程修改计算固体力学第四章

0 N i y N i x

x e e y D B S xy
应力： S e

y
单元刚度阵和有限元方程 3(k)
Pi 为作用于单元边界上的外力
F2y,,u2y
2 F2x,,u2x F1y,,u1y
F1x c2 cs c 2 cs u1x F 2 cs s 2 u1 y 1 y EF cs s 2 2 F L c cs c cs 2 x u2 x 2 2 F cs s cs s 2y u2 y c cos , s sin F kU, k称为单元刚度矩阵
1
1
v1 v2 v 3
2(j) 1(i)
1 y 2 1 x 3
u1 u1 u2 N1 x, y N 2 x, y N 3 x, y u2 u u 3 3
i 1
n
1 T T T T 代入, a = a B D B d a f N d a p N ds a Sp 2 a 0
B D B d a f N d p N ds
§4.2 结构的离散化
网格剖分：前处理
如何将一个平面或空间区域剖分为有限元网格
网格的全自动生成；网格剖分和有限元分析程序的连结；网格剖分能力需 要和有限元程序的单元库相协调；边界变动问题（大变形，优化，流固耦 合界面）的网格生成； 网格剖分和造型程序的连结； 结构化网格：映射法; 微分方程法；模板法；四分叉树，八分叉树法；非 结构化网格;Denauly三角化； 等几何有限元;边界元;无网格法;
应变： x x y 0 xy y
0 u y v x
x 0 y
B
0 N e y x
y1 y2 y3
1
3(k)
u1 u2 u 3
1 1 x1 2 1 x2 1 x 3 3
1 x1 y 1 x2 1 x3 y1 y2 y3
y1 y2 y3
§4.3 单元分析
3(k) 单元内任一点位移： u 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 ...
v 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 ...
2(j) 1(i) 线性插值—平面 对节点1： u1 1 2 x1 3 y1
T T T Sp
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法 v3 f3y 3 u3 v2 f1y v1 u1 1 f1x f2y u2 f2x
f3x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
U V
1 T T T D d f u d p uds S p 2
n
0
令
u( x, y, z ) ai i ( x, y, z) N a,
i 1
( x, y, z ) u( x, y, z ) ai i ( x, y, z) B a
v1 1 2 x1 3 y1
对节点2： u2 1 2 x2 3 y2
v2 1 2 x2 3 y2
u3 u1
对节点3： u3 1 2 x3 3 y3
v3 1 2 x3 3 y3
u2
3节点三角形单元： u 1 2 x 3 y v 1 2 x 3 y
e 单元刚度阵 K
概括起来：
v3 f3y u3 3 f3x v2 f1y v1 u1 f2y u2
基本问题：给定一个三角形单元和作用在角点 上的六个力，求六个角点的位移。或者是要求 三角形三个角点发生指定的位移，在三角形三 个角点如何加力？
x B 0 y
0 N1 0 y x
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 B1 N3
B2
B3
Bi
应变： B e 应力：

N i x 0 N i y
3
1 i j 0 i j
u3=1 u1=1 u2=1
(2)
N x, y 1
i 1 i
N1(x,y)
u x , y N 1 d v x , y 0 0 N2 1 0 N1 0 N3 2 0 N2
2
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
U V 令
1 T T D d p uds, 为三角形, S p为三个顶点 S p 2
n i 1
u( x, y, z ) ai i ( x, y , z ) N a, ( x , y , z ) B a
1
或 F1x,,u1x 由节点的平衡方程就可求得节点位移；
这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的 单元刚度矩阵适当地组装得到。
第四章 弹性力学问题的有限元法
§4.1 有限元法的基本思想
4.1.2 平面应力问题的有限元基本思想和瑞雷－里兹法
将结构剖分为单元，假定单元之间只在节点上 连结起来。 将每个单元的节点力Ｆ和节点位移Ｕ联系起来， Ｆ＝ＫＵ，其中，Ｕ称为单元刚度矩阵； 由每个节点的平衡，可得到节点位移满足的线 性代数方程组，求解该方程组得到节点位移。 有了节点位移可以确定单元的应变、应力
u1 1 x1 u2 1 x2 u 1 x 3 3
1 1 x1 2 1 x2 1 x 3 3
u x, y 1 x
y1 1 y2 2 y3 3
代入, a 0


B D B d a
T
Sp
p N ds
T
希望a是三个顶点的六个位移组成的向量
§4.2 结构的离散化
网格剖分：前处理
如何将一个平面或空间区域剖分为有限元网格
网格剖分的质量：边长比；非凹性;
网格的协调性(一致性);在网格中任何一个节点必须是所有相邻单元的有限 元节点.
N2(x,y)
0 N1 3 0 N3 0 N1 N2 0 0 N2
N3(x,y)
N3 0
0 1 2 N3 3
ui i vi
位移：
d N e
同理：
v x, y N1 x, y N 2 x , y
形函数
v1 N 3 x , y v 2 v 3
a1 a2 a3
（插值函数）
1 a1 b1 x c1 y 其中： 2 1 N 2 x, y a2 b2 x c2 y 2 1 N 3 x, y a3 b3 x c3 y 2 N1 x, y
f i 为作用于单元内部的外力
Pi
2(j) 1(i)
U V 0
fi
x
U W 0
Ue
1 T D d e 2 单元刚度阵的物理意义： 作用在单元节点上的力： T 节点位移为单位位移时， 1 T e e e e e B D B e d R K 2 需要加载节点上的力 T 1 T 1 e T e e B D B d e e e e U 2 2 K
贴体网格;准确描述边界;对结构的宏观量,如刚度、频率等，局部网格和边 界有误差造成的影响不大，但对应力计算，特别是应力集中附近，如果网 格不能准确描述边界，误差可以是非常严重的。对流体力学的流场计算， 边界描述的误差也很大。 网格的疏密直接影响到计算结果的精度；网格和计算精度的后验估计;
为了在提高计算精度的同时又限制计算量过大的增长，网格过渡(graded mesh)是必须的;实现网格过渡对平面问题三角形单元和空间问题的四面体 单元比较容易，但对平面问题四边形单元及空间问题的六面体单元就很不 容易。基于有限元计算误差的后验估计的网格自适应技术(adaptive mesh);
§4.1 有限元法的基本思节点平衡方程 求得，需要采用力法或位移法求得。 采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未 知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件 应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点 的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。 P
如何将结构剖分为单元？如何得到单元刚度矩阵？ 如何将单元刚度矩阵拼装为结构刚度矩阵？如何将 作用在结构上的力转化为节点力？如何求解得到的 线性代数方程组？如何在有了节点位移后求得应变、 应力？
最小总势能原理，在满足位移边界条件的所有位移中，真实 的位移使系统的总势能取驻值（极小值）。
对于线性问题：
x2 x3 x3 x1 x1 x2
y2 y3 y3 y1 y1 y2
b1 b1 b1
1 y2 1 y3 1 y3 1 y1 1 y1 1 y2