复数运算2010810071何荣贤
高中数学中的复数运算公式总结
高中数学中的复数运算公式总结在高中数学中，复数是一个重要的概念，而掌握复数的运算公式对于解决相关问题至关重要。
复数的运算包括加、减、乘、除等，下面我们就来详细总结一下这些运算公式。
一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（其中\（a\）、＼（b\）均为实数，＼（i\）为虚数单位，且\（i^2 ＝－1\））的数称为复数。
其中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
二、复数的四则运算1、加法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和为：＼z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 2i\），则\（z_1 ＋ z_2＝（2 ＋ 1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i\）2、减法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的差为：＼z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 5 ＋ 4i\），＼（z_2 ＝ 3 ＋ 2i\），则\（z_1 z_2＝（5 3) ＋（4 2)i ＝ 2 ＋ 2i\）3、乘法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的积为：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（a_1 ＋ b_1i)（a_2 ＋ b_2i)＼＼＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)＼＼＆＝2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i^2\＼＆＝2 ＋ 7i 6\＼＆＝－4 ＋ 7i＼end{align}＼4、除法运算将复数\（＼frac{z_1}｛z_2}＼）（＼（z_2 ＼neq 0\））的运算转化为乘法运算，即分子分母同时乘以\（z_2\）的共轭复数\（＼overline{z_2} ＝ a_2 b_2i\），得到：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{z_1 ＼cdot ＼overline{z_2}｝｛z_2 ＼cdot ＼overline{z_2}｝＼＼＆＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＆＝＼frac{（a_1a_2 ＋ b_1b_2) ＋（b_1a_2 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 4 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{（4 ＋ 3i)（1 2i)｝｛（1 ＋ 2i)（1 2i)｝＼＼＆＝＼frac{4 8i ＋ 3i 6i^2}｛1 4i^2}＼＼＆＝＼frac{4 5i ＋ 6}｛1 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{10 5i}｛5}＼＼＆＝2 i＼end{align}＼三、复数的乘方运算1、＼（i\）的幂次规律＼（i^1 ＝ i\），＼（i^2 ＝－1\），＼（i^3 ＝ i\），＼（i^4 ＝1\）。
复数运算公式大全
复数运算公式大全复数运算是数学中一个很重要的知识点，下面是整理的一些复数运算公式，希望能在数学的学习上给大家带来帮助。
一.复数运算法则复数运算法则有加减法、乘除法。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律。
二.复数运算公式1.加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
2、减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
3、乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
4、除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭.。
所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。
RIPv2练习配置实验报告-何荣贤
集美大学计算机工程学院实验报告课程名称计算机网络实验名称实验5RIPv2 练习配置实验日期2012/5/22 地点陆大0316班级计算1013 老师耿少峰组号 D 组长何荣贤组员学号王巧珍2010810065龚滢峰2010810066何荣贤2010810071罗忠霖2010810072张华2010810085庄晨武20108100881.实验目的：完成本实验后，您将能够：• 按照需要设计有效的VLSM 。
• 为接口分配正确的地址并记录地址。
• 根据拓扑图进行网络布线。
• 清除启动配置并将路由器重新加载为默认状态。
• 配置路由器使用RIP第2 版。
• 配置并传播静态默认路由。
• 检验RIP第2 版工作情况。
• 测试并校验网络是否完全通畅。
• 思考网络实施并整理成文档。
2.拓扑图及其场景：设备接口ip地址子网掩码默认网关BRANCH Fa 0/0 192.168.40.129 255.255.255.192 否Fa 0/0 192.168.40.193 255.255.255.240S0/0/0 192.168.40.209 255.255.255.252HQ Fa 0/0 192.168.40.1 255.255.255.192 否Fa 0/0 192.168.40.65 255.255.255.192S0/0/0 192.168.40.210 255.255.255.252S0/0/1 209.165.202.158 255.255.255.224ISP Fa 0/0 209.165.202.129 255.255.255.224 否S0/0/0 192.168.40.129 255.255.255.192PC1 网卡192.168.40.190 255.255.255.240 192.168.40.129 PC2 网卡192.168.40.206 255.255.255.192 192.168.40.193 PC3 网卡192.168.40.62 255.255.255.192 192.168.40.1 PC4 网卡192.168.40.126 255.255.255.224 192.168.40.65 PC5 网卡192.168.40.254 255.255.255.224 209.165.200.225场景：在本次实验练习中，您将得到一个网络地址，您必须使用VLSM 对其进行子网划分以便完成如拓扑结构图所示的网络编址。
复数的基本运算有哪些(二)2024
复数的基本运算有哪些（二）引言概述：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示在平面上的点或向量。
在数学中，复数有着独特的运算规则和特性。
本文将介绍复数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法，并探讨复数的共轭和模。
正文：一、复数的加法运算1. 实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数的实部和虚部。
2. 加法满足交换律和结合律。
3. 定义了复数加法后，可以将其扩展到多个复数的加法。
二、复数的减法运算1. 复数减法相当于复数加上其相反数。
2. 实部与实部相减，虚部与虚部相减，得到新的复数的实部和虚部。
三、复数的乘法运算1. 两个复数相乘可以使用分配律和乘法的定义。
2. 实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，得到新的复数的实部和虚部。
3. 复数的乘法满足交换律和结合律。
四、复数的除法运算1. 两个复数相除可以利用复数的乘法和分数的定义。
2. 正确计算复数除法需要将分母有理化，即乘上分母的共轭。
3. 实部除以实部，虚部除以虚部，得到新的复数的实部和虚部。
五、复数的共轭和模1. 复数的共轭是将复数的虚部取负得到的新复数。
2. 复数的模（绝对值）是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
3. 共轭和模满足一些重要的性质，如共轭的共轭是原复数本身，模的平方是复数乘以其共轭。
总结：复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，它们都遵循一定的运算规则和性质。
同时，复数还有共轭和模的概念，可以用来解决一些实际问题。
通过熟练掌握复数的基本运算，可以更好地理解和应用复数在数学和物理问题中的作用。
高中数学复数的运算
高中数学复数的运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部构成，可以用来描述平面上的向量、电路中的电压和电流等等。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，下面将详细讨论这些运算的规则。
一、复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i表示虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
二、复数的加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘，按照分配律，实部和虚部相互乘。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法两个复数相除，可以通过乘以共轭复数来进行。
即，对于复数a+bi 来说，它的共轭复数为a-bi。
