线性代数概念的几何引入

针对矩阵 ，当向量 匀角速度顺时针旋转时，向量 也 顺时针旋转，其角速度一会变大，一会变小，存在四个特 征位置(两个特征值均为正)；
针对矩阵 ，当向量 匀角速度顺时针旋转时，向量 沿 一条过圆心的直线运动，此时矩阵 有一个特征值为零；
针对矩阵 ，当向量 顺时针旋转时，向量 也顺时针 旋转，但它永远也追不上向量 ，它们之间总保持着一定 的角度，则矩阵 没有实特征值 。
二维向量组的线性相关性的几何意义
例6. 设平面上的向量
图6 向量u,v线性组合成向量 w
例7 设三维空间中的三个列向量v1,v2和v3：
若三个向量不共面，则线性无关， 它们的线性组合可以覆盖 整个三维空间； 若共面，则线性相关，它们的线性组合将只能 构成一个平面，甚至一条直线两个向量反向。人们把向量
与向量
共线的位置称为特征位置，其中实数 就称为矩
阵的特征值，而此时的 即为矩阵 的属于
的特征向量。
特征值表示线性变换Ax在特征向量x方向上的 放大(缩小)量。
针对矩阵 ，当向量 顺时针旋转时，向量 逆时针旋 转，则矩阵 存在(一正一负)两个特征值(四个特征位置);
方程组（4）也无解。
二阶、三阶行列式的几何意义
二维情形： 在平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的 坐标分别为： 、 ，如下图所示，求平行四边形 OACB的面积。
分析：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B做平行x轴直线 与过点C做平行y轴直线相交于点D。显然可以得到三角形CDB 和三角形AEO全等，则有：
线性代数概念的几何引入
主要内容
二元、三元线性方程组的几何意义 二阶、三阶行列式的几何意义 平面上线性变换的几何意义 二阶矩阵特征值的几何意义 中向量组的线性相关性的几何意义
二元、三元线性方程组的几何意义
二元一次方程在几何上表示的是一条直线， 则含两个二元一次方程的方程组在几何上则 表示两条直线的位置关系：
相交====〉有唯一解 平行====〉无解 重合====〉无穷多解
例1 求解下列四个线性方程组
以方程组（1）为例：在MATLAB的M文件编辑器中，输入
syms x1 x2
% 定义x1、x2为符号变量
U1=rref([1,2,5;2,-3,-4])
% 把增广矩阵通过初等行变换 % 变为最简阶梯矩阵
二阶行列式的几何意义
根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积刚好是以 A、B两点坐标所构成的二阶行列式:
一般情况下也可以证明：过原点的两条直线(向量)
，如
构成的一个平行四边形的面积为A、B
两点坐标所构成的二阶行列式的绝对值。
三维情形 已知三个向量
由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为 三阶行列式的绝对值 （如图）
[V1,D1]=eig(A1)
eigshow(A1)
求它们的特征值和特征 向量，并绘制特征向量
图，分析其几何意义。
A2=[1,-2;-1,5]; [V2,D2]=eig(A2) eigshow(A2)
A3=[1,2;2,4]; [V3,D3]=eig(A3) eigshow(A3)
A4=[2,-1;3,2]; [V4,D4]=eig(A4) eigshow(A4)
绘制几何图形可得：
平面上线性变换的几何意义
对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上 是两个向量所构成的平行四边形的面积。
一个变换所造成的图形的面积变化，取决于该变
换矩阵的行列式,A1 ,A4 和A5 的行列式绝对值都是 1，所以变换后图形的面积不改变。而A2 和A3 的行
列式分别为1.5和0.5，变换后图形的面积的增加 或减少倍数等于对应行列式的绝对值。
绘制图形如图所示
当用鼠标拖动向量 顺
时针旋转时， 也开始
旋转。向量 的轨迹为
一个圆，而向量
的
轨迹一般情况为一个椭
圆。同理，可以对其它
三个矩阵进行同样的操
作，绘制图形如图5所示
。
图5 特征值及其演示
函数eigshow(A)描述了向量 随向量 的变 换关系：
当向量 在旋转的过程中，如果向量 与向量 共线(包括同向和反向)，则有等式
AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）
用MATLAB程序进行计算，并画出B及C图形：
B=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r') A1=[-1,0;0,1],C1=A1*B subplot(2,3,2), fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')
% 在图上标注x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4
grid on
% 显示网格
绘制图形如图1所示：
从运行结果可以看出:
方程组（1）的解为
；
方程组（2）的通解为：
；
方程组（3）和方程组（4）这两个方程组无解。
从图1中可以形象地看出:
方程组（1）的两条直线有一个交点，故有唯一解（适定）； 方程组（2）的两条直线重合，则有无穷组解（欠定）； 方程组（3）的两条直线相平行，永远没有交点，即无解； 方程组（4）的三条直线不共点，则也无解（超定），可求最小二乘解。
图像变换中的示例
在二维的图像变换模 型中，最基本的图像 变换有平移、旋转、 缩放（包括各向同性 和各向异性）、反射 和错切。由这些基本 的图像变换组合，可 以得到刚性变换、相 似变换、仿射变换、 透视变换等复合变换 。
二阶矩阵特征值的几何意义
例5.已知矩阵
解： 在MATLAB命令窗口输入：
A1=[-1,3;2,5];
AX=b 最小二乘解 命令：x=pinv(A)*b
x=A\b
三元一次方程组的几何表示
三个三元一次方程构成的方程组： 若三个平面只有一个交点，即方程组有唯一解； 若三个平面相交于一直线，即方程组有无穷多解
； 若三个平面没有交点或交线，即方程组无解。
例2 求解下列线性方程组，并画出三维 图形来表示解的情况。
平面上线性变换(y=Ax)的几何意义
例3 已知向量及矩阵
请分析经过线性变换 与原向量 的几何关系 。
后，向量
绘制图形如下图所示： 图3 线性变换的几何意义
例4.设二维平面上第一象限中的一个单位方块 ，
其四个顶点的数据可写成
把不同的A 矩阵作用于此组数据，可以得到多
种多样的结果 Ci = AiB。 令B=（X1，X2，X3，X4），则
利用MATLAB的M文件编辑器绘图可得：
图2 三元线性方程组解的几何意义
从图2中可以看出：
方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组 有唯一解；
方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线， 该齐次线性方程组有无穷多解，且其对应的解空间 是一维的；
方程组（3）的三个平面没有共同的交点，即方程 组无解；
subplot(2,2,1)
% 准备画2×2个图形中的第一个
ezplot('x1+2*x2=5')
% 绘制直线x1+2*x2=5
hold on
% 保留原来图形
ezplot('2*x1-3*x2=-4') % 再绘制直线2*x1-3*x2=-4
title('x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4')