精品2019年八年级数学下册22微专题新定义问题习题(新版)冀教版

2021-2022学年最新冀教版八年级数学下册第二十一章一次函数同步训练试题(精选)

八年级数学下册第二十一章一次函数同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知点()14,y -，()22,y 都在直线21y x =-+上，则1y 、2y 大小关系是（）A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能计较2、已知一次函数y ＝（1﹣3k ）x +k 的函数值y 随x 的增大而增大，且图象经过第一、二、三象限，则k 的值（）A ．k ＞0B ．k ＜0C ．0＜k ＜13 D ．k ＜133、已知点()1,3x -，()2,4x 都在直线21y x =-+上，则1x 与2x 的大小关系为（）A ．12x x >B ．12x x =C ．12x x <D ．无法比较4、已知点)Am ，3,2B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在一次函数21y x =-+的图像上，则m 与n 的大小关系是（） A ．m n > B ．m n = C ．m n < D ．无法确定5、下列各点在函数y ＝﹣3x +2图象上的是（）A ．（0，﹣2）B ．（1，﹣1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（﹣13，1）6、已知正比例函数y ＝3x 的图象上有两点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），如果x 1＞x 2，那么y 1与y 2的大小关系是（）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定7、一次函数21y x =-+的图象不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8、下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．21y x =+9、如图，点P 是▱ABCD 边上一动点，沿A →D →C →B 的路径移动，设P 点经过的路径长为x ，△BAP 的面积是y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（）A．B．C．D．10、小豪骑自行车去位于家正东方向的书店买资料用于自主复习．小豪离家5min后自行车出现故障，小豪立即打电话给爸爸，让爸爸带上工具箱从家里来帮忙维修（小豪和爸爸通话以及爸爸找工具箱的时间忽略不计），同时小豪以原来速度的一半推着自行车继续向书店走去，爸爸接到电话后，立刻出发追赶小豪，追上小豪后，爸爸用2min的时间修好了自行车，并立刻以原速到位于家正西方500m的公司上班，小豪则以原来的骑车速度继续向书店前进，爸爸到达公司时，小豪还没有到达书店．如图是小豪与爸爸的距离y（m）与小豪的出发时间x（min）之向的函数图象，请根据图象判断下列哪一个选项是正确的（）A．小豪爸爸出发后12min追上小豪B．小李爸爸的速度为300m/minC．小豪骑自行车的速度为250m/min D．爸爸到达公司时，小豪距离书店500m第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、己知y是关于x的一次函数，下表给出的4组自变量x的值及其对应的函数y的值，其中只有一个y的值计算有误，则它的正确值是_______．2、函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+2是一次函数，那么m的值为___．3、直线y=2x-4与两坐标轴围成的三角形面积为___________________．4、某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本1y（单位：元）、收入2y（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是______千克．5、某工厂有甲、乙、丙、丁四个不同的车间生产电子元件，由于生产设备不同，工人在不同车间日生产量也不一定相同，但皆为整数．某日，该工厂接到一批生产订单，工厂老板想将工人合理分配到不同车间，已知甲车间的工人数与乙车间相同，丙车间的工人数是丁车间的3倍且比甲车间工人数多，甲车间与丁车间的工人数之和不少于40人且不超过50人；甲车间与丁车间每个工人的日生产量相同，乙车间每个工人的日生产量为丙车间每个工人日生产量的3倍，甲车间与丙车间每个工人的日生产量之和为450件，且甲车间每个工人的日生产量不低于丙车间每个工人日生产量的23且不超过230件；甲车间、丙车间的日生产之和比乙车间、丁车间的日生产之和少1100件．则当甲、丙两车间当日生产量之和最多时，该工厂调配前往甲车间的人数为__________人．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，一次函数y＝43x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)则点A的坐标为_______，点B的坐标为______；(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB＝PE，求证：∠BPE＝2∠OAB；(3)在（2）的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．连接OQ．①则图中（不添加其他辅助线）与∠EPA相等的角有______；（都写出来）②试求线段OQ长的最小值．2、某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费25元，另收2000元的设计费；乙公司提出：每份材料收费35元，不收设计费．(1)请用含x代数式分别表示甲乙两家公司制作宣传材料的费用；(2)试比较哪家公司更优惠？说明理由．3、如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）．（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；（3）若点P是直线AB上的一个动点，当△PAM的面积与长方形OACB的面积相等时，求点P的坐标．4、如图，直线l ：22y x =-与y 轴交于点G ，直线l 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线PE ，过点G 作x 轴的平行线GE ，它们相交于点E ．将△PGE 沿直线l 翻折得到△PGE′，点E 的对应点为E′．(1)如图1，请利用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E 的对应点E′；(2)如图2，当点E 的对应点E′落在x 轴上时，求点P 的坐标；(3)如图3，直线l 上有A ，B 两点，坐标分别为(－2，－6)，(4，6)，当点P 从点A 运动到点B 的过程中，点E′也随之运动，请直接写出点E′的运动路径长为____________．5、某厂计划生产A ，B 两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如下表：(1)第一次工厂用220000元资金生产了A ，B 两种产品共600件，求两种产品各生产多少件？(2)第二次工厂生产时，工厂规定A 种产品生产数量不得超过B 种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共3000件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据一次函数的增减性解答．【详解】解：∵直线21y x =-+，k =-2<0，∴y 随着x 的增大而减小，∵点()14,y -，()22,y 都在直线21y x =-+上，-4<2，∴12y y >，故选：C ．【点睛】此题考查了一次函数的增减性：当k >0时，y 随x 的增大而增大；当k <0时，y 随x 的增大而减小，熟记性质是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据一次函数的性质得1﹣3k ＞0，解得k ＜13，再由图象经过一、二、三象限，根据一次函数与系数的关系得到k ＞0，于是可确定k 的取值范围．【详解】解：∵一次函数y ＝（1﹣3k ）x +k ，y 随x 的增大而增大，∴1﹣3k ＞0，解得k ＜13，图象经过第一、三象限，∵图象经过一、二、三象限，∴k ＞0，∴k 的取值范围为0＜k ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数y =kx +b （k ≠0，k ，b 为常数）的性质．它的图象为一条直线，当k ＞0，图象经过第一，三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二，四象限，y 随x 的增大而减小；当b ＞0，图象与y 轴的交点在x 轴的上方；当b =0，图象过坐标原点；当b ＜0，图象与y 轴的交点在x 轴的下方．3、A【解析】【分析】根据一次函数的增减性分析，即可得到答案．【详解】∵直线21y x =-+上，y 随着x 的增大而减小又∵34-<∴12x x >故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的增减性；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．4、A【解析】【分析】根据一次函数21y x =-+的性质，y 随x 增大而减小判断即可．【详解】解：知点)Am ，3,2B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在一次函数21y x =-+的图像上， ∵-2<0，∴y 随x 增大而减小，32<，∴m n >，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是明确一次函数21y x =-+y 随x 增大而减小的性质．5、B【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，逐一判断，即可得到答案．【详解】∵2302-≠-⨯+，∴A不符合题意，∵1312-=-⨯+，∴B符合题意，∵13(1)2-≠-⨯-+，∴C不符合题意，∵11(3)()23≠-⨯-+，∴D不符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，是解题的关键．6、A【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＞x2即可得出结论．【详解】∵正比例函数y＝3x中，k＝3>0，∴y随x的增大而增大，∵x1＞x2，∴y1＞y2．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的增减性与x 的系数的关系是解题的关键．7、C【解析】【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数21y x =-+的图象经过第一、二、四象限，此题得解．【详解】解：∵k =-2＜0，b =1＞0，∴一次函数y =-2x +1的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y =-2x +1的图象不经过第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k ＜0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限”是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据函数的定义（如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数）及利用待定系数法确定一次函数解析式依次进行判断即可得．【详解】解：A 、根据图表进行分析为一次函数，设函数解析式为：(0)y kx b k =+≠，将0x =，3y =，5x =， 3.5y =分别代入解析式为：33.55b k b=⎧⎨=+⎩，解得：0.1k =，3b =，所以函数解析式为：0.13y x =+，∴y 是x 的函数；B 、从图象上看，一个x 值，对应两个y 值，不符合函数定义，y 不是x 的函数；C 、D 选项从图象及解析式看可得y 是x 的函数．故选：B ．【点睛】题目主要考查函数的定义及利用待定系数法确定一次函数解析式，深刻理解函数定义是解题关键．9、A【解析】【分析】分三段来考虑点P 沿A →D 运动，BAP △的面积逐渐变大；点P 沿D →C 移动，BAP △的面积不变；点P 沿C →B 的路径移动，BAP △的面积逐渐减小，同时考虑各段的函数解析式，据此选择即可得．【详解】解：如图，过点B 作BH ⊥DA 交DA 的延长线于H ，设BH ＝h ，则当点P 在线段AD 上时，12y hx ＝，h 是定值，y 是x 的一次函数，点P 沿A →D 运动，BAP 的面积逐渐变大，且y 是x 的一次函数，点P沿D→C移动，BAP的面积不变，点P沿C→B的路径移动，BAP的面积逐渐减小，同法可知y是x的一次函数，故选：A．【点睛】本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律，理解题意，作出辅助线是解题关键．10、B【解析】【分析】根据函数图象可知，小豪出发10分钟后，爸爸追上了小豪，根据此时爸爸的5分钟的行程等于小豪前5分钟的行程与后5分钟的行程和，得到出爸爸的速度与小豪骑自行车的速度的关系，设小豪的速度为x米/分，根据点（563，0）列方程可得小豪与爸爸的速度，进而得出爸爸到达公司时，小豪距离书店路程．【详解】解：设小豪骑自行车的速度为xm/min，则爸爸的速度为：（5x+5×12x）÷5=32x（m/min），∵公司位于家正西方500米，∴(563−10−2)×32x＝500+（5+2.5）x，解得x=200，∴小豪骑自行车的速度为200m/min，爸爸的速度为：200×32＝300m/min，爸爸到达公司时，丁丁距离商店路程为：3500-（563−12）×（300+200）=5003m．综上，正确的选项为B ．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，学会正确利用图象信息，把问题转化为方程解决是本题的关键，属于中考常考题型．二、填空题1、11【解析】【分析】经过观察4组自变量和相应的函数值(0,20)，(1,17)，(2,14)符合解析式320y x =-+，(3,10)不符合，即可判定．【详解】解：(0,20)，(1,17)，(2,14)符合解析式320y x =-+，(3,10)不符合，∴这个计算有误的函数值是10，则它的正确值是11，故答案为：11．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握图象上点的坐标符合解析式． 2、0【解析】【分析】根据一次函数的定义，列出关于m 的方程和不等式进行求解即可．【详解】解：由题意得，|m -1|=1且m -2≠0，解得：m =2或m =0且m ≠2，∴m =0．故答案为：0．【点睛】本题主要考查了一次函数，一次函数y =kx +b 的条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1． 3、4【解析】【分析】画出一次函数的图象，再求解一次函数与坐标轴的交点,A B 的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可.【详解】解：如图，令0,x = 则4,y =-令0,y = 则240,x -= 解得2,x =2,0,0,4,A B 1244,2AOB S故答案为：4【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，利用数形结合的方法解题是解本题的关键.4、30【解析】【分析】根据题意可设AB 段的解析式为11y k x b =+，OC 段的解析式为22y k x =，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即12y y =，可列出关于x 的等式，解出x 即可．【详解】根据题意可设AB 段的解析式为：11y k x b =+，且经过点A (0，240)，B (60，480)，∴ 124048060b k b=⎧⎨=+⎩，解得：14240k b =⎧⎨=⎩， ∴AB 段的解析式为：14240y x =+；设OC 段的解析式为：22y k x =，且经过点C (60，720)，∴272060k =，解得：212k =，∴OC 段的解析式为：212y x =．当该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即12y y =，∴424012x x +=，解得：30x =．所以这天的产量是30千克．故答案为：30．【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．5、21【解析】【分析】根据题意设甲、乙、丙、丁车间的人数分别为a b c d ,,,人，甲、乙、丙、丁车间的日生产量分别为,,,x y z w ，则根据甲车间、丙车间的日生产之和比乙车间、丁车间的日生产之和少1100件，转化为只含有,,,a d x z 的方程，进而根据因式分解化简得()()2225550a d z --=，根据不等式求得2225z -的范围，根据a d -是整数，即可求得2225z -的值，进而求得2a d -=，根据题意列出代数式，并根据一次函数的性质求得当19d =时，3a d -取得最大值，即可求得a 的值，即可解决问题．【详解】根据题意设甲、乙、丙、丁车间的人数分别为a b c d ,,,人，甲、乙、丙、丁车间的日生产量分别为,,,x y z w ，则34050a b c d a d =⎧⎪=⎨⎪≤+≤⎩，345022303x w y z x z z x =⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，1100ax cz by dw +=+- ,3,3,b a c d y z w x ∴====，450x z =-∴1100ax cz by dw +=+-331100ax dz az dx +=+-即331100az ax dx dz -+-=3()()1100z a d x a d ---=()(3)1100a d z x --=又450x z =-∴()()34501100a d z z --+=即()()2225550a d z --=5502225a d z ∴-=-45022303x z z x +=⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ 即24502303z z ≤-≤解得220270z ≤≤2152225315z ∴≤-≤ a d -是整数，即5502225z -是整数 ∴2225225z -=2,225a d z ∴-==设甲、丙两车间当日生产量之和为f ：则f =ax cz +=()3(450)3144031350ax d x ax dx d a d x d +-=-+=-+(3)1350f a d x d ∴=-+0x ，则当3a d -最大时，f 取得最大值2a d -=2a d ∴=+32322a d d d d ∴-=+-=-4050a d ≤+≤即402250d ≤+≤1924d ∴≤≤19d ∴=时，3a d -取得最大值此时219221a d =+=+=故答案为：21【点睛】本题考查了方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质求最值问题，理清题中各关系量是解题的关键．三、解答题1、 (1)（-3，0）；（0，4）(2)证明见解析(3)①∠QPO ，∠BAQ ；②线段OQ 长的最小值为125【解析】【分析】（1）根据题意令x ＝0，y ＝0求一次函数与坐标轴的交点；（2）由题意可知与∠EPA 相等的角有∠QPO ，∠BAQ ．利用三角形内角和定理解决问题；（3）根据题意可知如图3中，连接BQ 交x 轴于T ．证明△APE ≌△QPB （SAS ），推出∠AEP ＝∠QBP ，再证明OA ＝OT ，推出直线BT 的解析式为为：443y x =+，推出点Q 在直线y ＝﹣43x +4上运动，再根据垂线段最短，即可解决问题．(1)解：在y ＝43x +4中，令y ＝0，得0＝43x +4，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），在y＝43x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4）；故答案为：（﹣3，0），（0，4）．(2)证明：如图2中，设∠ABO＝α，则∠OAB＝90°﹣α，∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB＝α，∴∠BPE＝180°﹣∠PBE﹣∠PEB＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∴∠BPE＝2∠OAB．(3)解：①结论：∠QPO，∠BAQ理由：如图3中，∵∠APQ＝∠BPE＝2∠OAB，∵∠BPE＝2∠OAB，∴∠APQ＝∠BPE．∴∠APQ﹣∠APB＝∠BPE﹣∠APB．∴∠QPO＝∠EPA．又∵PE＝PB，AP＝PQ∴∠PEB＝∠PBE＝∠PAQ＝∠AQP．∴∠BAQ＝180°﹣∠EAQ＝180°﹣∠APQ＝∠EPA．∴与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．故答案为：∠QPO，∠BAQ．②如图3中，连接BQ交x轴于T．∵AP＝PQ，PE＝PB，∠APQ＝∠BPE，∴∠APE＝∠QPB，在△APE和△QPB中，PA PQAPE QPBPE PB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APE≌△QPB（SAS），∴∠AEP＝∠QBP，∵∠AEP＝∠EBP，∴∠ABO＝∠QBP，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠OBT+∠OTB＝90°，∴∠BAO＝∠BTO，∴BA＝BT，∵BO⊥AT，∴OA＝OT，∴直线BT的解析式为为：443y x=+，∴点Q在直线y＝﹣43x+4上运动，∵B（0，4），T（3，0）．∴BT＝5．当OQ⊥BT时，OQ最小．∵S△BOT＝12×3×4＝12×5×OQ．∴OQ＝125．∴线段OQ长的最小值为125．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数及最短距离等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．2、 (1)y甲＝25x＋2 000；y乙＝35x(2)当0＜x＜200时，选择乙公司更优惠；当x＝200时，选择两公司费用一样多；当x＞200时，选择甲公司更优惠．理由见解析【解析】【分析】（1）设甲公司制作宣传材料的费用为y甲(元)，乙公司制作宣传材料的费用为y乙(元)，份数乘以单价加上设计费可得甲公司的费用；份数乘以单价可得乙公司的费用；（2）分三种情况讨论，当y甲＞y乙时，当y甲＝y乙时，当y甲＜y乙时，分别计算可得(1)解：设甲公司制作宣传材料的费用为y甲(元)，乙公司制作宣传材料的费用为y乙(元)，制作宣传材料的份数为x(份)，依题意得y甲＝25x＋2 000；y乙＝35x；(2)解：当y甲＞y乙时，即25x＋2 000＞35x，解得：x＜200；当y甲＝y乙时，即25x＋2 000＝35x，解得：x＝200；当y甲＜y乙时，即25x＋2 000＜35x，解得：x＞200.∴当0＜x＜200时，选择乙公司更优惠；当x＝200时，选择两公司费用一样多；当x＞200时，选择甲公司更优惠．【点睛】此题考查了一元一次方程的方案选择问题，一元一次不等式类的方案选择问题，列代数式，正确理解题意是解题的关键．3、（1）142y x=-+；（2）5；（3）点P的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）【解析】【分析】（1）由坐标系中点的意义结合图形可得出A、B点的坐标，设出对角线AB所在直线的函数关系式，由待定系数法即可求得结论；（2）由勾股定理求出AB的长，再结合线段垂直平分线的性质，可得AM＝BM，OM＝OB−BM，再次利用勾股定理得出AM的长；（3）（方法一）先求出直线AM的解析式，设出P点坐标，由点到直线的距离求出AM边上的高h，再结合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P点坐标；（方法二）由△PAM的面积与长方形OACB的面积相等可得出S△PAM的值，设点P的坐标为（x，−12x ＋4），分点P在AM的右侧及左侧两种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标，此题得解．【详解】解：（1）∵四边形AOBC为长方形，且点C的坐标是（8，4），∴AO＝CB＝4，OB＝AC＝8，∴A点坐标为（0，4），B点坐标为（8，0）．设对角线AB所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，则有408bk b=⎧⎨=+⎩，解得：124kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴对角线AB所在直线的函数关系式为y＝－12x＋4．（2）∵∠AOB＝90°，∴勾股定理得：AB＝∵MN垂直平分AB，∴BN＝AN＝12AB＝∵MN为线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM设AM＝a，则BM＝a，OM＝8－a，由勾股定理得，a2＝42＋（8－a）2，解得a＝5，即AM＝5．（3）（方法一）∵OM＝3，∴点M坐标为（3，0）．又∵点A坐标为（0，4），∴直线AM的解析式为y＝－43x＋4．∵点P在直线AB：y＝－12x＋4上，∴设P点坐标为（m，－12m＋4），点P到直线AM：43x＋y－4＝0的距离h2m．△PAM的面积S△PAM＝12AM•h＝54|m|＝SOABC＝AO•OB＝32，解得m＝±1285，故点P的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）．（方法二）∵S长方形OACB＝8×4＝32，∴S△PAM＝32．设点P的坐标为（x，－12x＋4）．当点P在AM右侧时，S△PAM＝12MB•（yA－yP）＝12×5×（4＋12x－4）＝32，解得：x＝1285，∴点P 的坐标为（1285，－445）；当点P 在AM 左侧时，S △PAM ＝S △PMB －S △ABM ＝12MB •yP －10＝12×5（－12x ＋4）－10＝32，解得：x ＝－1285， ∴点P 的坐标为（－1285，845）．综上所述，点P 的坐标为（1285，－445）或（－1285，845）．【点睛】本题考查了坐标系中点的意、勾股定理、点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式，解题的关键：（1）根据坐标系中点的意义，找到A 、B 点的坐标；（2）由线段垂直平分线的性质和勾股定理找出BM 的长度；（3）（方法一）结合点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式找到关于m 的一元一次方程；（方法二）利用分割图形求面积法找出关于x 的一元一次方程．本题属于中等题，难度不大，运算量不小，这里尤其要注意点P 有两个．4、 (1)见解析 (2)5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)6【解析】【分析】（1）作出过点E 的l 的垂线即可解决；（2）设直线l 交x 轴于点D ，则由直线解析式可求得点D 、点G 的坐标，从而可得OD 的长．由对称性及平行可得E D E G ''=，设点P 的坐标为(a ，2a －2)，则可得点E 的坐标，由E G EG '=及勾股定理可求得点E '的坐标；（3）分别过点A 、B 作y 轴的平行线，与过点G 的垂直于y 轴的直线分别交于点C 、M ，则点E 在线段CM 上运动，根据对称性知，点E '运动路径的长度等于CM 的长，故只要求得CM 的长即可，由A 、B 两点的坐标即可求得CM 的长．(1)所作出点E 的对应点E′如下图所示：(2)设直线l 交x 轴于点D在y =2x －2中，令y =0，得x =1；令x =0，得y =－2则点D 、点G 的坐标分别为(1，0)、(0，－2)∴OD =1，OG =2由对称性的性质得：E G EG '=，EGD E GD '∠=∠∵GE ∥x 轴∴EGD E DG '∠=∠∴E GD E DG ''∠=∠∴E D E G ''=∴E D EG '=设点P 的坐标为(a ，2a －2)，其中a >0，则可得点E 的坐标为(a ，－2)∴EG =a∴E D a '=∴1OE E D OD a ''=-=-在Rt △OGE '中，由勾股定理得：2222(1)a a +-= 解得：52a =当52a =时，5232232a -=⨯-= 所以点P 的坐标为5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)分别过点A 、B 作y 轴的平行线，与过点G 的垂直于y 轴的直线分别交于点C 、M ，则点E 在线段CM 上运动，根据对称性知，点E '运动路径的长度等于CM 的长∵A ，B 两点的坐标分别为(－2，－6)，(4，6)∴CM =4－(－2)=6则点E '运动路径的长为6故答案为：6【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、折叠的性质、尺规作图等知识，一次函数的性质及折叠的性质的应用是本题的关键．5、 (1)A 种产品生产400件，B 种产品生产200件(2)A 种产品生产1000件时，利润最大为460000元【解析】【分析】（1）设A 种产品生产x 件，则B 种产品生产（600-x ）件，根据600件产品用220000元资金，即可列方程求解；（2）设A 种产品生产x 件，总利润为w 元，得出利润w 与A 产品数量x 的函数关系式，根据增减性可得，A 产品生产越多，获利越大，因而x 取最大值时，获利最大，据此即可求解．(1)解：设A 种产品生产x 件，则B 种产品生产（600-x ）件，由题意得：400(600)300220000x x +-⨯=，解得：x ＝400，600-x =200，答：A 种产品生产400件，B 种产品生产200件.(2)解：设A种产品生产x件，总利润为w元，由题意得：(560400)(450300)(3000)10450000w x x x=-+--=+由30002xx-≤，得：1000x≤，因为10>0，w随x的增大而增大，所以当x＝1000时，w最大＝460000元．【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数的实际应用. 解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．。

冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案

冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案22.1 平行四边形的性质一、选择题1．平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对边平行C．对角线互相垂直D．对边相等2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（）A．5对B．4对C．3对D．2对（第2题图）（第3题图）3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知平行四边形ABCD的一条边长是5，则两条对角线的长可能是（）A．6和16 B．6和6 C．5和5 D．8和185．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（）A．1种B．2种C．3种D．无数种6．在平行四边形ABCD中，若∠A=30°，AB边上的高为8，则BC=（）A．B．C．8 D．167．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD=10，AD=16，则EC为（）A．10 B．16 C．6 D．138．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=45°，，则AB与CD之间的距离为（）A B C D．3（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长为（）A．5cm B．10cm C．16cm D．11cm10．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，若∠B=45°，则平行四边形ABCD的面积为（）A．8 B．C．D．24二、填空题11．平行四边形的对角线_________．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=4，BO=3，则CO=______，BD=________．（第12题图）（第13题图）（第14题图）13．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_______，△AOD≌△_______．14．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为3，则平行四边形ABCD的面积为______．16．平行四边形的两组对边分别_________．17．夹在两平行线的平行线段_______，夹在两平行线间_______相等．18．在ABCD中，若AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为________cm．19．已知平行四边形ABCD的周长为26，若AB=5，则BC=________．20．在平行四边形ABCD中，若AB：BC=2：3，周长为30cm，则AB=______cm，BC=______cm．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD=4，DO=3．（1）求△COD的周长；（2）直接写出Y ABCD 的面积．（第21题图）22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．（第22题图）参考答案一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B 10.B二、11．互相平分12．4，8 13．COD，COB 14．18 15．12 16．相等17．相等，的垂线段18．14 19．8 20．6，9三、21．（1）（2）2422．提示：证△ABM≌△CDN，得∠BMA=∠DNC，于是∠BMN=∠DNM，所以BM∥DN.22.2 平行四边形的判定一．选择题（共6小题）1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）（第1题图）A．6 B．12 C．20 D．242．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（）（第2题图）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）（第4题图）A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC5．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．∠A=∠C，∠B=∠DB．∠A=∠B=∠C=90°C．∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°D．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°二．填空题（共6小题）7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．（第7题图）8．如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB=CD，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．（第8题图）9．将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据．（第9题图）10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是（填序号）（第10题图）11．如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要添加的条件是（只需写出一个即可）（第11题图）12．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是．（只添加一个条件）（第12题图）三．解答题（共12小题）13．如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．（第13题图）14．在▱ABCD中，∠DAB与∠DCB的角平分线AE，CF分别与对角线BD交于点E与点F，连接AF，CE．求证：四边形AECF是平行四边形．（第14题图）15．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB∥DC，AC=10，BD=8．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．（第15题图）参考答案一．1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D二．7．BO=DO．（答案不唯一）8．AB∥CD或AD=BC（答案不唯一）9．两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可）10．①②③11．AD=BC或AB∥CD 12．BF=DE 三．13．证明：∵在▱ABCD中，AD∥BF．∴∠ADC=∠FCD．∵E为CD的中点，∴DE=CE．在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）∴AD=FC．又∵AD∥FC，∴四边形ACFD是平行四边形．14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠DAB=∠DCB，∴∠ADB=∠DBC.∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，∴∠DAE=∠BCF，∵∠DAE=∠DCF，∠ADB=∠DBC，AD=BC. ∴△DEB≌△BFC，∴AE=CF，∠DEA=∠CFB，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF.又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.15．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，又∵AO=CO，∴△AOB≌△COD，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积为S=AC×BD=40．22.3 三角形的中位线一．选择题1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）（第1题图）A．B．2 C．D．32．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）（第2题图）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDCC．∠DEC=30°D．AB=CD3．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）（第3题图）A．6 B．12 C．18 D．244．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）（第4题图）A．5 B．7 C．9 D．11二．填空题5．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6cm，则DE的长度是cm．（第5题图）6．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是．（第6题图）7．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC 的周长，则DE的长是．（第7题图）8．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．（第8题图）9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是．（第9题图）10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE 的面积是．（第10题图）三．解答题（共12小题）11．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．（第11题图）12．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．（第12题图）13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．（第13题图）14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AC=6，AB=10，连接CD，则DE=，CD=．（第14题图）15．观察探究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：（第15题图）当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？16．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．（第16题图）参考答案一．1．C 2．C 3．B 4．B二．5．3 6．18 7．8．D是BC的中点9．40°10．6三．11．解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．（第11题答图）（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．12．证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵EM∥CG，∴=，∵BM=CM，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．（第12题答图）13．（1）证明：∵AN平分∠BAC∴∠1=∠2∵BN⊥AN∴∠ANB=∠AND=90°在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．14．解：（1）如答图．（第14题答图）（2）∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，∵AC=6，∴DE=3，∵AB=10，CD是Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，∴CD=5.15．（1）证明：连接BD，如答图.∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH=BD，EH∥BD．同理得FG=BD，FG∥BD．∴EH=FG，EH∥FG．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．（第15题答图）16．解：（1）FH与FC的数量关系是FH=FC．证明如下：延长DF交AB于点G.由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，∴DG∥CB，∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且，∴DG为△ABC的中位线，∴．∵AC=BC，∴DC=DG，∴DC﹣DE=DG﹣DF，即EC=FG．∵∠EDF=90°，FH⊥FC，∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，∴∠1=∠2．∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DGA=45°，∴∠CEF=∠FGH=135°，∴△CEF≌△FGH，∴CF=FH．（2）FH与FC仍然相等．理由：由题意可得出：DF=DE，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF∥BC，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D为AC的中点，DF∥BC，∴DG=BC，DC=AC，∴DG=DC，∴EC=GF，∵∠DFC=∠FCB，∴∠GFH=∠FCE，在△FCE和△HFG中，∴△FCE≌△HFG（ASA），∴HF=FC．（第16题答图）22.4 矩形一．选择题1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF=30°，则∠FGB的度数为（）（第1题图）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，BO=4，则矩形的边BC的长是（）（第2题图）A．6 B．8 C．6D．43．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角4．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为（）（第4题图）A．1 B．C．D．5．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂C．对角线相等D．对角线平分一组对角6．矩形具有下列性质（）A．对角线相互垂直B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角D．面积等于两条对角线乘积的一半7．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）（第7题图）A．B．C．D．不确定8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC 的度数是（）（第8题图）A．30°B．45°C．50°D．55°9．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直10．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（）（第10题图）A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形B．若BE=CE时，四边形BHCG为矩形C．若HE=CE，则四边形BHCG为平行四边形D．若CH=3，CG=4，则CE=2.511．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）（第11题图）A．3 B．C．D．4二．解答题12．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．（1）求证：F是AB的中点；（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．（第13题图）14．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，EF⊥BD于点O，EF分别交AD，BC于点E，F．且AE=EO=DE，那么平行四边形ABCD是否是矩形，为什么？（第14题图）参考答案一．1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C11．C二．12．证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC∴四边形DBCE是平行四边形∴DB=EC，∵E是AC中点∴AE=EC∵AE=EC，AC∥DB∴四边形ADBE是平行四边形∴AF=BF，即F是AB中点．（2）添加AB=BC∵AB=BC，AE=EC∴BE⊥AC∴平行四边形DBEA是矩形．13．证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴∠EBC=∠ADF，由题意知，BE=DF，在△BEC与△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=AF，同理可得AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形；（2）当t=2或t=10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；（第13题答图）理由：由矩形的性质知OE=OF、OA=OC，要使∠EAF是直角，只需OE=OF=OA=AC=4cm．则∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°即∠EDF=90°．此时BE=DF=（BD﹣EF）=（12﹣8）=2cm或BE=DF=12﹣2=10cm14．解：平行四边形ABCD是矩形．如图所示，取DE的中点G，连接OG，∵EF⊥BD，∴Rt△DOE中，OG=DE=EG=DG，∵AE=EO=DE，∴EO=OG=EG，∴△OEG是等边三角形，∴∠AEO=∠DGO=120°，又∵AE=DG，OE=OG，∴△AOE≌△DOG，∴AO=DO，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO=2DO=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．（第14题答图）22.5 菱形一．选择题（共6小题）1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）（第1题图）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）（第2题图）A．24 B．18 C．12 D．93．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）（第3题图）A．20 B．24 C．40 D．484．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）（第4题图）A．52 B．48 C．40 D．205．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形二．填空题6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为．（第6题图）7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为．（第7题图）8．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于．（第8题图）9．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为．（第9题图）10．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是．三．解答题（共11小题）11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．（第11题图）12．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．（第13题图）14．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．（第14题图）15．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．（第15题图）参考答案一．1．A 2．A 3．A 4．A 5．B二．6．7．3 8．27 9．（2，﹣3）10．2．三．11．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∴菱形ABCD的周长为：8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2∴AC⊥BD，AO=1，∴BO=，∴BD=212．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ=∠DBC，∴∠ADB=∠BCQ∵DP=CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD=PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD=∠BQC，∵∠APD+∠APB=180°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴四边形ABQP是菱形．13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．14．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．15．证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．22.6 正方形一．选择题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（）（第1题图）A．（﹣6，2）B．（0，2）C．（2，0）D．（2，2）2．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形3．下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）（第4题图）A．B．2C．2 D．15．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）（第5题图）A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题（共3小题）6．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．（第6题图）7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．（第8题图）三．解答题（共4小题）9．已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．（第9题图）10．如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．（第10题图）11．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．（第11题图）12．如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．（第12题图）参考答案一．1．B 2．C 3．D 4．B 5．B二．6．（﹣1，）7．①③④8．①②④三．9．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°∵CM⊥BE，∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3在△ABE和△BCN中∴△ABE≌△BCN（ASA）；（2）∵N为AB中点，∴BN=AB又∵△ABE≌△BCN，∴AE=BN=AB在Rt△ABE中，tan∠ABE═．10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，∵∠CEF=45°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．12．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE．22.7 多边形的内角和与外角和一．选择题1．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．9 D．122．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α﹣5的值是（）（第2题图）A．35°B．40°C．50°D．不存在3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）（第3题图）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D4．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（）（第4题图）A．180°B．270°C．360°D．450°5．一个多边形的内角和等于360°，它是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．正六边形D．正八边形7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．460°B．540°C．900°D．1260°8．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形．A．三B．四C．五D．六10．四边形的四个内角可以都是（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上答案都不对二．11．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了米？这个多边形的内角和是度？（第11题图）12．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是．13．在图中，x的值为．（第13题图）14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=．（第14题图15．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是．（第15题图）三．解答题（共3小题）16．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？（第16题图）17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1=∠2．（1）求证：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE的度数．（第17题图）18．解答题：（第18题图）（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图②③，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图③，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P=．（用α，β的代数式表示）（作图2分，写出结果）参考答案一．1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B 二．11．120；3960 12．五13．135 14．360°15．10三．16．解：如答图.由三角形的外角性质，得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（第16题答图）17．解：（1）如答图.（第17题答图）∵AD∥BC（已知），∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1=∠2，∴∠3=∠2（等量代换）．∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A=130°（已知），∴∠ABC=50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3=∠ABC=25°．∴∠2=∠3=25°．∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=70°，∴∠CFE=85°．18．解：（1）如答图1中，结论：2∠P=∠A．（第18题答图）理由：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，∴2∠P=∠A；（2）①如答图2中，解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠DCE，∴∠P+∠PBC=（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）=（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠P=（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A=α，∠D=β，∴∠P=（α+β）﹣90°；解法二：延长BA交CD的延长线于点F．∵∠F=180°﹣∠FAD﹣∠FDA=180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）=α+β﹣180°，由（1）可知，∠P=∠F，∴∠P=（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F=180°﹣α﹣β，∠P=∠F，∴∠P=（180°﹣α﹣β）=90°﹣α﹣β。

冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案

冀教版八年级数学下册第22章测试题及答案22.1 平行四边形的性质一、选择题1．平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对边平行C．对角线互相垂直D．对边相等2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（）A．5对B．4对C．3对D．2对（第2题图）（第3题图）3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知平行四边形ABCD的一条边长是5，则两条对角线的长可能是（）A．6和16 B．6和6 C．5和5 D．8和185．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（）A．1种B．2种C．3种D．无数种6．在平行四边形ABCD中，若∠A=30°，AB边上的高为8，则BC=（）A．B．C．8 D．167．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若CD=10，AD=16，则EC为（）A．10 B．16 C．6 D．138．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A=45°，，则AB与CD之间的距离为（）A B C D．3（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AC=3cm，若△ABC的周长为8cm，则平行四边形的周长为（）A．5cm B．10cm C．16cm D．11cm10．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，若∠B=45°，则平行四边形ABCD的面积为（）A．8 B．C．D．24二、填空题11．平行四边形的对角线_________．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=4，BO=3，则CO=______，BD=________．（第12题图）（第13题图）（第14题图）13．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_______，△AOD≌△_______．14．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若△AOB的面积为3，则平行四边形ABCD的面积为______．16．平行四边形的两组对边分别_________．17．夹在两平行线的平行线段_______，夹在两平行线间_______相等．18．在ABCD中，若AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为________cm．19．已知平行四边形ABCD的周长为26，若AB=5，则BC=________．20．在平行四边形ABCD中，若AB：BC=2：3，周长为30cm，则AB=______cm，BC=______cm．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD=4，DO=3．（1）求△COD的周长；（2）直接写出Y ABCD 的面积．（第21题图）22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．（第22题图）参考答案一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B 10.B二、11．互相平分12．4，8 13．COD，COB 14．18 15．12 16．相等17．相等，的垂线段18．14 19．8 20．6，9三、21．（1）（2）2422．提示：证△ABM≌△CDN，得∠BMA=∠DNC，于是∠BMN=∠DNM，所以BM∥DN.22.2 平行四边形的判定一．选择题（共6小题）1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）（第1题图）A．6 B．12 C．20 D．242．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（）（第2题图）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）（第4题图）A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC5．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．∠A=∠C，∠B=∠DB．∠A=∠B=∠C=90°C．∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°D．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°二．填空题（共6小题）7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．（第7题图）8．如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB=CD，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．（第8题图）9．将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则四边形ABCD为平行四边形，请你写出判断的依据．（第9题图）10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形：④图中共有四对全等三角形．其中正确结论是（填序号）（第10题图）11．如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要添加的条件是（只需写出一个即可）（第11题图）12．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，则需添加的一个条件可以是．（只添加一个条件）（第12题图）三．解答题（共12小题）13．如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC的延长线交于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形．（第13题图）14．在▱ABCD中，∠DAB与∠DCB的角平分线AE，CF分别与对角线BD交于点E与点F，连接AF，CE．求证：四边形AECF是平行四边形．（第14题图）15．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB∥DC，AC=10，BD=8．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．（第15题图）参考答案一．1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D二．7．BO=DO．（答案不唯一）8．AB∥CD或AD=BC（答案不唯一）9．两组对边分別平行的四边形是平行四边形；两组对边分別相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（写出一种即可）10．①②③11．AD=BC或AB∥CD 12．BF=DE 三．13．证明：∵在▱ABCD中，AD∥BF．∴∠ADC=∠FCD．∵E为CD的中点，∴DE=CE．在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）∴AD=FC．又∵AD∥FC，∴四边形ACFD是平行四边形．14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠DAB=∠DCB，∴∠ADB=∠DBC.∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，∴∠DAE=∠BCF，∵∠DAE=∠DCF，∠ADB=∠DBC，AD=BC. ∴△DEB≌△BFC，∴AE=CF，∠DEA=∠CFB，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF.又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.15．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，又∵AO=CO，∴△AOB≌△COD，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积为S=AC×BD=40．22.3 三角形的中位线一．选择题1．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）（第1题图）A．B．2 C．D．32．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）（第2题图）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDCC．∠DEC=30°D．AB=CD3．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）（第3题图）A．6 B．12 C．18 D．244．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）（第4题图）A．5 B．7 C．9 D．11二．填空题5．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6cm，则DE的长度是cm．（第5题图）6．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是．（第6题图）7．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC 的周长，则DE的长是．（第7题图）8．在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．（第8题图）9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是．（第9题图）10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE 的面积是．（第10题图）三．解答题（共12小题）11．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．（第11题图）12．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．（第12题图）13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．（第13题图）14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点，（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AC=6，AB=10，连接CD，则DE=，CD=．（第14题图）15．观察探究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：（第15题图）当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？16．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．（第16题图）参考答案一．1．C 2．C 3．B 4．B二．5．3 6．18 7．8．D是BC的中点9．40°10．6三．11．解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．（第11题答图）（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．12．证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵EM∥CG，∴=，∵BM=CM，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．（第12题答图）13．（1）证明：∵AN平分∠BAC∴∠1=∠2∵BN⊥AN∴∠ANB=∠AND=90°在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．14．解：（1）如答图．（第14题答图）（2）∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，∵AC=6，∴DE=3，∵AB=10，CD是Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，∴CD=5.15．（1）证明：连接BD，如答图.∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH=BD，EH∥BD．同理得FG=BD，FG∥BD．∴EH=FG，EH∥FG．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．（第15题答图）16．解：（1）FH与FC的数量关系是FH=FC．证明如下：延长DF交AB于点G.由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，∴DG∥CB，∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且，∴DG为△ABC的中位线，∴．∵AC=BC，∴DC=DG，∴DC﹣DE=DG﹣DF，即EC=FG．∵∠EDF=90°，FH⊥FC，∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，∴∠1=∠2．∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DGA=45°，∴∠CEF=∠FGH=135°，∴△CEF≌△FGH，∴CF=FH．（2）FH与FC仍然相等．理由：由题意可得出：DF=DE，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF∥BC，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D为AC的中点，DF∥BC，∴DG=BC，DC=AC，∴DG=DC，∴EC=GF，∵∠DFC=∠FCB，∴∠GFH=∠FCE，在△FCE和△HFG中，∴△FCE≌△HFG（ASA），∴HF=FC．（第16题答图）22.4 矩形一．选择题1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF=30°，则∠FGB的度数为（）（第1题图）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，BO=4，则矩形的边BC的长是（）（第2题图）A．6 B．8 C．6D．43．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角4．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为（）（第4题图）A．1 B．C．D．5．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂C．对角线相等D．对角线平分一组对角6．矩形具有下列性质（）A．对角线相互垂直B．对角线相等C．一条对角线平分一组对角D．面积等于两条对角线乘积的一半7．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）（第7题图）A．B．C．D．不确定8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC 的度数是（）（第8题图）A．30°B．45°C．50°D．55°9．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直10．如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H．则下列结论错误的是（）（第10题图）A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形B．若BE=CE时，四边形BHCG为矩形C．若HE=CE，则四边形BHCG为平行四边形D．若CH=3，CG=4，则CE=2.511．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）（第11题图）A．3 B．C．D．4二．解答题12．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．（1）求证：F是AB的中点；（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．（1）求证：四边形AECF为平行四边形．（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．（第13题图）14．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，EF⊥BD于点O，EF分别交AD，BC于点E，F．且AE=EO=DE，那么平行四边形ABCD是否是矩形，为什么？（第14题图）参考答案一．1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C11．C二．12．证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC∴四边形DBCE是平行四边形∴DB=EC，∵E是AC中点∴AE=EC∵AE=EC，AC∥DB∴四边形ADBE是平行四边形∴AF=BF，即F是AB中点．（2）添加AB=BC∵AB=BC，AE=EC∴BE⊥AC∴平行四边形DBEA是矩形．13．证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∴∠EBC=∠ADF，由题意知，BE=DF，在△BEC与△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=AF，同理可得AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形；（2）当t=2或t=10时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；（第13题答图）理由：由矩形的性质知OE=OF、OA=OC，要使∠EAF是直角，只需OE=OF=OA=AC=4cm．则∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°即∠EDF=90°．此时BE=DF=（BD﹣EF）=（12﹣8）=2cm或BE=DF=12﹣2=10cm14．解：平行四边形ABCD是矩形．如图所示，取DE的中点G，连接OG，∵EF⊥BD，∴Rt△DOE中，OG=DE=EG=DG，∵AE=EO=DE，∴EO=OG=EG，∴△OEG是等边三角形，∴∠AEO=∠DGO=120°，又∵AE=DG，OE=OG，∴△AOE≌△DOG，∴AO=DO，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO=2DO=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．（第14题答图）22.5 菱形一．选择题（共6小题）1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）（第1题图）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）（第2题图）A．24 B．18 C．12 D．93．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）（第3题图）A．20 B．24 C．40 D．484．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）（第4题图）A．52 B．48 C．40 D．205．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形二．填空题6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为．（第6题图）7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为．（第7题图）8．如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE=AB，CF=CB，AG=AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于．（第8题图）9．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为．（第9题图）10．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是．三．解答题（共11小题）11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．（第11题图）12．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．（第12题图）13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．（第13题图）14．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．（第14题图）15．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．（第15题图）参考答案一．1．A 2．A 3．A 4．A 5．B二．6．7．3 8．27 9．（2，﹣3）10．2．三．11．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∴菱形ABCD的周长为：8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2∴AC⊥BD，AO=1，∴BO=，∴BD=212．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ=∠DBC，∴∠ADB=∠BCQ∵DP=CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD=PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD=∠BQC，∵∠APD+∠APB=180°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴四边形ABQP是菱形．13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．14．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．15．证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．22.6 正方形一．选择题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（）（第1题图）A．（﹣6，2）B．（0，2）C．（2，0）D．（2，2）2．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形3．下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）（第4题图）A．B．2C．2 D．15．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）（第5题图）A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题（共3小题）6．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．（第6题图）7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．（第8题图）三．解答题（共4小题）9．已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．（第9题图）10．如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．（第10题图）11．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．（第11题图）12．如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．（第12题图）参考答案一．1．B 2．C 3．D 4．B 5．B二．6．（﹣1，）7．①③④8．①②④三．9．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°∵CM⊥BE，∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3在△ABE和△BCN中∴△ABE≌△BCN（ASA）；（2）∵N为AB中点，∴BN=AB又∵△ABE≌△BCN，∴AE=BN=AB在Rt△ABE中，tan∠ABE═．10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，∵∠CEF=45°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．12．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE．22.7 多边形的内角和与外角和一．选择题1．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．9 D．122．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α﹣5的值是（）（第2题图）A．35°B．40°C．50°D．不存在3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC=（）（第3题图）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D4．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（）（第4题图）A．180°B．270°C．360°D．450°5．一个多边形的内角和等于360°，它是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的3倍，那么这个多边形是（）A．六边形B．八边形C．正六边形D．正八边形7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．460°B．540°C．900°D．1260°8．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形．A．三B．四C．五D．六10．四边形的四个内角可以都是（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上答案都不对二．11．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了米？这个多边形的内角和是度？（第11题图）12．一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是．13．在图中，x的值为．（第13题图）14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=．（第14题图15．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是．（第15题图）三．解答题（共3小题）16．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？（第16题图）17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1=∠2．（1）求证：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE的度数．（第17题图）18．解答题：（第18题图）（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系，并说明理由．（2）如图②③，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）②如图③，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P=．（用α，β的代数式表示）（作图2分，写出结果）参考答案一．1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B 二．11．120；3960 12．五13．135 14．360°15．10三．16．解：如答图.由三角形的外角性质，得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（第16题答图）17．解：（1）如答图.（第17题答图）∵AD∥BC（已知），∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1=∠2，∴∠3=∠2（等量代换）．∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A=130°（已知），∴∠ABC=50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3=∠ABC=25°．∴∠2=∠3=25°．∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=70°，∴∠CFE=85°．18．解：（1）如答图1中，结论：2∠P=∠A．（第18题答图）理由：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，∴2∠P=∠A；（2）①如答图2中，解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠DCE，∴∠P+∠PBC=（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）=（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠P=（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A=α，∠D=β，∴∠P=（α+β）﹣90°；解法二：延长BA交CD的延长线于点F．∵∠F=180°﹣∠FAD﹣∠FDA=180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）=α+β﹣180°，由（1）可知，∠P=∠F，∴∠P=（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F=180°﹣α﹣β，∠P=∠F，∴∠P=（180°﹣α﹣β）=90°﹣α﹣β。

