第六章 6.2等差数列及其前n项和
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5a1＋10d＝30，
解得da＝ 1＝－23643，，
∴S8＝8a1＋8×2 7d＝32.
123456
3.[P39T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ 180 . 解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
＝1－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1 ＝1－n＋1 1
＝n＋n 1.
多维探究
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例2 (2018·上饶模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和 S9等于
A.9
B.17
C.72
所以785<d≤235.故选 D.
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5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 8 时，{an}的前n项 和最大. 解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0， 所以a8>0. 又a7＋a10＝a8＋a9<0， 所以a9<0. 故当n＝8时，其前n项和最大.
√D.81
解析 由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，
则{an}的前 9 项和 S9＝9a1＋ 2 a9＝9×128＝81.故选 D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例3 (1)(2019·漳州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，
则S15等于
A.35
∴Sn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
思维升华
等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2. (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列. (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等 差数列.
√B.42
C.49
D.63
解析 在等差数列{an}中， S5，S10－S5，S15－S10成等差数列， 即7,14，S15－21成等差数列， 所以7＋(S15－21)＝2×14， 解得S15＝42.
(2)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝－2 018，2S2001199 －2S2001133 ＝6，则
(√ )
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(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是 等差数列.( √ )
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题组二 教材改编
2.[P46A组T2]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，
则S8等于
A.31
√B.32
C.33
D.34
a1＋5d＝2， 解析 由已知可得
思维升华
等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an ＝ap＋aq. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练2 (1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公 差d等于
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列. (7)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差
为12d.
5.等差数列的前n项和公式
na1＋an
nn－1
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝ 2
或 Sn＝ na1＋ 2 d.
解 ∵an是1与anan＋1的等差中项，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝2aan－n 1，
∴an＋1－1＝2aan－n 1－1＝ana－n 1，
∴ 1 ＝ an ＝1＋ 1 ，
an＋1－1 an－1
an－1
∵ 1 ＝1， a1－1
∴an－1 1＝1＋(n－1)＝n，∴an＝n＋n 1.
(2)求数列n21an的前 n 项和 Sn. 解 由(1)得n21an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，
1.“a，A，b 是等差数列”是“A＝ 2 ”的什么条件？ 提示 充要条件.
2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定.当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数. 3.如何推导等差数列的前n项和公式？
提示 利用倒序相加法.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是 等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ ) (5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数).
7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 大 值；若a1<0，d>0，则Sn存在 最 小 值.
【概念方法微思考】 a＋b
大一轮复习讲义
第六章 数列与数学归纳法
§6.2 等差数列及其前n项和
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
1 基础知识 自主学习
PART ONE
ZHISHISHULI
知识梳理
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母_d_
思维升华
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知 道其中三个就能求出另外两个. (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
师生共研
题型二 等差数列的判定与证明
例1 在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项.
(.1)求证：数列an－1 1是等差数列，并求an的通项公式；
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于
A.－2
√B.－21
1
C.2
D.2
解析 由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.
又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
解得 d＝－21.故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
表示.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 an＝a1＋(n－1)d . 3.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b 的 等差中项 .
4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d . (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差 为 md 的等差数列.
将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
故选B.
2.(2018·吉林模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，
则S7等于
A.28
B.21
C.14
√D.7
解析 由6a3＋2a4－3a2＝5， 得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5， 即5a4＝5， 所以a4＝1， 所以 S7＝7×a21＋a7＝7×22a4＝7a4＝7.故选 D.
2.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于
A.38
B.39
C.41
√D.42
解析 由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，
可得，3aBaidu Nhomakorabea＋6d＝24，解得d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A.0
√B.1
C.－1
D.2
解析 ∵a3＋a5＋a7 ＝3a5＝15， ∴a5＝5， ∴a5－a2＝3＝3d， 可得d＝1，故选B.
