计算固体力学-trussbarelement

G e2 '
γY
元坐标系中的分量为 γx、γy。 γX、γY 在单元坐标x轴上投影的代数和给出
γy
G e1 '
x
γx 。同理， γX、γY 在单元坐标 y 轴上 投影的代数和给出 γy ：
α
γx
i
γX
X
γ γ
x y
= =
γK γK
GG
⋅ eG1 ' = (eG1γ X ⋅ e2 ' = (e1γ X
N1
1
N2
1
1
2
1
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2
89
位移插值
可简单地将形函数取为一次多项式的形式：
N1(x) = a0 + a1x N2 ( x) = b0 + b1x
杆上无分布力时，一次多 项式可精确描述杆件变形
考虑到边界条件，
N1(0) = 1
N1(L) = 0
N2(0) = 0 N2(L) = 1
因此
a0 = 1 b0 = 0 a1 = −(1 / L) b1 = 1 / L
可得到
N1(x) = 1− x / L
N2(x) = x / L
90
位移及应变
位移模式为
u(x) = (1− x / L)u1 + (x / L)u2
u(x) = [N1(x)
小位移假设下，应变为
N
2
(
x)]⎩⎨⎧uu12
⎫ ⎬ ⎭
≡
Nu
位移模式包括 刚体位移和常 应变模式
εx
=
du dx
=
d dx
⎡ cosα
R
=
⎢⎢− ⎢
sin 0
α
⎢ ⎣
0
sin α cosα
0 0
0 0
cosα − sinα
0⎤
0
⎥ ⎥
sinα ⎥
cosα
⎥ ⎦
用节点坐标描述方向余弦：
cosα = X j − X i ,
L
sin α = Yj − Yi
L
（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分别为节点 i
和节点 j 在全局坐标系中的坐标值
G
G
G
+ eG2γ Y ) ⋅ (e1 Gcosα + e2Gsinα ) =
+ e2γ Y ) ⋅ (−e1 sinα + e2 cosα )
γ X cosα + γ Y sinα = −γ X sinα + γ Y cosα
93
坐标变换矩阵
即
⎧γ ⎩⎨γ
x y
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡ cosα ⎢⎣− sinα
31 41
k 32 k 42
k 33 k 43
k 34 k 44
k 35 k 45
k 36 k 46
⎥ ⎪⎪U
⎥ ⎥
⎪⎨U
3 4
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
F3 F4
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎢ ⎢
k
51
k 52
k 53
k 54
k 55
k
56
⎥ ⎥
⎪U ⎪
5
⎪ ⎪
⎪ ⎪
F5
⎪ ⎪
⎢⎣ k 61 k 62 k 63 k 64 k 65 k 66 ⎥⎦ ⎪⎩U 6 ⎪⎭ ⎪⎩ F6 ⎪⎭
如不考虑约束条件，总刚度阵是奇异的
零位移约束条件
U1 = U2 = U3 = U4 = 0
97
边界条件处理
零位移约束条件代人平衡方程，得到
⎡k11 k12 k13 k14 k15 k16 ⎤⎧ 0 ⎫ ⎧ F1 ⎫
⎢⎢k21
k22
k23
k24
k25
k26
⎥ ⎥
⎪ ⎪
0
⎪ ⎪
⎪ ⎪
F2
⎪ ⎪
⎢k31 ⎢⎢k41
k32 k42
k33 k43
k34 k44
k35 k45
k36 k46
⎥ ⎥
⎥
⎪ ⎨ ⎪
0 0
⎪ ⎬ ⎪
=
⎪ ⎨ ⎪
F3 F4
⎪ ⎬ ⎪
⎢⎢k51
k52
k53
k54
k55
k56
⎥ ⎥
⎪⎪U5
⎪ ⎪
⎪ ⎪
F5
⎪ ⎪
⎣k61 k62 k63 k64 k65 k66 ⎦⎩U6 ⎭ ⎩F6 ⎭
95