【冀教版教材适用】八年级数学下册《22.4.2 矩形的判定》习题课件

(2)只需添加一个条件，即___________，可使四边形
ABCD为矩形．请加以证明．
DC EA, (1)证明：在△DCA和△EAC中， AD CE , AC CA,
∴△DCA≌△EAC(SSS)． (2)解：AD＝BC 证明：∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵CE⊥AE，∴∠E＝90°. 由(1)得△DCA≌△EAC， ∴∠D＝∠E＝90°. ∴四边形ABCD为矩形．
第二十二章四边形
22.4
矩形
第2课时
矩形的判定
1 利用对角线的关系判定矩形 2 利用直角的个数判定矩形
3 利用矩形的性质和判定探究运动时间 4 利用矩形的判定探究动点的位置(逆向思维法)
11．【中考· 徐州】如图，在平行四边形ABCD中，点O
是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点
E，连接BD，EC. (1)求证：四边形BECD是平行四边形；
证明：(1)在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠CBE＝∠BCD， ∵点O是边BC的中点，∴OB＝OC，
∵∠BOE＝பைடு நூலகம்COD，
∴△BOE≌△COD，∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形．
100 °时，四 (2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________
边形BECD是矩形．
12．【中考· 日照】如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC， CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC；
解：根据题意得CQ＝2t cm，AP＝4t cm，则BP＝(24－4t)cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB. ∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形，即2t＝24－4t. 解得t＝4， ∴当t＝4时，四边形QPBC是矩形．

【冀教版】2019年春八年级数学下册第二十二章复习

第二十二章四边形【学习目标】1．理解平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。

2．梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。

3．在回顾与思考的过程中体会特殊与一般的关系，进一步体会类比、转化等一些重要的数学思想。

【重点难点】灵活应用所学知识解决有关问题。

【教学过程】一．知识再现1．下列命题中，正确的是（）2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线平分 3．三角形三条中位线的长分别为5米，12米，13米，则原三角形的面积是_____米 4．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点， F 为BC 延长线上一点，CE =CF .(1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD .二．梳理沟通（学生先自主学习，再合作交流；教师穿插于学生之中，及时引导，答疑解惑，参与讨论并了解学生动向．）1．建成下列框架结构，理解各特殊四边形的联系与区别。

2．结合下表中的图形，用文字语言或符号语言写出它们的性质．3．学会判定方法（让学生用符号语言再以文字语言对照比较）（通过活动，让学生明白结构，熟悉图形语言、文字语言、符号语言的互相翻译与应用。

）由教师演示课件，师生共述，加深理解本章的知识脉络。

）三．知识运用，拓展与创新（教师引导学生深度加工，习得悟得）例题1:已知，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,点F,E分别在BC和AD边上，AE=CF,EF和对角线AD交于点O，求证：点O是BD的中点。

例题2、已知如图：在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证：四边形EFGH是平行四边形.变式一：顺次链接矩形各边的中点得到的四边形是菱形。

变式二：顺次链接菱形各边的中点得到的四边形是矩形。

变式三：顺次链接正方形各边的中点得到的四边形是正方形。

变式四：顺次链接等腰梯形各边的中点得到的四边形是菱形。

冀教版八年级下册数学课件第22章22.6.2正方形性质与判定的灵活运用

∵△APD≌△AEB，BE＝ 3，∴PD＝BE＝ 3，
∴S△ABP＋S△ADP＝S△ABD－S△BDP＝12S 正方形 ABCD－12×DP×BE＝12
×
262＋
26＋12－12×
3×
3＝12＋
6 2.
故④不正确．
综上可知，正确结论的序号是①②③. 【答案】A
(2)当AE＝1时，求EF的长．解：设 EF＝MF＝x. ∵AE＝CM＝1，且 AB＝BC＝3， ∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，EB＝AB－AE＝3－1＝2. ∴BF＝BM－MF＝4－x. 在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2＋BF2＝EF2，即 22＋(4－x)2＝x2，解得 x＝52，则 EF＝52.
∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴EF＝BE.
∴四边形 AFDB 是平行四边形，∴BD＝AF.
∵AD 为△ABC 的中线，∴DC＝BD，∴AF＝DC.
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
解：四边形 ADCF 是菱形．证明：∵AF＝DC，AF∥BC，∴四边形 ADCF 是平行四边形． ∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°. ∵AD 为△ABC 的中线，∴AD＝DC， ∴四边形 ADCF 是菱形．
(3)在(2)的条件下，要使四边形ADCF为正方形，在△ABC中应添加什么条件，请直接把补充条件写在横线上 _(答__案__不__唯__一__)_A_C__＝__A_B__(不需说明理由)．
【点拨】∵AC＝AB，AD 为△ABC 的中线，∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°. 又∵四边形 ADCF 是菱形，∴四边形 ADCF 是正方形．
2．如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转 90°得到△DCM.

2022年最新冀教版八年级数学下册第二十二章四边形重点解析试题(含详细解析)

八年级数学下册第二十二章四边形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变2、下列说法不正确．．．的是（）A．三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角B．四边形的内角和与外角和相等C．等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条D．全等三角形的周长相等，面积也相等3、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD4、下列命题不正确的是（）A ．三边对应相等的两三角形全等B ．若a b =，则22a b =C ．有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形D ．ABC 的三边为a 、b 、c ，若222a c b -=，则ABC 是直角三角形．5、如图，正方形ABCD 的边长为8，对角线AC 、BD 相交于点G ．K 为AC 上的一点，且CK =BK 并延长交CD 于点H ．过点A 作AE BH ⊥于点E ，交BD 于点F ，则AF 的长为（）A ．B ．4C ．D ．6、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A ．B ．C ．D ．7、如图，平行四边形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．48、将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形9、一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A．5 B．4 C．7 D．610、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC 上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则B2的坐标是 ___；B2020的坐标是 ___．2、已知菱形ABCD 两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH 的周长和面积分别是菱形ABCD 周长和面积的2倍，则菱形EFGH 两条对角线的长分别是 _____．3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点D 在x 轴上，边BC 在y 轴上，若点A 的坐标为（12，13），则点C 的坐标是___．4、如图，在矩形ABCD 中，6AB =，5BC =，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且4EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是______．5、将矩形纸片ABCD （AB ＜BC ）沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图1）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为EG （如图2）：再展开纸片（如图3），则图3中∠FEG 的大小是__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且45∠=︒，求证：EAF△绕点A顺时针旋转90°至ADG，使AB与AD重合时能够证=+．小明发现，当把ABEEF DF BE明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF，BE，DF之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45∠=︒，则EF，BE，DF之间的EAF数量关系是______（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=AF的长．2、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．(1)尺规作图：作ADF ∠，使ADF BAE =∠∠，点F 是ADF ∠的边与线段AB 的交点．（不写作法，保留作图痕迹）；(2)探究：AE ，DF 的位置关系和数量关系，并说明理由．3、如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，10OA =，8OC =，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．(1)直接写出B 点的坐标____________________；(2)求D 、E 两点的坐标．4、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、DC 上的点，且AE CF =，90DEB ∠=︒，求证：四边形DEBF 是矩形5、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为；②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式．（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?①方法1：一路往下数，不回头数．以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；则图中锐角的总个数是；②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是；用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式．（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．①计算：19782＋20222；②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有条对角线，n边形共有条对角线．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案．【详解】解：连接AE ，∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，∴ABCD DEGF S S=矩形，故选：D ．．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据三角形外角的性质，四边形内角和定理和外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质判断即可．【详解】∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角，正确，∴A不符合题意；∵四边形的内角和与外角和都是360°，∴四边形的内角和与外角和相等，正确，∴B不符合题意；∵等边三角形是轴对称图形，对称轴有三条，∴等边三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，错误，∴C符合题意；∵全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，∴D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，四边形的内角和，外角和定理，等边三角形的对称性，全等三角形的性质，准确相关知识是解题的关键．3、B【解析】略4、C【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理（SSS定理）、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．【详解】解：A 、三边对应相等的两三角形全等，此命题正确，不符题意；B 、若a b =，则22a b =，此命题正确，不符题意；C 、有一组对边平行、另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以此项命题不正确，符合题意；D 、ABC 的三边为a 、b 、c ，若222a c b -=，即222a b c =+，则ABC 是直角三角形，此命题正确，不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握各定理是解题关键．5、C【解析】【分析】根据正方形的性质以及已知条件求得OK 的长，进而证明AOF ≌BOK ，即可求得OF OK =，勾股定理即可求得AF 的长【详解】解：如图，设,AC BD 的交点为O ，四边形ABCD 是正方形AC BD ∴⊥，AC BD =,11,22AO AC BO BD ==∴AC ==12OC AC == 90AOE BOK ∴∠=∠=︒，2390∠+∠=︒,AO BO =CK =OK OC CK ∴=-=AE BH ⊥∴1290∠+∠=︒13∠∠∴=在AOF 与BOK 中13AO BOAOF BOK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOF ≌BOKOF OK ∴==在Rt AOF中，AF =故选C【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n -2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．解：设所求多边形的边数为n ，根据题意得：（n -2）•180°=360°，解得n =4．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．7、B【解析】【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得DAE BEA ∠=∠，再由角平分线及等量代换得出BAE BEA ∠=∠，利用等角对等边可得3BE AB ==，结合图形即可得出线段长度．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAE BEA ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∴BAE BEA ∠=∠，∴3BE AB ==，∵5BC AD ==，∴532EC BC BE =-=-=，故选：B ．题目主要考查平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．8、B【解析】【分析】根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．【详解】展得到的图形如上图，由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．9、D【解析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×2，解得n=6．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．10、C【解析】【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【详解】解：连接AR．因为E、F F分别是AP、RP的中点，则EF为ΔAPR的中位线，所以12EF AR，为定值．所以线段EF的长不改变．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR 不变，则对应的中位线的长度就不变．二、填空题1、 (0, ()2021,0-【解析】【分析】根据已知条件和勾股定理求出OB 2的长度即可求出B 2的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形都逆时针旋转B 到B 2020变化的坐标．【详解】解：∵四边形OABC 是边长为1正方形，∴OB =∴12OB ==∴B 1的坐标是，∴2OB ==∴B 2的坐标是(0根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形逆时针旋转∴B 3的坐标是∴B 4的坐标是∴旋转8次则OB 旋转一周，∵从B 到B 2020经过了2020次变化，2020÷8=252…4，∴从B 到B 2020与B 4都在x 轴负半轴上，∴点B 2020的坐标是()2021,0-【点睛】本题主要考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．2、【解析】【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA =4，OB =3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图，菱形ABCD 中，AC =8，BD =6，∴OA =12AC =4，OB =12BD =3，AC ⊥BD ，∴AB ，∴菱形ABCD 的周长是：5×4=20，面积是：12×6×8=24．∵另一个菱形EFGH 的周长和面积分别是菱形ABCD 周长和面积的2倍，∴菱形EFGH 的周长和面积分别是40，48，∴菱形EFGH 的边长是10，设菱形EFGH的对角线为2a，2b，∴a2+b2=100，12×2a×2b=48，∴a b∴菱形EFGH两条对角线的长分别是故答案为：2【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线积的一半的知识点．3、（0，-5）【解析】【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【详解】解：∵A（12，13），∴OD=12，AD=13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=13，在Rt△ODC中，5==OC，∴C（0，-5）．故答案为：（0，-5）【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4、11【解析】【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB由对称的性质得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°∴CG=2CD=12∵M为线段EF的中点，且EF=4∴1=22BM EF=在Rt△BCG中，由勾股定理得：13BG∴GM=BG－BM=13－2=11即CP+PM的最小值为11．【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．5、22.5°【解析】【分析】根据折叠的性质可知，∠A=∠EFB=90°，AB=BF，以及纸片ABCD为矩形可得，∠AEF为直角，进而可以判断四边形ABFE为正方形，进而通过∠AEB，∠BEG的角度计算出∠FEG的大小．【详解】解：由折叠可知△AEB≌△FEB，∴∠A=∠EFB=90°，AB=BF，∵纸片ABCD为矩形，∴AE∥BF，∴∠AEF=180°－∠BFE=90°，∵AB=BF，∠A=∠AEF=∠EFB=90°，∴四边形ABFE为正方形，∴∠AEB=45°，∴∠BED=180°－45°=135°，∴∠BEG =135°÷2=67.5°，∴∠FEG =67.5°－45°=22.5°．【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，以及平行的相关性质，能够将正方形与矩形的性质相结合是解决本题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；②BE EF DF =+，见解析；（3）【解析】【分析】（1）证明EAF GAF ∆≅∆，可得出EF FG =，则结论得证；（2）①将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆根据SAS 可证明EAF MAF ∆≅∆，可得EF FM =，则结论得证；②将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，证明AFE ANE ∆≅∆，可得出EF EN =，则结论得证；（3）求出2DG =，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC ∆中，得出关于x 的方程，解出x 则可得解．【详解】（1）证明：把ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADG ∆，如图1，BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，90B ADG ∠=∠=︒，180ADF ADG ∴∠+∠=︒，F ∴，D ，G 三点共线，45EAF ∠=︒，45BAE FAD ∴∠+∠=︒，45DAG FAD ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，AF AF =，()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，EF FG DF DG ∴==+，EF DF BE ∴=+；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆，EAB MAD ∴∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，45FAM EAF ∴∠=︒=∠，AF AF =，()EAF MAF SAS ∴∆≅∆，∴==-=-；EF FM DF DM DF BE∆，②如图3，将ADF∆绕点A逆时针旋转90︒至ABNAN AF∴=，90∠=︒，NAF45∠=︒，EAF∴∠=︒，45NAE∴∠=∠，NAE FAEAE AE=，∴∆≅∆，AFE ANE SAS()∴=，EF EN∴=+=+．BE BN NE DF EF即BE EF DF=+．故答案为：BE EF DF=+．（3）解：由（1）可知AE AG==正方形ABCD 的边长为6，6DC BC AD ∴===，∴3DG ．3BE DG ∴==，633CE BC BE ∴=-=-=，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC 中，222CF CE EF +=，222(6)3(3)x x ∴-+=+，解得：2x =．2DF ∴=，AF ∴=【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．2、 (1)见解析；(2)AE DF =，AE DF ⊥，见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出ADF BAE =∠∠即可；（2）证明ABE DAF △≌△即可得结论．(1)如图，ADF ∠即为所求．(2)AE DF =，AE DF ⊥．∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC DAB ∠=∠=︒，AD AB =．在ABE △和DAF △中，ADF BAE ABC DAB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE DAF △≌△（AAS ），∴AE DF =．∵90ADF DFA ∠+∠=︒，ADF BAE =∠∠．∴90BAE DFA ∠+∠=︒，即AE DF ⊥．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3、 (1)(10，8)(2)D (0，5)，E (4，8)【解析】【分析】（1）根据10OA =，8OC =，可得B 点的坐标；（2）根据折叠的性质，可得AE =AO ，OD =ED ，根据勾股定理，可得EB 的长，根据线段的和差，可得CE 的长，可得E 点坐标；再根据勾股定理，可得OD 的长，可得D 点坐标；(1)解：∵10OA =，8OC =，∴B 点的坐标(10，8)，故答案为：(10，8)；(2)解：依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，在Rt △ABE 中，AE =AO =10，AB =OC =8，由勾股定理，得BE ，CE =BC -BE =10-6=4，E (4，8)．在Rt △DCE 中，由勾股定理，得DC 2+CE 2=DE 2，又∵DE =OD ，CD =8-OD ，(8-OD )2+42=OD 2，解得OD =5，D (0，5)．所以D (0，5)，E (4，8)；本题主要考查了、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4、证明见解析【解析】【分析】平行四边形ABCD ，可知AB CD AB CD =，；由于AE CF = ，可得BE DF =，BE DF ，知四边形DEBF 为平行四边形，由90DEB ∠=︒可知四边形DEBF 是矩形．【详解】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB CD AB CD =，∵AE CF BE AB AE DF DC CF ==-=-，，∴BE DF =∵BE DF BE DF =，∴四边形DEBF 为平行四边形又∵90DEB ∠=︒∴四边形DEBF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．5、（1）①()2a b +；②222a b ab ++；()2a b +=222a b ab ++；（2）①（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1；②()112n n -；（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1=()112n n -；（3）①8000968；②119，12n (n -3)【解析】（1）①根据边长为(a +b )的正方形面积公式求解即可；②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；（2）①根据题中的数据求和即可；②根据题意求解即可；（3）①利用（1）的规律求解即可；②根据n 边形从一个顶点出发可引出（n -3）条对角线．从n 个顶点出发引出（n -3）条，而每条重复一次，所以n 边形对角线的总条数为12n (n -3)（n ≥3，且n 为整数）可得答案．【详解】解：（1）①大正方形的面积为()2a b +；②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为222a b ab ++；可以得到等式：()2a b +=222a b ab ++；故答案为：①()2a b +；②222a b ab ++；()2a b +=222a b ab ++；（2）①图中锐角的总个数是：（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1； ②锐角的总个数是12n （n －1）；可以得到等式为（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1=12n （n －1）；故答案为：①（n －1）＋（n －2）＋（n －3）＋……＋1；②12n （n －1）；（n －1）＋（n －2）＋（n－3）＋……＋1=12n （n －1）；（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22＝2×（20002＋222）＝2×[4000000＋（20＋2）2]＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；②一个四边形共有2条对角线，即12×4×(4-3)=2；一个五边形共有5条对角线，即12×5×(5-3)=5；一个六边形共有9条对角线，即12×6×(6-3)=9；……，一个十七边形共有12×17×(17-3)=119条对角线；一个n边形共有12n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．故答案为：119，12n(n-3)．【点睛】本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．。