(2)(2019·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn
取最大值时n的值为
A.6
√B.7
C.8
D.13
解析 根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0， 所以可以得到a7>0，a8<0， 所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
S2 020＝ 2 020 . 解析 由等差数列的性质可得Snn也为等差数列. 设其公差为 d，则2S2001199 －2S2001133 ＝6d＝6，∴d＝1. 故2S2002200 ＝S11＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，
∴S2 020＝1×2 020＝2 020.
3.(2018·新乡模拟)已知等差数列{an}中，a1 012＝3，S2 017＝2 017，则S2 020等于
A.2 020
B.－2 020
C.－4 040
√D.4 040
解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，
S2 017＝a1＋2a2 017×2 017＝2a21 009×2 017＝2 017a1 009＝2 017， 则 a1 009＝1，据此可得，
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 等差数列基本量的运算
1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，
则a5等于
A.－12
√B.－10
C.10
D.12
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得 33a1＋3×23－1×d＝2a1＋2×22－1×d＋4a1＋4×42－1×d，
跟踪训练 1 数列{an}满足 an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1. (1)证明：数列a1n是等差数列； 证明 ∵an＋1＝2aan＋n 1， ∴an1＋1＝2aan＋n 1，化简得an1＋1＝2＋a1n， 即an1＋1－a1n＝2，
故数列a1n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.
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6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒 多降落9.80 m，那么经过 20 秒落到地面. 解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差 数列. 所以 4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
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题组三 易错自纠 4.一个等差数列的首项为215，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公
差 d 的取值范围是
8 A.d>75
3 B.d<25
83 C.75<d<25
√D.785<d≤235
解析
a10>1， 由题意可得
a9≤1，
即 221155＋ ＋98dd>≤11，，
(2)求数列a1n的前 n 项和 Sn，并证明：S11＋S12＋…＋S1n>n＋n 1. 解 由(1)知a1n＝2n－1， 所以 Sn＝n1＋22n－1＝n2，S1n＝n12>nn1＋1＝1n－n＋1 1. 证明：S11＋S12＋…＋S1n＝112＋212＋…＋n12>1×1 2＋2×1 3＋…＋nn1＋1
解得da＝ 1＝－23643，，
∴S8＝8a1＋8×2 7d＝32.
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3.[P39T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ 180 . 解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
＝1－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1 ＝1－n＋1 1
＝n＋n 1.
多维探究
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例2 (2018·上饶模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和 S9等于
A.9
B.17
C.72
所以785<d≤235.故选 D.
123456
5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 8 时，{an}的前n项 和最大. 解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0， 所以a8>0. 又a7＋a10＝a8＋a9<0， 所以a9<0. 故当n＝8时，其前n项和最大.
√D.81
解析 由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，
则{an}的前 9 项和 S9＝9a1＋ 2 a9＝9×128＝81.故选 D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例3 (1)(2019·漳州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，
则S15等于
A.35
∴Sn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
思维升华
等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2. (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列. (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等 差数列.
√B.42
C.49
D.63
解析 在等差数列{an}中， S5，S10－S5，S15－S10成等差数列， 即7,14，S15－21成等差数列， 所以7＋(S15－21)＝2×14， 解得S15＝42.
(2)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝－2 018，2S2001199 －2S2001133 ＝6，则
(√ )
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(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是 等差数列.( √ )
123456
题组二 教材改编
2.[P46A组T2]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，
则S8等于
A.31
√B.32
C.33
D.34
a1＋5d＝2， 解析 由已知可得
思维升华
等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an ＝ap＋aq. (2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； ②S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练2 (1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公 差d等于
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列. (7)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差
为12d.
5.等差数列的前n项和公式
na1＋an
nn－1
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝ 2
或 Sn＝ na1＋ 2 d.
解 ∵an是1与anan＋1的等差中项，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝2aan－n 1，
∴an＋1－1＝2aan－n 1－1＝ana－n 1，
∴ 1 ＝ an ＝1＋ 1 ，
an＋1－1 an－1
an－1
∵ 1 ＝1， a1－1
∴an－1 1＝1＋(n－1)＝n，∴an＝n＋n 1.