将两个复数相乘再除以共轭复数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[c^2+d^2]=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
六、复数的运算性质复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
七、复数的乘方和开方运算复数的乘方运算可以通过将其转化为三角形式来进行。
例如：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为模长，θ为辐角。
复数的开方运算可以通过将其转化为代数形式，并利用公式进行计算。
综上所述，高中数学中涉及到复数的运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
我们可以使用代数形式或者三角形式来表示复数，并利用相应的运算规则进行计算。
熟练掌握复数的运算规则，将有助于解决实际问题和应用到其他数学领域中。
复数的定义与基本运算
复数的定义与基本运算复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
复数一般形式为a+bi，其中a 和b都是实数，i表示虚数单位，满足i²=-1。
本文将介绍复数的定义以及基本运算。
一、复数的定义复数是包含实部和虚部的数。
其中，实部和虚部都是实数，可以用图象、代数或极坐标形式来表示。
复数的定义如下：z = a + bi其中，z表示一个复数，a是实部，b是虚部，i表示虚数单位。
二、基本运算1. 复数的加法复数的加法是将两个复数的实部和虚部分别相加。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的和可以表示为：z = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法复数的减法是将两个复数的实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的差可以表示为：z = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法复数的乘法是根据乘法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的乘积可以表示为：z = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad + bc)i4. 复数的除法复数的除法是根据除法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的商可以表示为：z = (a+bi) / (c+di)= (a+bi) * (c-di) / (c²+d²)= (ac+bd) / (c²+d²) + (bc-ad)i / (c²+d²)三、复数的共轭和模1. 共轭复数一个复数的共轭是将其虚部取负。
例如，给定一个复数z=a+bi，它的共轭可以表示为：z* = a-bi2. 复数的模一个复数的模表示复平面上从原点到该复数所对应点的距离。
复数z=a+bi的模可以表示为：|z| = √(a²+b²)四、实部、虚部和纯虚数在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
复数的运算法则（2020）
复数的运算法则（2020）C++ 复数运算完成复数类的运算符重载函数，包括：基本算术运算（+、-、*、-、=）自增自减运算（前置++、后置++、前置–、后置–）流运算符（、）z=a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
运算法则：加法： (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法：(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(bc+ad)i除法：(a+bi)-(c+di)=(ac+bd)-(c2+d2) +((bc-ad)-(c2+d2))i由上面题目得知，该复数需要运用到重载函数。
所以先写一个.h 头文件，如下Plural.h文件#pragma once#include iostreamusing namespace std;class Plural {Plural(double x = 0, double y = 0) {before = x;after = y;--基本算术运算friend Plural operator + (const Plural, const Plural); friend Plural operator - (const Plural, const Plural); friend Plural operator * (const Plural, const Plural); friend Plural operator - (const Plural, const Plural); Plural operator = (const Plural);--自增自减运算Plural operator ++(int);--后置++Plural operator --();--前置--Plural operator --(int);--后置----流运算符（、）friend ostream operator (ostream output, Plural); friend istream operator (istream input, Plural); private:double before, after;然后创建一个.cpp文件（要和.h文件同名）。
通讯录管理系统--071何荣贤
《数据结构》实验报告题目： 实验七 通讯录管理系统学号：2010810071 成 绩班级： 计算1013日期：2011.12.13 姓名：何荣贤指导老师：杨艳华一、实验目的：本次的实验目的在于使读者深入了解查找表的特性，掌握各种查找方法，以便在实际问题背景下灵活运用他们；并且回顾文件操作的使用。
二、实验环境：本次试验在VC++环境下调试。
三、实验内容与完成情况：1．问题描述编程完成通讯录的一般性管理工作，如通讯录中记录的增加、修改、查找、删除、输出等功能。
2．基本要求一个完整的系统应具有以下功能：⑴每个记录包含姓名、电话号码、住址等个人信息；⑵将建立的通讯录以磁盘文件的形式存储，所有的通讯录管理活动均以文件操作的方式进 行；⑶在查找通讯录中的记录时，以记录的“姓名”为查找关键字进行查找。
3.程序代码#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<conio.h>#define header1 "|---------------------电话簿-----------------------|\n" #define header2 "| num | name | phonenum | address |\n" #define header3 "|-------|----------|---------------|---------------|\n" #define end "|----------------------结束------------------------|"#define N 100typedef struct tele{int num;char name[10];char address[20];}telebook;void menu(){system("cls");printf("\n\n\n"); /*输出主菜单*/printf("\t\t|* **** 欢迎进入电话薄管理系统! **** *|\n"); printf("\t\t|********************menu********************|\n"); printf("\t\t| |\n"); printf("\t\t| 1 增加 2 读取 |\n"); printf("\t\t| |\n"); printf("\t\t| 3 查找 4 修改 |\n"); printf("\t\t| |\n"); printf("\t\t| 5 删除 6 排序 |\n"); printf("\t\t| |\n"); printf("\t\t| 0 退出 |\n"); printf("\t\t|********************************************|\n"); }void printheader() /*输出菜单头*/{printf(header1);printf(header2);printf(header3);}int add(telebook temp[]){int i;int m=0;FILE *fp;system("cls");exit(0);}printf("每次输入一百个人的信息!\n");printf("如果输入0退出输入!\n");for(i=m;i<(100+m);i++){printf("num:");scanf("%d",&temp[i].num);if(temp[i].num==0)break;printf("name:");scanf("%s",&temp[i].name);printf("phonenum:");scanf("%s",&temp[i].phonenum);printf("address:");scanf("%s",&temp[i].address);fwrite(&temp[i],sizeof(struct tele),1,fp);}m+=100;fclose(fp);system("cls");return 0;}int read(telebook temp[]){int count,i;FILE *fp;system("cls");exit(0);}printheader();for(count=0;fread(&temp[count],sizeof(struct tele),1,fp)==1;count++);/*读取文件内信息的个数。
复数运算的几何意义
的点) 的距离. 2. 乘法
( 1) z ( cos + i sin ) , 表示将 z 对应的向量
逆时钟旋转角度 ; z ( cos - i sin ) , 表示将 z 对应的向量顺时钟旋转角度 .
