广东省高考数学一轮复习：62 几何概型

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高考数学一轮复习目录

高考数学一轮复习书目一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4 微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简洁的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面对量5.1平面对量的概念及其线性运算5.2平面对量的基本定理及坐标运算5.3平面对量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简洁表示法6.2等差数列及其前n项和6.3等比数列及其前n项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简洁的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事务与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4干脆证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。

2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

海口市高考数学一轮复习：62 几何概型(II)卷

海口市高考数学一轮复习：62 几何概型（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共17题；共34分)1. （2分）(2018·广东模拟) 在区间上任选两个数和，则的概率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·南市期中) ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A .B . 1﹣C .D . 1-3. （2分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率（）A .B .D .4. （2分）在满足不等式组的平面点集中随机取一点，设事件A=“”，那么事件A发生的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）已知实数a、b满足a2+b2=1，设函数f（x）=x2﹣4x+5，则使f（a）≥f（b）的概率为（）A . +B .C .D . +6. （2分）一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）A .B .C .7. （2分）(2020·漳州模拟) 如图，、、、为正方形各边上的点，图中曲线为圆弧，两圆弧分别以、为圆心，、为半径（为正方形的中心）.现向该正方形内随机抛掷枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·沈阳月考) 在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·天心模拟) 在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使恒成立的概率是（）A .C .D .10. （2分）已知，若向区域内随机投一点，则点落在区域内的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是A .B .C .D .12. （2分）在区间[－1，4]上任意取一个数x ，则x∈[0，1]的概率是（）A .B .C .13. （2分）在区间上随机取一个实数，使得的概率为（）A .B .C .D .14. （2分） (2017高一下·济南期末) 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A .B .C .D .15. （2分） (2017高二下·吉林期末) 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 .现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A .B .C .D .16. （2分） (2017高二上·湖南月考) 由不等式组确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为（）A .B .C .D .17. （2分） (2019高二上·齐齐哈尔期末) 矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)18. （1分）(2017·山东模拟) 已知点A，B为圆C：x2+y2=4上的任意两点，且|AB|＞2，若线段AB中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M内的概率为________．19. （1分） (2016高二上·佛山期中) 如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．20. （1分）(2017·九江模拟) 已知直线y=k（x+ ）与曲线y= 恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆上一动点，点P1（x1 ， y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1 ，λ2 ，则λ1＞λ2的概率是________．21. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为（）A .B .C .D .22. （1分） (2018高一下·珠海期末) 父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间。

高考一轮复习：几何概型

第3讲几何概型【2015年高考会这样考】以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．【复习指导】本讲复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用几何概型求随机事件概率的关键，复习时要多反思和多领悟，掌握方法要领．同时要加强与平面区域、空间几何体、平面向量、函数结合等方面的训练．基础梳理1．几何概型事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )．A.12B.13C.14 D ．1解析点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为13. 答案 B2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．A.15B.25C.35D.45解析以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.答案 B3．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．解析 P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝13，∴P (A)＞P (C)＝P (D)＞P (B)．答案 A4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( )．A.π3B.334πC.34 D ．以上全错解析设正三角形边长为a ，则外接圆半径r ＝32a ×23＝33a ，∴所求概率P ＝34a 2π⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝334π. 答案 B5．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.答案 13考向一与长度有关的几何概型【例1】►点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．[审题视点] 用劣弧AB 的长度与圆周长的比值．解析如右图，设A 、M 、N 为圆周的三等分点，当B 点取在优弧MAN 上时，对劣弧AB来说，其长度小于1，故其概率为23.答案 23将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【训练1】一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的长度为：1＋2＋3＝6，故所求概率为P ＝612＝12.答案 12考向二与面积有关的几何概型【例2】►(2012·华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[审题视点] (1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立ab 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，利用公式可求．【训练2】 (2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )．A.14B.13C.12D.23解析 S △ABE ＝12|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |.故所求概率P ＝S △ABES 矩形ABCD ＝12. 答案 C考向三与角度、体积有关的几何概型【例3】►在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM |＞|AC |的概率．[审题视点] 如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB 内作射线CM 看做是等可能的，基本事件是射线CM 落在∠ACB 内任一处，使|AM |＞|AC |的概率只与∠BCC ′的大小有关，这符合几何概型的条件．解设事件D 为“作射线CM ，使|AM |＞|AC |”．在AB 上取点C ′使|AC ′|＝|AC |，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，μA ＝90－75＝15，μΩ＝90，所以P (D )＝1590＝16.几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM 落在∠ACB 内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M 在AB 上的落点不是等可能的．【训练3】 (2011·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 答案 1－π12规范解答21——如何解决概率与函数的综合问题【问题研究】所谓概率，就是某种事件发生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常见的例子，也可以是有关的数学问题，如以函数的基本性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)为背景，设置概型，提出问题，考查考生综合分析问题、解决问题的能力.【解决方案】首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决.【示例】► (本题满分12分)(2011·潍坊模拟)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎨⎧ x ＋y －8≤0，x ＞0，y ＞0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．本题以“二次函数的单调性”为背景，首先写出事件发生所满足的条件，在第(1)问中，给出了有限个数据，从而判断是古典概型问题，利用列举法写出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个数，再利用公式求之；第(2)问中，a 和b 有无限个数据，所以是几何概型问题，首先计算事件发生的总数与满足条件的事件发生的个数的测度，再利用公式求之．[解答示范] (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且2b a≤1，即2b ≤a .(2分)若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1或1；若a ＝3，则b ＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分)∴所求事件的概率为515＝13.(6分)(2)由(1)，知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ a ＋b －8≤0，a ＞0，b ＞0，构成所求事件的区域为三角形部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，(10分) ∴所求事件的概率为P ＝12 ×8×8312×8×8＝13.(12分)本题中先将f (x )在[1，＋∞)上为增函数转化为满足条件2b ≤a 且a ＞0，然后再联系已知条件，将问题转化为几何概型，实现了知识的逐步迁移，这种转化迁移的思想值得考生注意，另外，对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，在某一区间[m ，＋∞)上单调递增的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，－b 2a ≤m ，切勿漏掉a ＞0.【试一试】已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．[尝试解答] (1)基本事件(a ，b )共有36个，方程有正根等价于a －2＞0,16－b 2＞0，Δ≥0，即a ＞2，－4＜b ＜4，(a －2)2＋b 2≥16.设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16，设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2＜16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4。

