第30讲 连续系统的状态方程的建立

对包含电容的回路 i1 ( t ), i 2 ( t )列回路电压方程：
e ( t ) i L1 ( t ) d i ( t ) uC ( t ) d t L1
uC ( t ) d i (t ) iL2 (t ) d t L2
d 1 1 分别用 x1， x2， x3 表示 u ( t ) i ( t ) iL 2 (t ) C L 1 整理：d t 2 2 uC (t )， iL1 (t )， iL 2 (t ) d i L1 ( t ) i L1 ( t ) u C ( t ) e ( t ) dt 分别用y，f 表示 d iL 2 (t ) u C (t ) iL 2 (t ) u (t )，e(t ) dt 1 1 写成矩 0 1 x x1 0 2 2 x 1 1 0 x 1 f 阵形式： 2 2 （状态方程） x 1 0 1 x3 0 3 x1 y 0 0 1 x 输出方程为： 2 x3
y (t ) 0 1 L 0 f (t ) u C (t )
对于一个有m个输入，k个输出的n阶线性 微分方程所描述的系统，可以用一组一阶微 分方程（状态方程）和一组代数方程（输出 方程）加以描述，即 :
a11 1 x x a21 2 an1 xn a12 an 2
模拟图建立法
由模拟图（包括框图和流图）建立状态方程比电路图法更直 观、更简单。其一般步骤如下： 选取积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量。 围绕加法器列出状态方程和输出方程。
例1
解：
H (s)
s4 s 6 s 2 11s 6
3
用流图的串联结构形式建立状态方程。 把 H ( s ) s 3 6 s 2 11s 6作因式分解
例2
H (s)
s4 s 6 s 2 11s 6
y x1
x1 y 1 0 0 x2 x3
或
x1 3 2 1 x1 0 x 2 0 2 1 x2 0 f 0 0 1 x 1 3 x3
第6章 连续与离散系统的状态变量分析
•本章导读： •状态变量分析的优点是： •（1）能够提供系统内部信息，同时观测并处理多个系统变量， 从系统内部研究系统的稳定性； •（2）不仅适用于分析单输入-单输出的线性时不变系统，也适用 于分析非线性、时变、多输入、多输出系统；
•（3）状态方程用一阶微分方程组表示，对一阶微分方程组有多 种求解方法，且便于用计算机编程求解，可以处理更加复杂的系 统。
以 u C (t ), iL (t )为变量列方程：
d RiL (t ) L i L (t ) u C (t ) f (t ) dt
f (t )
R
L
C
uC t

u C (t )
1 C
iL (t ) d t 写为:
t
d 1 u C (t ) iL (t ) dt C
状态变量分析法优点
(1)可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统。
系统的描述
1. 输入－输出描述 •主要研究单输入－单输出系统； •着眼于系统的外部特性； •基本模型为系统函数。 2. 状态变量分析法 •产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R. E. Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •多运用于多输入－多输出系统； •用n个状态变量的一阶微分（或差分）方 程组来描述系统 。
即有
1 C uC (t ) R i (t ) 2 L L
图1
(t ) X
A
X (t )
则
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(t ) AX (t ) X
— 状态方程
列写状态方程的方法： 选择状态变量； 对连接电容的节点列写KCL方程； 对包含电感的网孔（回路）列写KVL方程； 消去非状态变量，整理为标准形式的状态方程。
x(0 ) x1 (0 ) x2 (0 ) xn (0 )
T
状态空间：状态向量
x( t) 所在的空间。 即：以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间
状态方程：表示系统状态变量与输入之间关 系的方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差 分方程）组成的方程组。 d 1 R 例如： 1 i (t )

C

此方法称为状态变量或状态空间分析法； i L ( t ), uC ( t )为状态变量。
名词定义
状态：状态可理解为事物的某种特征。状态发生变化意味着事物
有了发展和变化，所以状态是划分事物发展阶段的依据。系统的 状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。 状态变量：能够表示系统状态的变量。表示动态系统的一组最 少变量（被称为状态变量），只要知道 t=t0 时这组变量和 t t0 时的输入，那么就能完全确定系统在 t t0 任何时间的行为。