( 2) 设复数 z 1、z 2、p 分别对应点 A 、B、P , 则 PA ! PB ( z 2- p ) = ai ∀( z 1- p ) ( a # R,
同理 % BOP = 60&, 所以 % A OB = 120&. 同理可证
% BOC = 120&, % COA = 120&. ( 本期∋ 高中竞赛初级讲座(特邀编辑 刘康宁)
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6 40
1 ) 2<
2
0.
导析: 由条件: ∋ | z 1 + z 2 | = | z 1- z 2 | (的
几何意义, 一眼就可看出平行四边形两条对角
线的长相等, 进而知四边形为矩形. 现在的问
题是:
∋
矩形( 对证 明(
z z
1)
2
2<
0 有何帮助?
复数的运算认识复数和复数的运算
复数的运算认识复数和复数的运算复数是数学中的一个概念，它不同于实数，它包含一个实部和一个虚部。
复数的表示形式一般为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
一、复数的加法复数的加法遵循实部与实部相加，虚部与虚部相加的原则。
简单来说，将两个复数的实部和虚部分别相加即可。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的加法运算可以表示为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i二、复数的减法复数的减法与加法类似，同样遵循实部与实部相减，虚部与虚部相减的原则。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的减法运算可以表示为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法复数的乘法是按照分配率进行计算的，即将一个复数的每一项与另一个复数的每一项相乘，然后将结果相加。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的乘法运算可以表示为：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i的平方等于-1，所以可以进一步简化乘法运算：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bd(-1) = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法复数的除法是通过将除法转化为乘法来进行计算的。
具体方法是将除数分子分母同时乘以除数的共轭复数，然后按照乘法的规则进行计算。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的除法运算可以表示为：(a+bi) / (c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di)= (ac-adi+bci-bdi^2) / (c^2-d^2i^2)= (ac-adi+bci+bd) / (c^2+d^2)= [(ac+bd)+(bc-ad)i] / (c^2+d^2)根据虚数单位的定义，i的平方等于-1，所以可以进一步简化除法运算：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i] / (c^2+d^2)综上所述，复数的运算涉及加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
复数的运算与坐标表示
复数的运算与坐标表示复数是由实部和虚部组成的数。
在复数的运算中，我们可以进行加法、减法、乘法和除法的操作。
本文将介绍复数的基本概念、运算规则以及坐标表示方式。
一、复数的基本概念复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
实部和虚部都可以是实数。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法可以直接对实部和虚部进行运算。
假设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的加法和减法运算如下：加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i三、复数的乘法复数的乘法需要应用乘法的基本规则和虚数单位i的平方等于-1。
假设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的乘法运算如下：乘法：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i四、复数的除法复数的除法需要应用除法的基本规则和虚数单位i的平方等于-1。
假设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的除法运算如下：除法：z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i五、复数的坐标表示复数可以使用坐标在复平面上进行表示。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
将复数z=a+bi表示在复平面上，可以将实部a对应于横坐标，虚部b对应于纵坐标。
例如，复数2+3i可以表示为复平面上的一个点(2, 3)。
在复平面上，可以进行复数的加法和减法。
复数的加法表示为在复平面上两个点的坐标相加，复数的减法表示为在复平面上两个点的坐标相减。
六、总结复数的运算涉及加法、减法、乘法和除法。
在进行复数的运算时，需要对实部和虚部进行分别操作，并应用虚数单位i的平方等于-1。
复数也可以使用复平面上的坐标进行表示，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
复数的运算与坐标表示提供了一种便捷的方式来处理涉及实部和虚部的数学问题。
通过掌握复数的基本概念、运算规则和坐标表示方法，我们可以更好地理解和应用复数的概念。
复数的运算与方程的解法
复数的运算与方程的解法复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a表示实部，b表示虚部，i表示虚数单位。
复数在数学中起着非常重要的作用，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
复数的运算包括四则运算和幂次运算，而解复数方程则是找到满足方程的复数解。
一、复数的四则运算1. 加法复数的加法可以直接将实部相加，虚部相加，即 (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法复数的减法可以直接将实部相减，虚部相减，即 (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法复数的乘法可以使用分配律展开计算，即 (a+bi) × (c+di) = ac + adi + bci - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i。
4. 除法复数的除法可以通过有理化的方法计算，即先将分母的虚部变为实数，再进行乘法运算，最后将结果分别除以分母的模长的平方，即(a+bi) ÷ (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
二、复数方程的解法解复数方程的一般思路是将复数方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程得到复数解。
1. 一元一次复数方程一元一次复数方程的一般形式为 a(z+c) + b = 0，其中 a、b、c都是已知的复数，而 z 是未知的复数。
解这样的方程可以通过将方程转化为代数方程进行计算。
例如，要解方程 (3+z) + 2i = 0，可以将复数 z 写为 x + yi 的形式，代入方程进行计算。