(2)求数列n21an的前 n 项和 Sn. 解 由(1)得n21an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，
1.“a，A，b 是等差数列”是“A＝ 2 ”的什么条件？ 提示 充要条件.
2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定.当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数. 3.如何推导等差数列的前n项和公式？
提示 利用倒序相加法.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是 等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ ) (5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数).
7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 大 值；若a1<0，d>0，则Sn存在 最 小 值.
【概念方法微思考】 a＋b
大一轮复习讲义
第六章 数列与数学归纳法
§6.2 等差数列及其前n项和
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
1 基础知识 自主学习
PART ONE
ZHISHISHULI
知识梳理
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母_d_
思维升华
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知 道其中三个就能求出另外两个. (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
师生共研
题型二 等差数列的判定与证明
例1 在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项.
(.1)求证：数列an－1 1是等差数列，并求an的通项公式；
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于
A.－2
√B.－21
1
C.2
D.2
解析 由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.
又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
解得 d＝－21.故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
表示.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 an＝a1＋(n－1)d . 3.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b 的 等差中项 .
4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d . (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差 为 md 的等差数列.
将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
故选B.
2.(2018·吉林模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，
则S7等于
A.28
B.21
C.14
√D.7
解析 由6a3＋2a4－3a2＝5， 得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5， 即5a4＝5， 所以a4＝1， 所以 S7＝7×a21＋a7＝7×22a4＝7a4＝7.故选 D.
2.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于
A.38
B.39
C.41
√D.42
解析 由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，
可得，3aBaidu Nhomakorabea＋6d＝24，解得d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A.0
√B.1
C.－1
D.2
解析 ∵a3＋a5＋a7 ＝3a5＝15， ∴a5＝5， ∴a5－a2＝3＝3d， 可得d＝1，故选B.
(2)(2019·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn
取最大值时n的值为
A.6
√B.7
C.8
D.13
解析 根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0， 所以可以得到a7>0，a8<0， 所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
S2 020＝ 2 020 . 解析 由等差数列的性质可得Snn也为等差数列. 设其公差为 d，则2S2001199 －2S2001133 ＝6d＝6，∴d＝1. 故2S2002200 ＝S11＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，
∴S2 020＝1×2 020＝2 020.
3.(2018·新乡模拟)已知等差数列{an}中，a1 012＝3，S2 017＝2 017，则S2 020等于
A.2 020
B.－2 020
C.－4 040
√D.4 040
解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，
S2 017＝a1＋2a2 017×2 017＝2a21 009×2 017＝2 017a1 009＝2 017， 则 a1 009＝1，据此可得，
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 等差数列基本量的运算
1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，
则a5等于
A.－12
√B.－10
C.10
D.12
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得 33a1＋3×23－1×d＝2a1＋2×22－1×d＋4a1＋4×42－1×d，
跟踪训练 1 数列{an}满足 an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1. (1)证明：数列a1n是等差数列； 证明 ∵an＋1＝2aan＋n 1， ∴an1＋1＝2aan＋n 1，化简得an1＋1＝2＋a1n， 即an1＋1－a1n＝2，
故数列a1n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.
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6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒 多降落9.80 m，那么经过 20 秒落到地面. 解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差 数列. 所以 4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
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题组三 易错自纠 4.一个等差数列的首项为215，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公
差 d 的取值范围是
8 A.d>75
3 B.d<25
83 C.75<d<25
√D.785<d≤235
解析
a10>1， 由题意可得
a9≤1，
即 221155＋ ＋98dd>≤11，，
(2)求数列a1n的前 n 项和 Sn，并证明：S11＋S12＋…＋S1n>n＋n 1. 解 由(1)知a1n＝2n－1， 所以 Sn＝n1＋22n－1＝n2，S1n＝n12>nn1＋1＝1n－n＋1 1. 证明：S11＋S12＋…＋S1n＝112＋212＋…＋n12>1×1 2＋2×1 3＋…＋nn1＋1