2019年中考数学知识点《新定义型》精选考题练习(含答案解析)

①试确定y与x的关系式. ②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.
解：（1）∵ −1+ 7 =2， 5 &，4）是点A.B的融合点。..…3分
3+t
（2）①由融合点定义知x=
，得t=3x-3....... 4分
3
又∵y= 0 + (2t + 3) ，得t= 3y − 3 ...….5分
a1 的差倒数，a3 是
a2 的差倒数，a4 是
a3 的差倒数，…，依此
类推，那么 a1＋a2＋…＋a100 的值是（）
A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5
【答案】A
11
13
1
11
【解析】由题意知：a2＝
1−
(−2)
＝
3
；a3＝
1−
1
＝
2
，a4＝
1−
3
＝－2；a5＝ 1−
(−2)
＝
3
；…；可知
足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分
别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中
的四边形 PMNQ 满足 MN∥PQ，设 P(m，0)（m＞0），∵PM＝ m2 + ( 1 m2 −1)2 ＝ 1 m2 ＋1，PQ＝ 1 m2
2
2
（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）. 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分（注：此类情况不写不扣分）
综上所述，符合题意的点为E1（ 3 ，6），E2（6，15）. ……10 分 2

冀教版八年级下册数学课件第22章22.4.3矩形性质与判定的灵活运用

又∵AB∥CF，∴四边形 ABFC 为平行四边形． ∴AE＝EF. ∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB. 又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE. ∵BE＝CE，∴AE＋EF＝BE＋CE，即 AF＝BC. ∴四边形 ABFC 为矩形．
(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
7．【2019·河北石家庄长安区期末】探究：如图①，在 △ABC中，AB＝AC，CF为AB边上的高，点P为BC边上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E.求证：PD＋PE＝CF.
嘉嘉的证明思路：连接AP，借助△ABP与△ACP的面积和等于△ABC的面积来证明结论．淇淇的证明思路：过点P作PG⊥CF于G，可证得PD＝GF， PE＝CG，则PD＋PE＝CF. 迁移：请参考嘉嘉或淇淇的证明思路，完成下面的问题．
解：过点 E 作 EQ⊥BC，垂足为 Q，如图③， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°. ∵AD＝18，CF＝5，∴BF＝BC－CF＝AD－CF＝13. 由折叠可得，DE＝BE，∠BEF＝∠DEF. ∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB. ∴∠BEF＝∠BFE. ∴BE＝BF＝13＝DE. ∴AE＝5.
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°. ∴四边形 ABCD 是矩形．
在 Rt△BAE 中，∠A＝90°，∴AB＝ BE2－AE2＝12. ∵EQ⊥BC，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠EQB＝90°＝∠A＝∠ABC. ∴四边形 EQBA 是矩形． ∴EQ＝AB＝12. 由探究的结论可得：PG＋PH＝EQ. ∴PG＋PH＝12. ∴PG＋PH 的值为 12.

新定义类问题专练(2题型)—2023-2024学年八年级数学下学期期末真题(浙江专用)(解析版)