得到 3+x + 2i + 2xi - y = 0，将实部和虚部分别等于0，得到 3+x+2xy = 0 和 2-x+y = 0 两个代数方程，解得 x=-3/13，y=-17/13。
所以原方程的解为 z = -3/13 - 17i/13。
2. 一元二次复数方程一元二次复数方程的一般形式为 az^2 + bz + c = 0，其中 a、b、c 都是已知的复数，而 z 是未知的复数。
根据高中数学复数定理总结：复数的运算与表示方式
根据高中数学复数定理总结：复数的运算与表示方式1. 复数的定义与表示方式复数是由实部和虚部组成的数。
通常情况下，可以用 a+bi 的形式来表示一个复数，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
例如，复数 z 可以表示为 z = a + bi。
2. 复数的运算规则2.1 复数的加法与减法复数的加法和减法可以分别通过实部和虚部的运算来进行。
具体规则如下：- 加法：将实部和虚部分别相加。
- 减法：将实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，它们的和为 z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i，差为 z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
2.2 复数的乘法与除法复数的乘法和除法可以通过展开公式来进行。
具体规则如下：- 乘法：实部相乘减去虚部相乘，并将实部与虚部相乘后再相加。
- 除法：将被除数与除数的共轭复数相乘，再除以除数的模的平方。
例如，给定两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，它们的乘积为z1 \* z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i，商为 z1 / z2 = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc - ad) / (c^2 + d^2)]i。
3. 复数的共轭与模3.1 复数的共轭一个复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的复数。
共轭复数可以通过改变虚部的符号来得到。
例如，给定一个复数 z = a + bi，则它的共轭为 z* = a - bi。
3.2 复数的模一个复数的模是指将实部和虚部的平方和的平方根。
模可以表示复数到原点的距离。
例如，给定一个复数 z = a + bi，则它的模为|z| = √(a^2 + b^2)。
总结复数的运算与表示方式包括复数的加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法可以通过实部和虚部运算得到，乘法和除法可以通过展开公式或共轭复数得到。
复数的运算
z1 z1 z = z 2 2
z
n
=
(z )
n
复数加法的几何意义
y
Z2
Z
Z1
O
x
复数减法的几何意义
y
Z
两个复数的差 z z1
(即OZ OZ )与连结
1
Z1
O
x
两个向量终点并指向 被减数的向量对应。
点Z1、Z 2的距离等于z2 z1
复数的三角形式
z = a + bi = r (cos θ + i sin θ
r1
Z1
θ 2 θ1 + θ 2
x
复数除法的几何意义
向量OZ1与OZ 2的长度之比为复数 z2与z1的模之比。
向量 OZ 1到OZ 2的角为 z 2与 z1的 辐角的差。
重要结论
z1 是纯虚数 OZ1 ⊥ OZ 2 z2 z1 是实数 z1、z2对应的向量 z2 互相平行。
运算与模
z1 z 2 z1 z 2 = z1 z2 z
复数的运算
复数的代数形式的运算
四则运算
( (1)加减：a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i
(a ( 2 )乘除： + bi )(c + di ) = (ac bd ) + (bc + ad )i
(a + bi) = (a + bi)(c di) = (ac + bd ) + (bc ad )i 2 2 (c + di) (c + di)(c di) c +d
n
θ + 2 kπ θ + 2 kπ r cos + sin (k = 0 ,1, 2 , n 1) n n
复数运算方法与几何解释
复数运算方法与几何解释复数是数学中一种重要的概念，它包含了实数和虚数两部分。
复数的运算方法与几何解释密切相关，本文将从数学角度探讨复数的运算方法，并结合几何解释进行说明。
一、复数的定义与表示方法复数由实部和虚部组成，通常用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位。
实部和虚部都可以是实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
复数的加法、减法、乘法和除法运算与实数的运算法则类似，但需要注意虚数单位i的特殊性。
二、复数的加法与减法复数的加法与减法可以通过实部和虚部的分别相加或相减来实现。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和z=z1+z2的实部为a=a1+a2，虚部为b=b1+b2i。
同样地，它们的差z=z1-z2的实部为a=a1-a2，虚部为b=b1-b2i。
这种运算方法可以通过几何解释来理解。
三、复数的乘法与除法复数的乘法可以通过实部和虚部的分别相乘并相加来实现。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘积z=z1*z2的实部为a=a1*a2-b1*b2，虚部为b=a1*b2+a2*b1。
复数的除法可以通过乘以倒数来实现，即z=z1/z2=z1*(1/z2)。
其中，1/z2的实部为a=a2/(a2^2+b2^2)，虚部为b=-b2/(a2^2+b2^2)。
这种运算方法同样可以通过几何解释来理解。
四、复数的几何解释复数可以通过平面上的点来进行几何解释。
实部和虚部分别对应于点在x轴和y轴上的投影，复数本身对应于平面上的一个点。
复数的加法和减法可以通过向量的相加和相减来实现，乘法可以通过向量的旋转和缩放来实现，除法可以通过向量的旋转和缩放的逆过程来实现。
这种几何解释使得复数在几何学中有着广泛的应用，例如在旋转、缩放和平移等变换中。
五、复数运算方法的应用复数运算方法在物理学、工程学和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
例如，在电路分析中，复数可以用来描述交流电信号的相位和幅度；在信号处理中，复数可以用来进行频域分析和滤波处理；在计算机图形学中，复数可以用来描述二维变换和旋转。
《复数的四则运算》复数(复数的乘、除运算)-高中数学A版必修二PPT课件
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问题导学
预习教材 P77－P79 的内容，思考以下问题： 1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？
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设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(_a_c_－__b_d_)_＋__(_a_d_＋__b_c_)_i __．
(2)复数乘法的运算律
对任意复数 z1，z2，z3∈C，有
栏目 导引
第七章 复 数
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数乘法的运算法则
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高三数学复数的运算1