2022年新高考数学总复习：几何概型

2022年新高考数学总复习：几何概型知识点一几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．知识点二几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．知识点三几何概型的概率公式P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__．知识点四随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN作为所求概率的近似值．归纳拓展几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19．(×)题组二走进教材2．(P 140T1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(A)[解析]∵P (A )＝38，P (B )＝14，P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )．故选A ．3．(P 146B 组T4)≤x ≤2，≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(D)A ．π4B ．π－22C ．π6D ．4－π4[解析]如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括AC ︵)表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件的概率是4－π4，故选D ．题组三走向高考4．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(B)A ．14B ．π8C ．12D ．π4[解析]不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8．故选B ．5．(2019·全国)在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为(B)A ．12B ．33C ．33D ．32[解析]在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形，令AB ＝BC ＝1，则AC ＝2；在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan 30°＝33，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为：P ＝BP BC ＝33，故选B ．考点突破·互动探究考点一与长度有关的几何概型——自主练透例1(1)(2021·山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15－8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是(D)A ．23B ．58C ．13D ．38(2)(2021·福建龙岩质检)在区间－π2，π2上随机取一个实数x ，使cos x ≥12的概率为(B )A ．34B ．23C ．12D ．13(3)(2020·山东省青岛市模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为(C)A ．15B ．14C ．13D ．12[解析](1)一名职工在7：50到8：30之间到单位，刷卡时间长度为40分钟，但有效刷卡时间是8：15－8：30共15分钟，由测度比为长度比可得，该职工能正常刷卡上班的概率P ＝1540＝38．故选D ．(2)由y ＝cos x 在区间－π2，0上单调递增，在，π2上单调递减，则不等式cos x ≥12在区间－π2，π2上的解为－π3≤x ≤π3，故cos x ≥12的概率为2π3π＝23．(3)直线l 与C 相交⇒|2k |1＋k 2＜1⇒－33＜k ＜33．∴所求概率P ＝33－(－33)3－(－3)＝13．故选C ．[引申]本例(3)中“圆上到直线l 的距离为12的点有4个”发生的概率为__515__．[解析]圆上到直线l 的距离为12的点有4个⇔圆心到直线l 的距离小于12⇔|2k |1＋k 2＜12⇔－1515＜k ＜1515，∴所求概率P ＝1515－3－(－3)＝515．名师点拨与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度．〔变式训练1〕(1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是__59__．(2)(2021·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥1的概率为(D)A ．13B ．14C ．15D ．12[解析](1)D ＝{x |6＋x －x 2≥0}＝[－2,3]，∴所求概率P ＝3－(－2)5－(－4)＝59．(2)由f (x )＝1，x ∈[0，π]得x ∈0，π2，∴所求概率P ＝π2π＝12，故选D ．考点二与面积有关的几何概型——师生共研角度1与平面图形有关的问题例2(1)(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)如图，AC ，BD 上分别是大圆O的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为OA ，OB ，OC ，OD ，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(D)A ．π4B ．π8C ．1πD ．2π(2)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为(C )A ．34＋12πB ．12＋1πC ．14－12πD ．12－1π[解析](1)不妨设大圆的半径为2，则大圆的面积为4π，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为S ，由图形的对称性知，S 阴影＝8S ．又S ＝12π×12×12－12×2＝1，则所求概率为84π＝2π，故选D ．(2)∵|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆面，如图所示，而y ≥x 所表示的区域如图中阴影部分，故P ＝π4－12π＝14－12π．[引申]本例(1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为__π－22π__．[解析]不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，∴所求概率P 14×4π＝π－22π．角度2与线性规划交汇的问题例3－y ＋1≥0，＋y －3≤0，≥0的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是(B )A ．14B ．34C ．13D ．23[解析]－y ＋1≥0＋y －3≤0，≥0表示的平面区域为△ABC 且A (1,2)，B (－1,0)，C (3,0)，显然直线l ：y ＝2x 过A 且与x 轴交于O ，∴所求概率P ＝S △AOC S △ABC ＝|OC ||BC |＝34．选B ．名师点拨解决与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元素，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．〔变式训练2〕(1)(2021·唐山模拟)右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为(B)A ．8B ．9C ．10D ．12(2)(2021·四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D ，E ，F 为正三角形ABC 各边中点，作出正三角形DEF 的勒洛三角形DEF (阴影部分)，若在△ABC 中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C)A ．π－32B ．23π－39C ．3π－36D ．3π－26[解析](1)根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S ＝4×4×225400＝9，故选B ．(2)设△ABC 的边长为2，则正△DEF 边长为1，以D 为圆心的扇形面积是π×126＝π6，△DEF 的面积是12×1×1×32＝34，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×π6－34＋34＝π－32，△ABC 面积为3，所求概率P ＝π－323＝3π－36．故选C ．考点三,与体积有关的几何概型——师生共研例4(1)(2021·山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为(C )A ．18B ．56C ．16D ．78(2)(2020·江西抚州临川一中期末)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率为(D)A ．13B ．49C ．827D ．1927[解析](1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四棱锥拼成，不妨设正方体棱长为2，则GH ＝2，∴所求概率P ＝V E －GHIJ －FV 正方体＝2×(13×2×2×1)2×2×2＝16，故选C ．(2)作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC ，∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率P ＝1－827＝1927．故选D ．名师点拨求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解．〔变式训练3〕一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(C)A ．4π81B ．81－4π81C ．127D ．827[解析]由已知条件可知，蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127．[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__1－4π81__．[解析]所求概率P ＝33－43π33＝1－4π81．考点四,与角度有关的几何概型——师生共研例5(1)(2021·南岗区校级模拟)已知正方形ABCD 的边长为3，以A 为顶点在∠BAD 内部作射线AP ，射线AP 与正方形ABCD 的边交于点M ，则AM ＜2的概率为(D)A ．32B ．12C ．33D ．23(2)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，则AD ＜AC 的概率为__34__．[解析](1)正方形ABCD 的边长为3，以A 为顶点在∠BAD 内部作射线AP ，射线AP与正方形ABCD 的边交于点M ，如图所示：己知AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝3，DM ＝1，所以AM ＝(3)2＋12＝2．所以∠DAM ＝π6．根据阴影的对称性，故P (AM ＜2)＝π6＋π6π2＝23，故选D ．(2)在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°．设事件A ＝{在∠ACB 内部作一条射线CD ，与线段AB 交于点D ，AD ＜AC }．则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.590＝34．名师点拨与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度．(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算．〔变式训练4〕(1)(2021·山西太原一模)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为__13__．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM交BC 于点M ，则BM ＜1的概率为__25__．[解析](1)当点P 在BC 上时，AP 与BC 有公共点，此时AP 扫过△ABC ，所以所求事件的概率P ＝3090＝13．(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°．记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM ＜1”，则可得∠BAM ＜∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝3075＝25．名师讲坛·素养提升转化与化归思想在几何概型中的应用例6(1)(2021·贵州遵义模拟)在区间[0,2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是(A)A ．18B ．14C ．78D ．34(2)(2021·济宁模拟)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到则等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率为(A )A ．38B ．34C ．35D ．45[解析](1)设函数为x ，y ，≤x≤2，≤y≤2由图可知x＋y＞3的概率P＝124＝18．故选A．(2)以6点作为计算时间的起点，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则基本事件空间是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，事件对应的平面区域的面积S＝1，设满足条件的事件对应的平面区域是A，则A＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1，y－x≤12，且y≥x}，其对应的区域如图中阴影部分所示，则C(0,1)，则事件A对应的平面区域的面积是1－12×12×12－12×1×1＝38，根据几何概型的概率计算公式得P＝381＝38．名师点拨]生活中的几何概型度量区域的构造方法：(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息．(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．(3)解模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．〔变式训练5〕(2020·海口调研)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是__78__．[解析]以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝1×1－12×12×121×1＝78．。

