两 部分组成。第一部分是对每个连杆应用牛 顿-欧拉方程，从连杆1到连杆n向外迭代计 算连杆的速度和加速度。第二部分是从连 杆n到连杆1向内迭代计算连杆间的相互作 用力和力矩即关节驱动力矩。对于转动关 节来说，这个算法归纳如下：
机器人学导论
第6章 操作臂动力学
第六章 操作臂动力学
6.1概述 到目前为止，我们只研究了操作臂的运动 学。我们已研究了静态位置、静态力和速 度；但是从未考虑引起运动所需的力。在 本章中，将考虑操作臂的运动学方程—— 由驱动器施加的力矩或施加在操作臂上的 外力是操作臂运动。 与操作臂动力学有关的两个问题有待解决。 和 第一个问题，已知一个轨迹点 ，
可以看出惯性张量是坐标系位姿的函数。众所 周知的平行移轴定理就是在参考坐标系平移是 惯性张量如何变化的计算方法。平行移轴定理 描述了一个以刚体质心为原点的坐标系平移到 另一个坐标系是惯性张量的变换关系。
第六章 机器人动力学
第六章机器人操作臂动力学动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。
操作臂动力学有两个问题需要解决。
①动力学正问题：根据关节运动力矩或力，计算操作臂的运动（关节位移，速度和加速度）②动力学逆问题：已知轨迹运动对应的关节位移，速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。
机器人操作臂是个复杂的动力学系统，由多个连杆和多个关节组成，具有多个输入和多个输出，存在着错综复杂的耦合关系和严重的非线性。
因此，对于机器人动力学的研究，引起了十分广泛的重视。
所采用的方法很多，①有拉格朗日方法，②牛顿-欧拉方法，③高斯法，④凯恩方法，⑤旋量对偶数方法等等。
在此重点介绍牛顿-欧拉方法，它是基于运动坐标和达朗贝尔原理来建立相应的运动方程。
研究机器人动力学的目的是多方面的，动力学正问题与操作臂仿真有关，逆问题是为实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。
机器人动力学模型主要用于机器人的设计和离线编程。
在设计中需根据连杆质量，运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。
在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。
这些都必须以机器人动态模型为基础。
为了建立机器人动力学方程，在此首先讨论机器人运动的瞬时状态，对其进行速度分析和加速度分析，研究连杆的静力平衡，然后利用朗贝尔原理，将静力学平衡条件用于动力学。
§6-1连杆的速度和加速度点的速度表示一般要涉及到两个坐标系：要指明速度是相对于哪个坐标系的运动所造成的。
① 要指明在哪个坐标系中描述这一速度。
连杆I 相对于参考系{o 的速度用w i 和v i 表示; w i 是连杆坐标系{i}的角速度矢量，v i 是{i}的原点线速度矢量。
如果把两个向量在{i}中描述，即为iw i 和iv i。
为了描述刚体在不同坐标系中的运动，设有两坐标系：参考系{A}和运动坐标系{B}.{B}相对于{A}的位置矢量为0B A P ,旋转矩阵为R AB 。
机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人的静力学、动力学和运动学是机器人技术研究中三个重要领域，它们之间存在
着相互关联，协同工作，构成了机器人技术的核心。
首先，机器人静力学是指机器人操作过程中机械结构在不变的平衡状态下运动学位置
及实时运动状态估计分析，被誉为机器人外部力分析和内力传递分析的基础学科。
它主要
通过建立机器人机械结构模型，利用关节形变、外力以及内力等物理变量，计算求解机器
人的内外力特性、机构的端部间的平衡、受力特性、稳定性及物体约束特性等。
其次，机器人动力学是指机器人的运动发生时，所做动力学建模、分析及控制的研究，因此它探讨的是关节力学、碰撞识别等方面的有关问题，它主要是要求在运动过程中求解
系统运动参数或者特征值，实现机器人动态分析与控制，研究动力学模型对机器人系统动
态性能的影响。
最后，机器人运动学是指动作规划及机器人运动控制之间相关问题的研究，通过研究
机器人通过方向轮，电机和关节的作用实现有用运动的方法，涉及关节角度、运动轨迹、
几何关系、姿态成份的工程化方法。
它是对机器人机械结构分析和动力学建模的补充，探
讨机器人各关节及机构动作之间相互关系，以及机器人运动要求下，机器人运动解的计算
及实现方法，使得机器人拥有大量的姿态组合，增加机器人的全局适应性。
由此可以看出，机器人的静力学、动力学和运动学形成了一个完整的研究体系，它们
相互交织，共同工作，它们提供了对机器人运动的有效把握，从而实现机器人的运动目标。
因此，机器人的静力学、动力学和运动学十分重要，它们是实现机器人运动控制的基础，
也将在机器人研究中发挥重要作用。
机器人静力学动力学
• 质心速度
.