§4.2复数的运算课时安排4课时从容说课本节包括复数的代数形式的加法、减法运算法则，复数加法、减法运算的几何意义等内容.复数的代数形式的加法运算法则是一种规定，在讲这个规定时，应通过以下几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：（1）当b=0,d=0时，与实数加法法则一致；（2）验证实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立；（3）符合向量加法的平行四边形法则.在教学中，让学生自主探索复数的加法满足交换律、结合律并证明.同时让学生通过平面向量类比到复数，然后研究复数的加法运算的几何意义,引导学生从向量角度出发.复平面内所有以原点为起点的向量所成的集合一一对应.提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（合向量），画出向量后，提问与它对应的复数是什么？这个探索过程是十分重要的.由于复数的减法是加法的逆运算，因此，讲复数减法的几何意义时，应对照加法的几何意义来讲，也可以从向量减法的运算来讲，这样，容易让学生接受和理解，使学生的知识结构更加完善.在本节教学中要培养学生的思维能力、运算能力、实践操作能力和创新能力.特别是思维能力的培养，需要在每一节课中去训练.同时也要训练学生的个性品质，这是2005年新的《考试大纲》中所强调的.第二课时课题§4.2.1复数的加法运算及几何意义教学目标一、教学知识点1.理解并掌握复数的代数形式的加法运算法则、共轭复数的加法运算的性质.2.掌握复数加法的几何意义.3.掌握复数加法与模的不等式｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜.二、能力训练要求1.能进行复数代数形式的加法运算，并能利用加法法则的几何意义解决一些实际问题.2.会运用模性质｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜求复数模的最大值和最小值.三、德育渗透目标1.培养学生数形结合、分类讨论、方程思想、等价转化思想及由特殊到一般的合情推理的方法等数学思想和方法.2.培养学生实与虚、分与合、数与形、动与静的辩证唯物主义观点，对学生的认识观、价值观进行有机地教育.3.培养学生学会思考问题的方式和方法，培养他们勇于创新的精神，培养学生的实际动手操作实践的能力，磨练学生的意志.教学重点复数的加法运算法则和加法的几何意义是教学重点，复数加法运算是复数四则运算的基础，它的几何意义是复数与几何衔接的桥梁.教学难点复数的加法运算法则及几何意义是教学的难点,这个法则是规定的，对学生的理解来说是较困难的.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在讲解这个规定时，应通过以下几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性.(1)当b=0,d=0时，与实数加法法则的一致性；（2）验证实数运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立；（3）符合向量加法的平行四边形法则.教具准备实物投影仪（或幻灯机、幻灯片等）.教学过程Ⅰ.课题导入图4-1［师］我们学习过平面向量的加法运算，它是按照平行四边形法则来进行的.如平面向量1oz =(2,1), 2oz =(1,3),那么oz 的坐标表示是什么？［生］由平面向量的加法运算法则有21oz oz +=(2+1,1+3)=(3,4). ［师］21oz oz +的几何意义呢？也可以说是几何法则.［生］以1oz 、2oz 为邻边作平行四边形，从原点出发的对角线oz 所对应的向量oz 就是加法的几何意义，即21oz oz +=. ［师］上节课我们学习了复数可以用向量表示，那么上述向量1oz 、2oz 、它们所对应的复数是什么呢？ ［生］1oz 对应的复数是z 1=2+i ，2oz 对应的复数是z 2=1+3i, 对应的复数是z=3+4i.［师］从复数z 1、z 2、z 所对应的向量上看，满足21oz oz +=即加法运算，那么复数z 为什么是z 1与z 2的和呢？又如何规定它的运算法则呢？这就是这节课我们来学习的内容：复数的加法运算(板书课题).Ⅱ.讲授新课(一)概念引入［师］从上面我们已经看出：复数z 就是z 1与z 2的和，即z=z 1+z 2.那么一般情况如何呢？设z 1=a +b i,z 2=c +d i(a 、b 、c 、d ∈R).z 1+z 2对应的复数是什么呢？图4-2［生］利用平面向量的加法运算来定义复数的加法运算.设复数z 1=a +b i,z 2=c +d i,在复平面上所对应的向量为1oz 、2oz ,即1oz 、2oz 的坐标形式为1oz =(a ,b ), 2oz =(c ,d ).以1oz 、2oz 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2,则对角线OZ 对应的向量是，∴21oz oz oz +==（a ,b ）+(c ,d )=(a +c ,b +d ).设向量oz 对应的复数为x∴(a +c ,b +d )对应的复数为(a +c )+(b +d )i.∴⎩⎨⎧+=+=.,d b y c a x ∴复数z 1与z 2的和就定义为z 1+z 2=(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i. ［师］这样，复数的加法可以按照以下的法则进行：设z 1=a +b i,z 2=c +d i 是任意两个复数，那么它们的和(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i. 由这个运算法则，我们能联想到哪些知识？［生甲］平面向量的加法运算及坐标运算.［生乙］联想到初中我们学习的知识：合并同类项.［生丙］联想到无理数运算时，合并方法,即(a+b2)+(c+d2)=(a+c)+(b+d)2.(这里a、b、c、d都是有理数).［生丁］两个复数的和仍是一个复数.（学生的联想能力是很丰富的，应该鼓励学生大胆地联想，只有联想，才能将自己所学的知识不断地回顾、不断辨析、拓展，从而完善学生的认知结构，有利于学生的良好解题策略的形成）［师］你们联想的内容都很好，都是与复数的运算有着密切关系的，我们在平时的学习和研究中要经常联想，大胆地联想.在实数范围内，两个数的加法满足哪些运算律，在复数范围内能否也成立？［生］实数范围内的加法运算满足交换律和结合律.在复数范围内也是成立的，即对任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）.［师］这个仅仅是猜想，是否成立，还有待于证明后才能确定.请你们自己证明，再找两位同学到黑板上来板演.［生a］设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、b1、a2,b2∈R).∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1,∴z1+z2=z2+z1,即复数的加法运算满足交换律.［生b］设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i=［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i.z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i)+［(a 2+b 2i)+(a 3+b 3i)］=(a 1+b 1i)+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i,又∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3),(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3),∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3),即复数的加法运算满足结合律.［师］证明得完全正确，步骤也很详细.［生c ］复数加法的结合律和交换律，我们可以从平面向量上来验证，设复数z 1、z 2对应的向量分别为1oz 、2oz ,由向量加法运算的性质得1221oz oz oz oz +=+,故有z 1+z 2=z 2+z 1.