高考数学技巧：几何概型问题—5类重要题型

高考数学技巧：几何概型问题—5类重要题型解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型中事件A的概率计算公式:.其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．1 几何概型的两个特征：(1)试验结果有无限多；(2)每个结果的出现是等可能的．事件A可以理解为区域的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关．2 解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．3 用几何概型解简单试验问题的方法(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解．(2)把基本事件转化为与之对应的总体区域D(3)把随机事件A转化为与之对应的子区域d(4)利用几何概型概率公式计算．4 均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率．一般地．利用计算机或计算器的rand（）函数可以产生0～1之间的均匀随机数．a～b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x=.rand(..)，然后利用伸缩和平移变换x=. rand(..)*(b-a)+a,就可以产生[a，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a～b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的．5 均匀随机数的应用(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用随机模拟法计算不规则图形的面积．下面举几个常见的几何概型问题.一.与长度有关的几何概型例1.如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？.思路点拨.从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．解.记.E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×=10米，∴方法技巧.我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．二.与面积有关的几何概型例2.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122.cm,靶心直径为12 2. cm 运动员在70.m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？思路点拨.此为几何概型，只与面积有关．解.记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为即：“射中黄心”的概率是0 01方法技巧.事件的发生是“击中靶心”即“黄心”的面积；总面积为最大环的圆面积．三.与体积有关的几何概型例3 在区间[0,l]上任取三个实数x y z,事件A={(x,y,z)|.x2+y2+z2＜1,.x≥0,y≥0,z≥0}..(1)构造出随机事件A对应的几何图形；..（2)利用该图形求事件A的概率思路点拨:.在空间直角坐标系下，要明确x2+y2+z2＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r=1的球的内部．事件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图形的体积有关，这符合几何概型的条件．解：（1）A={(x,y,z)|.x2+y2+z2＜1,.x≥0,y≥0,z≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如图所示．.(2)由于x,y,z属于区间[0,1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分．.....∴方法技巧：本例是利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白点P(x,y,z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择观察角度四.求会面问题中的概率例4.两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．思路点拨.两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时．设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当-.xx-yx，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．解.设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当-.xx-yx两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为方法技巧.会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．五.均匀随机数的应用例5.利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y=.2x与x轴、x=±1围成的部分）面积．.思路点拨.不规则图形的面积可用随机模拟法计算．解.(1)利用计算机产生两组[0,1]上的随机数,a1=rand（..），b1=rand(...)．...(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0 5)*2,b=b1*2,得到一组[0,2]上的均匀随机数．...(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1...(4)计算频率，则即为落在阴影部分的概率的近似值．...(5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率...(6)因为.=.,所以S=即为阴影部分的面积方法技巧.根据几何概型计算公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似在不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形面积乘以频率．而频率可以通过随机模拟的方法得到，从而求得不规则图形面积的近似值．。

