第三章-4-状态方程的解

exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]

n 1

k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
状态方程的解
自动控制 自动控制理论
Байду номын сангаас
第三章 微分方程的解
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
1
状态方程的解
第三章要点 绪论 稳态响应 暂态响应 时间常数定义 例：二阶系统 系统的暂态（动态） 时间响应性能指标 状态方程的解
2
状态方程的全解
求解微分方程 • 状态方程 • 状态转移矩阵（State St t transition t iti matrix, t i STM） • 计算状态转移矩阵 • 状态方程的全解 • 从状态空间模型到传递函数（矩阵）
14
1 0 0
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：2) 拉普拉斯变换
例 2. 假定 A 矩阵为 解：
( s ) ( sI A ) 1
1 s 0 0 1 1 ( s 2 s 1 1 1 ( 2 s 1 s 1 1 ( 2 s 1 s
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
假定初始时刻为 t0，对于任意初始条件 x(t ( 0)，如果 x(t ( 0) 已知，则有
x ( t ) e a (t t0 ) x ( t 0 )
6
状态方程的解
状态转移矩阵
• 考察标量方程的解 其中 其中，
状态转移矩阵
线性时不变系统 ( t ) e A t
STM：具有相应的物理意义，且 适用于时变系统和离散系统 注意：两者在概念上有区别。
Matrix exponent（矩阵指 数）： 数学函数
作为函数， 具有如下性质： e At 具有如下性质
1) 如果 A 是对角阵，则 exp[At] 也是对角阵
21 22 23
31 3 32 33
1 ) 1 1 ) 1 1 ) 1
1 1 1 1 ( ) s 1 s 2 s 1 1 1 1 ( ) 2 s 1 s 1 1 1 1 ( ) 2 s 1 s 1
(t p ) k A e A( t p ) k! k 0
k
性质 5) 证明： 证明
[exp( A t )] 1 exp( A t )
令 p=-t，利用性质 利用性质 3) 可得
exp( A t ) exp( At ) exp( A 0) I
11
状态方程的解
5
状态方程的解
状态转移矩阵
状态方程的解是两部分之和，其中一部分是相应齐次方程的解，也就是解 的暂态分量。 首先考虑齐次状态方程，即输入变量 u(t)=0
( t ) Ax ( t ) x
如果 n=1 且初始条件为 x(t=0)=x(0) ( ) ( )，则状态方程为标量方程，表示
了一个一阶系统。我们可以很容易地求得标量方程的解
A diag [ 1 , 2 , , n ]
2) d
dt
e At diag [ e 1t , e 2 t , , e n t ]
exp( A t ) A exp( A t ) exp( A t ) A
3) 如果 t 和 p 是相互独立的变量，则有
e x p [ A (t p )] e x p ( A t ) e x p ( A p )