.
..
x2 l1 cos1 1 l2 cos(1 2 )(12 )
.
.
..
y2 l1 sin1 1 l2 sin(1 2 )(12 )
• 质心速度:
v22
.
y
2
2
.
x22
.
.
..
.
.
..
l12 12 l22 (12 21 2 22 ) 2l1l2 cos2 (12 1 2 )
JT
例题 二自由度平面关节机器人，知端点力，略摩擦、重
力，求关节力矩。 1 0 2 90 F [FX , FY ]T
解：
J
l1s1 l2 s12
l1c1
l2c12
l2 s12
l 2 c12
JT
l1s1 l2 s12 l2 s12
l1c1 l2c12
l 2 c12
1
关节虚位移
q1
q
2
q
qq43
q5
q6
虚位移原理：
W 1q1 2q2 F1 x F2 y F3 z F4
W Tq F TP
W 0
W Tq F TP Tq F T Jq ( J T F )T q 0
( J T F )T 0
JTF
雅可比转置矩阵
• 三、静力学两类问题： • 1、 正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求手部
端点能输出的力（力矩） 。
• 2、 逆向静力学—知手部端点作用力（力矩），求关 节需施加的力（力矩）。
• 机器人通常是逆向力学问题。
• §4—2 机器人动力学
• 一、动力学两类问题： • 1、 正向动力学—知各关节驱动力（力矩），求末端
静力学和动力学分析PPT课件
25
动力学普遍方程 的补充：
A
问题的引出
M
m1g m2g
O
BF
m3g
MA
m1g m2g
O
2021/3/12
B m3g
问题1：系统在图示位 置平衡，用什么方法求 F与M的关系？
问题2：系统中OA杆匀 角速转动，求在图示位 时，力偶M的大小用什 么方法？
2266
设：质点系中第i个质点的质量为mi;作用在其上的主动力Fi; 约束力FNi. 质点的惯性力为FIi
或者称为动势）
2、当主动力部分为有势力时
Qj
2021/3/12
V
(q1, q
j
, qk ) Q'j
d T dt q j
T q j
Qj
( j 1, 2,
,k)
d T dt q j
T q j
V q j
d dt
T q j
(T V ) q j
0
d L dt q j
L q j
0
2021/3/12
7
对力雅可比矩阵的补充说明：
2021/3/12
8
虚功方程力雅可比分析：
2021/3/12
9
2.2.3 机器人静力计算
机器人操作臂静力计算可分为两类问题： (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，(即手部端点力 F-F′)，利用式(2.20)求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力 矩τ。 (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用 力或负载的 质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为
24
2.3 机器人动力学方程
机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法、拉格 朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯 逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。本节介绍动力学研 究常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。
机器人静力学,动力学,运动学的关系
机器人静力学,动力学,运动学的关系机器人静力学、动力学和运动学是机器人研究领域的三个重要分支。
它们相互交叉，彼此受益，共同构成了机器人技术的完整体系。
静力学，又称静态学，是研究物体在力学作用下的运动状态和形状变化的学科。
静力学的概念先由古希腊哲学家亚里士多德提出，是研究物体在力学作用下其位置改变和力学状态的学科，它是机器人学的基础理论，它可以帮助我们了解机器人的结构装配、控制方式、总体运动规律及机器人的力学响应等。
动力学是研究物体动力运动的活动特性及受力特性的学科，其主要研究内容是计算物体运动的轨迹、受力特性和作用力等。
它是机器人技术重要的理论基础，可以用来设计机器人运动控制系统，例如驱动机构控制、坐标系变换和轨迹规划等，帮助提高机器人的运动性能和精度。
机器人运动学是研究机器人运动空间及运动规律的学科，其主要研究内容包括机器人的轨迹定义、关节运动学、反向运动学等，它可以帮助分析机器人系统的性能、识别机器人的失效原因，为机器人运动控制设计提供理论支撑。
机器人静力学、动力学和运动学紧密相互联系，它们是机器人技术的三个重要分支。
静力学可以提供机器人的运动规律，动力学则提供机器人从静态到动态运动的转归，运动学可以分析机器人的运动规律。
由于三者相互交叉，彼此受益，它们共同构成了机器人技术的完整体系。
机器人静力学、动力学和运动学的研究不断发展，它们在各种领域的应用也在不断拓展，如机器人制造、积木机器人、服务机器人、智能机器人等，其作用日益凸现。
未来，编程、控制、传感等设计将继续优化，将有助于构建更加完善可靠的系统、更加灵活多样的机器人。
总之，机器人静力学、动力学和运动学之间有着密不可分的联系，它们共同构成了一个完整的机器人技术体系。
随着未来机器人技术的发展，它们将发挥更大的作用，为人类更多的工作和生活带来更多的便利。
机器人静力学、动力学、运动学的关系
机器人静力学、动力学、运动学的关系
机器人静力学、动力学、运动学关系的研究是机器人的重要方向。
在物理学和机械工程领域，静力学、动力学和运动学是所研究内容的三大运动类科学，它们都是分析机器人的重要工具。
静力学是由斯特拉森于1847年创立的科学，用于分析机器人的力和运动条件，包括结构、几何形状、约束、重量等参数，通过分析得出机器人的运动方程及相关系数。
动力学是文德斯于1903年创立的科学，是利用牛顿力学解决机器人运动学问题的方法，可以根据静力学分析得出来的机器人结构和参数，实现求出机器人的运动参数，如移动轨迹、运动速度、加速度和旋转角度等。
运动学是根据动力学的原理描述机器人的姿态和运动特性的科学，可以用算法建模去模拟机器人的运动轨迹，以及基于视觉、惯性测量等感知系统，实时估计机器人的位姿，计算其在运动时合适的力和速度参数。
机器人静力学、动力学和运动学的研究是研究机器人的基础。