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题6.3 几何概型(解析版)

6.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝M N作为所求概率的近似值．考向一长度【例1】某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】12【解析】如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.【举一反三】1．在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．【答案】 23【解析】方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log ()2x +≤1”发生的概率为_______．【答案】 34【套路总结】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求【解析】由－1≤121log ()2x +≤1，得12≤x ＋12≤2，得0≤x ≤32.由几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝32－02－0＝34.考向二面积【例2】（1）一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC 区域内随机爬行，则其恰在到顶点A 或顶点B 或顶点C 的距离小于1的地方的概率为________．(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，2x －y －4≤0所表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．【答案】（1）π48 （2）3π64【解析】（1）蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48.(2)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－43，OA ⊥OB ，平面区域M 的面积S △AOB ＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S ＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P＝SS △AOB ＝π4163＝3π64【举一反三】1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是________．【答案】 12【解析】以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以PB →＋PC →＝－2PA →，得PD →＝－2PA →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC内的概率为S △PBCS △ABC＝12. 2．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．【答案】 12【解析】 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .【套路总结】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.考向三体积【例3】（1）在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．（2）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．【答案】（1）1－π12 （2）1－π4【解析】（1）记“点P 到点O 的距离大于1”为A ，P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. （2）鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.【举一反三】1．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．【答案】16【解析】因为1A A BDV-＝1A ABDV-＝13AA1×S△ABD＝16×AA1×S矩形ABCD＝16V长方体，故所求概率为1A A BDVV-长方体＝16.考向四角度【例4】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．【答案13【解析】因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.【举一反三】【套路总结】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．1．在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，则AM >AC 的概率为________．【答案】 16【解析】设事件D 为“作射线CM ，使AM >AC ”．在AB 上取点C ′使AC ′＝AC ，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′＝180°－30°2＝75°，事件D 发生的区域μD ＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P (D )＝μD μΩ＝15°90°＝16.1．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．34π- B ．332π-C ．334π-D ．33π-【答案】C【解析】如下图所示：【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=∴阴影部分的面积21182223123323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：823334234p ππ-==-⨯本题正确选项：C2．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C.3．已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭之内的概率为（） A ．12 B ．13 C ．14 D ．23【答案】A【解析】当a b > 时2223142a b a b a -<<⇒< ，当a b < 时,同理可得2ba <,则由下图可得所求的概率21121222t tP t ⨯⨯== ，故选A.4．在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1x ≤的概率为（）A ．25 B ．35 C ．15 D ．23【答案】A【解析】因为()5,112D d ==--=，所以由几何概型的计算公式可得25d P D ==，应选答案A 。