c1n x1 d 11 c2 n x 2 d 21 c kn x n d k 1
电路图建立法



(1) 选取电路中所有电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 (2) 利用KCL写出每一个电容的电流 与其他状态变量和输入量之间的关系式。 (3) 利用KVL写出每一个电感的电压 与其他状态变量和输入量之间的关系式。 (4) 若第(2)步和第(3)步所得到的KCL和KVL方程中含有非状态变量，则应利用 适当的节点KCL方程和回路KVL方程将非状态变量消去。 (5) 将第(2)步和第(3)步（或第(4)步）所得到的关系式整理成标准形式, 即 得到电路的状态方程。 (6) 由KCL和KVL写出状态变量和输入量与输出量之间的关系，即得到电路的输 出方程。
1 s 4 1 H (s) s 1 s 2 s 3
s4
画成流图形式
1
x 3 1 s x3

1
1 x2

1 s x2
4
x 1 x1 1 s 1
3

1
f (t )
y (t )
1
2
选积分器输出为状态变量
x1 3 x1 4 x2 ( x3 2 x2 ) 3 x1 2 x2 x3 x2 2 x2 x3 x3 x3 f (t )
R 1 1 d i ( t ) i ( t ) u ( t ) f (t ) L C dt L L L L d u (t ) 1 i (t ) C L C dt
将
R 1 1 d iL (t ) iL (t ) uC (t ) f (t ) dt L L L 写为矩阵形式： d u (t ) 1 i (t ) C L C dt
d12 d 22 dk2


b1m f1 b2 m f2 bnm f m
d 1m f 1 d 2m f2 d km f m
y1 c11 y c 2 21 y k c k 1
dt L d u (t ) 1 dt C C
L
L iL (t ) L f (t ) u (t ) 0 0 C
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间关 例如： 系的方程。 i (t )
在电系统中，独立的电容上电压uC(t)和电感电流 iL(t)有资格称为状态变量。

状态方程与输出方程
对图1，由KCL和KVL，得
L
diL R 2iL u C 0 dt
例
C
du C u C iL 0 dt R1
1 du C R C dt di 11 L dt L
d R d t iL ( t ) L d u (t ) 1 C C dt

1 1 L iL (t ) L f (t ) u C (t ) 0 0
只要知道 iL(t), uC(t)的初始状态及输入 f(t)即可完全确定 电路的全部行为。 i (t ) y (t ) 0 1 L y (t ) u C (t ) 输出方程: u (t )
状态向量：n 个状态变量组成的列向量形式
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
xn (t )
x (t )
T
状态与起始状态：状态变量在某一时刻t0的值就是系统在时 T x(t0 ) x1 (t0 ) x2 (t0 ) xn (t0 ) 刻t0的状态：
状态变量在0-时刻的值称为系统的起始状态。即:
c12 c 22 ck 2
• x Ax + Bf y Cx + Df

a22
a1n x1 b11 a2 n x2 b21 ann xn bn1
b12 b22 bn 2
第6章 连续与离散系统的状态变量分析
•本章导读： •输入-输出法或端口法：对于单输入-单输出系统，仅研究系统的 输出与输入之间的外部特性，不关心系统内部状态的变化过程。 •对多输入-多输出的复杂系统，不仅要关心系统的输出，还要研 究系统内部变量的变化规律，才能达到对系统的设计和控制要求。 •状态变量法又称为内部法，它以描述系统内部特性的状态变量为 分析依据，通过一组状态方程和输出方程，将状态变量和系统的 输入和输出变量联系起来，进而分析系统的外部特性。
第6章 主要内容


6.1 6.2 6.3
连续系统的状态方程的建立 连续系统的状态方程的求解方法 离散系统的状态方程的建立和求解
第 30 讲
连续系统的状态方程的建立

状态变量的概念
状态变量是一组反映系统内部状态变化规律的量 。如x1(t)， x2(t)，， xn(t)，它们在t = t0时刻的 数值连同t t0时的输入，可以唯一地确定t > t0任 一时刻的状态和其它各个响应。
例
写出下图所示电路的状态方程和输出方程。
1
1H
iL1 t
解：
A


1H
iL 2 t
1
et
i1 t
2F
u C t

i2 t
u t

选电感电流 i L1 ( t ), i L 2 ( t ) 和电容两端电压 uC ( t ) 作为 状态变量 d 对结点A列结点电流方程：i L1 ( t ) i L 2 ( t ) 2 d t uC ( t )