从理论上讲，静力学和动力学的研究可以为机器人提供自然环境下的运动算法，运动学则可以针对特定环境中的机器人进行更精确的解析，从而让机器人的运动更加准确、稳定和可控。
综上所述，我们可以得出总结：机器人静力学、动力学和运动学是机器人研究中不可割舍的重要组成部分，它们分析机器人的运动参数及相关力，为机器人运动提供重要的技术支撑，是实现精确、稳定的机器人运动的坚实基础。
机器人基础原理 第6章 静力学及动力学建模
2
q k
j 1 k 1 q j
• 连杆3的动能为:
T
3
3
T3
T3
1
3
3 T
K3 dK3 Trace
( rp rp dm) q j qk Nhomakorabea2
q
q
j 1 k 1 j link3
k
link3
2024/2/17
gT Ti i rdm gT Ti
link i
i
rdm
link i
g T Ti mi i ri mi g T Ti i ri
2024/2/17
13
动能和位能的计算
• 连杆i上位置ir 处的质点dm，其位能为：
dPi dmg r g Ti rdm
T0
T
i
• 机械手系统的总位能为：
I
q i q
k
j
Ti T TiT
Ti TiT
Ii
Ii
Trace
Trace
q j
qk
qk q j
n
i
Ti Ti T
L
Trace
Ii
q p i 1 k 1
qk q p
2024/2/17
机器人基础原理 第6章静力学及动力学建模
• 当不考虑机器人的柔性时，可将机器人视为多刚体
系统。
• 机器人动力学建模方法主要有两种：
• 一种是基于能量平衡的拉格朗日方程方法，
• 另一种是基于力平衡的牛顿-欧拉方程方法。
试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。
试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。
静力学、动力学和运动学是机器人学中的三大重要分支，也是机器人机械系统设计和分析的基础。
它们之间具有千丝万缕的联系，彼此间互相依赖。
首先，让我们来看一下静力学。
静力学是研究机器人静止物体，尤其是机器人结构的运动学性质的一门学科，是分析机器人结构内力、力矩、力矩惯性矩阵并确定机器人所处的动力学状态的研究对象。
它主要研究包括机械系统的结构分析、运动学分析、力学模型建立、力学计算等，并在此基础上为动力学分析和机械动力学分析提供有力的依据。
其次，动力学是研究机器人在实际环境中的运动过程的一门学科。
动力学研究的基础是静力学，它考察机器人结构在其运动过程中会受到的外力和内力；不同类型的外力会造成机器人总体运动有所不同，但机械系统本质上也具有力学性质，所以运动特性的研究依赖于动力学以及机器人结构的力学属性。
最后，运动学可以被定义为研究在静力学的基础上运动物体末端相对位姿和状态的研究。
它主要是分析机器人结构的全局位置变换、及其所服从的动力学控制。
它通过对机器人运动路径及时间建模和控制，从而实现相应的机器人系统功能。
机器人第六章-静力学与动力学
—（2）
11
四、动力学方程中各系数的物理意义 将前面结果重新写成简单的形式 ：
1 D111 D122 D11112 D12222 D11221 D 2 D211 D222 D21112 D22222 D21212 D 22121 D2
系数 D 的物理意义：
Dii —关节 i 的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节 i M J ） 处的加速度 i 引起的关节 i 处的力矩为 Dii i（ i Dij —关节 i 和 j 之间的耦合惯量 。由关节 i 或 j 的加速度 j）所引起的关节 i 和 j 处的力矩为 D 或 （ ij i 或 ij j i
一、研究目的： 1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。 2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制） 在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有 效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各 关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。 二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1 、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器 人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 , ，称为动力学正问题）。 和 2 、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力 和 ，求 , 称为动力学逆问题 ）。 （矩）（即已知 ,
j 处的速度作用在关节 k 处的哥氏力，哥氏力是由于 牵连运动是转动造成的。
Di —关节 i 处的重力项 。重力项只与 m 大小、长度 d 以 及机构的结构图形（1, 2 ）有关。
比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到 有效惯量系数：
2 D11 [(m1 m2 )d12 m2 d2 2m2 d1d2 cos(2 )]
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1 1
8
对 x求导得速度分量：
x2 d1cos(1)1 d2 cos(12)(1 2) y2 d1sin(1)1 d2 sin(1 2)(1 2)
v22 x22 y22 d1212 d22(12 212 22) 2d1d2 cos(2)(12 12)
动能：
K2
势能：
1 2
m2d1212
它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡
所应提供的关节力或关节力矩，记作
r
i
uur ki uFuiur Nhomakorabeari，其大小为
ki M i
3
当忽略杆件自重时
ur Gi
，上式可简记为 ：
ur i Fi uur i Mi
r r
i
ur i R i 1
ur i Ri1
0 ur i R i 1
6
6.3 二杆机器人的拉格朗日方程 6.3.1 刚体系统拉格朗日方程