高考数学一轮复习专题训练—古典概型与几何概型

古典概型与几何概型考纲要求1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义．知识梳理1．古典概型 (1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(3)古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.2．几何概型 (1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)概率为0的事件一定是不可能事件．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( ) A.25 B ．415C ．35D ．非以上答案答案 A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p ＝615＝25. 3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD 内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为____________．答案 0.6解析由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S ，由几何概型概率公式可得S4≈30200，∴S ≈0.6.4．(2020·全国Ⅰ卷)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A.15 B ．25C ．12D ．45答案 A解析从O ，A ，B ，C ，D 这5个点中任取3点，取法有{O ，A ，B }，{O ，A ，C }，{O ，A ，D }，{O ，B ，C }，{O ，B ，D }，{O ，C ，D }，{A ，B ，C }，{A ，B ，D }，{A ，C ，D }，{B ，C ，D }，共10种，其中取到的3点共线的只有{O ，A ，C }，{O ，B ，D }这2种取法，所以所求概率为210＝15.故选A.5．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12答案 D解析设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.6. (2021·郑州模拟)公元前5世纪下半叶，希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为4，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等．现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自阴影部分的概率是________．答案π＋68π＋4解析上方阴影部分的面积等于△AOB 的面积，S △AOB ＝12×2×2＝2，下方阴影部分面积等于14×π×22－⎣⎡⎦⎤14×π×22－12×2×2＝π2＋1，所以根据几何概型概率公式得所求概率P ＝2＋π2＋14π＋2＝π＋68π＋4.考点一古典概型的简单计算1．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23 B ．35C ．25D ．15答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.2．(2021·安徽江南十校质量检测)“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( ) A.15 B ．13C ．35D ．23答案 A解析 6拆成两个正整数的和的所有基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，而加数全为质数的为(3,3)，所以所求概率为15，故选A.3．(2020·江苏卷)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．答案 19解析列表如下：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6789101112点数的和共有点数和为5的概率P ＝436＝19.感悟升华古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．考点二古典概型与其他知识的简单交汇【例1】 (1)(2020·郑州一模)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任取k ∈A ，则幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率为________(结果用数值表示)．(2)(2021·河北七校联考)若m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________．答案 (1)14 (2)12解析 (1)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，任意k ∈A 的基本事件总数为8，当k ＝±2时，幂函数f (x )＝x k 为偶函数，从而幂函数f (x )＝x k 为偶函数包含的基本事件个数为2，∴幂函数f (x )＝x k 为偶函数的概率p ＝14.(2)∵m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1,3,11，共有3个，∴椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p＝36＝12. 感悟升华求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解．【训练1】设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18 B ．14C ．13D ．12答案 A解析有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.考点三古典概型与统计的综合应用【例2】某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的三组用户中，用分层抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．解 (1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x ＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5，且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)．抽样方法为分层抽样，在[240,260)，[260,280)，[280,300]中的用户比为3∶2∶1，所以在[240,260)，[260,280)，[280,300]中分别抽取3户、2户和1户．设参加节目的2户来自不同组为事件A ，将来自[240,260)的用户记为a 1，a 2，a 3，来自[260,280)的用户记为b 1，b 2，来自[280,300]的用户记为c 1，在6户中随机抽取2户有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a3，c1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，c1)，共15种取法，其中满足条件的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，c1)，(b2，c1)，共11种，故参加节目的2户来自不同组的概率P(A)＝1115.感悟升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．【训练2】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝1 50，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.考点四几何概型角度1 与长度(角度)有关的几何概型【例3】 (1)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( ) A.215B ．715C ．35D ．1115(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM ＜AC 的概率为________．答案 (1)D (2)34解析 (1)因为f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝m 2＋4m ≥0，所以m ≤－4或m ≥0，所以在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率p ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115. (2)过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM ＜AC ，又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为p ＝67.5°90°＝34.感悟升华 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．角度2 与面积有关的几何概型【例4】在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B ．1625C ．1725D ．1825答案 C解析设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.感悟升华几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．角度3 与体积有关的几何概型【例5】有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析由题意得该圆柱的体积V ＝π×12×2＝2π.圆柱内满足点P 到点O 的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V 1＝12×43π×13＝23π，所以所求概率p ＝V －V 1V ＝23.感悟升华对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【训练3】 (1)(2021·西安一模)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( ) A.12B ．13C ．24D ．23(2) (2020·新疆一模)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．剪纸艺术通过一把剪刀、一张纸就可以表达生活中的各种喜怒哀乐．如图是一边长为1的正方形剪纸图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为( )A.π64B ．π32C ．π16D ．π8答案 (1)C (2)D解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y ＝k (x ＋3)的距离为|3k |k 2＋1，要使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则|3k |k 2＋1<1，解得－24<k <24. ∴在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为24－⎝⎛⎭⎫－242＝24. (2)设黑色小圆的半径为r .由题意得2r ＋2r ＋2×2r ＝1，解得r ＝18，所以白色区域的面积为π·⎝⎛⎭⎫122－4×π·⎝⎛⎭⎫182－π·⎝⎛⎭⎫142＝π8.所以在正方形图案上随机取一点，该点取自白色区域的概率为π81×1＝π8.故选D. 基础巩固一、选择题1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B ．14C ．34D ．0答案 A解析列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.故选A.2．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B ．16C ．29D ．518答案 C解析由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29.故选C.3. (2021·河北六校联考)《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a (0<a <r )，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A.a 21－p r 2B ．a 21＋p r 2C.a1－p rD ．a1＋p r答案 A解析由几何概型的概率计算公式，得πr 2－a 2πr 2＝p ，化简得π＝a 21－p r 2.故选A.4．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为( ) A.12 B ．13C ．34D ．25答案 B解析点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13.5．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15—8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )A.23 B ．58C ．13D ．38答案 D解析该职工在7：50至8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB ，且AB ＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB ，且CB ＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率p ＝1540＝38.故选D.6．(2021·合肥质检)已知三棱锥S －ABC ，在该三棱锥内任取一点P ，则使V P －ABC ≤13V S －ABC的概率为( ) A.13 B ．49C ．827D ．1927答案 D解析作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝13V S －ABC ，则三棱锥P －ABC 的高等于13SO ，P 点落在平面EFD 上，且SE SA ＝SD SB ＝SF SC ＝23，所以S △EFD S △ABC ＝49，故V S －EFD ＝827V S －ABC， ∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率p ＝1－827＝1927.二、填空题7．(2020·太原模拟)下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次随机走出教室，则第2位走出的是女同学的概率是________．答案 13解析 2位男同学记为男1，男2，则三位同学依次走出教室包含的基本事件有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6种，其中第2位走出的是女同学包含的基本事件有2种．故第2位走出的是女同学的概率是p ＝26＝13.8．在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．答案33解析 ∵点M 在直角边BC 上是等可能出现的， ∴“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.9．(2021·郑州质量预测改编)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．答案 16解析从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故p ＝212＝16.三、解答题10．(2020·成都诊断)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.030.(2)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝715.11．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以事件M发生的概率P(M)＝1115.能力提升12．(2021·长春质检)我国古人认为宇宙万物是由金、木、水、火、土这五种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质中随机选取三种，则取出的三种物质中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为()A.35 B ．12C ．25D ．13答案 B解析 (列举法)依题意，三种物质间相生相克关系如下表，金木水金木火金木土金水火金水土金火土木水火木水土木火土水火土 × √√√×××√×√所以彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率p ＝510＝12，故选B.13．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 78解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝⎛⎭⎫－12，32.由几何概型的概率公式，所求概率p ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.。