八下新定义类问题专练四边形新定义问题1．（2023春•义乌市期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则称四边形ABCD是半对称四边形，BD称为四边形ABCD的分割对角线．（1）如图1，求证：BC∥AD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD 是半对称四边形．（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，，D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是半对称四边形且AC为分割对角线时，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，角平分线的定义和平行线的判定定理解答即可得出结论；（2）利用“半对称四边形”的定义解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，画出符合题意的图形，先计算得到△ABC的三边长度和它的面积，再计算△ADC的面积，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ADB，∴BC∥AD；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DAC．∵∠CAD＝2∠DBC，∴∠ABC＝2∠DBC，即BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD．这样，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∴四边形ABCD是半对称四边形；（3）解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图，∵CE⊥AB，∠A＝45°，∠ABC＝120°，∴∠ACE＝45°，∠EBC＝60°，∴AE＝EC，∠ECB＝30°，∴BE＝BC＝，∴EC＝＝＝3，∴AE＝EC＝3，∴AC＝EC＝3．∴AB＝AE﹣BE＝3﹣．∴AB•EC＝3＝．①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，如图，由题意：∠DAC＝∠BAC＝45°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠ADC＝90°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝AC＝3，∴AD•CD＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝+＝9﹣；②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，如图，由题意：∠ACD＝∠BCA＝15°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝15°，∴∠ADC＝150°，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，则∠CDF＝30°，∴CF＝CD，∴DF＝CD．设CD＝x，则AD＝x，CF＝x，AF＝AD+DF＝（1+）x，在Rt△ACF中，∵AC2＝AF2+CF2，∴，∴x＝3+3（不合题意，舍去）或x＝3﹣3，∴AD＝3﹣3，CF＝．∴S△ADC＝AD•CF＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝﹣+＝﹣6．综上，四边形ABCD的面积为9﹣或﹣6．2．（2022春•德清县期末）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD＝CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF ＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．3．（2023春•余姚市期末）定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．（1）下列说法正确的有①③（填序号）．①正方形一定是双距四边形．②矩形一定是双距四边形．③有一个内角为60°的菱形是双距四边形．（2）如图1，在四边形ABCD AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝∠DCB＝72°，求证：四边形ABCD为双距四边形．（3）如图2，四边形ABCD为双距四边形，，BC＝DC，AB＜BC，求BC的长．【分析】（1）由正方形的四条边都相等，两条对角线相等，可知正方形是双距四边形，可判断①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，可判断②错误；由菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，可知该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，则有一个内角为60°的菱形是双距四边形，可判断③正确，于是得到问题的答案；（2）作DG∥AB交BC于点G，则∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，所以DC＝DG，而四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DG，因为AB＝AD，所以AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，而∠ADB＝∠CBD，则∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，因为∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，所以∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，则BC＝BD，再证明△ABC和≌△DCB，即可证明AC＝BC＝BD，则四边形ABCD是双距四边形；（3）由四边形ABCD为双距四边形，AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，得AC＝BD＝BC＝DC，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，因为AC垂直平分BD，所以∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，则CE＝＝x，AE＝2x﹣x，由勾股定理得x2+（2x ﹣x）2＝（）2，求得符合题意的x值为，则BC的长是3+．【解答】（1）解：∵正方形的四条边都相等，两条对角线相等，∴正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴正方形是双距四边形，故①正确；∵矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，∴矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，∴矩形不一定是双距四边形，故②错误；∵菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，∴该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，∴该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，∴有一个内角为60°的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴有一个内角为60°的菱形是双距四边形，故③正确，故答案为：①③．（2）证明：作DG∥AB交BC于点G，∵∠ABC＝∠DCB＝72°，∴∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，∴DC＝DG，∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DG，∴AB＝DC，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∵∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，∴BC＝BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC＝BD，∴AC＝BC＝BD，∴四边形ABCD是双距四边形．（3）解：∵四边形ABCD AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，∴AC＝BD＝BC＝DC，如图2，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，∵点A、点C都在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，∴CE＝＝＝x，∴AE＝AC﹣CE＝2x﹣x，∵BE2+AE2＝AB2，AB＝，∴x2+（2x﹣x）2＝（）2，整理得x2＝，解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴BC＝2×＝3+，∴BC的长是3+．4．（2023春•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P′三点按顺时针方向排列，称点P'是点P关于正方形ABCD的“友好点”．已知A（﹣a，a），B（a，a），C（a，﹣a），D（﹣a，﹣a）（其中a＞0）．（1）如图1，若a＝3，AB的中点为M，当点P在正方形的边AB上运动时，①若点P和点P关于正方形ABCD的“友好点”点P′，恰好都在正方形的边AB上，则点P'的坐标为（，3）；点M关于正方形ABCD的“友好点”点M′的坐标为（，）；②若记点P关于正方形ABCD的“友好点”为P′（m，n），直接写出n与m的关系式（不要求写m的取值范围）；（2）如图2，E（﹣1，﹣1），F（2，2）．当点P在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点P关于正方形ABCD的“友好点”，求a的取值范围；（3）当2≤a≤4时，直接写出所有正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积．【分析】（1）①如图，OP＝OP'＝PP'，Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，解得MP'＝，得P'（，3）；如图，过点M作MF⊥x轴，垂足为F，则∠OFM＝90°，OM′＝3，OF＝＝，得M'（，）：②如图，直线PM交轴于点G，可证△POM≌△P′OM′，得∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∠OGM′＝60°，可知点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），求得k＝﹣，b＝6，于是n＝﹣m+6；（2）由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a．求得点G（a，0），可求得直线A′B′解析式y＝﹣x+2a，经过F（2，2），得a＝+1，直线C′D′解析式为y＝﹣x+2a，经过（﹣1，﹣1），得a＝；于是＜a≤+1；（3）如图，分别求得a＝2时，4时，点P′轨迹所在四边形的面积，相减即得所有“友好点”组成图形的面积为48．【解答】（1）（，3）；（，）；′如图，OP＝OP'＝PP'，∴PM＝P′M，OM＝3，∠MOP＝∠MOP′＝30°，∴OP′＝2MP′，∴Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，∴32+MP′2＝（2MP′）2，解得MP'＝，∴P（，3）；如图，过点M′作M′F⊥x轴，垂足为F，则∠OFM′＝90°，OM′＝3，∴∠M′OF＝90°﹣∠MOM′＝30°，∴M′F＝OM′＝，∴OF＝＝，∴M′（，）；②n＝﹣m+6；如图，直线P′M′交x轴于点G，∵∠POP′＝∠MOM′＝60°，∴∠POP′﹣∠MOP′＝∠MOM′﹣∠MOP′，即∠POM＝∠P′OM′，又∵OP＝OP′，OM＝OM′，∴△POM≌△P′OM′（SAS），∴∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∵∠MOG＝90°﹣60°＝30°，∴∠OGM′＝90°﹣∠M′OG＝90°﹣30°＝60°，点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴n＝﹣m+6；（2）如上图，由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a，在Rt△OM′G中，M′G＝OG，∴a2+（OG）2＝OG2，解得OG＝a，即点G（a，0），由（1）知点P在线段AB上时，直线P′M′与x轴相交锐角为60°，可设直线M′G为y＝﹣x+q，代入G（a，0），解得q＝2a，故点P′在直线y＝﹣x+2a上，即A′B′解析式为y＝﹣x+2a，如下图，同理可得，直线C′D′解析式为y＝﹣x﹣2a，经过（﹣1，﹣1），则一1＝﹣5×（﹣1）﹣2a，解得a＝；如下图，直线A′B′的解析式为y＝﹣x+2a，经过F（2，2），则2＝﹣×2+2a，解得a ＝+1．∴＜a≤+1；（3）如图，当a＝2时，点P′轨迹所在四边形A′B′C′D′的面积为（2×2）2＝16，当a＝4时，点P′轨迹所在四边形的面积为（2×4）2＝64，故2≤a≤4时，正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积为64﹣16＝48．反比例函数新定义问题5．（2022•宜城市一模）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC ⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A 在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式；②补画x＜0时“Z函数”的图象；③并写出这个函数的性质（两条即可）．【分析】（1）由四边形ABED是正方形，得AB＝1，从而得出A（4，1），则k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），则x（x﹣z）＝4，即可得出“Z函数”的表达式；②利用描点法画出图象；③根据图象可得出性质．【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝1，∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1，∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4，∴A（4，1），∴k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），∴x（x﹣z）＝4，∴z＝x﹣，②图象如图所示，③性质1：x＞0时，y随x的增大而增大，性质2：x＜0时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）．6．（2022春•嵊州市期末）定义：在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，且点M，N在同一象限，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为点G，F，若|y1|＞|y2|，则过点M作y轴的垂线，交直线NF于点E，如图1．我们称矩形MEFG为过点M，N的伴随矩形．已知：如图2，点A（1，3），点B是反比例函数图象上的两点．（1）求k的值．（2）若过点A，B的伴随矩形是正方形，求点B的坐标．（3）若过点A，B的伴随矩形的面积是3，求点B的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；（2）分两种情况：利用伴随矩形是正方形得出|m﹣1|＝3或|﹣1|＝，解方程即可求出答案；（3）分两种情况：过点A，B的伴随矩形的面积是3，得出3•|n﹣1|＝3或•|n﹣1|＝3，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3；（2）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（m，）（m＞0），①当＜3，即m＞1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|1﹣m|＝3，∴m＝﹣2（舍去）或m＝3∴B（4，）；②当＞3，即m＜1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|m﹣1|＝，∴m＞1或m＝＜0，不符合题意，即点B（4，）；（3）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（n，）（n＞0），①当＜3，即n＞1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴3•|n﹣1|＝3，∴n＝0（舍去）或n＝2，∴B（2，）；②当＞3，即n＜1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴•|n﹣1|＝3，∴n＝，∴B（，6）；即点B的坐标为（2，）或（，6）．7．（2023春•宁波期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．（1）矩形是勾股四边形（填“是”或“不是”）．（2）如图在直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与双曲线相交于A，B两点，点P（﹣3，0）在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．①分别求出A、B两点的坐标．②当四边形APQB是平行四边形时，如图（Ⅰ），请证明▱APQB是勾股四边形．（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．【分析】（1）证矩形的对角线将矩形分成的两个直角三角形全等即可得出结论；（2）①直线y＝﹣x+1与双曲线联立成方程组，解方程组即可得点A，B的坐标；②利用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝3x+9，直线BQ的解析式为y＝3x+11，直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣3，解方程组，可得点Q（2，﹣5），然后证△APB为直角三角形，再证△APB和△QBP全等即可得出结论；（3）由∠APB＝90°得：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下三种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时可得点Q的坐标；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，证△APB和△P AQ可得四边形ABPQ为勾股四边形，连接BQ交AP于点E，先求出点E（﹣2.5，1.5），进而可求出点Q的坐标；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，此时四边形APBQ为矩形，由（1）知矩形为勾股四边形，同（ⅱ）得点Q的坐标．【解答】（1）解：矩形是勾股四边形．理由如下：四边形ABCD为矩形，AC为对角线，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠C＝90°，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴矩形是勾股四边形．故答案为：是．（2）①解：解方程组，得：，，∴点A（﹣2，3），点B（3，﹣2）；②证明：设直线AP的解析式为：y＝k1x+b1，将点A（﹣2，3），P（﹣3，0）代入y＝k1x+b1，得，解得：，∴直线AP的解析式为：y＝3x+9，∵四边形APQB为平行四边形，∴BQ∥AP，PQ∥AB，AP＝QB，AB＝QP，∴设直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2，∵BQ∥AP，∴k2＝3，即直线BQ的解析式为：y＝3x+b2，将点B（3，﹣2）代入y＝3x+b2，得：b2＝﹣11，∴直线BQ的解析式为：y＝3x﹣11，设直线PQ的解析式为：y＝k3x+b3，∵PQ∥AB，∴k3＝﹣1，即直线PQ的解析式为：y＝﹣x+b3，将点P（﹣3，0）代入y＝﹣x+b3，得：b3＝﹣3，∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x﹣3，解方程组，解得：，∴点Q（2，﹣5），∵点A（﹣2，3），B（3，﹣2），P（﹣3，0），Q（2，﹣5），∴AB2＝（﹣2﹣3）2+（3+2）2＝50，AP2＝（﹣2+3）2+（3﹣0）2＝10，PB2＝（3+3）2+（﹣2﹣0）2＝40，∴AB2＝AP2+PB2，∴△APB为直角三角形，即∠APB＝90°，∵BQ∥AP，∴∠APB＝∠QBP＝90°，∴△QBP为直角三角形，在△APB和△QBP中，，∴△APB≌△QBP（SSS），∴平行四边形APQB为勾股四边形．（3）解：点Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．理由如下：由（2）可知：∠APB＝90°，∴当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下四种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时点Q的坐标为（2，﹣5）；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，则四边形ABPQ为平行四边形，∴APB＝∠P AQ＝90°，PB＝AQ，在△APB和△P AQ中，，∴△APB≌△P AQ（SAS），∴四边形ABPQ为勾股四边形，设点Q的坐标为（k，t），连接BQ交AP于点E，则点E既是AP的中点，又是BQ的中点，∵A（﹣2，3），P（﹣3，0），∴点E的横坐标为：，点E的纵坐标为：，即点E（﹣2.5，1.5），又点Q（k，t），B（3，﹣2），∴，，∴k＝﹣8，t＝5，∴点Q的坐标为（﹣8，5）；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，则四边形APBQ为平行四边形，又∠APB＝90°，∴四边形APBQ为矩形，由（1）知：矩形为勾股四边形，∴四边形APBQ为勾股四边形，同（ⅱ）可得点Q的坐标为（4，1）．（ⅳ）由（2）可知：∠APB＝90°．作点P关于直线AB的对称点Q，连接PQ交AB于H，如图所示：根据轴对称性可知：△APB≌△AQB，∴四边形APBQ为勾股四边形，设直线PQ的表达式为：y＝mx+n，∵P，Q关于AB对称，∴PQ⊥AB，点H为PQ的中点，∴m＝1，∴直线PQ的表达式为：y＝x+n，将点P（﹣3，0）代入y＝x+n，得n＝3，∴直线PQ的表达式为：y＝x+3，解方程组，得，∴点H的坐标为（﹣1，2），∵点H为PQ的中点，∴点Q的坐标为（1，4）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．1．（2023春•东阳市期末）对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出如下定义：若x1x2＝1，y1y2＝1，则称点A，B互为“倒数点”，例如：点，B（2，1）互为“倒数点”．（1）已知点A的坐标为（1，3），则点A的“倒数点”点B的坐标为，；将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，则线段A′B′上不存在（填“存在”或“不存在”）“倒数点”．（2）如图，在正方形CDEF中，点C坐标为，点D坐标为，请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得出x2＝1，，点B的坐标为，由平移的性质得出A′（3，3），，即可得出结论；（2）①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N 不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD上，则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，得出，，此时点，在线段EF上，满足题意．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1x2＝1，y1y2＝1，A（1，3），∴x2＝1，，点B的坐标为，将线段AB水平向右平移2个单位得到线段A′B′，则A′（3，3），，∵3×3＝9，，∴线段A′B′上不存在“倒数点”，故答案为：（1，）；不存在；（2）正方形的边上存在“倒数点”M、N，理由如下：①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，∴点N只可能在线段DE上，，，此时点，在线段EF上，满足题意；∴该正方形各边上存在“倒数点”，，，．2．（2023春•鄞州区期末）【新知学习】定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“筝形”．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD，要求点D是格点；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F，G，H分别在BC，CD，AD上，且，求对角线EG的长；【拓展思考】（3）如图3，在“筝形”ABCD中，AB＝AD，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，AE平分∠BEF，EF⊥CD，EF＝8，求“筝形”ABCD的面积．【分析】（1）根据“筝形”的定义找到点D即可；（2）分两种情况讨论：当EF＝EH，GH＝GF时，分别利用HL证得Rt△AEH和Rt△BEF全等，Rt△DGH和Rt△CGF全等，得出点G是CD的中点，从而得出EG＝AD，即可求出EG的长；当FE＝FG，HE＝HG时，利用勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出CG的长，最后利用勾股定理求出EG的长即可；（3）过点A作AH⊥EF于点H，根据角平分线的性质得出AB＝AH，结合已知条件证出四边形AHFD是正方形，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，用x表示CF、CE的长，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出x的值，然后根据图形面积之间的关系计算即可．【解答】解：（1）如图1，点D是所求作的点，由勾股定理得，，，由图可得AB＝5，∴AB＝AD，CD＝CB，∴四边形ABCD是“筝形”；（2）如图2﹣1，EF＝EH，GH＝GF，∵E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，在Rt△AEH和Rt△BEF中，，∴Rt△AEH≌Rt△BEF（HL），∴AH＝BF，∴AD﹣AH＝BC﹣BF，即DH＝CF，在Rt△DGH和Rt△CGF中，，∴Rt△DGH≌Rt△CGF（HL），∴DG＝CG，∴EG＝AD＝12；如图2﹣2，FE＝FG，HE＝HG，过点G作GM⊥AB于点M，∴∠GME＝∠GMB＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形BMGC是矩形，∴BM＝CG，∵点E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE＝5，GM＝BC＝12，在Rt△BEF中，BE＝5，，由勾股定理得，∵BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7，在Rt△CFG中，CF＝7，，由勾股定理得，∴BM＝1，∴ME＝BE﹣BM＝5﹣1＝4，在Rt△GME中，GM＝12，ME＝4，由勾股定理得；综上，EG的长是12或；（3）如图3，过点A作AH⊥EF于点H，∵AE平分∠BEF，∠B＝90°，AH⊥EF，∴AB＝AH，∵AB＝AD，∴AH＝AD，∵AH⊥EF，∠D＝90°，EF⊥CD，∴∠AHF＝∠EFD＝∠D＝90°，∴四边形AHFD是矩形，又AH＝AD，∴四边形AHFD是正方形，∴AD＝DF＝FH＝AH，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，则CF＝CD﹣DF＝12﹣x，EH＝EF﹣FH＝8﹣x，在Rt△ABE和Rt△AHE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴BE＝EH，∴BE＝8﹣x，∴CE＝CB﹣BE＝12﹣（8﹣x）＝x+4，在Rt△EFC中，由勾股定理得CE2＝EF2+CF2，∴（x+4）2＝82+（12﹣x）2，解得x＝6，∴AD＝AB＝DF＝AH＝6，BE＝2，CF＝6，∴S筝形ABCD＝S△ABE+S△AEF+S△ADF+S△EFC＝＝＝6+24+18+24＝72．3．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE 恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．【分析】【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，证明Rt△ABG≌Rt △ECG（HL），即可求解；【性质再探】证明△BFC≌△CEB（SAS），即可求解；【拓展应用】连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，分别证明△ACG是等腰三角形，△CDG是等腰直角三角形，△DGM是等腰直角三角形，从而可求AG＝2，GM＝DM，在Rt△AGM中，用勾股定理求出AD的长即为所求BC的长．【解答】【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．4．（2023春•东阳市期末）定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．（1）已知点A（﹣2，0）①若点B的坐标为（3，2），则点A，B的“关联矩形”的周长为14．②若点C在直线y＝4上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线AC的解析式．（2）已知点M（1，﹣2），点N（4，3），若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，求k的取值范围．【分析】（1）①画出点A，B的“关联矩形”，确定长和宽，最后确定周长；②画出点A，C的“关联矩形”为正方形的图形，点C有两个位置，分别求直线AC的解析式；（2）画出点M、N的“关联矩形”，若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，观察函数中k的变化，找到k的临界值，即函数的图象过点N（4，3、（4，﹣2）时，进而求出k的取值范围．【解答】解：（1）①点A，B的“关联矩形”的长为3﹣（﹣2）＝5，宽为2﹣0＝2，∴周长为（5+2）×2＝14．故答案为：14．②点A，C的“关联矩形”为正方形时点C有两个，C1（2，4），C2（﹣6，4），如图所示：设直线AC1的解析式为y＝k1x+b1，则，∴，∴直线AC1的解析式为y＝x+2；设直线AC2的解析式为y＝k2x+b2，则，∴，∴直线AC2的解析式为y＝﹣x﹣2；∴直线AC的解析式为y＝x+2或y＝﹣x﹣2．（2）如图所示：当k＞0时，若函数的图象过点N（4，3），则k＝12，所以0＜k≤12；当k＜0时，若函数的图象过点（4，﹣2），则k＝﹣8，所以﹣8≤k＜0；∴若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，k的取值范围为﹣8≤k＜0或0＜k≤12．5．（2023春•宁波期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E使得AC＝AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．（1）如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA＝CF，作∠ACF的平分线CE 交AD的延长线于点E，连接FE，求证：四边形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”．（2）①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O，连接EO若，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出的值．【分析】（1）可推出∠FCE＝∠AEC，∠FCE＝∠ACE，从而∠ACE＝∠AEC，从而得出AC＝AE，进而得出CF＝AE，进一步得出结论；（2）①作OT⊥AE于T，可证得△AOT∽△ACH，从而，于是不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，AO＝，在Rt△AOT中列出x2+1＝（）2，从而求得AT＝，OA＝，由tan∠OAT＝tan∠DOT得出，从而求得DT＝，从而得出ED＝ET﹣DT＝＝，由S△AOD＝得OD＝，进一步得出结论；②由①可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AE，∴∠FCE＝∠AEC，∵CE平分∠ACF，∴∠FCE＝∠ACE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∵AC＝CF，∴CF＝AE，∴四边形AEFC是平行四边形，∴▱AEFC是菱形，∴菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”；（2）解：①如图，ED＝BD，理由如下：作OT⊥AE于T，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，BD⊥AC，∵CH⊥AE，∴OT∥CH，∴△AOT∽△ACH，∴，不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，∴ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，∴AO＝，在Rt△AOTx2+1＝（）2，∴x1＝，x2＝（舍去），∴AT＝，OA＝，∵∠AOD＝90°，∴∠AOT+∠DOT＝90°，∵∠ATO＝90°，∴∠AOT+∠OAT＝90°，∴∠OAT＝∠DOT，∴tan∠OAT＝tan∠DOT，∴，∴，∴DT＝，∴ED＝ET﹣DT＝＝，AD＝DT+AT＝＝，由S△AOD＝得，∴，∴OD＝，∴BD＝2OD＝，∴ED＝BD；②由①知：CH＝2，ED＝，∴＝．。

冀教版2018-2019年七年级数学下册21.微专题：新定义问题【河北热点】(含答案)

21．微专题：新定义问题【河北热点】1．对于有理数a，b，定义min(a，b)的含义为：当a≥b时，min(a，b)＝b；当a＜b时，min(a，b)＝a.例如：min(1，－2)＝－2，min(－3，－3)＝－3.(1)min(2，5)＝________；(2)若min(－2k＋5，－1)＝－1，则k的取值范围是________；(3)若min(x＋2，2x＋3)＝x＋2，求x的取值范围．2．如果a c＝b，那么我们规定(a，b)＝c，例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.(1)根据上述规定，填空：(3，27)＝________，(4，1)＝________，(2，0.25)＝________；(2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c.试说明：a＋b＝c.3．定义新运算：对于任意两数a，b(a≠0)都有a*b＝ba－a＋b，等式右边是通常的加、减、除法运算，比如2*1＝12－2＋1＝－21.(1)求4*5的值；(2)若2*(x＋2)不大于4，求x的取值范围，并在数轴上表示出来．4．若一个整数能表示成a2＋b2(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a＋b、b是正整数)，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．(1)请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；(2)试判断(x2＋9y2)(4y2＋x2)(x、y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由.参考答案与解析1．解：(1)2 (2)k ≤3(3)由题意可得x ＋2≤2x ＋3，解得x ≥－1.2．解：(1)3 0 －2(2)∵(3，5)＝a ，(3，6)＝b ，(3，30)＝c ，∴3a ＝5，3b ＝6，3c ＝30，∴3a ×3b ＝5×6＝30，∴3a ×3b ＝3c ，∴a ＋b ＝c .3．解：(1)根据题意得4*5＝54－4＋5＝94. (2)根据题意得x ＋22－2＋(x ＋2)≤4，解得x ≤2，在数轴上表示为：4．解：(1)25＝42＋32.∵53＝49＋4＝72＋22，∴53是“完美数”．(2)(x 2＋9y 2)(4y 2＋x 2)是“完美数”．理由如下：∵(x 2＋9y 2)(4y 2＋x 2)＝4x 2y 2＋x 4＋36y 4＋9x 2y 2＝13x 2y 2＋36y 4＋x 4＝(6y 2＋x 2)2＋x 2y 2，∴(x 2＋9y 2)(4y 2＋x 2)是“完美数”．。