对于结合律：设复数z 1、z 2、z 3所对应的复平面上的向量为1oz 、2oz 、3oz .由向量加法所满足的结合律得)(oz oz )(321321oz oz oz oz ++=++,再对应到复数的运算上来便有(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).［师］很好！他能灵活运用平面向量的基本运算来研究复数运算.上节课我们已经学过，复数集C 既然与复平面内所有以原点为起点的向量所成的集合一一对应，因此，复数加法就可以按向量加法法则来进行，复数加法所满足的运算律也就可以按向量加法法则所满足的运算律来解释和运用.［师］上节课我们还学习了共轭复数的概念，那么z 1+z 2的共轭与z 1与z 2的共轭的和有什么关系呢？［生d ］2121z z z z +=,可以证明：设z 1=a +b i,z 2=c +d i(a 、b 、c 、d ∈R).∵z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i. ∴21z z +=(a +c )-(b +d )i. 又1z =a -b i,z 2=c -d i, ∴21z z +=(a -b i)+(c -d i)=(a +c )+(-b -d )i=(a +c )-(b +d )i.∴21z z +=1z +2z . 可以推广到一般情况：a 21a 21z ...z z z ...z z +++=+++［师］若z 是复数，λ是实数，那λz 的共轭和z 的共轭与λ之积是什么关系？［生e ］z ∈C ,λ∈R,那么z z λλ=,证明如下：设z=a +b i(a ,b ∈R)，λz=a λ+b λi,z =a -b i.∴z λ=)i b (a λλ+=a λ-b λi .又λz =λ(a -b i)=λa -b∴z z λλ=.［师］在平面向量的加法运算的几何图形中有什么样的不等式（关于、1oz 、2oz 的模的不等式）［生f ］若a 、b 都是平面向量，则｜a ｜-｜b ｜≤｜a +b ｜≤｜a ｜+｜b ｜,在几何图形中是｜｜1oz ｜-｜2oz ｜｜≤｜｜≤｜21oz oz +｜.［师］在复数的加法运算中是否也有相关的不等式呢？如何证明？ ［生g ］设z 1、z 2∈C ,则｜｜z 1｜-｜z 2｜｜≤｜z 1+z 2｜≤｜z 1｜+｜z 2｜. 证明：设z 1=a +b i,z 2=c +d i(a 、b ∈R).∴｜z 1+z 2｜=｜(a +c )+(b +d )i ｜ =22)()d b c a +++（ =bd ac d c b a 222222+++++｜z 1｜+｜z 2｜=2222d c b a +++｜｜z 1｜-｜z 2｜｜=｜2222d c b a +-+｜∴2222222222)22()(bd ac d c b a d c b a +++++-+++=a 2+b 2+c 2+d 2+))((2222d c b a ++-a 2-b 2-c 2-d 2-2ac -2bd=2［22222222c b d a d b c a +++-(ac +bd )］.若ac +bd ＜0,则(*)式值为正若ac +bd ≥0时，222222222)(c b d a d b c a +++-(ac +bd )2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2-a 2c 2-2abcd -b 2d 2=a 2d 2-2abcd +b 2c 2=(ad -bc )2≥0. ∴22222222c b d a d b c a +++≥ac +bd .∴(*)式值为非负值. ∴22222222c b d a d b c a +++-(ac +bd )≥0. ∴2222222222)22()(bd ac d c b a d c b a +++++-+++≥0.∴(｜z 1｜+｜z 2｜)2≥(｜z 1+z 2｜)2.∴｜z 1+z 2｜≤｜z 1｜+｜z 2｜.又∵｜z 1+z 2｜2-(｜z 1｜-｜z 2｜)2=a 2+b 2+c 2+d 2+2ac +2bd -(a 2+b 2+c 2+d 2-2 ))((2222d c b a ++=2(ac +bd 22222222c b d a d b c a +++若ac +bd ≥0时，22222222c b d a d b c a +++≥0成立;若ac +bd ＜0时，222222222)(c b d a d b c a +++-(-ac -bd )2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2-a 2c 2-2abcd -b 2d 2=a 2d 2-2abcd +b 2c 2=(ad -bc )2∴22222222c b d a d b c a +++≥-ac -bd . ∴22222222c b d a d b c a ++++ac +bd ≥0.∴｜z 1+z 2｜2≥(｜z 1｜-｜z 2｜)2.∴｜z 1+z 2｜≥｜｜z 1｜-｜z 2｜｜.综上所述,｜｜z 1｜-｜z 2｜｜≤｜z 1+z 2｜≤｜z 1｜+｜z 2｜.［师］证明过程完全正确，他多次使用平方差比较大小的问题，这是我们解题中常常遇到的策略，同时他还运用了分类讨论思想来证明，他的证明过程是很严密的.［生h ］可以运用平面几何的方法来证明.图4-3设复数z 1、z 2所对应的向量分别为1oz 、2oz ,以1oz 、2oz 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，对角线OZ 对应的向量为，它所对应的复数为z 1+z 2.若Z 1、O 、Z 不共线（即O 、Z 1、Z 2不共线时，｜｜1oz ｜-｜21z z ｜｜＜｜oz ｜＜｜1oz ｜+｜21z z ｜,即｜｜z 1｜-｜z 2｜｜＜｜z 1+z 2｜＜｜z 1｜+｜z 2｜）.当O 、Z 1、Z 2（按顺序排好）共线时， ｜｜=｜2oz ｜+｜21z z ｜∴｜z 1+z 2｜=｜z 1｜+｜z 2｜.当三点共线的顺序是Z 2、O 、Z 1时，｜oz ｜=｜｜1oz ｜-｜z 1｜｜∴｜z 1+z 2｜=｜｜z 1｜-｜z 2｜｜.故有｜｜z 1｜-｜z 2｜｜≤｜z 1+z 2｜≤｜z 1｜｜z 2｜. ［师］他的这种方法是利用数形结合和平面几何知识得到的.从他的证明过程中可以知道这个不等式中等号成立的条件，你们能发现吗？［生k ］当向量1oz 、2oz 共线且同向，即12oz oz λ=时，｜z 1+z 2｜=｜z 1｜+｜z 2｜.当1oz 、2oz 共线且方向相反，即12oz oz λ=时，｜z 1+z 2｜=｜｜z 1｜-｜z 2｜｜(这里λ∈R,且λ＞0).［师］总结得很好.从复数的代数形式证法中能否也可以找到类似的条件？［生P ］可以，等号成立的条件是ad -bc =0，运用平面解析几何知识, 1oz 与2oz 的斜率是相等的.当然，1oz 与2oz 共线的充要条件也是相同的.(二)精选例题［例1］计算：(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i).解法一：原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003--1001) +(1001-2004)i=1002-1003i.解法二：∵(1-2i)+(-2+3i)=-(3-4i)+(-4+5i)=-……(2001-2002i)+(-=-1+i.相加得（共有1001个式子）：原式=1001(-1+i)+(2003-=(2003-1001)+(1001-=1002-1003i.解题回顾：解法一是从整体上把握，将计算分实部和虚部进行，把各个复数的实部与虚部分别相减从而求得结果.解法二是从局部入手，抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，恰当地进行组合从而简化了运算.［例2］设z为复数，且｜z｜=｜z+1｜=1,求｜z-1｜.解：设z=a+b i(a、b∈∴z+1=(a+1)+b i,z-=(a-1)+b i.∴｜z ｜=a 2+b 2=1.∴a 2+b 2=1.又｜z+1｜=2)1(b a ++ =1,∴(a +1)2+b 2=1.