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高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

2020版高考数学一轮复习-第6讲几何概型教案(理)(含解析)新人教A版

第6讲几何概型基础知识整合1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A)＝□04构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．(2019·大连模拟)在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B解析将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.3．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.π4 B.π8 C.π6 D.π12答案 C解析设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.4．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案 35解析本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A ＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P (A )＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析由题意知m >0，当0<m <2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －－m 4－－2＝56，解得m ＝52(舍去)；当2≤m <4时，所求概率为m －－24－－2＝56，解得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不符合题意，故m ＝3.6．(2019·保定调研)在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x －1的概率是________．答案 78解析点(x ，y )分布在如图所示的正方形区域内，画出x －y －1≤0表示的区域(图中阴影部分)，可知所求的概率为1－124＝78.核心考向突破考向一与长度有关的几何概型例1 (1)(2019·上海模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，则直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点的概率为( )A.29B.36C.13D.33 答案 D解析圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y ＝k (x －2)的距离为|2k |k 2＋1.要使直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，则需|2k |k 2＋1<1，解得－33<k <33，所以在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点的概率P ＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫－331－－1＝33.故选D.(2)(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比． 2求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.即时训练 1.(2019·河南濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A.215 B.715 C.35 D.1115答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ≥0，∴m ≤－4或m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115.故选D.2．(2019·湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( )A.14B.12C.13D.34答案 A解析设MP＝x cm,0<x<16，则NP＝(16－x) cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝416＝14.故选A.考向二与面积有关的几何概型角度1 与平面图形面积有关的问题例2 (2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案 A解析不妨取AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC ＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1＝p 2.故选A.角度2 与线性规划交汇的问题例3 (2019·湖北联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.619D.34 答案 D解析如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.角度3 与定积分交汇的问题例4 (2019·甘肃武威阶段考试)如图所示的阴影区域由x 轴、直线x ＝1及曲线y ＝e x－1围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是( )A.1eB.1e －1C ．1－1eD ．1－1e －1答案 B解析由题意，阴影部分的面积为⎠⎛01(e x－1)d x ＝(e x－x )|10＝e －2，∵矩形区域OABC 的面积为e －1，∴该点落在阴影区域的概率是e －2 e －1，故该点落在非阴影区域的概率为1e －1.触类旁通求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．即时训练 3.(2019·四川成都模拟)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A.3π10 B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20答案 D解析直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3. ∴内切圆的面积为πr 2＝9π， ∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20.4．(2019·四川宜宾模拟)向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为________．答案 18解析由题意可知阴影部分的面积为2⎠⎛01x 3d x ＝2×14x 4⎪⎪⎪1＝12，所以所求概率为P ＝122×2＝18. 5．(2019·福建三明模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2－y 2b 2＝1表示离心率小于5的双曲线的概率为________．答案 78解析 ∵双曲线的离心率小于5，∴1<e<5，∴1<c a<5，∴1<1＋b 2a 2<5，∴0<b 2a2<4，得b <2a (a >0，b >0)．它对应的平面区域如图中阴影部分所示，根据几何概型概率公式，得所求概率为P ＝12×3＋4×24×2＝78. 考向三与体积有关的几何概型例5 (1)(2019·厦门模拟)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝2π3，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－2π38＝1－π12.故选B.(2)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析圆柱的体积V 柱＝πR 2h ＝2π，半球的体积V 半球＝12×43πR 3＝2π3.∴圆柱内一点P到点O 的距离小于等于1的概率为13.∴点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．即时训练 6.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC<12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78. 考向四与角度有关的几何概型例6 (1)如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案 D解析依题意可知∠AOC ∈[15°，75°]，∠BOC ∈[15°，75°]，故OC 活动区域为与OA ，OB 构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P (A )＝OC 活动区域的圆心角度数∠AOB 的度数＝60°90°＝23. (2)(2019·鞍山模拟)过等腰Rt△ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD <AC 的概率．解在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE (如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD <AC .易知∠ACE ＝67.5°，∴AD <AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度. 2解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算.即时训练 7.如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM<1的概率．解因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝AD tan60°＝1，∠BAD ＝30°. 记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.。