平面内任意方向的杆单元
为求杆单元应变，我们只关心轴向位移分量。从前面推导给出
⎧u1 ⎫
⎧⎨⎩uu12′′
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡cos ⎢⎣0
β
sin β
0
0
cos β
0 sin
β
⎤ ⎥ ⎦
⎪⎪⎪⎨uv12
⎪⎪ ⎬ ⎪
y
记为 d′ Td
⎩⎪v2 ⎭⎪ u1′
1
β x
而节点力向量同样满足 r = TT r′ (或 r′ = Tr )
sinα cosα
⎤ ⎥ ⎦
⎧γ ⎩⎨γ
X Y
⎫ ⎬ ⎭
坐标 变换
令 u'i , v'i , u' j , v' j 表示两个端点的位移矢量在单元局部坐 标系的分量， ui , vi , u j , v j 表示两个端点的位移矢量在全局坐
标系的分量，则
⎧u 'i ⎫e ⎡ cosα
⎪⎪ v ⎨⎪u
'i 'j
AE ⎡ 1 L ⎢⎣−1
−11⎥⎦⎤⎩⎨⎧uu12
⎫ ⎬ ⎭
=
⎩⎨⎧FF12
⎫ ⎬ ⎭
≡
−r
Ke
=
AE L
⎡1 ⎢⎣−1
−1⎤
1
⎥ ⎦
称为单元刚度阵（有对称性、奇异性）
92
坐标变换矩阵
Y
y 设OXY为结构坐标，oxy 为单元坐标。
γ 为任意单元 i 端的任一矢量。它在 结构坐标系中的分量为 γX、γY；在单
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪⎩v ' j ⎭⎪
= ⎢⎢− sinα
⎢0
⎢ ⎣
0
sin α cosα
0 0
0 0
cosα − sinα
0 ⎤ ⎧ui ⎫
0
sin α cosα
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎪⎪⎨⎪uvij ⎩⎪v j
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪
94
坐标变换矩阵
上式可写成
d 'e = Rde
坐标变换矩阵 R 的具体内容为：
Nu
=
[
d dx
N1 (
x)
d dx
N2
(
x)]⎩⎨⎧uu12
⎫ ⎬ ⎭
=
u2
− L
u1
91
单元刚度阵
利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为
σx
=
Eε x
=
E
u2
− u1 L
P
=σxA
=
AE L
(u2
− u1)
则节点力为
F1
=
−
AE L
(u2
−
u1 )
F2
=
AE L
(u2
− u1)
其矩阵形式表示为
位移插值
建立轴线方向的坐标系
记任一点轴向位移为 u( x)
并将节点位移表示为
u1 = u(0) u2 = u(L)
建立杆件位移与节点位移的插值关系
节点位移协 调关系满足
u(x) = N1(x)u1 + N2 (x)u2
为满足 u(xi ) = ui ,形函数需满足 N1(0) = 1, N1(L) = 0, N2 (0) = 0, N2 (L) = 1
⎩⎪v2 ⎭⎪
u2
⎧ F1x ⎫
r
=
⎪⎪ F1y
⎨ ⎪
F2
x
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪⎩F2 y ⎭⎪
96
边界条件
全局平衡方程
⎡ k11 k12 k13 k14 k15 k16 ⎤ ⎧U 1 ⎫ ⎧ F1 ⎫
⎢ ⎢
k
21
k 22
k 23
k 24
k 25
k
26
⎥ ⎥
⎪⎪U
2
⎪ ⎪
⎪ ⎪
F2
⎪ ⎪
⎢ ⎢ ⎢
k k
由单元局部坐标系下的关系 K′ed′ = −r′
可得到 TT K′eTd = −r
y
或写成 K ed = −r 其中 K e = TT K′eT
u2 v2 1
β x
x′ u2′
2
d′
=
⎧⎨⎩uu12′′
⎫ ⎬ ⎭
r
'
=
⎧ ⎨ ⎩
F1 F2
'⎫
'
⎬ ⎭
x′ v2
2
⎧u1 ⎫
d
=
⎪⎪⎨⎪uv12
⎪⎪ ⎬ ⎪