1
(t ) ( t )
4. 5.
( (0) ) I, I 是 单 位 阵 (t )
为非奇异阵（ t为有限值）
( t ) L 1 [( sI A ) 1 ]
12
对 于 线 性 时 不 变 系 统 ， ( t ) e A t exp[ A t ]
( s ) ( sI A ) 1
控制科学与工程学系
状态方程的解
状态方程 状 方程 状态空间模型
(t ) Ax (t ) Bu(t ) 状态方程 x y(t ) Cx (t ) Du
输出方程 状态变量 x(t), u(t), 和 y(t) 是 列向量，A, B, C 和 D 是矩阵， 对于线性时不变系统而言 这 对于线性时不变系统而言，这 些矩阵的元素都是常数。 系统具有 m 个输入，l 个输 出和 n 个状态变量。 为了得到系统输出 y(t)，我们首先要 求解状态方程。 状态空间模型图
exp( T
1
AT t ) T
1
exp( A t )T
性质 1)、2)、4)、6)、7) 可以由 e At 的定义直接证明。
10
e
At
At ( At ) 2状态方程的解 ( At ) 3 ( At ) k ( At ) k I 1! 2! 3! k! k! k 0
exp[At]是无穷级数，且该无穷级数收敛，具有闭合形式。对于线性 是无穷级数 且该无穷级数收敛 具有闭合形式 对于线性 定常系统，exp[At] 称为系统的状态转移矩阵 (state transition matrix, STM)，可记为
…
( t ) Ax ( t ) x
LT
s X ( s ) x ( 0 ) AX ( s )
状态转移矩阵
性质 3) 证明：
exp[( A ( t p )] exp( A t ) exp( A p )
e e
At
Ap
At ( At ) 2 ( At )3 Ap ( Ap ) 2 ( Ap )3 (I )(I ) 1! 2! 3! 1! 2! 3! 2 2 3 2 2 3 t p t t t p I A (t p ) A 2 ( tp ) A 3 ( t 2 p tp 2 ) 2! 2! 3! 2! 2! 3!
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
A2 A4 A6
At ( A t)2 ( A t)3 ( A t)k I 1! 2! 3! k!
t3 t5 t 3! 5! t2 t4 1 2! 4! t3 t5 t 3! 5! t2 t4 t6 1 2! 4! 6! t3 t5 0 t 3! 5! 2 4 0 t t 1 2! 4! 1 (e t e t ) 2 1 (e t e t ) 2 1 (e t e t ) 2 1 ( e t e t ) 1 2 1 t t (e e ) 2 1 (e t e t ) 2
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
e
At
( A t)2 ( A t)3 ( A t)k At I 1! 2! 3! k!
2) 方法 2----- 利用拉普拉斯变换
( t ) e A t L 1 [( sI A ) 1 ]
3) 方法 3-----矩阵 A 对角化
( s ) ( sI A) 1
diag [ 1 , 2 , , n ]
A T T 1 , T 1 AT diag [ 1 , 2 , , n ]
e t diag [ e 1t , e 2 t , , e n t ]
9
e
At
At ( At ) 2状态方程的解 ( At ) 3 ( At ) k ( At ) k I 1! 2! 3! k! k! k 0
状态转移矩阵
4) 5)
exp( A t )
t0
I
e A t 总是非奇异矩阵，其逆矩阵为
[exp( [ p( A t )] 1 exp( p( A t )
x ( t ) L 1 [( s a ) 1 ] x ( 0 )
比较通过不同方式求得的解，它们应该相等。于是有，
e at L 1 [( s a ) 1 ]
7
状态方程的解
状态转移矩阵
对比标量方程和状态方程，状态方程的解类似于标量方程的解；或
利用拉普拉斯变换求解状态方程 n=1
0 1 0 A 0 0 1 0 1 0
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
4
u1 u2 um

S
x1, x2, …, xn

y1 y2 yl
图 3.11 系统的一般表示
状态方程的解
状 方程 状态方程
微分方程是输入输出模型，它仅仅表示了输入变量与输出变量之间的 关系。 -----经典控制理论模型 状态空间模型可以描述系统的内部变量，能够描述多变量系统和非线 性系统，并易于计算机实现。 -----现代控制理论模型 状态变量分析方法的特点是将一个复杂系统分解为一组更小的系统， 通过标准化处理使这些小系统之间的相互影响最小，从而可以进行分 别求解 别求解。
x ( t ) L 1 [( s I A ) 1 ] x ( 0 ) ( t ) x ( 0 )


k 0
(A t)k L 1 [( sI A ) 1 ] k!
( t ) e A t exp[ A t ]
8
e
At
A t ( A t ) 2 状态方程的解 ( At ) 3 ( At ) k ( At ) k I 1! 2! 3! k! k! k 0
At 1
0 1 0 A 0 0 1 0 1 0
s 0 0 1 s 1 0 1 s
1
, 利用方法 2求解exp(At) p( )
11 adj dj ( sI I A) 1 12 det( sI A ) 13
e
at t
x ( t ) e at x ( 0 )
at ( at ) 2 ( at ) 3 ( at ) k 1 1! 2! 3! k!
[请复习幂级数ex的展开(- <x<)]
求解 S 域内的解，有
( t ) ax ( t ) x
LT
sX ( s ) x ( 0 ) aX ( s )
状态转移矩阵
STM(—状态转移矩阵) 刻画了系统的非强迫响应或自然响应，它具
有如下性质：
1.
(t 2 t1 ) (t1 t 0 ) (t 2 t0 ), 对任意 t 0 , t 1 ,t 2
2.
3.
( t ) ( t ) ( t ) q ( t ) ( qt ), q 是 正 整 数