【拔高教育】7-8学年八年级数学下册 22 微专题新定义问题习题 (新版)冀教版

微专题：新定义问题【河北热点】1．(2017·湘潭中考)阅读材料：设 a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果 a →∥b →，那么x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知 a →＝(2，3)，b →＝(4，m )，若 a →∥b →，则m ＝________．2．(2017·吉林中考)我们规定：当k ，b 为常数，k ≠0，b ≠0，k ≠b 时，一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝bx ＋k 互为交换函数．例如：y ＝4x ＋3的交换函数为y ＝3x ＋4.―次函数y ＝kx ＋2与它的交换函数图像的交点横坐标为________.3．(2017·赤峰中考)在平面直角坐标系中，点P (x ，y )经过某种变换后得到点P ′(－y ＋1，x ＋2)，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋2)叫作点P (x ，y )的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、P n 、…，若点P 1的坐标为(2，0)，则点P 2017的坐标为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ＝ah .例如：三点坐标分别为A (1，2)，B (－3，1)，C (2，－2)，则“水平底”a ＝5，“铅垂高”h ＝4，“矩面积”S ＝ah ＝20.根据所给定义解决下列问题：(1)若已知点D (1，2)，E (－2，1)，F (0，6)，则这三点的“矩面积”为________．(2)若D (1，2)，E (－2，1)，F (0，t )三点的“矩面积”为18，求点F 的坐标．5．在平面直角坐标系xOy 中，有如下定义：若直线l 和图形W 相交于两点，且这两点的距离等于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线l与图形W的相关系数为k.若图形W是由A(－2，－1)，B(2，－1)，C(2，1)，D(－2，1)顺次连线而成的矩形：(1)如图①，直线y＝x与图形W相交于点M，N.直线y＝x与图形W成“k相关”，则k 的值为线段MN的长度，即k＝________；(2)若一条直线经过点(0，1)且与W成“5相关”，则该直线的表达式为__________________________；(3)若直线y＝mx＋b(m≠0)与直线y＝3x平行且与图形W成“k相关”，当k≥2时，求b的取值范围．参考答案与解析1．6 2.13．(2，0) 解析：P 1 坐标为(2，0)，则P 2坐标为(1，4)，P 3坐标为(－3，3)，P 4坐标为(－2，－1)，P 5坐标为(2，0)，∴P n 的坐标为(2，0)，(1，4)，(－3，3)，(－2，－1)循环．∵2017＝2016＋1＝4×504＋1，∴P 2017 坐标与P 1点相同，故答案为(2，0)．4．解：(1)15(2)由题意可得a ＝1－(－2)＝3，当t ＞2时，h ＝t －1，则3(t －1)＝18，解得t ＝7，故点F 的坐标为(0，7)；当1≤t ≤2时，h ＝2－1＝1≠18÷3，故此种情况不符合题意；当t ＜1时，h ＝2－t ，则3(2－t )＝18，解得t ＝－4，故点F 的坐标为(0，－4)，所以，点F 的坐标为(0，7)或(0，－4)．5．解：(1)2 2(2)y ＝12x ＋1或y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1或y ＝－12x ＋1 (3)∵直线y ＝mx ＋b (m ≠0)与直线y ＝3x 平行，∴m ＝3.∵k ≥2，∴符合题意的临界直线分别经过点(－1，1)，(1，－1)，如图所示．当直线y ＝3x ＋b 过点(－1，1)时，有1＝－3＋b ，解得b ＝1＋3；当直线y ＝3x ＋b 过点(1，－1)时，有－1＝3＋b ，解得b ＝－1－3.∴当k ≥2时，b 的取值范围为－1－3≤b ≤1＋ 3.。

2020春冀教版八年级数学下册第22章全章热门考点整合应用点拨习题

全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想．一个定理——三角形的中位线定理1．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q 分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．求证：(1)四边形EFGH是矩形；(2)四边形EQGP是菱形．(第1题)一个性质——直角三角形斜边上的中线性质2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)∠DHF＝∠DEF.(第2题)四个图形图形1平行四边形3．【中考·凉山州】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.求证：(1)AC＝EF；(2)四边形ADFE是平行四边形．(第3题)图形2矩形4．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．(第4题)图形3菱形5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？(第5题)图形4正方形6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(第6题)四个判定与性质判定与性质1平行四边形7．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．(第7题)判定与性质2矩形8．【中考·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：(1)△ADE≌△CBF；(2)四边形DEBF为矩形．(第8题)判定与性质3菱形9．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．(第9题)判定与性质4正方形10．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点．求证：FB⊥BH.(第10题)四个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．【导学号：54274030】(第11题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第12题)技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法)13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．(第13题)技巧4解中点四边形的技巧14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．(1)求证：四边形DEFG是矩形；(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．(第14题)两种思想思想1转化思想15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证：PA＝EF.(第15题)思想2 数形结合思想 16．[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为121222x x y y ,.++⎛⎫ ⎪⎝⎭[运用](1)如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON ，OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M 的坐标为________；(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D 与点A ，B ，C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．(第16题)答案1．证明：(1)∵点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点， ∴EF ∥AC 且EF ＝12AC ，GH ∥AC 且GH ＝12AC ，EH ∥BD ，∴EF ∥GH 且EF ＝GH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH. ∴▱EFGH 是矩形．(2)∵点E ，P ，G ，Q 分别为AB ，AC ，DC ，DB 的中点， ∴EP ＝12BC ，PG ＝12AD ，GQ ＝12BC ，QE ＝12AD.∵AD ＝BC ，∴EP ＝PG ＝GQ ＝QE ， ∴四边形EQGP 是菱形．点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．2．证明：(1)∵点D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC.同理可得EF ∥AB. ∴四边形ADEF 是平行四边形． (2)由(1)知四边形ADEF 是平行四边形， ∴∠DAF ＝∠DEF.在Rt △AHB 中，∵D 是AB 的中点， ∴DH ＝12AB ＝AD ，∴∠DAH ＝∠DHA. 同理可得HF ＝12AC ＝AF ，∴∠FAH ＝∠FHA.∴∠DAH ＋∠FAH ＝∠DHA ＋∠FHA. ∴∠DAF ＝∠DHF. ∴∠DHF ＝∠DEF.3．证明：(1)∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°， ∴AB ＝2BC.∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ， ∴AE ＝AB ，AB ＝2AF ，∴AF ＝BC. 在Rt △BCA 和Rt △AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AF ，BA ＝AE ， ∴Rt △BCA ≌Rt △AFE(HL )，∴AC ＝EF.(2)∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD ，∴∠DAB ＝∠DAC ＋∠BAC ＝90°.又∵EF ⊥AB ，∴∠EFA ＝90°＝∠DAB.∴EF ∥AD.∵AC ＝EF ，AC ＝AD ，∴EF ＝AD.∴四边形ADFE 是平行四边形．4．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，∴∠AEO ＝∠CFO.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEO ＝∠CFO ，∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC.∴△AOE ≌△COF(AAS )．(2)解：当AC ＝EF 时，四边形AECF 是矩形．理由如下：由(1)知△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF.∵AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．5．(1)证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC.又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形．(2)解：当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形．理由：∵D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB. ∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC. 又∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE.又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形．6．(1)解：DE ⊥FG.理由如下：由题意，得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠EDB ＋∠BED ＝90°.∴∠GFE ＋∠BED ＝90°，∴∠FHE ＝90°，即DE ⊥FG .(2)证明：∵△ABC 沿射线AB 平移至△FEG.∴CB ∥GE ，CB ＝GE.∴四边形CBEG 是平行四边形．∵∠ABC ＝∠GEF ＝90°，∴四边形CBEG 是矩形．∵BC ＝BE ，∴四边形CBEG 是正方形．7．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C.∵AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS )．(2)解：四边形MFNE 是平行四边形．证明如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB ＝∠CFD ，BE ＝DF.又∵M ，N 分别是BE ，DF 的中点，∴ME ＝FN.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠AEB ＝∠FBE.∴∠CFD ＝∠FBE.∴EB ∥DF ，即ME ∥FN.∴四边形MFNE 是平行四边形．规律总结：本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形．8．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝CB.又∵DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，∴∠DEA ＝∠BFC ＝90°.∴△ADE ≌△CBF.(2)∵△ADE ≌△CBF ，∴AE ＝CF.∵CD ＝AB ，∴DF ＝BE.又∵CD ∥AB ，∴四边形DEBF 为平行四边形．又∵∠DEB ＝90°，∴四边形DEBF 为矩形．(第9题)9．证明：如图，连接CE ，交AD 于点O.∵AC ＝AE ，∴△ACE 为等腰三角形．∵AO 平分∠CAE ，∴AO ⊥CE ，且OC ＝OE.∵EF ∥CD ，∴∠2＝∠1.又∵∠DOC ＝∠FOE ，∴△DOC ≌△FOE(ASA )．∴OD ＝OF.即CE 与DF 互相垂直且平分，∴四边形CDEF 是菱形．10．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝CB ，∠DCF ＝∠BCF ＝45°，DC ∥AE ，∠CBE ＝90°，∴∠CDF ＝∠E.又∵CF ＝CF ，∴△DCF ≌△BCF.∴∠CDF ＝∠CBF.∴∠CBF ＝∠E.∵H 为GE 的中点，∴HB ＝HG ＝12GE. ∴∠HGB ＝∠HBG .∵∠CDG ＋∠CGD ＝90°，∠CGD ＝∠HGB ＝∠HBG ，∴∠FBG ＋∠HBG ＝90°，即∠FBH ＝90°，∴FB ⊥BH.11．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，∴CD ＝AB ＝10，AD ＝BC ＝5. 又∵将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，∴根据轴对称的性质可得A 1E ＝AE ，A 1D 1＝AD ，D 1F ＝DF.设线段D 1F 与线段AB 交于点M ，则阴影部分图形的周长为(A 1E ＋EM ＋MD 1＋A 1D 1)＋(MB ＋MF ＋FC ＋CB)＝AE ＋EM ＋MD 1＋AD ＋MB ＋MF ＋FC ＋CB＝(AE ＋EM ＋MB)＋(MD 1＋MF ＋FC)＋AD ＋CB＝AB ＋(FD 1＋FC)＋10＝AB ＋(FD ＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.12．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°.∵四边形A′B′C′O 是正方形，∴∠EOF ＝90°.∴∠EOF ＝∠BOC.∴∠EOF －∠BOF ＝∠BOC －∠BOF ，即∠BOE ＝∠COF.∴△BOE ≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC .∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14. ∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 13．解：(1)在菱形ABCD 中，AG ＝CG ，AC ⊥BD ，BG ＝12BD ＝12×16＝8，由勾股定理得AG ＝AB 2－BG 2＝102－82＝6，所以AC ＝2AG ＝2×6＝12.所以菱形ABCD 的面积＝12AC·BD ＝12×12×16＝96. (2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ，所以12BD·AG ＝12AB·OE ＋12AD·OF ，即12×16×6＝12×10·OE ＋12×10·OF. 解得OE ＋OF ＝9.6，是定值，不变．(第13题)(3)发生变化．如图②，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO －S △AOD ，所以12BD·AG ＝12AB·OE －12AD·OF. 即12×16×6＝12×10·OE －12×10·OF. 解得OE －OF ＝9.6，是定值，不变．所以OE ＋OF 的值发生变化，OE ，OF 之间的数量关系为OE －OF ＝9.6.14．(1)证明：如图，连接AO 并延长交BC 于H ，∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AH 是BC 的中垂线，即AH ⊥BC.∵D ，E ，F ，G 分别是AB ，OB ，OC ，AC 的中点，(第14题)∴DG ∥EF ∥BC ，DE ∥AH ∥GF.∴四边形DEFG 是平行四边形．∵EF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AH ⊥EF.又∵DE ∥AH ，∴EF ⊥DE ，∴四边形DEFG 是矩形．(2)解：∵D ，E ，F 分别是AB ，OB ，OC 的中点，∴AO ＝2DE ＝4，BC ＝2EF ＝6.∵△BOC 是等腰直角三角形，∴OH ＝12BC ＝3. ∴AH ＝OA ＋OH ＝4＋3＝7.∴S △ABC ＝12×6×7＝21. 15．证明：连接PC.∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠ECF ＝90°，∴∠PEC ＝∠PFC ＝∠ECF ＝90°.∴四边形PECF 是矩形．∴PC ＝EF.在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP(SAS )．∴PA ＝PC.∴PA ＝EF.点拨：本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过等式的传递性证明两条线段相等．16．解：(1)(2，1.5)(2)设点D 的坐标为(x ，y)．若以点A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形是平行四边形，①当AB 为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴－1＋32＝1＋x 2，2＋12＝4＋y 2. ∴x ＝1，y ＝－1.∴点D 的坐标为(1，－1)．②当BC 为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴3＋12＝－1＋x2，1＋42＝2＋y2.∴x＝5，y＝3.∴点D的坐标为(5，3)．③当AC为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴－1＋12＝3＋x2，2＋42＝12y.∴x＝－3，y＝5.∴点D的坐标为(－3，5)．综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．。

2022年冀教版八年级数学下册第二十二章四边形必考点解析练习题(精选含解析)