应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。
定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。
❖ 系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、 圆柱坐标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。
动力学方程为：
二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器
人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 , 和 ，称为动力学正问题）。
2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力
（矩）（即已知 ,和，求 , 称为动力学逆问题 ）。 5
三、动力学研究方法：
ur i1 F i1 uur i M i1
4
6-2 机器人动力学概述
一、研究目的：
1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。 2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）
在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有 效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各 关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。
uur M i1
yi1
r
ri
Oi 1
Oi
rrCi
xi
Gi mi g
Li1 xi 1
2
按静力学方法，把这些力、力矩简化到 Li 的固联坐标系
oi xi yi ziuur，可u得uur： ur
uFuir
Fuiur1
Gi r
ur
r ur
M i M i1 ri F i1 rCi Gi
或
uur uFui uir
对质点 m1：
2
动能：
k1
1 2
m1v1
1 2
m1
(d1
&1 )2
1 2
m1d12&12
势能： p1 m1g d1 cos(1)
❖（负号与坐标系建立有关）
对质点 m2 ： 先写出直角坐标表达式：
x2 d1sin(1) d2 sin(12) y2 d1 cos(1) d2 cos(1 2)
m2 d1d 2
cos(2 )(&12
12 )
(m1 m2 )g d1s(1) m2 gd2 cos(1 2 )
L(1,2,1,2)
9
三、动力学方程
先求第一个关节上的力矩 1
L
1
(m1
m2
)d121
第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，难以 用于机器人实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象 的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其 适合于实时控制的要求，是机器人动力学研究追求的目标。
1
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递
作用在有操力作矩u机r 中Muu，ruiur任1和取力两uFr连i1杆；在Li杆，LiL1i。上设作在用杆有自Li重1上力的GurO〔i i过1 点质
心 Ci ）；ri 和 rCi 分别为由 Oi 到 Oi1 和 Ci 的向径。
zi
yi
ur F i1
zi 1
Ri i 1
ur i1 F i1
uuuur
Mii
R M i
i 1
i1 i1
uuur R0iuGr i0 rii
ur
Ri i 1
F
i 1 i 1
uur rCii
R0i
uuur Gi 0
uur
ur
式求中出GuFi0r i
和mMuurii
g( 在
mi 为杆 Li 的质量)。
zi 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，
1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建 立机器人的动力学方程 。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、 J.M.Hollerbach等。计算量O(n4)，经优化O(n3)，递推O(n)。
2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动 表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程 的动力学方程。代表人物Orin, Luh(陆养生)等。计算量O(n)。
i
d dt
L q&i
L qi
广义力 广义速度 广义坐标
（力或力矩）（ 或 v） （ 或 d ） 7
6.3.2 机器人拉格朗日方程
设二杆机器人臂杆长度分别为 d1, d2 ，质量 分别集中在端点为 m1, m2 ，坐标系选取如图。
以下分别计算方程中各项：
一、动能和势能
K 1 mv2 P mgh
1 2
m2d22
(12
212 22 )
m2d1d2
cos(2 )(12
12 )
P2 m2gd1cos(1) m2gd2 cos(1 2)
二、Lagrange函数
L K P (k1 k2 ) ( p1 p2 )
1 2
(m1
m2 )d12&12
1 2
m2d22 (&12
2&1&2 &22 )
3．高斯原理法: 利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动 力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏). 用以解决第 二类问题。计算量O(n3)。
4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学 方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进 行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必 求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计 算量O(n!)。