高考数学一轮复习 62 几何概型学案理

第六十二课时几何概型课前预习案1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2.特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．3.求解公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 思考：已知区间[5,5]M =-.事件A ：在M 内任取一个整数x ，使得21x <；事件B ：在M 内任取一个实数x ，使得21x <.请问，事件A 与事件B 有何区别？1. 在区间[20,80]内随机取一实数a ，则实数a 属于区间[50,75]的概率是( )． A.14 B.34 C.512 D.7122.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )． A.15 B.25 C. 35 D. 453.在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则含有麦锈病种子的概率是 ( )A ．1B ．0.1C ．0.01D ．0.001 4.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( )． A.14 B.13C.12D.235. 如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概率是 ( )．A.C. 4πD.4π课堂探究案考点1：与长度、角度等相关的几何概型【典例1】(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．(2)如图，四边形ABCD 为矩形，1AB BC ==，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．【变式1】（1）有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为________．（2）如图，在△ABC 中，60B ∠=，45C ∠=，高AD =在BAC ∠内作射线AM 交BC 于点M ，则1BM <的概率是________．考点2：与面积、体积相关的几何概型【典例2】（1）花园小区内有一块三边长分别是5m 、5m 、6m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m 的概率是________．(2)在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．【变式2】（1）在长为16cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于225cm 与281cm 之间的概率为________．（2）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．考点3：几何概型的综合应用【典例3】（1）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(2)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为( ) A.12 B.13（2）如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．【变式3】（1）如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( ) A.165 B.215 C. 235 D. 195（2）在不等式组240,30,0,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域内任取一点P （x,y ），点P 落在圆221x y +=区域内的概率是________．1. 将一根长10 cm 的铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6 cm 2的概率等于( ) A.15 B. 25 C. 35 D. 452.利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ,则事件“013<-a ”发生的概率为_______ . 3．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m =__________.课后拓展案组全员必做题1．设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )． A.π4 B.π22- C.π6 D.4π4- 2.已知集合{}2|230A x x x =--<， 1|13x B x y g x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，在区间()3,3-上任取一实数x ，则“x A B ∈”的概率为( ) A.41 B.81 C.31 D.121 3.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于232cm 的概率为( )． A.16 B.13 C.23 D.454.在区间ππ[,]22-上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0至12之间的概率为________． 5.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．组提高选做题1. 分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )．A.42π-B.22π- C.44π- D. 24π-2.设事件A 表示“关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根”．（1）若a ，{1,2,3}b ∈，求事件A 发生的概率()P A ；（2）若a ，[1,3]b ∈，求事件A 发生的概率()P A ．参考答案1.C2.B3.C4.C5.D【典例1】（1）45；（2）13.【变式1】（1）34；（2）25.【典例2】（1）π16-；（2）π112-.【变式2】（1）14；（2）127.【典例3】（1）C ；（2）83【变式3】（1）C ；（2）π14.1.A2.13 3.3.组全员必做题1.D2.C3.C4.1 35.13 16组提高选做题1.B2.(1)23；（2）12.。

高考数学第一轮知识点总复习第七节随机数与几何概型

1.
举一反三
（2009·山东）在区间［-1，1］上随机取一个数x,
cos的 x值介于0到12之间的
2
概率为
()
A. 1 B.
C.2
1
D.
2
3
2
3
解析：在区间［-1,1］上随机取一个实数x，cos 的x值位于［0,1］区间，若使
2
的值co位s 于x
2
公式可知
答案：A
区间，取0到, 12的实数x应在2 区1间 p 3
第七节随机数与几何概型
基础梳理
1. 几何概型的概念事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量成正比，而与A的位置和形状无关，此种试验称为几何概型.
2. 几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的. （2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是均等的.
6. 均匀随机数的应用（1）用随机模拟法估计几何概率; （2）用随机模拟法计算不规则图形的面积.
典例分析
题型一与长度、角度有关的几何概型
【例1】（2009·盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.
分析因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题.
因此,阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即
P S阴影部分 S单位正方形
1-（ 1 ）2
3 12
8. 9
学后反思对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率.根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域.

高考数学复习：几何概型

10
()
(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有
关. ( )
提示:(1)√.这是几何概型与古典概型的区别. (2)√.这是几何概型与古典概型的共同点. (3)×.从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是0. (4)×.无论长度、角度、面积、体积、“测度”只与大小有关,而与形状和位置无关.
3
6
=6 . 1
3
2
【规律方法】长度、角度等测度的区分方法 (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则把题中所表示的几何模型转化为长度,然后求解. 解题的关键是构建事件的区域(长度).
(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时, 应以角度的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.
【题组练透】
1.(2019·西宁模拟)函数f(x)=2x(x<0),其值域为D,在
区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是 ( )
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
2
3
4
3
【解析】选B.函数f(x)=2x(x<0)的值域为(0,1),即
D=(0,1),则在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的
【解析】以A为圆心,以AD=1为半径作圆弧 DB 交 AC,AP,AB分别为C′,P′,B′.
依题意,点P′在 B上D任何位置是等可能的,且射线AP
与线段BC有公共点,则事件“点P′在 B上C”发生.
又在Rt△ABC中,易求∠BAC=∠B′AC′= .
故所求事件的概率P=BA=C
BAD
答案: 1
=75(s)的时间长度.根据几何概型的概率公式可得,事件A发生的概率P(A)= 40 = 8 .