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+.1)1(,12222b a b a , 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=43212b a ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=2321b a ∴i z 2321±-=. ∴i z 23231±-=-.∴｜z-1｜=22)23)23(±+-=34349=+.图4-4解题回顾：依题意，所求的复数是以(-1,0)为圆心，半径为1的圆与以原点为圆心，半径为1的圆的交点所对应的复数，即z a 、z b （如图），｜z-1｜,亦即向量、的长度.［例3］复数z 满足｜z+3-3i ｜=3,求｜z ｜的最大值和最小值. 解法一：｜z+3-3i ｜≥｜｜z ｜-｜3-3i｜｜又∵｜z+3-3i ｜=3｜3-3i｜=12=23∴｜｜z｜-23｜≤3,即3≤｜z｜≤33.∴｜z｜的最大值为33，最小值为3.解法二：满足｜z+3-3i｜=3的复数z在复平面上所表示的图形为以-3+3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆.｜z｜则表示圆上的点Z 到原点的距离，O、P的连线交此圆于A、B两点，显然｜OA｜为最大距离，｜OB｜为最小距离，即｜z｜max｜OP｜+3=33；｜z｜m in｜OP｜-3=3.解题回顾：解法一充分利用复数模的不等式：｜z 1+z2｜≥｜｜z1｜-｜z2｜｜,通过构造关于｜z｜的不等式，达到解题目的；解法二则运用复数模的几何意义，通过数形结合，充分利用图形的直观、形象的特点，简化了对问题的处理方法.［例4］复数z满足｜z｜=1,且ω=2z+3-4i,求复数ω在复平面内对应的图形.解法一：由ω=2z+3-4i,得ω-(3-4i)=2z.又∵｜z｜=1,∴｜ω-(3-4i)｜=2.因此，复数ω在复平面内对应的图形是以点（3，-4）为圆心，以2为半径的圆.解法二：设ω=x +yi,z=a +b i(x 、y 、a 、b ∈R),则根据复数相等的定义，得⎩⎨⎧-=+=.42,32b y a x ,即⎩⎨⎧=+=-.24,23b y a x ∵a 2+b 2∴(x -3)2+(y+4)2=4.解题回顾：复数的轨迹方程，可以用普通的直角坐标方程表示（如解法二），也可以用含复数z 的方程表示（如解法一）.学习中，应会将两种形式互相转化.Ⅲ.课堂练习课本Ｐ152练习1，2，3中加法的练习题.Ⅳ.课时小结1.复数的加法法则：（a +b i ）+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i(a 、b 、c 、d ∈R).复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式.2.如果复数z 1、z 2分别对应于向量1op 、2op 那么，以O P 1、O P 2为两边作平行四边形O P 1S P 2，对角线OS 表示的向量就是z 1+z 2的和所对应的向量.3.复数模的性质：｜｜z 1｜-｜z 2｜｜≤｜z 1+z 2｜≤｜z 1｜+｜z 2｜. Ⅴ.课后作业(一)课本Ｐ154习题4.2加法(二)补补充练习已知复数z 1=3-i,|z 2|=2,求|z 1+z 2|的最大值.解:设z 2=x +yi(x 、y ∈R),x 2+y 2=4,令x =2c∴|z 1+z 2|=|(2c osθ+3)+(2sinθ- =22)1sin 2()3cos 2(-++θθ =)cos 3(sin 414θθ-- =)sin(10414ϕθ--.∴|z 1+z 2|max =21010414-=-. 也可以用数形结合来解. 板书设计§4.2.1复数的加法运算及几何意义一、1.法则：（a +b i ）+(c +d i)=….2.向量运算3.几何意义4.2121z z z z +=+.5.|｜z 1｜-｜z 2｜|≤｜z 1+z 2｜≤｜z 1｜+｜z 2｜等号成立的条件. 加法交换律、结合律的证明 z 1+z 2=z 2+z 1(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3二、例题 例例例例4。
计算复数的运算
计算复数的运算复数是由实数和虚数组成，可以进行各种运算操作，包括加法、减法、乘法和除法。
在计算复数的运算时，需要注意一些规则和性质。
本文将详细介绍如何进行复数的运算，并提供一些实际的例子。
1. 复数的表示形式复数通常以a+bi的形式表示，其中a是实部，bi是虚部，i表示虚数单位。
实部和虚部都是实数，并且虚数单位满足i^2 = -1。
例如，复数3+4i中，实部是3，虚部是4。
2. 复数的加法复数的加法遵循常规的加法规则。
将两个复数的实部相加，虚部相加得到结果。
例如，计算(2+3i) + (4+5i)：实部：2 + 4 = 6虚部：3 + 5 = 8结果为6+8i。
3. 复数的减法复数的减法也遵循常规的减法规则。
将两个复数的实部相减，虚部相减得到结果。
例如，计算(2+3i) - (4+5i)：实部：2 - 4 = -2虚部：3 - 5 = -2结果为-2-2i。
4. 复数的乘法复数的乘法需要使用分配律，并利用虚数单位的性质i^2 = -1。
例如，计算(2+3i) * (4+5i)：实部：(2 * 4) - (3 * 5) = 8 - 15 = -7虚部：(2 * 5) + (3 * 4) = 10 + 12 = 22结果为-7+22i。
5. 复数的除法复数的除法要求分子和分母都乘以分母的共轭复数，然后按照乘法的规则进行计算。
例如，计算(2+3i) / (4+5i)：分子：(2+3i) * (4-5i) = (2 * 4) + (2 * -5i) + (3i * 4) + (3i * -5i) = 8 - 10i + 12i - 15 = -7 + 2i分母：(4+5i) * (4-5i) = (4 * 4) + (4 * -5i) + (5i * 4) + (5i * -5i) = 16 - 20i + 20i - 25 = -9 + 0i结果为(-7 + 2i) / (-9)。
可以将结果进一步化简，得到(7/9) - (2/9)i。
复数的基本运算与应用
复数的基本运算与应用复数是数学中的一种运算方法，它包含实数和虚数，可以用a+bi的形式表示。
其中a是实数部分，b是虚数部分，i表示虚数单位，满足i^2=-1。
复数在数学中有广泛应用，在电工电子学、天文学、物理学等领域都有重要作用。
在这篇文章中，我们将探讨复数的基本运算和应用。
一、复数的基本运算1. 加法和减法复数的加法和减法和实数一样，将实数部分和虚数部分分别相加或相减即可。
例如：（3 + 2i）+（1 – 5i）= 4 – 3i（5 – 2i）–（2 + 3i）= 3 – 5i2. 乘法复数的乘法也比较简单，按照FOIL法则展开即可。
例如：（3 + 2i）×（1 – 5i）= 3 – 15i + 2i – 10i^2 = 13 – 13i3. 除法复数的除法需要用到分子分母同乘分母的共轭形式来去除虚数。
例如：（3 + 2i）÷（1 – 5i）= （3 + 2i）×（1 + 5i）÷（1 + 5i）×（1 –5i） = (3 + 17i) ÷ 26所以，复数（3 + 2i）÷（1 – 5i）= 3/26 + 17i/26。
二、复数的应用1. 极坐标表示法复数的极坐标表示法可以将复数用距离和角度来表示。
其中，距离为复数的模长，角度为复数与实轴正方向的夹角。
例如：（3 + 2i）的距离为√（3^2 + 2^2）= √13，夹角为arctan（2/3）≈ 0.5弧度因此，（3 + 2i）的极坐标表示法为√13∠0.5。
2. 模长、共轭和逆元复数的模长、共轭和逆元是复数的基本概念。
模长表示复数的长度，用|z|表示，即|a + bi| = √（a^2 + b^2）。
共轭表示保持实数部分不变，虚数部分变号的复数，用z*表示，即a – bi。
逆元表示除以一个复数的反函数，用z^-1表示，即z×z^-1 = 1。
3. 复数的指数形式复数还可以用指数形式来表示，即z = re^(iθ)，其中r表示复数的模长，θ表示复数的辐角。