八年级数学下册第二十二章四边形必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1ABCD中，点E是对角线AC上一点，且EF AB⊥于点F，连接DE，当22.5ADE∠=︒时，EF=（）A．1 B．2C1D．1 42、一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（）A．5 B．4 C．7 D．63、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定4、如图，任意四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是各边上的点，对于四边形E ，F ，G ，H 的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（）A ．E ，F ，G ，H 是各边中点．且AC =BD 时，四边形EFGH 是菱形B ．E ，F ，G ，H 是各边中点．且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形C ．E ，F ，G ，H 不是各边中点．四边形EFGH 可以是平行四边形D ．E ，F ，G ，H 不是各边中点．四边形EFGH 不可能是菱形5、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交CD 边于E ，3AD =，5AB =，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．56、已知在平行四边形ABCD 中，∠A ＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BC D ．BC ＝CD7、一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是（）A ．九边形B ．十边形C ．十一边形D ．十二边形8、如图，△ABC 的周长为a ，以它的各边的中点为顶点作△A 1B 1C 1，再以△AB 1C 1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（）A．12na B．13na C．112n-a D．113n-a9、下列说法正确的是（）A．只有正多边形的外角和为360°B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等C．等腰三角形有两条对称轴D．如果两个三角形一模一样，那么它们形成了轴对称图形10、如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A B C D''''．此时点A的对应点A'恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点D之间的距离为（）A．3 B．6 C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A、B、C均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．2、在任意△ABC中，取AB、AC边中点D、E，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的______．一个三角形有______条中位线．3、如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC=62°，则∠DAC为____°．4、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．5、如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则B2的坐标是 ___；B2020的坐标是 ___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．2、如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，求证：DC＝CF．3、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD//BC(1)在图中，用尺规作线段BD 的垂直平分线EF ，分别交BD 、BC 于点E 、F ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接DF ，证明四边形ABFD 为菱形．4、背景资料：在已知ABC 所在平面上求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当ABC 三个内角均小于120°时，费马点P 在ABC 内部，当120APB APC CPB ∠=∠=∠=︒时，则PA PB PC ++取得最小值．(1)如图2，等边ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求APB ∠的度数，为了解决本题，我们可以将ABP △绕顶点A 旋转到ACP '△处，此时ACP ABP '≌这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠=_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与ABC 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，ABC 三个内角均小于120°，在ABC 外侧作等边三角形ABB '，连接CB '，求证：CB '过ABC 的费马点．(3)如图4，在RT ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，点P 为ABC 的费马点，连接AP 、BP 、CP ，求PA PB PC ++的值．(4)如图5，在正方形ABCD 中，点E 为内部任意一点，连接AE 、BE 、CE ，且边长2AB =；求AE BE CE ++的最小值．5、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，以点A ，B ，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为1D ，2D ，3D ，如图所示．(1)若1m =-，则点1D ，2D ，3D 的坐标分别是（），（），（）；(2)若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，①直接写出m 的值； ②若直线12y x b =+与△123D D D 有公共点，求b 的取值范围．(3)若直线y x =与△123D D D 有公共点，求m 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、C【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．2、D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×2，解得n=6．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．3、C【解析】【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【详解】解：连接AR．因为E、F F分别是AP、RP的中点，则EF为ΔAPR的中位线，所以12EF AR，为定值．所以线段EF 的长不改变．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR 不变，则对应的中位线的长度就不变．4、D【解析】【分析】当E F G H ，，，为各边中点，EH BD FG EF AC GH ∥∥，∥∥，11====22EH BD FG EF AC GH ，，四边形EFGH 是平行四边形；A 中AC =BD ，则=EF FG ，平行四边形EFGH 为菱形，进而可判断正误；B 中AC ⊥BD ，则EF FG ⊥，平行四边形EFGH 为矩形，进而可判断正误；E ，F ，G ，H 不是各边中点，C 中若四点位置满足==EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，，则可知四边形EFGH 可以是平行四边形，进而可判断正误；D 中若四点位置满足===EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，则可知四边形EFGH 可以是菱形，进而可判断正误．【详解】解：如图，连接AC BD 、当E F G H ，，，为各边中点时，可知EH EF FG GH 、、、分别为ABD ABC BCD ACD 、、、的中位线∴11====22EH BD FG EF AC GH EH BD FG EF AC GH ∥∥，∥∥，， ∴四边形EFGH 是平行四边形A 中AC =BD ，则=EF FG ，平行四边形EFGH 为菱形；正确，不符合题意；B 中AC ⊥BD ，则EF FG ⊥，平行四边形EFGH 为矩形；正确，不符合题意；C 中E ，F ，G ，H 不是各边中点，若四点位置满足==EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，，则可知四边形EFGH 可以是平行四边形；正确，不符合题意；D 中若四点位置满足===EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，则可知四边形EFGH 可以是菱形；错误，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握特殊平行四边形的判定．5、B【解析】【分析】先由平行四边形的性质得//BA CD ，5CD AB ==，再证3DE AD ==，即可求解．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，//BA CD ∴，5CD AB ==，DEA EAB ∴∠=∠，AE ∵平分DAB ∠，DAE EAB ∴∠=∠，DAE DEA ∴∠=∠，3DE AD ∴==，532EC CD DE ∴=-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．6、D【解析】略7、D【解析】【分析】先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．【详解】解：∵多边形的每个内角都等于150°，∴多边形的每个外角都等于180°-150°=30°，∴边数n =360°÷30°=12，故选：D ．【点睛】本题考查多边形的内角和、外角来求多边形的边数，属于基础题，熟练掌握多边形中内角和定理公式是解决本类题的关键．8、A【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可知111A B C △的周长12ABC =△的周长，222A B C △的周长11112A B C =的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．【详解】解：∵以△ABC 的各边的中点为顶点作111A B C △，∴111A B C △的周长12ABC =△的周长12a =⨯． ∵以111A B C △各边的中点为顶点作222A B C △，∴222A B C △的周长11112A B C =的周长1122a =⨯⨯， …，∴n n n A B C 的周长1(12)2n n a a ⨯== 故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．9、B【解析】【分析】选项A 根据多边形的外角和定义判断即可；选项B 根据三角形全等的判定方法判断即可；选项C 根据轴对称图形的定义判断即可；选项D 根据轴对称的性质判断即可．【详解】解：A ．所有多边形的外角和为360︒，故本选项不合题意；B ．任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项符合题意；C ．等腰三角形有1条对称轴，故本选项不合题意；D ．如果两个三角形一模一样，那么它们不一定形成轴对称图形，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．10、B【解析】【分析】连接BD '，由矩形的性质得出∠ABC =90°，AC =BD ，由旋转的性质得出,AB A B BD AC BD ，证明AA B '是等边三角形，由等边三角形的性质得出60BAA '∠=︒，由直角三角形的性质求出AC 的长，由矩形的性质可得出答案．【详解】解：连接BD '，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，AC =BD ，∵点A '是AC 的中点， ∴AA A B ''=，∵将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A BC D '''，∴,,AB A B BD AC BD∴AB A B A A ，∴AA B '是等边三角形，∴∠BAA '=60°，∴∠ACB =30°，∵AB =3， ∴AC =2AB =6，∴6BD '=．即点B 与点D 之间的距离为6．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC 的长是解本题的关键．二、填空题1、18【解析】【分析】根据正多边形外角和和内角和的性质，得DAE ∠、144BAE E F ∠=∠=∠=︒；根据四边形内角和的性质，计算得EAC ∠；根据五边形内角和的性质，计算得ABC ∠，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图，延长BA∵正十边形 ∴3603610DAE ︒∠==︒，正十边形内角()102180=14410-⨯︒=︒，即144BAE E F ∠=∠=∠=︒ 根据题意，得四边形ACFE 内角和为：360︒，且EAC FCA ∠=∠∴360362E F EAC FCA ︒-∠-∠∠=∠==︒ ∴72DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒根据题意，得五边形ABCFE 内角和为：()52180540=-⨯︒=︒，且ABC FCB ∠=∠ ∴540542BAE E F ABC FCB ︒-∠-∠-∠∠=∠==︒ ∴725418ACB DAC ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：18．【点睛】本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．2、中位线 3【解析】略3、28【解析】【分析】由全等三角形的性质可证△AOM ≌△CON ，可得AO =CO ，由等腰三角形的性质可得BO ⊥AC ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，AB =BC ，BC //AD ，∴∠MAO =∠NCO ，∠BCA =∠CAD ．在△AOM 和△CON 中，MAO NCO AOM CON AM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴AO =CO ，又∵AB =BC ，∴BO ⊥AC ，∴∠BCO =90°﹣∠OBC =28°=∠DAC ．故答案为：28．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．4、【解析】【分析】取AD 中点G ，连接EG ，F 'G ，BE ，作BH ⊥DC 的延长线于点H ，利用全等三角形的性质证明∠F 'GA ＝60°，点F '的轨迹为射线GF '，易得A 、E 关于GF '对称，推出AF '＝EF '，得到BF '+AF '＝BF '+EF '≥BE ，求出BE 即可解决周长最小问题．【详解】解：取AD 中点G ，连接EG ，F 'G ，BE ，作BH ⊥DC 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝AD ，∵∠BAD ＝120°，∴∠CAD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，又∵DE ＝DG ，∴△DEG 也为等边三角形．∴DE ＝GE ，∵∠DEG ＝60°＝∠FEF '，∴∠DEG ﹣∠FEG ＝∠FEF '﹣∠FEG ，即∠DEF ＝∠GEF '，由线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF '，所以EF ＝EF '．在△DEF 和△GEF '中，DE GE DEF GEF EF EF '=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩， ∴△DEF ≌△GEF '（SAS ）．∴∠EGF '＝∠EDF ＝60°，∴∠F 'GA ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F '的运动轨迹为射线GF '．观察图形，可得A ，E 关于GF '对称，∴AF '＝EF '，∴BF '+AF '＝BF '+EF '≥BE ，在Rt△BCH 中，∵∠H ＝90°，BC ＝4，∠BCH ＝60°，∴12,2CH BC BH ===，在Rt△BEH 中，BE∴BF '+EF∴△ABF '的周长的最小值为AB +BF '+EF '＝故答案为：【点睛】本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．5、 (0, ()2021,0-【解析】【分析】根据已知条件和勾股定理求出OB 2的长度即可求出B 2的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形都逆时针旋转B 到B 2020变化的坐标．【详解】解：∵四边形OABC 是边长为1正方形，∴OB =∴12OB ==∴B 1的坐标是，∴2OB ==∴B 2的坐标是(0根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形逆时针旋转∴B 3的坐标是∴B 4的坐标是∴旋转8次则OB 旋转一周，∵从B 到B 2020经过了2020次变化，2020÷8=252…4，∴从B 到B 2020与B 4都在x 轴负半轴上，∴点B 2020的坐标是()2021,0-【点睛】本题主要考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．三、解答题1、 (1)＝(2)∠P ＝90°－12∠A(3)∠P ＝180°－12∠BAD －12∠CDA ，探究见解析【解析】【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC =∠A +∠ACB ，∠ECB =∠A +∠ABC ，两式相加可得结论；（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°−12∠A；（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=12∠EBC=90°−1 2∠1，∠4=12∠FCB=90°−12∠2，相加可得：∠3+∠4=180°−12（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．(1)∠DBC+∠ECB-∠A=180°，理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，故答案为：=；(2)∠P=90°-12∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-12（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，∴∠P=180°-12（180°+∠A）=90°-12∠A．故答案为：∠P=90°-12∠A，(3)∠P=180°-12∠BAD-12∠CDA，理由是：如图，∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3=12∠EBC=90°-12∠1，∠4=12∠FCB=90°-12∠2，∴∠3+∠4=180°-12（∠1+∠2），∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=12（∠1+∠2），∴∠P=12×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-12（∠BAD+∠CDA）=180°-12∠BAD-12∠CDA．【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．2、见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质可得∠BAE＝∠CFE，根据中点的定义可得EB＝EC，利用AAS可证明△ABE≌△FCE，可得AB＝CF，进而可得结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠BAE ＝∠CFE ；∵E 为BC 中点，∴EB ＝EC ，在△ABE 与△FCE 中，BAE CFE AEB CEF EB EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△FCE （AAS ），∴AB ＝CF ，∴DC ＝CF ．【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．3、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE ≌△FBE ，即可得出AE =EF ，进而利用菱形的判定方法得出答案．(1)（1）如图：EF 即为所求作(2)证明：如图，连接DF ，∵AD //BC ，∴∠ADE =∠EBF ，∵AF 垂直平分BD ，∴BE =DE ．在△ADE 和△FBE 中，ADE FBE DE BEAED BEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FBE （ASA ），∴AE =EF ，∴BD 与AF 互相垂直且平分，∴四边形ABFD 为菱形．【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．4、 (1)150°；(2)见详解；【解析】【分析】（1）根据旋转性质得出ABP △≌ACP '△，得出∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC 为等边三角形，得出∠BAC =60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP =3，∠AP′P =60°，根据勾股定理逆定理222223425PP P C PC ''+=+==，得出△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，可求∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°即可；（2）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB ≌△AB′P′，AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，根据两点之间线段最短得出点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，点P 在CB′上即可；（3）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB ≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，可得点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB =2AC =2，根据勾股定理BC =求BB′=AB =2，根据∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt △CBB′中，B′C == （4）将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，得出△BCE ≌△CE′B′，BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，AE BE CE AE EE E B '''++=++，得出点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，根据四边形ABCD 为正方形，得出AB =BC =2，∠ABC =90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF =112122BB '=⨯=，勾股定理BF =AF =AB +BF =2+AB′(1)解：连结PP′，∵ABP △≌ACP '△，∴∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°∴∠PAP ′=∠PAC +∠CAP ′=∠PAC +∠BAP =60°，∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP =3，∠AP′P =60°，在△P′PC 中，PC =5，222223425PP P C PC ''+=+==，∴△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，∴∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°，∴∠APB =∠AP′C =150°，故答案为150°；(2)证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB ≌△AB′P′，∴AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP ，∵PA PB PC PP P B PC '''++=++，∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∴点P 在CB′上，∴CB '过ABC 的费马点．(3)解：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，∴△APB ≌△AP′B′，∴AP′=AP ，AB′=AB ，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，∵PA PB PC PP P B PC '''++=++∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，∵90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，∴AB =2AC =2，根据勾股定理BC==∴BB′=AB =2，∵∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C∴PA PB PC ++最小=CB′(4)解：将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，∴△BCE ≌△CE′B′，∴BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，∵AE BE CE AE EE E B '''++=++，∴点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =2，∠ABC =90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F ⊥AF ，∴BF =112122BB '=⨯=，BF =∴AF =AB +BF∴AB′=∴AE BE CE ++最小=AB′【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．5、 (1)-3，3，1，3，-3，-1(2)①-2；②15b ≤≤(3)m 1≥或3m ≤-【解析】【分析】（1）分别以AC 、BC 、AB 为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点1D ，2D ，3D 的坐标；（2）①根据平行公理得1D ，A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，可得AB 是等腰三角形△123D D D 的中位线，求出22D C AB ==，即可得m 的值；②由①求得的m 的值可得1D ，3D 的坐标，分别求出直线12y x b =+过点1D ，3D 时b 的值即可求解；（3）由题意用m 表示出点1D ，2D ，3D 的坐标，画出图形，求出直线y x =与△123D D D 交于点2D ，3D 时m 的值即可求解．(1)解：(3,1)A -，(1,1)B -，1(3)2AB ∴=---=，//AB x 轴．以AC 为对角线时，四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向左平移2个单位长度可得D ，即1(3,3)D -；以BC 为对角线时，四边形ABDC 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向右平移2个单位长度可得D ，即2(1,3)D ；以AB 为对角线时，四边形ACBD 是平行四边形，∴对角线AB 的中点与CD 的中点重合，AB 的中点为(2,1)-，(1,3)C -，3(3,1)D ∴--．故答案为：()3,3-，(1,3)，(3,1)--；(2)解：①如图，若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，四边形1ABCD ，2ABD C ，3ACBD 是平行四边形，13////BC AD AD ∴，23////AC BD BD ，12AB CD D C ==，1D ∴、A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，1212AB D D =，AB ∴是等腰三角形△123D D D 的中位线，12//AB D D ∴，312CD D D ⊥， (3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，22D C AB ∴==，2m ∴=-；②由①得2m =，1(4,3)D ∴-，3(2,1)D --．当直线12y x b =+过点1D 时，13(4)2b =⨯-+，解得：5b =，当直线12y x b =+过点3D 时，11(2)2b -=⨯-+，解得：0b =，b ∴的取值范围为05b ；(3)解：如图，(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，1(2,3)D m ∴-，2(2,3)D m +．连接AB 、3CD 交于点E ，四边形3ACBD 是平行四边形，∴点C 、3D 关于点E 对称，3(4,1)D m ∴---，直线y x =与△123D D D 有公共点，当直线y x =与△123D D D 交于点2D ，23m +=，解得：1m =，1m ∴时，直线y x =与△123D D D 有公共点；当直线y x =与△123D D D 交于点3D ，41m --=-，解得：3m =-，3m ∴-时，直线y x =与△123D D D 有公共点；综上，m 的取值范围为1m 或3m ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．。

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