广东省佛山市高考数学一轮复习：62 几何概型

广东省佛山市高考数学一轮复习：62 几何概型姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共17题；共34分)1. （2分） (2016高一下·威海期末) 在AB=4，AD=2的长方形ABCD内任取一点M，则∠AMD＞90°的概率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高三上·南充期末) 关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）如下图，矩形OABC内的阴影部分由曲线及直线与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为（）A .B .C .D .4. （2分）已知,若向区域上随机投1个点P,则点P落入区域A的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）已知正三棱锥的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点，使得的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）下图的程序框图中f(x,y)是产生随机数的函数,它能随机产生区间(x,y)内的任何一个数,如果输入N值为4000,输出的m值为1840,则利用随机模拟方法计算由y=2x与及x轴所围成面积的近似值为（）A . 0.46B . 2.16C . 1.84D . 0.547. （2分） (2015高三上·锦州期中) △ABC的三边长度分别是2，3，x，由所有满足该条件的x构成集合M，现从集合M中任取一x值，所得△ABC恰好是钝角三角形的概率为（）A .B .C .D .8. （2分）利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为A .B .C .D .9. （2分）(2017·晋中模拟) 已知x、y是[0，1]上的两个随机数，则点M（x，y）到点（0，1）的距离小于其到直线y=﹣1的距离的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·普兰店模拟) P为圆C1：x2+y2=9上任意一点，Q为圆C2：x2+y2=25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）设函数.若从区间[-5,5]内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（）.A . 0.5B . 0.4C . 0.3D . 0.212. （2分） (2017高一下·济南期末) 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A .B .C .D .13. （2分）(2018·成都模拟) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A .B .C .D .14. （2分）已知实数x∈[0，8]，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）A .B .C .D .15. （2分）两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（）A .B .C .D .16. （2分）已知函数f（x）=x2+x﹣2，x∈[﹣4，6]，在函数f（x）的定义域内任取一点x0 ，使得f（x0）≥0的概率是（）A .B .C .D .17. （2分）定义：.在区域内任取一点P(x,y)，则x、y 满足的概率为A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)18. （1分） (2018高一下·抚顺期末) 欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 的圆，中间有边长为1 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是________．19. （1分）在区间[﹣2，4]上随机取一个点x，若x满足x2≤m的概率为，则m=________20. （1分）如图所示的矩形长为20，宽为10．在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________21. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 在区间上随机取一个，则的值介于与之间的概率为（）A .B .C .D .22. （1分） (2018高二下·晋江期末) 任取两个小于1的正数x、y ，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．参考答案一、单选题 (共17题；共34分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、二、填空题 (共5题；共6分) 18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、。

高考数学一轮复习：62 几何概型

高考数学一轮复习：62 几何概型姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共17题；共34分)1. （2分）从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·重庆模拟) 如图，△ABC和△DEF均为等边三角形，AF＝BD＝CE ， DF＝2AF＝20 cm，若在△ABC中随机投入260粒芝麻，则落在△DEF外的芝麻粒数约为（）A . 100B . 130C . 150D . 1804. （2分）(2018·凯里模拟) 如图所示，在半径为的内有半径均为的和与其相切，与外切，为与的公切线.某人向投掷飞镖，假设每次都能击中，且击中内每个点的可能性均等，则他击中阴影部分的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·河南月考) 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）在区间上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·黑龙江模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F在侧棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，点M为四棱锥内任一点，则M在平面EFCD上方的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）已知外接圆的半径为1，且．，从圆内随机取一个点，若点取自圆内的概率恰为，判断的形状（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 钝角三角形D . 等腰直角三角形9. （2分） (2016高二上·枣阳期中) 如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，以OA为直径作一个半圆，若在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）记集合和集合表示的平面区域分别为若在区域内任取一点，则点M落在区域的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）在边长为1的正方形ABCD中任取一点P，则的面积大于的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·沈阳开学考) 在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A .B .C .D .13. （2分）如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（）A . 8.68B . 16.32C . 17.32D . 7.6814. （2分）(2017·舒城模拟) 设k是一个正整数，（1+ ）k的展开式中第四项的系数为，记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分为S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（）A .B .C .D .15. （2分） (2016高二上·定兴期中) 向边长分别为3、4、5的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）A . 1﹣B . 1﹣C . 1﹣D . 1﹣16. （2分）(2017·泉州模拟) 在半径为1的圆O内任取一点M，过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A，B 两点，则AB长度大于的概率为（）A .B .C .D .17. （2分）如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD 的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为（）A . 2.2B . 2.4C . 2.6D . 2.8二、填空题 (共5题；共6分)18. （1分） (2018高三上·汕头期中) 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为________．19. （1分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是________20. （1分）(2017·辽宁模拟) 在区间（0，2）中随机抽取一个数，则这个数小于1的概率是________．21. （2分）一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，由它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（）A .B .C .D .22. （1分） G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）＜1的概率为________参考答案一、单选题 (共17题；共34分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、答案：略13-1、答案：略14-1、15-1、答案：略16-1、答案：略17-1、二、填空题 (共5题；共6分) 18-1、19-1、20-1、21-1、答案：略22-1、。

广东惠州市高一数学《高考复习几何概型》课件

1m
1m
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率P （A）=1/3。
• 例4：在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5cm的均匀方格的大桌子上投直径为2cm的硬币,若硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，问随即掷一个硬币正好投进方格子概率有多大？
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
P(A)
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
例1 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一
个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.
分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随机的，取得0.1 升水可作为事件的区域。
解:记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或
全部擦掉．则事件A发生就是在０--２／３min时间
段内按错键．故
2
1
P(A)= 3
= 45
30
• 对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机
事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
课堂小结
❖ .1.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
2.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微
下观察，则发现草履虫的概率？
❖几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
• 下列概率模型中，是否为几何概型？并说明原因