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集美大学计算机工程学院实验报告一. 实验目的熟悉抽象数据类型的表示和实现方法。
抽象数据类型需借助固有数据类型表示和实现，及利用高级程序设计语言中已存在的数据类型来说明新的结构，用已经实现的操作来组合新的操作，具体实现细节则依赖于所用的语言的功能。
通过本次实习还可以帮助读者复习高级语言的使用方法。
二.实验内容1．问题描述设计一个可进行复数运算的演示程序2．基本要求实现下列六种基本运算：1）由输入的实部和虚部生成一个复数；2）两个复数求和；3）两个复数求差；4）两个复数的求积；5）从已知复数中分离出实部；6）从已知复数中分离出虚部。
运算结果以相应的复数或实数的表示形式显示。
3．程序代码#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct Complex{float real;float image;}Complex;Complex CreatCom(float real,float image);Complex jia(Complex c1,Complex c2);/*复数相加*/Complex jian(Complex c1,Complex c2);/*复数相减*/Complex cheng(Complex c1,Complex c2);/*复数相乘*/Complex chu(Complex c1,Complex c2);/*复数相除*/void PrintCom(Complex c1); /*输出复数*/main(){Complex c1,c2,c3;float Real1=0,Image1=0,Real2=0,Image2=0; /*没有输入默认为0 */int choice,flag=0;printf("*************************复数运算**************************\n");printf("\t\t\t1.复数构造\n\t\t\t2.复数相加\n\t\t\t3.复数相减\n");printf("\t\t\t4.复数相乘\n\t\t\t5.复数相除\n\t\t\t6.提取实部\n");printf("\t\t\t7.提取虚部\n\t\t\t0.退出\n\t\t\t\n");printf("***********************************************************\n"); while(1){ /*用循环实现选择不同的运算*/printf("\n输入你的操作序号:");scanf("%d",&choice);switch(choice){case 1:printf("输入第一个复数的实部和虚部:");scanf("%f,%f",&Real1,&Image1);c1=CreatCom(Real1,Image1);PrintCom(c1);printf("输入第二个复数的实部和虚部:");scanf("%f,%f",&Real2,&Image2);c2=CreatCom(Real2,Image2);PrintCom(c2);flag=1;break;case 2:if(flag==1){c3=jia(c1,c2);printf("两数之和是:");PrintCom(c3);}elseprintf("您还未构造复数！\n");break;case 3:if(flag==1){c3=jian(c1,c2);printf("两数之差是:");PrintCom(c3);}elseprintf("您还未构造复数！\n");break;case 4:if(flag==1){c3=cheng(c1,c2);printf("两数之积是:");PrintCom(c3);}elseprintf("您还未构造复数！\n");break;case 5:if(flag==1){c3=chu(c1,c2);printf("两数之商是:");PrintCom(c3);}elseprintf("您还未构造复数！\n");break;case 6:if(flag==1){printf("第一个复数实部为：%.2f\n",c1.real);printf("第二个复数实部为：%.2f\n",c2.real);}elseprintf("您还未构造复数！\n");break;case 7:if(flag==1){printf("第一个复数虚部为：%.2fi\n",c1.image);printf("第二个复数虚部为：%.2fi\n",c2.image);}elseprintf("您还未构造复数！\n");break;case 0:break;default:printf("非法操作!\n"); break;/*输入其他数字提示错误*/ } /*switch*/if(choice==0)break; /*如果选择了0,退出循环*/} /*while*/}Complex CreatCom(float real,float image){Complex NewCom;NewCom.real=real;NewCom.image=image;return NewCom;}Complex jia(Complex c1,Complex c2){Complex AddComplex;AddComplex.real=c1.real+c2.real;AddComplex.image=c1.image+c2.image;return AddComplex;}Complex jian(Complex c1,Complex c2)Complex SubComplex;SubComplex.real=c1.real-c2.real;SubComplex.image=c1.image-c2.image;return SubComplex;}Complex cheng(Complex c1,Complex c2){Complex MulComplex;MulComplex.real=(c1.real*c2.real)-(c1.image*c2.image);MulComplex.image=(c1.real*c2.image)+(c1.image*c2.real);return MulComplex;}Complex chu(Complex c1,Complex c2){Complex DivComplex;DivComplex.real=((c1.real*c2.real)+(c1.image*c2.image))/(c2.real*c2.real+c2.image*c2.image);DivComplex.image=((c1.image*c2.real)-(c1.real*c2.image))/(c2.real*c2.real+c2.image*c2.image);return DivComplex;}void PrintCom(Complex c1){if(c1.image>0||c1.image==0) /*根据虚部的正负用不同的现实格式*/{if(c1.real!=0&&c1.image!=0)printf("%.2f+%.2fi\n",c1.real,c1.image);else if(c1.real==0&&c1.image!=0) /*如果虚部或者实部为零，则不显示0*/ printf("%.2fi\n",c1.image);else if(c1.real!=0&&c1.image==0)printf("%.2f\n",c1.real);else if(c1.real==0&&c1.image==0)printf("%.2f\n",c1.real);}else{if(c1.real!=0&&c1.image!=0)printf("%.2f-%.2fi\n",c1.real,-c1.image);else if(c1.real==0&&c1.image!=0) /*如果虚部或者实部为零，则不显示0*/ printf("-%.2fi\n",-c1.image);}4.运行结果：三. 运行环境Microsoft Visual C++ 6.0四. 实验小结1.本次实验，帮助我复习了高级语言的使用方法。
2.对复数的乘法和除法不了解，通过查阅相关资料获得了计算公式。
3.通过这个实验，我对抽象数据类型有了更深刻的理解。